Từ quan điểm thực tế, mối quan tâm lớn nhất là sử dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm. Điều này được kết nối với cái gì? Tối đa hóa lợi nhuận, giảm thiểu chi phí, xác định tải trọng tối ưu của thiết bị… Nói cách khác, trong nhiều lĩnh vực của đời sống chúng ta phải giải quyết bài toán tối ưu hóa một số thông số. Và đây là nhiệm vụ tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm.
Cần lưu ý rằng các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm thường được tìm kiếm trên một khoảng X nhất định, đó là toàn bộ miền của hàm hoặc một phần của miền định nghĩa. Khoảng X có thể là một đoạn, một khoảng mở 
, một khoảng vô hạn.
Trong bài viết này, chúng ta sẽ nói về việc tìm các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm được xác định rõ ràng của một biến y=f(x) .
Điều hướng trang.
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm - định nghĩa, minh họa.
Chúng ta hãy xem xét ngắn gọn các định nghĩa chính.
Giá trị lớn nhất của hàm 
điều đó cho bất cứ ai 
sự bất bình đẳng là đúng.
Giá trị nhỏ nhất của hàm y=f(x) trên khoảng X được gọi là giá trị như vậy 
điều đó cho bất cứ ai sự bất bình đẳng là đúng.
Các định nghĩa này mang tính trực quan: giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) được chấp nhận trên khoảng được xem xét tại trục hoành.
Điểm cố định– đây là các giá trị của đối số tại đó đạo hàm của hàm trở thành 0.
Tại sao chúng ta cần điểm dừng khi tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất? Câu trả lời cho câu hỏi này được đưa ra bởi định lý Fermat. Từ định lý này, suy ra rằng nếu một hàm khả vi có cực trị (cực tiểu cục bộ hoặc cực đại cục bộ) tại một điểm nào đó thì điểm này là dừng. Do đó, hàm số thường lấy giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) trên khoảng X tại một trong các điểm dừng của khoảng này.
Ngoài ra, một hàm thường có thể nhận các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất tại các điểm mà tại đó đạo hàm bậc nhất của hàm này không tồn tại và bản thân hàm đó được xác định.
Hãy cùng trả lời ngay một trong những câu hỏi phổ biến nhất về chủ đề này: “Có phải lúc nào cũng có thể xác định được giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của một hàm” không? Không, không phải lúc nào cũng vậy. Đôi khi ranh giới của khoảng X trùng với ranh giới của miền định nghĩa của hàm hoặc khoảng X là vô hạn. Và một số hàm ở vô cùng và ở ranh giới của miền định nghĩa có thể nhận cả giá trị vô cùng lớn và vô cùng nhỏ. Trong những trường hợp này, không thể nói gì về giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm.
Để rõ ràng, chúng tôi sẽ đưa ra một minh họa đồ họa. Nhìn vào những bức ảnh và rất nhiều điều sẽ trở nên rõ ràng hơn.
Trên phân khúc
Trong hình đầu tiên, hàm lấy giá trị lớn nhất (max y) và nhỏ nhất (min y) tại các điểm đứng yên nằm bên trong đoạn [-6;6].
Hãy xem xét trường hợp được mô tả trong hình thứ hai. Hãy thay đổi phân đoạn thành . Trong ví dụ này, giá trị nhỏ nhất của hàm đạt được tại một điểm đứng yên và giá trị lớn nhất tại điểm có trục hoành tương ứng với ranh giới bên phải của khoảng.
Trong Hình 3, các điểm biên của đoạn [-3;2] là hoành độ của các điểm tương ứng với giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm.
Trên một khoảng thời gian mở
Trong hình thứ tư, hàm lấy các giá trị lớn nhất (max y) và nhỏ nhất (min y) tại các điểm dừng nằm bên trong khoảng mở (-6;6).
Trên khoảng , không thể rút ra kết luận nào về giá trị lớn nhất.
Ở vô cực
Trong ví dụ được trình bày ở hình thứ bảy, hàm lấy giá trị lớn nhất (max y) tại một điểm đứng yên với hoành độ x=1 và đạt được giá trị nhỏ nhất (min y) ở ranh giới bên phải của khoảng. Ở âm vô cực, các giá trị hàm tiệm cận y=3.
Trong khoảng thời gian, hàm không đạt đến giá trị nhỏ nhất cũng như giá trị lớn nhất. Khi x=2 tiếp cận từ bên phải, các giá trị hàm có xu hướng âm vô cực (đường x=2 là tiệm cận đứng) và vì hoành độ có xu hướng cộng vô cực, các giá trị hàm tiệm cận y=3. Một minh họa đồ họa của ví dụ này được hiển thị trong Hình 8.
