Trong hình bình hành, điểm nằm trên cạnh ,. Biểu diễn vectơ theo vectơ và .
Giải pháp vấn đề
Bài học này trình bày cách sử dụng các vectơ đã biết dưới dạng các cạnh của hình bình hành để biểu diễn một đoạn tùy ý dưới dạng thành phần của các vectơ ban đầu. Bài toán này không thể có lời giải nếu chúng ta không biết tỉ lệ giữa một trong các cạnh của hình bình hành cho một điểm thuộc đoạn cần tìm. Các hành động tiếp theo là xác định điểm bắt đầu và kết thúc của các vectơ đã cho và các vectơ mà cạnh được chia vào. Tất cả điều này là cần thiết để sử dụng chính xác các dấu hiệu khi kết hợp các vectơ. Sau cùng, cần nhớ các quy tắc cộng vectơ: tổng các vectơ cho ra vectơ thứ ba, phần đầu của vectơ này trùng với phần đầu của vectơ thứ nhất và phần cuối của vectơ này trùng với phần cuối của vectơ thứ hai; và quy tắc trừ các vectơ: hiệu của hai vectơ là vectơ thứ ba, phần đầu của vectơ này trùng với phần cuối của vectơ thứ hai và phần cuối của vectơ này trùng với phần cuối của vectơ thứ nhất. Dựa trên những quy tắc đơn giản này, chúng ta có thể có được sự kết hợp mà chúng ta cần.
Cũng sẽ có những nhiệm vụ để bạn tự giải quyết và bạn có thể xem câu trả lời.
khái niệm vectơ
Trước khi bạn tìm hiểu mọi thứ về vectơ và các phép toán trên chúng, hãy sẵn sàng giải một bài toán đơn giản. Có một vectơ về khả năng kinh doanh của bạn và một vectơ về khả năng đổi mới của bạn. Vectơ khởi nghiệp dẫn bạn đến Mục tiêu 1 và vectơ khả năng đổi mới dẫn bạn đến Mục tiêu 2. Quy tắc của trò chơi là bạn không thể di chuyển theo hướng của hai vectơ này cùng một lúc và đạt được hai mục tiêu cùng một lúc. Các vectơ tương tác, hoặc nói theo ngôn ngữ toán học, một số thao tác được thực hiện trên các vectơ. Kết quả của thao tác này là vectơ “Kết quả”, dẫn bạn đến Mục tiêu 3.
Bây giờ hãy cho tôi biết: kết quả của hoạt động nào trên các vectơ “Tinh thần khởi nghiệp” và “Khả năng đổi mới” là vectơ “Kết quả”? Nếu bạn không thể nói ngay, đừng nản lòng. Khi bạn tiến bộ qua bài học này, bạn sẽ có thể trả lời được câu hỏi này.
Như chúng ta đã thấy ở trên, vectơ nhất thiết phải xuất phát từ một điểm nhất định MỘT theo đường thẳng tới một điểm nào đó B. Do đó, mỗi vectơ không chỉ có giá trị số - chiều dài mà còn có giá trị vật lý và hình học - hướng. Từ đây đưa ra định nghĩa đầu tiên, đơn giản nhất về vectơ. Vì vậy, vectơ là đoạn có hướng xuất phát từ một điểm MỘTđến mức B. Nó được chỉ định như sau: .
Và để bắt đầu nhiều thứ khác nhau các phép toán với vectơ , chúng ta cần làm quen với một định nghĩa nữa về vectơ.
Vectơ là một kiểu biểu diễn của một điểm cần đạt được từ một số điểm bắt đầu. Ví dụ, một vectơ ba chiều thường được viết là (x, y, z) . Nói một cách rất đơn giản, những con số này có nghĩa là bạn cần đi bộ bao xa theo ba hướng khác nhau để đến một điểm.
Cho một vectơ. Đồng thời x = 3 (tay phải chỉ sang phải), y = 1 (tay trái chỉ về phía trước) z = 5 (dưới điểm có cầu thang dẫn lên). Sử dụng dữ liệu này, bạn sẽ tìm thấy một điểm bằng cách đi bộ 3 mét theo hướng do tay phải chỉ, sau đó đi 1 mét theo hướng do tay trái chỉ, sau đó một cái thang đang chờ bạn và tăng lên 5 mét, cuối cùng bạn sẽ tìm thấy chính bạn ở điểm cuối.
Tất cả các thuật ngữ khác là sự giải thích rõ ràng cho lời giải thích được trình bày ở trên, cần thiết cho các phép toán khác nhau trên vectơ, nghĩa là giải quyết các vấn đề thực tế. Chúng ta hãy xem xét các định nghĩa chặt chẽ hơn này, tập trung vào các bài toán vectơ điển hình.
Ví dụ vật lýĐại lượng vectơ có thể là độ dịch chuyển của một điểm vật chất đang chuyển động trong không gian, tốc độ và gia tốc của điểm này cũng như lực tác dụng lên nó.
Vectơ hình họcđược trình bày trong không gian hai chiều và ba chiều dưới dạng đoạn định hướng. Đây là một phân đoạn có sự bắt đầu và kết thúc.
Nếu như MỘT- phần đầu của vectơ, và B- phần cuối của nó thì vectơ được biểu thị bằng ký hiệu hoặc một chữ cái viết thường. Trong hình, phần cuối của vectơ được biểu thị bằng một mũi tên (Hình 1)
Chiều dài(hoặc mô-đun) của một vectơ hình học là độ dài của đoạn tạo ra nó
Hai vectơ đó được gọi là bình đẳng , nếu chúng có thể được kết hợp (nếu các hướng trùng nhau) bằng cách truyền song song, tức là nếu chúng song song, cùng hướng và có độ dài bằng nhau.
Trong vật lý nó thường được xem xét vectơ được ghim, được xác định bởi điểm áp dụng, chiều dài và hướng. Nếu điểm áp dụng của vectơ không quan trọng thì nó có thể được truyền, duy trì độ dài và hướng của nó, tới bất kỳ điểm nào trong không gian. Trong trường hợp này, vectơ được gọi là miễn phí. Chúng tôi sẽ đồng ý chỉ xem xét vectơ miễn phí.
Các phép toán tuyến tính trên vectơ hình học
Nhân một vectơ với một số
Sản phẩm của một vectơ mỗi số là một vectơ thu được từ một vectơ bằng cách kéo dài (at ) hoặc nén (at ) theo một thừa số, và hướng của vectơ vẫn giữ nguyên nếu , và thay đổi ngược lại nếu . (Hình 2)
Từ định nghĩa, các vectơ và = luôn nằm trên một hoặc các đường thẳng song song. Các vectơ như vậy được gọi là thẳng hàng. (Chúng ta cũng có thể nói rằng các vectơ này song song, nhưng trong đại số vectơ người ta thường nói “cộng tuyến”.) Điều ngược lại cũng đúng: nếu các vectơ thẳng hàng thì chúng liên hệ với nhau bởi hệ thức
Do đó, đẳng thức (1) biểu thị điều kiện thẳng hàng của hai vectơ.
Cộng và trừ các vectơ
Khi cộng vectơ bạn cần biết rằng số lượng vectơ và được gọi là vectơ, phần đầu trùng với phần đầu của vectơ và phần cuối trùng với phần cuối của vectơ, với điều kiện là phần đầu của vectơ được gắn vào phần cuối của vectơ. (Hình 3)
Định nghĩa này có thể được phân phối trên bất kỳ số lượng vectơ hữu hạn nào. Hãy để chúng được đưa vào không gian N vectơ miễn phí. Khi cộng một số vectơ, tổng của chúng được coi là vectơ đóng, phần đầu trùng với phần đầu của vectơ đầu tiên và phần cuối của vectơ này trùng với phần cuối của vectơ cuối cùng. Nghĩa là, nếu bạn gắn phần đầu của vectơ vào phần cuối của vectơ và phần đầu của vectơ vào phần cuối của vectơ, v.v. và cuối cùng đến cuối vectơ - phần đầu của vectơ thì tổng của các vectơ này là vectơ đóng 
, phần đầu trùng với phần đầu của vectơ đầu tiên và phần cuối trùng với phần cuối của vectơ cuối cùng. (Hình 4)
Các số hạng được gọi là thành phần của vectơ và quy tắc được xây dựng là quy tắc đa giác. Đa giác này có thể không bằng phẳng.
Khi nhân một vectơ với số -1 sẽ thu được vectơ ngược lại. Các vectơ có cùng độ dài và ngược hướng. Tổng của chúng mang lại vectơ không, có độ dài bằng không. Hướng của vectơ 0 không được xác định.
Trong đại số vectơ, không cần xem xét phép trừ riêng biệt: trừ một vectơ khỏi một vectơ có nghĩa là thêm vectơ đối diện vào vectơ, tức là. 
Ví dụ 1. Rút gọn biểu thức:
.
,
nghĩa là, vectơ có thể được cộng và nhân với các số theo cách tương tự như đa thức (đặc biệt là các vấn đề về đơn giản hóa biểu thức). Thông thường, nhu cầu đơn giản hóa các biểu thức tương tự tuyến tính với vectơ nảy sinh trước khi tính tích của vectơ.
Ví dụ 2. Các vectơ và đóng vai trò là các đường chéo của hình bình hành ABCD (Hình 4a). Biểu diễn thông qua và các vectơ , , và , là các cạnh của hình bình hành này.
Giải pháp. Giao điểm của các đường chéo của hình bình hành chia đôi mỗi đường chéo. Chúng ta tìm độ dài của các vectơ cần thiết trong câu lệnh bài toán bằng một nửa tổng các vectơ tạo thành một tam giác với các vectơ cần tìm hoặc bằng một nửa hiệu (tùy thuộc vào hướng của vectơ đóng vai trò là đường chéo), hoặc, như trong trường hợp sau, một nửa số tiền được lấy bằng dấu trừ. Kết quả là các vectơ cần có trong câu lệnh bài toán:
Có mọi lý do để tin rằng hiện tại bạn đã trả lời đúng câu hỏi về vectơ “Tinh thần khởi nghiệp” và “Khả năng đổi mới” ở đầu bài học này. Câu trả lời đúng: một phép cộng được thực hiện trên các vectơ này.
Hãy tự giải các bài toán vectơ và sau đó xem xét lời giải
Làm thế nào để tìm độ dài của tổng các vectơ?
Bài toán này chiếm một vị trí đặc biệt trong các phép tính với vectơ vì nó liên quan đến việc sử dụng các tính chất lượng giác. Giả sử bạn gặp một nhiệm vụ như sau:
Độ dài vectơ đã cho 
và độ dài của tổng các vectơ này. Tìm độ dài chênh lệch giữa các vectơ này.
Giải pháp cho vấn đề này và các vấn đề tương tự khác cũng như giải thích cách giải quyết chúng có trong bài học " Phép cộng vectơ: độ dài tổng của vectơ và định lý cosine ".
Và bạn có thể kiểm tra giải pháp cho những vấn đề như vậy tại Máy tính trực tuyến "Cạnh chưa biết của một tam giác (cộng vectơ và định lý cosine)" .
Sản phẩm của vectơ ở đâu?
Tích vectơ-vector không phải là các phép toán tuyến tính và được xem xét riêng biệt. Và chúng ta có bài “Tích vô hướng của vectơ” và “Vectơ và tích hỗn hợp của vectơ”.
Chiếu một vectơ lên một trục
Hình chiếu của một vectơ lên một trục bằng tích của chiều dài của vectơ được chiếu và cosin của góc giữa vectơ và trục:
Như đã biết, hình chiếu của một điểm MỘT trên đường thẳng (mặt phẳng) là đáy của đường vuông góc hạ từ điểm này xuống đường thẳng (mặt phẳng).
Giả sử là một vectơ tùy ý (Hình 5) và là hình chiếu của gốc tọa độ của nó (các điểm MỘT) và kết thúc (điểm B) trên mỗi trục tôi. (Để dựng hình chiếu của một điểm MỘT) vẽ đường thẳng đi qua điểm MỘT một mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng. Giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng sẽ xác định hình chiếu cần thiết.
Thành phần vectơ trên trục lđược gọi là một vectơ như vậy nằm trên trục này, phần đầu của nó trùng với hình chiếu của phần đầu và phần cuối trùng với hình chiếu của phần cuối của vectơ.
Hình chiếu của vectơ lên trục tôi số được gọi
,
bằng độ dài của vectơ thành phần trên trục này, lấy dấu cộng nếu hướng của các thành phần trùng với hướng của trục tôi và có dấu trừ nếu các hướng này ngược nhau.
Tính chất cơ bản của phép chiếu vectơ lên trục:
1. Hình chiếu của các vectơ bằng nhau lên cùng một trục thì bằng nhau.
2. Khi nhân một vectơ với một số thì hình chiếu của nó cũng nhân với chính số đó.
3. Hình chiếu của tổng các vectơ lên một trục bất kỳ bằng tổng các hình chiếu của tổng các vectơ lên cùng một trục.
4. Hình chiếu của vectơ lên trục bằng tích của chiều dài vectơ chiếu và cosin của góc giữa vectơ và trục:
.
Giải pháp. Hãy chiếu vectơ lên trục tôi như được định nghĩa trong nền tảng lý thuyết ở trên. Từ hình 5a, rõ ràng phép chiếu của tổng các vectơ bằng tổng các hình chiếu của vectơ. Chúng tôi tính toán những dự đoán này:
Chúng tôi tìm thấy hình chiếu cuối cùng của tổng các vectơ:
Mối quan hệ giữa vectơ và hệ tọa độ Descartes hình chữ nhật trong không gian
Làm quen Hệ tọa độ Descartes chữ nhật trong không gian diễn ra ở bài học tương ứng, nên mở nó trong một cửa sổ mới.
Trong hệ tọa độ có thứ tự 0xyz trục Con bò đực gọi điện trục x, trục 0 năm – trục y, và trục 0z – trục áp dụng.
Với một điểm tùy ý M vector kết nối không gian
gọi điện vectơ bán kínhđiểm M và chiếu nó lên mỗi trục tọa độ. Hãy để chúng tôi biểu thị độ lớn của các hình chiếu tương ứng:
số x, y, zđược gọi là tọa độ điểm M, tương ứng cơ hoành, điều hành Và áp dụng, và được viết dưới dạng điểm có thứ tự của các số: M(x;y;z)(Hình 6).
Một vectơ có độ dài đơn vị có hướng trùng với hướng của trục được gọi là vectơ đơn vị(hoặc ortom) các trục. Hãy ký hiệu bằng
Theo đó, vectơ đơn vị của trục tọa độ Con bò đực, Ôi, Oz
Định lý. Bất kỳ vectơ nào cũng có thể được mở rộng thành vectơ đơn vị của trục tọa độ:
(2)
Đẳng thức (2) được gọi là khai triển vectơ dọc theo trục tọa độ. Các hệ số của khai triển này là hình chiếu của vectơ lên các trục tọa độ. Như vậy, các hệ số khai triển (2) của vectơ dọc theo các trục tọa độ chính là tọa độ của vectơ.
Sau khi chọn một hệ tọa độ nhất định trong không gian, vectơ và bộ ba tọa độ của nó xác định duy nhất nhau nên vectơ có thể viết dưới dạng
Biểu diễn của vectơ ở dạng (2) và (3) giống hệt nhau.
Điều kiện cộng tuyến của vectơ trong tọa độ
Như chúng ta đã lưu ý, các vectơ được gọi là thẳng hàng nếu chúng liên hệ với nhau bởi hệ thức
Cho các vectơ 
. Các vectơ này thẳng hàng nếu tọa độ của các vectơ liên hệ bởi hệ thức
,
nghĩa là tọa độ của các vectơ tỷ lệ thuận.
Ví dụ 6. Các vectơ được cho 
. Các vectơ này có thẳng hàng không?
Giải pháp. Hãy tìm mối liên hệ giữa tọa độ của các vectơ này:
.
Tọa độ của các vectơ tỷ lệ thuận, do đó, các vectơ thẳng hàng hoặc giống nhau, song song.
Vector chiều dài và cosin hướng
Do các trục tọa độ vuông góc với nhau nên độ dài của vectơ
bằng độ dài đường chéo của hình bình hành hình chữ nhật dựng trên vectơ
và được thể hiện bằng đẳng thức
(4)
Một vectơ được xác định hoàn toàn bằng cách chỉ định hai điểm (bắt đầu và kết thúc), do đó tọa độ của vectơ có thể được biểu thị dưới dạng tọa độ của các điểm này.
Trong một hệ tọa độ cho trước, gốc của vectơ là điểm
và kết thúc là ở điểm
Từ sự bình đẳng
Nó theo sau đó
hoặc ở dạng tọa độ
Kể từ đây, tọa độ vectơ bằng sự khác biệt giữa cùng tọa độ của điểm cuối và điểm đầu của vectơ . Công thức (4) trong trường hợp này sẽ có dạng
Hướng của vectơ được xác định cosin phương hướng . Đây là các cosin của các góc mà vectơ tạo với trục Con bò đực, Ôi Và Oz. Hãy ký hiệu các góc này cho phù hợp α , β Và γ . Khi đó cosin của các góc này có thể được tìm thấy bằng cách sử dụng các công thức
Các cosin chỉ phương của một vectơ cũng là tọa độ của vectơ của vectơ đó và do đó là vectơ của vectơ
.
Xét rằng độ dài của vectơ đơn vị bằng một đơn vị, nghĩa là
,
chúng ta thu được đẳng thức sau cho các cosin chỉ hướng:
Ví dụ 7. Tìm độ dài của vectơ x = (3; 0; 4).
Giải pháp. Độ dài của vectơ là
Ví dụ 8.Điểm đã cho:
Tìm hiểu xem tam giác dựng trên những điểm này có phải là tam giác cân hay không.
Giải pháp. Sử dụng công thức độ dài vectơ (6), chúng ta tìm độ dài của các cạnh và xác định xem có hai cạnh bằng nhau trong số chúng hay không:
Đã tìm được hai cạnh bằng nhau nên không cần tìm độ dài cạnh thứ ba và tam giác đã cho là tam giác cân.
Ví dụ 9. Tìm độ dài của vectơ và cosin chỉ phương của nó nếu 
.
Giải pháp. Tọa độ vectơ được cho:
.
Độ dài của vectơ bằng căn bậc hai của tổng bình phương tọa độ vectơ:
.
Tìm cosin chỉ hướng:
Hãy tự giải bài toán vectơ rồi xem cách giải
Các phép toán trên vectơ cho ở dạng tọa độ
Cho hai vectơ và được xác định bởi hình chiếu của chúng:
Hãy để chúng tôi chỉ ra hành động trên các vectơ này.
