Cho vectơ ( X , Tại , z ).
Hãy biểu thị góc nghiêng của vectơ này với trục ồ, ồ Và Oz chữ cái tương ứng ,Và. Ba số vì, vì Và vì thường được gọi là cosin chỉ phương của vectơ. Tin tưởng = (1; 0; 0 ) chúng tôi có được từ (9)
Tương tự như vậy
Từ công thức (11) - (13) suy ra:
1) vì 2 +vì 2 +vì 2 = 1 ,
những thứ kia. tổng bình phương của các cosin chỉ phương của bất kỳ vectơ nào khác 0 đều bằng một;
những thứ kia.các cosin chỉ phương của vectơ này tỷ lệ với các hình chiếu tương ứng của nó.
Ghi chú. Từ các công thức (11)-(13) rõ ràng là hình chiếu của bất kỳ vectơ đơn vị nào trên trục tọa độ tương ứng trùng với các cosin chỉ phương của nó và do đó,
Ví dụ. Tìm cosin chỉ phương của một vectơ (1; 2; 2). Theo công thức (11)-(13) ta có
4. Tích vectơ của hai vectơ và các tính chất chính của nó.
Sự định nghĩa. Tích chéo của hai vectơVà một vectơ mới được gọi là mô đun của nó bằng diện tích của hình bình hành dựng trên các vectơ và quy về một gốc tọa độ chung và vuông góc với các vectơ được nhân (nói cách khác, vuông góc với mặt phẳng của hình bình hành được tạo trên chúng) và hướng theo hướng sao cho chuyển động quay ngắn nhất xung quanh vectơ thu được dường như xảy ra ngược chiều kim đồng hồ khi nhìn từ phần cuối của vectơ (Hình 40).
Nếu các vectơ thẳng hàng thì tích vectơ của chúng được coi là bằng vectơ 0. Từ định nghĩa này suy ra rằng
|| = || || tội
góc giữa các vectơ ở đâu ( 0 ). Tích chéo của các vectơ và được ký hiệu bằng ký hiệu
x hoặc hoặc [,].
Chúng ta hãy tìm hiểu ý nghĩa vật lý của tích vector. Nếu một vectơ đại diện được áp dụng tại một số điểm Bệnh đa xơ cứng phù sa và vectơ xuất phát từ một điểm nhất định VỀ chính xác M, thì vectơ = biểu thị mô men của lực đối với một điểm VỀ.
Thuộc tính của sản phẩm chéo
1 . Khi sắp xếp lại các thừa số, tích vectơ đổi dấu, tức là
x = -(x).
()x=x()=(x), một vô hướng ở đâu.
3. Sản phẩm vectơ tuân theo luật phân phối, tức là
4. Nếu tích vectơ của hai vectơ bằng vectơ 0 thì ít nhất một trong các vectơ nhân bằng vectơ 0 (trường hợp tầm thường) hoặc sin của góc giữa chúng bằng 0, tức là. các vectơ thẳng hàng.
Mặt sau, nếu hai vectơ khác 0 thẳng hàng thì tích chéo của chúng bằng vectơ 0.
Như vậy , Để hai vectơ khác 0 thẳng hàng thì điều cần và đủ là tích vectơ của chúng bằng vectơ 0.
Cụ thể từ đây, suy ra rằng tích vectơ của một vectơ với chính nó bằng vectơ 0:
x =0
(X còn được gọi là vector vuông vector .
5. Tích hỗn hợp của ba vectơ và các tính chất chính của nó.
Cho ba vectơ và, cho trước. Hãy tưởng tượng rằng một vectơ được nhân theo vectơ với một vectơ và vectơ kết quả được nhân vô hướng với một vectơ, từ đó xác định được số (x). Nó được gọi là hoặc công việc hỗn hợp ba vectơ và.
Để cho ngắn gọn, chúng ta sẽ ký hiệu tích hỗn hợp (x) hoặc ().
Hãy cùng tìm hiểu ý nghĩa hình học của sản phẩm hỗn hợp. Giả sử các vectơ đang xét không đồng phẳng. Hãy xây dựng một hình bình hành trên các vectơ và trên các cạnh.
Tích chéo x là vectơ (=) bằng diện tích hình bình hành OADB (đế của hình bình hành được xây dựng), được xây dựng trên một vectơ hướng vuông góc với mặt phẳng của hình bình hành (Hình 41).
Tích vô hướng (x) = là tích mô đun của vectơ và hình chiếu của vectơ (xem đoạn 1, (2)).
Chiều cao của hình bình hành được xây dựng là giá trị tuyệt đối của hình chiếu này.
Vì vậy, sản phẩm | |trong giá trị tuyệt đối, nó bằng tích của diện tích đáy của hình bình hành và chiều cao của nó, tức là. thể tích của một hình bình hành được xây dựng trên các vectơ và.