Thuật toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm liên tục trên một đoạn.
Hãy để chúng tôi viết một thuật toán cho phép chúng tôi tìm các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm trên một đoạn.
- Chúng tôi tìm miền định nghĩa của hàm và kiểm tra xem nó có chứa toàn bộ phân đoạn hay không.
- Chúng tôi tìm thấy tất cả các điểm mà tại đó đạo hàm bậc nhất không tồn tại và được chứa trong đoạn (thông thường các điểm như vậy được tìm thấy trong các hàm có đối số dưới dấu mô đun và trong các hàm lũy thừa có số mũ phân số hữu tỉ). Nếu không có điểm nào như vậy thì chuyển sang điểm tiếp theo.
- Chúng tôi xác định tất cả các điểm dừng nằm trong phân khúc. Để làm điều này, chúng ta đánh đồng nó bằng 0, giải phương trình thu được và chọn các nghiệm thích hợp. Nếu không có điểm dừng hoặc không có điểm nào nằm trong đoạn thẳng thì chuyển sang điểm tiếp theo.
- Chúng tôi tính toán các giá trị của hàm tại các điểm dừng đã chọn (nếu có), tại các điểm mà đạo hàm bậc nhất không tồn tại (nếu có), cũng như tại x=a và x=b.
- Từ các giá trị thu được của hàm, chúng ta chọn giá trị lớn nhất và nhỏ nhất - chúng sẽ lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất cần thiết của hàm.
Hãy phân tích thuật toán giải một ví dụ tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm trên một đoạn.
Ví dụ.
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
- trên đoạn ;
- trên đoạn [-4;-1] .
Giải pháp.
Miền định nghĩa của hàm là toàn bộ tập hợp các số thực, nghĩa là ngoại trừ số 0. Cả hai phân đoạn đều nằm trong miền định nghĩa.
Tìm đạo hàm của hàm số đối với: 
Rõ ràng đạo hàm của hàm số tồn tại ở mọi điểm của đoạn thẳng và [-4;-1].
Chúng tôi xác định điểm dừng từ phương trình. Căn thực duy nhất là x=2. Điểm dừng này rơi vào đoạn đầu tiên.
Trong trường hợp đầu tiên, chúng ta tính các giá trị của hàm ở cuối đoạn và tại điểm dừng, nghĩa là với x=1, x=2 và x=4: 
Do đó, giá trị lớn nhất của hàm 
đạt được tại x=1, và giá trị nhỏ nhất 
– tại x=2.
Đối với trường hợp thứ hai, chúng tôi chỉ tính toán các giá trị hàm ở cuối đoạn [-4;-1] (vì nó không chứa một điểm dừng duy nhất): 
Tuyên bố vấn đề 2:
Cho một hàm được xác định và liên tục trên một khoảng nhất định. Bạn cần tìm giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm trên khoảng này.
Cơ sở lý thuyết.
Định lý (Định lý Weierstrass thứ hai):
Nếu một hàm được xác định và liên tục trong một khoảng đóng thì nó sẽ đạt giá trị cực đại và cực tiểu trong khoảng này.
Hàm có thể đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất tại các điểm bên trong của khoảng hoặc tại ranh giới của nó. Hãy minh họa tất cả các tùy chọn có thể. 
Giải thích:
1) Hàm số đạt giá trị lớn nhất ở biên trái của khoảng tại điểm , và giá trị nhỏ nhất của nó ở biên phải của khoảng tại điểm .
2) Hàm đạt giá trị lớn nhất tại điểm (đây là điểm cực đại) và giá trị nhỏ nhất của nó tại ranh giới bên phải của khoảng tại điểm.
3) Hàm đạt giá trị cực đại ở biên trái của khoảng tại điểm , và giá trị cực tiểu tại điểm (đây là điểm cực tiểu).
4) Hàm không đổi trên khoảng, tức là nó đạt giá trị tối thiểu và tối đa tại bất kỳ điểm nào trong khoảng và giá trị tối thiểu và tối đa bằng nhau.
5) Hàm đạt giá trị cực đại tại điểm và giá trị cực tiểu tại điểm (mặc dù thực tế là hàm có cả cực đại và cực tiểu trên khoảng này).
