Đặc tính số của hệ hai biến ngẫu nhiên. Khoảnh khắc tương quan. Hệ số tương quan
Chúng tôi đã xem xét các đặc tính số của một biến ngẫu nhiên X - mômen ban đầu và mômen trung tâm của các bậc khác nhau. Trong số những đặc điểm này, có hai đặc điểm quan trọng nhất: kỳ vọng toán học m x và phương sai Dx.
Các đặc tính số tương tự - mômen ban đầu và mômen trung tâm theo các bậc khác nhau - có thể được đưa ra cho hệ hai biến ngẫu nhiên. Momen ban đầu bậc k,s của hệ (X, Y) là kỳ vọng toán học của tích X k trên Y S:
M[X k Y S]
Momen trung tâm bậc k, s của một hệ (X, Y) là kỳ vọng toán học của tích lũy thừa thứ k và thứ s của các đại lượng tâm tương ứng:
Trong thực tế, thường chỉ áp dụng khoảnh khắc thứ nhất và thứ hai.
Những khoảnh khắc ban đầu đầu tiên thể hiện những kỳ vọng toán học của các giá trị X và Y có trong hệ thống mà chúng ta đã biết:
tôi x và tôi y
Tập kỳ vọng toán học m x, tôi y là đặc tính vị trí của hệ thống. Về mặt hình học, đây là tọa độ của điểm giữa trên mặt phẳng mà điểm nằm rải rác xung quanh (X. Y).
Ngoài mômen ban đầu thứ nhất, mômen trung tâm thứ hai của hệ thống cũng được sử dụng rộng rãi trong thực tế. Hai trong số chúng đại diện cho sự phân tán của các giá trị X và Y mà chúng ta đã biết.
D[X] và D[Y], đặc trưng cho sự phân tán của một điểm ngẫu nhiên theo hướng của trục Ox và Oy.
Mô men trung tâm hỗn hợp thứ hai đóng vai trò đặc biệt như một đặc tính của hệ thống:
μ 1,1 = M,
tức là kỳ vọng toán học của tích của các đại lượng tập trung. Do thời điểm này đóng một vai trò quan trọng trong lý thuyết về hệ thống các biến ngẫu nhiên nên một ký hiệu đặc biệt đã được đưa ra cho nó:
Khu =M[X 0 Y 0 ]=M[(X-m x)(Y-m y)].
Đặc tính Kxy được gọi là mômen tương quan (hay còn gọi là mômen liên kết) của các biến ngẫu nhiên X, Y.
Đối với các biến ngẫu nhiên rời rạc, mômen tương quan được biểu thị bằng công thức
Kxy =Σ Σ(x Tôi-m x)(y j-m y) P ij
Hãy cùng chúng tôi tìm hiểu ý nghĩa và mục đích của đặc điểm này nhé. Khoảnh khắc tương quan là một đặc điểm của hệ thống các biến ngẫu nhiên, ngoài sự phân tán của các giá trị X và Y, còn mô tả mối liên hệ giữa chúng. Đối với các biến ngẫu nhiên độc lập, mômen tương quan bằng 0.
Vì vậy, nếu mômen tương quan của hai biến ngẫu nhiên khác 0 thì đây là dấu hiệu cho thấy sự phụ thuộc giữa chúng.
Từ công thức, rõ ràng là mômen tương quan không chỉ đặc trưng cho sự phụ thuộc của các đại lượng mà còn đặc trưng cho sự phân tán của chúng. Thật vậy, chẳng hạn, nếu một trong các đại lượng (X, Y) sai lệch rất ít so với kỳ vọng toán học của nó (gần như không ngẫu nhiên), thì mômen tương quan sẽ nhỏ, bất kể các đại lượng (X, Y) có liên quan chặt chẽ đến đâu. . Do đó, để mô tả mối quan hệ giữa các đại lượng (X, Y) ở dạng thuần túy, chúng ta chuyển từ thời điểm sang đặc tính không thứ nguyên
rху=Кху/σх σу
trong đó σх, σу là độ lệch chuẩn của các giá trị X, Y. Đặc tính này được gọi là hệ số tương quan Giá trị X và Y.
Rõ ràng, hệ số tương quan tiến về 0 đồng thời với thời điểm tương quan; do đó, đối với các biến ngẫu nhiên độc lập thì hệ số tương quan bằng 0.
Các biến ngẫu nhiên có mômen tương quan (và do đó hệ số tương quan) bằng 0 được gọi là không tương quan (đôi khi là “không liên quan”).
Khái niệm biến ngẫu nhiên không tương quan có tương đương với khái niệm tính độc lập hay không. Được biết, các biến ngẫu nhiên độc lập luôn không tương quan. Vẫn còn phải xem: điều ngược lại có đúng không, liệu tính độc lập của chúng có xuất phát từ tính không tương quan của các đại lượng không? Hóa ra - không. Có những biến ngẫu nhiên không tương quan nhưng phụ thuộc. Sự bằng nhau của hệ số tương quan về 0 là điều kiện cần nhưng chưa đủ cho tính độc lập của các biến ngẫu nhiên. Tính độc lập của các biến ngẫu nhiên ngụ ý rằng chúng không tương quan; ngược lại, sự độc lập của họ không xuất phát từ bản chất không tương quan của sự vĩ đại. Điều kiện độc lập của các biến ngẫu nhiên chặt chẽ hơn điều kiện không tương quan.
Hệ số tương quan không đặc trưng cho bất kỳ sự phụ thuộc nào mà chỉ mô tả cái gọi là sự phụ thuộc tuyến tính. Sự phụ thuộc xác suất tuyến tính của các biến ngẫu nhiên là khi một biến ngẫu nhiên tăng thì biến ngẫu nhiên kia có xu hướng tăng (hoặc giảm) theo quy luật tuyến tính. Xu hướng phụ thuộc tuyến tính này có thể ít nhiều rõ rệt, ít nhiều tiếp cận hàm số, tức là sự phụ thuộc tuyến tính gần nhất. Hệ số tương quan đặc trưng cho mức độ gần gũi của mối quan hệ tuyến tính giữa các biến ngẫu nhiên. Nếu các biến ngẫu nhiên X và Y có liên hệ với nhau bằng một mối quan hệ hàm tuyến tính chính xác:
Y = aX + b, khi đó rxy = ±1 và lấy dấu “cộng” hoặc “trừ” tùy thuộc vào hệ số a là dương hay âm. Trong trường hợp tổng quát, khi các giá trị của X và Y có liên hệ với nhau bởi sự phụ thuộc xác suất tùy ý thì hệ số tương quan có thể có giá trị nằm trong giới hạn sau:
1 < rху < 1
Trong trường hợp r > 0 họ nói về mối tương quan dương giữa các giá trị của X và Y, trong trường hợp r<0 - об отрицательной корреляции. Положительная корреляция между случайными величинами означает, что при возрастании одной из них другая имеет тенденцию в среднем возрастать; отрицательная корреляция означает, что при возрастании одной из случайных величин другая имеет тенденцию в среднем убывать.