Điều quan trọng cần lưu ý là tích vô hướng cho thể tích của hình bình hành, đôi khi có dấu dương và đôi khi có dấu âm. Dấu dương thu được nếu góc giữa các vectơ là nhọn; tiêu cực - nếu ngu ngốc. Với một góc nhọn giữa và vectơ nằm cùng một phía của mặt phẳng OADB , là một vectơ và do đó, từ phần cuối của vectơ, phép quay từ nó sẽ được nhìn thấy giống như từ phần cuối của vectơ, tức là. theo chiều dương (ngược chiều kim đồng hồ).
Ở một góc tù giữa vectơ nằm ở phía bên kia của mặt phẳng OADB hơn vectơ, và do đó, từ điểm cuối của vectơ, phép quay từ sẽ được nhìn theo hướng âm (theo chiều kim đồng hồ). Nói cách khác, tích là dương nếu các vectơ và tạo thành một hệ thống cùng tên với Oxyz chính (nằm cùng vị trí với các trục Ox, Oy, Oz) và nó âm nếu các vectơ tạo thành một hệ thống cùng tên với tên chính.
Như vậy, sản phẩm hỗn hợp là một số,giá trị tuyệt đối của nó biểu thị thể tích của hình bình hành,được xây dựng trên vectơ,như trên sườn.
Dấu của tích là dương nếu các vectơ ,,tạo thành một hệ thống có cùng tên với hệ thống chính và âm nếu ngược lại.
Theo đó, giá trị tuyệt đối của tích =(x) sẽ không đổi, bất kể chúng ta lấy các thừa số theo thứ tự nào. Về dấu hiệu, nó sẽ dương trong một số trường hợp, âm trong những trường hợp khác; nó phụ thuộc vào việc ba vectơ của chúng ta, được lấy theo một thứ tự nhất định, có tạo thành một hệ thống có cùng tên với vectơ chính hay không. Lưu ý rằng các trục tọa độ của chúng ta được đặt sao cho chúng nối tiếp nhau ngược chiều kim đồng hồ khi nhìn vào bên trong (Hình 42). Trình tự không bị vi phạm nếu chúng ta bắt đầu truyền tải từ trục thứ hai hoặc thứ ba, miễn là nó được thực hiện theo cùng một hướng, tức là. ngược chiều kim đồng hồ. Trong trường hợp này, các yếu tố được sắp xếp lại theo cách tuần hoàn (theo chu kỳ). Vì vậy, chúng tôi có được tính chất sau:
Một sản phẩm hỗn hợp không thay đổi khi sắp xếp lại các yếu tố của nó theo vòng tròn (theo chu kỳ). Sắp xếp lại 2 yếu tố liền kề làm thay đổi dấu hiệu của sản phẩm
= ==-()=-()=-().
Cuối cùng, phát biểu sau đây trực tiếp rút ra từ ý nghĩa hình học của một sản phẩm hỗn hợp.
Điều kiện cần và đủ để các vectơ đồng phẳng,,là đẳng thức của tích hỗn hợp của chúng bằng 0:
Chắc chắn. 1.5.6. cosin định hướng vectơ MỘT hãy gọi các cosin của các góc mà vectơ này tạo thành với các vectơ cơ sở tương ứng là Tôi , j , k .
cosin chỉ phương của một vectơ MỘT = (X, Tại, z) được tìm theo công thức:
Tổng bình phương của các cosin định hướng bằng 1:
cosin chỉ phương của một vectơ Một
là tọa độ vectơ đơn vị của nó: .
Đặt các vectơ cơ sở Tôi , j , k hoãn lại từ một điểm chung VỀ. Chúng ta sẽ giả sử rằng các ort xác định hướng dương của các trục Ồ, OU, Oz. Tập hợp điểm VỀ (nguồn gốc) và cơ sở trực chuẩn Tôi , j , k gọi điện Hệ tọa độ chữ nhật Descartes trong không gian. Cho phép MỘT– một điểm tùy ý trong không gian. Vectơ MỘT = viêm khớp= x Tôi + y j + z k gọi điện vectơ bán kínhđiểm MỘT, tọa độ của vectơ này ( x, y, z) còn được gọi là tọa độ điểm MỘT(ký hiệu: MỘT(x, y, z)). Trục tọa độ Ồ, OU, Oz còn được gọi tương ứng là trục cơ hoành, trục điều hành, trục áp dụng.
Nếu một vectơ được cho bởi tọa độ điểm bắt đầu của nó TRONG 1 (x 1 , y 1 , z 1) và điểm cuối TRONG 2 (x 2 ,
y 2 , z 2), thì tọa độ của vectơ bằng hiệu giữa tọa độ điểm cuối và điểm đầu: (vì 
).
