Trong bài viết này chúng ta sẽ tìm hiểu chi tiết về khái niệm tích chéo của hai vectơ. Chúng tôi sẽ đưa ra các định nghĩa cần thiết, viết công thức tìm tọa độ của tích vectơ, liệt kê và chứng minh các thuộc tính của nó. Sau phần này, chúng ta sẽ tập trung vào ý nghĩa hình học của tích vectơ của hai vectơ và xem xét giải pháp cho các ví dụ điển hình khác nhau.

Điều hướng trang.

Định nghĩa sản phẩm chéo

Trước khi xác định tích vectơ, chúng ta hãy hiểu hướng của bộ ba vectơ có thứ tự trong không gian ba chiều.

Hãy vẽ các vectơ từ một điểm. Tùy thuộc vào hướng của vectơ, ba có thể phải hoặc trái. Chúng ta hãy nhìn từ phần cuối của vectơ xem cách rẽ ngắn nhất từ ​​vectơ sang . Nếu phép quay ngắn nhất xảy ra ngược chiều kim đồng hồ thì bộ ba vectơ được gọi là Phải, nếu không thì - bên trái.

Bây giờ hãy lấy hai vectơ không thẳng hàng và . Chúng ta hãy vẽ các vectơ và từ điểm A. Hãy dựng một số vectơ vuông góc với cả hai và và . Rõ ràng, khi xây dựng một vectơ, chúng ta có thể làm hai việc, cho nó một hướng hoặc ngược lại (xem hình minh họa).

Tùy thuộc vào hướng của vectơ, bộ ba vectơ có thứ tự có thể thuận tay phải hoặc thuận tay trái.

Điều này đưa chúng ta đến gần hơn với định nghĩa về tích vector. Nó được đưa ra cho hai vectơ được xác định trong hệ tọa độ hình chữ nhật của không gian ba chiều.

Sự định nghĩa.

Tích chéo của hai vectơ và , được xác định trong hệ tọa độ chữ nhật của không gian ba chiều, được gọi là vectơ sao cho

Tích chéo của vectơ và được ký hiệu là .

Tọa độ của tích vectơ.

Bây giờ chúng tôi sẽ đưa ra định nghĩa thứ hai về tích vectơ, cho phép bạn tìm tọa độ của nó từ tọa độ của các vectơ đã cho và.

Sự định nghĩa.

Trong hệ tọa độ chữ nhật của không gian ba chiều tích vectơ của hai vectơ Và là một vectơ, các vectơ tọa độ ở đâu.

Định nghĩa này cho chúng ta tích chéo ở dạng tọa độ.

Thật thuận tiện khi biểu diễn tích vectơ là định thức của ma trận vuông bậc ba, hàng đầu tiên là vectơ, hàng thứ hai chứa tọa độ của vectơ và hàng thứ ba chứa tọa độ của vectơ trong một ma trận đã cho. hệ tọa độ chữ nhật:

Nếu khai triển định thức này thành các phần tử của hàng đầu tiên, chúng ta thu được đẳng thức từ định nghĩa tích vectơ trong tọa độ (nếu cần, hãy tham khảo bài viết):

Cần lưu ý rằng dạng tọa độ của tích vectơ hoàn toàn phù hợp với định nghĩa được đưa ra trong đoạn đầu tiên của bài viết này. Hơn nữa, hai định nghĩa về tích chéo này là tương đương nhau. Bạn có thể thấy bằng chứng về thực tế này trong cuốn sách được liệt kê ở cuối bài viết.

Tính chất của sản phẩm vector.

Vì tích vectơ trong tọa độ có thể được biểu diễn dưới dạng định thức của ma trận nên có thể dễ dàng chứng minh điều sau đây trên cơ sở tính chất của sản phẩm chéo:

Ví dụ: chúng ta hãy chứng minh tính chất phản giao hoán của tích vectơ.

Theo định nghĩa Và . Chúng ta biết rằng giá trị của định thức của ma trận sẽ bị đảo ngược nếu hai hàng đổi chỗ cho nhau, do đó, , điều này chứng tỏ tính chất phản giao hoán của tích vectơ.

Sản phẩm Vector - ví dụ và giải pháp.

Chủ yếu có ba loại vấn đề.

Trong các bài toán loại thứ nhất, độ dài của hai vectơ và góc giữa chúng đã cho và bạn cần tìm độ dài của tích vectơ. Trong trường hợp này, công thức được sử dụng .

Ví dụ.

Tìm độ dài tích vectơ của các vectơ và , nếu biết .

Giải pháp.

Từ định nghĩa, chúng ta biết rằng độ dài của tích vectơ của vectơ và bằng tích độ dài của vectơ và bởi sin của góc giữa chúng, do đó, .

Trả lời:

.

Bài toán loại thứ hai liên quan đến tọa độ của vectơ, trong đó tích vectơ, độ dài của nó hoặc bất kỳ thứ gì khác được tìm kiếm thông qua tọa độ của vectơ đã cho Và .

Có rất nhiều lựa chọn khác nhau có thể ở đây. Ví dụ, không phải tọa độ của các vectơ và có thể được chỉ định, mà là sự mở rộng của chúng thành các vectơ tọa độ có dạng và , hoặc các vectơ và có thể được xác định bằng tọa độ điểm đầu và điểm cuối của chúng.

Hãy xem xét các ví dụ điển hình.

Ví dụ.

Hai vectơ cho trong hệ tọa độ chữ nhật . Tìm sản phẩm chéo của họ.

Giải pháp.

Theo định nghĩa thứ hai, tích vectơ của hai vectơ trong tọa độ được viết là:

Chúng ta có thể đạt được kết quả tương tự nếu tích vectơ được viết dưới dạng định thức

Trả lời:

.

Ví dụ.

Tìm độ dài tích vectơ của các vectơ và , ở đâu là các vectơ đơn vị của hệ tọa độ Descartes hình chữ nhật.

Giải pháp.

Đầu tiên chúng ta tìm tọa độ của tích vector trong một hệ tọa độ chữ nhật nhất định.

Vì các vectơ đều có tọa độ và tương ứng (nếu cần, xem bài viết tọa độ của vectơ trong hệ tọa độ hình chữ nhật), nên theo định nghĩa thứ hai về tích vectơ, chúng ta có

Tức là tích vectơ có tọa độ trong một hệ tọa độ nhất định.

Chúng ta tìm độ dài của tích vectơ là căn bậc hai của tổng bình phương tọa độ của nó (chúng ta đã thu được công thức này cho độ dài của vectơ trong phần tìm độ dài của vectơ):

Trả lời:

.

Ví dụ.

Trong hệ tọa độ Descartes hình chữ nhật, tọa độ của ba điểm được cho trước. Tìm một số vectơ vuông góc và đồng thời.

Giải pháp.

Các vectơ và có tọa độ tương ứng (xem bài tìm tọa độ của vectơ qua tọa độ điểm). Nếu chúng ta tìm tích vectơ của các vectơ và , thì theo định nghĩa, nó là vectơ vuông góc với cả với và với , tức là nó là nghiệm của bài toán của chúng ta. Hãy tìm anh ấy

Trả lời:

- một trong các vectơ vuông góc.

Trong các bài toán loại thứ ba, kiểm tra kỹ năng sử dụng các tính chất của tích vectơ của vectơ. Sau khi áp dụng các thuộc tính, các công thức tương ứng sẽ được áp dụng.

Ví dụ.

Các vectơ và vuông góc và độ dài của chúng lần lượt là 3 và 4. Tìm độ dài của tích chéo .

Giải pháp.

Theo tính chất phân phối của tích vectơ, chúng ta có thể viết

Do tính chất tổ hợp, chúng ta lấy các hệ số bằng số ra khỏi dấu của tích vectơ trong biểu thức cuối cùng:

Tích vectơ và bằng 0, vì Và , Sau đó .

Vì tích vectơ có tính phản giao hoán nên .

Vì vậy, bằng cách sử dụng các tính chất của tích vectơ, chúng ta đã đạt được đẳng thức .

Theo điều kiện, các vectơ và vuông góc, nghĩa là góc giữa chúng bằng . Tức là chúng ta có đủ dữ liệu để tìm độ dài cần thiết

Trả lời:

.

Ý nghĩa hình học của một sản phẩm vector.

Theo định nghĩa, độ dài tích vectơ của vectơ là . Và từ một môn hình học ở trường trung học, chúng ta biết rằng diện tích của một tam giác bằng một nửa tích độ dài hai cạnh của tam giác và sin của góc giữa chúng. Do đó, chiều dài của tích vectơ bằng hai lần diện tích của một tam giác có các cạnh là vectơ và , nếu chúng được vẽ từ một điểm. Nói cách khác, độ dài tích vectơ của vectơ và bằng diện tích hình bình hành có các cạnh và góc giữa chúng bằng . Đây là ý nghĩa hình học của tích vector.

