Có, vâng: cấp số cộng không phải là đồ chơi dành cho bạn :) Chà, các bạn ơi, nếu bạn đang đọc văn bản này thì bằng chứng giới hạn nội bộ cho tôi biết rằng bạn chưa biết cấp số cộng là gì, nhưng bạn thực sự (không, như thế: SOOOOO!) muốn biết. Vì vậy, tôi sẽ không làm phiền bạn bằng những lời giới thiệu dài dòng mà sẽ đi thẳng vào vấn đề.
Đầu tiên, một vài ví dụ. Chúng ta hãy xem xét một số bộ số:
- 1; 2; 3; 4; ...
- 15; 20; 25; 30; ...
- $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$
Tất cả những bộ này có điểm gì chung? Thoạt nhìn thì không có gì. Nhưng thực ra có một cái gì đó. Cụ thể là: mỗi phần tử tiếp theo khác phần tử trước đó bởi cùng một số.
Phán xét cho chính mình. Bộ đầu tiên chỉ đơn giản là các số liên tiếp, số tiếp theo nhiều hơn số trước một đơn vị. Trong trường hợp thứ hai, chênh lệch giữa các số liền kề đã là năm, nhưng chênh lệch này vẫn không đổi. Trong trường hợp thứ ba, hoàn toàn có rễ. Tuy nhiên, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$ và $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, tức là. và trong trường hợp này, mỗi phần tử tiếp theo chỉ tăng thêm $\sqrt(2)$ (và đừng sợ rằng con số này là vô tỷ).
Vì vậy: tất cả các dãy như vậy được gọi là cấp số cộng. Hãy đưa ra một định nghĩa chặt chẽ:
Sự định nghĩa. Một dãy số mà mỗi số tiếp theo khác số trước đó một khoảng bằng nhau được gọi là cấp số cộng. Lượng chênh lệch giữa các số được gọi là chênh lệch lũy tiến và thường được biểu thị bằng chữ cái $d$.
Ký hiệu: $\left(((a)_(n)) \right)$ là chính tiến trình đó, $d$ là sự khác biệt của nó.
Và chỉ một vài lưu ý quan trọng. Thứ nhất, sự tiến triển chỉ được xem xét ra lệnh dãy số: chúng được phép đọc theo đúng thứ tự được viết - và không có gì khác. Các số không thể được sắp xếp lại hoặc hoán đổi.
Thứ hai, bản thân dãy có thể là hữu hạn hoặc vô hạn. Ví dụ, tập hợp (1; 2; 3) rõ ràng là một cấp số cộng hữu hạn. Nhưng nếu bạn viết điều gì đó theo tinh thần (1; 2; 3; 4; ...) - thì đây đã là một sự tiến triển vô hạn. Dấu chấm lửng sau số 4 dường như gợi ý rằng còn khá nhiều con số nữa sắp xuất hiện. Vô số, chẳng hạn.
Tôi cũng muốn lưu ý rằng sự tiến bộ có thể tăng hoặc giảm. Chúng tôi đã thấy những cái tăng dần - cùng một bộ (1; 2; 3; 4; ...). Dưới đây là ví dụ về sự tiến triển giảm dần:
- 49; 41; 33; 25; 17; ...
- 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
- $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$
Được rồi, được rồi: ví dụ cuối cùng có vẻ quá phức tạp. Nhưng phần còn lại, tôi nghĩ, bạn hiểu. Vì vậy, chúng tôi đưa ra các định nghĩa mới:
Sự định nghĩa. Một cấp số cộng được gọi là:
- tăng nếu mỗi phần tử tiếp theo lớn hơn phần tử trước;
- ngược lại, giảm nếu mỗi phần tử tiếp theo nhỏ hơn phần tử trước.
Ngoài ra, còn có cái gọi là chuỗi "đứng yên" - chúng bao gồm cùng một số lặp lại. Ví dụ: (3; 3; 3; ...).
Chỉ còn lại một câu hỏi: làm thế nào để phân biệt tiến trình tăng dần với tiến trình giảm dần? May mắn thay, mọi thứ ở đây chỉ phụ thuộc vào dấu của số $d$, tức là. sự khác biệt về tiến triển:
- Nếu $d \gt 0$, thì cấp số nhân sẽ tăng lên;
- Nếu $d \lt 0$, thì cấp số nhân rõ ràng đang giảm dần;
- Cuối cùng, có trường hợp $d=0$ - trong trường hợp này toàn bộ tiến trình được rút gọn thành một chuỗi dừng gồm các số giống nhau: (1; 1; 1; 1; ...), v.v.
Hãy thử tính hiệu $d$ cho ba cấp số giảm dần nêu trên. Để làm điều này, chỉ cần lấy hai phần tử liền kề bất kỳ (ví dụ: phần tử thứ nhất và thứ hai) và trừ số ở bên trái khỏi số ở bên phải. Nó sẽ trông giống thế này:
- 41−49=−8;
- 12−17,5=−5,5;
- $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.
Như chúng ta có thể thấy, trong cả ba trường hợp, sự khác biệt thực sự đều âm. Và bây giờ chúng ta đã ít nhiều tìm ra các định nghĩa, đã đến lúc tìm hiểu cách mô tả các cấp số nhân và chúng có những đặc tính gì.
Thuật ngữ lũy tiến và công thức lặp lại
Vì các phần tử trong dãy của chúng ta không thể hoán đổi nên chúng có thể được đánh số:
\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \Phải\)\]
Các phần tử riêng lẻ của tập hợp này được gọi là thành viên của một cấp số cộng. Chúng được biểu thị bằng một số: thành viên thứ nhất, thành viên thứ hai, v.v.
Ngoài ra, như chúng ta đã biết, các số hạng lân cận của cấp số liên hệ với nhau theo công thức:
\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Rightarrow ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]
Tóm lại, để tìm số hạng thứ $n$ của một cấp số, bạn cần biết số hạng thứ $n-1$ và hiệu $d$. Công thức này được gọi là định kỳ, vì với sự trợ giúp của nó, bạn chỉ có thể tìm thấy bất kỳ số nào khi biết số trước đó (và trên thực tế, tất cả các số trước đó). Điều này rất bất tiện, vì vậy có một công thức xảo quyệt hơn giúp giảm bất kỳ phép tính nào về số hạng đầu tiên và sự khác biệt:
\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d\]
Có lẽ bạn đã từng gặp công thức này. Họ thích đưa nó vào đủ loại sách tham khảo và sách giải pháp. Và trong bất kỳ cuốn sách giáo khoa toán học nhạy cảm nào, nó là một trong những cuốn sách đầu tiên.
Tuy nhiên, tôi khuyên bạn nên luyện tập một chút.
Nhiệm vụ số 1. Viết ba số hạng đầu tiên của cấp số cộng $\left(((a)_(n)) \right)$ if $((a)_(1))=8,d=-5$.
Giải pháp. Vì vậy, chúng ta biết số hạng đầu tiên $((a)_(1))=8$ và sự khác biệt của cấp số $d=-5$. Hãy sử dụng công thức vừa cho và thay thế $n=1$, $n=2$ và $n=3$:
\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(căn chỉnh)\]
Trả lời: (8; 3; −2)
Đó là tất cả! Xin lưu ý: sự tiến bộ của chúng tôi đang giảm dần.
Tất nhiên, $n=1$ không thể thay thế được - chúng ta đã biết số hạng đầu tiên. Tuy nhiên, bằng cách thay thế sự thống nhất, chúng tôi tin rằng ngay cả đối với số hạng đầu tiên, công thức của chúng tôi vẫn đúng. Trong những trường hợp khác, mọi thứ đều trở thành số học tầm thường.
Nhiệm vụ số 2. Viết ba số hạng đầu tiên của một cấp số cộng nếu số hạng thứ bảy của nó bằng −40 và số hạng thứ mười bảy của nó bằng −50.
Giải pháp. Hãy viết điều kiện bài toán bằng những thuật ngữ quen thuộc:
\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]
\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(căn chỉnh) \right.\]
\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \Phải.\]
Tôi đặt dấu hiệu hệ thống vì những yêu cầu này phải được đáp ứng đồng thời. Bây giờ hãy lưu ý rằng nếu chúng ta trừ phương trình thứ nhất khỏi phương trình thứ hai (chúng ta có quyền làm điều này vì chúng ta có một hệ), chúng ta sẽ nhận được điều này:
\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(căn chỉnh)\]
Thật dễ dàng để tìm thấy sự khác biệt về tiến trình! Tất cả những gì còn lại là thay số tìm được vào bất kỳ phương trình nào của hệ. Ví dụ: trong lần đầu tiên:
\[\begin(ma trận) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(ma trận)\]
Bây giờ, đã biết số hạng đầu tiên và sự khác biệt, vẫn còn phải tìm số hạng thứ hai và thứ ba:
\[\begin(căn chỉnh) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(căn chỉnh)\]
Sẵn sàng! Vấn đề đã được giải quyết.