Hệ tọa độ chữ nhật Descartes trên mặt phẳng và trên đường thẳngđược xác định theo cách tương tự với những thay đổi về lượng (theo thứ nguyên) tương ứng.
Giải quyết các vấn đề điển hình.
Ví dụ 1. Tìm cosin chiều và chiều của một vectơ MỘT = 6Tôi – 2j -3k .
Giải pháp.Độ dài vectơ: 
. Cosin định hướng: 
.
Ví dụ 2. Tìm tọa độ vectơ MỘT , tạo thành các góc nhọn bằng nhau với các trục tọa độ, nếu độ dài của vectơ này bằng .
Giải pháp. Vì , rồi thế vào công thức (1.6), ta được 
. Vectơ MỘT
tạo thành các góc nhọn với trục tọa độ, do đó ort 
. Do đó ta tìm được tọa độ của vectơ 
.
Ví dụ 3. Cho ba vectơ không đồng phẳng e 1 = 2Tôi – k , e 2 = 3Tôi + 3j , e 3 = 2Tôi + 3k . Mở rộng vectơ d = Tôi + 5j - 2k theo cơ sở e 1 , e 2 , e 3 .
Tài sản:
cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1
b) định nghĩa các phép toán tuyến tính
tổng của hai vectơ không thẳng hàng là vectơ xuất phát từ gốc chung của các vectơ dọc theo đường chéo của hình bình hành dựng trên các vectơ này
Hiệu vectơ là tổng của vectơ và vectơ đối diện với vectơ: 
. Hãy nối phần đầu của các vectơ và , sau đó vectơ có hướng từ điểm cuối của vectơ đến điểm cuối của vectơ. 
Công việc một vectơ theo một số được gọi là vectơ có mô đun và tại và tại. Về mặt hình học, phép nhân với một số có nghĩa là “kéo dài” vectơ theo một thừa số, duy trì hướng tại và đổi hướng ngược lại tại .
Từ các quy tắc cộng vectơ và nhân chúng với một số ở trên, các phát biểu hiển nhiên như sau:
1. 
(phép cộng có tính chất giao hoán);
2. 
(bổ sung là kết hợp);
3. 
(sự tồn tại của vectơ 0);
4. 
(sự tồn tại của một vectơ đối diện);
5. 
(bổ sung là kết hợp);
6. (nhân với một số là phân phối);
7. 
(cộng vectơ có tính phân phối);
c) tích vô hướng và các tính chất cơ bản của nó
Sản phẩm chấm hai vectơ khác 0 là một số bằng tích độ dài của các vectơ này và cosin của góc giữa chúng. Nếu ít nhất một trong hai vectơ bằng 0 thì góc giữa chúng không được xác định và tích vô hướng được coi là bằng 0. Tích vô hướng của vectơ và được ký hiệu
, trong đó và lần lượt là độ dài của vectơ và , và là góc giữa vectơ và .
Tích vô hướng của một vectơ với chính nó được gọi là bình phương vô hướng.
Tính chất của tích vô hướng.
Đối với mọi vectơ và điều sau đây là đúng: tính chất của tích số chấm:
tính chất giao hoán của tích vô hướng;
tài sản phân phối 
hoặc 
;
bất động sản kết hợp 
hoặc 
, ở đâu là một số thực tùy ý;
bình phương vô hướng của một vectơ luôn không âm khi và chỉ khi vectơ đó bằng 0.
D) tích vectơ và các tính chất của nó
sản phẩm vector Vectơ a đến vectơ b được gọi là vectơ c, chiều dài của vectơ này bằng diện tích của hình bình hành dựng trên vectơ a và b, vuông góc với mặt phẳng của các vectơ này và có hướng sao cho phép quay nhỏ nhất từ a đến b xung quanh vectơ c ngược chiều kim đồng hồ khi nhìn từ vectơ cuối c
Công thức tính tích vectơ của vectơ
tác phẩm nghệ thuật vector hai vectơ a = (a x; a y; a z) và b = (b x; b y; b z) trong hệ tọa độ Descartes là một vectơ có giá trị được tính bằng các công thức sau:
- Tích chéo của hai vectơ a và b khác 0 bằng 0 khi và chỉ khi các vectơ thẳng hàng.
- Vector c, bằng tích chéo của các vectơ a và b khác 0, vuông góc với các vectơ này.
- a × b = -b × a
- (k a) × b = a × (k b) = k (a × b)
- (a + b) × c = a × c + b × c
Phương trình đường thẳng trên mặt phẳng
a) Phương trình đường thẳng có hệ số góc
Độ dốc của đường thẳngđược gọi là tiếp tuyến của góc nghiêng của đường này.
