Khi nào xác suất nhân lên và khi nào chúng cộng lại? Những sai lầm điển hình khi giải bài toán trong lý thuyết xác suất

Khái niệm cơ bản
Các sự kiện được gọi là không tương thích nếu sự xuất hiện của một trong số chúng loại trừ sự xuất hiện của các sự kiện khác trong cùng một phép thử. Nếu không thì chúng được gọi là khớp.
Một nhóm hoàn chỉnh là một tập hợp các sự kiện, sự kết hợp của chúng là một sự kiện đáng tin cậy.
Hai sự kiện duy nhất có thể tạo thành một nhóm hoàn chỉnh được gọi là ngược nhau.
Các sự kiện được gọi là phụ thuộc nếu xác suất xảy ra một trong các sự kiện đó phụ thuộc vào việc xảy ra hay không xảy ra của các sự kiện khác.
Các sự kiện được gọi là độc lập nếu xác suất xảy ra một trong số chúng không phụ thuộc vào sự xuất hiện hay không xảy ra của các sự kiện khác.
Định lý cộng xác suất của các sự kiện không tương thích
P(A+B)=P(A)+P(B),
trong đó A, B là những sự kiện không tương thích.

Định lý cộng xác suất của các biến cố chung
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB), trong đó A và B là hai biến cố chung.

Định lý nhân xác suất của các biến cố độc lập
,
trong đó A và B là các biến cố độc lập.
Định lý nhân xác suất của các biến cố phụ thuộc
P(AB)=P(A)P A(B),
trong đó P A (B) là xác suất xảy ra sự kiện B, với điều kiện sự kiện A đã xảy ra; A và B là các sự kiện phụ thuộc.

Nhiệm vụ 1.
Người bắn bắn hai phát vào mục tiêu. Xác suất trúng mỗi lần bắn là 0,8. Soạn một nhóm hoàn chỉnh các sự kiện và tìm xác suất của chúng. Giải pháp.
Kiểm tra - Hai phát súng được bắn vào mục tiêu.
Sự kiện MỘT- trượt cả hai lần.
Sự kiện TRONG- đánh một lần.
Sự kiện VỚI- đánh cả hai lần.
.

Điều khiển: P(A) +P(B) +P(C) = 1.
Nhiệm vụ 2.
Theo dự báo của các nhà khí tượng học, P(mưa)=0,4; P(gió)=0,7; R(mưa và gió)=0,2. Xác suất trời sẽ mưa hoặc gió là bao nhiêu?
Giải pháp. Theo định lý cộng xác suất và do tính tương thích của các biến cố đề xuất, ta có:
P(mưa hoặc gió hoặc cả hai)=P(mưa) +P(gió) –P(mưa và gió)=0,4+0,7-0,2=0,9.
Nhiệm vụ 3. Giải pháp. Tại ga đi có 8 lệnh gửi hàng: 5 lệnh gửi nội địa và 3 lệnh xuất khẩu. Xác suất để hai đơn hàng được chọn ngẫu nhiên sẽ được tiêu thụ trong nước là bao nhiêu? MỘT Sự kiện TRONG– đơn hàng đầu tiên được lấy ngẫu nhiên trong nước. Sự kiện

– loại thứ hai cũng được dùng để tiêu dùng trong nước. Ta cần tìm xác suất Khi đó, theo định lý nhân xác suất của các biến cố phụ thuộc, ta có.
Từ một lô sản phẩm, người bán hàng chọn ngẫu nhiên những sản phẩm có chất lượng cao nhất. Xác suất mục được chọn có chất lượng cao nhất là 0,8; lớp một – 0,7; lớp hai – 0,5. Tìm xác suất để trong 3 sản phẩm được chọn ngẫu nhiên sẽ có:
a) chỉ có hai hạng cao cấp;
b) mọi người đều khác nhau. Giải pháp. Hãy để sự kiện là một sản phẩm có chất lượng cao nhất; sự kiện - sản phẩm hạng nhất; sự kiện này là một sản phẩm hạng hai.
Theo điều kiện của vấn đề; ; Các sự kiện là độc lập.
a) Sự kiện MỘT– chỉ có hai sản phẩm cao cấp nhất sẽ trông như thế này

b) Sự kiện TRONG– cả ba sản phẩm đều khác nhau - hãy nói theo cách này: , Sau đó .
Nhiệm vụ 5.
Xác suất bắn trúng mục tiêu khi bắn từ ba khẩu súng là như sau: p1= 0,8; p2=0,7; p3= 0,9. Tìm xác suất để có ít nhất một lần trúng đích (sự kiện MỘT) với một loạt đạn từ tất cả các khẩu súng. Giải pháp. Xác suất mỗi khẩu súng bắn trúng mục tiêu không phụ thuộc vào kết quả bắn của các khẩu súng khác, do đó các biến cố đang xét (bắn trúng mục tiêu bởi khẩu súng thứ nhất), (bắn trúng mục tiêu của khẩu súng thứ hai) và (bắn trúng mục tiêu bởi khẩu súng thứ ba) là độc lập. trong tổng hợp.
Xác suất của các sự kiện ngược lại với các sự kiện (tức là xác suất trượt) tương ứng bằng:

Xác suất yêu cầu
Nhiệm vụ 6.
Nhà in có 4 máy in. Với mỗi máy, xác suất để máy đó đang chạy là 0,9. Tìm xác suất để có ít nhất một máy hiện đang hoạt động (sự kiện MỘT). Giải pháp. Các sự kiện “máy đang hoạt động” và “máy không hoạt động” (tại thời điểm này) trái ngược nhau, do đó tổng xác suất của chúng bằng 1:
Do đó xác suất máy hiện không hoạt động là bằng
Xác suất cần thiết.

Giải pháp. Bài 7. Trong phòng đọc có 6 cuốn sách giáo khoa lý thuyết xác suất, trong đó có 3 cuốn đóng bìa. Người thủ thư lấy ngẫu nhiên hai cuốn sách giáo khoa. Tìm xác suất để cả hai cuốn sách đều được đóng bìa.
Hãy xem xét các sự kiện sau:
A1 - cuốn sách đóng bìa đầu tiên được lấy;
A2 là cuốn sách giáo khoa đóng bìa thứ hai được lấy.
Một sự kiện bao gồm việc cả hai cuốn sách giáo khoa được lấy đều bị ràng buộc. Các sự kiện A1 và A2 phụ thuộc nhau vì xác suất xảy ra sự kiện A2 phụ thuộc vào sự xuất hiện của sự kiện A1. Để giải bài toán này, ta sử dụng định lý nhân xác suất của các biến cố phụ thuộc: .
Xác suất xảy ra sự kiện A1 p(A1) theo định nghĩa cổ điển về xác suất:
P(A1)=m/n=3/6=0,5.
Xác suất xảy ra sự kiện A2 được xác định bằng xác suất có điều kiện xảy ra sự kiện A2 tùy thuộc vào sự xuất hiện của sự kiện A1, tức là. (A2)==0,4.
Khi đó xác suất mong muốn của sự kiện xảy ra là:

Việc nghiên cứu lý thuyết xác suất bắt đầu bằng việc giải các bài toán liên quan đến phép cộng và nhân xác suất. Điều đáng nói ngay là học sinh có thể gặp khó khăn khi nắm vững lĩnh vực kiến ​​thức này: nếu các quá trình vật lý hoặc hóa học có thể được biểu diễn trực quan và hiểu được bằng thực nghiệm, thì mức độ trừu tượng toán học rất cao và sự hiểu biết ở đây chỉ đến từ với kinh nghiệm.

Tuy nhiên, trò chơi này rất đáng giá vì các công thức - cả những công thức được thảo luận trong bài viết này và những công thức phức tạp hơn - đều được sử dụng ở mọi nơi ngày nay và có thể hữu ích trong công việc.

Nguồn gốc

Thật kỳ lạ, động lực cho sự phát triển của ngành toán học này lại là... cờ bạc. Thật vậy, xúc xắc, tung đồng xu, poker, roulette là những ví dụ điển hình sử dụng phép cộng và nhân xác suất. Có thể thấy rõ điều này khi sử dụng các ví dụ về bài toán trong bất kỳ sách giáo khoa nào. Mọi người quan tâm đến việc học cách tăng cơ hội chiến thắng và phải nói rằng một số người đã thành công trong việc này.

Ví dụ, đã ở thế kỷ 21, một người, chúng tôi sẽ không tiết lộ tên, đã sử dụng kiến ​​​​thức này được tích lũy qua nhiều thế kỷ để “dọn dẹp” sòng bạc theo đúng nghĩa đen, giành được hàng chục triệu đô la khi chơi roulette.

Tuy nhiên, bất chấp sự quan tâm ngày càng tăng đối với chủ đề này, chỉ đến thế kỷ 20, một khung lý thuyết mới được phát triển để làm cho “định lý” trở nên hoàn chỉnh. Ngày nay, trong hầu hết mọi ngành khoa học, người ta đều có thể tìm thấy các phép tính bằng phương pháp xác suất.

Khả năng ứng dụng

Một điểm quan trọng khi sử dụng các công thức cộng, nhân xác suất và xác suất có điều kiện là tính thỏa mãn của định lý giới hạn trung tâm. Ngược lại, mặc dù học sinh có thể không nhận ra điều đó, nhưng mọi phép tính, dù có vẻ hợp lý đến đâu, cũng sẽ không chính xác.

Đúng vậy, một học sinh có động lực cao sẽ bị cám dỗ sử dụng kiến ​​thức mới ở mọi cơ hội. Nhưng trong trường hợp này cần phải chậm lại một chút và vạch ra phạm vi áp dụng một cách chặt chẽ.

Lý thuyết xác suất giải quyết các sự kiện ngẫu nhiên, theo thuật ngữ thực nghiệm, biểu thị kết quả của các thí nghiệm: chúng ta có thể tung xúc xắc sáu mặt, rút ​​một lá bài từ bộ bài, dự đoán số lượng bộ phận bị lỗi trong một lô. Tuy nhiên, trong một số câu hỏi, nghiêm cấm sử dụng các công thức trong phần toán học này. Chúng ta sẽ thảo luận về các đặc điểm của việc xem xét xác suất của một sự kiện, các định lý cộng và nhân các sự kiện ở cuối bài viết, nhưng bây giờ chúng ta hãy chuyển sang các ví dụ.

Khái niệm cơ bản

Một sự kiện ngẫu nhiên đề cập đến một số quá trình hoặc kết quả có thể xuất hiện hoặc không xuất hiện do kết quả của một thử nghiệm. Ví dụ: chúng ta ném một chiếc bánh sandwich - nó có thể lật mặt bơ lên ​​hoặc mặt bơ xuống. Một trong hai kết quả sẽ là ngẫu nhiên và chúng ta không biết trước kết quả nào sẽ xảy ra.

Khi nghiên cứu phép cộng và nhân xác suất, chúng ta sẽ cần thêm hai khái niệm nữa.

Những sự kiện như vậy được gọi là sự kiện chung, sự xuất hiện của một trong hai sự kiện này không loại trừ sự xuất hiện của sự kiện kia. Giả sử hai người bắn vào mục tiêu cùng một lúc. Nếu một trong số họ thực hiện thành công, điều đó sẽ không ảnh hưởng gì đến khả năng của người thứ hai bắn trúng hồng tâm hoặc trượt.

Các sự kiện không tương thích sẽ là những sự kiện không thể xảy ra cùng một lúc. Ví dụ: nếu bạn chỉ lấy ra một quả bóng từ hộp, bạn không thể nhận được cả hai quả bóng xanh và đỏ cùng một lúc.

chỉ định

Khái niệm xác suất được biểu thị bằng chữ in hoa Latinh P. Tiếp theo trong ngoặc là các đối số biểu thị các sự kiện nhất định.

Trong các công thức của định lý cộng, xác suất có điều kiện và định lý nhân, bạn sẽ thấy các biểu thức trong ngoặc, ví dụ: A+B, AB hoặc A|B. Chúng sẽ được tính toán theo nhiều cách khác nhau và bây giờ chúng ta sẽ chuyển sang chúng.

Phép cộng

Hãy xem xét các trường hợp sử dụng công thức cộng và nhân xác suất.

Đối với các sự kiện không tương thích, công thức cộng đơn giản nhất có liên quan: xác suất của bất kỳ kết quả ngẫu nhiên nào sẽ bằng tổng xác suất của từng kết quả này.

Giả sử có một hộp đựng 2 viên bi xanh, 3 viên bi đỏ và 5 viên bi vàng. Có tổng cộng 10 sản phẩm trong hộp. Sự thật của tuyên bố rằng chúng ta sẽ vẽ một quả bóng màu xanh hoặc màu đỏ là gì? Nó sẽ bằng 2/10 + 3/10, tức là năm mươi phần trăm.

Trong trường hợp các sự kiện không tương thích, công thức trở nên phức tạp hơn vì một thuật ngữ bổ sung được thêm vào. Chúng ta hãy quay lại nó trong một đoạn văn, sau khi xem xét một công thức khác.

Phép nhân

Phép cộng và nhân xác suất của các sự kiện độc lập được sử dụng trong các trường hợp khác nhau. Nếu, theo các điều kiện của thí nghiệm, chúng ta hài lòng với bất kỳ kết quả nào trong hai kết quả có thể xảy ra, chúng ta sẽ tính tổng; nếu chúng ta muốn nhận được hai kết quả nhất định lần lượt, chúng ta sẽ sử dụng một công thức khác.

Quay lại ví dụ ở phần trước, chúng ta muốn vẽ quả bóng màu xanh trước rồi đến quả bóng màu đỏ. Chúng ta biết số đầu tiên - đó là 2/10. Điều gì xảy ra tiếp theo? Còn lại 9 quả bóng và vẫn còn số quả bóng màu đỏ như cũ - ba quả. Theo tính toán thì sẽ là 3/9 hoặc 1/3. Nhưng phải làm gì bây giờ với hai con số? Câu trả lời đúng là nhân để được 2/30.

Sự kiện chung

Bây giờ chúng ta lại có thể chuyển sang công thức tính tổng cho các sự kiện chung. Tại sao chúng ta bị phân tâm khỏi chủ đề? Để tìm hiểu xác suất được nhân lên như thế nào. Bây giờ chúng ta sẽ cần kiến ​​thức này.

Chúng ta đã biết hai số hạng đầu tiên sẽ là gì (giống như trong công thức cộng đã thảo luận trước đó), nhưng bây giờ chúng ta cần trừ tích các xác suất mà chúng ta vừa học cách tính. Để rõ ràng, hãy viết công thức: P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB). Hóa ra cả phép cộng và phép nhân xác suất đều được sử dụng trong một biểu thức.

Giả sử chúng ta phải giải quyết một trong hai vấn đề để có được tín dụng. Chúng ta có thể giải quyết cái đầu tiên với xác suất là 0,3 và cái thứ hai với xác suất là 0,6. Giải: 0,3 + 0,6 - 0,18 = 0,72. Lưu ý rằng chỉ cộng các con số ở đây sẽ không đủ.

Xác suất có điều kiện

Cuối cùng, có khái niệm về xác suất có điều kiện, các đối số của nó được biểu thị trong ngoặc đơn và cách nhau bằng một thanh dọc. Mục P(A|B) đọc như sau: “xác suất của sự kiện A với sự kiện B.”

Hãy xem một ví dụ: một người bạn đưa cho bạn một thiết bị nào đó, hãy coi đó là một chiếc điện thoại. Nó có thể bị hỏng (20%) hoặc còn nguyên vẹn (80%). Bạn có thể sửa chữa bất kỳ thiết bị nào rơi vào tay bạn với xác suất là 0,4 hoặc bạn không thể làm như vậy (0,6). Cuối cùng, nếu thiết bị hoạt động tốt, bạn có thể tiếp cận đúng người với xác suất là 0,7.

Thật dễ dàng để thấy xác suất có điều kiện diễn ra như thế nào trong trường hợp này: bạn sẽ không thể liên lạc được với người đó nếu điện thoại bị hỏng, nhưng nếu nó vẫn hoạt động thì bạn không cần phải sửa nó. Vì vậy, để nhận được bất kỳ kết quả nào ở “cấp độ thứ hai”, bạn cần tìm ra sự kiện nào đã được thực hiện ở lần đầu tiên.

Tính toán

Chúng ta hãy xem các ví dụ về giải các bài toán liên quan đến phép cộng và nhân xác suất, sử dụng dữ liệu từ đoạn trước.

Đầu tiên, hãy tìm xác suất để bạn sửa chữa được thiết bị được giao. Để làm được điều này, thứ nhất là nó phải bị lỗi, thứ hai là bạn phải sửa được nó. Đây là một vấn đề điển hình khi sử dụng phép nhân: chúng ta nhận được 0,2 * 0,4 = 0,08.

Khả năng bạn sẽ ngay lập tức tiếp cận được đúng người là bao nhiêu? Đơn giản như vậy: 0,8*0,7 = 0,56. Trong trường hợp này, bạn thấy rằng điện thoại đang hoạt động và thực hiện cuộc gọi thành công.

Cuối cùng, hãy xem xét tình huống này: bạn nhận được một chiếc điện thoại bị hỏng, hãy sửa nó, sau đó quay số và người ở đầu bên kia nhấc máy. Ở đây chúng ta cần nhân ba thành phần: 0,2*0,4*0,7 = 0,056.

Phải làm gì nếu bạn có hai điện thoại không hoạt động cùng một lúc? Khả năng bạn sửa được ít nhất một trong số chúng là bao nhiêu? về phép cộng và phép nhân xác suất, vì các sự kiện chung được sử dụng. Giải: 0,4 + 0,4 - 0,4*0,4 = 0,8 - 0,16 = 0,64. Như vậy, nếu bạn có hai thiết bị bị hỏng, bạn sẽ có thể sửa được trong 64% trường hợp.

Sử dụng cẩn thận

Như đã nêu ở đầu bài, việc sử dụng lý thuyết xác suất cần phải có chủ ý và có ý thức.

Chuỗi thí nghiệm càng lớn thì giá trị dự đoán về mặt lý thuyết càng gần với giá trị thu được trong thực tế. Ví dụ, chúng ta ném một đồng xu. Về mặt lý thuyết, khi biết sự tồn tại của các công thức cộng và nhân xác suất, chúng ta có thể dự đoán số lần “ngửa” và “sấp” sẽ xuất hiện nếu chúng ta tiến hành thí nghiệm 10 lần. Chúng tôi đã tiến hành một thí nghiệm và do trùng hợp ngẫu nhiên, tỷ lệ các cạnh được rút ra là 3 trên 7. Nhưng nếu chúng tôi tiến hành một chuỗi 100, 1000 lần thử trở lên, thì hóa ra biểu đồ phân phối ngày càng gần với biểu đồ lý thuyết: 44 đến 56, 482 đến 518, v.v.

Bây giờ hãy tưởng tượng rằng thí nghiệm này được thực hiện không phải bằng đồng xu mà bằng việc sản xuất một số chất hóa học mới, xác suất mà chúng ta không biết. Chúng tôi sẽ tiến hành 10 thí nghiệm và không thu được kết quả thành công, chúng tôi có thể khái quát hóa: “không thể thu được chất này”. Nhưng ai biết được, nếu thử lần thứ mười một, liệu chúng ta có đạt được mục tiêu hay không?

Vì vậy, nếu bạn đang đi vào vùng chưa biết, vào một khu vực chưa được khám phá, lý thuyết xác suất có thể không áp dụng được. Mỗi nỗ lực tiếp theo trong trường hợp này có thể thành công và những khái quát hóa như “X không tồn tại” hoặc “X là không thể” sẽ là quá sớm.

Lời cuối cùng

Vì vậy, chúng ta đã xem xét hai loại phép cộng, phép nhân và xác suất có điều kiện. Với nghiên cứu sâu hơn về lĩnh vực này, cần phải học cách phân biệt giữa các tình huống khi sử dụng từng công thức cụ thể. Ngoài ra, bạn cần hình dung xem liệu các phương pháp xác suất có thể áp dụng chung để giải quyết vấn đề của bạn hay không.

Nếu bạn thực hành, sau một thời gian, bạn sẽ bắt đầu thực hiện tất cả các thao tác cần thiết chỉ trong tâm trí mình. Đối với những người quan tâm đến trò chơi bài, kỹ năng này có thể được coi là cực kỳ có giá trị - bạn sẽ tăng đáng kể cơ hội chiến thắng của mình chỉ bằng cách tính xác suất rơi ra một lá bài hoặc bộ đồ cụ thể. Tuy nhiên, bạn có thể dễ dàng tìm thấy ứng dụng kiến ​​thức thu được vào các lĩnh vực hoạt động khác.

Tại Khi đánh giá xác suất xảy ra của bất kỳ sự kiện ngẫu nhiên nào, điều quan trọng là phải hiểu rõ liệu xác suất () xảy ra của sự kiện mà chúng ta quan tâm có phụ thuộc vào cách các sự kiện khác phát triển hay không.

Trong trường hợp của sơ đồ cổ điển, khi tất cả các kết quả đều có khả năng xảy ra như nhau, chúng ta có thể ước tính các giá trị xác suất của từng sự kiện riêng lẻ mà chúng ta quan tâm một cách độc lập. Chúng ta có thể làm điều này ngay cả khi sự kiện là một tập hợp phức tạp của một số kết quả cơ bản. Điều gì sẽ xảy ra nếu một số sự kiện ngẫu nhiên xảy ra đồng thời hoặc tuần tự? Điều này ảnh hưởng như thế nào đến khả năng xảy ra sự kiện mà chúng ta quan tâm?

Nếu tôi tung xúc xắc nhiều lần và muốn có số sáu xuất hiện, và tôi tiếp tục gặp xui xẻo, điều đó có nghĩa là tôi nên tăng tiền cược vì theo lý thuyết xác suất, tôi sắp gặp may? Than ôi, lý thuyết xác suất không phát biểu điều gì như thế này. Không có xúc xắc, không có thẻ, không có tiền xu không thể nhớ những gì họ đã cho chúng ta xem lần trước. Đối với họ, việc hôm nay là lần đầu tiên hay lần thứ mười tôi thử vận ​​​​may của mình không thành vấn đề. Mỗi lần lặp lại lần tung, tôi chỉ biết một điều: và lần này xác suất đạt được điểm sáu lại là một phần sáu. Tất nhiên, điều này không có nghĩa là con số tôi cần sẽ không bao giờ xuất hiện. Điều này chỉ có nghĩa là việc tôi thua sau lần ném đầu tiên và sau bất kỳ lần ném nào khác là những sự kiện độc lập.

Biến cố A và B được gọi là độc lập, nếu việc thực hiện một trong số chúng không ảnh hưởng gì đến xác suất xảy ra sự kiện khác. Ví dụ: xác suất bắn trúng mục tiêu bằng vũ khí đầu tiên trong số hai vũ khí không phụ thuộc vào việc mục tiêu có bị bắn trúng bởi vũ khí kia hay không, do đó, sự kiện “vũ khí thứ nhất bắn trúng mục tiêu” và “vũ khí thứ hai bắn trúng mục tiêu” là độc lập.

Nếu hai sự kiện A và B độc lập và xác suất của mỗi sự kiện đó đã biết thì xác suất xảy ra đồng thời của cả sự kiện A và sự kiện B (ký hiệu là AB) có thể được tính bằng định lý sau.

Định lý nhân xác suất cho các biến cố độc lập

P(AB) = P(A)*P(B)- xác suất đồng thời sự khởi đầu của hai độc lập sự kiện bằng công việc xác suất của những sự kiện này.

Ví dụ.Xác suất bắn trúng mục tiêu khi bắn súng thứ nhất và súng thứ hai lần lượt bằng nhau: p 1 = 0,7;

p 2 = 0,8. Tìm xác suất để một loạt súng bắn trúng đồng thời cả hai khẩu súng. Giải pháp:


như chúng ta đã thấy, các sự kiện A (bị phát súng thứ nhất bắn trúng) và B (bị phát súng thứ hai bắn trúng) là độc lập, tức là. P(AB)=P(A)*P(B)=p 1 *p 2 =0,56.

Ví dụ.Điều gì xảy ra với ước tính của chúng ta nếu các sự kiện ban đầu không độc lập? Hãy thay đổi ví dụ trước một chút.


Hai xạ thủ bắn vào các mục tiêu trong một cuộc thi, và nếu một trong số họ bắn chính xác, đối thủ bắt đầu lo lắng và kết quả của anh ta sẽ tệ hơn. Làm thế nào để biến tình huống hàng ngày này thành một vấn đề toán học và vạch ra cách giải quyết nó? Về mặt trực giác, rõ ràng là cần phải tách biệt bằng cách nào đó hai lựa chọn để phát triển các sự kiện, về cơ bản là tạo ra hai kịch bản, hai nhiệm vụ khác nhau. Trong trường hợp đầu tiên, nếu đối thủ bắn trượt, kịch bản sẽ có lợi cho vận động viên lo lắng và độ chính xác của anh ta sẽ cao hơn. Trong trường hợp thứ hai, nếu đối thủ tận dụng tốt cơ hội của mình thì xác suất bắn trúng mục tiêu của vận động viên thứ hai sẽ giảm đi. Để phân tách các kịch bản có thể xảy ra (thường được gọi là giả thuyết) cho sự phát triển của các sự kiện, chúng ta thường sẽ sử dụng sơ đồ “cây xác suất”. Sơ đồ này có ý nghĩa tương tự như cây quyết định mà bạn có thể đã xử lý. Mỗi nhánh đại diện cho một kịch bản phát triển riêng của các sự kiện, chỉ có điều bây giờ nó có ý nghĩa riêng của cái gọi là


có điều kiện

xác suất (q 1, q 2, q 1 -1, q 2 -1). Sơ đồ này rất thuận tiện cho việc phân tích các sự kiện ngẫu nhiên tuần tự. Vẫn còn phải làm rõ một câu hỏi quan trọng hơn: giá trị ban đầu của xác suất đến từ đâu?

Ví dụ.tình huống thực tế ? Rốt cuộc, lý thuyết xác suất không hoạt động chỉ với đồng xu và xúc xắc? Thông thường, những ước tính này được lấy từ số liệu thống kê và khi không có thông tin thống kê, chúng tôi sẽ tiến hành nghiên cứu của riêng mình. Và chúng ta thường phải bắt đầu không phải bằng việc thu thập dữ liệu mà bằng câu hỏi chúng ta thực sự cần thông tin gì.

1) trong tổng số cư dân thành phố, 50% là phụ nữ,

2) trong số tất cả phụ nữ, chỉ có 30% nhuộm tóc thường xuyên,

3) trong số họ, chỉ 10% sử dụng dầu dưỡng dành cho tóc nhuộm,

4) trong số họ, chỉ 10% có đủ can đảm để thử một sản phẩm mới,

5) 70% trong số họ thường mua mọi thứ không phải từ chúng tôi mà từ các đối thủ cạnh tranh của chúng tôi.




p 2 = 0,8. Tìm xác suất để một loạt súng bắn trúng đồng thời cả hai khẩu súng. Theo luật nhân xác suất, chúng tôi xác định xác suất của sự kiện mà chúng tôi quan tâm A = (một cư dân thành phố mua loại son dưỡng mới này của chúng tôi) = 0,00045.

Hãy nhân giá trị xác suất này với số lượng cư dân thành phố. Kết quả là chúng tôi chỉ có 45 khách hàng tiềm năng, và xét rằng một chai sản phẩm này có thể dùng được vài tháng nên hoạt động buôn bán không mấy sôi động.

Tuy nhiên, có một số lợi ích từ những đánh giá của chúng tôi.

Đầu tiên, chúng ta có thể so sánh dự báo của các ý tưởng kinh doanh khác nhau; chúng sẽ có các “ngã ba” khác nhau trong sơ đồ, và tất nhiên, các giá trị xác suất cũng sẽ khác nhau.

Thứ hai, như chúng tôi đã nói, một biến ngẫu nhiên không được gọi là ngẫu nhiên vì nó hoàn toàn không phụ thuộc vào bất cứ thứ gì. Chỉ có cô ấy chính xácý nghĩa không được biết trước. Chúng tôi biết rằng số lượng người mua trung bình có thể tăng lên (ví dụ: bằng cách quảng cáo một sản phẩm mới). Vì vậy, thật hợp lý khi tập trung nỗ lực vào những “ngã ba” mà việc phân bổ xác suất không phù hợp với chúng ta, đặc biệt là vào những yếu tố mà chúng ta có thể tác động.

Hãy xem xét một ví dụ định lượng khác về nghiên cứu hành vi người tiêu dùng.

Ví dụ. Trung bình mỗi ngày có 10.000 người ghé chợ thực phẩm. Xác suất để một vị khách đến chợ bước vào gian hàng sản phẩm sữa là 1/2.

Được biết, gian hàng này mỗi ngày bán trung bình 500kg sản phẩm các loại.

Chúng ta có thể nói rằng lượng mua trung bình trong gian hàng chỉ nặng 100 g không? Cuộc thảo luận.




Tất nhiên là không. Rõ ràng là không phải tất cả những người bước vào gian hàng đều mua thứ gì đó ở đó.

Khi chúng tôi đã có được những ước tính này, nhiệm vụ sẽ trở nên đơn giản. Trong số 10.000 người đến chợ, có 5.000 người đến gian hàng sản phẩm sữa, chỉ có 1.000 lượt mua. Trọng lượng mua trung bình là 500 gam. Thật thú vị khi lưu ý rằng để xây dựng một bức tranh hoàn chỉnh về những gì đang xảy ra, logic của việc “phân nhánh” có điều kiện phải được xác định ở mỗi giai đoạn lý luận của chúng ta một cách rõ ràng như thể chúng ta đang làm việc với một tình huống “cụ thể” chứ không phải với xác suất.

Nhiệm vụ tự kiểm tra

1. Cho một mạch điện gồm n phần tử mắc nối tiếp, mỗi phần tử hoạt động độc lập với các phần tử còn lại.




Xác suất p thất bại của từng phần tử đã được biết. Xác định xác suất hoạt động bình thường của toàn bộ phần mạch điện (sự kiện A).

2. Học sinh biết 20/25 đề thi. Tìm xác suất để học sinh đó biết được 3 câu hỏi mà giám khảo đưa ra.

3. Quá trình sản xuất bao gồm bốn giai đoạn liên tiếp, tại mỗi giai đoạn đều có thiết bị hoạt động, trong đó xác suất hỏng hóc trong tháng tiếp theo lần lượt là p 1, p 2, p 3 và p 4. Tìm xác suất để không có trường hợp ngừng sản xuất do hỏng hóc thiết bị trong một tháng.

Nhu cầu hành động dựa trên xác suất xảy ra khi đã biết xác suất của một số sự kiện và cần tính toán xác suất của các sự kiện khác có liên quan đến những sự kiện này.

Phép cộng xác suất được sử dụng khi bạn cần tính xác suất của sự kết hợp hoặc tổng logic của các sự kiện ngẫu nhiên.

Tổng hợp các sự kiện MỘT Và B biểu thị MỘT + B hoặc MỘT ∪ B. Tổng của hai sự kiện là một sự kiện xảy ra khi và chỉ khi có ít nhất một trong các sự kiện xảy ra. Điều này có nghĩa là MỘT + B– một sự kiện xảy ra khi và chỉ khi sự kiện đó xảy ra trong quá trình quan sát MỘT hoặc sự kiện B, hoặc đồng thời MỘT Và B.

Nếu sự kiện MỘT Và B không nhất quán lẫn nhau và xác suất của chúng được cho trước, thì xác suất để một trong những sự kiện này xảy ra do một lần thử được tính bằng cách cộng các xác suất.

Định lý cộng xác suất. Xác suất xảy ra một trong hai sự kiện không tương thích lẫn nhau bằng tổng xác suất của các sự kiện này:

Ví dụ, trong khi đi săn, hai phát súng được bắn ra. Sự kiện MỘT– sự kiện bắn trúng vịt ngay lần đầu tiên TRONG– đánh từ phát thứ hai, sự kiện ( MỘT+ TRONG) – một cú đánh từ cú đánh thứ nhất hoặc thứ hai hoặc từ hai cú đánh. Vì vậy, nếu hai sự kiện MỘT Và TRONG– các sự kiện không tương thích, sau đó MỘT+ TRONG- sự xuất hiện của ít nhất một trong các sự kiện này hoặc hai sự kiện.

Ví dụ 1. Có 30 quả bóng cùng kích thước trong một hộp: 10 quả đỏ, 5 quả xanh và 15 quả trắng. Tính xác suất để một quả bóng có màu (không phải màu trắng) được nhặt lên mà không cần nhìn.

Giải pháp. Chúng ta hãy giả sử rằng sự kiện MỘT- “quả bóng đỏ đã được lấy” và sự kiện TRONG- “Quả bóng xanh đã được lấy đi.” Sau đó, sự kiện là “một quả bóng có màu (không phải màu trắng) được lấy đi.” Hãy tìm xác suất của biến cố đó MỘT:

và sự kiện TRONG:

Sự kiện MỘT Và TRONG– không tương thích lẫn nhau, vì nếu lấy một quả bóng thì không thể lấy những quả bóng khác màu. Vì vậy, chúng tôi sử dụng phép cộng xác suất:

Định lý cộng xác suất cho một số sự kiện không tương thích. Nếu các sự kiện tạo thành một tập hợp hoàn chỉnh các sự kiện thì tổng xác suất của chúng bằng 1:

Tổng xác suất của các sự kiện ngược lại cũng bằng 1:

Các sự kiện đối lập tạo thành một tập hợp các sự kiện hoàn chỉnh và xác suất của một tập hợp sự kiện hoàn chỉnh là 1.

Xác suất của các sự kiện ngược lại thường được biểu thị bằng chữ nhỏ P Và q. Đặc biệt,

từ đó suy ra các công thức sau đây về xác suất xảy ra các sự kiện ngược lại:

Ví dụ 2. Mục tiêu trong trường bắn được chia thành 3 vùng. Xác suất để một xạ thủ nào đó bắn vào mục tiêu ở vùng thứ nhất là 0,15, ở vùng thứ hai – 0,23, ở vùng thứ ba – 0,17. Tìm xác suất để người bắn bắn trúng mục tiêu và xác suất để người bắn trượt mục tiêu.

Lời giải: Tìm xác suất để người bắn trúng mục tiêu:

Hãy tính xác suất để người bắn bắn trượt mục tiêu:

Đối với các bài toán phức tạp hơn, trong đó bạn cần sử dụng cả phép cộng và phép nhân xác suất, hãy xem trang "Các bài toán khác nhau liên quan đến phép cộng và nhân xác suất".

Bổ sung xác suất của các sự kiện xảy ra đồng thời

Hai sự kiện ngẫu nhiên được gọi là kết hợp nếu sự xuất hiện của một sự kiện không loại trừ sự xuất hiện của sự kiện thứ hai trong cùng một quan sát. Ví dụ: khi ném xúc xắc, sự kiện MỘT Con số 4 được coi như đã được tung ra và sự kiện TRONG- cán một số chẵn. Vì 4 là số chẵn nên hai sự kiện tương ứng. Trong thực tế, có những vấn đề về tính toán xác suất xảy ra của một trong các sự kiện xảy ra đồng thời.

Định lý cộng xác suất cho các biến cố chung. Xác suất để một trong các sự kiện chung sẽ xảy ra bằng tổng xác suất của các sự kiện này, từ đó xác suất xảy ra chung của cả hai sự kiện được trừ đi, tức là tích của các xác suất. Công thức xác suất của các sự kiện chung có dạng sau:

Kể từ khi sự kiện MỘT Và TRONG tương thích, sự kiện MỘT+ TRONG xảy ra nếu một trong ba sự kiện có thể xảy ra: hoặc AB. Theo định lý cộng các biến cố không tương thích, ta tính như sau:

Sự kiện MỘT sẽ xảy ra nếu một trong hai sự kiện không tương thích xảy ra: hoặc AB. Tuy nhiên, xác suất xảy ra một sự kiện từ nhiều sự kiện không tương thích bằng tổng xác suất của tất cả các sự kiện này:

Tương tự:

Thay thế biểu thức (6) và (7) vào biểu thức (5), chúng ta thu được công thức xác suất cho các sự kiện chung:

Khi sử dụng công thức (8) cần lưu ý rằng các sự kiện MỘT Và TRONG Có lẽ:

  • độc lập lẫn nhau;
  • phụ thuộc lẫn nhau.

Công thức xác suất cho các biến cố độc lập lẫn nhau:

Công thức xác suất cho các sự kiện phụ thuộc lẫn nhau:

Nếu sự kiện MỘT Và TRONG không nhất quán thì sự trùng hợp của chúng là trường hợp không thể xảy ra và do đó P(AB) = 0. Công thức xác suất thứ tư cho các sự kiện không tương thích là:

Ví dụ 3. Trong đua xe ô tô, khi bạn lái chiếc xe đầu tiên, bạn có cơ hội chiến thắng cao hơn và khi bạn lái chiếc xe thứ hai. Tìm thấy:

  • xác suất để cả hai xe đều thắng;
  • xác suất có ít nhất một ô tô thắng;

1) Xác suất xe thứ nhất thắng không phụ thuộc vào kết quả của xe thứ hai nên các biến cố MỘT(xe đầu tiên thắng) và TRONG(xe thứ hai sẽ thắng) – sự kiện độc lập. Tính xác suất để cả hai xe cùng thắng:

2) Tìm xác suất để một trong hai xe thắng:

Đối với các bài toán phức tạp hơn, trong đó bạn cần sử dụng cả phép cộng và phép nhân xác suất, hãy xem trang "Các bài toán khác nhau liên quan đến phép cộng và nhân xác suất".

Hãy tự mình giải bài toán cộng xác suất rồi xem xét lời giải

Ví dụ 4. Hai đồng xu được tung lên. Sự kiện MỘT- mất huy hiệu trên đồng xu đầu tiên. Sự kiện B- mất huy hiệu trên đồng xu thứ hai. Tìm xác suất của một sự kiện C = MỘT + B .

Nhân xác suất

Phép nhân xác suất được sử dụng khi phải tính xác suất của tích logic của các sự kiện.

Trong trường hợp này, các sự kiện ngẫu nhiên phải độc lập. Hai biến cố được gọi là độc lập lẫn nhau nếu việc xảy ra biến cố này không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra biến cố thứ hai.

Định lý nhân xác suất cho các biến cố độc lập. Xác suất xảy ra đồng thời của hai sự kiện độc lập MỘT Và TRONG bằng tích xác suất của các sự kiện này và được tính theo công thức:

Ví dụ 5.Đồng xu được tung ba lần liên tiếp. Tìm xác suất để huy hiệu xuất hiện cả 3 lần.

Giải pháp. Xác suất để quốc huy xuất hiện ở lần tung đồng xu đầu tiên, lần thứ hai và lần thứ ba. Hãy tìm xác suất để quốc huy xuất hiện cả ba lần:

Tự mình giải các bài toán nhân xác suất rồi xem cách giải

Ví dụ 6. Có một hộp chín quả bóng tennis mới. Để chơi, ba quả bóng được lấy và sau trận đấu, chúng sẽ được đặt lại. Khi chọn bóng, bóng đã chơi không được phân biệt với bóng chưa chơi. Xác suất để sau ba ván chơi không còn quả bóng nào chưa chơi trong hộp là bao nhiêu?

Ví dụ 7. 32 chữ cái trong bảng chữ cái tiếng Nga được viết trên các tấm thẻ bảng chữ cái cắt ra. Năm lá bài được rút ngẫu nhiên lần lượt và đặt trên bàn theo thứ tự xuất hiện. Tìm xác suất để các chữ cái tạo thành từ "kết thúc".

Ví dụ 8. Từ một bộ bài đầy đủ (52 tờ), bốn lá bài được lấy ra cùng một lúc. Tìm xác suất để cả 4 lá bài này đều có chất khác nhau.

Ví dụ 9. Nhiệm vụ tương tự như ví dụ 8, nhưng mỗi lá bài sau khi được lấy ra sẽ được trả về bộ bài.

Bạn có thể tìm thấy các bài toán phức tạp hơn, trong đó bạn cần sử dụng cả phép cộng và phép nhân xác suất, cũng như tính tích của một số sự kiện trên trang "Các bài toán khác nhau liên quan đến phép cộng và nhân xác suất".

Xác suất xảy ra ít nhất một trong các sự kiện độc lập lẫn nhau có thể được tính bằng cách trừ đi 1 tích của xác suất của các sự kiện trái ngược nhau, nghĩa là sử dụng công thức:

Ví dụ 10. Hàng hóa được vận chuyển bằng ba phương thức vận tải: vận tải đường sông, đường sắt và đường bộ. Xác suất hàng hóa sẽ được vận chuyển bằng đường sông là 0,82, bằng đường sắt là 0,87, bằng đường bộ là 0,90. Tìm xác suất để hàng hóa được giao bằng ít nhất một trong ba phương thức vận tải.

Những lưu ý quan trọng!
1. Nếu bạn thấy gobbledygook thay vì công thức, hãy xóa bộ nhớ đệm. Cách thực hiện việc này trong trình duyệt của bạn được viết ở đây:
2. Trước khi bạn bắt đầu đọc bài viết, hãy chú ý đến công cụ điều hướng của chúng tôi để biết những tài nguyên hữu ích nhất cho

Xác suất là gì?

Lần đầu tiên tôi gặp thuật ngữ này, tôi sẽ không hiểu nó là gì. Vì vậy, tôi sẽ cố gắng giải thích rõ ràng.

Xác suất là khả năng xảy ra sự kiện mà chúng ta mong muốn.

Ví dụ, bạn quyết định đến nhà một người bạn, bạn nhớ lối vào và thậm chí cả tầng nơi anh ấy sống. Nhưng tôi quên số và vị trí căn hộ. Và bây giờ bạn đang đứng trên cầu thang, trước mặt bạn có những cánh cửa để bạn lựa chọn.

Xác suất (xác suất) để nếu bạn bấm chuông cửa đầu tiên, bạn của bạn sẽ mở cửa cho bạn là bao nhiêu? Chỉ có những căn hộ và một người bạn chỉ sống đằng sau một trong số đó. Với cơ hội ngang nhau chúng ta có thể chọn bất kỳ cánh cửa nào.

Nhưng cơ hội này là gì?

Cánh cửa, cánh cửa bên phải. Xác suất đoán khi bấm chuông cửa thứ nhất: . Tức là cứ ba lần thì có một lần bạn sẽ đoán chính xác.

Chúng tôi muốn biết, sau khi gọi một lần, chúng tôi sẽ đoán được cửa bao lâu một lần? Hãy xem xét tất cả các tùy chọn:

  1. Bạn đã gọi thứ nhất cửa
  2. Bạn đã gọi thứ 2 cửa
  3. Bạn đã gọi thứ 3 cửa

Bây giờ chúng ta hãy xem xét tất cả các lựa chọn mà một người bạn có thể có:

MỘT. Vì thứ nhất cánh cửa
b. Vì thứ 2 cánh cửa
V. Vì thứ 3 cánh cửa

Hãy so sánh tất cả các tùy chọn ở dạng bảng. Dấu kiểm cho biết các tùy chọn khi lựa chọn của bạn trùng với vị trí của một người bạn, dấu chéo - khi nó không trùng.

Bạn thấy mọi thứ thế nào Có lẽ tùy chọn vị trí của bạn bè bạn và sự lựa chọn của bạn về việc bấm chuông cửa nào.

MỘT kết quả thuận lợi của tất cả . Tức là bạn sẽ đoán một lần bằng cách bấm chuông cửa một lần, tức là. .

Đây là xác suất - tỷ lệ giữa kết quả thuận lợi (khi lựa chọn của bạn trùng với vị trí của bạn bè) trên số sự kiện có thể xảy ra.

Định nghĩa là công thức. Xác suất thường được ký hiệu là p nên:

Viết công thức như vậy không thuận tiện lắm, vì vậy chúng ta sẽ lấy - số kết quả thuận lợi và - tổng số kết quả.

Xác suất có thể được viết dưới dạng phần trăm; để làm điều này, bạn cần nhân kết quả thu được với:

Từ “kết quả” có lẽ đã thu hút sự chú ý của bạn. Vì các nhà toán học gọi các hành động khác nhau (trong trường hợp của chúng tôi, hành động đó là chuông cửa) là thí nghiệm, nên kết quả của những thí nghiệm đó thường được gọi là kết quả.

Vâng, có những kết quả thuận lợi và không thuận lợi.

Hãy quay lại ví dụ của chúng tôi. Giả sử chúng tôi bấm chuông một trong các cánh cửa, nhưng một người lạ đã mở cửa cho chúng tôi. Chúng tôi đã không đoán đúng. Xác suất nếu chúng ta bấm chuông một trong những cánh cửa còn lại thì người bạn của chúng ta sẽ mở nó cho chúng ta là bao nhiêu?

Nếu bạn nghĩ vậy thì đây là một sai lầm. Hãy tìm ra nó.

Chúng ta còn hai cánh cửa. Vì vậy, chúng tôi có các bước có thể:

1) Gọi thứ nhất cửa
2) Gọi thứ 2 cửa

Người bạn, bất chấp tất cả những điều này, chắc chắn đứng sau một trong số họ (xét cho cùng, anh ta không đứng sau người mà chúng ta đã gọi):

a) Bạn bè cho thứ nhất cánh cửa
b) Bạn bè cho thứ 2 cánh cửa

Hãy vẽ lại bảng:

Như bạn có thể thấy, chỉ có những lựa chọn thuận lợi. Tức là xác suất là bằng nhau.

Tại sao không?

Tình huống chúng tôi xem xét là ví dụ về các sự kiện phụ thuộc Sự kiện đầu tiên là chuông cửa thứ nhất, sự kiện thứ hai là chuông cửa thứ hai.

Và chúng được gọi là phụ thuộc vì chúng ảnh hưởng đến các hành động sau. Rốt cuộc, nếu sau tiếng chuông đầu tiên mà một người bạn trả lời thì xác suất người đó đứng sau một trong hai người còn lại là bao nhiêu? Phải, .

Nhưng nếu có những sự kiện phụ thuộc thì cũng phải có độc lập? Đúng vậy, chúng có xảy ra.

Một ví dụ trong sách giáo khoa là việc tung đồng xu.

  1. Tung đồng xu một lần. Ví dụ, xác suất nhận được mặt ngửa là bao nhiêu? Đúng vậy - bởi vì có tất cả các lựa chọn (dù là mặt ngửa hay mặt sấp, chúng ta bỏ qua xác suất đồng xu rơi vào cạnh của nó), nhưng nó chỉ phù hợp với chúng ta.
  2. Nhưng nó đã xuất hiện. Được rồi, hãy ném nó lần nữa. Xác suất nhận được mặt ngửa bây giờ là bao nhiêu? Không có gì thay đổi, mọi thứ vẫn như cũ. Có bao nhiêu lựa chọn? Hai. Chúng ta hài lòng với bao nhiêu? Một.

Và hãy để nó xuất hiện ít nhất một nghìn lần liên tiếp. Xác suất nhận được mặt ngửa cùng một lúc sẽ như nhau. Luôn có những lựa chọn và những lựa chọn thuận lợi.

Thật dễ dàng để phân biệt các sự kiện phụ thuộc với các sự kiện độc lập:

  1. Nếu thí nghiệm được thực hiện một lần (họ ném đồng xu một lần, bấm chuông cửa một lần, v.v.), thì các sự kiện luôn độc lập.
  2. Nếu một thí nghiệm được thực hiện nhiều lần (một đồng xu được ném một lần, chuông cửa rung vài lần), thì sự kiện đầu tiên luôn độc lập. Và sau đó, nếu số lượng các kết quả thuận lợi hoặc số lượng tất cả các kết quả thay đổi, thì các sự kiện sẽ phụ thuộc, còn nếu không thì chúng độc lập.

Hãy luyện tập xác định xác suất một chút nhé.

Ví dụ 1.

Đồng xu được tung hai lần. Xác suất để có được mặt ngửa hai lần liên tiếp là bao nhiêu?

Giải pháp:

Hãy xem xét tất cả các lựa chọn có thể:

  1. đại bàng-đại bàng
  2. Đầu-đuôi
  3. đầu đuôi
  4. đuôi-đuôi

Như bạn có thể thấy, chỉ có các lựa chọn. Trong số này chúng tôi chỉ hài lòng. Tức là xác suất:

Nếu điều kiện chỉ yêu cầu bạn tìm xác suất thì đáp án phải được đưa ra dưới dạng phân số thập phân. Nếu được chỉ định rằng câu trả lời phải được đưa ra dưới dạng phần trăm thì chúng ta sẽ nhân với nhau.

Trả lời:

Ví dụ 2.

Trong một hộp sôcôla, tất cả sôcôla đều được đóng gói trong cùng một loại giấy gói. Tuy nhiên, từ đồ ngọt - với các loại hạt, với rượu cognac, với quả anh đào, với caramen và với kẹo hạnh nhân.

Xác suất để lấy một viên kẹo và nhận được một viên kẹo có hạt là bao nhiêu? Đưa ra câu trả lời của bạn dưới dạng phần trăm.

Giải pháp:

Có bao nhiêu kết quả có thể xảy ra? .

Nghĩa là, nếu bạn lấy một viên kẹo, nó sẽ là một trong những viên có sẵn trong hộp.

Có bao nhiêu kết quả thuận lợi?

Bởi vì hộp chỉ chứa sôcôla với các loại hạt.

Trả lời:

Ví dụ 3.

Trong một hộp bóng bay. trong đó có màu trắng và đen.

  1. Xác suất để lấy được quả bóng trắng là bao nhiêu?
  2. Chúng tôi đã thêm nhiều quả bóng đen vào hộp. Bây giờ xác suất để lấy được quả bóng trắng là bao nhiêu?

Giải pháp:

a) Trong hộp chỉ có hai quả bóng. Trong số đó có màu trắng.

Xác suất là:

b) Bây giờ có nhiều quả bóng hơn trong hộp. Và vẫn còn rất nhiều người da trắng - .

Trả lời:

Tổng xác suất

Xác suất của tất cả các sự kiện có thể xảy ra là bằng ().

Giả sử có những quả bóng màu đỏ và màu xanh lá cây trong một hộp. Xác suất để lấy được quả bóng màu đỏ là bao nhiêu? Quả bóng xanh? Bóng đỏ hay xanh?

Xác suất để lấy được bi đỏ

Quả bóng xanh:

Bóng đỏ hoặc xanh:

Như bạn có thể thấy, tổng của tất cả các sự kiện có thể xảy ra bằng (). Hiểu được điểm này sẽ giúp bạn giải quyết được nhiều vấn đề.

Ví dụ 4.

Trong hộp có các điểm đánh dấu: xanh lá cây, đỏ, xanh dương, vàng, đen.

Xác suất để vẽ KHÔNG phải điểm đánh dấu màu đỏ là bao nhiêu?

Giải pháp:

Hãy đếm số những kết quả thuận lợi.

KHÔNG phải là điểm đánh dấu màu đỏ, có nghĩa là xanh lá cây, xanh dương, vàng hoặc đen.

Xác suất để một sự kiện không xảy ra bằng trừ đi xác suất để sự kiện đó xảy ra.

Quy tắc nhân xác suất của các biến cố độc lập

Bạn đã biết các sự kiện độc lập là gì.

Điều gì sẽ xảy ra nếu bạn cần tìm xác suất để hai (hoặc nhiều) sự kiện độc lập xảy ra liên tiếp?

Giả sử chúng ta muốn biết xác suất để nếu chúng ta tung đồng xu một lần thì chúng ta sẽ thấy mặt ngửa hai lần là bao nhiêu?

Chúng tôi đã xem xét - .

Điều gì sẽ xảy ra nếu chúng ta tung đồng xu một lần? Xác suất nhìn thấy một con đại bàng hai lần liên tiếp là bao nhiêu?

Tổng số lựa chọn có thể:

  1. đại bàng-đại bàng-đại bàng
  2. Đầu-đầu-đuôi
  3. Đầu-đuôi-đầu
  4. Đầu-đuôi-đuôi
  5. đuôi-đầu-đầu
  6. Đuôi-đầu-đuôi
  7. Đuôi-đuôi-đầu
  8. Đuôi-đuôi-đuôi

Không biết bạn thế nào chứ tôi đã mắc sai lầm nhiều lần khi biên soạn danh sách này. Ồ! Và lựa chọn duy nhất (đầu tiên) phù hợp với chúng tôi.

Đối với 5 lần ném, bạn có thể tự mình lập danh sách các kết quả có thể xảy ra. Nhưng các nhà toán học không chăm chỉ bằng bạn.

Do đó, lần đầu tiên họ nhận thấy và sau đó chứng minh rằng xác suất của một chuỗi sự kiện độc lập nhất định mỗi lần giảm đi bằng xác suất của một sự kiện.

Nói cách khác,

Chúng ta hãy xem ví dụ về đồng xu xấu số đó.

Xác suất nhận được đầu trong một thử thách? . Bây giờ chúng ta tung đồng xu một lần.

Xác suất để có được mặt ngửa liên tiếp là bao nhiêu?

Quy tắc này không chỉ có tác dụng nếu chúng ta được yêu cầu tìm xác suất để cùng một sự kiện xảy ra nhiều lần liên tiếp.

Nếu muốn tìm chuỗi TAILS-HEADS-TAILS cho các lần tung liên tiếp, chúng ta cũng làm tương tự.

Xác suất nhận được mặt sấp là , mặt ngửa - .

Xác suất lấy được chuỗi TAILS-HEADS-TAILS-TAILS:

Bạn có thể tự kiểm tra bằng cách lập bảng.

Quy tắc cộng xác suất của các sự kiện không tương thích.

Vì vậy hãy dừng lại! Định nghĩa mới.

Hãy tìm ra nó. Hãy lấy đồng xu cũ của chúng ta và ném nó một lần.
Các tùy chọn có thể:

  1. đại bàng-đại bàng-đại bàng
  2. Đầu-đầu-đuôi
  3. Đầu-đuôi-đầu
  4. Đầu-đuôi-đuôi
  5. đuôi-đầu-đầu
  6. Đuôi-đầu-đuôi
  7. Đuôi-đuôi-đầu
  8. Đuôi-đuôi-đuôi

Vì vậy, các sự kiện không tương thích là một chuỗi sự kiện nhất định. - đây là những sự kiện không tương thích.

Nếu chúng ta muốn xác định xác suất của hai (hoặc nhiều) sự kiện không tương thích là bao nhiêu thì chúng ta cộng xác suất của những sự kiện này.

Bạn cần hiểu rằng ngửa hay sấp là hai sự kiện độc lập.

Nếu chúng ta muốn xác định xác suất xảy ra một chuỗi (hoặc bất kỳ chuỗi nào khác), thì chúng ta sử dụng quy tắc nhân xác suất.
Xác suất để được mặt ngửa ở lần tung đầu tiên và mặt sấp ở lần tung thứ hai và thứ ba là bao nhiêu?

Nhưng nếu chúng ta muốn biết xác suất để có được một trong nhiều chuỗi là bao nhiêu, chẳng hạn như khi mặt ngửa xuất hiện đúng một lần, tức là. các lựa chọn và sau đó chúng ta phải cộng các xác suất của các chuỗi này.

Tổng số lựa chọn phù hợp với chúng tôi.

Chúng ta có thể nhận được kết quả tương tự bằng cách cộng xác suất xảy ra của từng chuỗi:

Do đó, chúng ta cộng các xác suất khi muốn xác định xác suất của các chuỗi sự kiện nhất định, không nhất quán.

Có một quy tắc tuyệt vời giúp bạn tránh nhầm lẫn khi nào nên nhân và khi nào cần cộng:

Hãy quay lại ví dụ khi chúng ta tung đồng xu một lần và muốn biết xác suất nhìn thấy mặt ngửa một lần.
Điều gì sẽ xảy ra?

Nên rơi ra:
(đầu VÀ đuôi VÀ đuôi) HOẶC (đuôi VÀ đầu VÀ đuôi) HOẶC (đuôi VÀ đuôi VÀ đầu).
Đây là cách nó bật ra:

Hãy xem xét một vài ví dụ.

Ví dụ 5.

Trong hộp có bút chì. đỏ, xanh lá cây, cam và vàng và đen. Xác suất để lấy được bút chì màu đỏ hoặc màu xanh lá cây là bao nhiêu?

Giải pháp:

Ví dụ 6.

Nếu một con súc sắc được tung ra hai lần thì xác suất để nhận được tổng số điểm là 8 là bao nhiêu?

Giải pháp.

Làm thế nào chúng ta có thể nhận được điểm?

(và) hoặc (và) hoặc (và) hoặc (và) hoặc (và).

Xác suất để có được một (bất kỳ) khuôn mặt nào là .

Chúng tôi tính toán xác suất:

Đào tạo.

Tôi nghĩ bây giờ bạn đã hiểu khi nào bạn cần tính xác suất, khi nào cần cộng chúng và khi nào cần nhân chúng. Phải không? Hãy luyện tập một chút.

Nhiệm vụ:

Chúng ta hãy lấy một bộ bài chứa các quân bài bao gồm bích, cơ, 13 chùy và 13 viên kim cương. Từ đến Ace của mỗi bộ đồ.

  1. Xác suất để rút được các câu lạc bộ liên tiếp là bao nhiêu (chúng ta đặt lá bài đầu tiên rút được trở lại bộ bài và xáo trộn nó)?
  2. Xác suất rút được một quân bài đen (bích hoặc gậy) là bao nhiêu?
  3. Xác suất để vẽ được một bức tranh (jack, queen, king hoặc át) là bao nhiêu?
  4. Xác suất để vẽ được hai bức tranh liên tiếp là bao nhiêu (chúng ta loại bỏ lá bài đầu tiên được rút ra khỏi bộ bài)?
  5. Xác suất lấy hai quân bài để thu thập được sự kết hợp - (jack, queen hoặc king) và quân át là bao nhiêu?

Câu trả lời:

Nếu bạn có thể tự mình giải quyết tất cả các vấn đề thì bạn thật tuyệt! Bây giờ bạn sẽ giải được các bài toán lý thuyết xác suất trong Kỳ thi Thống nhất một cách xuất sắc!

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT. CẤP TRUNG CẤP

Hãy xem một ví dụ. Giả sử chúng ta tung xúc xắc. Bạn có biết đây là loại xương gì không? Đây là cái mà người ta gọi là khối lập phương có số trên các mặt. Có bao nhiêu mặt, bao nhiêu con số: từ đến bao nhiêu? ĐẾN.

Vì vậy chúng ta tung xúc xắc và chúng ta muốn nó xuất hiện hoặc. Và chúng tôi hiểu được nó.

Trong lý thuyết xác suất họ nói những gì đã xảy ra sự kiện tốt lành(đừng nhầm với thịnh vượng).

Nếu điều đó xảy ra thì sự việc cũng sẽ thuận lợi. Tổng cộng chỉ có hai sự kiện thuận lợi có thể xảy ra.

Có bao nhiêu điều bất lợi? Vì có tổng số các sự kiện có thể xảy ra nên điều đó có nghĩa là những sự kiện bất lợi là những sự kiện (đây là nếu hoặc không xảy ra).

Sự định nghĩa:

Xác suất là tỷ lệ giữa số sự kiện thuận lợi với số lượng tất cả các sự kiện có thể xảy ra. Nghĩa là, xác suất cho biết tỷ lệ thuận lợi của tất cả các sự kiện có thể xảy ra.

Chúng biểu thị xác suất bằng một chữ cái Latinh (rõ ràng là từ tiếng Anh xác suất - xác suất).

Thông thường, người ta đo xác suất theo tỷ lệ phần trăm (xem chủ đề và). Để làm điều này, giá trị xác suất phải được nhân với. Trong ví dụ về xúc xắc, xác suất.

Và tính theo phần trăm: .

Ví dụ (tự quyết định):

  1. Xác suất nhận được mặt ngửa khi tung đồng xu là bao nhiêu? Xác suất hạ cánh đầu là gì?
  2. Xác suất để nhận được số chẵn khi ném xúc xắc là bao nhiêu? Cái nào là kỳ lạ?
  3. Trong một hộp bút chì đơn giản, màu xanh và đỏ. Chúng tôi rút ngẫu nhiên một cây bút chì. Xác suất để có được một cái đơn giản là gì?

Giải pháp:

  1. Có bao nhiêu lựa chọn? Đầu và đuôi - chỉ hai. Có bao nhiêu trong số đó là thuận lợi? Chỉ có một con là đại bàng. Vậy xác suất

    Tương tự với đuôi: .

  2. Tổng số phương án: (hình lập phương có bao nhiêu cạnh, rất nhiều phương án khác nhau). Những điều thuận lợi: (tất cả đều là số chẵn :).
    Xác suất. Tất nhiên, số lẻ cũng vậy.
  3. Tổng cộng: . Thuận lợi: . Xác suất: .

Tổng xác suất

Tất cả bút chì trong hộp đều có màu xanh lá cây. Xác suất để lấy được bút chì màu đỏ là bao nhiêu? Không có cơ hội: xác suất (rốt cuộc là những sự kiện thuận lợi -).

Một sự kiện như vậy được gọi là không thể.

Xác suất để lấy được một cây bút chì xanh là bao nhiêu? Có chính xác số lượng các sự kiện thuận lợi như có tổng số sự kiện (tất cả các sự kiện đều thuận lợi). Vậy xác suất bằng hoặc.

Một sự kiện như vậy được gọi là đáng tin cậy.

Nếu một hộp chứa bút chì xanh và đỏ thì xác suất lấy được bút xanh hoặc đỏ là bao nhiêu? Lại. Hãy lưu ý điều này: xác suất lấy được màu xanh lá cây là bằng nhau và xác suất lấy được màu đỏ là bằng nhau.

Tóm lại, những xác suất này hoàn toàn bằng nhau. Đó là, tổng xác suất của tất cả các sự kiện có thể xảy ra bằng hoặc.

Ví dụ:

Trong một hộp bút chì, trong số đó có màu xanh lam, đỏ, xanh lá cây, trơn, vàng và còn lại là màu cam. Xác suất để không vẽ được màu xanh là bao nhiêu?

Giải pháp:

Chúng ta nhớ rằng tất cả các xác suất đều cộng lại. Và xác suất nhận được màu xanh lá cây là bằng nhau. Điều này có nghĩa là xác suất không vẽ được màu xanh lá cây là bằng nhau.

Hãy nhớ thủ thuật này: Xác suất để một sự kiện không xảy ra bằng trừ đi xác suất để sự kiện đó xảy ra.

Các sự kiện độc lập và quy tắc nhân

Bạn tung đồng xu một lần và muốn nó ngửa cả hai lần. Khả năng của việc này là gì?

Chúng ta hãy xem xét tất cả các tùy chọn có thể và xác định có bao nhiêu tùy chọn:

Đầu-Đầu, Đuôi-Đầu, Đầu-Đuôi, Đuôi-Đuôi. Những gì khác?

Tổng số tùy chọn. Trong số này, chỉ có một con phù hợp với chúng tôi: Eagle-Eagle. Tổng cộng, xác suất là bằng nhau.

Khỏe. Bây giờ chúng ta hãy tung đồng xu một lần. Hãy tự mình làm phép tính. Nó có hoạt động không? (trả lời).

Bạn có thể nhận thấy rằng với việc bổ sung mỗi lần ném tiếp theo, xác suất sẽ giảm đi một nửa. Nguyên tắc chung được gọi là quy tắc nhân:

Xác suất của các sự kiện độc lập thay đổi.

Các sự kiện độc lập là gì? Mọi thứ đều hợp lý: đây là những thứ không phụ thuộc vào nhau. Ví dụ: khi chúng ta ném một đồng xu nhiều lần, mỗi lần thực hiện một lần ném mới, kết quả của lần ném đó không phụ thuộc vào tất cả các lần ném trước đó. Chúng ta có thể dễ dàng ném hai đồng xu khác nhau cùng một lúc.

Thêm ví dụ:

  1. Xúc xắc được ném hai lần. Xác suất để có được nó cả hai lần là gì?
  2. Đồng xu được tung một lần. Xác suất để nó ngửa lần đầu và sấp hai lần là bao nhiêu?
  3. Người chơi tung hai viên xúc xắc. Xác suất để tổng các số trên chúng bằng nhau là bao nhiêu?

Câu trả lời:

  1. Các sự kiện này độc lập, có nghĩa là quy tắc nhân hoạt động: .
  2. Xác suất của mặt ngửa là bằng nhau. Xác suất của mặt sấp là như nhau. Nhân lên:
  3. Chỉ có thể nhận được 12 nếu tung được hai -ki: .

Sự kiện không tương thích và quy tắc bổ sung

Các sự kiện bổ sung cho nhau đến mức có khả năng xảy ra hoàn toàn được gọi là không tương thích. Như tên cho thấy, chúng không thể xảy ra đồng thời. Ví dụ: nếu chúng ta tung một đồng xu, nó có thể xuất hiện mặt ngửa hoặc mặt sấp.

Ví dụ.

Trong một hộp bút chì, trong số đó có màu xanh lam, đỏ, xanh lá cây, trơn, vàng và còn lại là màu cam. Xác suất vẽ màu xanh lá cây hoặc màu đỏ là gì?

Giải pháp .

Xác suất để lấy được bút chì xanh là bằng nhau. Màu đỏ - .

Sự kiện thuận lợi trong tất cả: xanh + đỏ. Điều này có nghĩa là xác suất rút được màu xanh lá cây hoặc màu đỏ là bằng nhau.

Xác suất tương tự có thể được biểu diễn dưới dạng này: .

Đây là quy tắc bổ sung: xác suất của các sự kiện không tương thích tăng lên.

Các vấn đề kiểu hỗn hợp

Ví dụ.

Đồng xu được tung hai lần. Xác suất để kết quả của các cuộn sẽ khác nhau là bao nhiêu?

Giải pháp .

Điều này có nghĩa là nếu kết quả đầu tiên là mặt ngửa thì kết quả thứ hai phải là mặt sấp và ngược lại. Hóa ra có hai cặp sự kiện độc lập và những cặp sự kiện này không tương thích với nhau. Làm thế nào để không bị nhầm lẫn về nơi nhân và nơi cộng.

Có một quy tắc đơn giản cho những tình huống như vậy. Cố gắng mô tả điều gì sẽ xảy ra bằng cách sử dụng liên từ “AND” hoặc “OR”. Ví dụ: trong trường hợp này:

Nó sẽ xuất hiện (đầu và đuôi) hoặc (đuôi và đầu).

Nơi nào có liên từ “và” sẽ có phép nhân và nơi có “hoặc” sẽ có phép cộng:

Hãy tự mình thử:

  1. Xác suất để nếu một đồng xu được tung hai lần thì cả hai lần đồng xu đó sẽ rơi về cùng một phía là bao nhiêu?
  2. Xúc xắc được ném hai lần. Xác suất để nhận được tổng số điểm là bao nhiêu?

Giải pháp:

Một ví dụ khác:

Tung đồng xu một lần. Xác suất để mặt ngửa xuất hiện ít nhất một lần là bao nhiêu?

Giải pháp:

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT. GIỚI THIỆU VỀ NHỮNG ĐIỀU CHÍNH

Xác suất là tỷ lệ giữa số sự kiện thuận lợi với số lượng tất cả các sự kiện có thể xảy ra.

Sự kiện độc lập

Hai sự kiện độc lập nếu sự xuất hiện của một sự kiện không làm thay đổi xác suất xảy ra sự kiện kia.

Tổng xác suất

Xác suất của tất cả các sự kiện có thể xảy ra là bằng ().

Xác suất để một sự kiện không xảy ra bằng trừ đi xác suất để sự kiện đó xảy ra.

Quy tắc nhân xác suất của các biến cố độc lập

Xác suất của một chuỗi các sự kiện độc lập nhất định bằng tích các xác suất của từng sự kiện

Sự kiện không tương thích

Các sự kiện không tương thích là những sự kiện không thể xảy ra đồng thời do một thử nghiệm. Một số sự kiện không tương thích tạo thành một nhóm sự kiện hoàn chỉnh.

Xác suất của các sự kiện không tương thích cộng lại.

Sau khi mô tả những gì sẽ xảy ra, bằng cách sử dụng liên từ “VÀ” hoặc “HOẶC”, thay vì “VÀ”, chúng ta đặt dấu nhân và thay vì “HOẶC” chúng ta đặt dấu cộng.

Vâng, chủ đề đã kết thúc. Nếu bạn đang đọc những dòng này nghĩa là bạn rất tuyệt vời.

Bởi vì chỉ có 5% số người có thể tự mình thành thạo một thứ gì đó. Và nếu bạn đọc đến cuối thì bạn nằm trong 5% này!

Bây giờ là điều quan trọng nhất.

Bạn đã hiểu lý thuyết về chủ đề này. Và tôi nhắc lại, điều này... điều này thật tuyệt vời! Bạn đã giỏi hơn đại đa số bạn bè cùng trang lứa rồi.

Vấn đề là điều này có thể không đủ...

Để làm gì?

Để vượt qua thành công Kỳ thi Thống nhất của Bang, để vào đại học với ngân sách tiết kiệm và QUAN TRỌNG NHẤT là suốt đời.

Tôi sẽ không thuyết phục bạn bất cứ điều gì, tôi chỉ nói một điều...

Những người nhận được một nền giáo dục tốt kiếm được nhiều tiền hơn những người không nhận được nó. Đây là số liệu thống kê.

Nhưng đây không phải là điều chính.

Điều chính là họ HẠNH PHÚC HƠN (có những nghiên cứu như vậy). Có lẽ vì có nhiều cơ hội hơn mở ra trước mắt họ và cuộc sống trở nên tươi sáng hơn chăng? Không biết...

Nhưng hãy tự mình suy nghĩ...

Cần phải làm gì để chắc chắn mình giỏi hơn những người khác trong Kỳ thi Thống nhất và cuối cùng là... hạnh phúc hơn?

GIÚP BẠN BẰNG CÁCH GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ VỀ CHỦ ĐỀ NÀY.

Bạn sẽ không được yêu cầu lý thuyết trong kỳ thi.

Bạn sẽ cần giải quyết vấn đề theo thời gian.

Và, nếu bạn chưa giải quyết được chúng (RẤT NHIỀU!), chắc chắn bạn sẽ mắc sai lầm ngu ngốc ở đâu đó hoặc đơn giản là không có thời gian.

Giống như trong thể thao - bạn cần lặp lại nhiều lần để chắc chắn giành chiến thắng.

Tìm bộ sưu tập bất cứ nơi nào bạn muốn, nhất thiết phải có giải pháp, phân tích chi tiết và quyết định, quyết định, quyết định!

Bạn có thể sử dụng các nhiệm vụ của chúng tôi (tùy chọn) và tất nhiên chúng tôi sẽ đề xuất chúng.

Để sử dụng tốt hơn các nhiệm vụ của chúng tôi, bạn cần giúp kéo dài tuổi thọ của cuốn sách giáo khoa YouClever mà bạn hiện đang đọc.

Làm sao? Có hai lựa chọn:

  1. Mở khóa tất cả các nhiệm vụ ẩn trong bài viết này -
  2. Mở khóa quyền truy cập vào tất cả các nhiệm vụ ẩn trong tất cả 99 bài viết của sách giáo khoa - Mua sách giáo khoa - 499 RUR

Có, chúng tôi có 99 bài viết như vậy trong sách giáo khoa của mình và có thể mở ngay lập tức quyền truy cập vào tất cả các nhiệm vụ cũng như tất cả các văn bản ẩn trong đó.

Quyền truy cập vào tất cả các tác vụ ẩn được cung cấp trong TOÀN BỘ vòng đời của trang web.

Và kết luận là...

Nếu bạn không thích nhiệm vụ của chúng tôi, hãy tìm người khác. Đừng dừng lại ở lý thuyết.

“Đã hiểu” và “Tôi có thể giải quyết” là những kỹ năng hoàn toàn khác nhau. Bạn cần cả hai.

Tìm vấn đề và giải quyết chúng!