Cộng số thập phân cũng giống như cộng các số nguyên. Hãy xem điều này với các ví dụ.
1) 0,132 + 2,354. Hãy gắn nhãn các thuật ngữ này bên dưới thuật ngữ kia.
Ở đây, cộng 2 phần nghìn với 4 phần nghìn sẽ được 6 phần nghìn;
từ việc cộng 3 phần trăm với 5 phần trăm thì được 8 phần trăm;
từ việc cộng 1 phần mười với 3 phần mười -4 phần mười và
từ việc cộng 0 số nguyên với 2 số nguyên - 2 số nguyên.
2) 5,065 + 7,83.
Không có phần nghìn trong thuật ngữ thứ hai, vì vậy điều quan trọng là không mắc lỗi khi dán nhãn các thuật ngữ lần lượt.
3) 1,2357 + 0,469 + 2,08 + 3,90701.
Ở đây khi cộng phần nghìn thì có kết quả là 21 phần nghìn; chúng ta viết 1 dưới phần nghìn và thêm 2 vào phần trăm, vì vậy ở vị trí hàng trăm chúng ta có các số hạng sau: 2 + 3 + 6 + 8 + 0; tổng cộng họ đưa ra 19 phần trăm, chúng tôi ký 9 dưới phần trăm và 1 được tính là phần mười, v.v.
Vì vậy, khi cộng các phân số thập phân phải tuân theo thứ tự sau: ký tên các phân số ở bên dưới sao cho trong tất cả các thuật ngữ, các chữ số giống nhau nằm ở dưới nhau và tất cả các dấu phẩy đều nằm trong cùng một cột dọc; Ở bên phải vị trí thập phân của một số thuật ngữ, một số số 0 như vậy được thêm vào, ít nhất là về mặt tinh thần, sao cho tất cả các thuật ngữ sau dấu thập phân đều có cùng số chữ số. Sau đó, họ thực hiện phép cộng theo các chữ số, bắt đầu từ phía bên phải và trong tổng kết quả, họ đặt dấu phẩy vào cùng một cột dọc nơi nó nằm trong các số hạng này.
§ 108. Phép trừ phân số thập phân.
Phép trừ số thập phân thực hiện tương tự như phép trừ số nguyên. Hãy thể hiện điều này bằng các ví dụ.
1) 9,87 - 7,32. Hãy ký hiệu số trừ dưới số trừ sao cho các đơn vị có cùng chữ số nằm dưới nhau:
2) 16,29 - 4,75. Hãy ký số trừ dưới số trừ, như trong ví dụ đầu tiên:
Để trừ phần mười, bạn phải lấy nguyên một đơn vị từ 6 và chia nó thành phần mười.
3) 14.0213- 5.350712. Chúng ta hãy ký vào phần trừ dưới phần trừ:
Phép trừ được thực hiện như sau: vì chúng ta không thể trừ 2 phần triệu từ 0, nên chúng ta chuyển sang chữ số gần nhất ở bên trái, tức là hàng trăm phần nghìn, nhưng thay cho hàng trăm phần nghìn cũng bằng 0, vì vậy chúng ta lấy 1 phần mười nghìn từ 3 mười phần nghìn và Chúng tôi chia nó thành một phần trăm nghìn, chúng tôi có 10 trăm nghìn, trong đó chúng tôi để lại 9 trăm nghìn trong loại trăm nghìn, và chúng tôi chia 1 trăm nghìn thành phần triệu, chúng tôi có 10 phần triệu. Như vậy, trong ba chữ số cuối chúng ta có: phần triệu 10, trăm phần nghìn 9, mười phần nghìn 2. Để rõ ràng và thuận tiện hơn (để không bị quên), các số này được viết phía trên các chữ số phân số tương ứng của số trừ. Bây giờ bạn có thể bắt đầu trừ. Từ 10 phần triệu ta trừ 2 phần triệu, ta được 8 phần triệu; từ 9 trăm nghìn ta trừ 1 trăm nghìn, ta được 8 trăm nghìn, v.v.
Vì vậy, khi trừ các phân số thập phân, tuân theo thứ tự sau: ký dấu trừ dưới số trừ sao cho các chữ số giống nhau nằm ở dưới nhau và tất cả các dấu phẩy đều nằm trong cùng một cột dọc; ở bên phải, họ cộng, ít nhất là trong đầu, rất nhiều số 0 ở số trừ hoặc số trừ để chúng có cùng số chữ số, sau đó họ trừ theo các chữ số, bắt đầu từ phía bên phải, và trong phần chênh lệch thu được, họ đặt dấu phẩy vào cùng một cột dọc nơi nó nằm ở phần trừ và phần trừ.
§ 109. Nhân phân số thập phân.
Hãy xem xét một số ví dụ về nhân các phân số thập phân.
Để tìm tích của những số này, chúng ta có thể suy luận như sau: nếu hệ số này tăng lên 10 lần thì cả hai thừa số đều là số nguyên và khi đó chúng ta có thể nhân chúng theo quy tắc nhân số nguyên. Nhưng chúng ta biết rằng khi một trong các yếu tố tăng lên nhiều lần thì tích sẽ tăng lên một lượng như nhau. Điều này có nghĩa là số thu được từ việc nhân các thừa số nguyên, tức là 28 với 23, lớn hơn 10 lần so với tích đúng và để thu được tích đúng, tích tìm được phải giảm đi 10 lần. Do đó, ở đây bạn sẽ phải nhân với 10 một lần và chia cho 10 một lần, nhưng việc nhân và chia cho 10 được thực hiện bằng cách di chuyển dấu thập phân sang phải và sang trái một vị trí. Do đó, bạn cần làm điều này: trong hệ số, di chuyển dấu phẩy đến đúng một vị trí, điều này sẽ làm cho nó bằng 23, sau đó bạn cần nhân các số nguyên thu được:
Sản phẩm này lớn hơn 10 lần so với sản phẩm thật. Do đó, nó phải giảm đi 10 lần, do đó chúng ta di chuyển dấu phẩy sang trái một vị trí. Vì vậy, chúng tôi nhận được
28 2,3 = 64,4.