Độ dốc của đường thẳng thường được ký hiệu bằng chữ k. Sau đó theo định nghĩa.
Nếu đường thẳng song song với trục tọa độ thì độ dốc không tồn tại (trong trường hợp này người ta cũng nói rằng độ dốc tiến đến vô cùng).
Độ dốc dương của đường biểu thị sự gia tăng trong đồ thị của hàm, độ dốc âm biểu thị mức giảm. Phương trình đường thẳng có hệ số góc có dạng y=kx+b, trong đó k là hệ số góc của đường thẳng, b là một số thực. Sử dụng phương trình đường thẳng có hệ số góc, bạn có thể chỉ định bất kỳ đường thẳng nào không song song với trục Oy (đối với đường thẳng song song với trục tọa độ, hệ số góc không được xác định).
b) Các loại phương trình đường thẳng
phương trình 
gọi điện phương trình tổng quát của đường thẳng trên bề mặt.
Bất kỳ phương trình bậc một nào có hai biến x Và y loại , Ở đâu MỘT, TRONG Và VỚI- một số số thực và MỘT Và TRONG không bằng 0 cùng một lúc, xác định một đường thẳng trong hệ tọa độ hình chữ nhật oxy trên mặt phẳng và mọi đường thẳng trên mặt phẳng đều được cho bởi phương trình có dạng .
Phương trình đường thẳng có dạng , trong đó Một Và b– một số số thực khác 0 được gọi phương trình đường thẳng trong các đoạn. Tên này không phải ngẫu nhiên, vì giá trị tuyệt đối của các số MỘT Và b bằng độ dài các đoạn thẳng cắt trên trục tọa độ Con bò đực Và Ôi tương ứng (các đoạn được tính từ điểm gốc).
Phương trình đường thẳng có dạng , trong đó x Và y- các biến, và k Và b- một số số thực được gọi phương trình đường thẳng có độ dốc (k- dốc)
Phương trình chính tắc của đường thẳng trên mặt phẳng trong hệ tọa độ Descartes hình chữ nhật oxy giống như 
, trong đó và là một số số thực, đồng thời chúng không bằng 0.
Rõ ràng, đường thẳng được xác định bởi phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm. Lần lượt, các số và mẫu số của các phân số biểu thị tọa độ của vectơ chỉ phương của đường thẳng này. Như vậy, phương trình chính tắc của đường thẳng trong hệ tọa độ chữ nhật oxy trên mặt phẳng ứng với đường thẳng đi qua một điểm và có vectơ chỉ phương.
Phương trình tham số của đường thẳng trên mặt phẳng trông giống như 
, trong đó và là một số số thực, đồng thời không bằng 0 và là tham số nhận bất kỳ giá trị thực nào.
Phương trình đường tham số thiết lập mối quan hệ ngầm định giữa hoành độ và tọa độ của các điểm trên đường thẳng bằng cách sử dụng tham số (do đó có tên của loại phương trình đường này).
Một cặp số được tính từ các phương trình tham số của một đường thẳng với một giá trị thực nào đó của tham số biểu thị tọa độ của một điểm nhất định trên đường thẳng. Ví dụ, khi chúng ta có 
, tức là điểm có tọa độ nằm trên một đường thẳng.
Cần lưu ý rằng các hệ số và tham số trong phương trình tham số của đường thẳng đều là tọa độ vectơ chỉ phương của đường thẳng đó
Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm
Cho hai điểm M 1 (x 1, y 1, z 1) và M 2 (x 2, y 2, z 2) trong không gian thì phương trình đường thẳng đi qua các điểm đó là:
Nếu bất kỳ mẫu số nào bằng 0 thì tử số tương ứng phải bằng 0. Trên mặt phẳng, phương trình đường thẳng viết trên được đơn giản hóa:
nếu x 1 ≠ x 2 và x = x 1, nếu x 1 = x 2.
Phân số = k được gọi là dốc thẳng.
c) Tính góc giữa hai đường thẳng
nếu cho hai đường thẳng y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2 thì góc nhọn giữa các đường thẳng này sẽ được xác định là
.
Hai đường thẳng song song nếu k 1 = k 2. Hai đường thẳng vuông góc nếu k 1 = -1/ k 2.
