Xác suất cổ điển và các tính chất của nó
Xác suất là một trong những khái niệm cơ bản của lý thuyết xác suất. Có một số định nghĩa về khái niệm này. Hãy để chúng tôi đưa ra một định nghĩa được gọi là cổ điển.
Xác suất sự kiện là tỷ lệ giữa số kết quả cơ bản thuận lợi cho một sự kiện nhất định với số tất cả các kết quả có thể xảy ra như nhau của trải nghiệm mà sự kiện này có thể xuất hiện.
Xác suất của sự kiện A được ký hiệu là P(A)(Đây R- chữ cái đầu tiên của một từ tiếng Pháp có thể xảy ra- xác suất).
Theo định nghĩa
số lượng kết quả kiểm tra cơ bản thuận lợi cho việc xảy ra sự kiện ở đâu;
Tổng số kết quả kiểm tra cơ bản có thể có.
Định nghĩa xác suất này được gọi là cổ điển. Nó nảy sinh ở giai đoạn đầu của sự phát triển lý thuyết xác suất.
Con số thường được gọi là tần suất xuất hiện tương đối của một sự kiện MỘT trong kinh nghiệm.
Xác suất xảy ra sự kiện càng lớn thì xảy ra càng thường xuyên và ngược lại, xác suất xảy ra sự kiện càng ít thì tần suất xảy ra càng ít. Khi xác suất của một sự kiện gần bằng hoặc bằng một thì nó xảy ra ở hầu hết các thử nghiệm. Sự kiện như vậy được cho là gần như chắc chắn, tức là người ta chắc chắn có thể tin tưởng vào sự xuất hiện của nó.
Ngược lại, khi xác suất bằng 0 hoặc rất nhỏ thì sự kiện đó cực kỳ hiếm khi xảy ra; một sự kiện như vậy được cho là gần như không thể.
Đôi khi xác suất được biểu thị bằng phần trăm: P(A) 100% là tỷ lệ phần trăm trung bình của số lần xuất hiện của một sự kiện MỘT.
Ví dụ 2.13. Khi bấm số điện thoại, thuê bao quên một số và bấm nhầm. Tìm xác suất để quay số đúng.
Giải pháp.
Hãy ký hiệu bằng MỘT sự kiện - "số yêu cầu đã được quay."
Người đăng ký có thể quay số bất kỳ trong số 10 chữ số, do đó tổng số kết quả cơ bản có thể xảy ra là 10. Những kết quả này không tương thích, có thể xảy ra như nhau và tạo thành một nhóm hoàn chỉnh. Ủng hộ sự kiện MỘT chỉ có một kết quả (chỉ có một số bắt buộc).
Xác suất cần thiết bằng tỷ lệ giữa số kết quả thuận lợi cho sự kiện trên số tất cả các kết quả cơ bản:
Công thức xác suất cổ điển cung cấp một cách tính xác suất rất đơn giản, không cần thực nghiệm. Tuy nhiên, sự đơn giản của công thức này rất dễ gây nhầm lẫn. Thực tế là khi sử dụng nó, thường có hai câu hỏi rất khó:
1. Làm thế nào để chọn một hệ thống các kết quả thực nghiệm sao cho chúng có khả năng xảy ra như nhau và liệu điều này có thể thực hiện được không?
2. Cách tìm số tôi Và N?
Nếu có nhiều đối tượng tham gia vào một thí nghiệm thì không phải lúc nào cũng dễ dàng thấy được các kết quả có thể xảy ra như nhau.
Nhà triết học và toán học vĩ đại người Pháp D'Alembert đã đi vào lịch sử lý thuyết xác suất với sai lầm nổi tiếng của mình, bản chất của sai lầm đó là ông đã xác định không chính xác khả năng xảy ra các kết quả trong một thí nghiệm chỉ với hai đồng xu!
Ví dụ 2.14. ( lỗi của d'Alembert). Hai đồng xu giống nhau được tung lên. Xác suất để chúng rơi cùng phía là bao nhiêu?
Giải pháp của D'Alembert.
Thí nghiệm có ba kết quả có thể xảy ra như nhau:
1. Cả hai đồng xu sẽ rơi vào mặt ngửa;
2. Cả hai đồng xu sẽ rơi vào mặt sấp;
3. Một đồng xu sẽ rơi xuống mặt ngửa, đồng xu còn lại rơi xuống mặt sấp.
Quyết định đúng đắn.
Thí nghiệm có bốn kết quả có thể xảy ra như nhau:
1. Đồng xu đầu tiên rơi vào mặt ngửa, đồng xu thứ hai cũng rơi vào mặt ngửa;
2. Đồng xu đầu tiên sẽ rơi vào mặt sấp, đồng xu thứ hai cũng rơi vào mặt sấp;
3. Đồng xu đầu tiên sẽ rơi vào mặt ngửa và đồng xu thứ hai rơi vào mặt sấp;
4. Đồng xu đầu tiên sẽ rơi vào mặt sấp và đồng xu thứ hai sẽ rơi xuống mặt ngửa.
Trong số này, có hai kết quả sẽ có lợi cho sự kiện của chúng ta nên xác suất cần có là .
D'Alembert đã mắc một trong những sai lầm phổ biến nhất khi tính xác suất: ông kết hợp hai kết quả cơ bản thành một, do đó làm cho xác suất của nó không bằng với các kết quả còn lại của thí nghiệm.
CƠ SỞ GIÁO DỤC THÀNH PHỐ
SÂN TẬP SỐ 6
về chủ đề “Định nghĩa cổ điển về xác suất”.
Hoàn thành bởi học sinh lớp 8 “B”
Klimantova Alexandra.
Giáo viên toán: Videnkina V. A.