Hãy để chúng tôi đưa ra một số ví dụ về các biến ngẫu nhiên có mối tương quan tích cực và tiêu cực.
1. Cân nặng và chiều cao của một người có mối tương quan thuận với nhau.
2. Thời gian chuẩn bị cho lớp học và điểm số nhận được có mối tương quan thuận chiều (tất nhiên nếu thời gian được sử dụng một cách khôn ngoan). Ngược lại, thời gian dành cho việc chuẩn bị và số điểm kém nhận được có mối tương quan nghịch.
3. Bắn hai phát vào mục tiêu; điểm tác động của phát bắn đầu tiên được ghi lại và một hiệu chỉnh được đưa vào tầm nhìn, tỷ lệ thuận với sai số của phát bắn đầu tiên có dấu ngược lại. Tọa độ các điểm va chạm của phát bắn thứ nhất và thứ hai sẽ có mối tương quan nghịch.
Nếu chúng ta có sẵn kết quả của một số thí nghiệm trên hệ hai biến ngẫu nhiên (X, Y), thì sự hiện diện hay vắng mặt của mối tương quan đáng kể giữa chúng có thể dễ dàng được đánh giá theo phép tính gần đúng đầu tiên bằng biểu đồ trên đó tất cả các cặp giá trị của biến ngẫu nhiên thu được từ thí nghiệm được mô tả dưới dạng điểm. Ví dụ: nếu các cặp giá trị đại lượng quan sát được sắp xếp như sau
 |
4 trang (file Word)
Xem tất cả các trang
Đoạn văn bản của tác phẩm
Ở đâu 
cho các biến ngẫu nhiên rời rạc Xi Y và
, y)dxdy
đối với các biến ngẫu nhiên liên tục,
Khoảnh khắc tương quan dùng để mô tả mối quan hệ giữa các biến ngẫu nhiên. Cụ thể, đối với các biến ngẫu nhiên độc lập X và Y thì mô men tương quan Cxy bằng 0.
Theo định nghĩa, mômen tương quan có thứ nguyên bằng tích các thứ nguyên của đại lượng X và Y. Điều này có nghĩa là độ lớn của mômen tương quan phụ thuộc vào đơn vị đo của các biến ngẫu nhiên. Ví dụ: nếu khi đo giá trị của X và Y tính bằng centimet thì kết quả là C.” 2 cm2 thì khi đo X và Y tính bằng milimét ta được Cxy = 200 mm2. Sự phụ thuộc của mômen tương quan vào các đơn vị đo lường khiến cho việc so sánh các hệ biến ngẫu nhiên khác nhau trở nên khó khăn. Để loại bỏ nhược điểm này, một đặc tính không thứ nguyên của mối quan hệ giữa các đại lượng X và Y, được gọi là hệ số tương quan, được đưa ra:
Nếu các biến ngẫu nhiên X và Y độc lập thì r", = O. Nếu các biến ngẫu nhiên Xi Y có liên hệ bởi sự phụ thuộc tuyến tính chính xác Y = ax + b thì rxy = l với a>O và b. = - với a z O. Nói chung, bất đẳng thức kép -1 S rxyS là đúng
Tính chất độc lập của hai biến ngẫu nhiên X và Y trong trường hợp tổng quát không tương đương với tính không tương quan của chúng (tức là đẳng thức rn. = 0). Tuy nhiên, đối với các thành phần có phân bố chuẩn của biến ngẫu nhiên hai chiều thì điều này đúng.
Luật phân phối của hệ hai biến ngẫu nhiên rời rạc (X, A được cho bởi bảng sau
) quy luật phân bố các biến ngẫu nhiên X và Y;
2) quy luật phân phối có điều kiện của biến ngẫu nhiên X, với điều kiện Y = 1;
3) kỳ vọng toán học IH), Ts U) và tâm phân tán;
4) độ phân tán của D(X) và DUE;
5) mô men tương quan Cdu và hệ số tương quan b.
1. Cộng các xác suất dọc theo các dòng, ta thu được xác suất các giá trị có thể có của biến ngẫu nhiên X: = 0,4, p(l) = 0,2, p(4) = 0,4. Do đó, định luật phân bố giá trị X có dạng sau
Kiểm tra: 0,4 + 1.
Cộng các xác suất trên các cột, ta thu được xác suất của các giá trị có thể có của biến ngẫu nhiên Y: = 0,1, p(l) = 0,3, AZ) = 0,6. Hãy viết định luật phân bố của đại lượng Y
Kiểm tra: (),l + 0,3 + 0,6 =
2.
Hãy tìm các xác suất có điều kiện cho biến ngẫu nhiên X, với điều kiện Y = Y-2 = 1: p(-l f 1) = -P12
Vì phân phối (X 1 Y = 1) có bảng sau
H. Dựa vào định nghĩa, chúng ta tính toán các kỳ vọng toán học:
5. Lập bảng hệ thống biến ngẫu nhiên ly tâm
x, Y, trong đó Y = Y-t = Y -1,9
Hãy tính thời điểm tương quan:
(-3,9) 0-2,4 (-0,9)
Hệ hai biến ngẫu nhiên liên tục (X, Y) có phân bố đều trong miền D = “x, y) - S x S 3, O S y S x + l).
) mật độ phân bố;
2) xác suất Ch X, Y) chạm vào khu vực
3) mật độ A(x) và Ku) của phân bố các biến ngẫu nhiên X và Y, cũng như mật độ có điều kiện và y(ylx);
4) hàm và phân phối F20) của các biến ngẫu nhiên X và Y;
5) kỳ vọng toán học M(X), và tâm phân tán;
6) độ phân tán và TsU);
7) mômen tương quan Sl. và hệ số tương quan
1. Theo điều kiện, hàm mật độ có dạng a, if -lSxS3 và 0SySx+l, O, if (x, y) E D
Để tìm tham số a, chúng ta sử dụng quan hệ f(x, y)dy.dy = , trong đó miền tích phân D được hiển thị trong Hình 2. 7.
|
|
||||||||||||
Vùng D được giới hạn bên trái và bên phải bởi các đường x = -1 và x = 3, bên dưới và bên trên bởi các đường O và Y2(x) = x + 1. Chuyển sang tích phân lặp, ta có:
3
fady= bò tót X +1 D = fa(x + l)dx =
8a. Vì 8a = 1, THÌ a z- và hàm MẬT ĐỘ 8
trông giống như
-, Nếu như
Ồ, nếu (x, y) E).