Định lý. Các đường thẳng Ax + Bу + C = 0 và A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 song song khi các hệ số A 1 = λA, B 1 = λB tỷ lệ thuận. Nếu C 1 = λC thì các đường thẳng trùng nhau. Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng được coi là nghiệm của hệ phương trình của các đường thẳng này.
d) Điều kiện song song và vuông góc của hai đường thẳng
Điều kiện để hai đường thẳng song song:
a) Nếu các đường thẳng được cho bởi phương trình có hệ số góc thì điều kiện cần và đủ để chúng song song là các hệ số góc bằng nhau:
k 1 = k 2 .
b) Đối với trường hợp các đường thẳng được cho bởi phương trình ở dạng tổng quát (6), điều kiện cần và đủ để chúng song song là các hệ số tọa độ dòng điện tương ứng trong phương trình của chúng tỷ lệ thuận, tức là
Điều kiện vuông góc của hai đường thẳng:
a) Trong trường hợp khi các đường thẳng được cho bởi phương trình (4) có hệ số góc, điều kiện cần và đủ để chúng vuông góc là hệ số góc của chúng nghịch đảo về độ lớn và ngược dấu, tức là
Điều kiện này cũng có thể được viết dưới dạng
k 1 k 2 = -1.
b) Nếu phương trình đường thẳng ở dạng tổng quát (6) thì điều kiện vuông góc (cần và đủ) của chúng là thỏa mãn đẳng thức
MỘT 1 MỘT 2 + B 1 B 2 = 0.
Giới hạn chức năng
A) giới hạn trình tự
Khái niệm giới hạn đã được Newton sử dụng vào nửa sau thế kỷ 17 và các nhà toán học thế kỷ 18 như Euler và Lagrange, nhưng họ hiểu giới hạn bằng trực giác. Các định nghĩa chặt chẽ đầu tiên về giới hạn dãy được đưa ra bởi Bolzano năm 1816 và Cauchy năm 1821.
Số đó được gọi là giới hạn của dãy số, nếu dãy là vô cùng nhỏ, tức là tất cả các phần tử của nó, bắt đầu từ một số nhất định, đều nhỏ hơn bất kỳ số dương nào được xác định trước về giá trị tuyệt đối.
Nếu một dãy số có giới hạn ở dạng số thực thì nó được gọi là hội tụ đến con số này. Ngược lại, chuỗi được gọi khác nhau . Hơn nữa, nếu nó không giới hạn thì giới hạn của nó được coi là bằng vô cùng.
Ngoài ra, nếu tất cả các phần tử của một dãy không bị chặn, bắt đầu từ một số nhất định, có dấu dương thì giới hạn của dãy đó được gọi là cộng vô cùng .
Nếu các phần tử của một dãy không bị chặn, bắt đầu từ một số nhất định, có dấu âm, thì người ta nói rằng giới hạn của dãy đó bằng trừ vô cực .
b) giới hạn của hàm số
Giới hạn chức năng (giá trị giới hạn của hàm) tại một điểm cho trước, giới hạn cho miền định nghĩa của hàm, là giá trị mà giá trị của hàm đang xem xét hướng tới khi đối số của nó hướng tới một điểm cho trước.
Giới hạn chức năng là sự khái quát hóa khái niệm giới hạn của một dãy: ban đầu, giới hạn của hàm số tại một điểm được hiểu là giới hạn của một dãy các phần tử thuộc miền giá trị của hàm số gồm các ảnh của các điểm của một chuỗi các phần tử của miền định nghĩa của hàm hội tụ về một điểm cho trước (giới hạn tại đó được xét); nếu giới hạn đó tồn tại thì hàm được cho là hội tụ về giá trị đã chỉ định; nếu giới hạn đó không tồn tại thì hàm số được gọi là phân kỳ.
Giới hạn chức năng- một trong những khái niệm cơ bản của phân tích toán học. Giá trị được gọi giới hạn (giá trị giới hạn) của hàm tại một điểm nếu với bất kỳ chuỗi điểm nào hội tụ nhưng không chứa một trong các phần tử của nó (nghĩa là trong một lân cận bị chọc thủng), chuỗi giá trị của hàm hội tụ về .
Giá trị được gọi giới hạn (giá trị giới hạn) hoạt động tại điểm nếu với bất kỳ số dương nào được lấy trước đều có một số dương tương ứng sao cho với mọi đối số thỏa mãn điều kiện thì bất đẳng thức được thỏa mãn.
C) hai giới hạn đáng chú ý
· Giới hạn đáng chú ý đầu tiên:
Hậu quả
· 
· 
· 
· Giới hạn đáng chú ý thứ hai:
Hậu quả
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
Vì ,
6. 
D) hàm số vô cùng nhỏ và vô cùng lớn
Chức năng y=f(x) gọi điện vô cùng nhỏ Tại x→a Hoặc khi nào x→∞, nếu hoặc , tức là hàm vô cùng nhỏ là hàm có giới hạn tại một điểm cho trước bằng 0.
nếu chức năng y=f(x) có thể biểu diễn bằng x→a dưới dạng tổng của một số không đổi b và độ lớn vô hạn α(x): f (x)=b+ α(x) Cái đó .