Voronezh, 2008
Nhiều trò chơi sử dụng xúc xắc. Khối lập phương có 6 mặt, mỗi mặt có số chấm khác nhau được đánh dấu trên đó, từ 1 đến 6. Người chơi tung xúc xắc và xem có bao nhiêu chấm ở mặt bị rơi (ở mặt nằm trên cùng) . Rất thường xuyên, các điểm trên mặt khối lập phương được thay thế bằng số tương ứng và sau đó họ nói về việc lăn số 1, 2 hoặc 6. Việc ném khối lập phương có thể được coi là một thí nghiệm, một thí nghiệm, một phép thử và kết quả thu được là kết quả của một bài kiểm tra hoặc một sự kiện cơ bản. Mọi người quan tâm đến việc đoán sự xuất hiện của sự kiện này hay sự kiện kia và dự đoán kết quả của nó. Họ có thể đưa ra dự đoán gì khi tung xúc xắc? Ví dụ:
1) sự kiện A - số 1, 2, 3, 4, 5 hoặc 6 được tung ra;
2) sự kiện B - số 7, 8 hoặc 9 xuất hiện;
3) sự kiện C - số 1 xuất hiện.
Sự kiện A được dự đoán trong trường hợp đầu tiên chắc chắn sẽ xảy ra. Nói chung, một sự kiện chắc chắn xảy ra trong một trải nghiệm nhất định được gọi là sự kiện đáng tin cậy .
Sự kiện B, được dự đoán trong trường hợp thứ hai, sẽ không bao giờ xảy ra, điều đó đơn giản là không thể xảy ra. Nói chung, một sự kiện không thể xảy ra trong một trải nghiệm nhất định được gọi là sự kiện không thể .
Và liệu sự kiện C dự đoán trong trường hợp thứ ba có xảy ra hay không? Chúng ta không thể trả lời câu hỏi này một cách hoàn toàn chắc chắn, vì 1 có thể sai hoặc không. Một sự kiện có thể xảy ra hoặc không thể xảy ra trong một trải nghiệm nhất định được gọi là sự kiện ngẫu nhiên .
Khi nghĩ về sự xuất hiện của một sự kiện đáng tin cậy, rất có thể chúng ta sẽ không sử dụng từ “có lẽ”. Ví dụ: nếu hôm nay là thứ Tư thì ngày mai là thứ Năm, đây là một sự kiện đáng tin cậy. Vào thứ Tư, chúng ta sẽ không nói: “Có lẽ ngày mai là thứ Năm”, chúng ta sẽ nói ngắn gọn và rõ ràng: “Ngày mai là thứ Năm”. Đúng vậy, nếu chúng ta thiên về những cụm từ đẹp đẽ, chúng ta có thể nói thế này: “Với xác suất một trăm phần trăm, tôi nói rằng ngày mai là thứ Năm.” Ngược lại, nếu hôm nay là thứ Tư thì việc bắt đầu thứ Sáu vào ngày mai là một sự kiện không thể xảy ra. Đánh giá sự kiện này vào thứ Tư, chúng ta có thể nói thế này: “Tôi chắc chắn rằng ngày mai không phải là thứ Sáu”. Hoặc thế này: “Thật không thể tin được ngày mai lại là thứ Sáu”. Chà, nếu chúng ta thiên về những cụm từ hay, chúng ta có thể nói thế này: "Xác suất ngày mai là thứ Sáu là bằng không." Vì vậy, một sự kiện đáng tin cậy là một sự kiện xảy ra trong những điều kiện nhất định với xác suất một trăm phần trăm(tức là xảy ra ở 10 trường hợp trên 10 trường hợp, 100 trường hợp trên 100 trường hợp, v.v.). Biến cố không thể xảy ra là biến cố không bao giờ xảy ra trong những điều kiện nhất định, biến cố với xác suất bằng không .
Nhưng thật không may (và có lẽ may mắn thay), không phải mọi thứ trong cuộc sống đều rõ ràng và chính xác như vậy: nó sẽ luôn như vậy (sự kiện nhất định), nó sẽ không bao giờ như vậy (sự kiện không thể xảy ra). Thông thường chúng ta phải đối mặt với những sự kiện ngẫu nhiên, một số trong đó có nhiều khả năng xảy ra hơn, những sự kiện khác ít có khả năng xảy ra hơn. Thông thường, mọi người sử dụng những từ “có nhiều khả năng hơn” hoặc “ít có khả năng xảy ra hơn”, như họ nói, theo ý thích bất chợt, dựa vào những gì được gọi là lẽ thường. Nhưng những ước tính như vậy thường không đủ vì điều quan trọng là phải biết trong bao lâu phần trăm có thể là một sự kiện ngẫu nhiên hoặc bao nhiêu lần một sự kiện ngẫu nhiên có nhiều khả năng xảy ra hơn một sự kiện ngẫu nhiên khác. Nói cách khác, chúng ta cần chính xác định lượngđặc điểm, bạn cần có khả năng mô tả xác suất bằng một con số.
Chúng tôi đã thực hiện những bước đầu tiên theo hướng này. Chúng ta đã nói rằng xác suất xảy ra một sự kiện nào đó được mô tả là một trăm phần trăm và xác suất để xảy ra một sự kiện không thể xảy ra là không. Cho rằng 100% bằng 1, mọi người đồng ý như sau:
1) xác suất của một sự kiện đáng tin cậy được coi là bằng nhau 1;
2) xác suất của một sự kiện không thể được coi là bằng nhau 0.
Làm thế nào để tính xác suất của một sự kiện ngẫu nhiên? Rốt cuộc thì chuyện đó đã xảy ra vô tình, có nghĩa là nó không tuân theo luật, thuật toán hoặc công thức. Hóa ra là trong thế giới ngẫu nhiên có một số luật nhất định được áp dụng cho phép người ta tính toán xác suất. Đây là nhánh của toán học được gọi là - lý thuyết xác suất .
Toán học đề cập đến người mẫu hiện tượng nào đó của thực tế xung quanh chúng ta. Trong số tất cả các mô hình được sử dụng trong lý thuyết xác suất, chúng ta sẽ giới hạn ở những mô hình đơn giản nhất.