Đáp án: (−34; −35; −36)
Hãy lưu ý đặc tính thú vị của cấp số nhân mà chúng tôi đã khám phá: nếu chúng tôi lấy các số hạng $n$th và $m$th và trừ chúng với nhau, chúng tôi sẽ nhận được hiệu của cấp số nhân nhân với số $n-m$:
\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]
Một thuộc tính đơn giản nhưng rất hữu ích mà bạn chắc chắn cần biết - với sự trợ giúp của nó, bạn có thể tăng tốc đáng kể việc giải quyết nhiều vấn đề cấp tiến. Đây là một ví dụ rõ ràng về điều này:
Nhiệm vụ số 3. Số hạng thứ năm của cấp số cộng là 8,4 và số hạng thứ mười là 14,4. Tìm số hạng thứ mười lăm của tiến trình này.
Giải pháp. Vì $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$, và chúng ta cần tìm $((a)_(15))$, chúng ta lưu ý như sau:
\[\begin(căn chỉnh) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(căn chỉnh)\]
Nhưng theo điều kiện $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, do đó $5d=6$, từ đó chúng ta có:
\[\begin(căn chỉnh) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14.4=20.4. \\ \end(căn chỉnh)\]
Đáp án: 20,4
Đó là tất cả! Chúng tôi không cần phải tạo bất kỳ hệ phương trình nào cũng như tính số hạng đầu tiên và hiệu - mọi thứ đã được giải chỉ trong vài dòng.
Bây giờ chúng ta hãy xem xét một loại vấn đề khác - tìm kiếm số hạng phủ định và khẳng định của một cấp số. Không có gì bí mật rằng nếu một tiến trình tăng lên và số hạng đầu tiên của nó là số âm thì sớm hay muộn số hạng dương sẽ xuất hiện trong đó. Và ngược lại: số hạng của một lũy tiến giảm dần sớm hay muộn sẽ trở thành số âm.
Đồng thời, không phải lúc nào cũng có thể tìm thấy khoảnh khắc này một cách “trực diện” bằng cách lần lượt xem xét các yếu tố. Thông thường, các bài toán được viết theo cách mà nếu không biết công thức, việc tính toán sẽ mất vài tờ giấy - chúng ta sẽ ngủ quên trong khi tìm ra câu trả lời. Vì vậy, chúng ta hãy cố gắng giải quyết những vấn đề này một cách nhanh hơn.
Nhiệm vụ số 4. Có bao nhiêu số hạng phủ định trong cấp số cộng −38,5; −35,8; ...?
Giải pháp. Vì vậy, $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, từ đó chúng ta tìm thấy ngay sự khác biệt:
Lưu ý rằng sự khác biệt là tích cực, do đó tiến trình tăng lên. Số hạng đầu tiên là số âm, vì vậy thực sự tại một thời điểm nào đó chúng ta sẽ bắt gặp những số dương. Câu hỏi duy nhất là khi nào điều này sẽ xảy ra.
Chúng ta hãy thử tìm xem tính âm của các số hạng tồn tại trong bao lâu (tức là lên tới số tự nhiên $n$):
\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \phải. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rightarrow ((n)_(\max ))=15. \\ \end(căn chỉnh)\]
Dòng cuối cùng yêu cầu một số lời giải thích. Vì vậy, chúng tôi biết rằng $n \lt 15\frac(7)(27)$. Mặt khác, chúng tôi chỉ hài lòng với các giá trị nguyên của số (hơn nữa: $n\in \mathbb(N)$), vì vậy số lớn nhất cho phép chính xác là $n=15$, và không có trường hợp nào là 16 .
Nhiệm vụ số 5. Trong cấp số cộng $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Tìm số hạng dương đầu tiên của cấp số này.
Đây chính xác là vấn đề tương tự như vấn đề trước, nhưng chúng ta không biết $((a)_(1))$. Nhưng các số hạng lân cận đều đã biết: $((a)_(5))$ và $((a)_(6))$, vì vậy chúng ta có thể dễ dàng tìm thấy sự khác biệt của cấp số:
Ngoài ra, chúng ta hãy thử biểu diễn số hạng thứ năm thông qua số hạng đầu tiên và hiệu bằng cách sử dụng công thức chuẩn:
\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(căn chỉnh)\]
Bây giờ chúng ta tiến hành tương tự với nhiệm vụ trước đó. Chúng ta hãy tìm hiểu xem các số dương trong chuỗi của chúng ta sẽ xuất hiện tại điểm nào:
\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Rightarrow ((n)_(\min ))=56. \\ \end(căn chỉnh)\]
Nghiệm số nguyên nhỏ nhất của bất đẳng thức này là số 56.
Xin lưu ý: trong nhiệm vụ cuối cùng, mọi thứ đều dẫn đến sự bất bình đẳng nghiêm ngặt, vì vậy tùy chọn $n=55$ sẽ không phù hợp với chúng tôi.
Bây giờ chúng ta đã học được cách giải những bài toán đơn giản, hãy chuyển sang những bài toán phức tạp hơn. Nhưng trước tiên, hãy nghiên cứu một tính chất rất hữu ích khác của cấp số cộng, nó sẽ giúp chúng ta tiết kiệm rất nhiều thời gian và các ô không bằng nhau trong tương lai :)
Giá trị trung bình số học và vết lõm bằng nhau
Chúng ta hãy xem xét một số số hạng liên tiếp của cấp số cộng tăng dần $\left(((a)_(n)) \right)$. Hãy thử đánh dấu chúng trên trục số:
Thuật ngữ của cấp số cộng trên trục sốTôi đã đánh dấu cụ thể các thuật ngữ tùy ý $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$ chứ không phải một số $((a)_(1)) ,\ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$, v.v. Bởi vì quy tắc mà tôi sẽ cho bạn biết hiện hoạt động tương tự cho bất kỳ “phân đoạn” nào.
Và quy tắc rất đơn giản. Hãy nhớ công thức lặp lại và viết nó ra cho tất cả các thuật ngữ được đánh dấu:
\[\begin(căn chỉnh) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(căn chỉnh)\]
Tuy nhiên, những đẳng thức này có thể được viết lại khác nhau:
\[\begin(căn chỉnh) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(căn chỉnh)\]
Vâng, vậy thì sao? Và thực tế là các số hạng $((a)_(n-1))$ và $((a)_(n+1))$ nằm ở cùng một khoảng cách với $((a)_(n)) $ . Và khoảng cách này bằng $d$. Điều tương tự cũng có thể nói về các thuật ngữ $((a)_(n-2))$ và $((a)_(n+2))$ - chúng cũng bị xóa khỏi $((a)_(n) )$ ở cùng một khoảng cách bằng $2d$. Chúng ta có thể tiếp tục đến vô tận, nhưng ý nghĩa được minh họa rõ ràng qua bức tranh
Các điều khoản của sự tiến triển nằm ở cùng một khoảng cách từ trung tâm Điều này có ý nghĩa gì với chúng ta? Điều này có nghĩa là có thể tìm thấy $((a)_(n))$ nếu biết các số lân cận:
\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]
Chúng ta đã rút ra một phát biểu xuất sắc: mọi số hạng của một cấp số cộng đều bằng trung bình số học của các số hạng lân cận nó! Hơn nữa: chúng ta có thể lùi từ $((a)_(n))$ sang trái và sang phải không phải một bước mà là $k$ bước - và công thức sẽ vẫn đúng:
\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]
Những thứ kia. chúng ta có thể dễ dàng tìm thấy một số $((a)_(150))$ nếu chúng ta biết $((a)_(100))$ và $((a)_(200))$, bởi vì $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. Thoạt nhìn, có vẻ như thực tế này không mang lại cho chúng ta điều gì hữu ích. Tuy nhiên, trong thực tế, nhiều bài toán được thiết kế đặc biệt để sử dụng trung bình số học. Hãy xem:
Nhiệm vụ số 6. Tìm tất cả các giá trị của $x$ sao cho các số $-6((x)^(2))$, $x+1$ và $14+4((x)^(2))$ là các số hạng liên tiếp của một cấp số cộng (theo thứ tự được chỉ ra).
Giải pháp. Vì những số này là thành viên của một cấp số, điều kiện trung bình số học được thỏa mãn đối với chúng: phần tử trung tâm $x+1$ có thể được biểu diễn theo các phần tử lân cận:
\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(căn chỉnh)\]
Kết quả là một phương trình bậc hai cổ điển. Nguồn gốc của nó: $x=2$ và $x=-3$ là câu trả lời.
Đáp án: −3; 2.
Nhiệm vụ số 7. Tìm các giá trị của $$ mà các số $-1;4-3;(()^(2))+1$ tạo thành một cấp số cộng (theo thứ tự đó).
Giải pháp. Chúng ta hãy biểu diễn lại số hạng ở giữa thông qua trung bình số học của các số hạng lân cận:
\[\begin(căn chỉnh) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2 \right.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(căn chỉnh)\]
Phương trình bậc hai nữa. Và một lần nữa có hai nghiệm: $x=6$ và $x=1$.
Trả lời 1; 6.
Nếu trong quá trình giải một bài toán, bạn đưa ra một số con số khủng khiếp hoặc bạn không hoàn toàn chắc chắn về tính đúng đắn của các câu trả lời tìm được, thì có một kỹ thuật tuyệt vời cho phép bạn kiểm tra: chúng ta đã giải bài toán một cách chính xác chưa?