2. Hãy vẽ vùng G, là một đường tròn có bán kính 2 với tâm tại điểm (2, O) (xem Hình 8). Vì hàm Ax, y) bằng 0 ở bên ngoài
3. Hãy tìm mật độ A(x) và bùn:
Đó là lý do tại sao
Kể từ đây,
Đối với O S y S 4, chúng ta cũng thu được tương tự
- Hệ số tương quan Spearman: một ví dụ về giải quyết vấn đề
Một biến ngẫu nhiên được mô tả bởi hai đặc điểm số: kỳ vọng toán học và phương sai. Để mô tả một hệ gồm hai biến ngẫu nhiên, ngoài các đặc tính “chính” còn sử dụng mômen tương quan và hệ số tương quan.
Khoảnh khắc tương quan µxy các biến ngẫu nhiên X và Y được gọi là kỳ vọng toán học của tích độ lệch của các giá trị này:
µ xy = M ( [ X - M(X) ] [ Y - M(Y) ] )
Để tìm mômen tương quan của các đại lượng rời rạc, hãy sử dụng công thức:
và đối với số lượng liên tục - công thức:
Mômen tương quan đặc trưng cho sự hiện diện (không có) của mối liên hệ giữa các đại lượng X và Y. Dưới đây sẽ chứng minh rằng mômen tương quan bằng 0 nếu X và Y độc lập; Nếu mômen tương quan của các biến ngẫu nhiên X và Y không bằng 0 thì có sự phụ thuộc giữa chúng.
Lưu ý 1. Khi tính đến độ lệch là các biến ngẫu nhiên có tâm, chúng ta có thể định nghĩa thời điểm tương quan là kỳ vọng toán học của tích của hai biến ngẫu nhiên có tâm:
µ xy = M .
Lưu ý 2. Không khó để chứng minh rằng mômen tương quan có thể được viết dưới dạng
µ xy = М(ХY) – М(X) М(У).
Định lý 1. Momen tương quan của hai biến ngẫu nhiên độc lập X và Y bằng 0.
Bằng chứng. Vì X và Y là các biến ngẫu nhiên độc lập nên độ lệch của chúng X-M (X) và Y-M (Y) cũng độc lập. Sử dụng các tính chất của kỳ vọng toán học (kỳ vọng toán học của tích các biến ngẫu nhiên độc lập bằng tích của kỳ vọng toán học của các thừa số) và độ lệch (kỳ vọng toán học của độ lệch bằng 0), chúng ta thu được
µ xy = М (M) = М M = 0.
Từ định nghĩa mômen tương quan, suy ra rằng nó có thứ nguyên bằng tích các thứ nguyên của các đại lượng X và Y. Nói cách khác, độ lớn của mômen tương quan phụ thuộc vào đơn vị đo của các biến ngẫu nhiên. Vì lý do này, đối với hai đại lượng giống nhau, độ lớn của mômen tương quan có các giá trị khác nhau tùy thuộc vào đơn vị đo đại lượng. Ví dụ, giả sử X và Y được đo bằng cm và µxy = 2 cm2; nếu bạn đo X và Y bằng milimét,
thì µxy = 200 mm. Đặc điểm mômen tương quan này là nhược điểm của đặc tính số này, vì việc so sánh mômen tương quan của các hệ biến ngẫu nhiên khác nhau trở nên khó khăn. Để loại bỏ nhược điểm này, một đặc tính số mới được giới thiệu - hệ số tương quan.
Hệ số tương quan
r xy của các biến ngẫu nhiên X và Y là tỉ số giữa mômen tương quan với tích độ lệch chuẩn của các biến ngẫu nhiên này
số lượng:
r xy = µ xy /σ x σ y
Vì thứ nguyên µxy bằng tích kích thước của đại lượng X và Y nên σ x có thứ nguyên của đại lượng X, σ y có thứ nguyên của đại lượng Y nên r xy là đại lượng không thứ nguyên. Như vậy, giá trị của hệ số tương quan không phụ thuộc vào việc lựa chọn đơn vị đo của các biến ngẫu nhiên. Đây là lợi thế của hệ số tương quan so với thời điểm tương quan.
Rõ ràng hệ số tương quan của các biến ngẫu nhiên độc lập bằng 0 (vì µ xy = 0).
Lưu ý 3. Trong nhiều câu hỏi về lý thuyết xác suất, nên xem xét biến ngẫu nhiên chuẩn hóa X thay vì biến ngẫu nhiên X, được định nghĩa là tỷ lệ của độ lệch với độ lệch chuẩn:
X" = (X - M(X))/σ x.
Đại lượng chuẩn hóa có kỳ vọng toán học bằng 0 và phương sai bằng 1. Thật vậy, sử dụng các tính chất của kỳ vọng và phân tán toán học, chúng ta có:
Dễ dàng kiểm chứng rằng hệ số tương quan r xy bằng mômen tương quan của các đại lượng chuẩn hóa X" và Y":
Định lý 2. Giá trị tuyệt đối của mô men tương quan của hai biến ngẫu nhiên X và Y không vượt quá trung bình nhân phương sai của chúng:
Bằng chứng. Chúng ta hãy đưa biến ngẫu nhiên Z 1 = σ y X - σ x Y vào xem xét và tìm phương sai của nó D(Z l) = M 2 . Thực hiện tính toán, chúng tôi nhận được
D(Z 1) = 2σ x 2 σ y 2 – 2σ x σ y µ xy
Mọi phương sai đều không âm, vì vậy
2σ x 2 σ y 2 – 2σ x σ y µ xy ≥0.
µ xy ≤ σ x σ y .
Bằng cách đưa vào biến ngẫu nhiên Z t = σ y X+ σ x Y, chúng ta cũng tìm được
µ xy ≥ − σ x σ y .
