Vì vậy, Định lý cuối cùng của Fermat (thường được gọi là định lý cuối cùng của Fermat), được xây dựng vào năm 1637 bởi nhà toán học lỗi lạc người Pháp Pierre Fermat, có bản chất rất đơn giản và dễ hiểu đối với bất kỳ ai có trình độ học vấn trung học. Nó nói rằng công thức a lũy thừa n + b lũy thừa n = c lũy thừa n không có nghiệm tự nhiên (nghĩa là không phải phân số) cho n > 2. Mọi thứ có vẻ đơn giản và rõ ràng, nhưng những nhà toán học giỏi nhất và những người nghiệp dư bình thường đã phải vật lộn với việc tìm kiếm lời giải trong hơn ba thế kỷ rưỡi.
Tại sao cô ấy lại nổi tiếng như vậy? Bây giờ chúng ta sẽ tìm hiểu...
Có nhiều định lý đã được chứng minh, chưa được chứng minh và chưa được chứng minh không? Vấn đề ở đây là Định lý cuối cùng của Fermat thể hiện sự tương phản lớn nhất giữa tính đơn giản của công thức và tính phức tạp của chứng minh. Định lý cuối cùng của Fermat là một bài toán cực kỳ khó, tuy nhiên bất kỳ ai chỉ học lớp 5 trung học đều có thể hiểu được công thức của nó, nhưng ngay cả nhà toán học chuyên nghiệp cũng không thể hiểu được cách chứng minh. Cả trong vật lý, hóa học, sinh học, cũng như toán học, không có một vấn đề nào có thể được phát biểu một cách đơn giản như vậy nhưng vẫn chưa được giải quyết trong một thời gian dài. 2. Nó bao gồm những gì?
Hãy bắt đầu với quần Pythagore Cách diễn đạt thực sự đơn giản - thoạt nhìn. Như chúng ta đã biết từ thời thơ ấu, “Quần Pythagore đều bình đẳng về mọi mặt”. Bài toán trông rất đơn giản vì nó dựa trên một phát biểu toán học mà ai cũng biết - định lý Pythagore: trong bất kỳ tam giác vuông nào, bình phương dựng trên cạnh huyền bằng tổng các bình phương dựng trên hai cạnh huyền.
Vào thế kỷ thứ 5 trước Công nguyên. Pythagoras thành lập hội anh em Pythagore. Pythagore, trong số những môn khác, đã nghiên cứu các bộ ba số nguyên thỏa mãn đẳng thức x2+y2=z2. Họ đã chứng minh rằng có vô số bộ ba Pythagore và thu được công thức tổng quát để tìm chúng. Có lẽ họ đã cố gắng tìm kiếm bằng cấp C và cao hơn. Tin chắc rằng điều này không hiệu quả, những người theo trường phái Pythagore đã từ bỏ những nỗ lực vô ích của mình. Các thành viên của hội này là những triết gia và nhà thẩm mỹ hơn là những nhà toán học.
Nghĩa là dễ dàng chọn được một tập hợp số thỏa mãn hoàn toàn đẳng thức x2+y2=z2
Bắt đầu từ 3, 4, 5 - quả thực, một học sinh cuối cấp hiểu rằng 9 + 16 = 25.
Hoặc 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. Tuyệt vời.
Và như thế. Điều gì sẽ xảy ra nếu chúng ta lấy một phương trình tương tự x³+y³=z³? Có lẽ cũng có những con số như vậy?
Và vân vân (Hình 1).
Vì vậy, hóa ra là KHÔNG. Đây là nơi thủ thuật bắt đầu. Sự đơn giản là rõ ràng, bởi vì rất khó để chứng minh không phải sự hiện diện của một cái gì đó, mà ngược lại, sự vắng mặt của nó. Khi bạn cần chứng minh rằng có một giải pháp, bạn có thể và chỉ nên trình bày giải pháp này.
Chứng minh sự vắng mặt khó khăn hơn: ví dụ, có người nói: phương trình như vậy và phương trình như vậy không có nghiệm. Đặt anh ta vào một vũng nước? dễ thôi: bam - và đây rồi, giải pháp! (đưa ra giải pháp). Và thế là đối thủ bị đánh bại. Làm thế nào để chứng minh sự vắng mặt?
Nói: “Tôi chưa tìm ra giải pháp như vậy”? Hoặc có thể bạn trông không được khỏe? Sẽ ra sao nếu chúng tồn tại, chỉ rất lớn, rất lớn đến mức ngay cả một chiếc máy tính siêu mạnh cũng không đủ sức mạnh? Đây chính là điều khó khăn.
Điều này có thể được thể hiện một cách trực quan như thế này: nếu bạn lấy hai hình vuông có kích thước phù hợp và tách chúng thành các hình vuông đơn vị, thì từ bó hình vuông đơn vị này, bạn sẽ có được hình vuông thứ ba (Hình 2):
Nhưng hãy làm tương tự với chiều thứ ba (Hình 3) – nó không hoạt động. Không có đủ hình khối hoặc còn thừa hình khối:
Nhưng nhà toán học người Pháp thế kỷ 17 Pierre de Fermat đã nhiệt tình nghiên cứu phương trình tổng quát x n +y n =z n . Và cuối cùng, tôi kết luận: với n>2 không có nghiệm số nguyên. Chứng minh của Fermat đã bị thất lạc một cách không thể cứu vãn được. Bản thảo đang cháy! Tất cả những gì còn lại là nhận xét của ông trong cuốn Số học của Diophantus: “Tôi đã tìm thấy một bằng chứng thực sự đáng kinh ngạc cho mệnh đề này, nhưng lề ở đây quá hẹp để chứa đựng nó”.
Trên thực tế, một định lý không có bằng chứng được gọi là giả thuyết. Nhưng Fermat nổi tiếng là người không bao giờ mắc sai lầm. Ngay cả khi anh ta không để lại bằng chứng cho một tuyên bố, nó sau đó đã được xác nhận. Hơn nữa, Fermat đã chứng minh luận điểm của mình cho n=4. Như vậy, giả thuyết của nhà toán học người Pháp đã đi vào lịch sử với tên gọi Định lý cuối cùng của Fermat.
Sau Fermat, những bộ óc vĩ đại như Leonhard Euler đã nghiên cứu việc tìm kiếm một chứng minh (năm 1770 ông đã đề xuất một nghiệm cho n = 3),
Adrien Legendre và Johann Dirichlet (những nhà khoa học này đã cùng nhau tìm ra cách chứng minh cho n = 5 vào năm 1825), Gabriel Lamé (người đã tìm ra cách chứng minh cho n = 7) và nhiều người khác. Vào giữa những năm 80 của thế kỷ trước, người ta thấy rõ rằng thế giới khoa học đang trên đường đi tới lời giải cuối cùng của Định lý cuối cùng của Fermat, nhưng chỉ đến năm 1993 các nhà toán học mới nhìn thấy và tin rằng thiên sử thi kéo dài ba thế kỷ về việc tìm kiếm một chứng minh của Định lý cuối cùng của Fermat gần như đã kết thúc.
Dễ dàng chứng minh rằng chỉ cần chứng minh định lý Fermat cho n đơn giản: 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... Đối với hợp số n, chứng minh vẫn có giá trị. Nhưng có vô số số nguyên tố...
Năm 1825, sử dụng phương pháp của Sophie Germain, các nhà toán học nữ Dirichlet và Legendre đã độc lập chứng minh định lý cho n=5. Năm 1839, bằng cách sử dụng phương pháp tương tự, người Pháp Gabriel Lame đã chứng minh tính đúng đắn của định lý đối với n=7. Dần dần định lý đã được chứng minh cho hầu hết n nhỏ hơn một trăm.
Cuối cùng, nhà toán học người Đức Ernst Kummer, trong một nghiên cứu xuất sắc, đã chỉ ra rằng định lý nói chung không thể được chứng minh bằng các phương pháp toán học của thế kỷ 19. Giải thưởng của Viện Hàn lâm Khoa học Pháp, được thành lập vào năm 1847 cho việc chứng minh định lý Fermat, vẫn chưa được trao.
Năm 1907, nhà công nghiệp giàu có người Đức Paul Wolfskehl đã quyết định tự kết liễu đời mình vì mối tình đơn phương. Giống như một người Đức thực thụ, anh ấn định ngày giờ tự sát: đúng nửa đêm. Vào ngày cuối cùng, ông đã lập di chúc và viết thư cho bạn bè, người thân. Mọi chuyện kết thúc trước nửa đêm. Phải nói rằng Paul rất thích toán học. Không còn việc gì khác để làm, anh đến thư viện và bắt đầu đọc bài báo nổi tiếng của Kummer. Đột nhiên anh có cảm giác như Kummer đã mắc sai lầm trong lý luận của mình. Wolfskel bắt đầu phân tích phần này của bài báo bằng cây bút chì trên tay. Nửa đêm đã qua, bình minh đã tới. Khoảng trống trong bằng chứng đã được lấp đầy. Và lý do tự tử bây giờ trông hoàn toàn vô lý. Paul xé những lá thư từ biệt và viết lại di chúc.
Ông sớm chết vì nguyên nhân tự nhiên. Những người thừa kế khá ngạc nhiên: 100.000 mác (hơn 1.000.000 bảng Anh hiện nay) đã được chuyển vào tài khoản của Hiệp hội Khoa học Hoàng gia Göttingen, tổ chức này cùng năm đã công bố một cuộc thi giành Giải thưởng Wolfskehl. 100.000 điểm được trao cho người chứng minh được định lý Fermat. Không một xu nào được trao cho việc bác bỏ định lý...
Hầu hết các nhà toán học chuyên nghiệp đều coi việc tìm kiếm chứng minh Định lý cuối cùng của Fermat là một nhiệm vụ vô vọng và kiên quyết từ chối lãng phí thời gian vào một bài tập vô ích như vậy. Nhưng những người nghiệp dư đã có một vụ nổ. Một vài tuần sau thông báo, một loạt “bằng chứng” đã tấn công Đại học Göttingen. Giáo sư E.M. Landau, người chịu trách nhiệm phân tích các bằng chứng được gửi đến, đã phân phát thẻ cho học sinh của mình:
Kính thưa. . . . . . . .
Cảm ơn bạn đã gửi cho tôi bản thảo chứng minh Định lý cuối cùng của Fermat. Lỗi đầu tiên là ở trang ... trong dòng... . Vì nó, toàn bộ bằng chứng mất đi giá trị của nó.
Giáo sư E. M. Landau
Năm 1963, Paul Cohen, dựa vào những phát hiện của Gödel, đã chứng minh tính không thể giải quyết được của một trong 23 vấn đề của Hilbert - giả thuyết liên tục. Điều gì sẽ xảy ra nếu Định lý cuối cùng của Fermat cũng không thể giải quyết được?! Nhưng những người cuồng Định lý vĩ đại thực sự không hề thất vọng chút nào. Sự ra đời của máy tính bất ngờ mang đến cho các nhà toán học một phương pháp chứng minh mới. Sau Thế chiến thứ hai, các nhóm lập trình viên và nhà toán học đã chứng minh Định lý cuối cùng của Fermat cho tất cả các giá trị của n lên tới 500, sau đó lên tới 1.000 và sau đó lên tới 10.000.
Vào những năm 1980, Samuel Wagstaff đã nâng giới hạn lên 25.000, và vào những năm 1990, các nhà toán học tuyên bố rằng Định lý cuối cùng của Fermat đúng với mọi giá trị n cho đến 4 triệu. Nhưng nếu bạn trừ đi ngay cả một nghìn tỷ nghìn tỷ từ vô cực, nó sẽ không trở nên nhỏ hơn. Các nhà toán học không bị thuyết phục bởi số liệu thống kê. Chứng minh Định lý lớn có nghĩa là chứng minh nó cho TẤT CẢ n tiến đến vô cùng.
Năm 1954, hai người bạn toán học trẻ người Nhật bắt đầu nghiên cứu các dạng modul. Các dạng này tạo ra chuỗi số, mỗi chuỗi có chuỗi riêng. Tình cờ, Taniyama so sánh những chuỗi này với chuỗi sinh ra bởi phương trình eliptic. Họ khớp nhau! Nhưng dạng modul là đối tượng hình học, còn phương trình elip là đại số. Không có kết nối nào được tìm thấy giữa các đối tượng khác nhau như vậy.
Tuy nhiên, sau khi kiểm tra cẩn thận, những người bạn đã đưa ra một giả thuyết: mọi phương trình elip đều có một phương trình song sinh - dạng mô đun và ngược lại. Chính giả thuyết này đã trở thành nền tảng cho cả một hướng đi trong toán học, nhưng cho đến khi giả thuyết Taniyama-Shimura được chứng minh, toàn bộ tòa nhà có thể sụp đổ bất cứ lúc nào.
Năm 1984, Gerhard Frey chỉ ra rằng nghiệm của phương trình Fermat, nếu nó tồn tại, có thể được đưa vào một số phương trình elip. Hai năm sau, Giáo sư Ken Ribet đã chứng minh rằng phương trình giả thuyết này không thể có được phương trình tương đương trong thế giới mô-đun. Từ nay trở đi, Định lý cuối cùng của Fermat gắn bó chặt chẽ với giả thuyết Taniyama–Shimura. Sau khi chứng minh rằng mọi đường cong elip đều có tính mô đun, chúng ta kết luận rằng không có phương trình eliptic nào có nghiệm của phương trình Fermat và Định lý cuối cùng của Fermat sẽ được chứng minh ngay lập tức. Nhưng trong ba mươi năm, người ta không thể chứng minh được giả thuyết Taniyama-Shimura và ngày càng có ít hy vọng thành công.
Năm 1963, khi mới 10 tuổi, Andrew Wiles đã bị mê hoặc bởi toán học. Khi biết về Định lý vĩ đại, anh nhận ra rằng mình không thể từ bỏ nó. Khi còn là một cậu học sinh, sinh viên và nghiên cứu sinh, anh đã chuẩn bị tinh thần cho nhiệm vụ này.
Sau khi biết được những phát hiện của Ken Ribet, Wiles lao thẳng vào việc chứng minh giả thuyết Taniyama-Shimura. Anh quyết định làm việc hoàn toàn biệt lập và bí mật. “Tôi nhận ra rằng mọi thứ liên quan đến Định lý cuối cùng của Fermat đều khơi dậy quá nhiều sự quan tâm… Quá nhiều khán giả rõ ràng đã cản trở việc đạt được mục tiêu.” Bảy năm làm việc chăm chỉ đã được đền đáp; Wiles cuối cùng đã hoàn thành việc chứng minh giả thuyết Taniyama–Shimura.
Năm 1993, nhà toán học người Anh Andrew Wiles đã trình bày với thế giới bằng chứng của ông về Định lý cuối cùng của Fermat (Wiles đọc bài báo giật gân của ông tại một hội nghị tại Viện Sir Isaac Newton ở Cambridge.), công trình kéo dài hơn bảy năm.
Trong khi sự cường điệu vẫn tiếp tục trên báo chí, công việc nghiêm túc bắt đầu xác minh bằng chứng. Mỗi bằng chứng phải được xem xét cẩn thận trước khi bằng chứng có thể được coi là chặt chẽ và chính xác. Wiles đã trải qua một mùa hè không ngừng nghỉ để chờ đợi phản hồi từ những người đánh giá, hy vọng rằng anh có thể giành được sự chấp thuận của họ. Vào cuối tháng 8, các chuyên gia nhận thấy phán quyết này không đủ cơ sở.
Hóa ra quyết định này có một sai sót nghiêm trọng, mặc dù nhìn chung nó đúng. Wiles đã không bỏ cuộc, nhờ đến sự giúp đỡ của chuyên gia nổi tiếng về lý thuyết số Richard Taylor, và vào năm 1994, họ đã công bố một bằng chứng chính xác và mở rộng về định lý. Điều đáng kinh ngạc nhất là tác phẩm này chiếm tới 130 (!) trang trên tạp chí toán học “Biên niên sử toán học”. Nhưng câu chuyện cũng không kết thúc ở đó - điểm cuối cùng chỉ đạt được vào năm tiếp theo, 1995, khi phiên bản cuối cùng và “lý tưởng” từ quan điểm toán học được công bố.
“...nửa phút sau khi bắt đầu bữa tối lễ hội nhân dịp sinh nhật của cô ấy, tôi đã đưa cho Nadya bản thảo bằng chứng đầy đủ” (Andrew Wales). Tôi chưa nói rằng các nhà toán học là những người kỳ lạ sao?
Lần này không có nghi ngờ gì về bằng chứng. Hai bài báo đã được phân tích cẩn thận nhất và được xuất bản vào tháng 5 năm 1995 trên Biên niên sử Toán học.
Đã rất nhiều thời gian trôi qua kể từ thời điểm đó nhưng trong xã hội vẫn còn dư luận cho rằng Định lý cuối cùng của Fermat là không thể giải được. Nhưng ngay cả những người biết về chứng minh được tìm thấy vẫn tiếp tục làm việc theo hướng này - ít người hài lòng rằng Định lý lớn yêu cầu lời giải dài 130 trang!
Vì vậy, hiện nay nỗ lực của nhiều nhà toán học (chủ yếu là nghiệp dư, không phải nhà khoa học chuyên nghiệp) dồn vào việc tìm kiếm một bằng chứng đơn giản và ngắn gọn, nhưng con đường này rất có thể sẽ không dẫn đến đâu...
ĐỊNH LÝ TUYỆT VỜI CỦA FERMA - một tuyên bố của Pierre Fermat (một luật sư và nhà toán học bán thời gian người Pháp) rằng phương trình Diophantine X n + Y n = Z n , với số mũ n>2, trong đó n = số nguyên, không có nghiệm nào là số nguyên dương . Văn bản của tác giả: “Không thể phân tách một khối lập phương thành hai lập phương, hoặc một nhị phương thành hai nhị phương, hoặc nói chung một lũy thừa lớn hơn hai thành hai lũy thừa có cùng số mũ.”
"Fermat và định lý của ông", Amadeo Modigliani, 1920
Pierre đã đưa ra định lý này vào ngày 29 tháng 3 năm 1636. Và khoảng 29 năm sau ông qua đời. Nhưng đó là nơi mọi chuyện bắt đầu. Rốt cuộc, một người Đức giàu có, yêu toán học tên là Wolfskehl đã để lại một trăm nghìn mác cho người đưa ra được chứng minh hoàn chỉnh cho định lý Fermat! Nhưng sự phấn khích xung quanh định lý không chỉ gắn liền với điều này mà còn gắn liền với niềm đam mê toán học nghề nghiệp. Chính Fermat đã ám chỉ với cộng đồng toán học rằng ông biết cách chứng minh - không lâu trước khi qua đời, vào năm 1665, ông đã để lại ghi chú sau đây bên lề cuốn Số học của Diophantus thuộc Alexandria: "Tôi có một chứng minh rất ấn tượng, nhưng nó quá lớn để có thể giải thích được." đặt trên cánh đồng."
Chính gợi ý này (tất nhiên cộng thêm tiền thưởng) đã buộc các nhà toán học phải dành những năm tháng đẹp nhất của mình để tìm kiếm một chứng minh nhưng không thành công (theo các nhà khoa học Mỹ, riêng các nhà toán học chuyên nghiệp đã dành tổng cộng 543 năm cho việc này).
Tại một thời điểm nào đó (năm 1901), công trình nghiên cứu định lý Fermat đã mang lại danh tiếng đáng ngờ là “công việc giống như việc tìm kiếm một cỗ máy chuyển động vĩnh viễn” (thậm chí một thuật ngữ xúc phạm đã xuất hiện - “Fermatist”). Và bất ngờ, vào ngày 23/6/1993, tại hội nghị toán học về lý thuyết số ở Cambridge, giáo sư toán học người Anh của Đại học Princeton (New Jersey, Mỹ), Andrew Wiles, tuyên bố rằng Fermat cuối cùng đã chứng minh được điều đó!
Tuy nhiên, bằng chứng không chỉ phức tạp mà còn sai rõ ràng, như Wiles đã được các đồng nghiệp của ông chỉ ra. Nhưng Giáo sư Wiles đã mơ cả đời chứng minh được định lý này, nên không có gì đáng ngạc nhiên khi vào tháng 5 năm 1994 ông đã trình bày một phiên bản mới, được sửa đổi của chứng minh cho cộng đồng khoa học. Không có sự hài hòa hay vẻ đẹp nào trong đó, và nó vẫn rất phức tạp - thực tế là các nhà toán học đã dành cả năm (!) để phân tích chứng minh này để hiểu liệu nó có sai hay không đã nói lên điều đó!
Nhưng cuối cùng, chứng minh của Wiles được cho là đúng. Nhưng các nhà toán học đã không tha thứ cho Pierre Fermat vì lời gợi ý của ông về “Số học”, và trên thực tế, họ bắt đầu coi ông là kẻ nói dối. Trên thực tế, người đầu tiên đặt câu hỏi về tính chính trực về mặt đạo đức của Fermat chính là Andrew Wiles, người đã lưu ý rằng "Fermat không thể có bằng chứng như vậy. Đây là bằng chứng của thế kỷ XX." Sau đó, trong số các nhà khoa học khác, ý kiến trở nên mạnh mẽ hơn rằng Fermat “không thể chứng minh định lý của mình theo một cách khác, và Fermat không thể chứng minh nó theo cách mà Wiles đã làm vì những lý do khách quan”.
Trên thực tế, tất nhiên, Fermat có thể chứng minh điều đó, và một lát sau, bằng chứng này sẽ được các nhà phân tích của Bách khoa toàn thư phân tích mới tái hiện lại. Nhưng những “lý do khách quan” này là gì?
Thực ra chỉ có một lý do như vậy: vào những năm Fermat còn sống, giả thuyết Taniyama, dựa trên chứng minh của Andrew Wiles, đã không thể xuất hiện, bởi vì các hàm mô-đun mà giả thuyết Taniyama vận hành chỉ được phát hiện vào cuối thế kỷ 19. thế kỷ.
Bản thân Wiles đã chứng minh định lý này như thế nào? Câu hỏi này không hề ngớ ngẩn - điều quan trọng là phải hiểu làm thế nào chính Fermat có thể chứng minh định lý của mình. Chứng minh của Wiles dựa trên chứng minh của giả thuyết Taniyama, được đưa ra vào năm 1955 bởi nhà toán học 28 tuổi người Nhật Yutaka Taniyama.
Giả thuyết nghe có vẻ như thế này: “mỗi đường cong elip tương ứng với một dạng mô-đun nhất định”. Đường cong elip, được biết đến từ lâu, có dạng hai chiều (nằm trên một mặt phẳng), trong khi các hàm mô-đun có dạng bốn chiều. Đó là, giả thuyết của Taniyama đã kết hợp những khái niệm hoàn toàn khác nhau - những đường cong phẳng đơn giản và những hình dạng bốn chiều không thể tưởng tượng được. Thực tế kết hợp các hình ảnh có nhiều chiều khác nhau trong giả thuyết dường như vô lý đối với các nhà khoa học, đó là lý do tại sao vào năm 1955 nó không được coi trọng.
Tuy nhiên, vào mùa thu năm 1984, “giả thuyết Taniyama” bất ngờ được nhớ lại một lần nữa, và không chỉ được ghi nhớ mà cách chứng minh có thể có của nó cũng liên quan đến chứng minh định lý Fermat! Điều này được thực hiện bởi nhà toán học Saarbrücken Gerhard Frey, người đã thông báo với cộng đồng khoa học rằng “nếu ai đó chứng minh được giả thuyết Taniyama thì Định lý cuối cùng của Fermat cũng sẽ được chứng minh”.
Frey đã làm gì? Ông đã biến đổi phương trình Fermat thành phương trình bậc ba, sau đó nhận thấy rằng đường cong elip thu được bằng phương trình Fermat chuyển đổi thành phương trình bậc ba không thể có tính mô đun. Tuy nhiên, phỏng đoán của Taniyama cho rằng bất kỳ đường cong elip nào cũng có thể là mô đun! Theo đó, một đường cong elliptic xây dựng từ phương trình Fermat không thể tồn tại, nghĩa là không thể có nghiệm toàn phần và định lý Fermat, nghĩa là đúng. Chà, vào năm 1993, Andrew Wiles đã chứng minh được giả thuyết của Taniyama và do đó là định lý Fermat.
Tuy nhiên, định lý Fermat có thể được chứng minh đơn giản hơn nhiều, trên cơ sở tính đa chiều giống như cả Taniyama và Frey đã vận dụng.
Để bắt đầu, chúng ta hãy chú ý đến điều kiện do chính Pierre Fermat chỉ ra - n>2. Tại sao điều kiện này lại cần thiết? Có, chỉ vì thực tế là với n=2, trường hợp đặc biệt của định lý Fermat trở thành định lý Pythagore thông thường X 2 +Y 2 =Z 2, có vô số nghiệm nguyên - 3,4,5; 5,12,13; 7,24,25; 8,15,17; 12,16,20; 51.140.149, v.v. Vì vậy, định lý Pythagoras là một ngoại lệ đối với định lý Fermat.
Nhưng tại sao lại có ngoại lệ như vậy xảy ra trong trường hợp n=2? Mọi thứ sẽ đâu vào đấy nếu bạn thấy mối quan hệ giữa độ (n=2) và kích thước của chính hình đó. Tam giác Pythagore là một hình hai chiều. Không có gì ngạc nhiên khi Z (nghĩa là cạnh huyền) có thể được biểu diễn dưới dạng chân (X và Y), có thể là số nguyên. Kích thước của góc (90) cho phép coi cạnh huyền là một vectơ và chân là các vectơ nằm trên trục và xuất phát từ gốc tọa độ. Theo đó, có thể biểu diễn một vectơ hai chiều không nằm trên bất kỳ trục nào theo các vectơ nằm trên chúng.
Bây giờ, nếu chúng ta chuyển sang chiều thứ ba, và do đó đến n=3, để biểu diễn vectơ ba chiều, sẽ không có đủ thông tin về hai vectơ, và do đó, có thể biểu diễn Z trong phương trình Fermat qua ít nhất ba số hạng (ba vectơ lần lượt nằm trên ba trục của hệ tọa độ).
Nếu n=4 thì sẽ có 4 số hạng, nếu n=5 thì sẽ có 5 số hạng, v.v. Trong trường hợp này, sẽ có quá nhiều giải pháp tổng thể. Ví dụ: 3 3 +4 3 +5 3 =6 3, v.v. (bạn có thể tự chọn các ví dụ khác cho n=3, n=4, v.v.).
Điều gì xảy ra sau tất cả những điều này? Từ đó suy ra rằng định lý Fermat thực sự không có nghiệm nguyên cho n>2 - mà chỉ vì bản thân phương trình đó không đúng! Với thành công tương tự, người ta có thể thử biểu diễn thể tích của một hình bình hành theo độ dài hai cạnh của nó - tất nhiên, điều này là không thể (sẽ không bao giờ tìm được toàn bộ nghiệm), mà chỉ vì để tìm thể tích của một hình bình hành bạn cần biết độ dài của cả ba cạnh của nó.
Khi nhà toán học nổi tiếng David Gilbert được hỏi vấn đề quan trọng nhất của khoa học hiện nay là gì, ông trả lời “bắt ruồi ở phía xa của mặt trăng”. Đối với câu hỏi hợp lý “Ai cần cái này?” ông trả lời: “Không ai cần điều này nhưng hãy nghĩ xem có bao nhiêu vấn đề quan trọng, phức tạp cần được giải quyết để thực hiện được điều này”.
Nói cách khác, Fermat (trước hết là một luật sư!) đã chơi một trò đùa pháp lý dí dỏm đối với toàn bộ thế giới toán học, dựa trên một cách phát biểu sai của bài toán. Trên thực tế, ông đề nghị các nhà toán học tìm ra câu trả lời tại sao một con ruồi ở phía bên kia của Mặt trăng không thể sống được, và bên lề cuốn “Số học”, ông chỉ muốn viết rằng đơn giản là không có không khí trên Mặt trăng, tức là không có không khí trên Mặt trăng. Không thể có toàn bộ nghiệm cho định lý của ông với n>2 chỉ vì mỗi giá trị của n phải tương ứng với một số số hạng nhất định ở vế trái của phương trình.
Nhưng đó có phải chỉ là một trò đùa? Không có gì. Thiên tài của Fermat nằm chính xác ở chỗ ông thực sự là người đầu tiên nhìn ra mối quan hệ giữa bậc và kích thước của một hình toán học - nghĩa là, nó hoàn toàn tương đương với số số hạng ở vế trái của phương trình. Ý nghĩa của định lý nổi tiếng của ông chính xác là không chỉ thúc đẩy thế giới toán học nghĩ ra mối quan hệ này mà còn đưa ra bằng chứng về sự tồn tại của mối quan hệ này - có thể hiểu được bằng trực giác nhưng chưa được chứng minh về mặt toán học.
Fermat, không giống ai khác, hiểu rằng việc thiết lập mối quan hệ giữa các vật thể dường như khác nhau là cực kỳ hiệu quả không chỉ trong toán học mà còn trong bất kỳ ngành khoa học nào. Mối quan hệ này chỉ ra một số nguyên tắc sâu sắc làm nền tảng cho cả hai đối tượng và cho phép hiểu sâu hơn về chúng.
Ví dụ, các nhà vật lý ban đầu xem điện và từ là những hiện tượng hoàn toàn không liên quan, nhưng vào thế kỷ 19, các nhà lý thuyết và thực nghiệm nhận ra rằng điện và từ có liên quan chặt chẽ với nhau. Kết quả là đã đạt được sự hiểu biết sâu sắc hơn về cả điện và từ. Dòng điện tạo ra từ trường và nam châm có thể tạo ra dòng điện trong dây dẫn gần nam châm. Điều này dẫn đến việc phát minh ra máy phát điện và động cơ điện. Cuối cùng người ta phát hiện ra rằng ánh sáng là kết quả của sự dao động điều hòa phối hợp của từ trường và điện trường.
Toán học thời Fermat bao gồm những hòn đảo kiến thức trong biển cả sự ngu dốt. Trên một hòn đảo có các nhà hình học đang nghiên cứu các hình dạng, trên một hòn đảo khác, lý thuyết của các nhà toán học xác suất đã nghiên cứu về rủi ro và tính ngẫu nhiên. Ngôn ngữ của hình học rất khác với ngôn ngữ của lý thuyết xác suất và thuật ngữ đại số rất xa lạ với những người chỉ nói về thống kê. Thật không may, toán học của thời đại chúng ta gần như bao gồm những hòn đảo giống nhau.
Fermat là người đầu tiên nhận ra rằng tất cả những hòn đảo này đều có mối liên hệ với nhau. Và định lý nổi tiếng của ông - Định lý cuối cùng của Fermat - là một sự xác nhận xuất sắc cho điều này.
Không có nhiều người trên thế giới chưa từng nghe đến Định lý cuối cùng của Fermat- có lẽ đây là bài toán duy nhất được biết đến rộng rãi và trở thành huyền thoại thực sự. Nó được đề cập trong nhiều sách và phim, và bối cảnh chính của hầu hết các tài liệu tham khảo đều là không thể chứng minh được định lý.
Đúng vậy, định lý này rất nổi tiếng và theo một nghĩa nào đó, đã trở thành một “thần tượng” được các nhà toán học nghiệp dư và chuyên nghiệp tôn sùng, nhưng ít người biết rằng bằng chứng của nó đã được tìm thấy, và điều này đã xảy ra vào năm 1995. Nhưng điều đầu tiên trước tiên.
Vì vậy, Định lý cuối cùng của Fermat (thường được gọi là định lý cuối cùng của Fermat), được xây dựng vào năm 1637 bởi một nhà toán học lỗi lạc người Pháp Pierre Fermat, về bản chất rất đơn giản và dễ hiểu đối với bất kỳ người nào có trình độ học vấn trung học. Nó nói rằng công thức a n + b n = c n không có nghiệm tự nhiên (nghĩa là không phải phân số) cho n > 2. Mọi thứ có vẻ đơn giản và rõ ràng, nhưng các nhà toán học giỏi nhất và những người nghiệp dư bình thường đã phải vật lộn để tìm ra nghiệm cho hơn ba thế kỷ rưỡi.
Bản thân Fermat tuyên bố rằng ông đã rút ra được một bằng chứng rất đơn giản và ngắn gọn cho lý thuyết của mình, nhưng vẫn chưa tìm thấy bằng chứng tài liệu nào về thực tế này. Vì vậy, hiện nay người ta tin rằng Fermat không bao giờ có thể tìm được nghiệm tổng quát cho định lý của mình, mặc dù một bằng chứng cụ thể cho n = 4 đến từ ngòi bút của ông.
Sau Fermat, những bộ óc vĩ đại như Leonard Euler(năm 1770 ông đề xuất giải pháp cho n = 3), Adrien Legendre và Johann Dirichlet(các nhà khoa học này đã cùng nhau tìm ra cách chứng minh cho n = 5 vào năm 1825), Gabriel Lame(người đã tìm ra cách chứng minh cho n = 7) và nhiều người khác. Đến giữa những năm 80 của thế kỷ trước, rõ ràng thế giới khoa học đang trên đường đi đến giải pháp cuối cùng
Tuy nhiên, Định lý cuối cùng của Fermat, phải đến năm 1993, các nhà toán học mới nhìn thấy và tin rằng thiên sử thi kéo dài ba thế kỷ về việc tìm ra cách chứng minh định lý cuối cùng của Fermat trên thực tế đã kết thúc.
Năm 1993, một nhà toán học người Anh Andrew Wilesđã trình bày với thế giới về anh ấy chứng minh Định lý cuối cùng của Fermat, công việc kéo dài hơn bảy năm. Nhưng hóa ra quyết định này có một sai sót nghiêm trọng, mặc dù nhìn chung nó là đúng. Wiles đã không bỏ cuộc, nhờ đến sự giúp đỡ của chuyên gia nổi tiếng về lý thuyết số Richard Taylor, và vào năm 1994, họ đã công bố một bằng chứng chính xác và mở rộng về định lý. Điều đáng kinh ngạc nhất là tác phẩm này chiếm tới 130 (!) trang trên tạp chí toán học “Biên niên sử toán học”. Nhưng câu chuyện cũng không kết thúc ở đó - điểm cuối cùng chỉ đạt được vào năm tiếp theo, 1995, khi phiên bản cuối cùng và “lý tưởng” từ quan điểm toán học được công bố.
Đã rất nhiều thời gian trôi qua kể từ thời điểm đó nhưng trong xã hội vẫn còn dư luận cho rằng Định lý cuối cùng của Fermat là không thể giải được. Nhưng ngay cả những người biết về chứng minh được tìm thấy vẫn tiếp tục làm việc theo hướng này - ít người hài lòng rằng Định lý lớn yêu cầu lời giải dài 130 trang! Vì vậy, hiện nay nỗ lực của nhiều nhà toán học (chủ yếu là nghiệp dư, không phải nhà khoa học chuyên nghiệp) dồn vào việc tìm kiếm một bằng chứng đơn giản và ngắn gọn, nhưng con đường này rất có thể sẽ không dẫn đến đâu...
TIN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
UDC 51:37;517.958
A.V. Konovko, tiến sĩ
Học viện Phòng cháy chữa cháy Nhà nước thuộc Bộ Tình trạng khẩn cấp Nga ĐỊNH LÝ TUYỆT VỜI CỦA FERMA ĐÃ ĐƯỢC CHỨNG MINH. HAY KHÔNG?
Trong nhiều thế kỷ, người ta không thể chứng minh rằng phương trình xn+yn=zn với n>2 là không thể giải được dưới dạng số hữu tỉ, và do đó là số nguyên. Bài toán này ra đời dưới sự tác giả của luật sư người Pháp Pierre Fermat, người đồng thời cũng tham gia toán học một cách chuyên nghiệp. Quyết định của cô được ghi nhận là do giáo viên toán người Mỹ Andrew Wiles. Sự công nhận này kéo dài từ năm 1993 đến năm 1995.
ĐỊNH NGHĨA FERMA TUYỆT VỜI ĐƯỢC CHỨNG MINH HAY KHÔNG?
Lịch sử đầy kịch tính của việc chứng minh định lý cuối cùng của Fermat được xem xét. Phải mất gần bốn trăm năm. Pierre Fermat viết rất ít. Ông viết theo phong cách nén. Ngoài ra, ông không công bố các nghiên cứu của mình. Tuyên bố rằng phương trình xn+yn=zn là không thể giải được về các tập hợp số hữu tỉ và số nguyên nếu n>2 có sự tham gia của bình luận của Fermat rằng ông đã thấy thực sự đáng chú ý khi chứng minh cho tuyên bố này. Con cháu đã không đạt được bằng chứng này. Sau này phát biểu này được gọi là định lý cuối cùng của Fermat. Các nhà toán học giỏi nhất thế giới đã phá vỡ định lý này mà không có kết quả. Vào những năm bảy mươi, thành viên toán học người Pháp của Viện Hàn lâm Khoa học Paris, Andre Veil, đã đặt ra những cách tiếp cận mới cho lời giải. Vào ngày 23 tháng 6, Năm 1993, tại hội nghị lý thuyết số ở Cambridge, nhà toán học Andrew Whiles của Đại học Princeton tuyên bố rằng việc chứng minh định lý cuối cùng của Fermat đã hoàn tất. Tuy nhiên vẫn còn sớm để giành chiến thắng.
Năm 1621, nhà văn người Pháp và người yêu toán học Claude Gaspard Bachet de Meziriak đã xuất bản chuyên luận tiếng Hy Lạp “Số học” của Diophantus với bản dịch và bình luận bằng tiếng Latinh. Cuốn sách “Số học” sang trọng với lề rộng bất thường đã rơi vào tay Fermat 20 tuổi và trở thành cuốn sách tham khảo của anh trong nhiều năm. Bên lề cuốn sách, ông để lại 48 ghi chú chứa đựng những sự thật mà ông đã khám phá ra về tính chất của các con số. Ở đây, bên lề cuốn “Số học”, định lý vĩ đại của Fermat đã được phát biểu: “Không thể phân tách một khối lập phương thành hai lập phương hoặc một nhị phương thành hai nhị phương, hoặc nói chung một lũy thừa lớn hơn hai thành hai lũy thừa có cùng số mũ; Tôi đã tìm thấy một bằng chứng thực sự tuyệt vời về điều này, do thiếu không gian nên không thể đưa vào các lĩnh vực này.” Nhân tiện, trong tiếng Latinh nó trông như thế này: “Cubum autem in Duos cubos, aut quadrato-quadratum in Duos quadrato-quadratos, et genericiter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duas ejusdem nominis fas est Dividere; bạn có thể trình diễn nó một cách tuyệt vời. Hanc lề là exiguitas non caperet.”
Nhà toán học vĩ đại người Pháp Pierre Fermat (1601-1665) đã phát triển một phương pháp xác định diện tích và thể tích, đồng thời tạo ra một phương pháp mới về tiếp tuyến và cực trị. Cùng với Descartes, ông trở thành người sáng tạo ra hình học giải tích, cùng với Pascal là người đặt nền móng cho lý thuyết xác suất, trong lĩnh vực phương pháp vi phân ông đã đưa ra quy luật tổng quát của đạo hàm và chứng minh một cách tổng quát quy tắc tích phân của một hàm lũy thừa... Nhưng quan trọng nhất, một trong những câu chuyện bí ẩn và kịch tính quan trọng nhất từng gây chấn động toán học - câu chuyện chứng minh định lý cuối cùng của Fermat. Bây giờ định lý này được thể hiện dưới dạng một phát biểu đơn giản: phương trình xn + yn = zn với n>2 không thể giải được dưới dạng số hữu tỷ, và do đó là số nguyên. Nhân tiện, đối với trường hợp n = 3, nhà toán học Trung Á Al-Khojandi đã cố gắng chứng minh định lý này vào thế kỷ thứ 10, nhưng bằng chứng của ông đã không tồn tại.
Là người gốc miền nam nước Pháp, Pierre Fermat được đào tạo về luật và từ năm 1631, ông giữ chức cố vấn cho quốc hội của thành phố Toulouse (tức là tòa án cao nhất). Sau một ngày làm việc trong các bức tường của quốc hội, anh học toán và ngay lập tức lao vào một thế giới hoàn toàn khác. Tiền bạc, uy tín, sự công nhận của công chúng - tất cả những điều này đều không quan trọng với anh ta. Khoa học không bao giờ trở thành thu nhập đối với anh, không biến thành một nghề thủ công, luôn chỉ là một trò chơi thú vị của trí óc, chỉ một số ít mới hiểu được. Anh ấy tiếp tục trao đổi thư từ với họ.
Fermat chưa bao giờ viết các bài báo khoa học theo nghĩa thông thường của chúng ta. Và trong thư từ của anh ấy với bạn bè, luôn có một số thách thức, thậm chí là một kiểu khiêu khích, chứ không phải là một cách trình bày mang tính học thuật về vấn đề và giải pháp của nó. Đó là lý do tại sao nhiều lá thư của ông sau đó được coi là một thách thức.
Có lẽ đây chính là lý do tại sao ông chưa bao giờ nhận ra ý định viết một bài luận đặc biệt về lý thuyết số. Trong khi đó, đây là lĩnh vực toán học yêu thích của anh. Chính cô ấy mà Fermat đã dành tặng những dòng cảm hứng nhất trong những bức thư của mình. “Số học,” ông viết, “có lĩnh vực riêng của nó, lý thuyết về số nguyên. Lý thuyết này chỉ được Euclid đề cập đến một chút và chưa được những người theo ông phát triển đầy đủ (trừ khi nó được chứa trong các tác phẩm của Diophantus, tác phẩm bị tàn phá bởi nó). do đó, thời gian đã tước đoạt của chúng ta). Các nhà số học phải phát triển và đổi mới nó."
Tại sao bản thân Fermat lại không sợ sự tàn phá của thời gian? Ông viết rất ít và luôn rất ngắn gọn. Nhưng quan trọng nhất là ông đã không xuất bản tác phẩm của mình. Trong suốt cuộc đời của ông, chúng chỉ được lưu hành dưới dạng bản thảo. Do đó, không có gì đáng ngạc nhiên khi các kết quả của Fermat về lý thuyết số đã đến với chúng ta dưới dạng rải rác. Nhưng có lẽ Bulgkov đã đúng: những bản thảo vĩ đại không bị cháy! Công việc của Fermat vẫn còn. Chúng vẫn còn trong những bức thư ông gửi cho bạn bè: giáo viên dạy toán ở Lyon Jacques de Billy, nhân viên xưởng đúc Bernard Freniquel de Bessy, Marcenny, Descartes, Blaise Pascal... Những gì còn lại là "Số học" của Diophantus với những nhận xét của ông bên lề, sau đó Cái chết của Fermat đã được Bachet đưa cùng với những bình luận vào ấn bản mới của Diophantus, do con trai cả của ông là Samuel xuất bản năm 1670. Chỉ có bằng chứng là không tồn tại.
Hai năm trước khi qua đời, Fermat đã gửi cho người bạn Carcavi một lá thư di chúc, lá thư này đã đi vào lịch sử toán học với tựa đề “Tóm tắt các kết quả mới trong khoa học về số”. Trong bức thư này, Fermat đã chứng minh phát biểu nổi tiếng của mình trong trường hợp n = 4. Nhưng khi đó rất có thể ông không quan tâm đến bản thân phát biểu đó mà quan tâm đến phương pháp chứng minh mà ông đã khám phá ra, mà chính Fermat gọi là giảm dần vô hạn hoặc vô thời hạn.
Bản thảo không cháy. Nhưng, nếu không có sự cống hiến của Samuel, người sau khi cha ông qua đời đã thu thập tất cả các bản phác thảo toán học và các chuyên luận nhỏ của ông, rồi xuất bản chúng vào năm 1679 với tựa đề “Các công trình toán học linh tinh”, các nhà toán học uyên bác sẽ phải khám phá đi khám phá lại rất nhiều. . Nhưng ngay cả sau khi chúng được xuất bản, những vấn đề do nhà toán học vĩ đại đặt ra vẫn bất động trong hơn bảy mươi năm. Và điều này không có gì đáng ngạc nhiên. Ở dạng xuất hiện trên bản in, các kết quả lý thuyết số của P. Fermat đã xuất hiện trước các chuyên gia dưới dạng các vấn đề nghiêm trọng không phải lúc nào cũng rõ ràng đối với những người đương thời, hầu như không có bằng chứng và dấu hiệu về mối liên hệ logic bên trong giữa chúng. Có lẽ, trong trường hợp thiếu một lý thuyết mạch lạc và được suy nghĩ kỹ lưỡng, sẽ có câu trả lời cho câu hỏi tại sao bản thân Fermat chưa bao giờ quyết định xuất bản một cuốn sách về lý thuyết số. Bảy mươi năm sau, L. Euler bắt đầu quan tâm đến những tác phẩm này và đây thực sự là lần sinh thứ hai của họ...
Toán học đã phải trả giá đắt cho cách trình bày kết quả đặc biệt của Fermat, như thể cố tình bỏ sót chứng minh của chúng. Nhưng, nếu Fermat tuyên bố rằng ông đã chứng minh được định lý này hay định lý kia, thì định lý này sau đó đã được chứng minh. Tuy nhiên, có một trở ngại với định lý lớn này.
Một bí ẩn luôn kích thích trí tưởng tượng. Toàn bộ lục địa bị chinh phục bởi nụ cười bí ẩn của Gioconda; Thuyết tương đối, chìa khóa mở ra bí ẩn về mối liên hệ không-thời gian, đã trở thành lý thuyết vật lý phổ biến nhất thế kỷ. Và chúng ta có thể nói một cách chắc chắn rằng không có bài toán nào phổ biến như nó ___93
Vấn đề khoa học và giáo dục của bảo vệ dân sự
Định lý Fermat là gì? Những nỗ lực chứng minh nó đã dẫn đến việc tạo ra một nhánh toán học rộng lớn - lý thuyết về số đại số, nhưng (than ôi!) bản thân định lý này vẫn chưa được chứng minh. Năm 1908, nhà toán học người Đức Wolfskehl đã để lại 100.000 điểm cho bất kỳ ai có thể chứng minh được định lý Fermat. Đây là một số tiền rất lớn vào thời điểm đó! Trong một khoảnh khắc, bạn không chỉ có thể trở nên nổi tiếng mà còn trở nên giàu có đáng kinh ngạc! Vì vậy, không có gì đáng ngạc nhiên khi các học sinh trung học ngay cả ở Nga, cách xa nước Đức, đang cạnh tranh với nhau để chứng minh định lý vĩ đại. Chúng ta có thể nói gì về các nhà toán học chuyên nghiệp! Nhưng vô ích! Sau Chiến tranh thế giới thứ nhất, tiền trở nên vô giá trị, và dòng thư có bằng chứng giả bắt đầu cạn kiệt, mặc dù tất nhiên là nó không bao giờ dừng lại. Người ta kể rằng nhà toán học nổi tiếng người Đức Edmund Landau đã chuẩn bị các mẫu in để gửi cho các tác giả chứng minh định lý Fermat: “Có một lỗi ở trang ..., ở dòng ....” (Phó giáo sư được giao nhiệm vụ tìm ra lỗi.) Có rất nhiều điều kỳ lạ và giai thoại liên quan đến việc chứng minh định lý này đến mức người ta có thể biên soạn một cuốn sách về chúng. Giai thoại mới nhất là truyện trinh thám “Sự trùng hợp ngẫu nhiên” của A. Marinina, được quay và chiếu trên màn ảnh truyền hình cả nước vào tháng 1 năm 2000. Trong đó, người đồng hương của chúng ta đã chứng minh một định lý chưa được chứng minh bởi tất cả những người đi trước vĩ đại của ông và nhận giải thưởng Nobel cho nó. Như bạn đã biết, người phát minh ra thuốc nổ đã bỏ qua di chúc của các nhà toán học, nên tác giả của chứng minh chỉ có thể nhận Huy chương Vàng Fields, giải thưởng quốc tế cao nhất được chính các nhà toán học phê duyệt vào năm 1936.
Trong tác phẩm kinh điển của nhà toán học xuất sắc người Nga A.Ya. Khinchin, người chuyên viết về định lý vĩ đại của Fermat, cung cấp thông tin về lịch sử của bài toán này và chú ý đến phương pháp mà Fermat có thể sử dụng để chứng minh định lý của mình. Đưa ra cách chứng minh cho trường hợp n = 4 và xem xét ngắn gọn các kết quả quan trọng khác.
Nhưng vào thời điểm câu chuyện trinh thám được viết ra, và thậm chí còn hơn thế nữa vào thời điểm nó được quay phim, bằng chứng tổng quát của định lý đã được tìm thấy. Vào ngày 23 tháng 6 năm 1993, tại một hội nghị về lý thuyết số ở Cambridge, nhà toán học Andrew Wiles của Princeton đã công bố rằng Định lý cuối cùng của Fermat đã được chứng minh. Nhưng hoàn toàn không như chính Fermat đã “hứa”. Con đường mà Andrew Wiles đã đi không dựa trên các phương pháp toán học cơ bản. Ông nghiên cứu cái gọi là lý thuyết về đường cong elip.
Để hình dung được đường cong elip, bạn cần xét một đường cong phẳng được xác định bởi phương trình bậc ba
Y(x,y) = a30X + a21x2y+ ... + a1x+ a2y + a0 = 0. (1)
Tất cả các đường cong như vậy được chia thành hai lớp. Lớp đầu tiên bao gồm những đường cong có điểm làm sắc nét (chẳng hạn như parabol bán khối y2 = a2-X với điểm làm sắc nét (0; 0)), các điểm tự giao nhau (như tấm Descartes x3+y3-3axy = 0 , tại điểm (0; 0)), cũng như các đường cong mà đa thức Dx,y) được biểu diễn dưới dạng
f(x^y)=:fl(x^y)■:f2(x,y),
trong đó ^(x,y) và ^(x,y) là các đa thức bậc thấp hơn. Các đường cong thuộc loại này được gọi là đường cong suy biến bậc ba. Lớp đường cong thứ hai được hình thành bởi các đường cong không suy biến; chúng ta sẽ gọi chúng là hình elip. Ví dụ, chúng có thể bao gồm Agnesi Curl (x2 + a2)y - a3 = 0). Nếu các hệ số của đa thức (1) là số hữu tỷ thì đường cong elip có thể được chuyển về dạng chính tắc
y2= x3 + ax + b. (2)
Năm 1955, nhà toán học Nhật Bản Y. Taniyama (1927-1958), trong khuôn khổ lý thuyết về đường cong elip, đã xây dựng được một giả thuyết mở đường cho việc chứng minh định lý Fermat. Nhưng bản thân Taniyama cũng như các đồng nghiệp của ông đều không nghi ngờ điều này vào thời điểm đó. Trong gần hai mươi năm, giả thuyết này không thu hút được sự chú ý nghiêm túc và chỉ trở nên phổ biến vào giữa những năm 70. Theo phỏng đoán Taniyama, mọi hình elip
một đường cong với các hệ số hợp lý là mô-đun. Tuy nhiên, cho đến nay việc xây dựng giả thuyết không mang lại nhiều thông tin cho người đọc tỉ mỉ. Vì vậy, một số định nghĩa sẽ được yêu cầu.
Mỗi đường cong elip có thể được liên kết với một đặc tính số quan trọng - đặc tính phân biệt của nó. Đối với đường cong cho ở dạng chính tắc (2), biệt số A được xác định theo công thức
A = -(4a + 27b2).
Gọi E là một đường cong elip nào đó được cho bởi phương trình (2), trong đó a và b là số nguyên.
Với số nguyên tố p, hãy xét phép so sánh
y2 = x3 + ax + b(mod p), (3)
trong đó a và b là số dư khi chia các số nguyên a và b cho p, và chúng ta hãy biểu thị bằng np số nghiệm của phép so sánh này. Các số pr rất hữu ích trong việc nghiên cứu khả năng giải được của phương trình dạng (2) dưới dạng số nguyên: nếu một số pr bằng 0 thì phương trình (2) không có nghiệm nguyên. Tuy nhiên, chỉ có thể tính số trong những trường hợp hiếm nhất. (Đồng thời người ta biết rằng р-п|< 2Vp (теоремаХассе)).
Chúng ta hãy xem xét những số nguyên tố p chia phân biệt A của đường cong elip (2). Có thể chứng minh rằng với p như vậy đa thức x3 + ax + b có thể được viết theo một trong hai cách:
x3 + ax + b = (x + a)2 (x + ß)(mod P)
x3 + ax + b = (x + y)3 (mod p),
trong đó a, ß, y là số dư khi chia cho p. Nếu với tất cả các số nguyên tố p chia phân biệt của đường cong, khả năng đầu tiên trong hai khả năng được chỉ ra là thực hiện được thì đường cong elip được gọi là bán ổn định.
Các số nguyên tố chia phân biệt có thể được kết hợp thành cái gọi là đồ gá đường cong elip. Nếu E là đường cong bán ổn định thì dây dẫn N của nó được tính theo công thức
trong đó với tất cả các số nguyên tố p > 5 chia A, số mũ eP bằng 1. Số mũ 82 và 83 được tính bằng thuật toán đặc biệt.
Về cơ bản, đây là tất cả những gì cần thiết để hiểu bản chất của bằng chứng. Tuy nhiên, giả thuyết của Taniyama chứa đựng một khái niệm phức tạp và trong trường hợp của chúng tôi là khái niệm then chốt về tính mô đun. Do đó, chúng ta hãy tạm quên các đường cong elip và xem xét hàm giải tích f (tức là hàm có thể được biểu diễn bằng chuỗi lũy thừa) của đối số phức z, được cho ở nửa mặt phẳng trên.
Chúng ta ký hiệu là H nửa mặt phẳng phức trên. Cho N là số tự nhiên và k là số nguyên. Dạng parabol mô đun có trọng số k cấp N là hàm giải tích f(z) xác định ở nửa mặt phẳng trên và thỏa mãn hệ thức
f = (cz + d)kf (z) (5)
với mọi số nguyên a, b, c, d sao cho ae - bc = 1 và c chia hết cho N. Ngoài ra, giả sử rằng
lim f (r + it) = 0,
trong đó r là số hữu tỉ và
Không gian các dạng parabol mô đun có trọng số k cấp N được ký hiệu là Sk(N). Có thể chứng minh rằng nó có số chiều hữu hạn.
Trong phần tiếp theo, chúng ta sẽ đặc biệt quan tâm đến các dạng parabol mô đun có trọng số 2. Đối với N nhỏ, chiều của không gian S2(N) được trình bày trong Bảng. 1. Đặc biệt,
Kích thước của không gian S2(N)
Bảng 1
N<10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 2
Từ điều kiện (5) suy ra % + 1) = với mỗi dạng f e S2(N). Do đó, f là một hàm tuần hoàn. Một chức năng như vậy có thể được biểu diễn dưới dạng
Chúng ta hãy gọi một dạng parabol mô đun A^) trong S2(N) nếu các hệ số của nó là số nguyên thỏa mãn hệ thức:
a g ■ a = a g+1 ■ p ■ c Г_1 cho p đơn giản không chia số N; (số 8)
(ap) với số nguyên tố p chia cho số N;
atn = tại an, nếu (t,n) = 1.
Bây giờ chúng ta hãy xây dựng một định nghĩa đóng vai trò then chốt trong việc chứng minh định lý Fermat. Một đường cong elip với các hệ số hữu tỷ và dây dẫn N được gọi là mô đun nếu có dạng riêng như vậy
f(z) = ^anq" g S2(N),
ap = p - pr cho hầu hết các số nguyên tố p. Ở đây n là số nghiệm so sánh (3).
Thật khó để tin vào sự tồn tại của một đường cong như vậy. Thật khó để tưởng tượng rằng sẽ có một hàm A(r) thỏa mãn các hạn chế nghiêm ngặt (5) và (8) được liệt kê, sẽ được mở rộng thành chuỗi (7), các hệ số của chúng sẽ được liên kết với thực tế không thể tính toán được. số Pr. Nhưng giả thuyết táo bạo của Taniyama không hề gây nghi ngờ về sự tồn tại của chúng, và tài liệu thực nghiệm được tích lũy theo thời gian đã xác nhận một cách xuất sắc tính xác thực của nó. Sau hai thập kỷ gần như bị lãng quên hoàn toàn, giả thuyết của Taniyama đã nhận được một làn gió thứ hai trong các tác phẩm của nhà toán học người Pháp, thành viên Viện Hàn lâm Khoa học Paris Andre Weil.
Sinh năm 1906, A. Weil cuối cùng đã trở thành một trong những người sáng lập một nhóm các nhà toán học hoạt động dưới bút danh N. Bourbaki. Từ năm 1958, A. Weil trở thành giáo sư tại Viện nghiên cứu nâng cao Princeton. Và sự quan tâm của ông đối với hình học đại số trừu tượng bắt nguồn từ cùng thời kỳ này. Vào những năm bảy mươi, ông chuyển sang nghiên cứu hàm số elip và giả thuyết Taniyama. Chuyên khảo về hàm elip đã được dịch ở Nga. Anh ấy không đơn độc trong sở thích của mình. Năm 1985, nhà toán học người Đức Gerhard Frey đề xuất rằng nếu định lý Fermat sai, nghĩa là nếu có bộ ba số nguyên a, b, c sao cho a" + bn = c" (n > 3), thì đường cong elip
y2 = x (x - a")-(x - cn)
không thể mô-đun hóa, điều này mâu thuẫn với phỏng đoán của Taniyama. Bản thân Frey đã không chứng minh được tuyên bố này, nhưng chẳng bao lâu sau, nhà toán học người Mỹ Kenneth Ribet đã có được bằng chứng. Nói cách khác, Ribet đã chỉ ra rằng định lý Fermat là hệ quả của giả thuyết Taniyama.
Ông đã xây dựng và chứng minh định lý sau:
Định lý 1 (Gờ). Cho E là một đường cong elip với các hệ số hữu tỷ và có phân biệt
và nhạc trưởng
Giả sử E là mô đun và cho
/ (r) = q + 2 aAn e ^ (N)
là dạng thích hợp tương ứng của cấp N. Chúng ta sửa một số nguyên tố £, và
р:еР =1;- " 8 р
Khi đó có dạng parabol như vậy
/(g) = 2 dnqn e N)
với các hệ số nguyên sao cho hiệu an - dn chia hết cho I cho cả 1< п<ад.
Rõ ràng là nếu định lý này được chứng minh cho một số mũ nhất định, thì nó cũng được chứng minh cho tất cả các số mũ chia hết cho n. Vì mọi số nguyên n > 2 đều chia hết cho 4 hoặc cho một số nguyên tố lẻ, do đó chúng ta có thể giới hạn mình ở mức. trường hợp số mũ là 4 hoặc số nguyên tố lẻ. Với n = 4, chứng minh cơ bản của định lý Fermat trước tiên được chính Fermat thực hiện, sau đó là Euler. Như vậy chỉ cần nghiên cứu phương trình là đủ
a1 + b1 = c1, (12)
trong đó số mũ I là số nguyên tố lẻ.
Bây giờ định lý Fermat có thể thu được bằng các phép tính đơn giản (2).
Định lý 2. Định lý cuối cùng của Fermat được rút ra từ giả thuyết của Taniyama cho các đường cong elip bán ổn định.
Bằng chứng. Giả sử định lý Fermat sai và cho có một phản ví dụ tương ứng (như trên, ở đây I là số nguyên tố lẻ). Chúng ta hãy áp dụng Định lý 1 cho đường cong elip
y2 = x(x - ae) (x - c1).
Những tính toán đơn giản cho thấy dây dẫn của đường cong này được cho bởi công thức
So sánh công thức (11) và (13), ta thấy N = 2. Do đó, theo Định lý 1 có dạng parabol
nằm trong không gian 82(2). Nhưng theo quan hệ (6), không gian này bằng không. Do đó, dn = 0 với mọi n. Đồng thời, a^ = 1. Do đó, hiệu ag - dl = 1 không chia hết cho I và ta đi đến mâu thuẫn. Như vậy định lý đã được chứng minh.
Định lý này cung cấp chìa khóa cho việc chứng minh Định lý cuối cùng của Fermat. Tuy nhiên, bản thân giả thuyết vẫn chưa được chứng minh.
Sau khi công bố vào ngày 23 tháng 6 năm 1993 về việc chứng minh giả thuyết Taniyama cho các đường cong elip bán ổn định, bao gồm các đường cong có dạng (8), Andrew Wiles đã rất vội vàng. Còn quá sớm để các nhà toán học ăn mừng chiến thắng của họ.
Mùa hè ấm áp nhanh chóng kết thúc, mùa thu mưa gió bị bỏ lại phía sau, mùa đông lại đến. Wiles đã viết đi viết lại phiên bản cuối cùng của chứng minh của mình, nhưng những đồng nghiệp tỉ mỉ đã phát hiện ra ngày càng nhiều điểm không chính xác trong công trình của ông. Và vì vậy, vào đầu tháng 12 năm 1993, vài ngày trước khi bản thảo của Wiles được xuất bản, những lỗ hổng nghiêm trọng trong bằng chứng của ông lại được phát hiện. Và rồi Wiles nhận ra rằng anh không thể sửa chữa được bất cứ điều gì trong một hoặc hai ngày. Điều này đòi hỏi phải cải thiện nghiêm túc. Việc xuất bản tác phẩm đã phải hoãn lại. Wiles quay sang nhờ Taylor giúp đỡ. Việc “sửa chữa những sai lầm” mất hơn một năm. Phiên bản cuối cùng của chứng minh giả thuyết Taniyama, do Wiles cộng tác với Taylor viết, chỉ được xuất bản vào mùa hè năm 1995.
Không giống như người hùng A. Marinina, Wiles không nộp đơn xin giải Nobel, nhưng... lẽ ra anh ta phải được trao một loại giải thưởng nào đó. Nhưng cái nào? Lúc đó Wiles đã ở độ tuổi năm mươi và huy chương vàng của Fields được trao nghiêm ngặt cho đến tuổi bốn mươi, khi đỉnh cao của hoạt động sáng tạo vẫn chưa qua. Và sau đó họ quyết định thành lập một giải thưởng đặc biệt dành cho Wiles - huy hiệu bạc của Ủy ban Fields. Huy hiệu này đã được trao cho ông tại đại hội toán học tiếp theo ở Berlin.
Trong tất cả các bài toán, với xác suất lớn hơn hoặc nhỏ hơn, có thể thay thế định lý cuối cùng của Fermat, bài toán xếp các quả bóng gần nhất có cơ hội lớn nhất. Bài toán gói các quả bóng dày đặc nhất có thể được coi là bài toán làm thế nào để gấp những quả cam thành hình kim tự tháp một cách tiết kiệm nhất. Các nhà toán học trẻ kế thừa nhiệm vụ này từ Johannes Kepler. Vấn đề nảy sinh vào năm 1611, khi Kepler viết một tiểu luận ngắn “Về những bông tuyết hình lục giác”. Sự quan tâm của Kepler đến sự sắp xếp và tự tổ chức của các hạt vật chất đã khiến ông thảo luận một vấn đề khác - sự đóng gói dày đặc nhất của các hạt, trong đó chúng chiếm thể tích nhỏ nhất. Nếu chúng ta giả sử rằng các hạt có dạng quả bóng, thì rõ ràng là dù chúng ở vị trí nào trong không gian, chắc chắn sẽ vẫn có những khoảng trống giữa chúng, và câu hỏi đặt ra là làm thế nào để giảm thể tích khoảng trống xuống mức tối thiểu. Ví dụ, trong công trình đã nêu (nhưng chưa được chứng minh) rằng hình dạng như vậy là một tứ diện, các trục tọa độ bên trong xác định góc trực giao cơ bản là 109°28", chứ không phải 90°. Vấn đề này có tầm quan trọng lớn cho vật lý hạt, tinh thể học và các ngành khoa học tự nhiên khác.
Văn học
1. Weil A. Hàm elip theo Eisenstein và Kronecker. - M., 1978.
2. Soloviev Yu.P. Phỏng đoán Taniyama và định lý cuối cùng của Fermat // Tạp chí giáo dục Soros. - Số 2. - 1998. - Tr. 78-95.
3. Định lý cuối cùng của Singh S. Fermat. Câu chuyện bí ẩn đã chiếm lĩnh tâm trí bậc nhất thế giới suốt 358 năm/Trans. từ tiếng Anh Yu.A. Danilova. M.: MTsNMO. 2000. - 260 tr.
4. Mirmovich E.G., Usacheva T.V. Đại số Quaternion và phép quay ba chiều // Tạp chí này số 1(1), 2008. - P. 75-80.
Với các số nguyên n lớn hơn 2, phương trình x n + y n = z n không có nghiệm khác 0 trong số tự nhiên.
Chắc bạn còn nhớ thời còn đi học Định lý Pythagore: Bình phương cạnh huyền của một tam giác vuông bằng tổng bình phương của hai cạnh góc vuông. Bạn cũng có thể nhớ tam giác vuông cổ điển với các cạnh có tỷ lệ 3: 4: 5. Đối với nó, định lý Pythagore trông như thế này:
Đây là một ví dụ về giải phương trình Pythagore tổng quát với các số nguyên khác 0 với N= 2. Định lý cuối cùng của Fermat (còn gọi là "Định lý cuối cùng của Fermat" và "Định lý cuối cùng của Fermat") là phát biểu cho các giá trị N> 2 phương trình dạng xn + năm = z n không có nghiệm nào khác 0 trong số tự nhiên.
Lịch sử của Định lý cuối cùng của Fermat rất thú vị và mang tính hướng dẫn, không chỉ dành cho các nhà toán học. Pierre de Fermat đã đóng góp cho sự phát triển của nhiều lĩnh vực toán học khác nhau, nhưng phần lớn di sản khoa học của ông chỉ được xuất bản sau khi ông qua đời. Thực tế là toán học đối với Fermat chỉ là một sở thích chứ không phải một nghề nghiệp. Ông trao đổi thư từ với các nhà toán học hàng đầu trong thời đại của mình, nhưng không nỗ lực xuất bản tác phẩm của mình. Các bài viết khoa học của Fermat chủ yếu được tìm thấy dưới dạng thư từ riêng tư và những ghi chú rời rạc, thường được viết bên lề nhiều cuốn sách khác nhau. Nó nằm ở lề (tập thứ hai của cuốn “Số học” Hy Lạp cổ đại của Diophantus. - Ghi chú người phiên dịch) ngay sau cái chết của nhà toán học, con cháu đã phát hiện ra công thức của định lý nổi tiếng và phần tái bút:
« Tôi đã tìm thấy một bằng chứng thực sự tuyệt vời về điều này, nhưng những lĩnh vực này quá hẹp để có thể chứng minh được».
Than ôi, có vẻ như Fermat chưa bao giờ bận tâm đến việc viết ra “bằng chứng kỳ diệu” mà ông tìm thấy, và con cháu đã tìm kiếm nó trong hơn ba thế kỷ không thành công. Trong tất cả di sản khoa học rải rác của Fermat, chứa đựng nhiều phát biểu đáng ngạc nhiên, chỉ có Định lý vĩ đại mới ngoan cố từ chối giải quyết.
Bất cứ ai cố gắng chứng minh Định lý cuối cùng của Fermat đều vô ích! Một nhà toán học vĩ đại khác của Pháp, René Descartes (1596–1650), gọi Fermat là “kẻ khoác lác”, và nhà toán học người Anh John Wallis (1616–1703) gọi ông là “người Pháp chết tiệt”. Tuy nhiên, bản thân Fermat vẫn để lại một chứng minh định lý của ông cho trường hợp N= 4. Có bằng chứng cho N= 3 đã được giải bởi nhà toán học vĩ đại người Nga gốc Thụy Sĩ thế kỷ 18 Leonhard Euler (1707–83), sau đó, không thể tìm thấy bằng chứng cho N> 4, nói đùa đề nghị khám xét nhà của Fermat để tìm chìa khóa cho bằng chứng bị mất. Vào thế kỷ 19, các phương pháp mới trong lý thuyết số đã giúp người ta có thể chứng minh mệnh đề cho nhiều số nguyên trong phạm vi 200, nhưng một lần nữa, không phải cho tất cả.
Năm 1908, một giải thưởng trị giá 100.000 mác Đức đã được thành lập để giải quyết vấn đề này. Quỹ giải thưởng được để lại bởi nhà công nghiệp người Đức Paul Wolfskehl, người mà theo truyền thuyết là đã định tự tử, nhưng bị Định lý cuối cùng của Fermat cuốn hút đến mức ông đã thay đổi ý định về cái chết. Với sự ra đời của máy cộng và sau đó là máy tính, thanh giá trị N bắt đầu tăng ngày càng cao - lên 617 vào đầu Thế chiến II, lên 4001 vào năm 1954, lên 125.000 vào năm 1976. Vào cuối thế kỷ 20, những chiếc máy tính mạnh nhất tại phòng thí nghiệm quân sự ở Los Alamos (New Mexico, Mỹ) đã được lập trình để giải quyết vấn đề Fermat ở chế độ nền (tương tự như chế độ bảo vệ màn hình của máy tính cá nhân). Như vậy, có thể chứng minh rằng định lý đúng với các giá trị cực kỳ lớn XYZ Và N, nhưng điều này không thể coi là một bằng chứng chặt chẽ, vì bất kỳ giá trị nào sau đây N hoặc bộ ba số tự nhiên có thể bác bỏ toàn bộ định lý.
Cuối cùng, vào năm 1994, nhà toán học người Anh Andrew John Wiles (sinh năm 1953), làm việc tại Princeton, đã công bố một chứng minh Định lý cuối cùng của Fermat, sau một số sửa đổi, được coi là toàn diện. Việc chứng minh mất hơn một trăm trang tạp chí và dựa trên việc sử dụng bộ máy hiện đại của toán học cao cấp, vốn chưa được phát triển vào thời Fermat. Vậy Fermat có ý gì khi để lại lời nhắn bên lề cuốn sách rằng ông đã tìm ra bằng chứng? Hầu hết các nhà toán học mà tôi đã nói chuyện cùng về chủ đề này đều chỉ ra rằng trong nhiều thế kỷ đã có quá nhiều cách chứng minh sai về Định lý cuối cùng của Fermat, và rất có thể chính Fermat đã tìm ra một cách chứng minh tương tự, nhưng không nhận ra sai sót đó. trong đó. Tuy nhiên, có thể vẫn còn một số bằng chứng ngắn gọn và tinh tế về Định lý cuối cùng của Fermat mà chưa ai tìm ra. Chỉ có một điều có thể nói chắc chắn: ngày nay chúng ta biết chắc rằng định lý này là đúng. Tôi nghĩ hầu hết các nhà toán học sẽ đồng ý hoàn toàn với Andrew Wiles, người đã nhận xét về chứng minh của mình: “Cuối cùng thì giờ đây tâm trí tôi đã bình yên”.