Để xác minh, bạn có thể viết một phân số thập phân có mẫu số và thực hiện hành động theo quy tắc nhân các phân số thông thường, tức là.
2) 12,27 0,021.
Sự khác biệt giữa ví dụ này và ví dụ trước là ở đây cả hai thừa số đều được biểu diễn dưới dạng phân số thập phân. Nhưng ở đây, trong quá trình nhân, chúng ta sẽ không chú ý đến dấu phẩy, tức là chúng ta sẽ tạm thời tăng số nhân lên 100 lần và số nhân lên 1.000 lần thì tích sẽ tăng lên 100.000 lần. Do đó, nhân 1.227 với 21, chúng ta nhận được:
1 227 21 = 25 767.
Xét rằng sản phẩm thu được lớn hơn sản phẩm thật 100.000 lần, bây giờ chúng ta phải giảm nó đi 100.000 lần bằng cách đặt đúng dấu phẩy vào đó, khi đó chúng ta sẽ nhận được:
32,27 0,021 = 0,25767.
Hãy kiểm tra:
Vì vậy, để nhân hai phân số thập phân, chỉ cần không chú ý đến dấu phẩy, nhân chúng dưới dạng số nguyên và trong tích phân cách nhiều chữ số thập phân bằng dấu phẩy ở bên phải như trong phép nhân và trong phép nhân với nhau.
Ví dụ cuối cùng cho kết quả là tích có năm chữ số thập phân. Nếu không cần độ chính xác cao như vậy thì phần thập phân sẽ được làm tròn. Khi làm tròn, bạn nên sử dụng quy tắc tương tự như được chỉ định cho số nguyên.
§ 110. Phép nhân bằng bảng.
Nhân số thập phân đôi khi có thể được thực hiện bằng cách sử dụng bảng. Ví dụ, với mục đích này, bạn có thể sử dụng các bảng nhân đó cho các số có hai chữ số, mô tả về số này đã được đưa ra trước đó.
1) Nhân 53 với 1,5.
Chúng ta sẽ nhân 53 với 15. Trong bảng, tích này bằng 795. Chúng ta đã tìm được kết quả 53 với 15, nhưng thừa số thứ hai của chúng ta nhỏ hơn 10 lần, nghĩa là tích phải giảm đi 10 lần, tức là.
53 1,5 = 79,5.
2) Nhân 5,3 với 4,7.
Đầu tiên, chúng ta tìm trong bảng tích của 53 x 47, nó sẽ là 2,491. Nhưng vì chúng ta đã tăng số nhân và số nhân lên tổng cộng 100 lần nên kết quả thu được sẽ lớn hơn 100 lần so với giá trị thực; vì vậy chúng ta phải giảm tích số này đi 100 lần:
5,3 4,7 = 24,91.
3) Nhân 0,53 với 7,4.
Đầu tiên, chúng ta tìm thấy trong bảng kết quả 53 x 74; nó sẽ là 3.922 Nhưng vì chúng ta đã tăng số nhân lên 100 lần và số nhân lên 10 lần nên tích tăng 1.000 lần; vì vậy bây giờ chúng ta phải giảm nó đi 1.000 lần:
0,53 7,4 = 3,922.
§ 111. Chia phân số thập phân.
Chúng ta sẽ xem xét việc chia các phân số thập phân theo thứ tự sau:
1. Chia một phần thập phân cho một số nguyên,
1. Chia một phần thập phân cho một số nguyên.
1) Chia 2,46 cho 2.
Chúng ta chia cho 2 số nguyên đầu tiên, sau đó là phần mười và cuối cùng là phần trăm.
2) Chia 32,46 cho 3.
32,46: 3 = 10,82.
Chúng tôi chia 3 chục cho 3, sau đó bắt đầu chia 2 đơn vị cho 3; vì số đơn vị của số bị chia (2) nhỏ hơn số chia (3) nên chúng ta phải đặt 0 vào thương; hơn nữa, phần còn lại chúng ta lấy 4 phần mười và chia 24 phần mười cho 3; nhận được 8 phần mười trong thương số và cuối cùng chia cho 6 phần trăm.
3) Chia 1,2345 cho 5.
1,2345: 5 = 0,2469.
Ở đây trong thương số, vị trí đầu tiên là số nguyên 0, vì một số nguyên không chia hết cho 5.
4) Chia 13,58 cho 4.
Điểm đặc biệt của ví dụ này là khi ta nhận được 9 phần trăm trong thương, ta phát hiện số dư bằng 2 phần trăm, ta chia phần dư này thành phần nghìn, được 20 phần nghìn và hoàn thành phép chia.
Luật lệ. Chia một phân số thập phân cho một số nguyên được thực hiện giống như cách chia các số nguyên và số dư thu được sẽ được chuyển thành phân số thập phân, ngày càng nhỏ hơn; Phép chia tiếp tục cho đến khi số dư bằng 0.
2. Chia một số thập phân cho một số thập phân.
1) Chia 2,46 cho 0,2.
Chúng ta đã biết cách chia một phần thập phân cho một số nguyên. Hãy thử nghĩ xem, liệu có thể rút gọn trường hợp chia mới này xuống trường hợp trước đó không? Đã có lúc, chúng ta coi tính chất đáng chú ý của một thương là nó không thay đổi khi số bị chia và số chia đồng thời tăng hoặc giảm cùng một số lần. Chúng ta có thể dễ dàng chia các số đã cho nếu số chia là số nguyên. Để làm điều này, chỉ cần tăng nó lên 10 lần là đủ và để có được thương số chính xác, cần phải tăng cổ tức lên cùng một lượng, tức là 10 lần. Khi đó phép chia của các số này sẽ được thay thế bằng phép chia của các số sau:
Hơn nữa, sẽ không cần phải thực hiện bất kỳ sửa đổi nào đối với các chi tiết nữa.
Hãy thực hiện phép chia này:
Vậy 2,46: 0,2 = 12,3.
2) Chia 1,25 cho 1,6.