Cuối cùng, tôi đã có được chủ đề rộng lớn và được chờ đợi từ lâu này. hình học giải tích. Đầu tiên, nói một chút về phần toán cao cấp này... Chắc hẳn bây giờ bạn còn nhớ một khóa học hình học ở trường với vô số định lý, cách chứng minh, hình vẽ, v.v. Che giấu điều gì, một chủ đề không được yêu thích và thường ít người biết đến đối với một bộ phận đáng kể học sinh. Kỳ lạ thay, hình học giải tích lại có vẻ thú vị và dễ tiếp cận hơn. Tính từ “phân tích” có nghĩa là gì? Hai cụm từ toán học sáo rỗng ngay lập tức xuất hiện trong đầu bạn: “phương pháp giải đồ họa” và “phương pháp giải phân tích”. Phương pháp đồ họa, tất nhiên, gắn liền với việc xây dựng đồ thị và hình vẽ. phân tích như nhau phương pháp liên quan đến việc giải quyết các vấn đề chủ yếu thông qua các phép toán đại số. Về vấn đề này, thuật toán giải hầu hết các bài toán của hình học giải tích rất đơn giản và minh bạch; thường chỉ cần áp dụng cẩn thận các công thức cần thiết là đủ - và câu trả lời đã sẵn sàng! Không, tất nhiên, chúng ta sẽ không thể làm được điều này nếu không có bản vẽ, và ngoài ra, để hiểu rõ hơn về tài liệu, tôi sẽ cố gắng trích dẫn chúng nếu không cần thiết.

Khóa học mới mở về hình học không có vẻ hoàn chỉnh về mặt lý thuyết; nó tập trung vào việc giải quyết các vấn đề thực tế. Theo quan điểm của tôi, tôi sẽ chỉ đưa vào bài giảng của mình những gì quan trọng về mặt thực tế. Nếu bạn cần trợ giúp đầy đủ hơn về bất kỳ tiểu mục nào, tôi khuyên bạn nên sử dụng tài liệu khá dễ tiếp cận sau:

1) Một điều mà không đùa được, nhiều thế hệ đã quen thuộc: Sách giáo khoa hình học phổ thông, tác giả – L.S. Atanasyan và Công ty. Chiếc móc treo phòng thay đồ của trường này đã trải qua 20 lần tái bản (!), Tất nhiên, đó không phải là giới hạn.

2) Hình học trong 2 tập. tác giả L.S. Atanasyan, Bazylev V.T.. Đây là tài liệu dành cho cấp trung học, bạn sẽ cần tập đầu tiên. Những nhiệm vụ hiếm gặp có thể nằm ngoài tầm mắt của tôi và phần hướng dẫn sẽ mang lại sự trợ giúp vô giá.

Cả hai cuốn sách đều có thể được tải xuống miễn phí trực tuyến. Ngoài ra, bạn có thể sử dụng kho lưu trữ của tôi với các giải pháp làm sẵn, có thể tìm thấy trên trang Tải các ví dụ về toán cao cấp.

Trong số các công cụ, tôi một lần nữa đề xuất sự phát triển của riêng mình - gói phần mềm trong hình học giải tích, điều này sẽ đơn giản hóa cuộc sống rất nhiều và tiết kiệm rất nhiều thời gian.

Giả định rằng người đọc đã quen thuộc với các khái niệm và hình học cơ bản: điểm, đường thẳng, mặt phẳng, hình tam giác, hình bình hành, hình bình hành, hình khối, v.v. Nên nhớ lại một số định lý, ít nhất là định lý Pythagore, xin chào những người lặp lại)

Và bây giờ chúng ta sẽ xem xét tuần tự: khái niệm vectơ, các hành động với vectơ, tọa độ vectơ. Tôi khuyên bạn nên đọc thêm bài viết quan trọng nhất Tích vô hướng của vectơ, và cũng Vectơ và tích hỗn hợp của vectơ. Một nhiệm vụ cục bộ - Phân chia một phân khúc về mặt này - cũng sẽ không thừa. Dựa vào những thông tin trên, bạn có thể nắm vững phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Với ví dụ đơn giản nhất về giải pháp, điều này sẽ cho phép học cách giải các bài toán hình học. Các bài viết sau đây cũng hữu ích: Phương trình mặt phẳng trong không gian, Phương trình đường thẳng trong không gian, Các bài toán cơ bản về đường thẳng và mặt phẳng, các phần khác của hình học giải tích. Đương nhiên, các nhiệm vụ tiêu chuẩn sẽ được xem xét trong quá trình thực hiện.

Khái niệm vectơ. Vectơ miễn phí

Đầu tiên, hãy lặp lại định nghĩa trường học của một vectơ. Vectơ gọi điện chỉ đạo một đoạn mà phần đầu và phần cuối của nó được chỉ định:

Trong trường hợp này, phần đầu của đoạn là điểm, phần cuối của đoạn là điểm. Bản thân vectơ được ký hiệu là . Phương hướng là điều cần thiết, nếu bạn di chuyển mũi tên đến đầu kia của đoạn thẳng, bạn sẽ nhận được một vectơ và đây là vectơ hoàn toàn khác. Thật thuận tiện khi đồng nhất khái niệm vectơ với chuyển động của cơ thể vật lý: bạn phải đồng ý, việc bước vào cửa viện hay rời khỏi cửa viện là những chuyện hoàn toàn khác nhau.

Thật thuận tiện khi xem xét các điểm riêng lẻ của một mặt phẳng hoặc không gian như được gọi là vectơ không. Đối với một vectơ như vậy, điểm cuối và điểm đầu trùng nhau.

!!! Ghi chú: Ở đây và xa hơn nữa, bạn có thể giả sử rằng các vectơ nằm trong cùng một mặt phẳng hoặc bạn có thể giả định rằng chúng nằm trong không gian - bản chất của vật liệu được trình bày có giá trị cho cả mặt phẳng và không gian.

Chỉ định: Nhiều người ngay lập tức nhận thấy cây gậy không có mũi tên trên nhãn và nói rằng cũng có một mũi tên ở trên cùng! Đúng, bạn có thể viết nó bằng mũi tên: , nhưng cũng có thể mục mà tôi sẽ sử dụng trong tương lai. Tại sao? Rõ ràng, thói quen này phát triển vì những lý do thực tế; những tay súng của tôi ở trường học và đại học hóa ra có kích thước quá khác biệt và bờm xờm. Trong văn học giáo dục, đôi khi họ không hề bận tâm đến việc viết chữ hình nêm mà đánh dấu các chữ in đậm: , qua đó ngụ ý rằng đây là một vectơ.

Đó là phong cách, và bây giờ là về cách viết vectơ:

1) Các vectơ có thể được viết bằng hai chữ cái Latinh in hoa:
và vân vân. Trong trường hợp này, chữ cái đầu tiên nhất thiết biểu thị điểm bắt đầu của vectơ và chữ cái thứ hai biểu thị điểm cuối của vectơ.

2) Các vectơ cũng được viết bằng chữ Latinh thường:
Đặc biệt, vectơ của chúng ta có thể được thiết kế lại cho ngắn gọn bằng một chữ cái Latinh nhỏ.

Chiều dài hoặc mô-đun một vectơ khác 0 được gọi là độ dài của đoạn. Độ dài của vectơ 0 bằng 0. Hợp lý.

Độ dài của vectơ được biểu thị bằng dấu mô đun: ,

Chúng ta sẽ học cách tìm độ dài của vectơ (hoặc chúng ta sẽ lặp lại nó, tùy thuộc vào ai) sau đó một chút.

Đây là thông tin cơ bản về vectơ, quen thuộc với tất cả học sinh. Trong hình học giải tích, cái gọi là vectơ miễn phí.

Nói một cách đơn giản - vectơ có thể được vẽ từ bất kỳ điểm nào:

Chúng ta quen gọi các vectơ như vậy bằng nhau (định nghĩa các vectơ bằng nhau sẽ được đưa ra dưới đây), nhưng theo quan điểm toán học thuần túy, chúng là CÙNG VECTOR hoặc vectơ miễn phí. Tại sao miễn phí? Bởi vì trong quá trình giải toán, bạn có thể “gắn” vectơ này hoặc vectơ kia vào BẤT KỲ điểm nào trên mặt phẳng hoặc không gian mà bạn cần. Đây là một tính năng rất thú vị! Hãy tưởng tượng một vectơ có độ dài và hướng tùy ý - nó có thể được “nhân bản” vô số lần và tại bất kỳ điểm nào trong không gian, trên thực tế, nó tồn tại MỌI NƠI. Có một sinh viên nói: Giảng viên nào cũng quan tâm đến vectơ. Rốt cuộc, nó không chỉ là một vần điệu dí dỏm, mọi thứ đều đúng về mặt toán học - vectơ cũng có thể được gắn vào đó. Nhưng đừng vội vui mừng, người khổ nhất chính là học sinh =))

Vì thế, vectơ miễn phí- Cái này nhiều các phân đoạn được định hướng giống hệt nhau. Định nghĩa trường phái về vectơ, được đưa ra ở đầu đoạn văn: “Một đoạn có hướng được gọi là vectơ…”, ngụ ý cụ thể một đoạn có hướng được lấy từ một tập hợp nhất định, được gắn với một điểm cụ thể trong mặt phẳng hoặc không gian.

Cần lưu ý rằng từ quan điểm vật lý, khái niệm vectơ tự do nói chung là không chính xác và quan điểm ứng dụng của vectơ là quan trọng. Thật vậy, một cú đánh trực tiếp với cùng một lực vào mũi hoặc trán, đủ để phát triển ví dụ ngu ngốc của tôi, sẽ gây ra những hậu quả khác nhau. Tuy nhiên, không có tự do vectơ cũng được tìm thấy trong quá trình vyshmat (đừng đến đó :)).