6) Hàm đạt giá trị lớn nhất tại một điểm (đây là điểm tối đa) và giá trị tối thiểu tại một điểm (đây là điểm tối thiểu).
Bình luận:
“Tối đa” và “giá trị tối đa” là những thứ khác nhau. Điều này xuất phát từ định nghĩa về mức tối đa và sự hiểu biết trực quan về cụm từ “giá trị tối đa”.
Thuật toán giải bài toán 2.
4) Chọn giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) từ các giá trị thu được và viết ra câu trả lời.
Ví dụ 4:
Xác định giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 
trên phân khúc.
Giải pháp:
1) Tìm đạo hàm của hàm số. 
2) Tìm các điểm dừng (và các điểm nghi là cực trị) bằng cách giải phương trình. Hãy chú ý đến những điểm tại đó không có đạo hàm hữu hạn hai mặt. 
3) Tính các giá trị của hàm tại các điểm dừng và tại các biên của khoảng.
4) Chọn giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) từ các giá trị thu được và viết ra câu trả lời.
Hàm trên đoạn này đạt giá trị lớn nhất tại điểm có tọa độ.
Hàm trên đoạn này đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm có tọa độ .
Bạn có thể xác minh tính đúng đắn của các phép tính bằng cách nhìn vào biểu đồ của hàm đang nghiên cứu. 
Bình luận: Hàm đạt giá trị lớn nhất tại điểm tối đa và giá trị tối thiểu tại ranh giới của đoạn.
Một trường hợp đặc biệt.
Giả sử bạn cần tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một số hàm trên một đoạn. Sau khi hoàn thành điểm đầu tiên của thuật toán, tức là. tính đạo hàm, chẳng hạn, rõ ràng là nó chỉ lấy các giá trị âm trong toàn bộ khoảng thời gian được xem xét. Hãy nhớ rằng nếu đạo hàm âm thì hàm số giảm. Chúng tôi nhận thấy rằng hàm này giảm trên toàn bộ phân khúc. Tình huống này được thể hiện ở biểu đồ số 1 ở đầu bài viết.
Hàm giảm trên đoạn, tức là nó không có điểm cực trị. Từ hình ảnh, bạn có thể thấy hàm sẽ lấy giá trị nhỏ nhất ở ranh giới bên phải của đoạn và giá trị lớn nhất ở bên trái. nếu đạo hàm trên đoạn này dương ở mọi nơi thì hàm số sẽ tăng. Giá trị nhỏ nhất nằm ở viền trái của đoạn, giá trị lớn nhất nằm ở viền bên phải.
, có nghĩa là x=- π / 3 +2πk, k∈Z là điểm cực đại của hàm số.
|
x | |||
|
y |
Sự định nghĩa. Thẳng y =kx +b (k≠ 0) được gọi là tiệm cận xiênđồ họa chức năng y = f(x) tại , ở đâu
Sơ đồ chung nghiên cứu hàm số và xây dựng đồ thị.
Thuật toán nghiên cứu hàmy = f(x) :
1. Tìm miền xác định của hàm số D (y).
2. Tìm (nếu có thể) giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ (nếu x= 0 và tại y = 0).
3. Xét tính chẵn, lẻ của hàm số ( y (‒ x) = y (x) ‒ tính chẵn lẻ; y(‒ x) = ‒ y (x) ‒ số lẻ).
4. Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số.
5. Tìm khoảng đơn điệu của hàm số.
6. Tìm cực trị của hàm số.
7. Tìm các khoảng lồi (concavity) và điểm uốn của đồ thị hàm số.
8. Dựa trên nghiên cứu đã thực hiện, hãy xây dựng đồ thị của hàm số.
Ví dụ. Khám phá hàm số và xây dựng đồ thị của nó.
1) D (y) =
x= 4 – điểm ngắt.
2) Khi nào x = 0,
(0; - 5) – điểm giao nhau với Ồ.
Tại y = 0,
3)
y(‒
x)=
một hàm có dạng tổng quát (không chẵn cũng không lẻ).
4) Chúng tôi kiểm tra các tiệm cận.
a) theo chiều dọc
b) ngang
c) tìm các tiệm cận xiên ở đó
‒phương trình tiệm cận xiên
5) Trong phương trình này không cần thiết phải tìm các khoảng đơn điệu của hàm số.
6)
Các điểm tới hạn này chia toàn bộ miền định nghĩa của hàm thành khoảng (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) và (10; +∞). Thật thuận tiện để trình bày kết quả thu được dưới dạng bảng sau.