Ngược lại, nếu , thì f (x)=b+α(x), Ở đâu cây rìu)– vô cùng nhỏ tại x→a.
Hệ quả 1. Nếu và thì.
Hệ quả 2. Nếu như c= const thì .
Nếu chức năng f(x) lớn vô cùng tại x→a, thì hàm 1 /f(x) là vô cùng nhỏ tại x→a.
Nếu chức năng f(x)- vô cùng nhỏ tại x→a(hoặc x→∞) và không biến mất, sau đó y= 1/f(x) là hàm số vô cùng lớn. Các tính chất đơn giản nhất của hàm vô cùng nhỏ và vô cùng lớn có thể được viết bằng các quan hệ điều kiện sau: MỘT≠ 0
D) công bố những điều không chắc chắn. quy tắc L'Hopital
các loại bất ổn chính: 0 chia cho 0 ( 0 đến 0), vô cực chia cho vô cực, 0 nhân vô cực, vô cực trừ vô cực, một lũy thừa vô cực, 0 lũy thừa 0, vô cực lũy thừa 0.
quy tắc L'Hopitalđược sử dụng rất rộng rãi cho tính toán giới hạn khi có độ bất định dạng 0 chia cho 0, vô cực chia cho vô cực.
Các loại độ không đảm bảo đo này bao gồm độ không đảm bảo đo bằng 0 nhân vô cực và độ không đảm bảo vô cực trừ vô cực.
Hàm if và if f(x) Và g(x) khả vi trong một lân cận của điểm thì 
Trong trường hợp độ bất định không biến mất sau khi áp dụng quy tắc L'Hopital thì có thể áp dụng lại.
Tính toán đạo hàm
A) quy tắc lấy đạo hàm của hàm phức
Để cho nó được hàm phức tạp , trong đó hàm là đối số trung gian. Chúng tôi sẽ trình bày cách tìm đạo hàm của một hàm số phức, biết đạo hàm của hàm số (chúng tôi sẽ biểu thị nó bằng) và đạo hàm của hàm số.
Định lý 1. Nếu hàm số có đạo hàm tại một điểm x, và hàm số có đạo hàm tại điểm (), thì hàm số phức tại điểm x có đạo hàm và = .
Mặt khác, đạo hàm của hàm phức bằng tích của đạo hàm của hàm đã cho đối với đối số trung gian và đạo hàm của đối số trung gian.
B) vi phân của một hàm được xác định bằng tham số
Giả sử hàm số được đưa ra ở dạng tham số, nghĩa là ở dạng:
trong đó các hàm và được xác định và liên tục trong một khoảng biến thiên nhất định của tham số. Hãy tìm vi phân vế phải và vế trái của mỗi đẳng thức:
Để tìm đạo hàm bậc hai, ta thực hiện các phép biến đổi sau:
B) khái niệm đạo hàm logarit của hàm số
Đạo hàm logarit của một hàm dương được gọi là đạo hàm của nó. Vì , nên theo quy tắc đạo hàm của hàm phức ta thu được hệ thức sau cho đạo hàm logarit:
.
Sử dụng đạo hàm logarit sẽ thuận tiện để tính đạo hàm thông thường trong trường hợp logarit đơn giản hóa dạng của hàm.
Bản chất của sự khác biệt này như sau: đầu tiên, logarit của một hàm đã cho được tìm thấy và chỉ sau đó đạo hàm của nó mới được tính. Hãy để một số chức năng được đưa ra. Hãy lấy logarit của vế trái và vế phải của biểu thức này:
Và sau đó, biểu thị đạo hàm mong muốn, kết quả là:
D) đạo hàm của hàm nghịch đảo
Nếu y=f(x) và x=g(y) là một cặp hàm nghịch đảo lẫn nhau và hàm y=f(x) có đạo hàm f"(x), thì đạo hàm của hàm nghịch đảo g"( x)=1/f" (x).
Do đó, đạo hàm của các hàm nghịch đảo lẫn nhau là đại lượng nghịch đảo. Công thức tính đạo hàm của hàm nghịch đảo:
D) đạo hàm của hàm ẩn
Nếu hàm một biến được mô tả bằng phương trình y=f(x), trong đó biến y nằm ở bên trái và bên phải chỉ phụ thuộc vào đối số x, thì họ nói rằng hàm số đã cho rõ ràng. Ví dụ: các chức năng sau được chỉ định rõ ràng:
y= tội lỗi x,y=x 2+2x+5,y=lncos x.
Tuy nhiên, trong nhiều bài toán, hàm có thể được xác định ngầm, I E. như một phương trình
F(x,y)=0.