Hãy kết hợp hai bất đẳng thức sau:
σ x σ y ≤ µ xy ≤ σ x σ y hoặc | µxy | σ x σ y
Định lý 3. Giá trị tuyệt đối của hệ số tương quan không vượt quá một:
Bằng chứng: Chúng ta hãy chia cả hai vế của bất đẳng thức kép thu được cho tích các số dương σxσy:
1 ₫ r xy ₫ 1
Trong Chương 5, chúng ta đã xem xét các đặc tính số của một biến ngẫu nhiên - mômen ban đầu và mômen trung tâm của các bậc khác nhau. Trong số những đặc điểm này, có hai đặc điểm quan trọng nhất: kỳ vọng toán học và độ phân tán.
Các đặc tính số tương tự - mômen ban đầu và mômen trung tâm theo các bậc khác nhau - có thể được đưa ra cho hệ hai biến ngẫu nhiên.
Thời điểm trật tự ban đầu của hệ thống là kỳ vọng toán học của tích bằng:
. (8.6.1)
Mômen trung tâm của bậc của hệ là kỳ vọng toán học của tích lũy thừa th và th của các đại lượng tâm tương ứng:
,
(8.6.2)
Chúng ta hãy viết ra các công thức được sử dụng để tính toán trực tiếp các khoảnh khắc. Đối với các biến ngẫu nhiên không liên tục
, (8.6.3)
, (8.6.4)
Ở đâu 
- xác suất mà hệ thống sẽ lấy các giá trị và tổng mở rộng trên tất cả các giá trị có thể có của các biến ngẫu nhiên, .
Đối với các biến ngẫu nhiên liên tục:
, (8.6.5)
,
(8.6.6)
mật độ phân bố của hệ thống ở đâu.
Ngoài và , đặc trưng cho thứ tự của thời điểm so với các đại lượng riêng lẻ, tổng thứ tự của thời điểm cũng được xem xét, bằng tổng các số mũ của và . Theo tổng thứ tự, các khoảnh khắc được phân loại thành thứ nhất, thứ hai, v.v. Trong thực tế, người ta thường chỉ sử dụng khoảnh khắc thứ nhất và thứ hai.
Những khoảnh khắc ban đầu đầu tiên thể hiện những kỳ vọng toán học về các đại lượng và được đưa vào hệ thống mà chúng ta đã biết:
Tập hợp các kỳ vọng toán học là một đặc tính của vị trí của hệ thống. Về mặt hình học, đây là tọa độ của điểm giữa trên mặt phẳng mà điểm nằm rải rác xung quanh.
Ngoài mômen ban đầu thứ nhất, mômen trung tâm thứ hai của hệ thống cũng được sử dụng rộng rãi trong thực tế. Hai trong số chúng đại diện cho sự phân tán của số lượng và , mà chúng ta đã biết:
mô tả sự phân tán của một điểm ngẫu nhiên theo hướng của trục và.
Mô men trung tâm hỗn hợp thứ hai đóng vai trò đặc biệt như một đặc tính của hệ thống:
,
những thứ kia. kỳ vọng toán học của tích của các đại lượng tập trung.
Do thời điểm này đóng một vai trò quan trọng trong lý thuyết nên chúng tôi đưa ra một ký hiệu đặc biệt cho nó:
. (8.6.7)
Đặc tính này được gọi là mômen tương quan (nếu không thì là “mômen kết nối”) của các biến ngẫu nhiên, .
Đối với các biến ngẫu nhiên không liên tục, mômen tương quan được biểu thị bằng công thức
, (8.6.8)
và đối với những cái liên tục - theo công thức
. (8.6.9)
Hãy cùng chúng tôi tìm hiểu ý nghĩa và mục đích của đặc điểm này nhé.
Momen tương quan là một đặc tính của hệ thống các biến ngẫu nhiên, mô tả sự phân tán của các biến và cả mối liên hệ giữa chúng. Để xác minh điều này, chúng ta hãy chứng minh rằng đối với các biến ngẫu nhiên độc lập, mômen tương quan bằng 0.
Ta sẽ tiến hành chứng minh cho biến ngẫu nhiên liên tục. Giả sử , là các đại lượng liên tục độc lập với mật độ phân bố . Trong 8.5 chúng ta đã chứng minh rằng với các đại lượng độc lập
. (8.6.10)
trong đó , lần lượt là mật độ phân bố của các giá trị và .
Thay biểu thức (8.6.10) vào công thức (8.6.9), ta thấy tích phân (8.6.9) trở thành tích của hai tích phân:
.
tích phân
không biểu thị gì khác hơn mômen trung tâm đầu tiên của đại lượng , và do đó bằng 0; vì lý do tương tự, hệ số thứ hai cũng bằng 0; do đó, đối với các biến ngẫu nhiên độc lập.
Vì vậy, nếu mômen tương quan của hai biến ngẫu nhiên khác 0 thì đây là dấu hiệu cho thấy sự phụ thuộc giữa chúng.
Từ công thức (8.6.7), rõ ràng là mômen tương quan không chỉ đặc trưng cho sự phụ thuộc của các đại lượng mà còn đặc trưng cho sự phân tán của chúng. Thật vậy, chẳng hạn, nếu một trong các đại lượng sai lệch rất ít so với kỳ vọng toán học của nó (hầu như không phải ngẫu nhiên), thì mômen tương quan sẽ nhỏ, bất kể các đại lượng đó có liên quan chặt chẽ với nhau đến đâu. Do đó, để mô tả mối quan hệ giữa các đại lượng ở dạng thuần túy, chúng ta chuyển từ đặc tính thời điểm sang đặc tính không thứ nguyên
trong đó , là độ lệch chuẩn của các giá trị, . Đặc tính này được gọi là hệ số tương quan của đại lượng và. Rõ ràng, hệ số tương quan tiến về 0 đồng thời với thời điểm tương quan; do đó, đối với các biến ngẫu nhiên độc lập thì hệ số tương quan bằng 0.
Các biến ngẫu nhiên có mômen tương quan (và do đó hệ số tương quan) bằng 0 được gọi là không tương quan (đôi khi là “không liên quan”).