Giả sử trong bài toán số 6, chúng ta nhận được câu trả lời −3 và 2. Làm cách nào chúng ta có thể kiểm tra xem những câu trả lời này có đúng không? Hãy cắm chúng vào tình trạng ban đầu và xem điều gì sẽ xảy ra. Hãy để tôi nhắc bạn rằng chúng ta có ba số ($-6(()^(2))$, $+1$ và $14+4(()^(2))$), chúng phải tạo thành một cấp số cộng. Hãy thay thế $x=-3$:
\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(căn chỉnh)\]
Chúng ta có các số −54; −2; 50 chênh lệch 52 chắc chắn là một cấp số cộng. Điều tương tự cũng xảy ra với $x=2$:
\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(căn chỉnh)\]
Lại là một tiến trình, nhưng có chênh lệch là 27. Như vậy, vấn đề đã được giải quyết một cách chính xác. Những ai muốn có thể tự mình kiểm tra vấn đề thứ hai, nhưng tôi sẽ nói ngay: mọi thứ đều đúng ở đó.
Nói chung, trong khi giải các bài toán cuối cùng, chúng tôi phát hiện ra một sự thật thú vị khác cũng cần được ghi nhớ:
Nếu ba số sao cho số thứ hai là trung bình số học của số đầu tiên và số cuối cùng thì các số này tạo thành một cấp số cộng.
Trong tương lai, việc hiểu được tuyên bố này sẽ cho phép chúng ta “xây dựng” các tiến trình cần thiết theo đúng nghĩa đen dựa trên các điều kiện của bài toán. Nhưng trước khi tiến hành “xây dựng” như vậy, chúng ta nên chú ý đến một thực tế nữa, tiếp theo trực tiếp từ những gì đã được thảo luận.
Nhóm và tổng hợp các phần tử
Hãy quay trở lại trục số một lần nữa. Chúng ta hãy lưu ý rằng có một số thành viên của quá trình tiến triển, có lẽ nằm trong số đó. có giá trị rất nhiều thành viên khác:
Có 6 phần tử được đánh dấu trên trục sốHãy thử biểu diễn “đuôi bên trái” thông qua $((a)_(n))$ và $d$, và “đuôi bên phải” thông qua $((a)_(k))$ và $d$. Nó rất đơn giản:
\[\begin(căn chỉnh) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(căn chỉnh)\]
Bây giờ lưu ý rằng số tiền sau đây bằng nhau:
\[\begin(căn chỉnh) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(căn chỉnh)\]
Nói một cách đơn giản, nếu chúng ta coi hai phần tử bắt đầu của tiến trình, tổng cộng bằng một số $S$, và sau đó bắt đầu bước từ các phần tử này theo hướng ngược nhau (hướng về nhau hoặc ngược lại để di chuyển ra xa), sau đó tổng các phần tử mà chúng ta sẽ gặp cũng sẽ bằng nhau$S$. Điều này có thể được thể hiện rõ ràng nhất bằng đồ họa:
Các vết lõm bằng nhau cho số lượng bằng nhau Hiểu được thực tế này sẽ cho phép chúng ta giải quyết các vấn đề về cơ bản có mức độ phức tạp cao hơn những vấn đề mà chúng ta đã xem xét ở trên. Ví dụ:
Nhiệm vụ số 8. Xác định hiệu của một cấp số cộng trong đó số hạng thứ nhất là 66, tích của số hạng thứ hai và thứ mười hai là nhỏ nhất có thể.
Giải pháp. Hãy viết ra tất cả những gì chúng ta biết:
\[\begin(căn chỉnh) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(căn chỉnh)\]
Vì vậy, chúng ta không biết sự khác biệt lũy tiến $d$. Trên thực tế, toàn bộ giải pháp sẽ được xây dựng xung quanh sự khác biệt, vì tích $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ có thể được viết lại như sau:
\[\begin(căn chỉnh) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \end(căn chỉnh)\]
Đối với những người trong nhóm: Tôi lấy tổng hệ số nhân là 11 trong khung thứ hai. Do đó, tích mong muốn là hàm bậc hai đối với biến $d$. Do đó, hãy xem xét hàm $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - đồ thị của nó sẽ là một parabol với các nhánh hướng lên, bởi vì nếu chúng ta mở rộng dấu ngoặc, chúng ta sẽ nhận được:
\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(căn chỉnh)\]
Như bạn có thể thấy, hệ số của số hạng cao nhất là 11 - đây là một số dương, vì vậy chúng ta thực sự đang xử lý một parabol có các nhánh hướng lên trên:
đồ thị của hàm bậc hai - parabol
Xin lưu ý: parabol này lấy giá trị tối thiểu tại đỉnh của nó với hoành độ $((d)_(0))$. Tất nhiên, chúng ta có thể tính hoành độ này bằng cách sử dụng sơ đồ tiêu chuẩn (có công thức $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), nhưng sẽ hợp lý hơn nhiều khi lưu ý rằng đỉnh mong muốn nằm trên trục đối xứng của parabol, do đó điểm $((d)_(0))$ cách đều các nghiệm của phương trình $f\left(d \right)=0$:
\[\begin(căn chỉnh) & f\left(d \right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(căn chỉnh)\]
Đó là lý do tại sao tôi không vội mở dấu ngoặc: ở dạng ban đầu, rễ rất rất dễ tìm. Do đó, trục hoành bằng trung bình số học của các số −66 và −6:
\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]
Con số được phát hiện cho chúng ta điều gì? Với nó, sản phẩm được yêu cầu sẽ có giá trị nhỏ nhất (nhân tiện, chúng tôi chưa bao giờ tính $((y)_(\min ))$ - điều này không bắt buộc đối với chúng tôi). Đồng thời, con số này là sự khác biệt so với tiến trình ban đầu, tức là. chúng tôi đã tìm thấy câu trả lời :)
Đáp án: −36
Nhiệm vụ số 9. Giữa các số $-\frac(1)(2)$ và $-\frac(1)(6)$ chèn ba số sao cho cùng với các số này, chúng tạo thành một cấp số cộng.
Giải pháp. Về cơ bản, chúng ta cần tạo một chuỗi gồm năm số, đã biết số đầu tiên và số cuối cùng. Hãy biểu thị các số còn thiếu bằng các biến $x$, $y$ và $z$:
\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]
Lưu ý rằng số $y$ là số “ở giữa” trong dãy của chúng ta - nó cách đều các số $x$ và $z$, cũng như các số $-\frac(1)(2)$ và $-\frac (1)( 6)$. Và nếu hiện tại chúng ta không thể thu được $y$ từ các số $x$ và $z$, thì tình hình sẽ khác ở các điểm cuối của cấp số cộng. Chúng ta hãy nhớ ý nghĩa số học:
Bây giờ, khi biết $y$, chúng ta sẽ tìm được các số còn lại. Lưu ý rằng $x$ nằm giữa các số $-\frac(1)(2)$ và $y=-\frac(1)(3)$ mà chúng ta vừa tìm thấy. Đó là lý do tại sao
Sử dụng lý luận tương tự, chúng tôi tìm thấy số còn lại:
Sẵn sàng! Chúng tôi tìm thấy cả ba số. Hãy viết chúng trong câu trả lời theo thứ tự chúng sẽ được chèn vào giữa các số ban đầu.
Trả lời: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$
Nhiệm vụ số 10. Giữa các số 2 và 42, hãy chèn một số số cùng với các số này tạo thành một cấp số cộng, nếu bạn biết rằng tổng của số đầu tiên, số thứ hai và số cuối cùng của các số được chèn là 56.
Giải pháp. Tuy nhiên, một vấn đề thậm chí còn phức tạp hơn được giải theo sơ đồ tương tự như các vấn đề trước đó - thông qua trung bình số học. Vấn đề là chúng ta không biết chính xác cần chèn bao nhiêu số. Do đó, chúng ta hãy giả sử để chắc chắn rằng sau khi chèn mọi thứ sẽ có chính xác $n$ số, số đầu tiên là 2 và số cuối cùng là 42. Trong trường hợp này, cấp số cộng cần thiết có thể được biểu diễn dưới dạng:
\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \right\)\]
\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]
Tuy nhiên, lưu ý rằng các số $((a)_(2))$ và $((a)_(n-1))$ được lấy từ các số 2 và 42 ở các cạnh cách nhau một bước, I E. . vào trung tâm của chuỗi. Và điều này có nghĩa là
\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]
Nhưng khi đó biểu thức viết ở trên có thể được viết lại như sau:
\[\begin(căn chỉnh) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(căn chỉnh)\]
Biết $((a)_(3))$ và $((a)_(1))$, chúng ta có thể dễ dàng tìm thấy sự khác biệt của cấp số:
\[\begin(căn chỉnh) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Mũi tên phải d=5. \\ \end(căn chỉnh)\]
Tất cả những gì còn lại là tìm các số hạng còn lại:
\[\begin(căn chỉnh) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(căn chỉnh)\]
Như vậy, ở bước thứ 9, chúng ta sẽ đến đầu bên trái của dãy - số 42. Tổng cộng, chỉ cần chèn 7 số: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.
Trả lời: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37
Các vấn đề về từ với sự tiến triển
Để kết luận, tôi muốn xem xét một vài vấn đề tương đối đơn giản. Chà, đơn giản như vậy: đối với hầu hết học sinh học toán ở trường và chưa đọc những gì được viết ở trên, những vấn đề này có vẻ khó khăn. Tuy nhiên, đây là những loại bài toán xuất hiện trong OGE và Kỳ thi Thống nhất về toán học, vì vậy tôi khuyên bạn nên tự làm quen với chúng.
Nhiệm vụ số 11. Nhóm đã sản xuất được 62 bộ phận trong tháng 1 và trong mỗi tháng tiếp theo, họ đã sản xuất nhiều hơn 14 bộ phận so với tháng trước. Nhóm đã sản xuất được bao nhiêu bộ phận trong tháng 11?
Giải pháp. Rõ ràng, số lượng các bộ phận được liệt kê theo tháng sẽ thể hiện cấp số cộng ngày càng tăng. Hơn thế nữa:
\[\begin(căn chỉnh) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]
Tháng 11 là tháng thứ 11 trong năm nên ta cần tìm $((a)_(11))$:
\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]
Vì vậy, 202 bộ phận sẽ được sản xuất vào tháng 11.
Nhiệm vụ số 12. Xưởng đóng sách đã đóng 216 cuốn sách trong tháng Giêng, và mỗi tháng tiếp theo xưởng đóng sách nhiều hơn tháng trước 4 cuốn. Hội thảo đã đóng bao nhiêu cuốn sách trong tháng 12?
Giải pháp. Tất cả đều giống nhau:
$\begin(căn chỉnh) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$
Tháng 12 là tháng cuối cùng, tháng thứ 12 trong năm, vì vậy chúng tôi đang tìm kiếm $((a)_(12))$:
\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]
Đây là câu trả lời - 260 cuốn sách sẽ được đóng bìa vào tháng 12.
Chà, nếu bạn đã đọc đến đây, tôi xin chúc mừng bạn: bạn đã hoàn thành xuất sắc “khóa học dành cho võ sĩ trẻ” về cấp số cộng. Bạn có thể yên tâm chuyển sang bài học tiếp theo, nơi chúng ta sẽ nghiên cứu công thức tính tổng của tiến trình, cũng như những hệ quả quan trọng và rất hữu ích từ nó.
Khái niệm dãy số ngụ ý rằng mỗi số tự nhiên tương ứng với một giá trị thực nào đó. Một chuỗi số như vậy có thể tùy ý hoặc có các thuộc tính nhất định - một cấp số nhân. Trong trường hợp sau, mỗi phần tử (thành viên) tiếp theo của chuỗi có thể được tính bằng phần tử trước đó.
Cấp số cộng là một chuỗi các giá trị số trong đó các thành viên lân cận của nó khác nhau bởi cùng một số (tất cả các phần tử của chuỗi, bắt đầu từ phần thứ 2, đều có một thuộc tính tương tự). Con số này - sự khác biệt giữa các số hạng trước và số hạng tiếp theo - là không đổi và được gọi là chênh lệch lũy tiến.
Sự khác biệt về tiến độ: định nghĩa
Xét một dãy gồm j giá trị A = a(1), a(2), a(3), a(4)... a(j), j thuộc tập hợp số tự nhiên N. Một số học cấp số, theo định nghĩa của nó, là một chuỗi , trong đó a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j) – a(j-1) = d. Giá trị d là sự khác biệt mong muốn của tiến trình này.
d = a(j) – a(j-1).
Điểm nổi bật:
- Một cấp số tăng dần, trong trường hợp d > 0. Ví dụ: 4, 8, 12, 16, 20, ...
- Giảm tiến triển, sau đó d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …
Tiến trình khác biệt và các yếu tố tùy ý của nó
Nếu biết 2 số hạng tùy ý của cấp số nhân (i-th, k-th), thì hiệu của một dãy đã cho có thể được xác định dựa trên mối quan hệ:
a(i) = a(k) + (i – k)*d, có nghĩa là d = (a(i) – a(k))/(i-k).
Sự khác biệt của sự tiến triển và số hạng đầu tiên của nó
Biểu thức này sẽ giúp xác định một giá trị chưa biết chỉ trong trường hợp biết số phần tử của chuỗi.
Sự khác biệt tiến triển và tổng của nó
Tổng của một tiến trình là tổng các số hạng của nó. Để tính tổng giá trị của j phần tử đầu tiên, hãy sử dụng công thức thích hợp:
S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, nhưng vì a(j) = a(1) + d(j – 1), thì S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(– 1))/2)*j.
Máy tính trực tuyến.
Giải một cấp số cộng.
Cho: a n , d, n
Tìm: a 1
Chương trình toán học này tìm thấy \(a_1\) của cấp số cộng dựa trên các số \(a_n, d\) và \(n\) do người dùng chỉ định.
Các số \(a_n\) và \(d\) có thể được chỉ định không chỉ dưới dạng số nguyên mà còn dưới dạng phân số. Hơn nữa, số phân số có thể được nhập ở dạng phân số thập phân (\(2.5\)) và ở dạng phân số thông thường (\(-5\frac(2)(7)\)).
Chương trình không chỉ đưa ra lời giải cho bài toán mà còn hiển thị quá trình tìm lời giải.
Máy tính trực tuyến này có thể hữu ích cho học sinh trung học cơ sở khi chuẩn bị cho các bài kiểm tra và kỳ thi, khi kiểm tra kiến thức trước Kỳ thi Thống nhất và giúp phụ huynh kiểm soát cách giải nhiều bài toán và đại số. Hoặc có thể việc thuê gia sư hoặc mua sách giáo khoa mới là quá tốn kém? Hay bạn chỉ muốn hoàn thành bài tập về nhà toán hoặc đại số càng nhanh càng tốt? Trong trường hợp này, bạn cũng có thể sử dụng các chương trình của chúng tôi với các giải pháp chi tiết.
Bằng cách này, bạn có thể tiến hành đào tạo và/hoặc đào tạo các em trai hoặc em gái của mình, đồng thời trình độ học vấn trong lĩnh vực giải quyết vấn đề tăng lên.
Nếu bạn không quen với các quy tắc nhập số, chúng tôi khuyên bạn nên tự làm quen với chúng.
Quy tắc nhập số
Các số \(a_n\) và \(d\) có thể được chỉ định không chỉ dưới dạng số nguyên mà còn dưới dạng phân số.
Số \(n\) chỉ có thể là số nguyên dương.
Quy tắc nhập phân số thập phân.
Phần nguyên và phần phân số trong phân số thập phân có thể được phân tách bằng dấu chấm hoặc dấu phẩy.
Ví dụ: bạn có thể nhập phân số thập phân như 2,5 hoặc như 2,5
Quy tắc nhập phân số thông thường.
Chỉ một số nguyên mới có thể đóng vai trò là tử số, mẫu số và phần nguyên của một phân số.
Mẫu số không thể âm.
Khi nhập một phân số, tử số được phân cách với mẫu số bằng dấu chia: /
Đầu vào:
Kết quả: \(-\frac(2)(3)\)
Toàn bộ phần được phân tách khỏi phân số bằng dấu và: &
Đầu vào:
Kết quả: \(-1\frac(2)(3)\)
Người ta phát hiện ra rằng một số tập lệnh cần thiết để giải quyết vấn đề này đã không được tải và chương trình có thể không hoạt động.
Bạn có thể đã bật AdBlock.
Trong trường hợp này, hãy tắt nó và làm mới trang.
Để giải pháp xuất hiện, bạn cần bật JavaScript.
Dưới đây là hướng dẫn về cách bật JavaScript trong trình duyệt của bạn.
Bởi vì Có rất nhiều người sẵn sàng giải quyết vấn đề, yêu cầu của bạn đã được xếp hàng đợi.
Trong vài giây, giải pháp sẽ xuất hiện bên dưới.
Vui lòng chờ giây...
nếu bạn nhận thấy một lỗi trong giải pháp, thì bạn có thể viết về điều này trong Biểu mẫu phản hồi.
Đừng quên cho biết nhiệm vụ nào bạn quyết định cái gì nhập vào các trường.
Trò chơi, câu đố, trình giả lập của chúng tôi:
Một chút lý thuyết.
Dãy số
Trong thực tế hàng ngày, việc đánh số các đồ vật khác nhau thường được sử dụng để chỉ ra thứ tự sắp xếp của chúng. Ví dụ, những ngôi nhà trên mỗi con phố đều được đánh số. Trong thư viện, các thuê bao của độc giả được đánh số và sắp xếp theo thứ tự số được ấn định trong các tập thẻ đặc biệt.
Tại ngân hàng tiết kiệm, sử dụng số tài khoản cá nhân của người gửi tiền, bạn có thể dễ dàng tìm thấy tài khoản này và xem số tiền gửi trong đó là bao nhiêu. Giả sử tài khoản số 1 chứa khoản tiền gửi a1 rúp, tài khoản số 2 chứa khoản tiền gửi a2 rúp, v.v. dãy số
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a N
trong đó N là số lượng tất cả các tài khoản. Ở đây mỗi số tự nhiên n từ 1 đến N được liên kết với một số a n.
Cũng học toán dãy số vô hạn:
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ... .
Số a1 được gọi là số hạng đầu tiên của dãy, số a 2 - số hạng thứ hai của dãy, số a 3 - số hạng thứ ba của dãy vân vân.
Số a n được gọi là phần tử thứ n (thứ n) của dãy, và số tự nhiên n là con số.
Ví dụ: Trong dãy các số tự nhiên 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2, (n + 1) 2, ... và 1 = 1 là số hạng đầu tiên của dãy; và n = n 2 là số hạng thứ n của dãy; a n+1 = (n + 1) 2 là số hạng thứ (n + 1) (n cộng đầu tiên) của dãy. Thông thường một dãy có thể được xác định bằng công thức của số hạng thứ n của nó. Ví dụ: công thức \(a_n=\frac(1)(n), \; n \in \mathbb(N) \) xác định chuỗi \(1, \; \frac(1)(2) , \; \frac( 1)(3) , \; \frac(1)(4) , \dots,\frac(1)(n) , \dots \)
Cấp số cộng
Độ dài của năm là khoảng 365 ngày. Giá trị chính xác hơn là \(365\frac(1)(4)\) ngày, do đó cứ bốn năm lại có một lỗi tích lũy trong một ngày.
Để giải quyết lỗi này, cứ bốn năm một ngày lại được thêm vào và năm kéo dài được gọi là năm nhuận.
Ví dụ, ở thiên niên kỷ thứ 3, các năm nhuận là các năm 2004, 2008, 2012, 2016, ....
Trong chuỗi này, mỗi phần tử bắt đầu từ phần tử thứ hai bằng phần tử trước đó, cộng với cùng một số 4. Các chuỗi như vậy được gọi là cấp số cộng.
Sự định nghĩa.
Dãy số a 1, a 2, a 3, ..., an, ... được gọi là cấp số cộng, nếu với tất cả tự nhiên n sự bình đẳng
\(a_(n+1) = a_n+d, \)
trong đó d là một số nào đó.
Từ công thức này suy ra a n+1 - a n = d. Số d được gọi là hiệu cấp số cộng.
Theo định nghĩa cấp số cộng ta có:
\(a_(n+1)=a_n+d, \quad a_(n-1)=a_n-d, \)
Ở đâu
\(a_n= \frac(a_(n-1) +a_(n+1))(2) \), trong đó \(n>1 \)
Do đó, mỗi số hạng của cấp số cộng, bắt đầu từ số hạng thứ hai, bằng trung bình số học của hai số hạng liền kề của nó. Điều này giải thích tên tiến trình "số học".
Lưu ý rằng nếu cho trước a 1 và d thì các số hạng còn lại của cấp số cộng có thể được tính bằng công thức truy hồi a n+1 = a n + d. Bằng cách này, không khó để tính một vài số hạng đầu tiên của cấp số, tuy nhiên, ví dụ, số 100 sẽ yêu cầu rất nhiều phép tính. Thông thường, công thức số hạng thứ n được sử dụng cho việc này. Theo định nghĩa cấp số cộng
\(a_2=a_1+d, \)
\(a_3=a_2+d=a_1+2d, \)
\(a_4=a_3+d=a_1+3d \)
vân vân.
Ở tất cả,
\(a_n=a_1+(n-1)d, \)
vì số hạng thứ n của cấp số cộng thu được từ số hạng đầu tiên bằng cách cộng (n-1) nhân với số d.
Công thức này được gọi là công thức tính số hạng thứ n của cấp số cộng.
Tổng của n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng
Tìm tổng các số tự nhiên từ 1 đến 100.
Hãy viết số tiền này theo hai cách:
S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
Hãy cộng các đẳng thức này theo từng số hạng:
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
Tổng này có 100 số hạng
Do đó, 2S = 101 * 100, do đó S = 101 * 50 = 5050.
Bây giờ chúng ta hãy xem xét một cấp số cộng tùy ý
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ...
Gọi S n là tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số này:
S n = a 1 , a 2 , a 3 , ..., an n
Sau đó tổng của n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng bằng
\(S_n = n \cdot \frac(a_1+a_n)(2) \)
Vì \(a_n=a_1+(n-1)d\), khi thay thế n trong công thức này, chúng ta sẽ có một công thức khác để tìm tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng:
\(S_n = n \cdot \frac(2a_1+(n-1)d)(2) \)
Những lưu ý quan trọng!
1. Nếu bạn thấy gobbledygook thay vì công thức, hãy xóa bộ nhớ đệm. Cách thực hiện việc này trong trình duyệt của bạn được viết ở đây:
2. Trước khi bạn bắt đầu đọc bài viết, hãy chú ý đến công cụ điều hướng của chúng tôi để biết những tài nguyên hữu ích nhất cho
Dãy số
Vì vậy, hãy ngồi xuống và bắt đầu viết một số con số. Ví dụ:
Bạn có thể viết bất kỳ số nào và có thể có bao nhiêu số tùy thích (trong trường hợp của chúng tôi là có số đó). Cho dù chúng ta viết bao nhiêu số, chúng ta luôn có thể nói số nào là số đầu tiên, số nào là số hai, v.v. cho đến số cuối cùng, tức là chúng ta có thể đánh số chúng. Đây là một ví dụ về dãy số:
Dãy số
Ví dụ: đối với trình tự của chúng tôi:
Số được gán chỉ dành riêng cho một số trong dãy. Nói cách khác, không có số thứ ba trong dãy. Số thứ hai (như số thứ) luôn giống nhau.
Số kèm theo số gọi là số hạng thứ của dãy.
Chúng ta thường gọi toàn bộ chuỗi bằng một số chữ cái (ví dụ:) và mỗi thành viên của chuỗi này là cùng một chữ cái có chỉ số bằng số của thành viên này: .
Trong trường hợp của chúng ta: 
Giả sử chúng ta có một dãy số trong đó hiệu giữa các số liền kề là như nhau và bằng nhau.
Ví dụ: 
vân vân.
Dãy số này được gọi là cấp số cộng.
Thuật ngữ "tiến trình" được tác giả La Mã Boethius giới thiệu vào thế kỷ thứ 6 và được hiểu theo nghĩa rộng hơn là một dãy số vô hạn. Cái tên "số học" được chuyển từ lý thuyết về tỷ lệ liên tục được người Hy Lạp cổ đại nghiên cứu.
Đây là một dãy số, mỗi phần tử của nó bằng dãy số trước đó được cộng vào cùng một số. Con số này được gọi là hiệu của cấp số cộng và được chỉ định.
Cố gắng xác định dãy số nào là cấp số cộng và dãy số nào không:
Một)
b)
c)
d)
Hiểu rồi? Hãy so sánh câu trả lời của chúng tôi:
Là cấp số cộng - b, c.
Không phải cấp số cộng - a, d.
Chúng ta hãy quay lại tiến trình đã cho () và cố gắng tìm giá trị của số hạng thứ của nó. tồn tại hai cách để tìm thấy nó.
1. Phương pháp
Chúng ta có thể cộng số cấp số vào giá trị trước đó cho đến khi đạt đến số hạng thứ của cấp số nhân. Thật tốt khi chúng ta không có nhiều điều để tóm tắt - chỉ có ba giá trị:
Vì vậy, số hạng thứ của cấp số cộng được mô tả bằng.
2. Phương pháp
Điều gì sẽ xảy ra nếu chúng ta cần tìm giá trị của số hạng thứ của cấp số nhân? Việc tính tổng sẽ khiến chúng ta mất hơn một giờ và thực tế là chúng ta sẽ không mắc lỗi khi cộng các số.
Tất nhiên, các nhà toán học đã nghĩ ra một cách mà không cần thiết phải cộng hiệu của một cấp số cộng với giá trị trước đó. Hãy nhìn kỹ hơn vào bức tranh được vẽ... Chắc chắn bạn đã nhận thấy một khuôn mẫu nào đó, cụ thể là:
Ví dụ: hãy xem giá trị của số hạng thứ của cấp số cộng này bao gồm những gì: 
Nói cách khác:
Hãy thử tự mình tìm giá trị của một phần tử của một cấp số cộng nhất định theo cách này.
Bạn đã tính toán chưa? So sánh ghi chú của bạn với câu trả lời:
Xin lưu ý rằng bạn nhận được số chính xác như trong phương pháp trước, khi chúng tôi thêm tuần tự các số hạng của cấp số cộng vào giá trị trước đó.
Hãy thử “phi cá nhân hóa” công thức này - hãy đặt nó ở dạng tổng quát và nhận được:
|
Phương trình cấp tiến số học. |
Cấp số cộng có thể tăng hoặc giảm.
Tăng dần- cấp số trong đó mỗi giá trị tiếp theo của số hạng lớn hơn giá trị trước đó.
Ví dụ:
Giảm dần- cấp số trong đó mỗi giá trị tiếp theo của số hạng nhỏ hơn giá trị trước đó.
Ví dụ:
Công thức dẫn xuất được sử dụng để tính các số hạng theo cả số hạng tăng và giảm của cấp số cộng.
Hãy kiểm tra điều này trong thực tế.
Chúng ta được cho một cấp số cộng bao gồm các số sau: Hãy kiểm tra xem số thứ của cấp số cộng này sẽ là bao nhiêu nếu chúng ta sử dụng công thức của mình để tính nó:
Kể từ đó:
Vì vậy, chúng tôi tin rằng công thức hoạt động theo cả cấp số cộng giảm và tăng.
Hãy cố gắng tự tìm số hạng thứ và thứ của cấp số cộng này.
Hãy so sánh kết quả:
Thuộc tính cấp số cộng
Hãy phức tạp hóa vấn đề - chúng ta sẽ rút ra tính chất của cấp số cộng.
Giả sử chúng ta được đưa ra điều kiện sau:
- lũy tiến số học, tìm giá trị.
Dễ thôi, bạn nói và bắt đầu đếm theo công thức bạn đã biết:
À, vậy thì:
Hoàn toàn đúng. Hóa ra trước tiên chúng ta tìm, sau đó cộng nó vào số đầu tiên và có được thứ chúng ta đang tìm. Nếu cấp số được biểu thị bằng các giá trị nhỏ thì không có gì phức tạp, nhưng nếu chúng ta được cho các số trong điều kiện thì sao? Đồng ý, có khả năng xảy ra sai sót trong tính toán.
Bây giờ hãy nghĩ xem liệu có thể giải quyết vấn đề này trong một bước bằng cách sử dụng bất kỳ công thức nào không? Tất nhiên là có, và đó là những gì chúng tôi sẽ cố gắng đưa ra ngay bây giờ.
Chúng ta hãy biểu thị số hạng cần thiết của cấp số cộng vì công thức tìm nó đã được chúng ta biết - đây chính là công thức mà chúng ta đã rút ra lúc đầu:
, Sau đó:
- số hạng trước đó của tiến trình là:
- Số hạng tiếp theo của tiến trình là:
Hãy tóm tắt các điều khoản trước và tiếp theo của tiến trình:
Hóa ra tổng của các số hạng trước và sau của cấp số nhân là giá trị kép của số hạng cấp số nằm giữa chúng. Nói cách khác, để tìm giá trị của một số hạng lũy tiến với các giá trị liền trước và các giá trị kế tiếp đã biết, bạn cần cộng chúng lại và chia cho.
Đúng vậy, chúng ta có cùng số. Hãy bảo đảm vật liệu. Tự mình tính toán giá trị cho sự tiến triển, nó không khó chút nào.
Làm tốt! Bạn biết hầu hết mọi thứ về sự tiến triển! Vẫn còn phải tìm ra một công thức mà theo truyền thuyết, đã dễ dàng được suy ra bởi một trong những nhà toán học vĩ đại nhất mọi thời đại, “vua của các nhà toán học” - Karl Gauss...
Khi Carl Gauss 9 tuổi, một giáo viên đang bận kiểm tra bài làm của học sinh các lớp khác nên đã giao nhiệm vụ sau trong lớp: “Tính tổng của tất cả các số tự nhiên từ đến (theo các nguồn khác đến) bao gồm”. Hãy tưởng tượng sự ngạc nhiên của giáo viên khi một phút sau một trong những học sinh của ông (đây là Karl Gauss) đã đưa ra câu trả lời đúng cho bài tập, trong khi hầu hết các bạn cùng lớp của kẻ liều mạng sau khi tính toán lâu dài đều nhận được kết quả sai...
Carl Gauss thời trẻ đã nhận thấy một khuôn mẫu nhất định mà bạn cũng có thể dễ dàng nhận thấy.
Giả sử chúng ta có một cấp số cộng bao gồm các số hạng -th: Chúng ta cần tìm tổng các số hạng này của cấp số cộng. Tất nhiên, chúng ta có thể tính tổng tất cả các giá trị theo cách thủ công, nhưng nếu nhiệm vụ yêu cầu tìm tổng các số hạng của nó, như Gauss đang tìm kiếm thì sao?
Hãy để chúng tôi mô tả sự tiến triển được đưa ra cho chúng tôi. Hãy xem kỹ các con số được đánh dấu và thử thực hiện các phép toán khác nhau với chúng. 
Bạn đã thử chưa? Bạn đã nhận thấy điều gì? Phải! Tổng của chúng bằng nhau
Bây giờ hãy cho tôi biết, có tổng cộng bao nhiêu cặp như vậy trong tiến trình đưa ra cho chúng ta? Tất nhiên, chính xác là một nửa số đó.
Dựa trên thực tế là tổng của hai số hạng của cấp số cộng bằng nhau và các cặp tương tự bằng nhau, chúng ta thu được tổng bằng:
.
Do đó, công thức tính tổng các số hạng đầu tiên của bất kỳ cấp số cộng nào sẽ là:
Trong một số bài toán, chúng ta không biết số hạng thứ nhưng chúng ta biết sự khác biệt của cấp số nhân. Hãy thử thay công thức của số hạng thứ vào công thức tính tổng.
Bạn đã nhận được gì?
Làm tốt! Bây giờ chúng ta hãy quay lại bài toán đã đặt ra cho Carl Gauss: hãy tự tính xem tổng các số bắt đầu từ chữ th bằng bao nhiêu và tổng các số bắt đầu từ chữ th bằng bao nhiêu.
Bạn đã nhận được bao nhiêu?
Gauss nhận thấy rằng tổng các số hạng bằng nhau và tổng các số hạng bằng nhau. Đó là điều bạn quyết định à?
Trên thực tế, công thức tính tổng các số hạng của một cấp số cộng đã được nhà khoa học Hy Lạp cổ đại Diophantus chứng minh vào thế kỷ thứ 3, và trong suốt thời gian này, những người hóm hỉnh đã tận dụng triệt để các tính chất của cấp số cộng.
Ví dụ, hãy tưởng tượng Ai Cập cổ đại và dự án xây dựng lớn nhất vào thời điểm đó - việc xây dựng một kim tự tháp... Bức tranh thể hiện một mặt của nó. 
Bạn nói sự tiến triển ở đây là ở đâu? Hãy quan sát cẩn thận và tìm ra mẫu số lượng khối cát ở mỗi hàng của bức tường kim tự tháp. 
Tại sao không phải là một cấp số cộng? Tính xem cần bao nhiêu khối để xây một bức tường nếu gạch khối được đặt ở chân tường. Tôi hy vọng bạn sẽ không đếm khi di chuyển ngón tay trên màn hình, bạn có nhớ công thức cuối cùng và mọi điều chúng ta đã nói về cấp số cộng không?
Trong trường hợp này, tiến trình trông như thế này: .
Sự khác biệt cấp tiến số học.
Số số hạng của một cấp số cộng.
Hãy thay thế dữ liệu của chúng tôi vào các công thức cuối cùng (tính số khối theo 2 cách).
Phương pháp 1.
Phương pháp 2.
Và bây giờ bạn có thể tính toán trên màn hình: so sánh các giá trị thu được với số khối có trong kim tự tháp của chúng ta. Hiểu rồi? Làm tốt lắm, bạn đã nắm vững tổng các số hạng thứ n của một cấp số cộng.
Tất nhiên, bạn không thể xây dựng một kim tự tháp từ các khối ở chân đế, nhưng từ? Hãy thử tính xem cần bao nhiêu viên gạch cát để xây một bức tường với điều kiện này.
Bạn đã quản lý được chưa?
Câu trả lời đúng là khối:
Đào tạo
Nhiệm vụ:
- Masha đang lấy lại vóc dáng cho mùa hè. Mỗi ngày cô ấy tăng số lần squat lên. Masha sẽ squat bao nhiêu lần trong một tuần nếu cô ấy tập squat trong buổi tập đầu tiên?
- Tổng của tất cả các số lẻ có trong là bao nhiêu?
- Khi lưu trữ nhật ký, trình ghi nhật ký sẽ xếp chúng theo cách sao cho mỗi lớp trên cùng chứa ít hơn một nhật ký so với lớp trước. Có bao nhiêu khúc gỗ trong một khối xây, nếu nền của khối xây là khúc gỗ?
Câu trả lời:
- Hãy xác định các tham số của cấp số cộng. Trong trường hợp này
(tuần = ngày).Trả lời: Trong hai tuần, Masha nên tập squat mỗi ngày một lần.
- Số lẻ đầu tiên, số cuối cùng.
Sự khác biệt cấp tiến số học.
Tuy nhiên, số lượng số lẻ trong đó là một nửa, hãy kiểm tra thực tế này bằng cách sử dụng công thức tìm số hạng thứ của một cấp số cộng:Số có chứa số lẻ.
Hãy thay thế dữ liệu có sẵn vào công thức:Trả lời: Tổng của tất cả các số lẻ chứa trong đó bằng nhau.
- Chúng ta hãy nhớ lại vấn đề về kim tự tháp. Đối với trường hợp của chúng tôi, a , vì mỗi lớp trên cùng bị giảm đi một bản ghi, nên tổng cộng có một loạt các lớp.
Hãy thay thế dữ liệu vào công thức:Trả lời: Có những khúc gỗ trong khối xây.
Hãy tóm tắt lại
- - một dãy số trong đó hiệu giữa các số liền kề bằng nhau và bằng nhau. Nó có thể tăng hoặc giảm.
- Tìm công thức Số hạng thứ của một cấp số cộng được viết theo công thức - , trong đó là số lượng các số trong cấp số cộng.
- Thuộc tính của các thành viên của một cấp số cộng- - số lượng các số đang tiến triển ở đâu.
- Tổng các số hạng của một cấp số cộng có thể được tìm thấy theo hai cách:
, số lượng giá trị ở đâu.
CẤP SỐ CỘNG. MỨC TRUNG BÌNH
Dãy số
Hãy ngồi xuống và bắt đầu viết một số con số. Ví dụ:
Bạn có thể viết bất kỳ số nào và có thể có bao nhiêu số tùy thích. Nhưng chúng ta luôn có thể nói cái nào là thứ nhất, cái nào là thứ hai, v.v., tức là chúng ta có thể đánh số chúng. Đây là một ví dụ về một dãy số.
Dãy số là một tập hợp các số, mỗi số có thể được gán một số duy nhất.
Nói cách khác, mỗi số có thể được liên kết với một số tự nhiên nhất định và một số duy nhất. Và chúng ta sẽ không gán số này cho bất kỳ số nào khác trong bộ này.
Số có số được gọi là thành viên thứ của dãy.
Chúng ta thường gọi toàn bộ chuỗi bằng một số chữ cái (ví dụ:) và mỗi thành viên của chuỗi này là cùng một chữ cái có chỉ số bằng số của thành viên này: .
Sẽ rất thuận tiện nếu số hạng thứ của dãy có thể được xác định bằng một công thức nào đó. Ví dụ, công thức
đặt trình tự:
Và công thức là trình tự sau:
Ví dụ: một cấp số cộng là một dãy (số hạng đầu tiên ở đây bằng nhau và hiệu là). Hoặc (, sự khác biệt).
công thức số hạng thứ n
Chúng tôi gọi một công thức là hồi quy, trong đó, để tìm ra số hạng thứ, bạn cần biết số hạng trước đó hoặc một số số hạng trước đó:
Ví dụ, để tìm số hạng thứ của cấp số sử dụng công thức này, chúng ta sẽ phải tính số hạng trước đó. Ví dụ, hãy để nó. Sau đó:
Chà, bây giờ bạn đã rõ công thức là gì chưa?
Trong mỗi dòng chúng tôi thêm vào, nhân với một số. Cái nào? Rất đơn giản: đây là số thành viên hiện tại trừ đi:
Bây giờ thuận tiện hơn nhiều phải không? Chung ta kiểm tra:
Quyết định cho chính mình:
Trong một cấp số cộng, hãy tìm công thức của số hạng thứ n và tìm số hạng thứ một trăm.
Giải pháp:
Số hạng đầu tiên bằng nhau. Sự khác biệt là gì? Đây là những gì:
(Đây là lý do tại sao nó được gọi là hiệu vì nó bằng hiệu của các số hạng liên tiếp của cấp số).
Vì vậy, công thức:
Khi đó số hạng thứ trăm bằng:
Tổng của tất cả các số tự nhiên từ đến là bao nhiêu?
Theo truyền thuyết, nhà toán học vĩ đại Carl Gauss khi còn là cậu bé 9 tuổi đã tính được số tiền này trong vài phút. Ông nhận thấy rằng tổng của số đầu tiên và số cuối cùng bằng nhau, tổng của số thứ hai và số áp chót bằng nhau, tổng của số thứ ba và số thứ 3 tính từ cuối bằng nhau, v.v. Tổng cộng có bao nhiêu cặp như vậy? Đúng vậy, chính xác là một nửa số lượng của tất cả các số. Vì thế,
Công thức chung tính tổng các số hạng đầu tiên của bất kỳ cấp số cộng nào sẽ là:
Ví dụ:
Tìm tổng của tất cả các bội số có hai chữ số.
Giải pháp:
Con số đầu tiên như vậy là thế này. Mỗi số tiếp theo có được bằng cách thêm vào số trước đó. Vì vậy, những con số chúng ta quan tâm tạo thành một cấp số cộng với số hạng đầu tiên và hiệu.
Công thức của số hạng thứ cho tiến trình này:
Có bao nhiêu số hạng trong dãy số nếu tất cả chúng đều phải có hai chữ số?
Rất dễ: .
Số hạng cuối cùng của quá trình tiến triển sẽ bằng nhau. Khi đó tổng:
Trả lời: .
Bây giờ hãy tự quyết định:
- Mỗi ngày vận động viên chạy được nhiều mét hơn ngày hôm trước. Hỏi anh ta sẽ chạy tổng cộng bao nhiêu km trong một tuần nếu anh ta chạy km m vào ngày đầu tiên?
- Một người đi xe đạp mỗi ngày đi được nhiều km hơn ngày hôm trước. Ngày đầu tiên anh ấy đi được km. Anh ta cần phải đi bao nhiêu ngày để đi được một km? Anh ta sẽ đi được bao nhiêu km trong ngày cuối cùng của cuộc hành trình?
- Giá tủ lạnh ở cửa hàng mỗi năm đều giảm một lượng như nhau. Xác định giá của một chiếc tủ lạnh giảm bao nhiêu mỗi năm nếu được rao bán với giá rúp, sáu năm sau nó được bán với giá rúp.
Câu trả lời:
- Điều quan trọng nhất ở đây là nhận biết cấp số cộng và xác định các tham số của nó. Trong trường hợp này, (tuần = ngày). Bạn cần xác định tổng các số hạng đầu tiên của tiến trình này:
.
Trả lời: - Ở đây nó được đưa ra: , phải được tìm thấy.
Rõ ràng, bạn cần sử dụng công thức tính tổng tương tự như trong bài toán trước:
.
Thay thế các giá trị:Root rõ ràng là không phù hợp nên câu trả lời là.
Hãy tính quãng đường đã đi trong ngày cuối cùng bằng công thức của số hạng thứ:
(km).
Trả lời: - Được cho: . Tìm thấy: .
Nó không thể đơn giản hơn:
(chà xát).
Trả lời:
CẤP SỐ CỘNG. GIỚI THIỆU VỀ NHỮNG ĐIỀU CHÍNH
Đây là một dãy số trong đó hiệu giữa các số liền kề là như nhau và bằng nhau.
Cấp số cộng có thể tăng () và giảm ().
Ví dụ:
Công thức tìm số hạng thứ n của cấp số cộng
được viết theo công thức, ở đâu là số cấp số nhân.
Thuộc tính của các thành viên của một cấp số cộng
Nó cho phép bạn dễ dàng tìm thấy một số hạng của một cấp số nếu đã biết các số hạng lân cận của nó - số lượng các số trong cấp số đó ở đâu.
Tổng các số hạng của một cấp số cộng
Có hai cách để tìm số tiền:
Số lượng giá trị ở đâu.
Số lượng giá trị ở đâu.
Vâng, chủ đề đã kết thúc. Nếu bạn đang đọc những dòng này nghĩa là bạn rất tuyệt vời.
Bởi vì chỉ có 5% số người có thể tự mình thành thạo một thứ gì đó. Và nếu bạn đọc đến cuối thì bạn nằm trong 5% này!
Bây giờ là điều quan trọng nhất.
Bạn đã hiểu lý thuyết về chủ đề này. Và tôi nhắc lại, điều này... điều này thật tuyệt vời! Bạn đã giỏi hơn đại đa số bạn bè cùng trang lứa rồi.
Vấn đề là điều này có thể không đủ...
Để làm gì?
Để vượt qua thành công Kỳ thi Thống nhất của Bang, để vào đại học với ngân sách tiết kiệm và QUAN TRỌNG NHẤT là suốt đời.
Tôi sẽ không thuyết phục bạn bất cứ điều gì, tôi chỉ nói một điều...
Những người nhận được một nền giáo dục tốt kiếm được nhiều tiền hơn những người không nhận được nó. Đây là số liệu thống kê.
Nhưng đây không phải là điều chính.
Điều chính là họ HẠNH PHÚC HƠN (có những nghiên cứu như vậy). Có lẽ vì có nhiều cơ hội hơn mở ra trước mắt họ và cuộc sống trở nên tươi sáng hơn chăng? Không biết...
Nhưng hãy tự mình suy nghĩ...
Cần phải làm gì để chắc chắn mình giỏi hơn những người khác trong Kỳ thi Thống nhất và cuối cùng là... hạnh phúc hơn?
GIÚP BẠN BẰNG CÁCH GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ VỀ CHỦ ĐỀ NÀY.
Bạn sẽ không được yêu cầu lý thuyết trong kỳ thi.
Bạn sẽ cần giải quyết vấn đề theo thời gian.
Và, nếu bạn chưa giải quyết được chúng (RẤT NHIỀU!), chắc chắn bạn sẽ mắc sai lầm ngu ngốc ở đâu đó hoặc đơn giản là không có thời gian.
Giống như trong thể thao - bạn cần lặp lại nhiều lần để chắc chắn giành chiến thắng.
Tìm bộ sưu tập bất cứ nơi nào bạn muốn, nhất thiết phải có giải pháp, phân tích chi tiết và quyết định, quyết định, quyết định!
Bạn có thể sử dụng các nhiệm vụ của chúng tôi (tùy chọn) và tất nhiên chúng tôi sẽ đề xuất chúng.
Để sử dụng tốt hơn các nhiệm vụ của chúng tôi, bạn cần giúp kéo dài tuổi thọ của cuốn sách giáo khoa YouClever mà bạn hiện đang đọc.
Làm sao? Có hai lựa chọn:
- Mở khóa tất cả các nhiệm vụ ẩn trong bài viết này -
- Mở khóa quyền truy cập vào tất cả các nhiệm vụ ẩn trong tất cả 99 bài viết của sách giáo khoa - Mua sách giáo khoa - 499 RUR
Có, chúng tôi có 99 bài viết như vậy trong sách giáo khoa của mình và có thể mở ngay lập tức quyền truy cập vào tất cả các nhiệm vụ cũng như tất cả các văn bản ẩn trong đó.
Quyền truy cập vào tất cả các tác vụ ẩn được cung cấp trong TOÀN BỘ vòng đời của trang web.
Tóm lại là...
Nếu bạn không thích nhiệm vụ của chúng tôi, hãy tìm người khác. Đừng dừng lại ở lý thuyết.
“Đã hiểu” và “Tôi có thể giải quyết” là những kỹ năng hoàn toàn khác nhau. Bạn cần cả hai.
Tìm vấn đề và giải quyết chúng!
Trước khi chúng ta bắt đầu quyết định các bài toán cấp số cộng, hãy xem dãy số là gì, vì cấp số cộng là trường hợp đặc biệt của dãy số.
Dãy số là một tập hợp số, mỗi phần tử của nó có một số thứ tự riêng. Các phần tử của tập hợp này được gọi là thành viên của dãy. Số sê-ri của phần tử trình tự được biểu thị bằng chỉ mục:
Phần tử đầu tiên của chuỗi;
Phần tử thứ năm của dãy;
- phần tử “thứ n” của dãy, tức là phần tử “đứng trong hàng đợi” ở số n.
Có một mối quan hệ giữa giá trị của phần tử thứ tự và số thứ tự của nó. Do đó, chúng ta có thể coi dãy là một hàm có đối số là số thứ tự của phần tử của dãy. Nói cách khác, chúng ta có thể nói rằng trình tự là một hàm của đối số tự nhiên:
Trình tự có thể được thiết lập theo ba cách:
1 . Trình tự có thể được chỉ định bằng cách sử dụng bảng. Trong trường hợp này, chúng ta chỉ cần đặt giá trị của từng thành viên trong chuỗi.
Ví dụ: Một người nào đó đã quyết định quản lý thời gian cá nhân và bắt đầu bằng việc đếm xem anh ta dành bao nhiêu thời gian cho VKontakte trong tuần. Bằng cách ghi lại thời gian vào bảng, anh ta sẽ nhận được một chuỗi gồm bảy yếu tố:
Dòng đầu tiên của bảng cho biết số ngày trong tuần, dòng thứ hai - thời gian tính bằng phút. Chúng tôi thấy rằng, tức là vào Thứ Hai, Ai đó đã dành 125 phút trên VKontakte, tức là vào Thứ Năm - 248 phút, và tức là vào Thứ Sáu chỉ là 15 phút.
2 . Trình tự có thể được xác định bằng cách sử dụng công thức số hạng thứ n.
Trong trường hợp này, sự phụ thuộc của giá trị của một phần tử chuỗi vào số của nó được thể hiện trực tiếp dưới dạng công thức.
Ví dụ, nếu , thì
Để tìm giá trị của một phần tử trong dãy bằng một số cho trước, chúng ta thay số phần tử đó vào công thức của số hạng thứ n.
Chúng ta làm tương tự nếu cần tìm giá trị của hàm nếu biết giá trị của đối số. Chúng ta thay thế giá trị của đối số vào phương trình hàm:
Nếu, ví dụ, 
, Cái đó
Hãy để tôi lưu ý một lần nữa rằng trong một dãy, không giống như một hàm số tùy ý, đối số chỉ có thể là một số tự nhiên.
3 . Trình tự có thể được chỉ định bằng cách sử dụng công thức biểu thị sự phụ thuộc của giá trị của số thành viên chuỗi n vào giá trị của các thành viên trước đó. Trong trường hợp này, việc chúng ta chỉ biết số thành viên của dãy để tìm giá trị của nó là chưa đủ. Chúng ta cần chỉ định thành viên đầu tiên hoặc một số thành viên đầu tiên của chuỗi.
Ví dụ, hãy xem xét trình tự 
, 
Chúng ta có thể tìm thấy giá trị của các thành viên trong dãy theo thứ tự, bắt đầu từ phần thứ ba:
Nghĩa là, mỗi lần, để tìm giá trị của số hạng thứ n của dãy, chúng ta quay lại hai số hạng trước. Phương pháp xác định trình tự này được gọi là tái diễn, từ tiếng Latin tái diễn- sự trở lại.
Bây giờ chúng ta có thể định nghĩa một cấp số cộng. Cấp số cộng là trường hợp đặc biệt đơn giản của dãy số.
Cấp số cộng là một dãy số, mỗi phần tử của nó, bắt đầu từ số thứ hai, bằng dãy số trước đó được cộng vào cùng một số.
Số đó được gọi là sự khác biệt của cấp số cộng. Hiệu của một cấp số cộng có thể dương, âm hoặc bằng 0.
Nếu tiêu đề="d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} tăng dần.
Ví dụ: 2; 5; số 8; mười một;...
Nếu , thì mỗi số hạng của cấp số cộng nhỏ hơn số hạng trước đó và cấp số cộng là giảm dần.
Ví dụ: 2; -1; -4; -7;...
Nếu , thì tất cả các số hạng của cấp số đều bằng cùng một số và cấp số nhân là đứng im.
Ví dụ: 2;2;2;2;...
Thuộc tính chính của cấp số cộng:
Chúng ta hãy nhìn vào bản vẽ.
Chúng ta thấy rằng
, và cùng một lúc
Cộng hai đẳng thức này, ta được:
.
Hãy chia cả hai vế của đẳng thức cho 2:
Vì vậy, mỗi thành viên của cấp số cộng, bắt đầu từ thành phần thứ hai, bằng trung bình số học của hai thành phần lân cận:
Hơn nữa, kể từ khi
, và cùng một lúc
, Cái đó
, và do đó
Mỗi số hạng của cấp số cộng, bắt đầu bằng title="k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих.
!}
Công thức của số hạng thứ.
Chúng ta thấy rằng các số hạng của cấp số cộng thỏa mãn các quan hệ sau:
và cuối cùng
Chúng tôi có công thức của số hạng thứ n.
QUAN TRỌNG! Bất kỳ phần tử nào của một cấp số cộng đều có thể được biểu diễn thông qua và. Biết số hạng đầu tiên và sự khác biệt của cấp số cộng, bạn có thể tìm thấy bất kỳ số hạng nào của nó.
Tổng n số hạng của một cấp số cộng.
Trong một cấp số cộng tùy ý, tổng các số hạng cách đều các số hạng cực trị bằng nhau:
Xét một cấp số cộng với n số hạng. Đặt tổng n số hạng của tiến trình này bằng .
Trước tiên, hãy sắp xếp các số hạng của cấp số theo thứ tự số tăng dần và sau đó theo thứ tự giảm dần:
Hãy cộng theo cặp:
Tổng trong mỗi ngoặc là , số cặp là n.
Chúng tôi nhận được:
Vì thế, tổng n số hạng của một cấp số cộng có thể được tìm bằng cách sử dụng các công thức:
Hãy xem xét giải các bài toán cấp số cộng.
1 . Trình tự được cho bởi công thức của số hạng thứ n: . Chứng minh rằng dãy số này là một cấp số cộng.
Hãy chứng minh rằng hiệu giữa hai số hạng liền kề của dãy bằng cùng một số.
Chúng tôi thấy rằng sự khác biệt giữa hai thành viên liền kề của chuỗi không phụ thuộc vào số lượng của chúng và là một hằng số. Do đó, theo định nghĩa, dãy số này là một cấp số cộng.
2 . Cho cấp số cộng -31; -27;...
a) Tìm 31 số hạng của cấp số nhân.
b) Xác định xem số 41 có được đưa vào cấp số này hay không.
MỘT) Chúng ta thấy rằng ;
Hãy viết công thức của số hạng thứ n cho cấp số nhân của chúng ta.
Nói chung 
Trong trường hợp của chúng ta 
, Đó là lý do tại sao 