Hành động với vectơ. Sự cộng tuyến của các vectơ

Một khóa học hình học phổ thông bao gồm một số hành động và quy tắc với vectơ: phép cộng theo quy tắc tam giác, phép cộng theo quy tắc hình bình hành, quy tắc sai phân vectơ, nhân vectơ với một số, tích vô hướng của vectơ, v.v.Để bắt đầu, chúng ta hãy nhắc lại hai quy tắc đặc biệt phù hợp để giải các bài toán hình học giải tích.

Quy tắc cộng vectơ bằng quy tắc tam giác

Xét hai vectơ khác 0 tùy ý và:

Bạn cần tìm tổng của các vectơ này. Do thực tế là tất cả các vectơ đều được coi là tự do nên chúng ta sẽ loại vectơ khỏi kết thúc vectơ:

Tổng các vectơ là vectơ. Để hiểu rõ hơn về quy luật, nên đặt ý nghĩa vật lý vào đó: để một vật nào đó chuyển động dọc theo vectơ , rồi dọc theo vectơ . Khi đó tổng các vectơ là vectơ của đường đi kết quả có điểm đầu là điểm khởi hành và điểm cuối là điểm đến. Một quy tắc tương tự được xây dựng cho tổng của bất kỳ số lượng vectơ nào. Như người ta nói, cơ thể có thể di chuyển rất nghiêng theo đường ngoằn ngoèo, hoặc có thể ở chế độ lái tự động - dọc theo vectơ kết quả của tổng.

Nhân tiện, nếu vectơ bị trễ từ bắt đầu vector, sau đó chúng ta nhận được tương đương quy tắc hình bình hành phép cộng các vectơ.

Đầu tiên, về sự cộng tuyến của các vectơ. Hai vectơ đó được gọi là thẳng hàng nếu chúng nằm trên cùng một đường thẳng hoặc song song. Nói một cách đại khái, chúng ta đang nói về các vectơ song song. Nhưng liên quan đến họ, tính từ “cộng tuyến” luôn được sử dụng.

Cho hai vectơ thẳng hàng. Nếu các mũi tên của các vectơ này cùng hướng thì các vectơ đó được gọi là đồng đạo diễn. Nếu các mũi tên hướng khác nhau thì các vectơ sẽ là hướng ngược lại.

Chỉ định: tính cộng tuyến của các vectơ được viết bằng ký hiệu song song thông thường: , trong khi có thể chi tiết hóa: (các vectơ có hướng ngược nhau) hoặc (các vectơ có hướng ngược nhau).

công việc một vectơ khác 0 của một số là một vectơ có độ dài bằng , và các vectơ này cùng hướng và hướng ngược nhau tại .

Quy tắc nhân vectơ với một số sẽ dễ hiểu hơn khi sử dụng hình ảnh:

Chúng ta hãy xem xét nó chi tiết hơn:

1) Hướng. Nếu số nhân âm thì vectơ thay đổi hướng ngược lại.

2) Chiều dài. Nếu số nhân nằm trong hoặc , thì độ dài của vectơ giảm. Vậy độ dài của vectơ bằng một nửa độ dài của vectơ. Nếu mô đun của số nhân lớn hơn 1 thì độ dài của vectơ tăng lênđôi khi.

3) Xin lưu ý rằng mọi vectơ đều thẳng hàng, trong khi một vectơ được biểu thị thông qua một vectơ khác, ví dụ: . Điều ngược lại cũng đúng: nếu một vectơ có thể được biểu diễn thông qua một vectơ khác thì các vectơ đó nhất thiết phải thẳng hàng. Như vậy: nếu chúng ta nhân một vectơ với một số, chúng ta sẽ thẳng hàng(so với bản gốc) vectơ.

4) Các vectơ cùng hướng. Các vectơ và cũng được đồng đạo diễn. Bất kỳ vectơ nào của nhóm thứ nhất đều có hướng ngược chiều với bất kỳ vectơ nào của nhóm thứ hai.

Những vectơ nào bằng nhau?

Hai vectơ bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài. Lưu ý rằng tính đồng hướng hàm ý tính cộng tuyến của các vectơ. Định nghĩa sẽ không chính xác (dư thừa) nếu chúng ta nói: “Hai vectơ bằng nhau nếu chúng thẳng hàng, cùng hướng và có cùng độ dài”.

Từ quan điểm của khái niệm vectơ tự do, các vectơ bằng nhau là cùng một vectơ, như đã thảo luận trong đoạn trước.

Tọa độ vectơ trên mặt phẳng và trong không gian

Điểm đầu tiên là xét các vectơ trên mặt phẳng. Chúng ta hãy mô tả một hệ tọa độ hình chữ nhật Descartes và vẽ nó từ gốc tọa độ đơn vectơ và:

Vectơ và trực giao. Trực giao = Vuông góc. Tôi khuyên bạn nên làm quen dần với các thuật ngữ: thay vì song song và vuông góc, chúng ta sử dụng các từ tương ứng sự cộng tác Và tính trực giao.

Chỉ định: Tính trực giao của vectơ được viết bằng ký hiệu vuông góc thông thường, ví dụ: .

Các vectơ đang xét được gọi là vectơ tọa độ hoặc orts. Các vectơ này hình thành cơ sở trên một chiếc máy bay. Tôi nghĩ cơ sở là gì thì nhiều người có thể tìm thấy thông tin chi tiết hơn trong bài viết; Sự phụ thuộc tuyến tính (không) của vectơ. Cơ sở của vectơ Nói một cách đơn giản, cơ sở và nguồn gốc của tọa độ xác định toàn bộ hệ thống - đây là một loại nền tảng tạo nên đời sống hình học đầy đủ và phong phú.

Đôi khi cơ sở được xây dựng được gọi là trực giao cơ sở của mặt phẳng: “ortho” - vì các vectơ tọa độ là trực giao nên tính từ “chuẩn hóa” có nghĩa là đơn vị, tức là độ dài của các vectơ cơ sở bằng một.

Chỉ định: cơ sở thường được viết trong ngoặc đơn, trong đó theo trình tự chặt chẽ các vectơ cơ sở được liệt kê, ví dụ: . Các vectơ tọa độ nó bị cấm sắp xếp lại.

Bất kì véc tơ máy bay cách duy nhấtđược thể hiện như:
, Ở đâu - con sốđược gọi là tọa độ vector trong cơ sở này. Và chính sự biểu hiện gọi điện phân rã véc tơtheo cơ sở .

Bữa tối được phục vụ:

Hãy bắt đầu với chữ cái đầu tiên của bảng chữ cái: . Hình vẽ cho thấy rõ ràng rằng khi phân tách một vectơ thành một cơ sở, những vectơ vừa thảo luận sẽ được sử dụng:
1) quy tắc nhân vectơ với một số: và ;
2) phép cộng các vectơ theo quy tắc tam giác: .

Bây giờ hãy tưởng tượng vectơ từ bất kỳ điểm nào khác trên mặt phẳng. Rõ ràng là sự suy tàn của anh ta sẽ “theo anh ta không ngừng nghỉ”. Đây rồi, sự tự do của vectơ - vectơ “mang theo mọi thứ bên mình”. Tất nhiên, tính chất này đúng với mọi vectơ. Thật buồn cười là bản thân các vectơ cơ sở (miễn phí) không nhất thiết phải được vẽ từ gốc; một vectơ có thể được vẽ, chẳng hạn như ở dưới cùng bên trái và vectơ kia ở trên cùng bên phải, và sẽ không có gì thay đổi! Đúng, bạn không cần phải làm điều này, vì giáo viên cũng sẽ thể hiện sự độc đáo và ghi điểm “tín dụng” cho bạn ở một nơi không ngờ tới.

Các vectơ minh họa chính xác quy tắc nhân một vectơ với một số, vectơ cùng hướng với vectơ cơ sở, vectơ có hướng ngược với vectơ cơ sở. Đối với các vectơ này, một trong các tọa độ bằng 0, bạn có thể viết nó một cách tỉ mỉ như thế này:


Và nhân tiện, các vectơ cơ sở giống như thế này: (trên thực tế, chúng được thể hiện thông qua chính chúng).

Và cuối cùng: , . Nhân tiện, phép trừ vectơ là gì và tại sao tôi không nói về quy tắc trừ? Ở đâu đó trong đại số tuyến tính, tôi không nhớ ở đâu, tôi đã lưu ý rằng phép trừ là một trường hợp đặc biệt của phép cộng. Do đó, việc khai triển các vectơ “de” và “e” có thể dễ dàng viết dưới dạng tổng: , . Sắp xếp lại các số hạng và xem trong hình vẽ cách cộng các vectơ cũ theo quy tắc tam giác hoạt động tốt như thế nào trong những tình huống này.

Việc phân hủy được coi là của biểu mẫu đôi khi được gọi là phân rã vector trong hệ thống ort(tức là trong một hệ vectơ đơn vị). Nhưng đây không phải là cách duy nhất để viết vectơ; tùy chọn sau đây là phổ biến:

Hoặc với dấu bằng:

Bản thân các vectơ cơ sở được viết như sau: và

Nghĩa là tọa độ của vectơ được biểu thị trong ngoặc đơn. Trong các bài toán thực tế, cả ba tùy chọn ký hiệu đều được sử dụng.

Tôi phân vân không biết có nên nói không, nhưng tôi vẫn nói: tọa độ vector không thể được sắp xếp lại. Nghiêm túc ở vị trí đầu tiên chúng ta viết tọa độ tương ứng với vectơ đơn vị, đúng ở vị trí thứ hai ta viết tọa độ tương ứng với vectơ đơn vị. Thật vậy, và là hai vectơ khác nhau.

Chúng tôi đã tìm ra tọa độ trên máy bay. Bây giờ chúng ta hãy xem các vectơ trong không gian ba chiều, hầu hết mọi thứ ở đây đều giống nhau! Nó sẽ chỉ thêm một tọa độ nữa. Thật khó để tạo các bản vẽ ba chiều, vì vậy tôi sẽ giới hạn ở một vectơ, để đơn giản, tôi sẽ tách khỏi gốc:

Bất kì vectơ không gian 3D cách duy nhất khai triển trên cơ sở trực chuẩn:
, tọa độ của vectơ (số) trong cơ sở này ở đâu.

Ví dụ từ hình ảnh: . Hãy xem các quy tắc vectơ hoạt động như thế nào ở đây. Đầu tiên, nhân vectơ với một số: (mũi tên đỏ), (mũi tên xanh) và (mũi tên quả mâm xôi). Thứ hai, đây là ví dụ về việc cộng một số vectơ, trong trường hợp này là ba vectơ: . Vectơ tổng bắt đầu tại điểm khởi hành ban đầu (điểm bắt đầu của vectơ) và kết thúc tại điểm đến cuối cùng (điểm cuối của vectơ).

Tất cả các vectơ của không gian ba chiều, một cách tự nhiên, cũng tự do; hãy cố gắng gạt vectơ đó ra khỏi bất kỳ điểm nào khác trong đầu, và bạn sẽ hiểu rằng sự phân rã của nó “sẽ vẫn ở lại với nó”.

Tương tự như trường hợp phẳng, ngoài chức năng viết các phiên bản có dấu ngoặc được sử dụng rộng rãi: .

Nếu một (hoặc hai) vectơ tọa độ bị thiếu trong khai triển thì các số 0 sẽ được đặt vào vị trí của chúng. Ví dụ:
vectơ (một cách tỉ mỉ ) – hãy viết ;
vectơ (một cách tỉ mỉ ) – hãy viết ;
vectơ (một cách tỉ mỉ ) – hãy viết .

Các vectơ cơ sở được viết như sau:

Có lẽ đây là tất cả những kiến ​​thức lý thuyết tối thiểu cần thiết để giải các bài toán hình học giải tích. Có thể có rất nhiều thuật ngữ và định nghĩa nên tôi khuyên các ấm trà nên đọc lại và hiểu kỹ lại những thông tin này. Và sẽ rất hữu ích cho bất kỳ độc giả nào thỉnh thoảng tham khảo bài học cơ bản để tiếp thu tài liệu tốt hơn. Tính cộng tuyến, tính trực giao, cơ sở trực giao, phân rã vectơ - những khái niệm này và các khái niệm khác sẽ thường được sử dụng trong tương lai. Tôi muốn lưu ý rằng tài liệu của trang web không đủ để vượt qua một bài kiểm tra lý thuyết hoặc một bài hội thảo về hình học, vì tôi mã hóa cẩn thận tất cả các định lý (và không có bằng chứng) - gây bất lợi cho phong cách trình bày khoa học, nhưng là một điểm cộng cho bạn. hiểu biết về chủ đề. Để nhận được thông tin lý thuyết chi tiết, xin vui lòng cúi chào Giáo sư Atanasyan.

Và chúng ta chuyển sang phần thực hành:

Những bài toán đơn giản nhất của hình học giải tích.
Hành động với vectơ trong tọa độ

Rất nên học cách giải quyết các nhiệm vụ sẽ được coi là hoàn toàn tự động và các công thức ghi nhớ, bạn thậm chí không cần phải cố ý nhớ nó, họ sẽ tự nhớ nó =) Điều này rất quan trọng, vì các bài toán khác của hình học giải tích đều dựa trên những ví dụ cơ bản đơn giản nhất và sẽ rất khó chịu khi dành thêm thời gian để ăn những con tốt . Không cần phải cài nút trên cùng của áo sơ mi; nhiều thứ đã quen thuộc với bạn từ thời đi học.

Việc trình bày tài liệu sẽ tuân theo một tiến trình song song - cả về mặt phẳng và không gian. Vì lý do mà tất cả các công thức... bạn sẽ tự mình nhìn thấy.

Làm thế nào để tìm một vectơ từ hai điểm?

Nếu cho trước hai điểm của mặt phẳng thì vectơ có tọa độ như sau:

Nếu cho trước hai điểm trong không gian thì vectơ có tọa độ như sau:

Đó là, từ tọa độ điểm cuối của vectơ bạn cần trừ tọa độ tương ứng phần đầu của vectơ.

Bài tập:Đối với các điểm giống nhau, hãy viết công thức tìm tọa độ của vectơ. Công thức ở cuối bài học.

Ví dụ 1

Cho hai điểm của mặt phẳng và . Tìm tọa độ vectơ

Giải pháp: theo công thức thích hợp:

Ngoài ra, mục sau có thể được sử dụng:

Thẩm mỹ sẽ quyết định điều này:

Cá nhân tôi đã quen với phiên bản đầu tiên của bản ghi âm.

Trả lời:

Theo điều kiện thì không nhất thiết phải xây dựng một bản vẽ (điển hình cho các bài toán hình học giải tích), nhưng để làm rõ một số điểm cho người giả, tôi sẽ không lười biếng:

Bạn chắc chắn cần phải hiểu sự khác biệt giữa tọa độ điểm và tọa độ vectơ:

tọa độ điểm– đây là các tọa độ thông thường trong hệ tọa độ hình chữ nhật. Tôi nghĩ mọi người đều biết cách vẽ điểm trên mặt phẳng tọa độ từ lớp 5-6. Mỗi điểm đều có một vị trí nghiêm ngặt trên mặt phẳng và chúng không thể di chuyển đi bất cứ đâu.

Tọa độ của vectơ– đây là sự khai triển của nó theo cơ sở, trong trường hợp này. Bất kỳ vectơ nào đều miễn phí, vì vậy nếu cần, chúng ta có thể dễ dàng di chuyển nó ra khỏi một số điểm khác trên mặt phẳng. Điều thú vị là đối với vectơ, bạn không cần phải xây dựng trục hoặc hệ tọa độ hình chữ nhật, bạn chỉ cần một cơ sở, trong trường hợp này là cơ sở trực chuẩn của mặt phẳng.

Các bản ghi tọa độ điểm và tọa độ của vectơ có vẻ giống nhau: và ý nghĩa tọa độ tuyệt đối khác biệt, và bạn nên nhận thức rõ về sự khác biệt này. Tất nhiên, sự khác biệt này cũng áp dụng cho không gian.

Thưa quý vị, hãy lấp đầy bàn tay của chúng tôi:

Ví dụ 2

a) Điểm và được cho. Tìm vectơ và .
b) Điểm được cho Và . Tìm vectơ và .
c) Điểm và được cho. Tìm vectơ và .
d) Điểm được cho. Tìm vectơ .

Có lẽ thế là đủ. Đây là những ví dụ để bạn tự quyết định, cố gắng đừng bỏ qua chúng, nó sẽ mang lại kết quả ;-). Không cần phải vẽ bản vẽ. Lời giải và đáp án cuối bài.

Điều quan trọng khi giải các bài toán hình học giải tích là gì?Điều quan trọng là phải CỰC KỲ CẨN THẬN để tránh mắc phải sai lầm bậc thầy “hai cộng hai bằng 0”. Mình có sai sót ở đâu thì xin lỗi ngay nhé =))

Làm thế nào để tìm độ dài của một đoạn?

Độ dài, như đã lưu ý, được biểu thị bằng dấu mô đun.

Nếu cho hai điểm của mặt phẳng và , thì độ dài của đoạn thẳng có thể được tính bằng công thức

Nếu có hai điểm trong không gian và cho trước thì độ dài của đoạn đó có thể được tính bằng công thức

Ghi chú: Các công thức sẽ vẫn đúng nếu đổi chỗ tọa độ tương ứng: và , nhưng tùy chọn đầu tiên chuẩn hơn

Ví dụ 3

Giải pháp: theo công thức thích hợp:

Trả lời:

Để rõ ràng, tôi sẽ vẽ

Phân đoạn – đây không phải là một vectơ và tất nhiên là bạn không thể di chuyển nó đi bất cứ đâu. Ngoài ra nếu vẽ theo tỷ lệ: 1 đơn vị. = 1 cm (hai ô vở), thì có thể kiểm tra câu trả lời thu được bằng thước thông thường bằng cách đo trực tiếp độ dài của đoạn.

Đúng, giải pháp rất ngắn gọn, nhưng có một số điểm quan trọng hơn mà tôi muốn làm rõ:

Đầu tiên, trong câu trả lời chúng ta đặt thứ nguyên: “đơn vị”. Điều kiện không cho biết đó là CÁI GÌ, milimét, centimét, mét hoặc kilômét. Do đó, giải pháp đúng về mặt toán học sẽ là công thức chung: “đơn vị” - viết tắt là “đơn vị”.

Thứ hai, chúng ta hãy nhắc lại tài liệu học tập, tài liệu này không chỉ hữu ích cho nhiệm vụ đang được xem xét:

Xin lưu ý kỹ thuật quan trọng – loại bỏ số nhân từ dưới gốc. Kết quả của các phép tính, chúng ta có một kết quả và phong cách toán học tốt liên quan đến việc loại bỏ hệ số khỏi gốc (nếu có thể). Quá trình này trông như thế này chi tiết hơn: . Tất nhiên, để lại câu trả lời như cũ không phải là một sai lầm - nhưng chắc chắn đó sẽ là một thiếu sót và là một lập luận có sức nặng đối với việc giáo viên ngụy biện.

Dưới đây là những trường hợp phổ biến khác:

Thường thì gốc cho ra số lượng khá lớn, ví dụ . Phải làm gì trong những trường hợp như vậy? Sử dụng máy tính, chúng tôi kiểm tra xem số đó có chia hết cho 4 hay không: . Vâng, nó đã được chia hoàn toàn, do đó: . Hoặc có thể số đó lại có thể chia cho 4? . Như vậy: . Chữ số cuối cùng của số là số lẻ nên việc chia cho 4 lần thứ ba hiển nhiên sẽ không được. Hãy thử chia cho chín: . Kết quả là:
Sẵn sàng.

Phần kết luận: nếu dưới gốc, chúng ta nhận được một số không thể trích ra toàn bộ, thì chúng ta sẽ cố gắng loại bỏ hệ số đó khỏi gốc - bằng máy tính, chúng ta kiểm tra xem số đó có chia hết cho: 4, 9, 16, 25, 36, 49, v.v.

Khi giải các bài toán khác nhau, gốc rễ thường gặp phải; hãy luôn cố gắng rút ra các yếu tố từ gốc rễ để tránh bị điểm kém và những vấn đề không đáng có khi hoàn thiện lời giải của mình dựa trên nhận xét của giáo viên.

Chúng ta cũng hãy lặp lại căn bậc hai và các lũy thừa khác:

Các quy tắc hoạt động với lũy thừa ở dạng tổng quát có thể được tìm thấy trong sách giáo khoa đại số ở trường, nhưng tôi nghĩ từ các ví dụ đã cho, mọi thứ hoặc hầu hết mọi thứ đều đã rõ ràng.

Bài toán giải độc lập với một đoạn trong không gian:

Ví dụ 4

Điểm và được đưa ra. Tìm độ dài của đoạn này.

Đáp án và đáp án ở cuối bài.

Làm thế nào để tìm độ dài của một vectơ?

Nếu cho trước một vectơ phẳng thì độ dài của nó được tính theo công thức.

Nếu cho trước một vectơ không gian thì độ dài của nó được tính theo công thức .

Trong bài học này chúng ta sẽ xem xét thêm hai phép toán với vectơ: tích vector của vectơ Và tích hỗn hợp của vectơ (link ngay cho ai cần). Không sao đâu, đôi khi điều đó xảy ra là để có được hạnh phúc trọn vẹn, ngoài việc tích vô hướng của vectơ, ngày càng được yêu cầu nhiều hơn nữa. Đây là chứng nghiện vector. Có vẻ như chúng ta đang đi vào rừng của hình học giải tích. Điều này là sai. Trong phần toán cao cấp này thường có ít gỗ, ngoại trừ có lẽ đủ cho Pinocchio. Trên thực tế, tài liệu này rất phổ biến và đơn giản - hầu như không phức tạp hơn những tài liệu tương tự. sản phẩm chấm, thậm chí sẽ có ít nhiệm vụ điển hình hơn. Điều chính yếu trong hình học giải tích, như nhiều người sẽ hoặc đã bị thuyết phục, đó là KHÔNG MẮC SAI LẦM TRONG TÍNH TOÁN. Lặp lại như một câu thần chú và bạn sẽ hạnh phúc =)

Nếu vectơ lấp lánh ở đâu đó xa xôi, như tia chớp ở đường chân trời, thì không sao, hãy bắt đầu với bài học Vector cho người giảđể khôi phục hoặc lấy lại kiến ​​thức cơ bản về vectơ. Những độc giả chuẩn bị kỹ càng hơn có thể làm quen với thông tin một cách có chọn lọc; tôi đã cố gắng thu thập bộ sưu tập đầy đủ nhất các ví dụ thường thấy trong công việc thực tế;

Điều gì sẽ khiến bạn hạnh phúc ngay lập tức? Khi còn nhỏ, tôi có thể tung hứng hai hoặc thậm chí ba quả bóng. Nó hoạt động tốt. Bây giờ bạn sẽ không phải tung hứng chút nào vì chúng ta sẽ xem xét chỉ các vectơ không gian và các vectơ phẳng có hai tọa độ sẽ bị loại bỏ. Tại sao? Đây là cách những hành động này ra đời - vectơ và tích hỗn hợp của vectơ được xác định và hoạt động trong không gian ba chiều. Nó đã dễ dàng hơn rồi!

Hoạt động này, giống như tích vô hướng, bao gồm hai vectơ. Hãy để đây là những lá thư không thể hư hỏng.

Bản thân hành động ký hiệu là như sau: . Có các tùy chọn khác, nhưng tôi thường biểu thị tích vectơ của vectơ theo cách này, trong dấu ngoặc vuông có dấu thập.

Và ngay lập tức câu hỏi: nếu ở tích vô hướng của vectơ hai vectơ liên quan và ở đây hai vectơ cũng được nhân với nhau, sau đó sự khác biệt là gì? Sự khác biệt rõ ràng trước hết là ở KẾT QUẢ:

Kết quả của tích vô hướng của vectơ là NUMBER:

Kết quả tích chéo của vectơ là VECTOR: , tức là chúng ta nhân các vectơ và nhận lại một vectơ. Câu lạc bộ đóng cửa. Trên thực tế, tên của hoạt động này bắt nguồn từ đây. Trong các tài liệu giáo dục khác nhau, các ký hiệu cũng có thể khác nhau;

Định nghĩa sản phẩm chéo

Đầu tiên sẽ có định nghĩa bằng hình ảnh, sau đó là phần bình luận.

Sự định nghĩa: Sản phẩm vectơ không thẳng hàng vectơ, lấy theo thứ tự này, được gọi là VECTOR, chiều dàiđó là số lượng bằng diện tích của hình bình hành, được xây dựng trên các vectơ này; vectơ trực giao với vectơ, và được định hướng sao cho cơ sở có định hướng đúng:

Hãy chia nhỏ định nghĩa nhé, có rất nhiều điều thú vị ở đây!

Vì vậy, có thể nêu bật những điểm quan trọng sau:

1) Các vectơ ban đầu, được biểu thị bằng mũi tên màu đỏ, theo định nghĩa không thẳng hàng. Sẽ thích hợp hơn nếu xem xét trường hợp các vectơ cộng tuyến muộn hơn một chút.

2) Các vectơ được lấy theo một thứ tự được xác định chặt chẽ: – "a" được nhân với "be", không phải “be” với “a”. Kết quả của phép nhân vectơ là VECTOR, được biểu thị bằng màu xanh lam. Nếu nhân các vectơ theo thứ tự ngược lại, chúng ta thu được một vectơ có chiều dài bằng nhau và ngược hướng (màu mâm xôi). Tức là đẳng thức đúng .

3) Bây giờ chúng ta hãy làm quen với ý nghĩa hình học của tích vectơ. Đây là một điểm rất quan trọng! CHIỀU DÀI của vectơ màu xanh lam (và do đó, vectơ màu đỏ thẫm) bằng về mặt số lượng với DIỆN TÍCH của hình bình hành dựng trên vectơ. Trong hình, hình bình hành này được tô màu đen.

Ghi chú : hình vẽ là sơ đồ, và đương nhiên, độ dài danh nghĩa của tích vectơ không bằng diện tích của hình bình hành.

Chúng ta hãy nhớ lại một trong những công thức hình học: Diện tích của hình bình hành bằng tích của các cạnh kề nhau và sin của góc giữa chúng. Do đó, dựa trên những điều trên, công thức tính LENGTH của tích vectơ là hợp lệ:

Tôi nhấn mạnh rằng công thức nói về LENGTH của vectơ chứ không phải về chính vectơ đó. Ý nghĩa thực tế là gì? Và ý nghĩa là trong các bài toán hình học giải tích, diện tích hình bình hành thường được tìm thông qua khái niệm tích vectơ:

Chúng ta hãy thu được công thức quan trọng thứ hai. Đường chéo của hình bình hành (đường chấm màu đỏ) chia nó thành hai hình tam giác bằng nhau. Do đó, có thể tìm thấy diện tích của một tam giác được xây dựng trên vectơ (màu đỏ) bằng công thức:

4) Một điều quan trọng không kém là vectơ trực giao với các vectơ, nghĩa là . Tất nhiên, vectơ có hướng ngược nhau (mũi tên quả mâm xôi) cũng trực giao với vectơ ban đầu.

5) Vectơ có hướng sao cho cơ sở có Phảiđịnh hướng. Trong bài học về chuyển sang cơ sở mới Tôi đã nói đủ chi tiết về hướng mặt phẳng, và bây giờ chúng ta sẽ tìm hiểu hướng không gian là gì. Tôi sẽ giải thích trên ngón tay của bạn tay phải. Kết hợp tinh thần ngón trỏ với vectơ và ngón giữa với vectơ. Ngón đeo nhẫn và ngón útấn nó vào lòng bàn tay của bạn. Kết quả là ngón tay cái– sản phẩm vector sẽ tra cứu. Đây là một cơ sở có định hướng đúng đắn (chính là cơ sở này trong hình). Bây giờ thay đổi các vectơ ( ngón trỏ và ngón giữa) ở một số chỗ, kết quả là ngón tay cái sẽ quay lại và tích vectơ sẽ nhìn xuống. Đây cũng là nền tảng hướng tới sự đúng đắn. Có lẽ bạn có thắc mắc: cơ sở nào đã để lại định hướng? “Gán” cho những ngón tay giống nhau tay trái vectơ, và lấy cơ sở bên trái và hướng bên trái của không gian (trong trường hợp này, ngón tay cái sẽ nằm theo hướng của vectơ phía dưới). Nói một cách hình tượng, những căn cứ này “xoắn” hoặc định hướng không gian theo các hướng khác nhau. Và khái niệm này không nên được coi là một cái gì đó xa vời hoặc trừu tượng - ví dụ, hướng của không gian bị thay đổi bởi chiếc gương thông thường nhất, và nếu bạn “kéo vật phản chiếu ra khỏi kính nhìn”, thì trong trường hợp chung, nó sẽ không thể kết hợp nó với “bản gốc”. Nhân tiện, giơ ba ngón tay lên gương và phân tích hình ảnh phản chiếu ;-)

...thật tuyệt vời khi bây giờ bạn đã biết về hướng phải và hướng trái căn cứ, vì nhận định của một số giảng viên về việc thay đổi định hướng thật đáng sợ =)

Tích chéo của các vectơ cộng tuyến

Định nghĩa đã được thảo luận chi tiết, vẫn còn phải tìm hiểu điều gì xảy ra khi các vectơ thẳng hàng. Nếu các vectơ thẳng hàng thì chúng có thể đặt trên một đường thẳng và hình bình hành của chúng ta cũng “gấp” thành một đường thẳng. Diện tích như vậy, như các nhà toán học nói, thoái hóa hình bình hành bằng 0. Công thức tương tự cũng xảy ra - sin bằng 0 hoặc 180 độ bằng 0, có nghĩa là diện tích bằng 0

Như vậy, nếu , thì . Nói đúng ra, bản thân tích vectơ bằng vectơ 0, nhưng trong thực tế điều này thường bị bỏ qua và người ta viết rằng nó đơn giản bằng 0.

Trường hợp đặc biệt là tích vectơ của vectơ với chính nó:

Sử dụng tích vectơ, bạn có thể kiểm tra tính cộng tuyến của vectơ ba chiều và chúng tôi cũng sẽ phân tích vấn đề này cùng với các vấn đề khác.

Để giải quyết các ví dụ thực tế bạn có thể cần bảng lượng giácđể tìm các giá trị của sin từ nó.

Thôi, hãy đốt lửa lên:

Ví dụ 1

a) Tìm độ dài tích vectơ của các vectơ nếu

b) Tìm diện tích hình bình hành dựng trên vectơ nếu

Giải pháp: Không, đây không phải là lỗi đánh máy, tôi đã cố tình làm cho dữ liệu ban đầu trong các mệnh đề giống nhau. Bởi vì thiết kế của các giải pháp sẽ khác nhau!

a) Theo điều kiện cần tìm chiều dài vectơ (sản phẩm chéo). Theo công thức tương ứng:

Trả lời:

Vì câu hỏi liên quan đến độ dài nên chúng tôi chỉ ra thứ nguyên trong câu trả lời - đơn vị.

b) Theo điều kiện cần tìm quảng trường hình bình hành dựng trên vectơ. Diện tích của hình bình hành này bằng số với chiều dài của tích vectơ:

Trả lời:

Xin lưu ý rằng câu trả lời hoàn toàn không nói về tích vector; diện tích của hình, tương ứng, kích thước là đơn vị vuông.

Chúng tôi luôn xem NHỮNG GÌ chúng tôi cần tìm theo điều kiện và dựa trên điều này, chúng tôi hình thành thông thoáng trả lời. Nó có vẻ theo nghĩa đen, nhưng có rất nhiều giáo viên theo nghĩa đen trong số họ, và bài tập có nhiều khả năng được trả lại để sửa lại. Mặc dù đây không phải là một lời ngụy biện quá xa vời - nếu câu trả lời sai thì người ta sẽ có ấn tượng rằng người đó không hiểu những điều đơn giản và/hoặc chưa hiểu bản chất của nhiệm vụ. Điểm này phải luôn được kiểm soát khi giải bất kỳ bài toán nào trong môn toán cao cấp cũng như trong các môn học khác.

Chữ lớn “en” đã đi đâu? Về nguyên tắc, nó có thể được gắn thêm vào giải pháp, nhưng để rút ngắn mục nhập, tôi đã không làm điều này. Tôi hy vọng mọi người hiểu điều đó và là một chỉ định cho điều tương tự.

Một ví dụ phổ biến cho giải pháp DIY:

Ví dụ 2

Tìm diện tích tam giác dựng trên vectơ nếu

Công thức tính diện tích hình tam giác thông qua tích vectơ được đưa ra trong phần nhận xét cho định nghĩa. Đáp án và đáp án ở cuối bài.

Trong thực tế, nhiệm vụ này thực sự rất phổ biến; hình tam giác thường có thể làm khổ bạn.

Để giải quyết các vấn đề khác chúng ta sẽ cần:

Tính chất tích vectơ của vectơ

Chúng ta đã xem xét một số tính chất của tích vectơ, tuy nhiên, tôi sẽ đưa chúng vào danh sách này.

Đối với vectơ tùy ý và số tùy ý, các thuộc tính sau là đúng:

1) Trong các nguồn thông tin khác, mục này thường không được nhấn mạnh trong phần thuộc tính nhưng lại rất quan trọng về mặt thực tế. Vì vậy, hãy để nó như vậy.

2) – thuộc tính cũng được thảo luận ở trên, đôi khi nó được gọi là tính phản giao hoán. Nói cách khác, thứ tự của các vectơ có vấn đề.

3) – liên kết hoặc liên tưởng luật sản phẩm vector. Các hằng số có thể dễ dàng di chuyển ra ngoài tích vector. Thực sự, họ nên làm gì ở đó?

4) – phân phối hoặc phân phối luật sản phẩm vector. Không có vấn đề gì với việc mở dấu ngoặc.

Để chứng minh, chúng ta hãy xem một ví dụ ngắn:

Ví dụ 3

Tìm nếu

Giải pháp:Điều kiện lại yêu cầu tìm độ dài của tích vectơ. Hãy vẽ bức tranh thu nhỏ của chúng ta:

(1) Theo luật kết hợp, chúng ta lấy các hằng số nằm ngoài phạm vi của tích vectơ.

(2) Chúng ta di chuyển hằng số ra ngoài mô-đun và mô-đun “ăn” dấu trừ. Độ dài không thể âm.

(3) Phần còn lại rõ ràng.

Trả lời:

Đã đến lúc thêm củi vào lửa:

Ví dụ 4

Tính diện tích tam giác dựng trên vectơ nếu

Giải pháp: Tìm diện tích tam giác bằng công thức . Điều đáng chú ý là bản thân các vectơ “tse” và “de” được trình bày dưới dạng tổng của các vectơ. Thuật toán ở đây là chuẩn và phần nào gợi nhớ đến ví dụ số 3 và 4 của bài Tích vô hướng của vectơ. Để rõ ràng, chúng tôi sẽ chia giải pháp thành ba giai đoạn:

1) Ở bước đầu tiên, chúng ta biểu diễn tích vectơ thông qua tích vectơ, thực tế là: hãy biểu diễn một vectơ theo một vectơ. Chưa có từ nào về độ dài!

(1) Thay thế biểu thức cho vectơ.

(2) Áp dụng luật phân phối, ta mở ngoặc theo quy tắc nhân các đa thức.

(3) Sử dụng luật kết hợp, chúng ta di chuyển tất cả các hằng số ra ngoài tích vectơ. Với một chút kinh nghiệm, bước 2 và 3 có thể được thực hiện đồng thời.

(4) Số hạng đầu tiên và số hạng cuối cùng bằng 0 (vectơ 0) do tính chất Nice. Trong thuật ngữ thứ hai, chúng tôi sử dụng tính chất phản giao hoán của tích vectơ:

(5) Chúng tôi trình bày các thuật ngữ tương tự.

Kết quả là, vectơ hóa ra được biểu thị thông qua một vectơ, đó là điều cần phải đạt được:

2) Ở bước thứ hai, chúng ta tìm độ dài của tích vectơ mà chúng ta cần. Hành động này tương tự như Ví dụ 3:

3) Tìm diện tích tam giác cần tìm:

Giai đoạn 2-3 của giải pháp có thể được viết thành một dòng.

Trả lời:

Vấn đề được xem xét khá phổ biến trong các bài kiểm tra, đây là một ví dụ để bạn tự giải quyết:

Ví dụ 5

Tìm nếu

Lời giải và đáp án ngắn gọn ở cuối bài. Hãy xem bạn chú ý đến mức nào khi nghiên cứu các ví dụ trước ;-)

Tích chéo của vectơ trong tọa độ

, được xác định theo cơ sở trực chuẩn, được thể hiện bằng công thức:

Công thức thực sự đơn giản: ở dòng trên cùng của định thức, chúng ta viết các vectơ tọa độ, ở dòng thứ hai và thứ ba, chúng ta “đặt” tọa độ của các vectơ và chúng ta đặt theo thứ tự nghiêm ngặt– đầu tiên là tọa độ của vectơ “ve”, sau đó là tọa độ của vectơ “ve kép”. Nếu các vectơ cần được nhân theo một thứ tự khác thì các hàng sẽ được đổi chỗ:

Ví dụ 10

Kiểm tra xem các vectơ không gian sau có thẳng hàng hay không:
MỘT)
b)

Giải pháp: Việc kiểm tra dựa trên một trong các phát biểu trong bài học này: nếu các vectơ thẳng hàng thì tích vectơ của chúng bằng 0 (vectơ 0): .

a) Tìm tích vectơ:

Vậy các vectơ không thẳng hàng.

b) Tìm tích vectơ:

Trả lời: a) không thẳng hàng, b)

Có lẽ đây là tất cả những thông tin cơ bản về tích vectơ của vectơ.

Phần này sẽ không lớn lắm, vì có một số vấn đề khi sử dụng tích hỗn hợp của các vectơ. Trên thực tế, mọi thứ sẽ phụ thuộc vào định nghĩa, ý nghĩa hình học và một số công thức tính toán.

Tích hỗn hợp của các vectơ là tích của ba vectơ:

Vì vậy, họ xếp hàng như một đoàn tàu và nóng lòng muốn được nhận dạng.

Đầu tiên, một lần nữa, một định nghĩa và một hình ảnh:

Sự định nghĩa: Công việc hỗn hợp không đồng phẳng vectơ, lấy theo thứ tự này, gọi điện khối lượng song song, được xây dựng trên các vectơ này, được trang bị dấu “+” nếu cơ sở bên phải và dấu “–” nếu cơ sở bên trái.

Hãy vẽ. Những đường mà chúng ta không nhìn thấy được vẽ bằng những đường chấm:

Hãy đi sâu vào định nghĩa:

2) Các vectơ được lấy theo một thứ tự nhất định, nghĩa là, việc sắp xếp lại các vectơ trong tích, như bạn có thể đoán, không xảy ra mà không có hậu quả.

3) Trước khi bình luận về ý nghĩa hình học, tôi xin lưu ý một sự thật hiển nhiên: tích hỗn hợp của các vectơ là SỐ: . Trong tài liệu giáo dục, thiết kế có thể hơi khác một chút; tôi thường biểu thị một sản phẩm hỗn hợp bằng và kết quả tính toán bằng chữ cái “pe”.

Theo định nghĩa sản phẩm hỗn hợp là thể tích của hình bình hành, được xây dựng trên các vectơ (hình được vẽ bằng các vectơ màu đỏ và các đường màu đen). Nghĩa là, số này bằng thể tích của một hình bình hành đã cho.

Ghi chú : Bản vẽ là sơ đồ.

4) Chúng ta đừng lo lắng nữa về khái niệm định hướng của đáy và không gian. Ý nghĩa của phần cuối cùng là có thể thêm dấu trừ vào tập. Nói một cách đơn giản, một tích hỗn hợp có thể âm: .

Trực tiếp từ định nghĩa, công thức tính thể tích của hình bình hành được xây dựng trên vectơ tuân theo.

Sự định nghĩa Một tập hợp có thứ tự gồm (x 1 , x 2 , ... , x n) n số thực được gọi là vectơ n chiều, và các số x i (i = ) - thành phần, hoặc tọa độ,

Ví dụ. Ví dụ: nếu một nhà máy ô tô nhất định phải sản xuất 50 ô tô con, 100 xe tải, 10 xe buýt, 50 bộ phụ tùng cho ô tô con và 150 bộ cho xe tải và xe buýt mỗi ca thì chương trình sản xuất của nhà máy này có thể được viết dưới dạng vectơ (50, 100, 10, 50, 150), có năm thành phần.

Ký hiệu. Các vectơ được biểu thị bằng chữ in thường hoặc chữ cái có thanh hoặc mũi tên ở trên cùng, ví dụ: Một hoặc. Hai vectơ đó được gọi là bình đẳng, nếu chúng có cùng số thành phần và các thành phần tương ứng của chúng bằng nhau.

Các thành phần vectơ không thể hoán đổi, ví dụ: (3, 2, 5, 0, 1) và (2, 3, 5, 0, 1) các vectơ khác nhau.
Các phép toán trên vectơ. công việc x= (x 1 , x 2 , ... ,x n) bởi một số thựcλ gọi là vectơλ x= (λ x 1, λ x 2, ..., λ x n).

Số lượngx= (x 1 , x 2 , ... ,x n) và y= (y 1 , y 2 , ... ,y n) được gọi là vectơ x+y= (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , ... , x n + + y n).

Không gian vectơ. N -không gian vector chiều R n được định nghĩa là tập hợp tất cả các vectơ n chiều mà các phép tính nhân với số thực và phép cộng được xác định.

Minh họa kinh tế. Minh họa kinh tế của không gian vectơ n chiều: không gian hàng hóa (hàng hóa). Dưới hàng hóa chúng ta sẽ hiểu một số hàng hóa hoặc dịch vụ được bán vào một thời điểm nhất định ở một địa điểm nhất định. Giả sử có số lượng hữu hạn n hàng hóa sẵn có; Số lượng mỗi loại hàng hóa được người tiêu dùng mua được đặc trưng bởi một tập hợp hàng hóa

x= (x 1 , x 2 , ..., x n),

trong đó x i biểu thị số lượng hàng hóa thứ i được người tiêu dùng mua. Chúng ta sẽ giả định rằng tất cả hàng hóa đều có tính chất chia hết tùy ý, do đó có thể mua được bất kỳ số lượng không âm nào của mỗi hàng hóa. Khi đó tất cả các tập hàng hóa có thể có đều là vectơ của không gian hàng hóa C = ( x= (x 1 , x 2 , ... , x n) x i ≥ 0, i = ).

Độc lập tuyến tính. Hệ thống e 1 , e 2 , ... , e vectơ m n chiều được gọi là phụ thuộc tuyến tính, nếu có những con số như vậyλ 1 , λ 2 , ... , λ m , trong đó ít nhất một giá trị khác 0, sao cho đẳng thứcλ 1 e 1 + λ 2 e 2 +... + λm e m = 0; mặt khác, hệ vectơ này được gọi là độc lập tuyến tính, nghĩa là, đẳng thức đã chỉ ra chỉ có thể thực hiện được trong trường hợp khi tất cả . Ý nghĩa hình học của sự phụ thuộc tuyến tính của vectơ trong R 3, được hiểu là các đoạn có hướng, giải thích các định lý sau.

Định lý 1. Một hệ gồm một vectơ là phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi vectơ này bằng 0.

Định lý 2. Để hai vectơ phụ thuộc tuyến tính, điều cần thiết và đủ là chúng thẳng hàng (song song).

Định lý 3 . Để ba vectơ phụ thuộc tuyến tính thì điều cần thiết và đủ là chúng đồng phẳng (nằm trong cùng một mặt phẳng).

Bộ ba vectơ trái và phải. Bộ ba vectơ không đồng phẳng a, b, c gọi điện Phải, nếu người quan sát từ gốc chung của chúng bỏ qua các đầu của vectơ a, b, c theo thứ tự đã cho dường như xảy ra theo chiều kim đồng hồ. Nếu không thì a, b, c -còn lại ba. Tất cả các bộ ba vectơ bên phải (hoặc bên trái) được gọi là giống nhau định hướng.

Cơ sở và tọa độ. Troika e 1, e 2 , e 3 vectơ không đồng phẳng trong R 3 được gọi là cơ sở, và bản thân các vectơ e 1, e 2 , e 3 - nền tảng. Vectơ bất kỳ Một có thể được mở rộng duy nhất thành các vectơ cơ sở, nghĩa là được biểu diễn dưới dạng

MỘT= x 1 e 1+x2 e 2 + x 3 e 3, (1.1)

các số x 1 , x 2 , x 3 trong khai triển (1.1) được gọi là tọa độMột trong cơ sở e 1, e 2 , e 3 và được chỉ định Một(x1, x2, x3).

Cơ sở trực chuẩn. Nếu các vectơ e 1, e 2 , e 3 cặp vuông góc với nhau và độ dài mỗi cặp bằng 1 thì gọi là cơ sở trực giao, và tọa độ x 1 , x 2 , x 3 - hình chữ nhật. Các vectơ cơ sở của một cơ sở trực chuẩn sẽ được ký hiệu là tôi, j, k.

Chúng ta sẽ giả sử rằng trong không gian R 3 hệ tọa độ vuông góc Descartes bên phải được chọn (0, tôi, j, k}.

tác phẩm nghệ thuật vector. tác phẩm nghệ thuật vector MỘT sang vectơ b gọi là vectơ c, được xác định bởi ba điều kiện sau:

1. Chiều dài vectơ c về số lượng bằng diện tích của hình bình hành dựng trên vectơ Một Và b, tức là
c= |a||b| tội lỗi( Một^b).

2. Vectơ c vuông góc với mỗi vectơ Một Và b.

3. Vectơ Một, b Và c, lấy theo thứ tự đã cho, tạo thành bộ ba bên phải.

Đối với một sản phẩm chéo c tên gọi được giới thiệu c =[bụng] hoặc
c = một × b.

Nếu các vectơ Một Và b thẳng hàng thì phạm tội( a^b) = 0 và [ bụng] = 0, cụ thể là [ aaa] = 0. Tích vectơ của vectơ đơn vị: [ ij]=k, [jk] = Tôi, [ki]=j.

Nếu các vectơ Một Và b quy định tại cơ sở tôi, j, k tọa độ Một(a 1, a 2, a 3), b(b 1, b 2, b 3), thì

Công việc hỗn hợp. Nếu tích vectơ của hai vectơ MỘT Và b nhân vô hướng với vectơ thứ ba c, thì tích của ba vectơ như vậy được gọi là công việc hỗn hợp và được biểu thị bằng ký hiệu Một b c.

Nếu các vectơ một, b Và c trong cơ sở tôi, j, k cho bởi tọa độ của chúng
Một(a 1, a 2, a 3), b(b 1, b 2, b 3), c(c 1, c 2, c 3), thì

.

Sản phẩm hỗn hợp có cách giải thích hình học đơn giản - nó là một đại lượng vô hướng, có giá trị tuyệt đối bằng thể tích của một hình bình hành được xây dựng trên ba vectơ đã cho.

Nếu các vectơ tạo thành bộ ba bên phải thì tích hỗn hợp của chúng là số dương bằng thể tích đã chỉ định; nếu đó là số ba a, b, c - trái rồi a b c<0 и V = - a b c, do đó V =|a b c|.

Tọa độ của các vectơ gặp phải trong các bài toán của chương đầu tiên được giả sử là được cho tương ứng với một cơ sở trực chuẩn đúng. Vectơ đơn vị cùng hướng với vectơ MỘT,được biểu thị bằng ký hiệu MỘTÔ. Biểu tượng r=ôi ký hiệu là vectơ bán kính điểm M, ký hiệu a, AB hoặc|a|, | AB|mô-đun của vectơ được ký hiệu MỘT Và AB.

Ví dụ 1.2. Tìm góc giữa các vectơ Một= 2tôi+4N Và b= m-n, Ở đâu tôi Và N- vectơ đơn vị và góc giữa tôi Và N bằng 120 o.

Giải pháp. Ta có: cos φ = bụng/ab ab =(2tôi+4N) (m-n) = 2tôi 2 - 4N 2 +2tôi=
= 2 - 4+2cos120 o = - 2 + 2(-0,5) = -3; một = ; Một 2 = (2tôi+4N) (2tôi+4N) =
= 4tôi 2 +16tôi+16N 2 = 4+16(-0,5)+16=12, có nghĩa là a = . b = ; b 2 =
= (m-n)(m-n) = tôi 2 -2tôi+N 2 = 1-2(-0,5)+1 = 3, có nghĩa là b = . Cuối cùng ta có: cosφ = = -1/2, φ = 120 o.

Ví dụ 1.3.Biết các vectơ AB(-3,-2.6) và BC(-2,4,4), tính độ dài đường cao AD của tam giác ABC.

Giải pháp. Biểu thị diện tích tam giác ABC bằng S, ta có:
S = 1/2 TCN sau Công nguyên. Sau đó AD=2S/BC, BC= = = 6,
S = 1/2| AB ×AC|. AC=AB+BC, có nghĩa là vectơ A.C. có tọa độ
. .

Ví dụ 1.4 . Hai vectơ được cho Một(11,10,2) và b(4,0,3). Tìm vectơ đơn vị c, trực giao với vectơ Một Và b và được hướng sao cho bộ ba vectơ có thứ tự a, b, cđã đúng.

Giải pháp.Hãy ký hiệu tọa độ của vectơ cđối với một cơ sở trực chuẩn phải cho trước theo x, y, z.

Bởi vì c ⊥ một, c ⊥b, Cái đó ca= 0,cb= 0. Theo điều kiện của bài toán thì c = 1 và a b c >0.

Ta có hệ phương trình tìm x,y,z: 11x +10y + 2z = 0, 4x+3z=0, x 2 + y 2 + z 2 = 0.

Từ phương trình thứ nhất và thứ hai của hệ ta thu được z = -4/3 x, y = -5/6 x. Thay y và z vào phương trình thứ ba, ta có: x 2 = 36/125, từ đó
x =± . Sử dụng điều kiện a b c > 0, ta thu được bất đẳng thức

Khi tính đến các biểu thức của z và y, chúng ta viết lại bất đẳng thức thu được dưới dạng: 625/6 x > 0, ngụ ý rằng x>0. Vì vậy, x = , y = - , z =- .

Sự định nghĩa. Tích vectơ của vectơ a (số nhân) và vectơ không thẳng hàng (số nhân) là vectơ c (tích) thứ ba, được xây dựng như sau:

1) mô-đun của nó về mặt số lượng bằng diện tích của hình bình hành trong Hình. 155), được xây dựng trên các vectơ, tức là nó bằng hướng vuông góc với mặt phẳng của hình bình hành đã đề cập;

3) trong trường hợp này, hướng của vectơ c được chọn (từ hai hướng có thể) sao cho các vectơ c tạo thành một hệ thuận tay phải (§ 110).

Chỉ định: hoặc

Bổ sung cho định nghĩa. Nếu các vectơ thẳng hàng, thì coi hình này là hình bình hành (có điều kiện), việc gán diện tích bằng 0 là điều đương nhiên. Do đó, tích vectơ của các vectơ cộng tuyến được coi là bằng vectơ null.

Vì vectơ null có thể được ấn định theo bất kỳ hướng nào nên thỏa thuận này không mâu thuẫn với đoạn 2 và 3 của định nghĩa.

Nhận xét 1. Trong thuật ngữ “tích vectơ”, từ đầu tiên chỉ ra rằng kết quả của hành động là một vectơ (ngược lại với tích vô hướng; xem § 104, nhận xét 1).

Ví dụ 1. Tìm tích vectơ trong đó các vectơ chính của hệ tọa độ bên phải (Hình 156).

1. Vì độ dài của các vectơ chính bằng một đơn vị tỷ lệ nên diện tích của hình bình hành (hình vuông) bằng một. Điều này có nghĩa là mô đun của tích vectơ bằng một.

2. Vì đường vuông góc với mặt phẳng là một trục nên tích vectơ mong muốn là vectơ thẳng hàng với vectơ k; và vì cả hai đều có mô đun 1, nên tích vectơ mong muốn bằng k hoặc -k.

3. Trong hai vectơ có thể có này, vectơ đầu tiên phải được chọn, vì các vectơ k tạo thành một hệ thống thuận tay phải (và các vectơ thuận tay trái).

Ví dụ 2. Tìm tích chéo

Giải pháp. Như trong ví dụ 1, chúng ta kết luận rằng vectơ bằng k hoặc -k. Nhưng bây giờ chúng ta cần chọn -k, vì các vectơ tạo thành một hệ thống thuận tay phải (và các vectơ tạo thành một hệ thống thuận tay trái). Vì thế,

Ví dụ 3. Các vectơ có độ dài lần lượt là 80 và 50 cm và tạo thành một góc 30°. Lấy mét làm đơn vị độ dài, tìm độ dài của tích vectơ a

Giải pháp. Diện tích hình bình hành dựng trên vectơ bằng Độ dài của tích vectơ mong muốn bằng

Ví dụ 4. Tìm độ dài tích vectơ của các vectơ giống nhau, lấy cm làm đơn vị độ dài.

Giải pháp. Vì diện tích của hình bình hành được xây dựng trên các vectơ bằng nhau nên chiều dài của tích vectơ bằng 2000 cm, tức là.

Từ việc so sánh ví dụ 3 và 4, rõ ràng là độ dài của vectơ không chỉ phụ thuộc vào độ dài của các thừa số mà còn phụ thuộc vào việc chọn đơn vị độ dài.

Ý nghĩa vật lý của sản phẩm vector. Trong vô số đại lượng vật lý được biểu thị bằng tích vectơ, chúng ta sẽ chỉ xét mô men của lực.

Gọi A là điểm tác dụng của lực. Mômen của lực đối với điểm O được gọi là tích vectơ vì mô đun của tích vectơ này bằng số với diện tích của hình bình hành (Hình 157), nên mô đun mô men bằng tích của đáy và chiều cao, tức là lực nhân với khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng mà lực tác dụng.

Trong cơ học, người ta đã chứng minh rằng để một vật rắn ở trạng thái cân bằng thì không chỉ tổng vectơ biểu thị các lực tác dụng lên vật đó phải bằng 0 mà còn phải bằng tổng mômen của các lực. Trong trường hợp tất cả các lực song song với một mặt phẳng, việc cộng các vectơ biểu thị mômen có thể được thay thế bằng phép cộng và trừ độ lớn của chúng. Nhưng với các hướng lực tùy ý, việc thay thế như vậy là không thể. Theo đó, tích vectơ được xác định chính xác dưới dạng vectơ chứ không phải dưới dạng số.