Sơ đồ xác suất cổ điển
Để tìm xác suất của sự kiện A khi tiến hành một số thí nghiệm, bạn nên:
1) tìm số N của tất cả các kết quả có thể xảy ra của thí nghiệm này;
2) chấp nhận giả định về xác suất như nhau (khả năng như nhau) của tất cả các kết quả này;
3) tìm số N(A) của các kết quả thử nghiệm trong đó sự kiện A xảy ra;
4) tìm thương số ; nó sẽ bằng xác suất của biến cố A.
Người ta thường biểu thị xác suất của sự kiện A: P(A). Lời giải thích cho cách gọi này rất đơn giản: từ “xác suất” trong tiếng Pháp là có thể xảy ra, bằng tiếng Anh– xác suất.Việc chỉ định sử dụng chữ cái đầu tiên của từ.
Sử dụng ký hiệu này, có thể tìm thấy xác suất của sự kiện A theo sơ đồ cổ điển bằng công thức
P(A)=.
Thông thường tất cả các điểm của sơ đồ xác suất cổ điển ở trên được thể hiện bằng một cụm từ khá dài.
Định nghĩa cổ điển về xác suất
Xác suất của sự kiện A trong một thử nghiệm nhất định là tỷ lệ giữa số kết quả do sự kiện A xảy ra với tổng số tất cả các kết quả có thể xảy ra như nhau của thử nghiệm này.
Ví dụ 1. Tìm xác suất để sau một lần ném xúc xắc, kết quả sẽ là: a) 4; b) 5; c) số điểm chẵn; d) số điểm lớn hơn 4; e) số điểm không chia hết cho ba.
Giải pháp. Tổng cộng có N=6 kết quả có thể xảy ra: rơi ra khỏi một mặt lập phương có số điểm bằng 1, 2, 3, 4, 5 hoặc 6. Chúng tôi tin rằng không có kết quả nào có lợi thế hơn những điểm còn lại, tức là chúng tôi chấp nhận giả định rằng khả năng trang bị của những kết quả này.
a) Trong một trong các kết quả chính xác, sự kiện A mà chúng ta quan tâm sẽ xảy ra—số 4 sẽ xuất hiện. Điều này có nghĩa là N(A)=1 và.
P ( MỘT )= =.
b) Cách giải và đáp án giống như đoạn trước.
c) Sự kiện B mà chúng ta quan tâm sẽ xảy ra trong đúng ba trường hợp khi số điểm là 2, 4 hoặc 6. Điều này có nghĩa là
N ( B )=3 và P ( B )==.
d) Biến cố C mà chúng ta quan tâm sẽ xảy ra trong đúng hai trường hợp khi số điểm là 5 hoặc 6. Điều này có nghĩa là
N ( C ) =2 và Р(С)=.
e) Trong sáu số có thể rút ra, bốn (1, 2, 4 và 5) không phải là bội số của ba và hai số còn lại (3 và 6) chia hết cho ba. Điều này có nghĩa là sự kiện mà chúng ta quan tâm xảy ra ở đúng bốn trong số sáu kết quả có thể xảy ra và có xác suất ngang nhau và có xác suất ngang nhau của thí nghiệm. Vì vậy, câu trả lời hóa ra là
.; b) ; V) ; G); đ).
Một con xúc xắc thật có thể khác với một khối (mô hình) lý tưởng, do đó, để mô tả hành vi của nó, cần có một mô hình chi tiết và chính xác hơn, có tính đến ưu điểm của mặt này so với mặt kia, sự hiện diện có thể có của nam châm, v.v. “ma quỷ nằm ở chi tiết,” và độ chính xác cao hơn có xu hướng dẫn đến độ phức tạp cao hơn và việc nhận được câu trả lời trở thành một vấn đề. Chúng tôi giới hạn việc xem xét mô hình xác suất đơn giản nhất, trong đó tất cả các kết quả có thể xảy ra đều có khả năng xảy ra như nhau. Lưu ý 1
. Hãy xem một ví dụ khác. Câu hỏi được đặt ra: “Xác suất nhận được xúc xắc ba trên một là bao nhiêu?” Học sinh trả lời: “Xác suất là 0,5”. Và anh ấy giải thích câu trả lời của mình: “Ba sẽ lên hoặc không. Điều này có nghĩa là có tổng cộng hai kết quả và đúng một trong số đó xảy ra sự kiện mà chúng ta quan tâm. Sử dụng sơ đồ xác suất cổ điển, chúng ta nhận được câu trả lời là 0,5.” Có sai sót nào trong cách lập luận này không? Thoạt nhìn thì không. Tuy nhiên, nó vẫn tồn tại, và một cách cơ bản. Đúng, thực sự, số ba sẽ xuất hiện hoặc không, tức là với việc xác định kết quả của lần tung N=2. Điều N(A) = 1 cũng đúng và tất nhiên cũng đúng= 0,5, tức là ba điểm của sơ đồ xác suất đã được tính đến, nhưng việc thực hiện điểm 2) vẫn còn nghi ngờ. Tất nhiên, từ quan điểm pháp lý thuần túy, chúng ta có quyền tin rằng việc lăn số ba có khả năng không rơi như nhau. Nhưng liệu chúng ta có thể nghĩ như vậy mà không vi phạm các giả định tự nhiên của mình về sự “giống nhau” của các cạnh không? Tất nhiên là không! Ở đây chúng ta đang giải quyết vấn đề lý luận chính xác trong một mô hình nhất định. Chỉ có bản thân mô hình này là “sai”, không tương ứng với hiện tượng thực tế. Lưu ý 2
. Khi thảo luận về xác suất, đừng bỏ qua tình huống quan trọng sau đây. Nếu chúng ta nói rằng khi ném một con súc sắc, xác suất để có được một điểm làChúng ta hãy xem định nghĩa cổ điển về xác suất bằng cách sử dụng các công thức và ví dụ.