Chúng ta hãy tìm hiểu xem khái niệm biến ngẫu nhiên không tương quan có tương đương với khái niệm độc lập hay không. Ở trên chúng tôi đã chứng minh rằng hai biến ngẫu nhiên độc lập luôn không tương quan. Vẫn còn phải xem: điều ngược lại có đúng không, liệu tính độc lập của chúng có xuất phát từ tính không tương quan của các đại lượng không? Hóa ra - không. Có thể xây dựng các ví dụ về các biến ngẫu nhiên không tương quan nhưng phụ thuộc. Sự bằng nhau của hệ số tương quan về 0 là điều kiện cần nhưng chưa đủ cho tính độc lập của các biến ngẫu nhiên. Tính độc lập của các biến ngẫu nhiên ngụ ý rằng chúng không tương quan; ngược lại, việc các đại lượng không tương quan không nhất thiết có nghĩa là chúng độc lập. Điều kiện độc lập của các biến ngẫu nhiên chặt chẽ hơn điều kiện không tương quan.
Hãy xem điều này với một ví dụ. Hãy xem xét một hệ thống các biến ngẫu nhiên được phân bố với mật độ đồng đều bên trong một đường tròn bán kính có tâm ở gốc (Hình 8.6.1).
Mật độ phân bố của các giá trị được biểu thị bằng công thức
Từ điều kiện 
chúng tôi tìm thấy .
Dễ dàng thấy rằng trong ví dụ này các đại lượng phụ thuộc. Thật vậy, rõ ràng ngay rằng nếu một đại lượng lấy giá trị 0 chẳng hạn, thì đại lượng đó có thể nhận tất cả các giá trị với xác suất bằng nhau từ đến ; nếu đại lượng đã nhận một giá trị thì đại lượng đó chỉ được nhận một giá trị duy nhất, đúng bằng 0; nói chung, phạm vi giá trị có thể có phụ thuộc vào giá trị nào .
Hãy xem liệu những đại lượng này có tương quan với nhau không. Hãy tính thời điểm tương quan. Hãy nhớ rằng vì lý do đối xứng, chúng tôi nhận được:
. (8.6.12)
Để tính tích phân, chúng ta chia diện tích tích phân (hình tròn) thành bốn phần tương ứng với bốn góc tọa độ. Trong các ngành và số nguyên là dương, trong các ngành và nó là âm; về giá trị tuyệt đối, tích phân trên các phần này bằng nhau; do đó, tích phân (8.6.12) bằng 0 và các đại lượng không tương quan với nhau.
Vì vậy, chúng ta thấy rằng bản chất không tương quan của các biến ngẫu nhiên không phải lúc nào cũng hàm ý tính độc lập của chúng.
Hệ số tương quan không đặc trưng cho bất kỳ sự phụ thuộc nào mà chỉ mô tả cái gọi là sự phụ thuộc tuyến tính. Sự phụ thuộc xác suất tuyến tính của các biến ngẫu nhiên là khi một biến ngẫu nhiên tăng thì biến ngẫu nhiên kia có xu hướng tăng (hoặc giảm) theo quy luật tuyến tính. Xu hướng phụ thuộc tuyến tính này có thể ít nhiều rõ rệt, ít nhiều tiếp cận hàm số, tức là sự phụ thuộc tuyến tính gần nhất. Hệ số tương quan đặc trưng cho mức độ gần gũi của mối quan hệ tuyến tính giữa các biến ngẫu nhiên. Nếu các biến ngẫu nhiên có liên hệ với nhau bằng một mối quan hệ hàm tuyến tính chính xác:
thì , và lấy dấu “cộng” hoặc “trừ” tùy thuộc vào hệ số dương hay âm. Trong trường hợp tổng quát, khi các đại lượng và có liên hệ với nhau bằng sự phụ thuộc xác suất tùy ý thì hệ số tương quan có thể có giá trị trong giới hạn sau: chỉ có phạm vi thay đổi là thay đổi và giá trị trung bình của nó là không thay đổi; Đương nhiên, số lượng hóa ra không tương quan.
Cơm. 8.6.2 Hình.8.6.3
Hãy để chúng tôi đưa ra một số ví dụ về các biến ngẫu nhiên có mối tương quan tích cực và tiêu cực.
1. Cân nặng và chiều cao của một người có mối tương quan thuận chiều với nhau.
2. Thời gian điều chỉnh thiết bị để chuẩn bị vận hành và thời gian vận hành không gặp sự cố có liên quan đến mối tương quan tích cực (tất nhiên nếu thời gian được sử dụng một cách khôn ngoan). Ngược lại, thời gian dành cho việc chuẩn bị và số lượng lỗi được phát hiện trong quá trình vận hành thiết bị có mối tương quan nghịch.
3. Khi bắn trong một loạt đạn, tọa độ các điểm va chạm của từng viên đạn được kết nối với nhau bằng một mối tương quan dương (vì có những lỗi ngắm bắn phổ biến đối với tất cả các phát bắn, khiến mỗi viên đạn đều lệch khỏi mục tiêu như nhau).
4. Bắn hai phát vào mục tiêu; điểm tác động của phát bắn đầu tiên được ghi lại và một hiệu chỉnh được đưa vào tầm nhìn, tỷ lệ thuận với sai số của phát bắn đầu tiên có dấu ngược lại. Tọa độ các điểm va chạm của phát bắn thứ nhất và thứ hai sẽ có mối tương quan nghịch.
Nếu chúng ta có sẵn kết quả của một số thí nghiệm trên một hệ biến ngẫu nhiên, thì sự hiện diện hay vắng mặt của mối tương quan đáng kể giữa chúng có thể dễ dàng được đánh giá theo phép tính gần đúng đầu tiên bằng một biểu đồ trên đó tất cả các cặp giá trị của các biến ngẫu nhiên thu được từ thí nghiệm được mô tả dưới dạng điểm. Ví dụ: nếu các cặp giá trị đại lượng quan sát được định vị như trong Hình. 8.6.2 thì điều này cho thấy sự hiện diện của mối tương quan thuận được thể hiện rõ ràng giữa các đại lượng. Một mối tương quan dương thậm chí còn rõ ràng hơn, gần với sự phụ thuộc hàm tuyến tính, được quan sát thấy trong Hình 2. 8.6.3. Trong hình. Hình 8.6.4 cho thấy trường hợp tương quan âm tương đối yếu. Cuối cùng, trong hình. 8.6.5 minh họa trường hợp các biến ngẫu nhiên thực tế không tương quan. Trong thực tế, trước khi kiểm tra mối tương quan của các biến ngẫu nhiên, việc vẽ đồ thị các cặp giá trị quan sát được trên biểu đồ luôn hữu ích để đưa ra phán đoán định tính đầu tiên về loại tương quan.
Sự định nghĩa:
Momen tương quan của các biến ngẫu nhiên là kỳ vọng toán học của tích độ lệch của các biến này
Hãy nhớ lại rằng biểu thức trên là một phần tử của công thức phân tán tổng của hai biến ngẫu nhiên:
Bình luận:
Momen tương quan có thể được biểu diễn dưới dạng:
Bằng chứng:
Định lý:
Momen tương quan của hai biến ngẫu nhiên độc lập bằng 0
Bằng chứng:
Theo nhận xét:
Nhưng đối với các biến ngẫu nhiên độc lập
Sau đó cho các biến ngẫu nhiên độc lập và:
Sự định nghĩa:
Đại lượng không thứ nguyên được gọi là hệ số tương quan.
Định lý:
Giá trị tuyệt đối của mômen tương quan của hai biến ngẫu nhiên không vượt quá tích độ lệch chuẩn của chúng:
Bằng chứng:
Hãy giới thiệu biến ngẫu nhiên 
và tìm phương sai của nó:
Vì mọi phương sai đều không âm
Tương tự, chúng tôi giới thiệu một biến ngẫu nhiên 
và chúng tôi thấy rằng:
Sự định nghĩa:
Các biến ngẫu nhiên được gọi là không tương quan nếu và tương quan nếu.
Định lý:
Hệ số tương quan của các biến ngẫu nhiên liên hệ phụ thuộc tuyến tính bằng .
Bằng chứng:
Hãy tìm hệ số tương quan:
Chúng ta hãy lưu ý một số tính chất của hệ số tương quan.
1. Từ ví dụ 1, nếu là các biến ngẫu nhiên độc lập thì hệ số tương quan là 0.
Lưu ý rằng điều ngược lại không đúng.
2. Giá trị tuyệt đối của hệ số tương quan trong trường hợp tổng quát không vượt quá đơn vị:
Bằng chứng được rút ra từ công thức đã được chứng minh trước đây về thời điểm tương quan:
Chia cả hai vế của bất đẳng thức cho tích và nhận được
3. Hệ số tương quan đặc trưng cho giá trị tương đối (theo phân số) của độ lệch giữa kỳ vọng toán học của sản phẩm với tích của kỳ vọng toán học của các giá trị. Vì độ lệch như vậy chỉ xảy ra đối với các đại lượng phụ thuộc nên chúng ta có thể nói rằng hệ số tương quan đặc trưng cho mức độ gần gũi của mối quan hệ giữa và .
Tuyên bố này xuất phát từ đẳng thức đã được chứng minh trước đó: . Chúng ta hãy giảm thời điểm tương quan xuống hệ số tương quan:
Kulikov A. A. Forex cho người mới bắt đầu. Cẩm nang đầu cơ chứng khoán - St. Petersburg: Peter, 2007; Kommersant số 62 từ ngày 13/04/2007 – Thương mại thế giới sẽ chậm lại.
Bachelier L. Theorie de la sự suy đoán. // Annales de l "Ecole Normale Superieure. 1900. V. 17. P. 21-86. Mô tả về các ý tưởng của L. Bouchelier, số phận của chúng và sự phê phán hiện đại của chúng đều có trong các cuốn sách: Mandelbrot B. Disobedient to the thị trường, cuộc cách mạng fractal trong tài chính - trans. từ tiếng Anh - M.: Nhà xuất bản Williams, 2006; Cách dự đoán sự sụp đổ của thị trường tài chính - dịch từ tiếng Pháp - M.: Nhà xuất bản I-Trade, 2008.
Cootner Paul H. Đặc tính ngẫu nhiên của giá thị trường chứng khoán – Cambridge, MA, MIT Press
Harry M. Markowitz, Lựa chọn danh mục đầu tư, Tạp chí Tài chính, 7, số 1 (tháng 3 năm 1952), trang, 79-81.
Phần trình bày sử dụng tài liệu từ các cuốn sách sau: Sharp W. F., Alexander G. J., Bailey J. W. Investments - trans. từ tiếng Anh – M.: INFRA-M, 1997; Bromvich M. Phân tích hiệu quả kinh tế của vốn đầu tư - trans. từ tiếng Anh – M.: INFRA-M, 1996; Shiryaev V.I. Các mô hình thị trường tài chính. Danh mục đầu tư tối ưu, quản lý tài chính và rủi ro - Sách giáo khoa - M.: KomKniga, 2007; Shapoval A. B. Đầu tư: phương pháp toán học - M.: FORUM: INFRA-M, 2007; Korosteleva M. V. Phương pháp phân tích thị trường vốn - St. Petersburg: Peter, 2003.
Tobin J. đã thu hút sự chú ý đến sự thiếu hụt các chỉ số về kỳ vọng toán học và độ phân tán để so sánh danh mục đầu tư (Xem Shiryaev V.I. Mô hình thị trường tài chính... - trang 18-19). Tuy nhiên, việc sử dụng chúng được chứng minh bằng tính xây dựng của chúng.
Xem Askinadzi V.M. và cộng sự Kinh doanh đầu tư - Sách giáo khoa - M.: Market DS, 2007, trang 238-241 hoặc Mô hình thị trường tài chính của Shiryaev. Danh mục đầu tư tối ưu, quản lý tài chính và rủi ro - Sách giáo khoa - M.: KomKniga, 2007, tr.
Xem Bromwich M. Phân tích hiệu quả kinh tế của việc đầu tư vốn - trans. từ tiếng Anh – M.: INFRA-M, 1996, trang 343. Có thể tìm thấy thảo luận về các biện pháp đo lường rủi ro thay thế, ví dụ, giảm xuống loại thông thường của cái gọi là phân phối logic chuẩn trong cuốn sách: Sharp W. F., Alexander G. J., Bailey J.V. Investments - trans. từ tiếng Anh – M.: INFRA-M, 1997, trang 179-181.
Xem Bromwich M. Anh. Ồ. trang 342.
Người ta tin rằng bước đầu tiên trong việc tạo ra lý thuyết về lợi ích là việc hình thành cái gọi là nghịch lý St. Petersburg. Điều tò mò là Nikolai Bernoulli đã đưa ra nghịch lý này và Daniel Bernoulli đã cho ông lời giải thích - Xem: Bernoulli D. Kinh nghiệm về một lý thuyết mới về đo lường lô / D. Bernoulli; làn đường A. Nardova // Những cột mốc quan trọng trong tư tưởng kinh tế / comp. và chung biên tập. V. M. Galperin. St. Petersburg, 1993. T. 1: Lý thuyết về hành vi và nhu cầu của người tiêu dùng. trang 11-27.
Những tài liệu hữu ích về lý thuyết hữu ích có thể tìm thấy trong các cuốn sách về lý thuyết trò chơi, cụ thể là: R.D. Lewis, H. Raifa Games and Solutions - Trans. từ tiếng Anh - M.: Nhà xuất bản nước ngoài. thắp sáng, 1961; Neumann von John, Morgenstern O. Lý thuyết trò chơi và hành vi kinh tế - Trans. từ tiếng Anh - M.: Nauka, 1970.
Xem Phụ lục mô hình của G. Markowitz
Xem cuốn sách Các mô hình thị trường tài chính của Shiryaev V.I. Danh mục đầu tư tối ưu, quản lý tài chính và rủi ro - M.: KomKniga, 2007, trang 25-26.
Công thức phân tích của mô hình Markowitz có thể tìm thấy trong các cuốn sách: Shapoval A. B. Investments: các phương pháp toán học - M.: FORUM: INFRA-M, 2007, tr. 21-22; Askinadzi V.M. và cộng sự Kinh doanh đầu tư - Sách giáo khoa - M.: Market DS, 2007, tr.
Chúng tôi sử dụng công thức được đề xuất trong cuốn sách: Askinadzi V.M. et al. Kinh doanh đầu tư - Sách giáo khoa - M.: Market DS, 2007, tr. 256-257.
Xem trong sách: Shapoval A. B. Đầu tư: phương pháp toán học - M.: FORUM: INFRA-M, 2007, trang 16-18 (phần “Mô hình Markowitz”).
Xem: Sharp W. Uk. Ồ. trang 213-218, 226-228, trang 271 – về mối liên hệ và sự khác biệt giữa mô hình thị trường và mô hình CAPM; cũng có Askinadzi V.M. trích dẫn, trang 278-294; Shiryaev V.V. Anh. trích dẫn, trang 47-58
Xem: Sharp W. F., Alexander G. J., Bailey J. W. Investments – trans. từ tiếng Anh – M.: INFRA-M, 1997, trang 316-337.
Xem: Định giá doanh nghiệp - ed. Gryaznova A.G., Fedotova M.A. – M.: Tài chính và Thống kê, 2007, tr.
Xem: Shapoval A. B. Đầu tư: phương pháp toán học - M.: DIỄN ĐÀN: INFRA-M, 2007, chương 3.
Xem Mandelbrot B., Hudson R.L. Thị trường ngang ngược: cuộc cách mạng phân dạng trong tài chính - chuyển đổi. từ tiếng Anh – M.: Nhà xuất bản Williams, 2006, 187 tr.
Xem ibid., trang 34-39.
Xem: Sornette D. Cách dự đoán sự sụp đổ của thị trường tài chính - trans. từ tiếng Pháp – M.: Nhà xuất bản “I-trade”, 2008, tr. 19-22.
Phần này chủ yếu dựa vào tài liệu từ cuốn: Lý thuyết kinh tế (New Palgraiv) - trans. từ tiếng Anh – M.: INFRA-M, 2004, trang 263-273 – chương Giả thuyết thị trường hiệu quả, tác giả - Berton G, Malkiel. Liên kết đến các tác giả của các nghiên cứu khác nhau cũng được thực hiện dựa trên các tài liệu trong bài viết này. Xem thêm: Burton Malkiel “A Random Walk Down Wall Street” - trans. từ tiếng Anh - Minsk: Potpourri, 2006. Cuốn sách cuối cùng đã được xuất bản cách đây 30 năm. Điều gây tò mò là vào cuối những năm 90, một cuốn sách khác đã được xuất bản: Andrew Lowe. Một cuộc đi bộ không ngẫu nhiên xuống Phố Wall. B. Melkiel nói chung là người ủng hộ giả thuyết thị trường hiệu quả, còn Andrew Law thì ngược lại.
Xem: Chebotarev Yu.N. Tính ngẫu nhiên và không ngẫu nhiên của giá trao đổi - M.: SmartBook; I-trade, 2008, 198.
Tính bất biến là tính bất biến của bất kỳ đại lượng nào khi thay đổi các điều kiện vật lý hoặc liên quan đến một số phép biến đổi, ví dụ phép biến đổi tọa độ và thời gian khi chuyển từ hệ quy chiếu quán tính này sang hệ quy chiếu quán tính khác (bất biến tương đối tính). Bạn có thể tìm thấy mô tả gần như chặt chẽ về “bước đi ngẫu nhiên” trong phiên bản đơn giản nhất của “quy trình Wiener” trong cuốn sách: Shapoval A.B. Đầu tư: phương pháp toán học - Sách giáo khoa - M.: DIỄN ĐÀN: INFRA-M, 2007, trang 42-43.
Một quá trình ngẫu nhiên được gọi là Wiener nếu thỏa mãn các điều kiện sau:
1) Quá trình bắt đầu lại từ đầu, nghĩa là;
2) Biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với kỳ vọng toán học bằng 0 và phương sai bằng nhau tại bất kỳ thời điểm nào;
3) Đối với các khoảng không chồng chéo tùy ý và các biến ngẫu nhiên và độc lập.
Nói chung, hướng dẫn sử dụng của Shapoval A.B. Chúng tôi khuyên bạn nên tự làm quen với các mô hình toán học về phân tích danh mục đầu tư và định giá quyền chọn. Bài trình bày khá chặt chẽ về thực hành và ngắn gọn (96 trang) nhưng giới thiệu lý thuyết tài chính hiện đại. Trong chương về phân tích danh mục đầu tư, chúng tôi sử dụng nhiều
Xem tài liệu từ Wikipedia:
Một chuỗi các biến ngẫu nhiên được gọi là martingales theo thời gian rời rạc nếu:
Cho một chuỗi các biến ngẫu nhiên khác. Khi đó, một chuỗi các biến ngẫu nhiên được gọi là martingale tương đối hoặc -martingale nếu:
Cho một dãy các biến ngẫu nhiên. Khi đó, một chuỗi các biến ngẫu nhiên được gọi là martingale phụ (siêu) đối với nếu:
Hiệu ứng này có thể được giải thích bằng hiệu ứng thuế. Vào cuối năm, các nhà đầu tư bán tháo cổ phiếu, chủ yếu là của các công ty nhỏ, để mô phỏng tình trạng thua lỗ và dễ dàng nộp thuế, giá cổ phiếu giảm và vào tháng 1, họ thậm chí có thể quay trở lại với khoản thặng dư - Xem: Burton Malkiel. Bước đi ngẫu nhiên xuống Phố Wall, trang 316-317.
Hiệu ứng cuối tuần và hiệu ứng thứ Hai không có lời giải thích rõ ràng. Hiệu ứng này cho thấy giá cổ phiếu vào thứ Hai thấp hơn vào tối thứ Sáu. Trong cuốn A Random Walk Down Wall Street, Burton Malkiel giải thích chi tiết hơn về tác động này: Giá cổ phiếu vào sáng thứ Hai cao hơn một chút so với tối thứ Sáu, và đến tối thứ Hai thì giá cổ phiếu thấp hơn, do đó lợi nhuận tương đối âm. Vì vậy, bạn nên mua cổ phiếu vào tối thứ Hai. Nhưng một thử nghiệm về hiệu ứng do tác giả thực hiện bằng cách sử dụng tài liệu từ Sở giao dịch chứng khoán New York từ tháng 5 đến tháng 7 năm 2002 cho thấy hiệu ứng chỉ xuất hiện ở tám trong số mười ba ngày cuối tuần.
Chiến lược “mua và giữ” được thực hiện bởi cái gọi là “quỹ chỉ số”, giữ cơ cấu đầu tư của họ phù hợp với các chỉ số chứng khoán phổ biến. Theo cổng thông tin “Vlozhi.ru”, ở Nga năm 2007 có 11 quỹ tương hỗ hoạt động dưới dạng quỹ chỉ số. Quỹ chỉ số đầu tiên của Nga được thành lập vào năm 2003. Ở Hoa Kỳ, những quỹ như vậy đã hoạt động được 30 năm. Các quỹ của Nga được hướng dẫn bởi các chỉ số MICEX hoặc RTS (sau khi sửa đổi vào năm 2006, chỉ số RTS bắt đầu tính đến tính thanh khoản của chứng khoán, điều này cần thiết để quỹ chỉ số hoạt động chính xác). Tất nhiên, các quỹ chỉ số không thể tuân thủ nghiêm ngặt các chỉ số vì sẽ không hợp lý nếu liên tục thay đổi các khoản đầu tư. Xem tài liệu về quỹ chỉ số trên cổng thông tin nhà đầu tư tư nhân “Vlozhi.ru”: http://www.vlozhi.ru/
Việc chia tách cổ phiếu làm giảm mệnh giá cổ phiếu, khiến chúng dễ tiếp cận hơn với các cổ đông nhỏ hơn. Việc mở rộng thị trường chứng khoán có thể làm tăng sự quan tâm đến chúng và do đó, làm tăng nhu cầu về chúng, và do đó làm tăng giá trị thị trường của cổ phiếu.
Về kết quả hoạt động của các quỹ tương hỗ so với kết quả hoạt động của các cổ phiếu chỉ số trong những năm 1980-1990, xem: Burton Malkiel. Bước đi ngẫu nhiên trên Phố Wall, trang 238. Trong những năm 1980, các quỹ tương hỗ hoạt động tốt hơn S&P 500; trong những năm 1990, chúng hoạt động kém hiệu quả. Ngoài ra còn có các tài liệu hiện đại khác về hiệu quả của quỹ tương hỗ. Ví dụ, dựa trên dữ liệu từ năm 1968 đến năm 2002, một so sánh được thực hiện giữa tỷ trọng tiền mặt trong tài sản của các quỹ tương hỗ và chỉ số S&P 500 cho thấy tỷ trọng tiền mặt trong tài sản của các quỹ cao chính xác ở mức. những thời điểm khi chỉ số ở mức thấp, tức là lẽ ra phải làm ngược lại, hãy tiêu tiền mặt để mua cổ phiếu - trang 244-248.
Để biết kết quả tính toán, xem: Burton Malkiel. Bước đi ngẫu nhiên xuống Phố Wall, trang 235.
Xem số tạp chí Tài chính năm 2009-2010.
Xem Anh Cả A. Cách chơi và chiến thắng trên thị trường chứng khoán: Tâm lý học. Phân tích kỹ thuật. Kiểm soát vốn - M.: Sách kinh doanh Alpina, 2007, trang 29-35.
Xem: Damodaran A. Câu chuyện đầu tư: vạch trần những lầm tưởng về chiến lược chứng khoán đôi bên cùng có lợi - trans. từ tiếng Anh St. Petersburg: Peter, 2007, trang 396-428.
Xem: Hagstrom R. J. Đầu tư. Nghệ thuật tự do cuối cùng - trans. từ tiếng Anh – M.: ZAO “Olymp-Business”, 2005.
So sánh lợi nhuận trung bình hàng năm và rủi ro (độ lệch chuẩn lợi nhuận) của cổ phiếu của các công ty lớn và nhỏ trong giai đoạn 1926-2001 cho thấy lợi nhuận trung bình hàng năm của cổ phiếu của các công ty nhỏ là 17,5% và của các công ty lớn - 12,4 với rủi ro lần lượt là 35,3 và 20,8%. Thu nhập trung bình hàng tháng dự kiến trong giai đoạn 1963-1990 cũng cho thấy sự phụ thuộc vào quy mô công ty. Đồng thời, vào những năm 90, tình hình đã thay đổi, các công ty có vốn hóa lớn bắt đầu tạo ra lợi nhuận lớn. Vấn đề dường như là tỷ trọng của các nhà đầu tư tổ chức trong cổ phiếu của công ty lớn đã tăng lên và cổ phiếu của công ty nhỏ đã mất đi một phần tính thanh khoản - Xem Burton Malkiel. Bước đi ngẫu nhiên xuống Phố Wall, trang 265, 333-334.
Dữ liệu từ những năm 1980 cho thấy các cổ phiếu có bội số thu nhập thấp (tỷ lệ giá cổ phiếu trên thu nhập ròng của công ty) có lợi nhuận cao hơn. Tương tự như vậy, các cổ phiếu có tỷ lệ giá trên tài sản thấp có xu hướng tạo ra lợi nhuận cao hơn - Xem Burton Malkiel. Bước đi ngẫu nhiên xuống Phố Wall, trang 334-340.
Bằng chứng dựa trên tài liệu từ cuốn sách: Bromwich Michael. Phân tích hiệu quả kinh tế của vốn đầu tư - M.: INFRA-M, 1996.
Xem B.V. Gnedenko. Giáo trình lý thuyết xác suất - M.: Nauka, 1969, tr. 179 (Chương 5. Đặc tính số của biến ngẫu nhiên)