Giải tổng quát của phương trình bậc n. Vi sai tuyến tính

N-thứ tự

Định lý. Nếu như năm 0- Giải phương trình thuần nhất L[y]=0, năm 1- Giải phương trình không đồng nhất tương ứng L[y] = f(x), thì tổng y 0 + y 1 là nghiệm của phương trình không đồng nhất này.

Cấu trúc nghiệm tổng quát của phương trình không đồng nhất được xác định theo định lý sau.

Định lý. Nếu như Y- nghiệm riêng của phương trình L[y] = f(x) với các hệ số liên tục, - nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng L[y] = 0, thì nghiệm tổng quát của phương trình không đồng nhất này được xác định theo công thức

Bình luận. Để viết nghiệm tổng quát của một phương trình tuyến tính không đồng nhất, cần phải tìm một nghiệm cụ thể nào đó của phương trình này và nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng.

Phương trình tuyến tính không đồng nhất N

Xét phương trình tuyến tính không đồng nhất N-thứ tự với hệ số không đổi

Ở đâu một 1, một 2, …, MỘT- số thực. Hãy viết phương trình thuần nhất tương ứng

Nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất được xác định theo công thức

Giải tổng quát của phương trình thuần nhất năm 0 chúng ta có thể tìm thấy, một giải pháp cụ thể Y có thể tìm được bằng phương pháp hệ số bất định trong các trường hợp đơn giản sau:

Trong trường hợp tổng quát, phương pháp thay đổi các hằng số tùy ý được sử dụng.

Phương pháp biến đổi hằng số tùy ý

Xét phương trình tuyến tính không đồng nhất N-thứ tự có hệ số thay đổi

Nếu việc tìm một nghiệm cụ thể của phương trình này trở nên khó khăn, nhưng nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng đã biết thì có thể tìm được nghiệm tổng quát của phương trình không đồng nhất phương pháp biến đổi hằng số tùy ý.

Hãy để phương trình thuần nhất tương ứng

có một giải pháp chung

Ta sẽ tìm nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất dưới dạng

Ở đâu y 1 = y 1 (x), y 2 = y 2 (x), …, y n = y n (x) là các nghiệm độc lập tuyến tính của một phương trình thuần nhất có trong nghiệm tổng quát của nó, và C 1 (x), C2(x), …, Cn(x)- chức năng chưa biết. Để tìm các hàm này, chúng ta hãy tuân theo một số điều kiện.

Hãy tìm đạo hàm

Chúng tôi yêu cầu tổng trong ngoặc thứ hai bằng 0, nghĩa là

Hãy tìm đạo hàm thứ hai

và chúng tôi sẽ yêu cầu điều đó

Tiếp tục quá trình tương tự, ta được

Trong trường hợp này, bạn không thể yêu cầu tổng trong ngoặc thứ hai biến mất, vì các hàm C 1 (x), C2(x), …, Cn(x)đã phụ thuộc rồi n-1điều kiện, nhưng bạn vẫn cần phải thỏa mãn phương trình không thuần nhất ban đầu.

Phương trình được giải bằng tích phân trực tiếp

Hãy xem xét phương trình vi phân sau:
.
Chúng tôi tích hợp n lần.
;
;
và vân vân. Bạn cũng có thể sử dụng công thức:
.
Xem phương trình vi phân có thể giải trực tiếp hội nhập > > >

Các phương trình không chứa biến phụ thuộc y một cách rõ ràng

Sự thay thế làm giảm thứ tự của phương trình xuống một. Đây là một chức năng từ .
Xem Phương trình vi phân bậc cao không chứa hàm một cách rõ ràng > > >

Các phương trình không bao gồm biến độc lập x một cách rõ ràng

.
Chúng tôi cho rằng đó là một chức năng của .
.
Sau đó
Tương tự đối với các dẫn xuất khác. Kết quả là thứ tự của phương trình giảm đi một.

Xem Phương trình vi phân bậc cao không chứa biến rõ ràng > > >

Các phương trình thuần nhất đối với y, y′, y′′, ...
,
Để giải phương trình này, ta thay thế
.
đâu là một chức năng của .
Sau đó

Tương tự, chúng ta biến đổi đạo hàm, v.v. Kết quả là thứ tự của phương trình giảm đi một.