Sự kiện ngẫu nhiên được gọi là không tương thích, nếu chúng không thể xảy ra đồng thời. Ví dụ: khi chúng ta tung một đồng xu, một thứ sẽ xuất hiện - "huy hiệu" hoặc một con số" và chúng không thể xuất hiện cùng một lúc, vì theo logic thì điều này là không thể. Các sự kiện như bắn trúng và trượt sau khi bắn có thể không tương thích.
Sự kiện ngẫu nhiên của một tập hữu hạn nhóm đầy đủ các sự kiện không tương thích theo cặp, nếu trong mỗi lần thử nghiệm có một sự kiện và chỉ một trong những sự kiện này xuất hiện - những sự kiện duy nhất có thể xảy ra.
Hãy xem ví dụ tương tự về việc tung đồng xu:
Đồng xu đầu tiên Đồng xu thứ hai Sự kiện
1) “huy hiệu” “huy hiệu”
2) “huy hiệu” “số”
3) “số” “huy hiệu”
4) “số” “số”
Hoặc viết tắt là “GG”, - “GC”, - “CHG”, - “CHCH”.
Các sự kiện được gọi đều có thể, nếu các điều kiện nghiên cứu tạo cơ hội như nhau cho mỗi chúng xuất hiện.
Như bạn đã hiểu, khi bạn tung một đồng xu đối xứng, thì khả năng xảy ra là như nhau và có khả năng cả “huy hiệu” và “con số” sẽ xuất hiện. Điều tương tự cũng áp dụng cho việc tung một con súc sắc đối xứng, vì có khả năng xuất hiện các mặt có số 1, 2, 3, 4, 5, 6 bất kỳ.
Giả sử bây giờ chúng ta ném khối lập phương có trọng tâm dịch chuyển, chẳng hạn như về phía có số 1, thì thông thường phía đối diện sẽ rơi ra ngoài, tức là phía có số khác. Như vậy, trong mô hình này, khả năng xuất hiện của mỗi số từ 1 đến 6 sẽ khác nhau.
Các sự kiện ngẫu nhiên có thể xảy ra như nhau và duy nhất có thể xảy ra được gọi là trường hợp.
Có những sự kiện ngẫu nhiên là trường hợp và có những sự kiện ngẫu nhiên không phải là trường hợp. Dưới đây chúng ta sẽ xem xét những sự kiện này bằng cách sử dụng các ví dụ.
Những trường hợp do sự kiện ngẫu nhiên xảy ra được gọi là trường hợp thuận lợi cho sự kiện đó.
Nếu chúng ta biểu thị bằng , ảnh hưởng đến một sự kiện trong mọi trường hợp có thể xảy ra và bằng - xác suất của một sự kiện ngẫu nhiên, thì chúng ta có thể viết định nghĩa cổ điển nổi tiếng về xác suất:
Sự định nghĩa
Xác suất của một sự kiện là tỷ lệ giữa số trường hợp thuận lợi cho sự kiện này trên tổng số tất cả các trường hợp có thể xảy ra, nghĩa là:
Tính chất của xác suất
Xác suất cổ điển đã được xem xét, bây giờ chúng ta hãy xem xét các tính chất cơ bản và quan trọng của xác suất.
Tài sản 1. Xác suất của một sự kiện đáng tin cậy là bằng một.
Ví dụ: nếu tất cả các quả bóng trong một thùng đều có màu trắng thì sự kiện chọn ngẫu nhiên một quả bóng màu trắng sẽ bị ảnh hưởng bởi các trường hợp, .
Tài sản 2. Xác suất của một sự kiện không thể xảy ra là bằng không.
Tài sản 3. Xác suất của một sự kiện ngẫu nhiên là một số dương:
Điều này có nghĩa là xác suất của bất kỳ sự kiện nào đều thỏa mãn bất đẳng thức:
Bây giờ hãy giải một số ví dụ sử dụng định nghĩa cổ điển về xác suất.
Ví dụ về định nghĩa cổ điển của xác suất
Ví dụ 1
Nhiệm vụ
Có 20 quả bóng trong một rổ, trong đó có 10 quả trắng, 7 quả đỏ và 3 quả đen. Một quả bóng được chọn ngẫu nhiên. Một quả bóng trắng (sự kiện), một quả bóng đỏ (sự kiện) và một quả bóng đen (sự kiện) được chọn. Tìm xác suất của các sự kiện ngẫu nhiên.
Giải pháp
Theo điều kiện của bài toán, chúng đóng góp vào , và từ các trường hợp có thể xảy ra, do đó, theo công thức (1):
– xác suất để có bi trắng.
Tương tự với màu đỏ:
Và đối với màu đen: .
Trả lời
Xác suất của một sự kiện ngẫu nhiên , , .
Ví dụ 2
Nhiệm vụ
Một hộp chứa 25 chiếc đèn điện giống hệt nhau, trong đó có 2 chiếc bị hỏng. Tìm xác suất để một bóng đèn điện được chọn ngẫu nhiên không bị hỏng.
Giải pháp
Theo điều kiện của bài toán, tất cả các đèn đều giống nhau và chỉ chọn một đèn. Tổng số khả năng để lựa chọn. Trong số 25 đèn, có 2 đèn bị lỗi, nghĩa là những đèn còn lại phù hợp. Do đó, theo công thức (1), xác suất chọn được đèn điện phù hợp (sự kiện ) bằng:
Trả lời
Xác suất để một bóng đèn điện được chọn ngẫu nhiên không bị hỏng = .
Ví dụ 3
Nhiệm vụ
Hai đồng xu được tung ngẫu nhiên. Tìm xác suất của những sự kiện như vậy:
1) – có hình huy hiệu trên cả hai đồng xu;
2) – trên một đồng xu có hình huy hiệu, và trên đồng xu thứ hai – một con số;
3) – số rơi trên cả hai đồng xu;
4) – quốc huy xuất hiện ít nhất một lần.
Giải pháp
Ở đây chúng ta đang giải quyết bốn sự kiện. Chúng ta hãy thiết lập những trường hợp nào đóng góp cho mỗi trường hợp đó. Một sự cố góp phần tạo nên sự kiện này là khi huy hiệu (viết tắt “GG”) xuất hiện trên cả hai đồng xu.