để tìm đạo hàm y′( x) một hàm được chỉ định ngầm không cần phải chuyển đổi thành dạng rõ ràng. Để làm được điều này, biết phương trình F(x,y)=0, chỉ cần làm như sau:
Trước tiên, bạn cần phân biệt cả hai vế của phương trình đối với biến x, giả sử rằng y− là hàm khả vi x và sử dụng quy tắc tính đạo hàm của hàm số phức. Trong trường hợp này, đạo hàm của số 0 (ở vế phải) cũng sẽ bằng 0.
Bình luận: Nếu vế phải khác 0, tức là phương trình ngầm định là
f(x,y)=g(x,y),
thì chúng ta phân biệt vế trái và vế phải của phương trình.
Giải phương trình kết quả cho đạo hàm y′( x).
Khái niệm đạo hàm
A) định nghĩa đạo hàm
Đạo hàm của hàm sự khác biệt hội nhập.
y xx
Định nghĩa đạo hàm
Hãy xem xét chức năng f(x x 0. Khi đó hàm f(x) là có thể phân biệt được tại điểm x 0 và cô ấy phát sinhđược xác định bởi công thức
f′( x 0)=limΔ x→0Δ yΔ x=limΔ x→0f(x 0+Δ x)−f(x 0)Δ x.
Đạo hàm của hàm là một trong những khái niệm cơ bản của toán học, và trong giải tích toán học, đạo hàm, cùng với tích phân, chiếm vị trí trung tâm. Quá trình tìm đạo hàm được gọi là sự khác biệt. Phép toán nghịch đảo - khôi phục một hàm từ một đạo hàm đã biết - được gọi là hội nhập.
Đạo hàm của hàm tại một điểm nhất định đặc trưng cho tốc độ thay đổi của hàm tại điểm đó. Ước tính tốc độ thay đổi có thể thu được bằng cách tính tỷ lệ thay đổi của hàm Δ yđến một sự thay đổi tương ứng trong đối số Δ x. Trong định nghĩa đạo hàm, mối quan hệ như vậy được xét trong giới hạn với điều kiện Δ x→0. Hãy chuyển sang một công thức nghiêm ngặt hơn:
Định nghĩa đạo hàm
Hãy xem xét chức năng f(x), miền định nghĩa của nó chứa một số khoảng mở xung quanh điểm x 0. Khi đó hàm f(x) là có thể phân biệt được tại điểm x 0 và cô ấy phát sinhđược xác định bởi công thức
f′( x 0)=limΔ x→0Δ yΔ x=limΔ x→0f(x 0+Δ x)−f(x 0)Δ x.
B) ý nghĩa hình học của đạo hàm
Đạo hàm của hàm, được tính cho một giá trị cho trước, bằng tiếp tuyến của góc tạo bởi hướng dương của trục và hướng dương của tiếp tuyến vẽ với đồ thị của hàm này tại điểm có trục hoành:
Nếu một hàm có đạo hàm hữu hạn tại một điểm thì trong vùng lân cận nó có thể được xấp xỉ bằng hàm tuyến tính
Hàm được gọi là tiếp tuyến tại điểm Số.
D) bảng đạo hàm của các hàm cơ bản đơn giản nhất
Cosin chỉ hướng của một vectơ.
cosin hướng của vectơ a là cosin của các góc mà vectơ tạo thành với bán trục tọa độ dương.
Để tìm cosin chỉ phương của vectơ a, cần chia tọa độ tương ứng của vectơ cho giá trị tuyệt đối của vectơ.
Tài sản: Tổng bình phương của các cosin định hướng bằng một.
Vì thế trong trường hợp có vấn đề về máy bay cosin hướng của vectơ a = (ax; ay) được tìm theo công thức:
Ví dụ tính cosin chỉ phương của vectơ:
Tìm cosin chỉ phương của vectơ a = (3; 4).
Giải pháp: |a| =
Vì vậy, trong trường hợp có vấn đề về không gian cosin hướng của vectơ a = (ax; ay; az) được tìm theo công thức:
Ví dụ tính cosin chỉ phương của vectơ
Tìm cosin chỉ phương của vectơ a = (2; 4; 4).
Giải pháp: |a| =
|
Hướng của vectơ trong không gian được xác định bởi các góc mà vectơ tạo thành với các trục tọa độ (Hình 12). Cosin của các góc này được gọi là cosin chỉ phương của vectơ: , , .
Từ tính chất của phép chiếu:, , . Kể từ đây, Thật dễ dàng để chứng minh điều đó 2) tọa độ của bất kỳ vectơ đơn vị nào trùng với cosin chỉ phương của nó: . |
"Cách tìm cosin chỉ phương của một vectơ"
Ký hiệu bằng alpha, beta và gamma các góc tạo bởi vectơ a với hướng dương của trục tọa độ (xem Hình 1). Cosin của các góc này được gọi là cosin chỉ phương của vectơ a.