Xem Phương trình vi phân bậc cao đồng nhất đối với hàm và đạo hàm của nó > > > Phương trình vi phân tuyến tính bậc cao hơn:
(1) ,
Hãy xem xét
(2) ,
phương trình vi phân đồng nhất tuyến tính bậc n
đâu là hàm của biến độc lập. Giả sử có n nghiệm độc lập tuyến tính cho phương trình này. Khi đó nghiệm tổng quát của phương trình (1) có dạng:

Xem Phương trình vi phân bậc cao đồng nhất đối với hàm và đạo hàm của nó > > > các hằng số tùy ý ở đâu. Bản thân các chức năng tạo thành một hệ thống cơ bản của các giải pháp.:
.
Hệ thống giải pháp cơ bản
,
của một phương trình đồng nhất tuyến tính bậc n là n nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình này.

phương trình vi phân tuyến tính không đồng nhất bậc n

Giả sử có một nghiệm (bất kỳ) cụ thể nào cho phương trình này. Khi đó nghiệm tổng quát có dạng:

đâu là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất (1).
(3) .
Phương trình vi phân tuyến tính có hệ số không đổi và có thể rút gọn về chúng
(2) .

Phương trình đồng nhất tuyến tính với hệ số không đổi Đây là các phương trình có dạng::
(4) .

Đây là những con số thực sự. Để tìm nghiệm tổng quát của phương trình này, chúng ta cần tìm n nghiệm độc lập tuyến tính tạo thành một hệ nghiệm cơ bản. Khi đó nghiệm tổng quát được xác định theo công thức (2): Chúng tôi đang tìm kiếm giải pháp dưới dạng . chúng tôi nhận được
.

phương trình đặc trưng Nếu phương trình này có
,
rễ khác nhau

thì hệ nghiệm cơ bản có dạng: bội số tương ứng với các nghiệm độc lập tuyến tính: .

bội số của rễ phức tạp bội số và các giá trị liên hợp phức tạp của chúng tương ứng với các nghiệm độc lập tuyến tính:
.

Phương trình tuyến tính không đồng nhất có phần không đồng nhất đặc biệt

Xét một phương trình có dạng
,
đa thức bậc s ở đâu 1 và s 2 ;

- Vĩnh viễn. Đầu tiên chúng ta tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất (3). Nếu phương trình đặc tính (4) không chứa gốc
,
, thì chúng ta tìm một giải pháp cụ thể có dạng:
;
;
Ở đâu 1 và s 2 .

s - lớn nhất của s Nếu phương trình đặc tính (4) có một gốc
.

bội số, thì chúng ta tìm kiếm một nghiệm cụ thể dưới dạng:
.

Sau này, chúng tôi nhận được giải pháp chung:

Phương trình tuyến tính không đồng nhất với hệ số không đổi

1) Có ba giải pháp khả thi ở đây..
Phương pháp Bernoulli
.
Đầu tiên, chúng ta tìm nghiệm bất kỳ khác 0 của phương trình thuần nhất
,
Sau đó chúng tôi thực hiện thay thế - 1 đâu là hàm của biến x.

2) Chúng ta thu được một phương trình vi phân cho u, phương trình này chỉ chứa đạo hàm của u theo x..
Tiến hành thay thế, ta thu được phương trình n
,
- thứ tự.

3) Phương pháp thay thế tuyến tính.
Hãy thay thế
(2) .
đâu là một trong những nghiệm của phương trình đặc tính (4). Kết quả là chúng ta thu được một phương trình tuyến tính không đồng nhất với các hệ số bậc không đổi.
,
Áp dụng nhất quán phép thay thế này, chúng ta rút gọn phương trình ban đầu thành phương trình bậc nhất.

Phương pháp biến thiên hằng số Lagrange

Trong phương pháp này, trước tiên chúng ta giải phương trình thuần nhất (3). Giải pháp của anh ấy trông giống như:
.
Chúng tôi giả định thêm rằng các hằng số là hàm của biến x.
.
Khi đó nghiệm của phương trình ban đầu có dạng:

chức năng chưa biết ở đâu. Thay thế vào phương trình ban đầu và áp đặt một số hạn chế, chúng ta thu được các phương trình mà từ đó chúng ta có thể tìm ra loại hàm.
phương trình Euler
Nó giảm xuống một phương trình tuyến tính với các hệ số không đổi bằng cách thay thế:

Tuy nhiên, để giải phương trình Euler, không cần thực hiện phép thay thế như vậy. Bạn có thể ngay lập tức tìm nghiệm của phương trình thuần nhất dưới dạngNKết quả là, chúng ta thu được các quy tắc tương tự như đối với một phương trình có hệ số không đổi, trong đó thay vì một biến, bạn cần thay thế .

Văn học đã qua sử dụng:

(3)

Đối với phương trình bậc n, các điều kiện của định lý về sự tồn tại và duy nhất của hệ được thỏa mãn vì (1)~(2)~(3).

Các trường hợp giảm đơn hàng đơn giản nhất.

Phương trình không chứa hàm số cần tìm và đạo hàm của nó theo thứ tự k -1 bao gồm , đó là

Trong trường hợp này, thứ tự có thể giảm xuống còn
thay thế. Nếu chúng ta biểu diễn phương trình này thì nghiệm y có thể được xác định bằng hàm tích phân k-fold P.

Ví dụ.
.

Phương trình không chứa biến chưa biết

(5)

Trong trường hợp này, thứ tự có thể được giảm đi một bằng cách thay thế.

Ví dụ.
.

Vế trái của phương trình

(6)

là đạo hàm của một số biểu thức vi phân ( N -1) lệnh thứ .
. Nếu như
- do đó tồn tại nghiệm của phương trình cuối cùng. Chúng ta thu được tích phân thứ nhất của phương trình (6) và hạ bậc của phương trình đang được giải xuống một.

Bình luận.Đôi khi vế trái của (6) chỉ trở thành đạo hàm của phương trình vi phân bậc (n-1) khi nhân với
do đó, những giải pháp không cần thiết có thể xuất hiện ở đây (đảo ngược về 0) hoặc chúng ta có thể mất giải pháp nếu hàm không liên tục.

Ví dụ.

phương trình

(7)

tương đối đồng nhất và các dẫn xuất của nó .

Hoặc chỉ báo ở đâu
được xác định từ điều kiện đồng nhất.

Thứ tự của phương trình này có thể giảm đi một bằng cách thay thế: .

Nếu chúng ta thay thế các mối quan hệ này vào (7) và tính đến tính đồng nhất của hàm F , thì cuối cùng chúng ta nhận được: .

Ví dụ.
.

phương trình vi phân bậc hai,

cho phép giảm thứ tự.

Thay thế
.

Nếu phương trình (8) có thể được giải theo đạo hàm cao nhất thì phương trình.
tích hợp hai lần trên biến x.

Bạn có thể giới thiệu một tham số và thay thế phương trình (8) bằng biểu diễn tham số của nó:
. Sử dụng mối quan hệ cho sự khác biệt:
, chúng tôi nhận được: và

II .
(9)

Hãy sử dụng biểu diễn tham số:

III.
. (10)

Bạn có thể hạ thấp thứ tự bằng cách thay thế:
.

Nếu phương trình (10) giải được theo đạo hàm cao nhất
, sau đó nhân vế phải và vế trái với
. Chúng tôi nhận được: Đây là một phương trình với các biến có thể tách được:
.

Phương trình (10) có thể được thay thế bằng biểu diễn tham số của nó: . Hãy sử dụng các tính chất của vi phân:.

Ví dụ.
.

Phương trình vi phân tuyến tínhNKết quả là, chúng ta thu được các quy tắc tương tự như đối với một phương trình có hệ số không đổi, trong đó thay vì một biến, bạn cần thay thế .

Sự định nghĩa. Phương trình vi phân tuyến tính N -thứ tự được gọi là các phương trình có dạng:
. (1)

Nếu tỷ lệ cược liên tục cho
, thì trong vùng lân cận của bất kỳ giá trị ban đầu nào có dạng:, trong đó thuộc khoảng thì trong lân cận của các giá trị ban đầu này thỏa mãn các điều kiện định lý về sự tồn tại và duy nhất. Tính tuyến tính và tính đồng nhất của phương trình (1) được bảo toàn dưới bất kỳ phép biến đổi nào
, Ở đâu là một hàm khả vi n lần tùy ý. Hơn thế nữa
. Tính tuyến tính và tính đồng nhất được bảo toàn khi hàm chưa biết được biến đổi tuyến tính và đồng nhất.

Chúng ta hãy giới thiệu một toán tử vi phân tuyến tính: , khi đó (1) có thể được viết như sau:
. Định thức của Wronski cho
sẽ trông giống như:

, Ở đâu - nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình (1).

Định lý 1. Nếu hàm số độc lập tuyến tính
là nghiệm của phương trình thuần nhất tuyến tính (1) với liên tục
hệ số
, thì định thức Wronski
không biến mất tại bất kỳ điểm nào trên đoạn thẳng
.

Định lý 2. Giải tổng quát của phương trình thuần nhất tuyến tính (1) với liên tục
hệ số
sẽ có sự kết hợp tuyến tính của các giải pháp , đó là
(2), ở đâu
độc lập tuyến tính trên đoạn
giải pháp riêng (1).

(chứng minh tương tự như trường hợp hệ phương trình vi phân tuyến tính)

Kết quả. Số nghiệm độc lập tuyến tính tối đa của (1) bằng cấp của nó.

Biết một nghiệm cụ thể không tầm thường của phương trình (1) -
, bạn có thể thay thế
và hạ thấp thứ tự của phương trình trong khi vẫn duy trì tính tuyến tính và tính không đồng nhất của nó. Thông thường sự thay thế này được chia thành hai. Vì đây là biểu diễn đồng nhất tuyến tính nên nó bảo toàn tính tuyến tính và đồng nhất của (1), có nghĩa là (1) phải được rút gọn về dạng. Quyết định
có hiệu lực
tương ứng với giải pháp
, và do đó
. Đã thực hiện thay thế
, ta thu được phương trình có bậc
.

Bổ đề. (3)

Hai phương trình dạng (3) và (4), trong đó Q i và P i là các hàm liên tục có chung một hệ nghiệm cơ bản chung, trùng nhau, tức là Q i (x)= P i (x), i=1,2,…n,  x

Dựa vào bổ đề, chúng ta có thể kết luận rằng hệ cơ bản của nghiệm y 1 y 2 …y n xác định hoàn toàn phương trình thuần nhất tuyến tính (3).

Chúng ta hãy tìm dạng phương trình (3), có hệ nghiệm cơ bản y 1 y 2 …y n . Bất kỳ giải pháp y(x) phương trình (3) phụ thuộc tuyến tính vào hệ nghiệm cơ bản, nghĩa là W=0. Chúng ta hãy mở rộng định thức Wronski W trên cột cuối cùng.

Phương trình (5) là phương trình vi phân tuyến tính mong muốn có hệ nghiệm cơ bản cho trước. Chúng ta có thể chia (5) cho W, bởi vì nó không bằng 0  x.

(*)

Sau đó:

Theo quy tắc đạo hàm của định thức, đạo hàm của định thức bằng tổng các định thức i=1,2...n, hàng thứ i mỗi định thức bằng đạo hàm của i- hàng thứ của định thức ban đầu. Trong tổng này, tất cả các định thức ngoại trừ định thức cuối cùng đều bằng 0 (vì chúng có hai dòng giống nhau) và định thức cuối cùng bằng (*). Vì vậy, chúng tôi nhận được:
(6)

(7)

Sự định nghĩa. , Sau đó: Công thức (6) và (7) được gọi là

Chúng tôi sử dụng (7) để tích phân phương trình đồng nhất tuyến tính bậc hai. Và hãy cho chúng tôi biết một trong các nghiệm y 1 của phương trình (8).

Theo (7), mọi nghiệm (8) đều phải thỏa mãn mối quan hệ sau:

(9)

Hãy sử dụng phương pháp nhân tử tích hợp.

Phương trình đồng nhất tuyến tính với

các hệ số không đổi.

Nếu trong một phương trình thuần nhất tuyến tính tất cả các hệ số đều không đổi thì

a 0 y (n) +a 1 y (n-1) +….+a n y=0, (1)

thì nghiệm cụ thể (1) có thể được xác định dưới dạng: y=e kx, trong đó k là hằng số.

a 0 k n e kx +a 1 k n-1 e kx +….+a n k 0 e kx =0  a 0 k n +a 1 k n-1 +….+a n =0 (3)

Sự định nghĩa. (3) - phương trình đặc trưng.

Loại nghiệm (1) được xác định bằng nghiệm của phương trình đặc tính (3).

1). Tất cả các rễ đều có thật và khác biệt , Sau đó:

2). Nếu tất cả các hệ số là số thực thì nghiệm có thể là liên hợp phức .

k 1 =+i k 2 =-i

Khi đó nghiệm có dạng:

Theo định lý: nếu một toán tử có hệ số thực có nghiệm liên hợp phức thì phần thực và phần ảo của chúng cũng là nghiệm. Sau đó:

Ví dụ.

Hãy trình bày giải pháp dưới dạng
, khi đó phương trình đặc tính có dạng:

, ta được hai nghiệm:

thì hàm cần tìm là:

3). Có nhiều gốc: k Tôi với sự đa dạng  Tôi . Trong trường hợp này, số lượng các giải pháp khác nhau
sẽ nhỏ hơn, do đó, bạn cần tìm các nghiệm độc lập tuyến tính còn thiếu ở dạng khác. Ví dụ:

Bằng chứng:

Giả sử k i = 0, nếu chúng ta thay nó vào (3), chúng ta sẽ nhận được , khi đó:

- giải pháp cụ thể (3).

Cho k i 0, hãy thay thế
(6)

Thay (6) vào (1), chúng ta thu được đối với z một phương trình thuần nhất tuyến tính bậc n với các hệ số không đổi (7).

Các nghiệm (3) khác với các nghiệm của phương trình đặc tính (7) ở số hạng k i .

(8)

Nếu k=k i , thì k này tương ứng với nghiệm của phương trình (7) với nghiệm p=0, tức là. tương ứng với nghiệm có dạng z=
, thì y= là nghiệm của phương trình (1). Và giải pháp chung trông như sau:

giải pháp cho k tôi



phương trình Euler.

Sự định nghĩa. Phương trình có dạng:

a i là các hệ số không đổi, gọi là phương trình Euler.

Phương trình Euler bằng cách thay x=e t được rút gọn thành phương trình thuần nhất tuyến tính với các hệ số không đổi.

Bạn có thể tìm nghiệm ở dạng y=x k, khi đó chúng có dạng:

Phương trình tuyến tính không đồng nhất.

Nếu 0 (x)0, thì chia phương trình (1) cho hệ số này, ta thu được:

Nếu i và f liên tục trên b thì (2) có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện ban đầu tương ứng. Nếu chúng ta biểu thị đạo hàm cao nhất từ (2) một cách rõ ràng, chúng ta sẽ thu được một phương trình có vế phải thỏa mãn định lý tồn tại và duy nhất. Vì toán tử L là tuyến tính nên với (2) điều sau đây đúng:

1).
- nghiệm (2), nếu - Giải phương trình không đồng nhất (2), và - Giải phương trình thuần nhất tương ứng.

2). Nếu như - giải pháp
, Cái đó
giải phương trình
.

Tính chất 2 là nguyên lý chồng chất, nó đúng khi
, nếu chuỗi
- hội tụ và thừa nhận tôi- Phân biệt theo nhiều thuật ngữ.

3) Cho phương trình toán tử
, trong đó L là toán tử có hệ số , Tất cả - thực tế. Các hàm U và V cũng là hàm số thực. Khi đó nếu phương trình này có nghiệm
, thì nghiệm của cùng một phương trình sẽ vừa là phần ảo vừa là phần thực:
Và
. Hơn nữa, mỗi người trong số họ tương ứng với giải pháp.

Định lý. Giải tổng quát của phương trình không thuần nhấtN- Về
trên đoạn [Một, b] với điều kiện là tất cả các hệ số
và bên phải
- các hàm liên tục, có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của nghiệm tổng quát tương ứng với một hệ thống đồng nhất
và một giải pháp cụ thể cho vấn đề không đồng nhất -
.

Những thứ kia. giải pháp
.

Nếu không thể chọn rõ ràng các giải pháp cụ thể của một hệ thống không đồng nhất thì bạn có thể sử dụng phương pháp các biến thể của hằng số . Chúng ta sẽ tìm lời giải có dạng:

(3)

Ở đâu
giải pháp cho một hệ thống đồng nhất,
- chức năng chưa biết.

Tổng số chức năng chưa biết
- N. Chúng phải thỏa mãn phương trình ban đầu (2).

Thay biểu thức y(x) vào phương trình (2), chúng ta thu được điều kiện để xác định chỉ một hàm số chưa biết. Để xác định các hàm (n-1)-well còn lại, cần có một điều kiện bổ sung (n-1)-nhưng chúng có thể được chọn tùy ý. Chúng ta hãy chọn chúng sao cho nghiệm (2) - y(x) có dạng như thể
là hằng số.

bởi vì
hành xử như hằng số, sau đó
, có nghĩa là
.

Cái đó. chúng ta nhận được điều kiện (n-1)-but ngoài phương trình (1). Nếu chúng ta thay biểu thức của đạo hàm vào phương trình (1) và tính đến tất cả các điều kiện thu được và y i là nghiệm của hệ thuần nhất tương ứng, thì chúng ta thu được điều kiện cuối cùng cho
.

Hãy chuyển sang hệ thống:

(3)

Định thức của hệ (3) là (W) Định thức Vronsky, và bởi vì y tôi là nghiệm của một hệ đồng nhất, thì W0 trên .

Ví dụ. phương trình không đồng nhất

, phương trình đồng nhất tương ứng

Chúng tôi đang tìm kiếm một giải pháp bằng hình thứcy= e kx . Phương trình đặc trưngk 2 +1=0, tức làk 1,2 =  Tôi

y= e ix = vì x + Tôi tội lỗi x, giải pháp chung là

Hãy sử dụng phương pháp biến đổi không đổi:

Điều kiện cho
:

, tương đương với cách viết:

Từ đây:

Hệ vi phân tuyến tính phương trình.

Hệ phương trình vi phân được gọi là tuyến tính, nếu nó tuyến tính đối với các hàm chưa biết và đạo hàm của chúng. hệ thống N-Các phương trình tuyến tính bậc 1 được viết dưới dạng:

Các hệ số của hệ thống là const.

Thật thuận tiện khi viết hệ thống này dưới dạng ma trận: ,

đâu là vectơ cột của các hàm chưa biết tùy thuộc vào một đối số.

Vector cột của đạo hàm của các hàm này.

Vector cột của các thành viên miễn phí.

Ma trận hệ số.

Định lý 1: Nếu tất cả các hệ số ma trận MỘT liên tục trên một khoảng nào đó và , sau đó ở một lân cận nào đó của mỗi m. Các điều kiện TS&E được đáp ứng. Do đó, qua mỗi điểm như vậy sẽ có một đường cong tích phân duy nhất đi qua.

Thật vậy, trong trường hợp này, vế phải của hệ là liên tục đối với tập các đối số và đạo hàm riêng của chúng đối với (bằng các hệ số của ma trận A) bị giới hạn, do tính liên tục trên một khoảng đóng.

Các phương pháp giải SLD

1. Một hệ phương trình vi phân có thể được rút gọn thành một phương trình bằng cách loại bỏ các ẩn số.

Ví dụ: Giải hệ phương trình: (1)

Giải pháp: loại trừ z từ các phương trình này. Từ phương trình đầu tiên ta có . Thay thế vào phương trình thứ hai, sau khi đơn giản hóa, chúng tôi nhận được: .

Hệ phương trình này (1) rút gọn thành một phương trình bậc hai. Sau khi tìm được từ phương trình này y, nên tìm z, sử dụng đẳng thức.

2. Khi giải hệ phương trình bằng cách loại bỏ ẩn số thường thu được phương trình cấp cao hơn nên trong nhiều trường hợp sẽ thuận tiện hơn khi giải hệ bằng cách tìm sự kết hợp tích hợp.

Tiếp theo 27b

Ví dụ: Giải quyết hệ thống

Giải pháp:

Hãy giải hệ này bằng phương pháp Euler. Hãy viết định thức để tìm đặc tính

phương trình: , (vì hệ đồng nhất nên muốn có nghiệm không tầm thường thì định thức này phải bằng 0). Chúng ta thu được một phương trình đặc trưng và tìm nghiệm của nó:

Giải pháp chung là: ;

- vectơ riêng.

Chúng tôi viết ra giải pháp cho: ;

- vectơ riêng.

Chúng tôi viết ra giải pháp cho: ;

Chúng tôi nhận được giải pháp chung: .

Hãy kiểm tra:

hãy tìm : và thay nó vào phương trình đầu tiên của hệ thống này, tức là .

Chúng tôi nhận được:

- bình đẳng thực sự.

Độ lệch tuyến tính phương trình bậc n. Định lý về nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính không thuần nhất bậc n.

Phương trình vi phân tuyến tính bậc n là phương trình có dạng: (1)

Nếu phương trình này có hệ số thì chia cho nó, ta có phương trình: (2) .