Để hiểu sự kiện này, hãy tưởng tượng rằng một đồng xu là bạc và đồng xu thứ hai là đồng. Khi tung đồng xu có thể xảy ra các trường hợp:
1) trên quốc huy màu bạc, trên quốc huy đồng - một con số (ký hiệu là “GC”);
2) trên số bạc, trên đồng - quốc huy (- “CHG”).
Điều này có nghĩa là sự kiện được tạo điều kiện thuận lợi bởi các trường hợp và .
Sự kiện này được tạo điều kiện thuận lợi bởi một sự cố: các con số trên cả hai đồng xu đều là “HH”.
Do đó, các sự kiện hoặc (GG, HC, CG, HC) tạo thành một nhóm sự kiện hoàn chỉnh, tất cả các sự kiện này đều không tương thích với nhau, vì chỉ một trong số chúng xảy ra do việc tung đồng xu. Ngoài ra, đối với đồng tiền đối xứng, cả bốn sự kiện đều có thể xảy ra như nhau nên chúng có thể được coi là các trường hợp. Có bốn sự kiện có thể xảy ra.
Chỉ có một sự kiện góp phần vào sự kiện đó nên xác suất của nó là:
Sự kiện này được thúc đẩy bởi hai trường hợp, do đó:
Xác suất của sự kiện này giống như đối với:
Sự kiện được quảng bá bởi ba trường hợp: GG, GC, CG và do đó:
Vì các sự kiện GG, GC, CG, BC được xem xét đều có khả năng xảy ra như nhau và tạo thành một nhóm sự kiện hoàn chỉnh, nên việc xảy ra bất kỳ sự kiện nào trong số chúng là sự kiện đáng tin cậy (chúng ta biểu thị nó bằng chữ cái, được đóng góp bởi cả 4 Do đó, xác suất:
Điều này có nghĩa là thuộc tính đầu tiên của xác suất được xác nhận.
Trả lời
Xác suất của một sự kiện.
Xác suất của một sự kiện.
Xác suất của một sự kiện.
Xác suất của một sự kiện.
Ví dụ 4
Nhiệm vụ
Hai con xúc xắc có hình dạng hình học giống nhau và đều đặn được ném ra. Tìm xác suất để xuất hiện tất cả các tổng có thể có ở cả hai vế.
Giải pháp
Để giải quyết vấn đề thuận tiện hơn, hãy tưởng tượng rằng một khối màu trắng và khối thứ hai màu đen. Mỗi mặt trong số sáu mặt của xúc sắc trắng cũng có thể có một trong sáu mặt của xúc xắc đen, vì vậy tất cả các cặp có thể có sẽ là .
Vì khả năng xuất hiện các mặt trên một khối lập phương riêng biệt là như nhau (các khối có hình dạng hình học chính xác!), nên khả năng xuất hiện của mỗi cặp mặt sẽ như nhau, và do việc tung, chỉ một trong các cặp xuất hiện. Ý nghĩa của sự kiện là không tương thích, có thể thống nhất được. Đây là những trường hợp, và có 36 trường hợp có thể xảy ra.
Bây giờ hãy xem xét khả năng tính tổng các giá trị trên các mặt. Rõ ràng, tổng nhỏ nhất là 1 + 1 = 2 và lớn nhất là 6 + 6 = 12. Phần còn lại của tổng tăng thêm một, bắt đầu từ phần thứ hai. Chúng ta hãy biểu thị các sự kiện có chỉ số bằng tổng số điểm rơi trên các mặt của hình khối. Đối với mỗi sự kiện này, chúng tôi viết ra các trường hợp thuận lợi bằng cách sử dụng ký hiệu , trong đó là tổng, là số điểm ở cạnh trên của khối trắng và là số điểm trên cạnh của khối đen.
Vì vậy, đối với sự kiện:
cho – một trường hợp (1 + 1);
cho – hai trường hợp (1 + 2; 2 + 1);
for – ba trường hợp (1 + 3; 2 + 2; 3 + 1);
cho – bốn trường hợp (1 + 4; 2 + 3; 3 + 2; 4 + 1);
cho – năm trường hợp (1 + 5; 2 + 4; 3 + 3; 4 + 2; 5 + 1);
cho – sáu trường hợp (1 + 6; 2 + 5; 3 + 4; 4 + 3; 5 + 2; 6 + 1);
for – năm trường hợp (2 + 6; 3 + 5; 4 + 4; 5 + 3; 6 + 2);
for – bốn trường hợp (3 + 6; 4 + 5; 5 + 4; 6 + 3);
for – ba trường hợp (4 + 6; 5 + 5; 6 + 4);
cho – hai trường hợp (5 + 6; 6 + 5);
cho – một trường hợp (6 + 6).
Do đó các giá trị xác suất là:
Trả lời
Ví dụ 5
Nhiệm vụ
Trước lễ hội, ba người tham gia được yêu cầu rút thăm: mỗi người tham gia lần lượt đến gần thùng và chọn ngẫu nhiên một trong ba thẻ có số 1, 2 và 3, nghĩa là số thứ tự phần trình diễn của người tham gia này.
Tìm xác suất của những sự kiện như vậy:
1) – số thứ tự trong hàng trùng với số thẻ, tức là số thứ tự của tiết mục;
2) – không một số nào trong hàng đợi khớp với số hiệu suất;
3) – chỉ một trong các số trong hàng khớp với số hiệu suất;
4) – ít nhất một trong các số trong hàng khớp với số hiệu suất.
Giải pháp
Kết quả có thể xảy ra của việc chọn thẻ là các hoán vị của ba phần tử, số hoán vị đó bằng nhau. Mỗi hoán vị là một sự kiện. Chúng ta hãy biểu thị những sự kiện này bằng . Chúng tôi gán cho mỗi sự kiện hoán vị tương ứng trong ngoặc đơn:
; ; ; ; ; .
Các sự kiện được liệt kê đều có thể xảy ra như nhau và có thể xảy ra duy nhất, tức là đây là những trường hợp. Chúng ta hãy ký hiệu nó như sau: (1h, 2h, 3h) – các số tương ứng trong hàng đợi.
Hãy bắt đầu với sự kiện này. Do đó chỉ có một trường hợp thuận lợi:
Có hai trường hợp thuận lợi cho sự kiện này và do đó:
Sự kiện được quảng bá bởi 3 trường hợp: , do đó:
Ngoài ra, sự kiện còn được hỗ trợ bởi , đó là:
Trả lời
Xác suất của sự kiện – .
Xác suất của sự kiện – .
Xác suất của sự kiện – cập nhật: 15/09/2017 bởi: Bài báo khoa học.Ru
Các vấn đề về việc xác định xác suất cổ điển.
Ví dụ về giải pháp
Trong bài học thứ ba, chúng ta sẽ xem xét các vấn đề khác nhau liên quan đến việc áp dụng trực tiếp định nghĩa cổ điển về xác suất. Để nghiên cứu hiệu quả các tài liệu trong bài viết này, tôi khuyên bạn nên làm quen với các khái niệm cơ bản lý thuyết xác suất Và cơ bản về tổ hợp. Nhiệm vụ xác định xác suất theo cách cổ điển với xác suất có xu hướng bằng một sẽ xuất hiện trong công việc độc lập/kiểm soát của bạn trên terver, vì vậy hãy sẵn sàng cho công việc nghiêm túc. Bạn có thể hỏi, điều gì nghiêm trọng đến vậy? ...chỉ một công thức nguyên thủy. Tôi cảnh báo bạn không nên phù phiếm - các nhiệm vụ theo chủ đề khá đa dạng và nhiều nhiệm vụ trong số đó có thể dễ dàng khiến bạn bối rối. Về vấn đề này, ngoài việc học qua bài chính, hãy cố gắng nghiên cứu các nhiệm vụ bổ sung về chủ đề trong con heo đất. giải pháp làm sẵn cho toán học cao hơn. Kỹ thuật giải là kỹ thuật giải, nhưng “bạn bè” vẫn “cần phải nhận biết bằng mắt”, bởi ngay cả trí tưởng tượng phong phú cũng có hạn và cũng có đủ những nhiệm vụ tiêu chuẩn. Chà, tôi sẽ cố gắng sắp xếp càng nhiều càng tốt với chất lượng tốt.
Hãy nhớ lại những tác phẩm kinh điển của thể loại này:
Xác suất của một sự kiện xảy ra trong một thử nghiệm nhất định bằng tỷ lệ , trong đó:
- tổng số của tất cả đều có thể, tiểu học kết quả của bài kiểm tra này, hình thành nhóm sự kiện đầy đủ;
- Số lượng tiểu học kết quả có lợi cho sự kiện.
Và ngay lập tức dừng lại ngay lập tức. Bạn có hiểu các thuật ngữ được gạch chân không? Điều này có nghĩa là sự hiểu biết rõ ràng, không trực quan. Nếu không, tốt hơn hết bạn nên quay lại bài viết đầu tiên về lý thuyết xác suất và chỉ sau đó mới tiếp tục.
Vui lòng không bỏ qua các ví dụ đầu tiên - trong đó tôi sẽ nhắc lại một điểm cơ bản quan trọng và cũng cho bạn biết cách định dạng chính xác giải pháp và cách thực hiện điều này:
Vấn đề 1
Một chiếc bình chứa 15 quả cầu trắng, 5 quả đỏ và 10 quả đen. Lấy ngẫu nhiên 1 viên bi, tính xác suất để viên bi đó có: a) trắng, b) đỏ, c) đen.
Giải pháp: Điều kiện tiên quyết quan trọng nhất để sử dụng định nghĩa cổ điển về xác suất là khả năng đếm tổng số kết quả.
Có tổng cộng 15 + 5 + 10 = 30 quả bóng trong bình và rõ ràng những sự thật sau đây là đúng:
– việc lấy bất kỳ quả bóng nào đều có thể thực hiện được như nhau (cơ hội bình đẳng kết quả), trong khi kết quả tiểu học và hình thức nhóm sự kiện đầy đủ (tức là, kết quả của bài kiểm tra là một trong 30 quả bóng chắc chắn sẽ bị loại bỏ).
Như vậy, tổng số kết quả:
Xét trường hợp: – Từ trong bình rút ra một quả cầu màu trắng. Sự kiện này được ưa chuộng tiểu học do đó, theo định nghĩa cổ điển: 
– xác suất để lấy được một quả bóng trắng từ bình.
Thật kỳ lạ, ngay cả trong một nhiệm vụ đơn giản như vậy, người ta vẫn có thể mắc phải sai sót nghiêm trọng, điều mà tôi đã tập trung vào trong bài viết đầu tiên về lý thuyết xác suất. Cạm bẫy ở đây là ở đâu? Lập luận ở đây là không đúng “Vì một nửa số bi trắng nên xác suất lấy được bi trắng là» . Định nghĩa cổ điển về xác suất đề cập đến TIỂU HỌC kết quả, và phân số phải được viết ra!
Tương tự, với các điểm khác, hãy xem xét các sự kiện sau:
– một quả bóng màu đỏ sẽ được rút ra từ chiếc bình;
– một quả bóng màu đen sẽ được rút ra từ chiếc bình.
Một sự kiện được ưa chuộng bởi 5 kết quả cơ bản và một sự kiện được ưa chuộng bởi 10 kết quả cơ bản. Vậy xác suất tương ứng là: 
Việc kiểm tra điển hình của nhiều tác vụ máy chủ được thực hiện bằng cách sử dụng các định lý về tổng xác suất của các sự kiện tạo thành một nhóm hoàn chỉnh. Trong trường hợp của chúng tôi, các sự kiện tạo thành một nhóm hoàn chỉnh, có nghĩa là tổng các xác suất tương ứng nhất thiết phải bằng một: .
Hãy kiểm tra xem điều này có đúng không: đó là điều tôi muốn đảm bảo.
Trả lời: 
Về nguyên tắc, câu trả lời có thể được viết ra chi tiết hơn, nhưng cá nhân tôi thường chỉ viết các con số ở đó - vì lý do là khi bạn bắt đầu “dập tắt” các vấn đề ở hàng trăm và hàng nghìn, bạn sẽ cố gắng giảm bớt việc viết các câu trả lời. giải pháp nhiều nhất có thể. Nhân tiện, về sự ngắn gọn: trong thực tế, phương án thiết kế “tốc độ cao” là phổ biến giải pháp:
Tổng cộng: 15 + 5 + 10 = 30 quả bóng trong bình. Theo định nghĩa cổ điển:
– xác suất để lấy được bi trắng từ bình;
– xác suất để lấy được bi đỏ từ bình;
– xác suất để lấy được một quả bóng đen từ bình.
Trả lời: 
Tuy nhiên, nếu có một số điểm trong điều kiện, thì việc xây dựng giải pháp theo cách đầu tiên thường sẽ thuận tiện hơn, việc này tốn nhiều thời gian hơn một chút nhưng đồng thời “sắp xếp mọi thứ lên kệ” và khiến mọi việc trở nên dễ dàng hơn. để điều hướng vấn đề.
Hãy khởi động nào:
Vấn đề 2
Cửa hàng đã nhận được 30 chiếc tủ lạnh, 5 chiếc trong số đó bị lỗi sản xuất. Chọn ngẫu nhiên một tủ lạnh. Xác suất để nó không có khiếm khuyết là bao nhiêu?
Chọn tùy chọn thiết kế phù hợp và kiểm tra mẫu ở cuối trang.
Trong những ví dụ đơn giản nhất, số lượng điểm chung và số lượng kết quả thuận lợi nằm trên bề mặt, nhưng trong hầu hết các trường hợp, bạn phải tự mình đào củ khoai tây lên. Một loạt các vấn đề kinh điển về một người đăng ký hay quên:
Vấn đề 3
Khi bấm số điện thoại, thuê bao quên hai chữ số cuối mà nhớ rằng một số là 0 và một là số lẻ. Tìm xác suất để người đó quay đúng số.
Ghi chú : 0 là số chẵn (chia hết cho 2 không có số dư)
Giải pháp: Đầu tiên chúng ta tìm tổng số kết quả. Theo điều kiện, thuê bao nhớ rằng một trong các chữ số là 0 và chữ số còn lại là số lẻ. Ở đây sẽ hợp lý hơn nếu không phức tạp với tổ hợp và sử dụng phương pháp liệt kê trực tiếp kết quả
. Nghĩa là, khi đưa ra giải pháp, chúng ta chỉ cần viết ra tất cả các kết hợp:
01, 03, 05, 07, 09
10, 30, 50, 70, 90
Và chúng tôi đếm chúng - tổng cộng: 10 kết quả.
Chỉ có một kết quả thuận lợi duy nhất: con số chính xác.
Theo định nghĩa cổ điển:
– xác suất thuê bao quay đúng số
Trả lời: 0,1
Phân số thập phân trông khá phù hợp trong lý thuyết xác suất, nhưng bạn cũng có thể tuân theo phong cách Vyshmatov truyền thống, chỉ hoạt động với phân số thông thường.
Nhiệm vụ nâng cao cho giải pháp độc lập:
Vấn đề 4
Thuê bao đã quên mã PIN cho thẻ SIM của mình nhưng nhớ rằng trong đó có ba số “năm” và một trong các số đó là “bảy” hoặc “tám”. Xác suất ủy quyền thành công trong lần thử đầu tiên là bao nhiêu?
Tại đây, bạn cũng có thể phát triển ý tưởng về khả năng người đăng ký sẽ phải đối mặt với hình phạt dưới dạng mã puk, nhưng thật không may, lý do sẽ vượt quá phạm vi của bài học này
Giải pháp và câu trả lời dưới đây.
Đôi khi việc liệt kê các kết hợp hóa ra lại là một công việc rất khó khăn. Đặc biệt, đây là trường hợp của nhóm bài toán tiếp theo, không kém phần phổ biến, khi tung 2 viên xúc xắc. (ít thường xuyên hơn - số lượng lớn hơn):
Vấn đề 5
Tính xác suất để khi ném 2 viên xúc xắc tổng số điểm sẽ là:
a) năm điểm;
b) không quá bốn điểm;
c) Bao gồm từ 3 đến 9 điểm.
Giải pháp: tìm tổng số kết quả:
Các cách mà mặt của xúc xắc thứ 1 có thể rơi ra Và theo những cách khác nhau, cạnh của khối lập phương thứ 2 có thể rơi ra ngoài; Qua quy tắc nhân các tổ hợp, tổng cộng: 
sự kết hợp có thể. Nói cách khác, mỗi mặt của khối lập phương thứ nhất có thể là ra lệnh một cặp vợ chồng với mỗi cạnh của hình lập phương thứ 2. Chúng ta thống nhất viết một cặp như vậy dưới dạng , số nào đổ được ở xúc xắc thứ nhất, là số đổ được ở xúc xắc thứ 2. Ví dụ:
– Xúc xắc thứ nhất ghi được 3 điểm, xúc xắc thứ hai ghi được 5 điểm, tổng điểm: 3 + 5 = 8;
– Xúc xắc thứ nhất ghi được 6 điểm, xúc xắc thứ hai ghi được 1 điểm, tổng điểm: 6 + 1 = 7;
– 2 điểm tung trên cả 2 viên xúc xắc, tổng: 2 + 2 = 4.