Vì tọa độ a trong hệ tọa độ chữ nhật Descartes bằng hình chiếu của vectơ lên các trục tọa độ, nên a1 = |a|cos(alpha), a2 = |a|cos(beta), a3 = |a|cos (gamma). Do đó: cos (alpha)=a1||a|, cos(beta) =a2||a|, cos(gamma)= a3/|a|. Trong trường hợp này |a|=sqrt(a1^2+ a2^2+ a3^2). Vì vậy cos (alpha)=a1|sqrt(a1^2+ a2^2+ a3^2), cos(beta) =a2|sqrt(a1^2+ a2^2+ a3^2), cos(gamma)= a3/sqrt(a1^2+ a2^2+ a3^2).
Cần lưu ý tính chất chính của cosin định hướng. Tổng bình phương các cosin chỉ phương của một vectơ bằng một. Thật vậy, cos^2(alpha)+cos^2(beta)+cos^2(gamma)= = a1^2|(a1^2+ a2^2+ a3^2)+ a2^2|(a1^2 + a2^2+ a3^2)+ a3^2/(a1^2+ a2^2+ a3^2) = =(a1^2+ a2^2+ a3^2)|(a1^2+ a2^ 2+ a3^2) = 1.
Cách đầu tiên
Ví dụ: đã cho: vectơ a=(1, 3, 5). Tìm cosin hướng của nó. Giải pháp. Theo những gì chúng tôi tìm thấy, chúng tôi viết ra: |a|= sqrt(ax^2+ ay^2+ az^2)=sqrt(1+9 +25)=sqrt(35)=5.91. Do đó, câu trả lời có thể được viết dưới dạng sau: (cos(alpha), cos(beta), cos(gamma))=(1/sqrt(35), 3/sqrt(35), 5/(35)) =( 0,16;0,5;0,84).
Cách thứ hai
Khi tìm cosin chỉ phương của vectơ a, bạn có thể sử dụng kỹ thuật xác định cosin của các góc bằng tích vô hướng. Trong trường hợp này, chúng tôi muốn nói đến các góc giữa a và vectơ đơn vị chỉ hướng của tọa độ Descartes hình chữ nhật i, j và k. Tọa độ của chúng lần lượt là (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1). Cần nhắc lại rằng tích vô hướng của vectơ được định nghĩa như sau.
Nếu góc giữa các vectơ là φ thì tích vô hướng của hai gió (theo định nghĩa) là một số bằng tích các mô đun của vectơ và cosφ. (a, b) = |a||b|cos f. Khi đó, nếu b=i thì (a, i) = |a||i|cos(alpha), hoặc a1 = |a|cos(alpha). Hơn nữa, tất cả các hành động được thực hiện tương tự như phương pháp 1, có tính đến tọa độ j và k.
SỰ ĐỊNH NGHĨA
Vectơđược gọi là một cặp điểm có thứ tự và (nghĩa là người ta biết chính xác điểm nào trong cặp điểm này là điểm đầu tiên).
Điểm đầu tiên được gọi là phần đầu của vectơ, và thứ hai là của anh ấy kết thúc.
Khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ được gọi là chiều dài hoặc mô-đun vector.
Vector có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau được gọi là số không và được ký hiệu là ; chiều dài của nó được coi là bằng không. Ngược lại, nếu độ dài của vectơ là dương thì nó được gọi là khác không.
Bình luận. Nếu độ dài của vectơ bằng 1 thì vectơ đó được gọi là ortom hoặc đơn vị véc tơ và được chỉ định.
VÍ DỤ
| Bài tập | Kiểm tra xem một vectơ có phải là  đơn. |
| Giải pháp | Hãy tính độ dài của một vectơ cho trước, nó bằng căn bậc hai của tổng các bình phương tọa độ: Vì độ dài của vectơ bằng 1 nên có nghĩa là vectơ đó là một trực giao. |
| Trả lời | Đơn vị véc tơ. |
Một vectơ khác 0 cũng có thể được định nghĩa là một đoạn có hướng.
Bình luận. Hướng của vectơ 0 không được xác định.
cosin chỉ phương của một vectơ
SỰ ĐỊNH NGHĨA
cosin định hướng của một vectơ nhất định được gọi là cosin của các góc mà vectơ tạo thành với hướng dương của trục tọa độ.
Bình luận. Hướng của một vectơ được xác định duy nhất bởi các cosin chỉ phương của nó.
Để tìm cosin chỉ phương của một vectơ, cần phải chuẩn hóa vectơ (nghĩa là chia vectơ cho chiều dài của nó):
Bình luận. Tọa độ của một vectơ đơn vị bằng cosin chỉ phương của nó.
Định lý
(Tính chất cosin định hướng). Tổng bình phương của các cosin định hướng bằng 1: