Vấn đề 1. Độ dày của 300 tờ giấy in là 3,3 cm. Một gói giấy gồm 500 tờ giấy giống nhau sẽ có độ dày bao nhiêu?
Giải pháp. Gọi x cm là độ dày của tập giấy 500 tờ. Có hai cách để tìm độ dày của một tờ giấy:
3,3: 300 hoặc x : 500.
Vì các tờ giấy giống nhau nên hai tỉ lệ này bằng nhau. Ta thu được tỉ lệ ( lời nhắc nhở: tỉ số là sự bằng nhau của hai tỉ số):
x=(3,3 · 500): 300;
x=5,5. Trả lời:đóng gói 500 tờ giấy có độ dày 5,5 cm.
Đây là một lý luận cổ điển và thiết kế một giải pháp cho một vấn đề. Những vấn đề như vậy thường được đưa vào bài kiểm tra dành cho sinh viên tốt nghiệp, những người thường viết lời giải theo mẫu sau:
hoặc họ quyết định bằng miệng, lý luận như sau: nếu 300 tờ có độ dày 3,3 cm thì 100 tờ có độ dày nhỏ hơn 3 lần. Chia 3,3 cho 3, ta được 1,1 cm. Đây là độ dày của một gói giấy 100 tờ. Do đó, 500 tờ sẽ có độ dày gấp 5 lần nên ta nhân 1,1 cm với 5 sẽ được đáp án: 5,5 cm.
Tất nhiên, điều này là hợp lý vì thời gian kiểm tra sinh viên tốt nghiệp và ứng viên còn hạn chế. Tuy nhiên, trong bài học này chúng ta sẽ suy luận và viết ra cách giải như nó phải được thực hiện trong 6 lớp học.
Nhiệm vụ 2. 5kg dưa hấu chứa bao nhiêu nước nếu biết dưa hấu có 98% là nước?
Giải pháp.
Toàn bộ khối lượng của dưa hấu (5 kg) là 100%. Nước sẽ là x kg hoặc 98%. Có hai cách để tìm xem 1% khối lượng bằng bao nhiêu kg.
5: 100 hoặc x : 98. Ta được tỉ lệ:
5: 100 = x : 98.
x=(5 · 98): 100;
x=4,9 Đáp số: 5kg dưa hấu chứa 4,9 kg nước.
Khối lượng của 21 lít dầu là 16,8 kg. Khối lượng của 35 lít dầu là bao nhiêu?
Giải pháp.
Gọi khối lượng của 35 lít dầu là x kg. Khi đó có thể tìm khối lượng của 1 lít dầu theo hai cách:
16,8: 21 hoặc x : 35. Ta được tỉ lệ:
16,8: 21=x : 35.
Tìm số hạng ở giữa của tỉ số. Để làm điều này, chúng tôi nhân các số hạng cực trị của tỷ lệ ( 16,8 Và 35 ) và chia cho số hạng trung bình đã biết ( 21 ). Hãy giảm phân số bằng cách 7 .
Nhân tử số và mẫu số của phân số với 10 sao cho tử số và mẫu số chỉ chứa các số tự nhiên. Chúng tôi giảm phân số bằng cách 5 (5 và 10) trở đi 3 (168 và 3).
Trả lời: 35 lít dầu có khối lượng 28kg.
Sau khi cày 82% diện tích toàn ruộng, vẫn còn 9 ha cần cày. Diện tích của toàn bộ lĩnh vực là gì?
Giải pháp.
Gọi diện tích toàn thửa ruộng là x ha, tức là 100%. Còn lại 9 ha để cày, tức là 100% - 82% = 18% toàn ruộng. Chúng ta có thể biểu diễn 1% diện tích trường theo hai cách. Cái này:
X : 100 hoặc 9 : 18. Chúng ta tạo nên tỷ lệ:
X : 100 = 9: 18.
Chúng tôi tìm thấy số hạng cực trị chưa biết của tỷ lệ. Để làm điều này, chúng tôi nhân các số hạng trung bình của tỷ lệ ( 100
Và 9
) và chia cho số hạng cực trị đã biết ( 18
). Chúng tôi giảm phân số.
Trả lời: diện tích toàn sân 50 ha.
Trang 1 trên 1 1
§ 125. Khái niệm về tỷ lệ.
Tỷ lệ là sự bằng nhau của hai tỷ lệ. Dưới đây là ví dụ về các đẳng thức được gọi là tỷ lệ:
Ghi chú. Tên của số lượng trong tỷ lệ không được chỉ định.
Tỷ lệ thường được đọc như sau: 2 là 1 (đơn vị) và 10 là 5 (tỷ lệ đầu tiên). Bạn có thể đọc khác, ví dụ: 2 lớn hơn 1 bao nhiêu lần, 10 lớn hơn 5 bao nhiêu lần. Tỉ lệ thứ ba có thể đọc như sau: - 0,5 là bé hơn 2 bao nhiêu lần, 0,75 là bao nhiêu lần? là ít hơn 3.
Các số có trong tỉ lệ được gọi là thành viên của tỷ lệ. Điều này có nghĩa là tỷ lệ bao gồm bốn số hạng. Các thành viên đầu tiên và cuối cùng, tức là các thành viên đứng ở rìa, được gọi là vô cùng, và số hạng của tỉ số nằm ở giữa được gọi là trung bình các thành viên. Điều này có nghĩa là trong tỷ lệ thứ nhất, số 2 và 5 sẽ là số hạng cực trị, còn số 1 và 10 sẽ là số hạng ở giữa của tỷ lệ.
§ 126. Thuộc tính chính của tỷ lệ.
Xét tỉ lệ:
Chúng ta hãy nhân các số hạng cực trị và trung bình của nó một cách riêng biệt. Tích của các cực trị là 6 4 = 24, tích của các cực trị là 3 8 = 24.
Hãy xem xét một tỷ lệ khác: 10: 5 = 12: 6. Chúng ta cũng hãy nhân riêng các số hạng cực trị và số hạng giữa ở đây.
Tích của số cực trị 10 6 = 60, tích của số ở giữa 5 12 = 60.
Thuộc tính chính của tỷ lệ: tích các số hạng cực trị của một tỷ lệ bằng tích các số hạng ở giữa của nó.
Nói chung, tính chất chính của tỷ lệ được viết như sau: quảng cáo = bc .
Hãy kiểm tra nó theo một số tỷ lệ:
1) 12: 4 = 30: 10.
Tỷ lệ này là chính xác, vì các tỷ lệ tạo nên nó đều bằng nhau. Đồng thời, lấy tích của các số hạng cực trị của tỷ lệ (12 10) và tích của các số hạng ở giữa của nó (4 30), chúng ta sẽ thấy rằng chúng bằng nhau, tức là.
12 10 = 4 30.
2) 1 / 2: 1 / 48 = 20: 5 / 6
Tỷ lệ này là chính xác, có thể dễ dàng xác minh bằng cách đơn giản hóa tỷ lệ thứ nhất và tỷ lệ thứ hai. Thuộc tính chính của tỷ lệ sẽ có dạng:
1 / 2 5 / 6 = 1 / 48 20
Không khó để chứng minh rằng nếu chúng ta viết một đẳng thức trong đó ở bên trái là tích của hai số và ở bên phải là tích của hai số khác, thì có thể tạo ra một tỉ lệ từ bốn số này.
Chúng ta có một đẳng thức bao gồm bốn số được nhân theo cặp:
Bốn số này có thể là các số hạng của một tỷ lệ, điều này không khó viết nếu chúng ta lấy tích thứ nhất là tích của các số hạng cực trị và số thứ hai là tích của các số hạng ở giữa. Ví dụ, đẳng thức đã công bố có thể được tổng hợp thành tỷ lệ sau:
Nói chung, từ sự bình đẳng quảng cáo = bc có thể thu được các tỉ lệ sau:
Hãy tự mình thực hiện bài tập sau. Cho tích của hai cặp số, viết tỉ số tương ứng với mỗi đẳng thức:
a) 1 6 = 2 3;
b) 2 15 = b 5.
§ 127. Tính toán các số hạng chưa biết về tỷ lệ.
Thuộc tính cơ bản của tỷ lệ cho phép bạn tính bất kỳ số hạng nào của tỷ lệ nếu chưa biết. Hãy lấy tỷ lệ:
X : 4 = 15: 3.
Trong tỷ lệ này, một thành viên cực đoan chưa được biết đến. Chúng ta biết rằng ở bất kỳ tỷ lệ nào thì tích của các số hạng cực trị đều bằng tích của các số hạng ở giữa. Trên cơ sở này chúng ta có thể viết:
x 3 = 4 15.