Rõ ràng, số tiền nhỏ nhất được tính bằng một cặp và số tiền lớn nhất là hai số sáu.
a) Xét sự kiện: – khi ném hai viên xúc xắc sẽ xuất hiện 5 điểm. Hãy viết ra và đếm số kết quả có lợi cho sự kiện này:
Tổng số: 4 kết quả thuận lợi. Theo định nghĩa cổ điển:
– xác suất mong muốn.
b) Xét sự kiện: – không được nhiều hơn 4 điểm. Tức là 2, 3 hoặc 4 điểm. Một lần nữa chúng ta liệt kê và đếm các kết hợp thuận lợi, ở bên trái tôi sẽ ghi tổng số điểm và sau dấu hai chấm - các cặp phù hợp: 
Tổng cộng: 6 sự kết hợp thuận lợi. Như vậy:
– xác suất không quá 4 điểm sẽ được tung ra.
c) Xét sự kiện: – Sẽ có tổng cộng 3 đến 9 điểm. Ở đây bạn có thể đi đường thẳng, nhưng... vì lý do nào đó mà bạn không muốn. Đúng, một số cặp đã được liệt kê trong các đoạn trước, nhưng vẫn còn rất nhiều việc phải làm.
Cách tốt nhất để tiếp tục là gì? Trong những trường hợp như vậy, đường vòng trở nên hợp lý. Hãy xem xét sự kiện ngược lại: – 2 hoặc 10 hoặc 11 hoặc 12 điểm sẽ được tung ra.
Vấn đề là gì? Sự kiện ngược lại được ưa chuộng bởi số lượng cặp đôi nhỏ hơn đáng kể: 
Tổng số: 7 kết quả thuận lợi.
Theo định nghĩa cổ điển:
– xác suất bạn sẽ đạt được ít hơn ba hoặc nhiều hơn 9 điểm.
Ngoài việc liệt kê trực tiếp và đếm kết quả, nhiều công thức tổ hợp. Và một lần nữa một vấn đề hoành tráng về thang máy:
Vấn đề 7
3 người bước vào thang máy của tòa nhà 20 tầng ở tầng 1. Và đi thôi. Tìm xác suất để:
a) họ sẽ thoát ra ở các tầng khác nhau
b) hai người sẽ thoát ra ở cùng một tầng;
c) mọi người sẽ xuống cùng một tầng.
Bài học thú vị của chúng ta đã kết thúc, và cuối cùng, tôi một lần nữa khuyên bạn rằng nếu không giải quyết được thì ít nhất hãy tìm ra cách giải quyết. các vấn đề bổ sung về việc xác định xác suất cổ điển. Như tôi đã lưu ý, “đệm tay” cũng quan trọng!
Hơn nữa dọc theo khóa học - Định nghĩa hình học của xác suất Và Định lý cộng và nhân xác suất và... may mắn là điều chính!
Giải pháp và câu trả lời:
Nhiệm vụ 2: Giải pháp: 30 – 5 = 25 tủ lạnh không có khuyết tật.
– xác suất để một tủ lạnh được chọn ngẫu nhiên không có khuyết tật.
Trả lời
:
Nhiệm vụ 4: Giải pháp: tìm tổng số kết quả:
những cách bạn có thể chọn nơi đặt số đáng ngờ và trên mọi Trong 4 vị trí này có thể xác định được 2 chữ số (bảy hoặc tám). Theo quy tắc nhân các tổ hợp thì tổng số kết quả là: 
.
Ngoài ra, giải pháp có thể chỉ cần liệt kê tất cả các kết quả (may mắn là có rất ít trong số đó):
7555, 8555, 5755, 5855, 5575, 5585, 5557, 5558
Chỉ có một kết quả thuận lợi (mã pin đúng).
Như vậy, theo định nghĩa cổ điển:
– xác suất người đăng ký đăng nhập vào lần thử đầu tiên
Trả lời
:
Nhiệm vụ 6: Giải pháp: tìm tổng số kết quả:
số trên 2 viên xúc xắc có thể xuất hiện theo nhiều cách khác nhau.
a) Xét sự kiện: – Khi ném hai viên xúc xắc, tích số điểm sẽ bằng bảy. Không có kết quả thuận lợi cho một sự kiện nhất định, theo định nghĩa cổ điển về xác suất:
, tức là sự kiện này là không thể.
b) Xét sự kiện: – khi ném hai viên xúc xắc, tổng số điểm sẽ ít nhất là 20. Các kết quả sau đây thuận lợi cho sự kiện này:
Tổng số: 8
Theo định nghĩa cổ điển:
– xác suất mong muốn.
c) Xét các biến cố ngược lại:
– tích của các điểm sẽ bằng nhau;
– tích của các điểm sẽ là số lẻ.
Hãy liệt kê tất cả các kết quả có lợi cho sự kiện:
Tổng số: 9 kết quả thuận lợi.
Theo định nghĩa cổ điển về xác suất: 
Các sự kiện đối lập tạo thành một nhóm hoàn chỉnh, do đó:
– xác suất mong muốn.
Trả lời
: 
Vấn đề 8: Giải pháp: hãy tính tổng số kết quả: 
10 đồng xu có thể rơi theo nhiều cách khác nhau.
Một cách khác: những cách mà đồng xu thứ nhất có thể rơi Và cách đồng xu thứ 2 có thể rơi Và … Và cách đồng xu thứ 10 có thể rơi Theo quy luật nhân tổ hợp thì 10 đồng xu có thể rơi 
cách.
a) Xét sự kiện: – mặt ngửa sẽ xuất hiện trên tất cả các đồng xu. Sự kiện này được ưa chuộng bởi một kết quả duy nhất, theo định nghĩa cổ điển về xác suất: .
b) Xét sự kiện: – 9 đồng xu sẽ ra mặt ngửa và một đồng xu sẽ ra mặt sấp.
Có những đồng xu có thể rơi trúng đầu. Theo định nghĩa cổ điển về xác suất: 
.
c) Xét sự kiện: – mặt ngửa sẽ xuất hiện trên một nửa số xu.
tồn tại 
sự kết hợp độc đáo của năm đồng xu có thể hạ cánh. Theo định nghĩa cổ điển về xác suất: 
Trả lời
: