Xấp xỉ dữ liệu thực nghiệm là phương pháp dựa trên việc thay thế dữ liệu thu được từ thực nghiệm bằng hàm phân tích gần nhất hoặc trùng khớp tại các điểm nút với các giá trị ban đầu (dữ liệu thu được trong quá trình thử nghiệm hoặc thử nghiệm). Hiện tại, có hai cách để xác định hàm phân tích:
Bằng cách xây dựng một đa thức nội suy bậc n vượt qua trực tiếp qua tất cả các điểm một mảng dữ liệu nhất định. Trong trường hợp này, hàm xấp xỉ được biểu diễn dưới dạng: đa thức nội suy ở dạng Lagrange hoặc đa thức nội suy ở dạng Newton.
Bằng cách xây dựng một đa thức gần đúng bậc n vượt qua ở lân cận của các điểm từ một mảng dữ liệu nhất định. Do đó, hàm gần đúng sẽ loại bỏ tất cả nhiễu (hoặc lỗi) ngẫu nhiên có thể phát sinh trong quá trình thử nghiệm: các giá trị đo được trong quá trình thử nghiệm phụ thuộc vào các yếu tố ngẫu nhiên dao động theo quy luật ngẫu nhiên của riêng chúng (lỗi đo lường hoặc lỗi dụng cụ, độ không chính xác hoặc thử nghiệm lỗi). Trong trường hợp này, hàm gần đúng được xác định bằng phương pháp bình phương tối thiểu.
Phương pháp bình phương tối thiểu(trong tài liệu tiếng Anh Bình phương tối thiểu thông thường, OLS) là một phương pháp toán học dựa trên việc xác định hàm gần đúng, được xây dựng ở vị trí gần nhất với các điểm từ một mảng dữ liệu thử nghiệm nhất định. Độ gần nhau của hàm gốc và hàm xấp xỉ F(x) được xác định bằng thước đo số, cụ thể là: tổng bình phương độ lệch của dữ liệu thực nghiệm so với đường cong xấp xỉ F(x) phải nhỏ nhất.
Đường cong gần đúng được xây dựng bằng phương pháp bình phương nhỏ nhất
Phương pháp bình phương tối thiểu được sử dụng:
Giải các hệ phương trình đã xác định quá mức khi số phương trình vượt quá số ẩn;
Để tìm giải pháp trong trường hợp hệ phương trình phi tuyến thông thường (không được xác định quá mức);
Để xấp xỉ các giá trị điểm bằng một số hàm gần đúng.
Hàm xấp xỉ sử dụng phương pháp bình phương nhỏ nhất được xác định từ điều kiện tổng bình phương tối thiểu của độ lệch bình phương của hàm xấp xỉ được tính toán từ một mảng dữ liệu thực nghiệm cho trước. Tiêu chí này của phương pháp bình phương tối thiểu được viết dưới dạng biểu thức sau:
Các giá trị của hàm xấp xỉ được tính toán tại các điểm nút,
Một mảng dữ liệu thử nghiệm nhất định tại các điểm nút.
Tiêu chuẩn bậc hai có một số thuộc tính “tốt”, chẳng hạn như khả vi, cung cấp một giải pháp duy nhất cho bài toán gần đúng bằng các hàm xấp xỉ đa thức.
Tùy theo điều kiện của bài toán mà hàm xấp xỉ là đa thức bậc m
Bậc của hàm xấp xỉ không phụ thuộc vào số điểm nút mà chiều của nó phải luôn nhỏ hơn chiều (số điểm) của mảng dữ liệu thực nghiệm cho trước.
∙ Nếu bậc của hàm gần đúng là m=1 thì chúng ta xấp xỉ hàm dạng bảng bằng một đường thẳng (hồi quy tuyến tính).
∙ Nếu bậc của hàm gần đúng là m=2 thì chúng ta xấp xỉ hàm trong bảng bằng một parabol bậc hai (xấp xỉ bậc hai).
∙ Nếu bậc của hàm xấp xỉ là m=3 thì chúng ta xấp xỉ hàm trong bảng bằng một parabol bậc ba (xấp xỉ bậc ba).
Trong trường hợp tổng quát, khi cần xây dựng một đa thức gần đúng bậc m cho các giá trị trong bảng cho trước, điều kiện tối thiểu của tổng bình phương độ lệch trên tất cả các điểm nút được viết lại dưới dạng sau:
- các hệ số chưa biết của đa thức gần đúng bậc m;
Số lượng giá trị bảng được chỉ định.
Điều kiện cần để tồn tại cực tiểu của hàm số là đạo hàm riêng của nó bằng 0 đối với các biến chưa biết . Kết quả ta thu được hệ phương trình sau:
Hãy biến đổi hệ phương trình tuyến tính thu được: mở dấu ngoặc và di chuyển các số hạng tự do sang vế phải của biểu thức. Kết quả, hệ biểu thức đại số tuyến tính thu được sẽ được viết dưới dạng sau:
Hệ biểu thức đại số tuyến tính này có thể được viết lại dưới dạng ma trận:
Kết quả là đã thu được một hệ phương trình tuyến tính có chiều m+1, bao gồm m+1 ẩn số. Hệ thống này có thể được giải bằng bất kỳ phương pháp nào để giải phương trình đại số tuyến tính (ví dụ: phương pháp Gaussian). Kết quả của giải pháp là các tham số chưa biết của hàm gần đúng sẽ được tìm thấy cung cấp tổng độ lệch bình phương tối thiểu của hàm gần đúng so với dữ liệu gốc, tức là. xấp xỉ bậc hai tốt nhất có thể. Cần nhớ rằng nếu ngay cả một giá trị của dữ liệu nguồn thay đổi thì tất cả các hệ số sẽ thay đổi giá trị của chúng vì chúng hoàn toàn được xác định bởi dữ liệu nguồn.
Xấp xỉ dữ liệu nguồn bằng sự phụ thuộc tuyến tính
(hồi quy tuyến tính)
Ví dụ: hãy xem xét kỹ thuật xác định hàm gần đúng, được chỉ định dưới dạng phụ thuộc tuyến tính. Theo phương pháp bình phương tối thiểu, điều kiện để có tổng bình phương nhỏ nhất được viết dưới dạng sau:
Tọa độ của các nút bảng;
Các hệ số chưa xác định của hàm gần đúng, được chỉ định dưới dạng phụ thuộc tuyến tính.
Điều kiện cần để tồn tại cực tiểu của hàm số là đạo hàm riêng của nó bằng 0 đối với các biến chưa biết. Kết quả ta thu được hệ phương trình sau:
Chúng ta hãy biến đổi hệ phương trình tuyến tính thu được.
Chúng tôi giải hệ thống kết quả của phương trình tuyến tính. Các hệ số của hàm xấp xỉ ở dạng giải tích được xác định như sau (phương pháp Cramer):
Các hệ số này đảm bảo xây dựng hàm xấp xỉ tuyến tính theo tiêu chí cực tiểu hóa tổng bình phương của hàm xấp xỉ từ các giá trị bảng cho trước (dữ liệu thực nghiệm).
Thuật toán thực hiện phương pháp bình phương tối thiểu
1. Dữ liệu ban đầu:
Mảng dữ liệu thực nghiệm với số lần đo N được xác định
Bậc của đa thức xấp xỉ (m) được xác định
2. Thuật toán tính toán:
2.1. Các hệ số để xây dựng hệ phương trình có chiều được xác định
Các hệ số của hệ phương trình (vế trái của phương trình)
- chỉ số số cột của ma trận vuông của hệ phương trình
Các số hạng tự do của hệ phương trình tuyến tính (vế phải của phương trình)
- chỉ số số hàng của ma trận vuông của hệ phương trình
2.2. Xây dựng hệ phương trình tuyến tính có chiều.
2.3. Giải hệ phương trình tuyến tính xác định các hệ số chưa biết của một đa thức xấp xỉ bậc m.
2.4. Xác định tổng bình phương độ lệch của đa thức xấp xỉ so với giá trị ban đầu tại tất cả các điểm nút
Giá trị tìm thấy của tổng bình phương độ lệch là nhỏ nhất có thể.
Xấp xỉ bằng các hàm khác
Cần lưu ý rằng khi xấp xỉ dữ liệu gốc theo phương pháp bình phương tối thiểu, hàm logarit, hàm mũ và hàm lũy thừa đôi khi được sử dụng làm hàm xấp xỉ.
Xấp xỉ logarit
Hãy xem xét trường hợp khi hàm gần đúng được cho bởi hàm logarit có dạng:
Giống như những bài trước, bài học có nội dung tương tự này được xem tốt nhất trên trang tính Excel (xem Bài học gần đúng.xls, Trang tính 1)
Việc tính gần đúng trong Excel được thực hiện dễ dàng nhất bằng cách sử dụng chương trình xu hướng. Để làm rõ các tính năng của phép tính gần đúng, hãy lấy một ví dụ cụ thể. Ví dụ, entanpy của hơi nước bão hòa theo cuốn sách của S.L. Rivkin và A.A. Aleksandrov “Tính chất vật lý nhiệt của nước và hơi nước”, M., “Năng lượng”, 1980. Trong cột P, chúng ta sẽ đặt các giá trị áp suất tính bằng kgf/cm2, trong cột i" - entanpy của hơi nước trên đường bão hòa tính bằng kcal/kg và xây dựng biểu đồ bằng tùy chọn hoặc nút "Chart Wizard".
Hãy nhấp chuột phải vào dòng trong hình, sau đó nhấp chuột trái vào tùy chọn "Thêm đường xu hướng" và xem tùy chọn này cung cấp cho chúng tôi những dịch vụ nào về mặt triển khai phép tính gần đúng trong Excel.
Chúng ta được cung cấp năm loại xấp xỉ: tuyến tính, lũy thừa, logarit, hàm mũ và đa thức. Chúng có tác dụng gì và chúng có thể giúp chúng ta như thế nào? - Nhấn nút F1, sau đó nhấn vào tùy chọn “Answer Wizard” và nhập từ “approximation” chúng ta cần vào cửa sổ hiện ra, sau đó nhấn vào nút “Find”. Trong danh sách xuất hiện, chọn phần “Công thức xây dựng đường xu hướng”.
Chúng tôi nhận được thông tin sau đây được chúng tôi sửa đổi một chút
biên tập viên:
Tuyến tính:
trong đó b là góc nghiêng và a là tọa độ giao điểm của trục hoành (thuật ngữ tự do).
Quyền lực:
Dùng để khớp dữ liệu bằng phương pháp bình phương tối thiểu theo phương trình:
trong đó c và b là các hằng số.
Logarit:
Dùng để khớp dữ liệu bằng phương pháp bình phương tối thiểu theo phương trình:
trong đó a và b là các hằng số.
Số mũ:
Dùng để khớp dữ liệu bằng phương pháp bình phương tối thiểu theo phương trình:
trong đó b và k là các hằng số.
Đa thức:
Dùng để khớp dữ liệu bằng phương pháp bình phương tối thiểu theo phương trình:
y=a+b1*x+b2*x^2+b3*x^3+...b6*x^6
trong đó a, b1, b2, b3,... b6 là các hằng số.
Nhấp lại vào đường vẽ, sau đó nhấp vào tùy chọn “Thêm đường xu hướng”, sau đó vào tùy chọn “Tham số” và chọn các hộp ở bên trái các mục: “hiển thị phương trình trên sơ đồ” và “đặt giá trị độ tin cậy gần đúng R^2 trên sơ đồ, sau đó nhấp vào nút OK. Chúng tôi thử tất cả các tùy chọn gần đúng theo thứ tự.
Xấp xỉ tuyến tính cho chúng ta R^2=0,9291 - đây là độ tin cậy thấp và kết quả kém.
Để chuyển sang xấp xỉ luật lũy thừa, hãy nhấp chuột phải vào đường xu hướng, sau đó nhấp chuột trái vào tùy chọn “Định dạng đường xu hướng”, sau đó nhấp vào tùy chọn “Loại” và “Nguồn”. Lần này chúng ta có R^2=0,999.
Hãy viết phương trình đường xu hướng dưới dạng phù hợp cho việc tính toán trên bảng Excel:
y=634,16*x^0,012
Kết quả là chúng ta có:
Sai số gần đúng tối đa được tìm thấy là 0,23 kcal/kg. Đối với việc tính gần đúng dữ liệu thực nghiệm thì đây sẽ là một kết quả tuyệt vời, nhưng đối với việc tính gần đúng một bảng tra cứu thì đó không phải là một kết quả tốt lắm. Do đó, hãy thử kiểm tra các tùy chọn gần đúng khác trong Excel bằng chương trình xây dựng xu hướng.
Phép tính gần đúng logarit cho chúng ta R^2=0,9907 - tệ hơn một chút so với phiên bản lũy thừa. Số mũ trong phiên bản do chương trình xây dựng xu hướng cung cấp hoàn toàn không phù hợp - R^2=0,927.
Xấp xỉ đa thức với bậc 2 (đây là y=a+b1*x+b2*x^2) với điều kiện R^2=0,9896. Ở mức độ 3, chúng tôi thu được R^2=0,999, nhưng có sự biến dạng rõ ràng của đường cong gần đúng, đặc biệt là ở P>0,07 kgf/cm2. Cuối cùng, lũy thừa thứ năm cho chúng ta R^2=1 - đây được cho là mối liên hệ gần nhất giữa dữ liệu gốc và giá trị gần đúng của chúng.
Hãy viết lại phương trình đa thức dưới dạng phù hợp để tính toán trên bảng Excel:
y=1E+07*x^5-4E+06*x^4+469613*x^3-27728*x^2+1020.8*x+592.44
và so sánh kết quả gần đúng với bảng gốc:
Hóa ra R^2=1 trong trường hợp này chỉ là một lời nói dối xuất sắc. Trên thực tế, kết quả tốt nhất của phép tính gần đúng đa thức được cho bởi đa thức đơn giản nhất có dạng y=a+b1*x+b2*x^2. Nhưng kết quả của nó còn tệ hơn so với phiên bản gần đúng định luật lũy thừa y=634,16*x^0,012, trong đó sai số gần đúng tối đa là ở mức 0,23 kcal/kg. Đó là tất cả những gì chúng ta có thể thoát ra khỏi chương trình thịnh hành. Hãy xem chúng ta có thể thu được gì từ hàm Linear. Đối với nó, chúng tôi sẽ thử tùy chọn gần đúng luật lũy thừa.
Ghi chú. Lỗi được phát hiện có liên quan đến hoạt động của chương trình xu hướng, nhưng không liên quan đến phương pháp bình phương tối thiểu.
6.7.3. Công nghệ giải bài toán xấp xỉ hàm số bằng gói toán học
6.7.3.1. Công nghệ giải bài toán xấp xỉ bằng MathCad
6.7.3.2. Công nghệ giải bài toán xấp xỉ hàm số trong môi trường MatLab
6.7.4. Bài tập trắc nghiệm chủ đề “Xấp xỉ hàm số”
Phát biểu bài toán gần đúng
Nhiệm vụ của việc xấp xỉ một hàm là thay thế một hàm y=f(x) nào đó bằng một hàm khác g(x, a 0 , a 1 , ..., a n) sao cho độ lệch
g(x, a0, a1, ..., an) từ f(x) thỏa mãn một điều kiện nhất định trong một vùng nhất định (trên tập X). Nếu tập X rời rạc (bao gồm các điểm riêng lẻ) thì phép tính gần đúng được gọi là theo điểm, nhưng nếu X là một đoạn thì phép tính gần đúng được gọi là tích phân.
Nếu hàm f(x) được cho trong bảng thì hàm gần đúng
g(x, a 0 , a 1 , ..., a n) phải thỏa mãn một tiêu chí nhất định về sự tương ứng của các giá trị của nó với dữ liệu dạng bảng.
Việc lựa chọn các công thức thực nghiệm bao gồm hai giai đoạn - chọn loại công thức và xác định các hệ số có trong đó.
Nếu chưa biết loại phụ thuộc gần đúng, thì một trong các loại hàm đã biết thường được chọn làm công thức thực nghiệm: đa thức đại số, hàm mũ, hàm logarit hoặc hàm khác, tùy thuộc vào tính chất của hàm được xấp xỉ. Vì hàm gần đúng thu được theo kinh nghiệm, theo quy luật, chịu sự biến đổi trong các nghiên cứu tiếp theo, nên họ cố gắng chọn công thức đơn giản nhất đáp ứng các yêu cầu về độ chính xác. Thông thường, sự phụ thuộc được mô tả bằng đa thức đại số bậc thấp được chọn làm công thức thực nghiệm.
Cách phổ biến nhất để chọn một hàm ở dạng đa thức là:
trong đó φ(x,a 0 ,a 1 ,...,a n)=a 0 φ 0 (x)+a 1 φ 1 (x)+...+a m φ m (x), và
φ 0 (x), φ 1 (x), ..., φ m (x) – hàm cơ sở (m-bậc của đa thức gần đúng).
Một trong những cơ sở khả dĩ là định luật lũy thừa: φ 0 (x)=1, φ 1 (x)=x, ..., φ m (x)=x m.
Thông thường bậc của đa thức gần đúng m<
e i = φ(x i, a 0, a 1, ..., a m) – y i, i = 0,1,2,...,n.
Các phương pháp xác định hệ số của hàm thực nghiệm được chọn khác nhau ở tiêu chí giảm thiểu sai lệch.
Phương pháp bình phương tối thiểu
Một trong những cách xác định các tham số của một công thức thực nghiệm là phương pháp bình phương tối thiểu. Trong phương pháp này, các tham số a 0 , a 1 , ..., an n được xác định từ điều kiện tổng bình phương sai lệch nhỏ nhất của hàm xấp xỉ từ dữ liệu được lập bảng.
Vectơ hệ số a T được xác định từ điều kiện cực tiểu hóa
trong đó (n+1) là số điểm nút.
Điều kiện cực tiểu của hàm E dẫn đến hệ phương trình tuyến tính với các tham số a 0, a 1, ..., a m. Hệ này gọi là hệ phương trình chuẩn tắc, ma trận của nó là ma trận gram. Yếu tố ma trận gram là tổng các tích vô hướng của các hàm cơ sở
Để thu được các giá trị tham số cần tìm, người ta phải soạn và giải hệ phương trình (m+1)
Chọn sự phụ thuộc tuyến tính y= a 0 +a 1 x làm hàm gần đúng. Sau đó
Điều kiện tối thiểu:
Khi đó phương trình thứ nhất có dạng
Mở ngoặc và chia cho hệ số không đổi, ta được
.
Phương trình đầu tiên có dạng cuối cùng như sau:
.
Để thu được phương trình thứ hai, chúng ta đánh đồng đạo hàm riêng theo a1 bằng 0:
.
.
Hệ phương trình tuyến tính tìm hệ số của đa thức 
(xấp xỉ tuyến tính):
Hãy giới thiệu ký hiệu sau 
- giá trị trung bình của dữ liệu ban đầu. Trong ký hiệu đã giới thiệu, nghiệm của hệ là
.
Trong trường hợp sử dụng phương pháp bình phương tối thiểu để xác định các hệ số của đa thức gần đúng bậc hai y=a 0 +a 1 x+a 2 x 2 thì tiêu chí tối thiểu hóa có dạng
.
Từ điều kiện 
ta thu được hệ phương trình sau:
Giải hệ phương trình tìm a 0, a 1, a 2 cho phép ta tìm được các hệ số của công thức thực nghiệm 
- xấp xỉ đa thức bậc 2. Phương pháp số có thể được sử dụng để giải hệ phương trình tuyến tính.
Trong trường hợp cơ số lũy thừa (bậc của đa thức xấp xỉ bằng m), ma trận Gram của hệ phương trình chuẩn G và cột vế phải của hệ phương trình chuẩn có dạng
G = 
Ở dạng ma trận, hệ phương trình chuẩn tắc sẽ có dạng:
Giải hệ phương trình chuẩn
được tìm thấy từ biểu thức
Là thước đo độ lệch của các giá trị đã cho của hàm y 0, y 1, ..., y n so với đa thức bậc m - φ(x)=a 0 φ 0 (x)+a 1 φ 1 (x)+...+a m φ m(x),
giá trị được chấp nhận
(n+1)– số nút, m – bậc của đa thức gần đúng, n+1>=m.
Hình 6.7.2-1 thể hiện sơ đồ mở rộng của thuật toán phương pháp bình phương tối thiểu.
Cơm. 6.7.2-1. Sơ đồ mở rộng của thuật toán phương pháp bình phương tối thiểu
Sơ đồ thuật toán phương pháp bình phương tối thiểu này được mở rộng và phản ánh các quy trình chính của phương pháp, trong đó n+1 là số điểm tại đó các giá trị х i, y i được biết đến; i=0,1,…,n .
Khối tính hệ số bao gồm việc tính các hệ số ẩn c 0, c 1, ..., c m và các số hạng tự do của hệ phương trình tuyến tính m+1.
Khối tiếp theo - khối giải hệ phương trình - liên quan đến việc tính các hệ số của hàm gần đúng với 0, với 1, ..., với m.
Ví dụ 6.7.2-1. Ghép dữ liệu sau vào đa thức bậc hai bằng phương pháp bình phương tối thiểu.
| x | 0.78 | 1.56 | 2.34 | 3.12 | 3.81 |
| y | 2.50 | 1.20 | 1.12 | 2.25 | 4.28 |
Chúng ta viết các phần tử của ma trận Gram và cột các số hạng tự do vào bảng sau:
| Tôi | x | x 2 | x 3 | x 4 | y | xy | x 2 năm |
| 0.78 | 0.608 | 0.475 | 0.370 | 2.50 | 1.950 | 1.520 | |
| 1.56 | 2.434 | 3.796 | 5.922 | 1.20 | 1.872 | 2.920 | |
| 2.34 | 5.476 | 12.813 | 29.982 | 1.12 | 2.621 | 6.133 | |
| 3.12 | 9.734 | 30.371 | 94.759 | 2.25 | 7.020 | 21.902 | |
| 3.81 | 14.516 | 55.306 | 210.72 | 4.28 | 16.307 | 62.129 | |
| ∑ | 11.61 | 32.768 | 102.76 | 341.75 | 11.35 | 29.770 | 94.604 |
Hệ phương trình thông thường trông như thế này
Giải pháp cho hệ thống này là:
a0 = 5,022; a1 = -4,014; a2=1,002.
Hàm xấp xỉ cần thiết
Hãy so sánh các giá trị ban đầu của y với các giá trị của đa thức gần đúng được tính tại cùng một điểm:
Hãy tính độ lệch chuẩn (dư lượng)
.
Ví dụ 6.7.3-1. Thu được các đa thức gần đúng bậc một và bậc hai bằng phương pháp bình phương tối thiểu cho một hàm được chỉ định trong bảng.
 |
Ví dụ 6.7.3-2. Xấp xỉ một hàm được chỉ định trong bảng với đa thức bậc 1, bậc 2 và bậc 3.
Ví dụ này xem xét việc sử dụng hàm linfit(x,y,f), trong đó x,y lần lượt là vectơ của các giá trị đối số và hàm và f là vectơ ký hiệu của các hàm cơ sở. Việc sử dụng hàm này cho phép bạn xác định vectơ của các hệ số gần đúng bằng phương pháp bình phương tối thiểu và sau đó là sai lệch - sai số bình phương trung bình gốc trong phép tính gần đúng các điểm ban đầu với hàm gần đúng (сko). Bậc của đa thức gần đúng được xác định khi mô tả vectơ ký hiệu f. Ví dụ này cho thấy sự gần đúng của một hàm được chỉ định trong bảng theo đa thức bậc 1, bậc 2 và bậc 3. Vectơ s là một tập hợp các hệ số gần đúng, giúp có thể thu được hàm gần đúng ở dạng rõ ràng.
 |
TRONG Mathcad Ngoài ra còn có một số lượng lớn các hàm dựng sẵn được thiết kế để thu được biểu thức phân tích của hàm hồi quy. Tuy nhiên, trong trường hợp này cần phải biết dạng biểu thức phân tích. Dưới đây là các hàm dựng sẵn khác nhau về loại hồi quy, cho phép (với các giá trị gần đúng ban đầu nhất định) xác định sự phụ thuộc phân tích của hàm, nghĩa là trả về một tập hợp các hệ số gần đúng:
expfit(X,Y,g) Giải pháp của ODE bậc 2 có dạng y”=F(x, y, z), trong đó z=y’ cũng có thể thu được bằng phương pháp Runge-Kutta bậc 4. Dưới đây là các công thức giải ODE:
Trong các hàm này: x là một vectơ đối số, các phần tử của chúng được sắp xếp theo thứ tự tăng dần; y – vectơ giá trị hàm; g - vectơ xấp xỉ ban đầu của các hệ số a, b và c; t - giá trị của đối số mà hàm được xác định.
Trong các ví dụ dưới đây, hệ số tương quan corr() được tính toán để đánh giá mối quan hệ giữa tập dữ liệu và các giá trị của hàm xấp xỉ. Nếu dữ liệu dạng bảng gần đúng bằng một số loại hồi quy thì hệ số tương quan gần bằng 1. Hệ số càng nhỏ thì mối quan hệ giữa các giá trị của các hàm này càng kém.
Ví dụ 6.7.3-3. Tìm các đa thức gần đúng của bậc một, bậc hai, bậc ba và bậc bốn và tính các hệ số tương quan.
   |
Ngoài việc tính toán các giá trị hàm trong một khoảng dữ liệu, tất cả các hàm đã thảo luận trước đó đều có thể thực hiện phép ngoại suy(dự đoán hành vi của hàm ngoài khoảng của các điểm đã cho) sử dụng sự phụ thuộc dựa trên phân tích vị trí của một số điểm ban đầu trên ranh giới của khoảng dữ liệu. TRONG Mathcad cũng có một điều đặc biệt chức năng dự đoán dự đoán(Y, m, n), trong đó Y là vectơ của các giá trị hàm đã cho, nhất thiết phải được lấy ở các khoảng đối số bằng nhau và m là số giá trị Y liên tiếp, dựa vào đó hàm dự đoán trả về n giá trị Y.
Không có giá trị đối số nào được yêu cầu cho dữ liệu, vì theo định nghĩa, hàm hoạt động trên dữ liệu nối tiếp nhau ở cùng một bước. Hàm sử dụng thuật toán dự đoán tuyến tính, chính xác khi hàm ngoại suy trơn tru. Hàm này có thể hữu ích khi bạn cần ngoại suy dữ liệu trong khoảng cách ngắn. Khác xa với dữ liệu ban đầu, kết quả thường không đạt yêu cầu.
Ví dụ 6.7.3-4. Tính gần đúng hàm cho trong bảng bằng đa thức sử dụng phương pháp bình phương tối thiểu.
Ví dụ này xem xét việc sử dụng hàm p=polyfit(x,y,n), trong đó x,y lần lượt là vectơ của đối số và giá trị hàm, n là bậc của đa thức gần đúng và p là vectơ kết quả của các hệ số của đa thức gần đúng có độ dài n+1.
>>x=;  >> x x = 1,2000 1,4000 1,6000 1,8000 2,0000 >> y=[-1,15,-0,506,0,236,0,88,1,256];  |
>> y y = -1,1500 -0,5060 0,2360 0,8800 1,2560 >> % >> % >> p1=polyfit(x,y,1);
 |
>> p1 p1 = 3,0990 -4,8152 >> y1=polyval(p1,x);
>> y1 y1 = -1,0964 -0,4766 0,1432 0,7630 1,3828 >> cko1=sqrt(1/5*sum((y-y1).^2));
>> cko1 cko1 = 0,0918 >> cốt truyện(x,y,"ko",x,y1,"r-")
>> p2=polyfit(x,y,2);
1) >> p2 p2 = -1.1321 6.7219 -7.6229 >> y2=polyval(p2,x);
2) >> y2 y2 = -1,1870 -0,4313 0,2338 0,8083 1,2922 >> cko2=sqrt(1/5*sum((y-y2).^2));
3) >> cko2 cko2 = 0,0518 >> cốt truyện(x,y,"ko",x,y2,"r-")
4) Ví dụ 6.7.3-5. Tính gần đúng hàm cho trong bảng bằng đa thức sử dụng phương pháp bình phương tối thiểu.
Ví dụ 6.7.3-5. Tính gần đúng một hàm cho trong bảng bằng các đa thức có bậc khác nhau bằng cách sử dụng bình phương tối thiểu.
6.7.4. Nhiệm vụ kiểm tra theo chủ đề
"Xấp xỉ hàm"
Xấp xỉ là< i < m. Эти значения — либо результаты расчета, либо набор экспериментальных данных.
có được hàm ở dạng đơn giản hơn mô tả hàm ban đầu với mức độ chính xác vừa đủ trường hợp đặc biệt của nội suy thay thế chức năng ban đầu bằng chức năng thuộc loại khác không có câu trả lời đúng trong danh sách
Chủ đề 6.7. Xấp xỉ hàm
6.7.1. Phát biểu bài toán gần đúng
Các hệ số aj được chọn sao cho đạt được độ lệch nhỏ nhất của đa thức so với hàm đã cho.
Như vậy, Xấp xỉ là sự thay thế hàm này bằng hàm khác, gần với hàm đầu tiên và được tính toán khá đơn giản.
Mô hình toán học về sự phụ thuộc của đại lượng này vào đại lượng khác là khái niệm hàm số y=f(x). Xấp xỉđược gọi là thu được một hàm nhất định mô tả gần đúng sự phụ thuộc hàm nào đó f(x),được xác định bằng một bảng giá trị hoặc được xác định ở dạng bất tiện cho việc tính toán. Trong trường hợp này, hàm này được chọn sao cho thuận tiện nhất có thể cho các phép tính tiếp theo. Cách tiếp cận cơ bản Giải pháp cho vấn đề này là hàm fi (x)được chọn tùy thuộc vào một số tham số miễn phí c1, c2, …, cn, có giá trị được chọn từ một số điều kiện lân cận f(x) và fi (x). Việc chứng minh các phương pháp tìm kiếm thành công một kiểu phụ thuộc hàm và lựa chọn các tham số là nhiệm vụ lý thuyết xấp xỉ hàm. Tùy theo phương pháp chọn tham số khác nhau phương pháp xấp xỉ, trong đó phổ biến nhất là phép nội suy Và xấp xỉ bình phương trung bình gốc. Đơn giản nhất là xấp xỉ tuyến tính, trong đó hàm phụ thuộc tuyến tính vào các tham số được chọn, tức là ở dạng đa thức tổng quát: . Nội suy đa thức gọi là đa thức đại số bậc n-1, trùng với hàm gần đúng trong N các điểm đã chọn. Lỗi xấp xỉ chức năng f(x)đa thức nội suy bậc n-1, được xây dựng theo Nđiểm, có thể được ước tính nếu đạo hàm của nó theo thứ tự N. Bản chất xấp xỉ bình phương trung bình gốc là các tham số của hàm được chọn sao cho đảm bảo khoảng cách bình phương tối thiểu giữa các hàm f(x) vàfi(x, c). Phương pháp bình phương tối thiểu là trường hợp đặc biệt của xấp xỉ bình phương trung bình. Khi sử dụng phương pháp bình phương tối thiểu cũng tương tự như bài toán nội suy trong khoảng giá trị x, đại diện cho một số khoảng [ một, b], chức năng ở đâu f(x) và fi (x) phải gần nhau, chọn hệ thống các điểm (nút) khác nhau x1, ..., x m, số lượng lớn hơn số lượng tham số bắt buộc. Tiếp theo, họ yêu cầu tổng bình phương phần dư ở tất cả các nút phải ở mức tối thiểu.
Nội suy tổng quát
Cần lưu ý rằng, do tính chất cồng kềnh nên các đa thức Newton và Lagrange có hiệu quả tính toán kém hơn so với đa thức tổng quát. Do đó, khi cần thực hiện nhiều phép tính của một đa thức được xây dựng từ một bảng, việc tìm các hệ số c một lần sẽ có lợi hơn. Các hệ số được tìm bằng cách giải trực tiếp hệ c, sau đó các giá trị của nó được tính bằng thuật toán Horner. Nhược điểm của kiểu gần đúng này là cần phải giải hệ phương trình đại số tuyến tính.
Đa thức nội suy Lagrange
Lagrange đã đề xuất hình thức riêng của mình để viết đa thức đại số nội suy tổng quát ở dạng không yêu cầu giải hệ phương trình đại số tuyến tính. Cần lưu ý rằng, do tính chất cồng kềnh nên các đa thức Newton và Lagrange có hiệu quả tính toán kém hơn so với đa thức tổng quát.
Đa thức nội suy Newton
Newton đã đề xuất một dạng viết đa thức đại số nội suy tổng quát dưới dạng không yêu cầu giải hệ phương trình đại số tuyến tính. Cần lưu ý rằng, do tính chất cồng kềnh nên các đa thức Newton và Lagrange có hiệu quả tính toán kém hơn so với đa thức tổng quát.