Sau khi nhân 4 với 15, chúng ta có thể viết lại phương trình này như sau:
X 3 = 60.
Hãy xem xét sự bình đẳng này. Trong đó yếu tố thứ nhất chưa biết, yếu tố thứ hai đã biết và sản phẩm đã biết. Chúng ta biết rằng để tìm ra một thừa số chưa biết, việc chia tích cho một thừa số khác (đã biết) là đủ. Sau đó, nó sẽ bật ra:
X = 60:3, hoặc X = 20.
Hãy kiểm tra kết quả tìm được bằng cách thay số 20 vào X theo tỷ lệ này:
Tỷ lệ là chính xác.
Chúng ta hãy nghĩ về những hành động mà chúng ta phải thực hiện để tính số hạng cực trị chưa biết của tỷ lệ. Trong bốn số hạng của tỷ lệ, chúng ta chỉ biết số hạng cực trị; hai thái cực ở giữa và thái cực thứ hai đã được biết đến. Để tìm số hạng cực trị của tỷ lệ, trước tiên chúng ta nhân các số hạng ở giữa (4 và 15), sau đó chia tích tìm được cho số hạng cực trị đã biết. Bây giờ chúng ta sẽ chỉ ra rằng các hành động sẽ không thay đổi nếu số hạng cực trị mong muốn của tỷ lệ không phải ở vị trí đầu tiên mà ở vị trí cuối cùng. Hãy lấy tỷ lệ:
70: 10 = 21: X .
Hãy viết thuộc tính chính của tỷ lệ: 70 X = 10 21.
Nhân hai số 10 và 21, ta viết lại đẳng thức như sau:
70 X = 210.
Ở đây, một hệ số chưa biết; để tính nó, chỉ cần chia tích (210) cho hệ số khác (70), là đủ.
X = 210: 70; X = 3.
Vì vậy chúng ta có thể nói rằng mỗi số hạng cực trị của tỷ lệ bằng tích của các số trung bình chia cho cực trị kia.
Bây giờ chúng ta chuyển sang tính số hạng trung bình chưa biết. Hãy lấy tỷ lệ:
30: X = 27: 9.
Hãy viết thuộc tính chính của tỷ lệ:
30 9 = X 27.
Hãy tính tích của 30 x 9 và sắp xếp lại các phần của đẳng thức cuối cùng:
X 27 = 270.
Hãy tìm yếu tố chưa biết:
X = 270:27, hoặc X = 10.
Hãy kiểm tra với sự thay thế:
30:10 = 27:9. Tỷ lệ là đúng.
Hãy lấy một tỷ lệ khác:
12: b = X : 8. Hãy viết tính chất cơ bản của tỷ lệ:
12 . 8 = 6 X . Nhân 12 và 8 và sắp xếp lại các phần của đẳng thức, ta được:
6 X = 96. Tìm thừa số chưa biết:
X = 96:6, hoặc X = 16.
Như vậy, mỗi số hạng ở giữa của tỷ lệ bằng tích của các cực trị chia cho số hạng ở giữa kia.
Tìm số hạng chưa biết của các tỉ lệ sau:
1) MỘT : 3= 10:5; 3) 2: 1 / 2 = x : 5;
2) 8: b = 16: 4; 4) 4: 1 / 3 = 24: X .
Hai quy tắc cuối cùng có thể được viết dưới dạng tổng quát như sau:
1) Nếu tỷ lệ trông như sau:
x:a =b:c , Cái đó
2) Nếu tỷ lệ trông như sau:
a: x = b: c , Cái đó
§ 128. Đơn giản hóa tỷ lệ và sắp xếp lại các điều khoản của nó.
Trong phần này chúng ta sẽ rút ra các quy tắc cho phép chúng ta đơn giản hóa tỷ lệ trong trường hợp nó bao gồm các số lớn hoặc các số hạng phân số. Các phép biến đổi không vi phạm tỷ lệ bao gồm:
1. Tăng hoặc giảm đồng thời cả hai số hạng của một tỷ lệ nào đó với số lần như nhau.
VÍ DỤ 40:10 = 60:15.
Nhân cả hai số hạng của tỉ số thứ nhất với 3 lần, ta được:
120:30 = 60: 15.
Tỷ lệ không bị vi phạm.
Giảm cả hai số hạng của quan hệ thứ hai xuống 5 lần, chúng ta có:
Chúng tôi đã có được tỷ lệ chính xác một lần nữa.
2. Tăng hoặc giảm đồng thời cả hai số hạng trước hoặc cả hai số hạng tiếp theo với số lần như nhau.
Ví dụ. 16:8 = 40:20.
Chúng ta hãy nhân đôi số hạng trước đó của cả hai quan hệ:
Chúng tôi đã có tỷ lệ chính xác.
Chúng ta hãy giảm số hạng tiếp theo của cả hai quan hệ xuống 4 lần:
Tỷ lệ không bị vi phạm.
Hai kết luận thu được có thể phát biểu ngắn gọn như sau: Tỷ lệ sẽ không bị vi phạm nếu chúng ta đồng thời tăng hoặc giảm cùng một số lần bất kỳ số hạng cực trị nào của tỷ lệ và số hạng ở giữa bất kỳ.
Ví dụ, giảm 4 lần số hạng cực trị thứ 1 và số hạng thứ 2 của tỷ lệ 16:8 = 40:20, ta được:
3. Tăng hoặc giảm đồng thời tất cả các số hạng trong tỷ trọng với số lần như nhau. Ví dụ. 36:12 = 60:20. Hãy tăng cả bốn số lên 2 lần:
Tỷ lệ không bị vi phạm. Hãy giảm tất cả bốn số xuống 4 lần:
Tỷ lệ là chính xác.
Các phép biến đổi được liệt kê trước hết giúp đơn giản hóa các tỷ lệ và thứ hai là giải phóng chúng khỏi các thuật ngữ phân số. Hãy đưa ra ví dụ.
1) Hãy có một tỷ lệ:
200: 25 = 56: x .
Trong đó các phần tử của tỉ số thứ nhất là những con số tương đối lớn, và nếu muốn tìm giá trị X , thì chúng ta sẽ phải thực hiện các phép tính trên những con số này; nhưng chúng ta biết rằng tỉ lệ sẽ không bị vi phạm nếu cả hai số hạng của tỉ số đều được chia cho cùng một số. Hãy chia mỗi phần cho 25. Tỷ lệ sẽ có dạng:
8:1 = 56: x .
Do đó, chúng tôi đã thu được một tỷ lệ thuận tiện hơn, từ đó X có thể được tìm thấy trong tâm trí:
2) Hãy tính tỷ lệ:
2: 1 / 2 = 20: 5.
Trong tỷ lệ này có một số hạng phân số (1/2), từ đó bạn có thể loại bỏ. Để làm điều này, bạn sẽ phải nhân số hạng này, chẳng hạn như với 2. Nhưng chúng ta không có quyền tăng một số hạng ở giữa của tỷ lệ; cần phải tăng thêm một trong những thành viên cực đoan cùng với nó; thì tỷ lệ sẽ không bị vi phạm (dựa trên hai điểm đầu). Hãy tăng số hạng đầu tiên trong số các số hạng cực trị
(2 2) : (2 1/2) = 20:5, hoặc 4:1 = 20:5.
Hãy tăng thành viên cực đoan thứ hai:
2: (2 1/2) = 20: (2 5), hoặc 2: 1 = 20: 10.
Hãy xem xét thêm ba ví dụ về việc giải phóng tỷ lệ khỏi các số hạng phân số.
Ví dụ 1. 1/4: 3/8 = 20:30.
Hãy đưa các phân số về mẫu số chung:
2 / 8: 3 / 8 = 20: 30.
Nhân cả hai số hạng của tỉ số thứ nhất với 8, ta được:
Ví dụ 2. 12: 15/14 = 16:10/7. Hãy đưa các phân số về mẫu số chung:
12: 15 / 14 = 16: 20 / 14
Hãy nhân cả hai số hạng tiếp theo với 14, chúng ta có: 12:15 = 16:20.
Ví dụ 3. 1/2: 1/48 = 20: 5/6.
Hãy nhân tất cả các số hạng của tỷ lệ với 48:
24: 1 = 960: 40.
Khi giải các bài toán trong đó xảy ra một số tỷ lệ, người ta thường phải sắp xếp lại các số hạng của tỷ lệ cho các mục đích khác nhau. Hãy xem những hoán vị nào là hợp pháp, tức là không vi phạm tỷ lệ. Hãy lấy tỷ lệ:
3: 5 = 12: 20. (1)
Sắp xếp lại các số hạng cực trị trong đó, ta được:
20: 5 = 12:3. (2)
Bây giờ chúng ta hãy sắp xếp lại các số hạng ở giữa:
3:12 = 5: 20. (3)
Chúng ta hãy sắp xếp lại cả số hạng cực và số hạng trung cùng một lúc:
20: 12 = 5: 3. (4)
Tất cả những tỷ lệ này là chính xác. Bây giờ, hãy đặt mối quan hệ đầu tiên vào vị trí của mối quan hệ thứ hai và mối quan hệ thứ hai thay cho mối quan hệ thứ nhất. Bạn nhận được tỷ lệ:
12: 20 = 3: 5. (5)
Trong tỷ lệ này, chúng ta sẽ thực hiện các sắp xếp lại giống như chúng ta đã làm trước đây, nghĩa là trước tiên chúng ta sẽ sắp xếp lại các số hạng cực trị, sau đó là các số hạng ở giữa và cuối cùng là cả các số hạng cực trị và số hạng ở giữa cùng một lúc. Bạn sẽ nhận được thêm ba tỷ lệ nữa, điều này cũng sẽ công bằng:
5: 20 = 3: 12. (6)
12: 3 = 20: 5. (7)
5: 3 = 20: 12. (8)
Vì vậy, từ một tỷ lệ nhất định, bằng cách sắp xếp lại, bạn có thể có thêm 7 tỷ lệ nữa, cùng với tỷ lệ này tạo thành 8 tỷ lệ.
Giá trị của tất cả các tỷ lệ này đặc biệt dễ dàng được khám phá khi viết bằng chữ. 8 tỷ lệ thu được ở trên có dạng:
a: b = c: d; c:d = a:b;
d:b = c:a; b:d = a:c;
a: c = b: d; c: a = d: b;
d:c = b:a; b: a = d: c.
Dễ dàng nhận thấy rằng trong mỗi tỷ lệ này, tính chất chính có dạng:
quảng cáo = bc.
Vì vậy, những hoán vị này không vi phạm tính công bằng của tỷ lệ và chúng có thể được sử dụng nếu cần thiết.
Giải hầu hết các bài toán ở trường phổ thông đòi hỏi phải có kiến thức về tỉ lệ. Kỹ năng đơn giản này sẽ giúp bạn không chỉ thực hiện các bài tập phức tạp trong sách giáo khoa mà còn đi sâu vào bản chất của khoa học toán học. Làm thế nào để thực hiện một tỷ lệ? Hãy tìm ra nó ngay bây giờ.
Ví dụ đơn giản nhất là bài toán đã biết ba tham số và cần tìm tham số thứ tư. Tất nhiên, tỷ lệ là khác nhau, nhưng thường thì bạn cần tìm một số số bằng cách sử dụng tỷ lệ phần trăm. Ví dụ, cậu bé có tổng cộng mười quả táo. Anh đưa phần thứ tư cho mẹ mình. Cậu bé còn lại bao nhiêu quả táo? Đây là ví dụ đơn giản nhất cho phép bạn tạo tỷ lệ. Điều chính là để làm điều này. Ban đầu có mười quả táo. Hãy để nó là 100%. Chúng tôi đã đánh dấu tất cả những quả táo của anh ấy. Anh ấy đã cho một phần tư. 1/4=25/100. Điều này có nghĩa là anh ấy đã rời đi: 100% (ban đầu) - 25% (anh ấy đã cho) = 75%. Con số này cho thấy tỷ lệ phần trăm của số lượng trái cây còn lại so với số lượng có sẵn ban đầu. Bây giờ chúng ta có ba số mà chúng ta có thể giải được tỷ lệ. 10 quả táo - 100%, X táo - 75%, trong đó x là lượng trái cây cần thiết. Làm thế nào để thực hiện một tỷ lệ? Bạn cần hiểu nó là gì. Về mặt toán học nó trông như thế này. Dấu bằng được đặt để bạn hiểu.
10 quả táo = 100%;
x táo = 75%.
Hóa ra 10/x = 100%/75. Đây là tài sản chính của tỷ lệ. Xét cho cùng, x càng lớn thì tỷ lệ phần trăm của số này so với số ban đầu càng lớn. Chúng ta giải tỷ lệ này và tìm được x = 7,5 quả táo. Chúng tôi không biết tại sao cậu bé lại quyết định cho đi một số tiền nguyên. Bây giờ bạn biết làm thế nào để thực hiện một tỷ lệ. Điều chính là tìm ra hai mối quan hệ, một trong số đó chứa ẩn số chưa biết.
Việc giải một tỷ lệ thường chỉ đơn giản là phép nhân rồi chia. Nhà trường không giải thích cho trẻ tại sao lại như vậy. Mặc dù điều quan trọng là phải hiểu rằng các mối quan hệ tỷ lệ là kinh điển toán học, bản chất của khoa học. Để giải các tỷ lệ, bạn cần có khả năng xử lý phân số. Ví dụ: bạn thường cần chuyển đổi phần trăm thành phân số. Tức là ghi 95% sẽ không được. Và nếu bạn viết ngay 95/100, thì bạn có thể giảm đáng kể mà không cần bắt đầu phép tính chính. Cần phải nói ngay rằng nếu tỷ lệ của bạn có hai ẩn số thì không thể giải được. Không có giáo sư sẽ giúp bạn ở đây. Và nhiệm vụ của bạn rất có thể có một thuật toán phức tạp hơn để thực hiện các hành động chính xác.
Hãy xem một ví dụ khác không có sự quan tâm. Một người lái xe ô tô mua 5 lít xăng với giá 150 rúp. Anh nghĩ xem mình sẽ phải trả bao nhiêu cho 30 lít nhiên liệu. Để giải quyết vấn đề này, hãy biểu thị bằng x số tiền cần thiết. Bạn có thể tự mình giải quyết vấn đề này rồi kiểm tra đáp án. Nếu bạn chưa hiểu cách tạo tỷ lệ, thì hãy xem. 5 lít xăng là 150 rúp. Như trong ví dụ đầu tiên, chúng ta viết 5l - 150r. Bây giờ chúng ta hãy tìm số thứ ba. Tất nhiên, đây là 30 lít. Đồng ý rằng một cặp 30 l - x rúp là phù hợp trong tình huống này. Hãy chuyển sang ngôn ngữ toán học.
5 lít - 150 rúp;
30 lít - x rúp;
Hãy giải tỷ lệ này:
x = 900 rúp.
Thế là chúng tôi quyết định. Trong nhiệm vụ của bạn, đừng quên kiểm tra tính đầy đủ của câu trả lời. Điều đó xảy ra là nếu quyết định sai lầm, ô tô sẽ đạt tốc độ phi thực tế là 5000 km một giờ, v.v. Bây giờ bạn biết làm thế nào để thực hiện một tỷ lệ. Bạn cũng có thể giải quyết nó. Như bạn có thể thấy, không có gì phức tạp về điều này.
Theo quan điểm toán học, tỷ lệ là sự bằng nhau của hai tỷ lệ. Sự phụ thuộc lẫn nhau là đặc điểm của tất cả các phần của tỷ lệ, cũng như kết quả không thay đổi của chúng. Bạn có thể hiểu cách tạo tỷ lệ bằng cách làm quen với các tính chất và công thức tỷ lệ. Để hiểu nguyên tắc giải tỷ lệ, chỉ cần xem xét một ví dụ là đủ. Chỉ bằng cách giải trực tiếp các tỷ lệ, bạn mới có thể học được những kỹ năng này một cách nhanh chóng và dễ dàng. Và bài viết này sẽ giúp người đọc điều này.
Tính chất của tỷ lệ và công thức
- Đảo ngược tỷ lệ. Trong trường hợp đẳng thức đã cho có dạng 1a: 2b = 3c: 4d thì viết 2b: 1a = 4d: 3c. (Và 1a, 2b, 3c và 4d là các số nguyên tố khác 0).
- Nhân chéo các số hạng đã cho của tỷ lệ. Theo cách diễn đạt theo nghĩa đen thì nó trông như thế này: 1a: 2b = 3c: 4d, và viết 1a4d = 2b3c sẽ tương đương với nó. Như vậy, tích của các phần cực trị của bất kỳ tỷ lệ nào (các số ở cạnh của đẳng thức) luôn bằng tích của các phần ở giữa (các số nằm ở giữa của đẳng thức).
- Khi soạn một tỉ lệ, tính chất sắp xếp lại số hạng cực và số hạng giữa cũng có thể hữu ích. Công thức đẳng thức 1a: 2b = 3c: 4d có thể được biểu thị bằng các cách sau:
- 1a:3c = 2b:4d (khi sắp xếp lại các số hạng ở giữa của tỉ lệ).
- 4d: 2b = 3c: 1a (khi các số hạng cực trị của tỉ lệ được sắp xếp lại).
- Tính chất tăng và giảm của nó giúp giải quyết các tỷ lệ một cách hoàn hảo. Khi 1a: 2b = 3c: 4d, viết:
- (1a + 2b): 2b = (3c + 4d) : 4d (bằng nhau theo tỷ lệ tăng dần).
- (1a – 2b): 2b = (3c – 4d): 4d (bằng nhau theo tỷ lệ giảm dần).
- Bạn có thể tạo tỷ lệ bằng cách cộng và trừ. Khi tỉ lệ được viết là 1a:2b = 3c:4d thì:
- (1a + 3c) : (2b + 4d) = 1a: 2b = 3c: 4d (tỷ lệ được thực hiện bằng phép cộng).
- (1a – 3c) : (2b – 4d) = 1a: 2b = 3c: 4d (tỷ lệ được tính bằng phép trừ).
- Ngoài ra, khi giải một tỷ lệ chứa số phân số hoặc số lớn, bạn có thể chia hoặc nhân cả hai số hạng của nó với cùng một số. Ví dụ: các thành phần của tỷ lệ 70:40=320:60 có thể được viết như sau: 10*(7:4=32:6).
- Một tùy chọn để giải tỷ lệ bằng tỷ lệ phần trăm trông như thế này. Ví dụ: viết 30=100%, 12=x. Bây giờ bạn nên nhân số hạng ở giữa (12*100) và chia cho số hạng cực trị đã biết (30). Vậy đáp án là: x=40%. Theo cách tương tự, nếu cần, bạn có thể nhân các số hạng cực trị đã biết và chia chúng cho một số trung bình nhất định, thu được kết quả mong muốn.
Nếu bạn quan tâm đến một công thức tỷ lệ cụ thể, thì trong phiên bản đơn giản và phổ biến nhất, tỷ lệ là đẳng thức (công thức) sau: a/b = c/d, trong đó a, b, c và d là bốn không- số không.
Trong video bài học trước chúng ta đã xem xét cách giải các bài toán liên quan đến tỷ lệ phần trăm bằng cách sử dụng tỷ lệ. Sau đó, tùy theo điều kiện của bài toán, chúng ta cần tìm giá trị của đại lượng này hoặc đại lượng khác.
Lần này các giá trị ban đầu và cuối cùng đã được trao cho chúng tôi. Vì vậy, các bài toán sẽ yêu cầu bạn phải tìm tỷ lệ phần trăm. Chính xác hơn là giá trị này hoặc giá trị kia đã thay đổi bao nhiêu phần trăm. Hãy thử nó.
Nhiệm vụ. Đôi giày thể thao có giá 3.200 rúp. Sau khi tăng giá, chúng bắt đầu có giá 4.000 rúp. Giá giày thể thao đã tăng bao nhiêu phần trăm?
Vì vậy, chúng tôi giải quyết thông qua tỷ lệ. Bước đầu tiên - giá ban đầu là 3.200 rúp. Vì vậy, 3200 rúp là 100%.
Ngoài ra, chúng tôi đã đưa ra mức giá cuối cùng - 4000 rúp. Đây là một tỷ lệ phần trăm chưa biết, vì vậy hãy gọi nó là x. Chúng ta có được cách xây dựng sau:
3200 — 100%
4000 - x%
Vâng, tình trạng của vấn đề được viết ra. Hãy làm một tỷ lệ:
Phân số bên trái triệt tiêu hoàn toàn 100: 3200: 100 = 32; 4000: 100 = 40. Ngoài ra, bạn có thể rút ngắn nó đi 4: 32: 4 = 8; 40: 4 = 10. Ta được tỉ lệ sau:
Hãy sử dụng tính chất cơ bản của tỷ lệ: tích của các số hạng cực trị bằng tích của các số hạng ở giữa. Chúng tôi nhận được:
8 x = 100 10;
8x = 1000.
Đây là một phương trình tuyến tính thông thường. Từ đây tìm được x:
x = 1000: 8 = 125
Vì vậy, chúng ta có tỷ lệ phần trăm cuối cùng x = 125. Nhưng liệu con số 125 có phải là giải pháp cho vấn đề không? Không, trong mọi trường hợp! Bởi vì nhiệm vụ yêu cầu tìm hiểu xem giá giày thể thao đã tăng bao nhiêu phần trăm.
Bằng bao nhiêu phần trăm - điều này có nghĩa là chúng ta cần tìm sự thay đổi:
∆ = 125 − 100 = 25
Chúng tôi đã nhận được 25% - đó là mức giá ban đầu đã tăng lên. Đây là câu trả lời: 25.
Bài B2 về tỷ lệ phần trăm số 2
Hãy chuyển sang nhiệm vụ thứ hai.
Nhiệm vụ. Chiếc áo có giá 1800 rúp. Sau khi giảm giá, nó bắt đầu có giá 1.530 rúp. Giá chiếc áo đó giảm đi bao nhiêu phần trăm?
Hãy dịch điều kiện sang ngôn ngữ toán học. Giá gốc là 1800 rúp - đây là 100%. Và giá cuối cùng là 1.530 rúp - chúng tôi biết điều đó, nhưng chúng tôi không biết nó chiếm bao nhiêu phần trăm so với giá trị ban đầu. Do đó, chúng tôi ký hiệu nó bằng x. Chúng ta có được cách xây dựng sau:
1800 — 100%
1530 - x%
Dựa trên hồ sơ nhận được, chúng tôi tạo ra một tỷ lệ:
Để đơn giản hóa các phép tính tiếp theo, hãy chia cả hai vế của phương trình này cho 100. Nói cách khác, chúng ta sẽ gạch bỏ hai số 0 khỏi tử số của phân số bên trái và bên phải. Chúng tôi nhận được:
Bây giờ chúng ta hãy sử dụng lại tính chất cơ bản của tỷ lệ: tích của các số hạng cực trị bằng tích của các số hạng ở giữa.
18 x = 1530 1;
18x = 1530.
Tất cả những gì còn lại là tìm x:
x = 1530: 18 = (765 2) : (9 2) = 765: 9 = (720 + 45) : 9 = 720: 9 + 45: 9 = 80 + 5 = 85
Chúng ta nhận được x = 85. Nhưng, như trong bài toán trước, bản thân con số này không phải là đáp án. Hãy quay trở lại tình trạng của chúng ta. Bây giờ chúng ta biết rằng giá mới thu được sau khi giảm là 85% so với giá cũ. Và để tìm ra những thay đổi, bạn cần từ mức giá cũ, tức là. 100%, trừ đi giá mới, tức là. 85%. Chúng tôi nhận được:
∆ = 100 − 85 = 15
Con số này sẽ là câu trả lời: Xin lưu ý: chính xác là 15 và không có trường hợp nào là 85. Chỉ vậy thôi! Vấn đề đã được giải quyết.
Những học sinh chú ý có thể sẽ hỏi: tại sao trong bài toán đầu tiên, khi tìm hiệu, chúng ta lại trừ số ban đầu cho số cuối cùng, còn trong bài toán thứ hai lại làm ngược lại: từ 100% ban đầu chúng ta trừ 85% cuối cùng?
Chúng ta hãy rõ ràng về điểm này. Về mặt hình thức, trong toán học, sự thay đổi về số lượng luôn là hiệu giữa giá trị cuối cùng và giá trị ban đầu. Nói cách khác, trong bài toán thứ hai lẽ ra chúng ta không phải nhận được 15 mà là −15.
Tuy nhiên, điểm trừ này trong mọi trường hợp không nên được đưa vào câu trả lời vì nó đã được tính đến trong các điều kiện của bài toán ban đầu. Nó nói trực tiếp về việc giảm giá. Và mức giảm giá 15% cũng tương đương với mức tăng giá -15%. Đó là lý do tại sao trong lời giải và câu trả lời cho vấn đề, chỉ cần viết 15 - không có bất kỳ điểm trừ nào là đủ.
Vậy đó, tôi hy vọng chúng ta đã giải quyết được chuyện này. Điều này kết thúc bài học của chúng tôi cho ngày hôm nay. Hẹn gặp lại!