Cuối cùng, tôi đã có được chủ đề rộng lớn và được chờ đợi từ lâu này. hình học giải tích. Đầu tiên, nói một chút về phần toán cao cấp này... Chắc hẳn bây giờ bạn còn nhớ một khóa học hình học ở trường với vô số định lý, cách chứng minh, hình vẽ, v.v. Che giấu điều gì, một chủ đề không được yêu thích và thường ít người biết đến đối với một bộ phận đáng kể học sinh. Kỳ lạ thay, hình học giải tích lại có vẻ thú vị và dễ tiếp cận hơn. Tính từ “phân tích” có nghĩa là gì? Hai cụm từ toán học sáo rỗng ngay lập tức xuất hiện trong đầu bạn: “phương pháp giải đồ họa” và “phương pháp giải phân tích”. Phương pháp đồ họa, tất nhiên, gắn liền với việc xây dựng đồ thị và hình vẽ. phân tích như nhau phương pháp liên quan đến việc giải quyết các vấn đề chủ yếu thông qua các phép toán đại số. Về vấn đề này, thuật toán giải hầu hết các bài toán của hình học giải tích rất đơn giản và minh bạch; thường chỉ cần áp dụng cẩn thận các công thức cần thiết là đủ - và câu trả lời đã sẵn sàng! Không, tất nhiên, chúng ta sẽ không thể làm được điều này nếu không có bản vẽ, và ngoài ra, để hiểu rõ hơn về tài liệu, tôi sẽ cố gắng trích dẫn chúng nếu không cần thiết.
Khóa học mới mở về hình học không có vẻ hoàn chỉnh về mặt lý thuyết; nó tập trung vào việc giải quyết các vấn đề thực tế. Theo quan điểm của tôi, tôi sẽ chỉ đưa vào bài giảng của mình những gì quan trọng về mặt thực tế. Nếu bạn cần trợ giúp đầy đủ hơn về bất kỳ tiểu mục nào, tôi khuyên bạn nên sử dụng tài liệu khá dễ tiếp cận sau:
1) Một điều mà không đùa được, nhiều thế hệ đã quen thuộc: Sách giáo khoa hình học phổ thông, tác giả – L.S. Atanasyan và Công ty. Chiếc móc treo phòng thay đồ của trường này đã trải qua 20 lần tái bản (!), Tất nhiên, đó không phải là giới hạn.
2) Hình học trong 2 tập. tác giả L.S. Atanasyan, Bazylev V.T.. Đây là tài liệu dành cho cấp trung học, bạn sẽ cần tập đầu tiên. Những nhiệm vụ hiếm gặp có thể nằm ngoài tầm mắt của tôi và phần hướng dẫn sẽ mang lại sự trợ giúp vô giá.
Cả hai cuốn sách đều có thể được tải xuống miễn phí trực tuyến. Ngoài ra, bạn có thể sử dụng kho lưu trữ của tôi với các giải pháp làm sẵn, có thể tìm thấy trên trang Tải các ví dụ về toán cao cấp.
Trong số các công cụ, tôi một lần nữa đề xuất sự phát triển của riêng mình - gói phần mềm trong hình học giải tích, điều này sẽ đơn giản hóa cuộc sống rất nhiều và tiết kiệm rất nhiều thời gian.
Giả định rằng người đọc đã quen thuộc với các khái niệm và hình học cơ bản: điểm, đường thẳng, mặt phẳng, hình tam giác, hình bình hành, hình bình hành, hình khối, v.v. Nên nhớ lại một số định lý, ít nhất là định lý Pythagore, xin chào những người lặp lại)
Và bây giờ chúng ta sẽ xem xét tuần tự: khái niệm vectơ, các hành động với vectơ, tọa độ vectơ. Tôi khuyên bạn nên đọc thêm bài viết quan trọng nhất Tích vô hướng của vectơ, và cũng Vectơ và tích hỗn hợp của vectơ. Một nhiệm vụ cục bộ - Phân chia một phân khúc về mặt này - cũng sẽ không thừa. Dựa vào những thông tin trên, bạn có thể nắm vững phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Với ví dụ đơn giản nhất về giải pháp, điều này sẽ cho phép học cách giải các bài toán hình học. Các bài viết sau đây cũng hữu ích: Phương trình mặt phẳng trong không gian, Phương trình đường thẳng trong không gian, Các bài toán cơ bản về đường thẳng và mặt phẳng, các phần khác của hình học giải tích. Đương nhiên, các nhiệm vụ tiêu chuẩn sẽ được xem xét trong quá trình thực hiện.
Khái niệm vectơ. Vectơ miễn phí
Đầu tiên, hãy lặp lại định nghĩa trường học của một vectơ. Vectơ gọi điện chỉ đạo một đoạn mà phần đầu và phần cuối của nó được chỉ định:
Trong trường hợp này, phần đầu của đoạn là điểm, phần cuối của đoạn là điểm. Bản thân vectơ được ký hiệu là . Phương hướng là điều cần thiết, nếu bạn di chuyển mũi tên đến đầu kia của đoạn thẳng, bạn sẽ nhận được một vectơ và đây là vectơ hoàn toàn khác. Thật thuận tiện khi đồng nhất khái niệm vectơ với chuyển động của cơ thể vật lý: bạn phải đồng ý, việc bước vào cửa viện hay rời khỏi cửa viện là những chuyện hoàn toàn khác nhau.
Thật thuận tiện khi xem xét các điểm riêng lẻ của một mặt phẳng hoặc không gian như được gọi là vectơ không. Đối với một vectơ như vậy, điểm cuối và điểm đầu trùng nhau.
!!! Ghi chú: Ở đây và xa hơn nữa, bạn có thể giả sử rằng các vectơ nằm trong cùng một mặt phẳng hoặc bạn có thể giả định rằng chúng nằm trong không gian - bản chất của vật liệu được trình bày có giá trị cho cả mặt phẳng và không gian.
Chỉ định: Nhiều người ngay lập tức nhận thấy cây gậy không có mũi tên trên nhãn và nói rằng cũng có một mũi tên ở trên cùng! Đúng, bạn có thể viết nó bằng mũi tên: , nhưng cũng có thể mục mà tôi sẽ sử dụng trong tương lai. Tại sao? Rõ ràng, thói quen này phát triển vì những lý do thực tế; những tay súng của tôi ở trường học và đại học hóa ra có kích thước quá khác biệt và bờm xờm. Trong văn học giáo dục, đôi khi họ không hề bận tâm đến việc viết chữ hình nêm mà đánh dấu các chữ in đậm: , qua đó ngụ ý rằng đây là một vectơ.
Đó là phong cách, và bây giờ là về cách viết vectơ:
1) Các vectơ có thể được viết bằng hai chữ cái Latinh in hoa: 
và vân vân. Trong trường hợp này, chữ cái đầu tiên nhất thiết biểu thị điểm bắt đầu của vectơ và chữ cái thứ hai biểu thị điểm cuối của vectơ.
2) Các vectơ cũng được viết bằng chữ Latinh thường:
Đặc biệt, vectơ của chúng ta có thể được thiết kế lại cho ngắn gọn bằng một chữ cái Latinh nhỏ.
Chiều dài hoặc mô-đun một vectơ khác 0 được gọi là độ dài của đoạn. Độ dài của vectơ 0 bằng 0. Hợp lý.
Độ dài của vectơ được biểu thị bằng dấu mô đun: ,
Chúng ta sẽ học cách tìm độ dài của vectơ (hoặc chúng ta sẽ lặp lại nó, tùy thuộc vào ai) sau đó một chút.
Đây là thông tin cơ bản về vectơ, quen thuộc với tất cả học sinh. Trong hình học giải tích, cái gọi là vectơ miễn phí.
Nói một cách đơn giản - vectơ có thể được vẽ từ bất kỳ điểm nào:
Chúng ta quen gọi các vectơ như vậy bằng nhau (định nghĩa các vectơ bằng nhau sẽ được đưa ra dưới đây), nhưng theo quan điểm toán học thuần túy, chúng là CÙNG VECTOR hoặc vectơ miễn phí. Tại sao miễn phí? Bởi vì trong quá trình giải các bài toán, bạn có thể “gắn” vectơ “trường” này hay vectơ “trường” kia vào BẤT KỲ điểm nào trên mặt phẳng hoặc không gian mà bạn cần. Đây là một tính năng rất thú vị! Hãy tưởng tượng một đoạn có hướng có chiều dài và hướng tùy ý - nó có thể được “nhân bản” vô số lần và tại bất kỳ điểm nào trong không gian, trên thực tế, nó tồn tại MỌI NƠI. Có một sinh viên nói: Giảng viên nào cũng quan tâm đến vectơ. Xét cho cùng, đây không chỉ là một vần điệu dí dỏm, mọi thứ gần như đúng - một phân đoạn có định hướng cũng có thể được thêm vào đó. Nhưng đừng vội vui mừng, người khổ nhất chính là học sinh =))
Vì thế, vectơ miễn phí- Cái này nhiều các phân đoạn được định hướng giống hệt nhau. Định nghĩa trường phái về vectơ, được đưa ra ở đầu đoạn văn: “Một đoạn có hướng được gọi là vectơ…”, ngụ ý cụ thể một đoạn có hướng được lấy từ một tập hợp nhất định, được gắn với một điểm cụ thể trong mặt phẳng hoặc không gian.
Cần lưu ý rằng từ quan điểm vật lý, khái niệm vectơ tự do nói chung là không chính xác và quan điểm ứng dụng là quan trọng. Thật vậy, một cú đánh trực tiếp với cùng một lực vào mũi hoặc trán, đủ để phát triển ví dụ ngu ngốc của tôi, sẽ gây ra những hậu quả khác nhau. Tuy nhiên, không có tự do vectơ cũng được tìm thấy trong quá trình vyshmat (đừng đến đó :)).
Hành động với vectơ. Sự cộng tuyến của các vectơ
Một khóa học hình học phổ thông bao gồm một số hành động và quy tắc với vectơ: phép cộng theo quy tắc tam giác, phép cộng theo quy tắc hình bình hành, quy tắc sai phân vectơ, nhân vectơ với một số, tích vô hướng của vectơ, v.v.Để bắt đầu, chúng ta hãy nhắc lại hai quy tắc đặc biệt phù hợp để giải các bài toán hình học giải tích.
Quy tắc cộng vectơ bằng quy tắc tam giác
Xét hai vectơ khác 0 tùy ý và: 
Bạn cần tìm tổng của các vectơ này. Do thực tế là tất cả các vectơ đều được coi là tự do nên chúng ta sẽ loại vectơ khỏi kết thúc vectơ: 
Tổng các vectơ là vectơ. Để hiểu rõ hơn về quy luật, nên đặt ý nghĩa vật lý vào đó: để một vật nào đó chuyển động dọc theo vectơ , rồi dọc theo vectơ . Khi đó tổng các vectơ là vectơ của đường đi kết quả có điểm đầu là điểm khởi hành và điểm cuối là điểm đến. Một quy tắc tương tự được xây dựng cho tổng của bất kỳ số lượng vectơ nào. Như người ta nói, cơ thể có thể di chuyển rất nghiêng theo đường ngoằn ngoèo, hoặc có thể ở chế độ lái tự động - dọc theo vectơ kết quả của tổng.
Nhân tiện, nếu vectơ bị trễ từ bắt đầu vector, sau đó chúng ta nhận được tương đương quy tắc hình bình hành phép cộng các vectơ.
Đầu tiên, về sự cộng tuyến của các vectơ. Hai vectơ đó được gọi là thẳng hàng nếu chúng nằm trên cùng một đường thẳng hoặc song song. Nói một cách đại khái, chúng ta đang nói về các vectơ song song. Nhưng liên quan đến họ, tính từ “cộng tuyến” luôn được sử dụng.
Cho hai vectơ thẳng hàng. Nếu các mũi tên của các vectơ này cùng hướng thì các vectơ đó được gọi là đồng đạo diễn. Nếu các mũi tên hướng khác nhau thì các vectơ sẽ là hướng ngược lại.
Chỉ định: tính cộng tuyến của các vectơ được viết bằng ký hiệu song song thông thường: , trong khi có thể chi tiết hóa: (các vectơ có hướng ngược nhau) hoặc (các vectơ có hướng ngược nhau).
công việc một vectơ khác 0 của một số là một vectơ có độ dài bằng , và các vectơ này cùng hướng và hướng ngược nhau tại .
Quy tắc nhân vectơ với một số sẽ dễ hiểu hơn khi sử dụng hình ảnh: 
Chúng ta hãy xem xét nó chi tiết hơn:
1) Hướng. Nếu số nhân âm thì vectơ thay đổi hướng ngược lại.
2) Chiều dài. Nếu số nhân nằm trong hoặc , thì độ dài của vectơ giảm. Vậy độ dài của vectơ bằng một nửa độ dài của vectơ. Nếu mô đun của số nhân lớn hơn 1 thì độ dài của vectơ tăng lênđôi khi.
3) Xin lưu ý rằng mọi vectơ đều thẳng hàng, trong khi một vectơ được biểu thị thông qua một vectơ khác, ví dụ: . Điều ngược lại cũng đúng: nếu một vectơ có thể được biểu diễn thông qua một vectơ khác thì các vectơ đó nhất thiết phải thẳng hàng. Như vậy: nếu chúng ta nhân một vectơ với một số, chúng ta sẽ thẳng hàng(so với bản gốc) vectơ.
4) Các vectơ cùng hướng. Các vectơ và cũng được đồng đạo diễn. Bất kỳ vectơ nào của nhóm thứ nhất đều có hướng ngược chiều với bất kỳ vectơ nào của nhóm thứ hai.
Những vectơ nào bằng nhau?
Hai vectơ bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài. Lưu ý rằng tính đồng hướng hàm ý tính cộng tuyến của các vectơ. Định nghĩa sẽ không chính xác (dư thừa) nếu chúng ta nói: “Hai vectơ bằng nhau nếu chúng thẳng hàng, cùng hướng và có cùng độ dài”.
Từ quan điểm của khái niệm vectơ tự do, các vectơ bằng nhau là cùng một vectơ, như đã thảo luận trong đoạn trước.
Tọa độ vectơ trên mặt phẳng và trong không gian
Điểm đầu tiên là xét các vectơ trên mặt phẳng. Chúng ta hãy mô tả một hệ tọa độ hình chữ nhật Descartes và vẽ nó từ gốc tọa độ đơn vectơ và:
Vectơ và trực giao. Trực giao = Vuông góc. Tôi khuyên bạn nên làm quen dần với các thuật ngữ: thay vì song song và vuông góc, chúng ta sử dụng các từ tương ứng sự cộng tác Và tính trực giao.
Chỉ định: Tính trực giao của vectơ được viết bằng ký hiệu vuông góc thông thường, ví dụ: .
Các vectơ đang xét được gọi là vectơ tọa độ hoặc orts. Các vectơ này hình thành cơ sở trên một chiếc máy bay. Tôi nghĩ cơ sở là gì thì nhiều người có thể tìm thấy thông tin chi tiết hơn trong bài viết; Sự phụ thuộc tuyến tính (không) của vectơ. Cơ sở của vectơ Nói một cách đơn giản, cơ sở và nguồn gốc của tọa độ xác định toàn bộ hệ thống - đây là một loại nền tảng tạo nên đời sống hình học đầy đủ và phong phú.
Đôi khi cơ sở được xây dựng được gọi là trực giao cơ sở của mặt phẳng: “ortho” - vì các vectơ tọa độ là trực giao nên tính từ “chuẩn hóa” có nghĩa là đơn vị, tức là độ dài của các vectơ cơ sở bằng một.
Chỉ định: cơ sở thường được viết trong ngoặc đơn, trong đó theo trình tự chặt chẽ các vectơ cơ sở được liệt kê, ví dụ: . Các vectơ tọa độ nó bị cấm sắp xếp lại.
Bất kì véc tơ máy bay cách duy nhấtđược thể hiện như: 
, Ở đâu - con sốđược gọi là tọa độ vector trong cơ sở này. Và chính sự biểu hiện 
gọi điện phân rã véc tơtheo cơ sở .
Bữa tối được phục vụ:
Hãy bắt đầu với chữ cái đầu tiên của bảng chữ cái: . Hình vẽ cho thấy rõ ràng rằng khi phân tách một vectơ thành một cơ sở, những vectơ vừa thảo luận sẽ được sử dụng:
1) quy tắc nhân vectơ với một số: và ;
2) phép cộng các vectơ theo quy tắc tam giác: .
Bây giờ hãy tưởng tượng vectơ từ bất kỳ điểm nào khác trên mặt phẳng. Rõ ràng là sự suy tàn của anh ta sẽ “theo anh ta không ngừng nghỉ”. Đây rồi, sự tự do của vectơ - vectơ “mang theo mọi thứ bên mình”. Tất nhiên, tính chất này đúng với mọi vectơ. Thật buồn cười là bản thân các vectơ cơ sở (miễn phí) không nhất thiết phải được vẽ từ gốc; một vectơ có thể được vẽ, chẳng hạn như ở dưới cùng bên trái và vectơ kia ở trên cùng bên phải, và sẽ không có gì thay đổi! Đúng, bạn không cần phải làm điều này, vì giáo viên cũng sẽ thể hiện sự độc đáo và ghi điểm “tín dụng” cho bạn ở một nơi không ngờ tới.
Các vectơ minh họa chính xác quy tắc nhân một vectơ với một số, vectơ cùng hướng với vectơ cơ sở, vectơ có hướng ngược với vectơ cơ sở. Đối với các vectơ này, một trong các tọa độ bằng 0, bạn có thể viết nó một cách tỉ mỉ như thế này:
Và nhân tiện, các vectơ cơ sở giống như thế này: (trên thực tế, chúng được thể hiện thông qua chính chúng).
Và cuối cùng: , . Nhân tiện, phép trừ vectơ là gì và tại sao tôi không nói về quy tắc trừ? Ở đâu đó trong đại số tuyến tính, tôi không nhớ ở đâu, tôi đã lưu ý rằng phép trừ là một trường hợp đặc biệt của phép cộng. Do đó, việc khai triển các vectơ “de” và “e” có thể dễ dàng viết dưới dạng tổng: , 
. Hãy theo dõi hình vẽ để thấy cách cộng các vectơ cũ theo quy tắc tam giác hoạt động rõ ràng như thế nào trong những tình huống này.
Việc phân hủy được coi là của biểu mẫu 
đôi khi được gọi là phân rã vector trong hệ thống ort(tức là trong một hệ vectơ đơn vị). Nhưng đây không phải là cách duy nhất để viết vectơ; tùy chọn sau đây là phổ biến:
Hoặc với dấu bằng:
Bản thân các vectơ cơ sở được viết như sau: và
Nghĩa là tọa độ của vectơ được biểu thị trong ngoặc đơn. Trong các bài toán thực tế, cả ba tùy chọn ký hiệu đều được sử dụng.
Tôi phân vân không biết có nên nói không, nhưng tôi vẫn nói: tọa độ vector không thể được sắp xếp lại. Nghiêm túc ở vị trí đầu tiên chúng ta viết tọa độ tương ứng với vectơ đơn vị, đúng ở vị trí thứ hai ta viết tọa độ tương ứng với vectơ đơn vị. Thật vậy, và là hai vectơ khác nhau.
Chúng tôi đã tìm ra tọa độ trên máy bay. Bây giờ chúng ta hãy xem các vectơ trong không gian ba chiều, hầu hết mọi thứ ở đây đều giống nhau! Nó sẽ chỉ thêm một tọa độ nữa. Thật khó để tạo các bản vẽ ba chiều, vì vậy tôi sẽ giới hạn ở một vectơ, để đơn giản, tôi sẽ tách khỏi gốc: 
Bất kì vectơ không gian 3D cách duy nhất khai triển trên cơ sở trực chuẩn: 
, tọa độ của vectơ (số) trong cơ sở này ở đâu.
Ví dụ từ hình ảnh: 
. Hãy xem các quy tắc vectơ hoạt động như thế nào ở đây. Đầu tiên, nhân vectơ với một số: (mũi tên đỏ), (mũi tên xanh) và (mũi tên quả mâm xôi). Thứ hai, đây là ví dụ về việc cộng một số vectơ, trong trường hợp này là ba vectơ: . Vectơ tổng bắt đầu tại điểm khởi hành ban đầu (điểm bắt đầu của vectơ) và kết thúc tại điểm đến cuối cùng (điểm cuối của vectơ).
Tất cả các vectơ của không gian ba chiều, một cách tự nhiên, cũng tự do; hãy cố gắng gạt vectơ đó ra khỏi bất kỳ điểm nào khác trong đầu, và bạn sẽ hiểu rằng sự phân rã của nó “sẽ vẫn ở lại với nó”.
Tương tự như trường hợp phẳng, ngoài chức năng viết 
các phiên bản có dấu ngoặc được sử dụng rộng rãi: .
Nếu một (hoặc hai) vectơ tọa độ bị thiếu trong khai triển thì các số 0 sẽ được đặt vào vị trí của chúng. Ví dụ:
vectơ (một cách tỉ mỉ 
) – hãy viết ;
vector (tỉ mỉ) – viết ra;
vectơ (một cách tỉ mỉ 
) – hãy viết .
Các vectơ cơ sở được viết như sau:
Có lẽ đây là tất cả những kiến thức lý thuyết tối thiểu cần thiết để giải các bài toán hình học giải tích. Có thể có rất nhiều thuật ngữ và định nghĩa nên tôi khuyên các ấm trà nên đọc lại và hiểu kỹ lại những thông tin này. Và sẽ rất hữu ích cho bất kỳ độc giả nào thỉnh thoảng tham khảo bài học cơ bản để tiếp thu tài liệu tốt hơn. Tính cộng tuyến, tính trực giao, cơ sở trực giao, phân rã vectơ - những khái niệm này và các khái niệm khác sẽ thường được sử dụng trong tương lai. Tôi muốn lưu ý rằng tài liệu của trang web không đủ để vượt qua một bài kiểm tra lý thuyết hoặc một bài hội thảo về hình học, vì tôi mã hóa cẩn thận tất cả các định lý (và không có bằng chứng) - gây bất lợi cho phong cách trình bày khoa học, nhưng là một điểm cộng cho bạn. hiểu biết về chủ đề. Để nhận được thông tin lý thuyết chi tiết, xin vui lòng cúi chào Giáo sư Atanasyan.
Và chúng ta chuyển sang phần thực hành:
Những bài toán đơn giản nhất của hình học giải tích.
Hành động với vectơ trong tọa độ
Rất nên học cách giải quyết các nhiệm vụ sẽ được coi là hoàn toàn tự động và các công thức ghi nhớ, bạn thậm chí không cần phải cố ý nhớ nó, họ sẽ tự nhớ nó =) Điều này rất quan trọng, vì các bài toán khác của hình học giải tích đều dựa trên những ví dụ cơ bản đơn giản nhất và sẽ rất khó chịu khi dành thêm thời gian để ăn những con tốt . Không cần phải cài nút trên cùng của áo sơ mi; nhiều thứ đã quen thuộc với bạn từ thời đi học.
Việc trình bày tài liệu sẽ tuân theo một tiến trình song song - cả về mặt phẳng và không gian. Vì lý do mà tất cả các công thức... bạn sẽ tự mình nhìn thấy.
Làm thế nào để tìm một vectơ từ hai điểm?
Nếu cho trước hai điểm của mặt phẳng thì vectơ có tọa độ như sau: 
Nếu cho trước hai điểm trong không gian thì vectơ có tọa độ như sau:
Đó là, từ tọa độ điểm cuối của vectơ bạn cần trừ tọa độ tương ứng phần đầu của vectơ.
Bài tập:Đối với các điểm giống nhau, hãy viết công thức tìm tọa độ của vectơ. Công thức ở cuối bài học.
Ví dụ 1
Cho hai điểm của mặt phẳng và . Tìm tọa độ vectơ
Giải pháp: theo công thức thích hợp:
Ngoài ra, mục sau có thể được sử dụng:
Thẩm mỹ sẽ quyết định điều này:
Cá nhân tôi đã quen với phiên bản đầu tiên của bản ghi âm.
Trả lời:
Theo điều kiện thì không nhất thiết phải xây dựng một bản vẽ (điển hình cho các bài toán hình học giải tích), nhưng để làm rõ một số điểm cho người giả, tôi sẽ không lười biếng: 
Bạn chắc chắn cần phải hiểu sự khác biệt giữa tọa độ điểm và tọa độ vectơ:
tọa độ điểm– đây là các tọa độ thông thường trong hệ tọa độ hình chữ nhật. Tôi nghĩ mọi người đều biết cách vẽ điểm trên mặt phẳng tọa độ từ lớp 5-6. Mỗi điểm đều có một vị trí nghiêm ngặt trên mặt phẳng và chúng không thể di chuyển đi bất cứ đâu.
Tọa độ của vectơ– đây là sự khai triển của nó theo cơ sở, trong trường hợp này. Bất kỳ vectơ nào đều miễn phí nên nếu muốn hoặc cần thiết, chúng ta có thể dễ dàng di chuyển nó ra khỏi một số điểm khác trên mặt phẳng. Điều thú vị là đối với vectơ, bạn không cần phải xây dựng trục hoặc hệ tọa độ hình chữ nhật, bạn chỉ cần một cơ sở, trong trường hợp này là cơ sở trực chuẩn của mặt phẳng.
Các bản ghi tọa độ điểm và tọa độ của vectơ có vẻ giống nhau: và ý nghĩa tọa độ tuyệt đối khác biệt, và bạn nên nhận thức rõ về sự khác biệt này. Tất nhiên, sự khác biệt này cũng áp dụng cho không gian.
Thưa quý vị, hãy lấp đầy bàn tay của chúng tôi:
Ví dụ 2
a) Điểm và được cho. Tìm vectơ và .
b) Điểm được cho 
Và . Tìm vectơ và .
c) Điểm và được cho. Tìm vectơ và .
d) Điểm được cho. Tìm vectơ 
.
Có lẽ thế là đủ. Đây là những ví dụ để bạn tự quyết định, cố gắng đừng bỏ qua chúng, nó sẽ mang lại kết quả ;-). Không cần phải vẽ bản vẽ. Lời giải và đáp án cuối bài.
Điều quan trọng khi giải các bài toán hình học giải tích là gì?Điều quan trọng là phải CỰC KỲ CẨN THẬN để tránh mắc phải sai lầm bậc thầy “hai cộng hai bằng 0”. Mình có sai sót ở đâu thì xin lỗi ngay nhé =))
Làm thế nào để tìm độ dài của một đoạn?
Độ dài, như đã lưu ý, được biểu thị bằng dấu mô đun.
Nếu cho hai điểm của mặt phẳng và , thì độ dài của đoạn thẳng có thể được tính bằng công thức
Nếu có hai điểm trong không gian và cho trước thì độ dài của đoạn đó có thể được tính bằng công thức
Ghi chú: Các công thức sẽ vẫn đúng nếu đổi chỗ tọa độ tương ứng: và , nhưng tùy chọn đầu tiên chuẩn hơn
Ví dụ 3
Giải pháp: theo công thức thích hợp:
Trả lời: 
Để rõ ràng, tôi sẽ vẽ 
Phân đoạn – đây không phải là một vectơ và tất nhiên là bạn không thể di chuyển nó đi bất cứ đâu. Ngoài ra nếu vẽ theo tỷ lệ: 1 đơn vị. = 1 cm (hai ô vở), thì có thể kiểm tra câu trả lời thu được bằng thước thông thường bằng cách đo trực tiếp độ dài của đoạn.
Đúng, giải pháp rất ngắn gọn, nhưng có một số điểm quan trọng hơn mà tôi muốn làm rõ:
Đầu tiên, trong câu trả lời chúng ta đặt thứ nguyên: “đơn vị”. Điều kiện không cho biết đó là CÁI GÌ, milimét, centimét, mét hoặc kilômét. Do đó, giải pháp đúng về mặt toán học sẽ là công thức chung: “đơn vị” - viết tắt là “đơn vị”.
Thứ hai, chúng ta hãy nhắc lại tài liệu học tập, tài liệu này không chỉ hữu ích cho nhiệm vụ đang được xem xét:
Xin lưu ý kỹ thuật quan trọng – loại bỏ số nhân từ dưới gốc. Kết quả của các phép tính, chúng ta có một kết quả và phong cách toán học tốt liên quan đến việc loại bỏ hệ số khỏi gốc (nếu có thể). Quá trình này trông như thế này chi tiết hơn: 
. Tất nhiên, để lại câu trả lời như cũ không phải là một sai lầm - nhưng chắc chắn đó sẽ là một thiếu sót và là một lập luận có sức nặng đối với việc giáo viên ngụy biện.
Dưới đây là những trường hợp phổ biến khác: 
Thường thì gốc cho ra số lượng khá lớn, ví dụ . Phải làm gì trong những trường hợp như vậy? Sử dụng máy tính, chúng tôi kiểm tra xem số đó có chia hết cho 4 hay không: . Vâng, nó đã được chia hoàn toàn, do đó: 
. Hoặc có thể số đó lại có thể chia cho 4? . Như vậy: 
. Chữ số cuối cùng của số là số lẻ nên việc chia cho 4 lần thứ ba hiển nhiên sẽ không được. Hãy thử chia cho chín: . Kết quả là:
Sẵn sàng.
Phần kết luận: nếu dưới gốc, chúng ta nhận được một số không thể trích ra toàn bộ, thì chúng ta sẽ cố gắng loại bỏ hệ số đó khỏi gốc - bằng máy tính, chúng ta kiểm tra xem số đó có chia hết cho: 4, 9, 16, 25, 36, 49, v.v.
Khi giải các bài toán khác nhau, gốc rễ thường gặp phải; hãy luôn cố gắng rút ra các yếu tố từ gốc rễ để tránh bị điểm kém và những vấn đề không đáng có khi hoàn thiện lời giải của mình dựa trên nhận xét của giáo viên.
Chúng ta cũng hãy lặp lại căn bậc hai và các lũy thừa khác: 
Các quy tắc hoạt động với lũy thừa ở dạng tổng quát có thể được tìm thấy trong sách giáo khoa đại số ở trường, nhưng tôi nghĩ từ các ví dụ đã cho, mọi thứ hoặc hầu hết mọi thứ đều đã rõ ràng.
Bài toán giải độc lập với một đoạn trong không gian:
Ví dụ 4
Điểm và được đưa ra. Tìm độ dài của đoạn này.
Đáp án và đáp án ở cuối bài.
Làm thế nào để tìm độ dài của một vectơ?
Nếu cho trước một vectơ phẳng thì độ dài của nó được tính theo công thức.
Nếu cho trước một vectơ không gian thì độ dài của nó được tính theo công thức 
.