Chúng tôi tăng số chia (1.6) lên 10 lần; để thương không thay đổi, ta tăng số bị chia lên 10 lần; 12 số nguyên không chia hết cho 16 nên ta viết 0 ở thương số và chia 125 phần mười cho 16, ta được 7 phần mười ở thương số và số dư là 13. Ta chia 13 phần mười thành phần trăm bằng cách gán 0 và chia 130 phần trăm cho 16, v.v. Xin lưu ý những điều sau:
a) khi không có số nguyên nào trong một số cụ thể thì số nguyên 0 được viết vào vị trí của chúng;
b) khi cộng chữ số của số bị chia với số dư thu được số không chia hết cho số chia thì số 0 được viết trong thương;
c) khi sau khi loại bỏ chữ số cuối cùng của số bị chia, phép chia không kết thúc, sau đó thêm các số 0 vào phần dư, phép chia tiếp tục;
d) nếu số bị chia là số nguyên thì khi chia nó cho một phân số thập phân, nó sẽ tăng lên bằng cách thêm các số 0 vào đó.
Như vậy, để chia một số cho một phân số thập phân, bạn cần bỏ dấu phẩy trong số chia, sau đó tăng số bị chia lên gấp mấy lần số chia tăng khi bỏ dấu phẩy trong đó, sau đó thực hiện phép chia theo quy tắc. để chia một phần thập phân cho một số nguyên.
§ 112. Thương số gần đúng.
Trong đoạn trước, chúng ta đã xem xét phép chia các phân số thập phân và trong tất cả các ví dụ mà chúng ta đã giải, phép chia đã hoàn thành, tức là thu được thương số chính xác. Tuy nhiên, trong hầu hết các trường hợp, không thể thu được thương số chính xác cho dù chúng ta có tiếp tục chia đến đâu. Đây là một trường hợp như vậy: chia 53 cho 101.
Chúng ta đã nhận được năm chữ số trong thương, nhưng phép chia vẫn chưa kết thúc và không có hy vọng rằng nó sẽ kết thúc, vì trong phần còn lại, chúng ta bắt đầu có những số đã gặp trước đó. Trong thương số, các số cũng sẽ được lặp lại: hiển nhiên sau số 7 sẽ xuất hiện số 5, rồi đến số 2, v.v. Trong những trường hợp như vậy, phép chia bị gián đoạn và bị giới hạn ở một vài chữ số đầu tiên của thương. Một thương số như vậy được gọi là những người thân thiết. Chúng tôi sẽ chỉ ra các ví dụ về cách thực hiện phép chia.
Giả sử cần phải chia 25 cho 3. Rõ ràng, một thương số chính xác, được biểu thị dưới dạng số nguyên hoặc phân số thập phân, không thể thu được từ phép chia như vậy. Vì vậy, chúng tôi sẽ tìm kiếm một thương số gần đúng:
25: 3 = 8 và dư 1
Thương số gần đúng là 8; tất nhiên nó nhỏ hơn thương số chính xác vì có số dư 1. Để có được thương số chính xác, bạn cần cộng phân số thu được bằng cách chia số dư 1 cho 3 với thương số gần đúng tìm được, tức là. , đến 8; đây sẽ là phân số 1/3. Điều này có nghĩa là thương số chính xác sẽ được biểu thị dưới dạng hỗn số 8 1/3. Vì 1/3 là một phân số thích hợp, tức là một phân số, ít hơn một, sau đó, loại bỏ nó, chúng tôi sẽ cho phép lỗi, cái mà ít hơn một. Thương số 8 sẽ là thương số gần đúng đến sự thống nhất với một bất lợi. Nếu thay vì 8, chúng ta lấy 9 trong thương số thì chúng ta cũng sẽ cho phép sai số nhỏ hơn một, vì chúng ta sẽ không cộng toàn bộ đơn vị mà là 2/3. Di chúc riêng như vậy thương số gần đúng trong vòng một với số dư.
Bây giờ hãy lấy một ví dụ khác. Giả sử chúng ta cần chia 27 cho 8. Vì ở đây chúng ta sẽ không nhận được thương số chính xác được biểu thị dưới dạng số nguyên, nên chúng ta sẽ tìm thương số gần đúng:
27: 8 = 3 và dư 3.
Ở đây sai số bằng 3/8, nhỏ hơn một, có nghĩa là thương số gần đúng (3) được tìm thấy chính xác với thương số bất lợi. Ta tiếp tục chia: chia 3 phần còn lại thành phần mười ta được 30 phần mười; chia chúng cho 8.
Chúng ta có 3 ở thương số thay cho phần mười và 6 phần mười ở phần còn lại. Nếu chúng ta giới hạn ở con số 3,3 và loại bỏ 6 số còn lại thì chúng ta sẽ cho phép sai số nhỏ hơn một phần mười. Tại sao? Bởi vì thương số chính xác sẽ thu được khi chúng ta cộng vào 3,3 kết quả của việc chia 6 phần mười cho 8; phép chia này sẽ cho kết quả là 6/80, tức là chưa đến một phần mười. (Kiểm tra!) Vì vậy, nếu trong thương chúng ta giới hạn ở phần mười thì chúng ta có thể nói rằng chúng ta đã tìm thấy thương chính xác đến một phần mười(có nhược điểm).
Hãy tiếp tục chia để tìm một chữ số thập phân khác. Để làm điều này, chúng ta chia 6 phần mười thành phần trăm và nhận được 60 phần trăm; chia chúng cho 8.
Ở thương ở vị trí thứ ba hóa ra là 7 và còn lại là 4 phần trăm; nếu chúng ta loại bỏ chúng, chúng ta sẽ cho phép sai số nhỏ hơn một phần trăm, vì 4 phần trăm chia cho 8 nhỏ hơn một phần trăm. Trong những trường hợp như vậy người ta nói rằng thương đã được tìm thấy chính xác đến một phần trăm(có nhược điểm).
Trong ví dụ chúng ta đang xem, chúng ta có thể nhận được thương số chính xác được biểu thị dưới dạng phân số thập phân. Để làm điều này, chỉ cần chia phần còn lại cuối cùng, 4 phần trăm, thành phần nghìn và chia cho 8.