Thông thường các phương trình thuộc loại (2). Giả sử rằng trong ur-i (2) tất cả các tỷ lệ cược, cũng như f(x) liên tục trên một khoảng nào đó (a,b). Khi đó, theo TS&E, phương trình (2) có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện ban đầu: , , …, với . Ở đây - bất kỳ điểm nào trong khoảng (a,b), và tất cả - bất kỳ số nào. phương trình (2) đáp ứng TC&E , do đó không có giải pháp đặc biệt.

Định nghĩa: đặc biệt các điểm tại đó = 0.

Tính chất của phương trình tuyến tính:

Một phương trình tuyến tính vẫn tuyến tính cho dù biến độc lập có thay đổi như thế nào.
Một phương trình tuyến tính vẫn giữ nguyên như vậy đối với bất kỳ sự thay đổi tuyến tính nào của hàm mong muốn.

định nghĩa: nếu trong phương trình (2) đặt f(x)=0, thì ta thu được phương trình có dạng: (3) , được gọi là phương trình thuần nhất liên quan đến phương trình không đồng nhất (2).

Hãy để chúng tôi giới thiệu toán tử vi phân tuyến tính: (4). Sử dụng toán tử này, bạn có thể viết lại phương trình dưới dạng ngắn gọn (2) Và (3): L(y)=f(x), L(y)=0. toán tử (4) có các tính chất đơn giản sau:

Từ hai tính chất này có thể suy ra hệ quả: .

Chức năng y=y(x) là nghiệm của phương trình không thuần nhất (2), Nếu như L(y(x))=f(x), Sau đó f(x) gọi là nghiệm của phương trình. Vậy giải phương trình (3) gọi là hàm y(x), Nếu như L(y(x))=0 trên các khoảng được xem xét.

Coi như phương trình tuyến tính không đồng nhất: , L(y)=f(x).

Giả sử rằng chúng ta đã tìm ra một giải pháp cụ thể theo một cách nào đó thì .

Hãy giới thiệu một hàm mới chưa biết z theo công thức: , đâu là lời giải cụ thể.

Hãy thay nó vào phương trình: , mở ngoặc và nhận được: .

Phương trình kết quả có thể được viết lại như sau:

Vì là nghiệm riêng của phương trình ban đầu nên .

Như vậy, chúng ta đã thu được một phương trình thuần nhất đối với z. Nghiệm tổng quát của phương trình đồng nhất này là một tổ hợp tuyến tính: , trong đó các hàm - tạo thành hệ nghiệm cơ bản của phương trình thuần nhất. Thay thế z vào công thức thay thế, ta có: (*) cho chức năng y– hàm số chưa biết của phương trình ban đầu. Tất cả các nghiệm của phương trình ban đầu sẽ được chứa trong (*).

Như vậy, nghiệm tổng quát của đường không đồng nhất. phương trình được biểu diễn dưới dạng tổng của nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính đồng nhất và một nghiệm cụ thể nào đó của phương trình không đồng nhất.

(tiếp tục ở phía bên kia)

30. Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm của nghiệm vi phân. phương trình

Định lý: Nếu vế phải của phương trình liên tục trong hình chữ nhật và bị giới hạn, đồng thời thỏa mãn điều kiện Lipschitz: , N=const, khi đó tồn tại duy nhất nghiệm thỏa mãn điều kiện ban đầu và được xác định trên đoạn , Ở đâu .

Bằng chứng:

Xét không gian mêtric đầy đủ VỚI,điểm của nó là tất cả các hàm liên tục có thể có y(x) được xác định trên khoảng , các đồ thị nằm bên trong hình chữ nhật và khoảng cách được xác định bởi đẳng thức: . Không gian này thường được sử dụng trong giải tích toán học và được gọi là không gian hội tụ đều, vì sự hội tụ theo mêtric của không gian này là đồng nhất.

Hãy thay thế bộ vi sai. phương trình với các điều kiện ban đầu đã cho thành phương trình tích phân tương đương: và xem xét nhà điều hành A(y), bằng vế phải của phương trình này: . Toán tử này gán cho từng hàm liên tục

Sử dụng bất đẳng thức Lipschitz, chúng ta có thể viết khoảng cách đó . Bây giờ hãy chọn một bất đẳng thức thỏa mãn bất đẳng thức sau: .

Vậy thì nó phải được chọn sao cho . Như vậy chúng tôi đã cho thấy điều đó.

Theo nguyên tắc ánh xạ co, có một điểm duy nhất hoặc giống nhau, một hàm duy nhất - nghiệm của phương trình vi phân thỏa mãn các điều kiện ban đầu đã cho.