Tuy nhiên, trong phần lớn các trường hợp, không thể có được thương số chính xác và người ta phải giới hạn ở các giá trị gần đúng của nó. Bây giờ chúng ta sẽ xem ví dụ này:
40: 7 = 5,71428571...
Các dấu chấm đặt ở cuối số cho biết phép chia chưa hoàn thành, tức là đẳng thức là gần đúng. Thông thường đẳng thức gần đúng được viết như sau:
40: 7 = 5,71428571.
Chúng tôi lấy thương có tám chữ số thập phân. Nhưng nếu không cần độ chính xác cao như vậy, bạn có thể giới hạn bản thân chỉ ở toàn bộ phần của thương, tức là số 5 (chính xác hơn là 6); để có độ chính xác cao hơn, người ta có thể tính đến phần mười và lấy thương bằng 5,7; nếu vì lý do nào đó mà độ chính xác này không đủ, thì bạn có thể dừng lại ở phần trăm và lấy 5,71, v.v. Hãy viết ra các thương số riêng lẻ và đặt tên cho chúng.
Thương số gần đúng đầu tiên chính xác đến một 6.
Thứ hai » » » đến một phần mười 5,7.
Thứ ba » » » đến một trăm 5,71.
Thứ tư » » » đến một phần nghìn 5.714.
Do đó, để tìm thương số gần đúng chính xác đối với một số, chẳng hạn như vị trí thập phân thứ 3 (tức là lên đến một phần nghìn), hãy dừng phép chia ngay khi tìm thấy dấu hiệu này. Trong trường hợp này, bạn cần nhớ quy tắc được nêu ở § 40.
§ 113. Các bài toán đơn giản nhất liên quan đến tỷ lệ phần trăm.
Sau khi học về số thập phân, chúng ta sẽ làm thêm một số bài toán về phần trăm.
Những bài toán này tương tự như những bài toán chúng ta đã giải trong phần phân số; nhưng bây giờ chúng ta sẽ viết phần trăm dưới dạng phân số thập phân, nghĩa là không có mẫu số được chỉ định rõ ràng.
Trước hết, bạn cần có khả năng dễ dàng chuyển từ phân số thông thường sang phân số thập phân có mẫu số là 100. Để thực hiện việc này, bạn cần chia tử số cho mẫu số:
Bảng bên dưới cho thấy cách thay thế một số có ký hiệu % (phần trăm) bằng phân số thập phân có mẫu số là 100:
Bây giờ chúng ta hãy xem xét một số vấn đề.
1. Tìm phần trăm của một số cho trước.
Nhiệm vụ 1. Chỉ có 1.600 người sống trong một ngôi làng. Số trẻ em trong độ tuổi đi học chiếm 25% tổng dân số. Có bao nhiêu trẻ em trong độ tuổi đi học ở ngôi làng này?
Trong bài toán này, bạn cần tìm 25%, hay 0,25 của 1.600. Bài toán được giải bằng cách nhân:
1.600 0,25 = 400 (trẻ em).
Do đó, 25% của 1.600 là 400.
Để hiểu rõ ràng nhiệm vụ này, cần nhớ lại rằng cứ một trăm dân số thì có 25 trẻ em trong độ tuổi đi học. Do đó, để tìm số tất cả trẻ em trong độ tuổi đi học, trước tiên bạn có thể tìm xem số 1.600 (16) có bao nhiêu trăm, sau đó nhân 25 với số hàng trăm (25 x 16 = 400). Bằng cách này bạn có thể kiểm tra tính hợp lệ của giải pháp.
Nhiệm vụ 2. Các ngân hàng tiết kiệm cung cấp cho người gửi tiền lợi nhuận 2% hàng năm. Người gửi tiền sẽ nhận được bao nhiêu thu nhập trong một năm nếu anh ta gửi vào sổ đăng ký tiền mặt: a) 200 rúp? b) 500 rúp? c) 750 rúp? d) 1000 chà.?
Trong cả bốn trường hợp, để giải bài toán, bạn sẽ cần tính 0,02 số tiền đã chỉ định, tức là mỗi số này sẽ phải nhân với 0,02. Hãy làm nó:
a) 200 0,02 = 4 (chà.),
b) 500 0,02 = 10 (chà.),
c) 750 0,02 = 15 (chà.),
d) 1.000 0,02 = 20 (chà).
Mỗi trường hợp này có thể được xác minh bằng những cân nhắc sau đây. Các ngân hàng tiết kiệm cung cấp cho người gửi tiền mức lãi 2%, tức là 0,02 số tiền gửi. Nếu số tiền là 100 rúp thì 0,02 trong số đó sẽ là 2 rúp. Điều này có nghĩa là cứ một trăm mang lại cho nhà đầu tư 2 rúp. thu nhập. Do đó, trong mỗi trường hợp được xem xét, chỉ cần tính xem một số nhất định có bao nhiêu trăm và nhân 2 rúp với số hàng trăm này. Trong ví dụ a) có 2 trăm, nghĩa là
2 2 = 4 (chà.).
Trong ví dụ d) có 10 hàng trăm, nghĩa là
2 10 = 20 (chà.).
2. Tìm một số theo phần trăm của nó.
Nhiệm vụ 1. Trường đã tốt nghiệp 54 học sinh vào mùa xuân, chiếm 6% tổng số học sinh ghi danh. Có bao nhiêu học sinh ở trường vào năm học vừa qua?
Đầu tiên chúng ta hãy làm rõ ý nghĩa của nhiệm vụ này. Trường có 54 học sinh tốt nghiệp, chiếm 6% tổng số học sinh, hay nói cách khác là 6 phần trăm (0,06) tổng số học sinh của trường. Điều này có nghĩa là chúng ta biết phần học sinh được biểu thị bằng số (54) và phân số (0,06), và từ phân số này chúng ta phải tìm ra toàn bộ số. Vì vậy, trước mắt chúng ta có một nhiệm vụ thông thường là tìm một số từ phân số của nó (§90, đoạn 6). Các bài toán thuộc loại này được giải bằng phép chia:
Điều này có nghĩa là trường chỉ có 900 học sinh.
Sẽ rất hữu ích khi kiểm tra những bài toán như vậy bằng cách giải bài toán nghịch đảo, tức là sau khi giải bài toán, ít nhất trong đầu bạn nên giải bài toán loại thứ nhất (tìm phần trăm của một số đã cho): lấy số tìm được ( 900) như đã cho và tìm phần trăm của nó được chỉ ra trong bài toán đã giải, cụ thể là:
900 0,06 = 54.
Nhiệm vụ 2. Gia đình chi 780 rúp cho thực phẩm trong tháng, bằng 65% thu nhập hàng tháng của người cha. Xác định thu nhập hàng tháng của anh ấy.
Nhiệm vụ này có ý nghĩa tương tự như nhiệm vụ trước. Nó cung cấp một phần thu nhập hàng tháng, được biểu thị bằng rúp (780 rúp) và cho biết phần này là 65% hoặc 0,65 trong tổng thu nhập. Và những gì bạn đang tìm kiếm là tất cả các khoản thu nhập:
780: 0,65 = 1 200.
Do đó, thu nhập yêu cầu là 1200 rúp.
3. Tìm phần trăm của các số.
Nhiệm vụ 1. Thư viện trường chỉ có 6.000 cuốn sách. Trong số đó có 1.200 cuốn sách về toán học. Hỏi số sách toán ở thư viện chiếm bao nhiêu phần trăm số sách môn toán?
Chúng ta đã xem xét (§97) các bài toán loại này và đi đến kết luận rằng để tính tỷ lệ phần trăm của hai số, bạn cần tìm tỷ lệ của các số này và nhân nó với 100.
Trong bài toán chúng ta cần tìm tỉ số phần trăm của các số 1.200 và 6.000.
Trước tiên chúng ta hãy tìm tỷ lệ của chúng rồi nhân nó với 100:
Như vậy tỉ lệ phần trăm của các số 1.200 và 6.000 là 20. Nói cách khác, sách toán chiếm 20% tổng số sách.
Để kiểm tra, hãy giải bài toán nghịch đảo: tìm 20% của 6.000:
6 000 0,2 = 1 200.
Nhiệm vụ 2. Nhà máy sẽ tiếp nhận 200 tấn than. 80 tấn đã được chuyển giao cho nhà máy.
Bài toán này hỏi một số (80) bằng bao nhiêu phần trăm của một số khác (200). Tỷ lệ của những con số này sẽ là 80/200. Hãy nhân nó với 100:
Điều này có nghĩa là 40% lượng than đã được giao.
Chia cho một phân số thập phân được rút gọn thành chia cho một số tự nhiên.
Quy tắc chia một số cho một phân số thập phân
Để chia một số cho một phân số thập phân, bạn cần di chuyển dấu thập phân ở cả số bị chia và số chia theo số chữ số sang phải bằng số có trong số chia sau dấu thập phân. Sau đó, chia cho một số tự nhiên.
Ví dụ.
Chia cho phân số thập phân:
Để chia cho một số thập phân, bạn cần di chuyển dấu thập phân trong cả số bị chia và số chia theo số chữ số sang phải bằng số sau dấu thập phân trong số chia, tức là bằng một chữ số. Chúng ta nhận được: 35.1: 1.8 = 351: 18. Bây giờ chúng ta thực hiện phép chia với một góc. Kết quả ta được: 35,1: 1,8 = 19,5.
2) 14,76: 3,6
Để chia các phân số thập phân, ở cả số bị chia và số chia, chúng ta chuyển dấu thập phân sang đúng một vị trí: 14,76: 3,6 = 147,6: 36. Bây giờ chúng ta thực hiện một số tự nhiên. Kết quả: 14,76: 3,6 = 4,1.
Để chia một số tự nhiên cho một phân số thập phân, bạn cần di chuyển cả số bị chia và số chia sang bên phải nhiều vị trí như số có trên số chia sau dấu thập phân. Vì dấu phẩy không được viết trong số chia trong trường hợp này nên chúng ta điền số ký tự còn thiếu bằng số 0: 70: 1,75 = 7000: 175. Chia các số tự nhiên thu được bằng một góc: 70: 1,75 = 7000: 175 = 40 .
4) 0,1218: 0,058
Để chia một phân số thập phân cho một phân số khác, chúng ta di chuyển dấu thập phân sang phải trong cả số bị chia và số chia với số chữ số bằng số có trong số chia sau dấu thập phân, tức là ba chữ số thập phân. Do đó, 0,1218: 0,058 = 121,8: 58. Chia cho phân số thập phân được thay thế bằng chia cho số tự nhiên. Chúng tôi chia sẻ một góc. Ta có: 0,1218: 0,058 = 121,8: 58 = 2,1.
5) 0,0456: 3,8
Chúng ta hãy xem các ví dụ về chia số thập phân theo cách này.
Ví dụ.
Chia phân số thập phân 1,2 cho phân số thập phân 0,48.
Giải pháp.
Trả lời:
1,2:0,48=2,5 .
Ví dụ.
Chia phân số thập phân tuần hoàn 0.(504) cho phân số thập phân 0,56.
Giải pháp.
Hãy chuyển đổi một phần thập phân định kỳ thành một phần thông thường: . Chúng ta cũng chuyển phân số thập phân cuối cùng 0,56 thành phân số thông thường, ta có 0,56 = 56/100. Bây giờ chúng ta có thể chuyển từ chia số thập phân ban đầu sang chia phân số thông thường và kết thúc phép tính: .
Hãy chuyển đổi phân số thông thường thu được thành phân số thập phân bằng cách chia tử số cho mẫu số và một cột:
Trả lời:
0,(504):0,56=0,(900) .
Nguyên lý chia vô hạn phân số thập phân không tuần hoàn khác với nguyên tắc chia phân số thập phân hữu hạn và tuần hoàn, vì phân số thập phân không tuần hoàn không thể chuyển đổi thành phân số thông thường. Phép chia vô hạn các phân số thập phân không tuần hoàn được rút gọn thành phép chia các phân số thập phân hữu hạn mà chúng ta thực hiện làm tròn sốđến một mức độ nhất định. Hơn nữa, nếu một trong các số thực hiện phép chia là phân số thập phân hữu hạn hoặc tuần hoàn, thì nó cũng được làm tròn đến cùng chữ số với phân số thập phân không tuần hoàn.
Ví dụ.
Chia số thập phân vô hạn không tuần hoàn 0,779... cho số thập phân hữu hạn 1,5602.
Giải pháp.
Trước tiên, bạn cần làm tròn số thập phân để có thể chuyển từ chia số thập phân vô hạn không tuần hoàn sang chia số thập phân hữu hạn. Chúng ta có thể làm tròn đến hàng trăm gần nhất: 0,779…≈0,78 và 1,5602≈1,56. Do đó, 0,779…:1,5602≈0,78:1,56= 78/100:156/100=78/100·100/156= 78/156=1/2=0,5 .
Trả lời:
0,779…:1,5602≈0,5 .
Chia số tự nhiên cho phân số thập phân và ngược lại
Bản chất của cách chia một số tự nhiên cho một phân số thập phân và chia một phân số thập phân cho một số tự nhiên không khác gì bản chất của việc chia phân số thập phân. Nghĩa là, các phân số hữu hạn và định kỳ được thay thế bằng các phân số thông thường và các phân số vô hạn không định kỳ được làm tròn.
Để minh họa, hãy xem xét ví dụ chia một phân số thập phân cho một số tự nhiên.
Ví dụ.
Chia phân số thập phân 25,5 cho số tự nhiên 45.
Giải pháp.
Bằng cách thay phân số thập phân 25,5 bằng phân số chung 255/10=51/2, phép chia được rút gọn thành chia một phân số cho một số tự nhiên: . Phân số thu được ở dạng thập phân có dạng 0,5(6) .
Trả lời:
25,5:45=0,5(6) .
Chia một phân số thập phân cho một số tự nhiên có cột
Thật thuận tiện khi chia phân số thập phân hữu hạn thành số tự nhiên trong một cột bằng cách tương tự với chia theo cột số tự nhiên. Hãy trình bày quy tắc chia.
ĐẾN chia một phần thập phân cho một số tự nhiên bằng cột, cần thiết:
- thêm một số chữ số 0 vào bên phải phần thập phân được chia (trong quá trình chia, nếu cần, bạn có thể thêm bất kỳ số 0 nào, nhưng những số 0 này có thể không cần thiết);
- thực hiện phép chia một cột của một phân số thập phân cho một số tự nhiên theo tất cả các quy tắc chia cho một cột số tự nhiên, nhưng khi thực hiện xong phép chia toàn bộ phần thập phân thì vào thương số cần đặt dấu phẩy và tiếp tục phép chia.
Hãy nói ngay rằng bằng cách chia một phân số thập phân hữu hạn cho một số tự nhiên, bạn có thể nhận được phân số thập phân hữu hạn hoặc phân số thập phân tuần hoàn vô hạn. Thật vậy, sau khi hoàn thành phép chia tất cả các chữ số thập phân khác 0 của phân số được chia, phần dư có thể bằng 0 và chúng ta sẽ nhận được phân số thập phân cuối cùng hoặc phần dư sẽ bắt đầu lặp lại định kỳ và chúng ta sẽ nhận được một phân số thập phân định kỳ.
Chúng ta hãy hiểu tất cả sự phức tạp của việc chia phân số thập phân cho số tự nhiên trong một cột khi giải các ví dụ.
Ví dụ.
Chia phần thập phân 65,14 cho 4.
Giải pháp.
Hãy chia một phần thập phân cho một số tự nhiên bằng cột. Hãy thêm một vài số 0 vào bên phải trong ký hiệu của phân số 65,14 và chúng ta sẽ nhận được một phân số thập phân bằng 65,1400 (xem phân số thập phân bằng nhau và không bằng nhau). Bây giờ bạn có thể bắt đầu chia bằng một cột phần nguyên của phân số thập phân 65,1400 cho số tự nhiên 4: 
Điều này hoàn thành việc chia phần nguyên của phân số thập phân. Ở đây trong thương số bạn cần đặt dấu thập phân và tiếp tục chia: 
Chúng ta đã đạt đến số dư là 0, ở giai đoạn này việc chia cho cột kết thúc. Kết quả là chúng ta có 65,14:4=16,285.
Trả lời:
65,14:4=16,285 .
Ví dụ.
Chia 164,5 cho 27.
Giải pháp.
Hãy chia phần thập phân cho một số tự nhiên bằng cột. Sau khi chia toàn bộ phần chúng ta có được hình ảnh sau: 
Bây giờ chúng ta đặt dấu phẩy vào thương và tiếp tục chia bằng một cột: 
Bây giờ có thể thấy rõ rằng các số dư 25, 7 và 16 đã bắt đầu lặp lại, trong khi ở thương số 9, 2 và 5 được lặp lại. Do đó, chia số thập phân 164,5 cho 27 sẽ cho chúng ta số thập phân tuần hoàn 6,0(925) .
Trả lời:
164,5:27=6,0(925) .
Cột chia phân số thập phân
Phép chia một phân số thập phân cho một phân số thập phân có thể rút gọn thành chia một phân số thập phân cho một số tự nhiên có một cột. Để làm điều này, số bị chia và số chia phải được nhân với một số như 10, 100 hoặc 1.000, v.v. để số chia trở thành số tự nhiên, sau đó chia cho một số tự nhiên có cột. Chúng ta có thể làm điều này nhờ vào các tính chất của phép chia và phép nhân, vì a:b=(a·10):(b·10) , a:b=(a·100):(b·100) v.v.
Nói cách khác, chia một số thập phân cuối cho một số thập phân cuối, cần phải:
- trong số bị chia và số chia, di chuyển dấu phẩy sang phải bao nhiêu vị trí sau dấu thập phân trong số chia; nếu trong số bị chia không đủ dấu để di chuyển dấu phẩy thì bạn cần thêm số lượng cần thiết; số không ở bên phải;
- Sau đó, chia một cột thập phân cho một số tự nhiên.
Khi giải một ví dụ, hãy xem xét việc áp dụng quy tắc chia này cho một phân số thập phân.
Ví dụ.
Chia một cột 7,287 cho 2,1.
Giải pháp.
Hãy di chuyển dấu phẩy trong các phân số thập phân này sang bên phải một chữ số, điều này sẽ cho phép chúng ta chuyển từ chia phân số thập phân 7,287 cho phân số thập phân 2.1 sang chia phân số thập phân 72,87 cho số tự nhiên 21. Hãy thực hiện chia theo cột: 
Trả lời:
7,287:2,1=3,47 .
Ví dụ.
Chia số thập phân 16,3 cho số thập phân 0,021.
Giải pháp.
Di chuyển dấu phẩy trong số bị chia và số chia sang bên phải ba vị trí. Rõ ràng, số chia không có đủ chữ số để di chuyển dấu thập phân nên chúng ta sẽ cộng số 0 cần thiết vào bên phải. Bây giờ hãy chia phân số 16300.0 có cột cho số tự nhiên 21: 
Kể từ thời điểm này, các số dư 4, 19, 1, 10, 16 và 13 bắt đầu lặp lại, nghĩa là các số 1, 9, 0, 4, 7 và 6 trong thương số cũng sẽ được lặp lại. Kết quả là chúng ta nhận được phân số thập phân tuần hoàn 776,(190476) .
Trả lời:
16,3:0,021=776,(190476) .
Lưu ý rằng quy tắc đã công bố cho phép bạn chia một số tự nhiên cho một cột thành phân số thập phân cuối cùng.
Ví dụ.
Chia số tự nhiên 3 cho phân số thập phân 5.4.
Giải pháp.
Sau khi di chuyển dấu thập phân sang phải một chữ số, chúng ta sẽ chia số 30,0 cho 54. Hãy thực hiện chia theo cột: 
.
Quy tắc này cũng có thể áp dụng khi chia phân số thập phân vô hạn cho 10, 100, .... Ví dụ: 3,(56):1,000=0,003(56) và 593.374…:100=5.93374… .
Chia số thập phân cho 0,1, 0,01, 0,001, v.v.
Vì 0,1 = 1/10, 0,01 = 1/100, v.v., nên từ quy tắc chia cho một phân số chung, nó tuân theo chia phân số thập phân cho 0,1, 0,01, 0,001, v.v. . nó giống như nhân một số thập phân đã cho với 10, 100, 1.000, v.v. tương ứng.
Nói cách khác, để chia một phân số thập phân cho 0,1, 0,01,... bạn cần chuyển dấu thập phân sang phải 1, 2, 3, ... chữ số, và nếu số chữ số trong phân số thập phân không đủ để di chuyển dấu thập phân thì bạn cần cộng số cần tìm vào số 0 bên phải.
Ví dụ: 5,739:0,1=57,39 và 0,21:0,00001=21.000.
Quy tắc tương tự có thể được áp dụng khi chia phân số thập phân vô hạn cho 0,1, 0,01, 0,001, v.v. Trong trường hợp này, bạn nên hết sức cẩn thận khi chia các phân số tuần hoàn để không nhầm lẫn về chu kỳ của phân số thu được khi chia. Ví dụ: 7.5(716):0.01=757,(167), vì sau khi di chuyển dấu thập phân trong phân số thập phân 7.5716716716... sang hai vị trí bên phải, chúng ta có mục 757.167167.... Với phân số thập phân không định kỳ vô hạn, mọi thứ đơn giản hơn: 394,38283…:0,001=394382,83… .
Chia một phân số hoặc hỗn số cho số thập phân và ngược lại
Chia một phân số chung hoặc hỗn số cho một phân số thập phân hữu hạn hoặc tuần hoàn, cũng như chia một phân số thập phân hữu hạn hoặc tuần hoàn cho một phân số chung hoặc hỗn số, đều dẫn đến chia phân số chung. Để làm điều này, phân số thập phân được thay thế bằng phân số thông thường tương ứng và hỗn số được biểu diễn dưới dạng phân số không chính xác.
Khi chia một phân số thập phân vô hạn không tuần hoàn cho một phân số chung hoặc hỗn số và ngược lại, bạn nên tiến hành chia phân số thập phân, thay phân số chung hoặc hỗn số bằng phân số thập phân tương ứng.
Thư mục.
- toán học: sách giáo khoa cho lớp 5. giáo dục phổ thông tổ chức / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - Tái bản lần thứ 21, đã xóa. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 trang.: ốm. ISBN 5-346-00699-0.
- Toán học. Lớp 6: giáo dục. cho giáo dục phổ thông tổ chức / [N. Vâng, Vilenkin và những người khác]. - Tái bản lần thứ 22, sửa đổi. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 tr.: ốm. ISBN 978-5-346-00897-2.
- Đại số học: sách giáo khoa cho lớp 8. giáo dục phổ thông tổ chức / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; sửa bởi S. A. Telyakovsky. - tái bản lần thứ 16. - M.: Giáo dục, 2008. - 271 tr. : ốm. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Gusev V. A., Mordkovich A. G. Toán (sổ tay dành cho thí sinh vào các trường kỹ thuật): Proc. phụ cấp.- M.; Cao hơn trường học, 1984.-351 trang, bệnh.
Nhiều học sinh quên cách làm phép chia dài khi lên trung học. Máy tính, máy tính, điện thoại di động và các thiết bị khác đã trở nên không thể thiếu trong cuộc sống của chúng ta đến nỗi các phép toán cơ bản đôi khi khiến chúng ta choáng váng. Và cách đây vài thập kỷ mọi người đã làm thế nào để quản lý được khi không có tất cả những lợi ích này? Đầu tiên, bạn cần nhớ các khái niệm toán học cơ bản cần thiết cho phép chia. Vì vậy, số bị chia là số sẽ được chia. Số chia - số cần chia. Kết quả đạt được được gọi là thương số. Để chia thành dòng thì dùng ký hiệu tương tự như dấu hai chấm - “:”, khi chia thành cột thì dùng biểu tượng “∟” còn gọi là góc.
Cũng cần nhắc lại rằng bất kỳ phép chia nào cũng có thể được kiểm tra bằng phép nhân. Để kiểm tra kết quả của phép chia, chỉ cần nhân nó với số chia; kết quả phải là một số tương ứng với số bị chia (a: b=c; do đó, c*b=a). Bây giờ về phân số thập phân là gì. Một phân số thập phân thu được bằng cách chia đơn vị cho 0,0, 1000, v.v. Việc ghi các số này và các phép toán với chúng hoàn toàn giống với số nguyên. Khi chia phân số thập phân, không cần nhớ mẫu số nằm ở đâu. Mọi thứ trở nên rõ ràng khi viết số. Đầu tiên, toàn bộ số được viết và sau dấu thập phân được viết phần mười, phần trăm, phần nghìn. Chữ số đầu tiên sau dấu thập phân tương ứng với hàng chục, số thứ hai tương ứng với hàng trăm, số thứ ba tương ứng với hàng nghìn, v.v.
Mỗi học sinh cần biết cách chia số thập phân cho số thập phân. Nếu cả số bị chia và số chia được nhân với cùng một số thì kết quả, tức là thương, sẽ không thay đổi. Nếu một phân số thập phân được nhân với 0,0, 1000, v.v., thì dấu phẩy sau toàn bộ số sẽ thay đổi vị trí của nó - nó sẽ di chuyển sang bên phải với cùng số chữ số giống như số 0 trong số được nhân với. Ví dụ: khi nhân một số thập phân với 10, dấu thập phân sẽ di chuyển một số sang phải. 2,9: 6,7 – ta nhân cả số chia và số bị chia với 100, ta được 6,9: 3687. Tốt nhất nên nhân sao cho khi nhân với nó có ít nhất một số (số chia hoặc số bị chia) không còn chữ số nào sau dấu thập phân , tức là biến ít nhất một số thành số nguyên. Thêm một vài ví dụ về di chuyển dấu phẩy sau một số nguyên: 9.2: 1.5 = 2492: 2.5; 5,4:4,8 = 5344:74598.
Chú ý, phân số thập phân sẽ không thay đổi giá trị nếu thêm số 0 vào vế phải của nó, ví dụ 3,8 = 3,0. Ngoài ra, giá trị của phân số sẽ không thay đổi nếu loại bỏ các số 0 ở cuối số bên phải: 3,0 = 3,3. Tuy nhiên, bạn không thể bỏ số 0 ở giữa số - 3,3. Làm thế nào để chia một phần thập phân cho một số tự nhiên trong một cột? Để chia một phân số thập phân cho một số tự nhiên trong một cột, bạn cần viết các ký hiệu thích hợp bằng góc, chia. Trong thương, phải đặt dấu phẩy khi phép chia số nguyên kết thúc. Ví dụ: 5,4|2 14 7,2 18 18 0 4 4 0Nếu chữ số đầu tiên của số trong số bị chia nhỏ hơn số chia thì các chữ số tiếp theo sẽ được sử dụng cho đến khi có thể thực hiện hành động đầu tiên.
Trong trường hợp này, chữ số đầu tiên của số bị chia là 1, không chia được cho 2 nên dùng hai chữ số 1 và 5 để chia cùng một lúc: 15 cho 2 chia với số dư thì là thương của 7, số dư vẫn là 1. Sau đó, chúng ta sử dụng chữ số tiếp theo của số bị chia - 8. Chúng ta hạ nó xuống 1 và chia 18 cho 2. Trong thương số, chúng ta viết số 9. Không còn gì trong phần còn lại, vì vậy chúng ta viết 0. Chúng ta hạ số 4 còn lại của số bị chia xuống và chia cho số chia, tức là cho 2. Trong thương, chúng ta viết ra 2, và số dư lại là 0. Kết quả của phép chia này là số 7.2. Nó được gọi là riêng tư. Khá dễ dàng để giải quyết câu hỏi làm thế nào để chia một số thập phân cho một số thập phân nếu bạn biết một vài thủ thuật. Việc chia số thập phân về mặt tinh thần đôi khi khá khó khăn, vì vậy phép chia dài được sử dụng để làm cho quá trình này dễ dàng hơn.
Với phép chia này, tất cả các quy tắc tương tự đều được áp dụng như khi chia một phần thập phân cho một số nguyên hoặc khi chia thành một chuỗi. Ở phía bên trái của dòng họ viết số bị chia, sau đó đặt ký hiệu “góc” rồi viết số chia và bắt đầu chia. Để thuận tiện cho việc chia và di chuyển dấu phẩy sau số nguyên đến vị trí thuận tiện, bạn có thể nhân với hàng chục, hàng trăm hoặc hàng nghìn. Ví dụ: 9,2: 1,5 = 24920: 125. Chú ý, cả hai phân số đều được nhân với 0,0, 1000. Nếu số bị chia được nhân với 10 thì số chia cũng được nhân với 10. Trong ví dụ này, cả số bị chia và số chia đều được nhân với 100. Tiếp theo, phép tính được thực hiện theo cách tương tự như trong ví dụ chia một phân số thập phân với một số tự nhiên. Để chia cho 0,1; 0,1; 0,1, v.v. cần nhân cả số chia và số bị chia với 0,0, 1000.
Khá thường xuyên, khi chia cho một thương số, tức là trong câu trả lời, sẽ thu được phân số vô hạn. Trong trường hợp này, cần làm tròn số đến phần mười, phần trăm hoặc phần nghìn. Trong trường hợp này, quy tắc được áp dụng: nếu sau số mà câu trả lời cần làm tròn nhỏ hơn hoặc bằng 5 thì câu trả lời sẽ được làm tròn xuống, nhưng nếu lớn hơn 5 thì câu trả lời sẽ được làm tròn lên. Ví dụ: bạn muốn làm tròn kết quả từ 5,5 đến phần nghìn. Điều này có nghĩa là đáp án sau dấu thập phân phải kết thúc bằng số 6. Sau 6 có 9, nghĩa là chúng ta làm tròn đáp án lên và nhận được 5,7. Nhưng nếu câu trả lời 5.5 cần được làm tròn không phải đến phần nghìn mà đến phần mười, thì câu trả lời sẽ như thế này - 5.2. Trong trường hợp này, 2 không được làm tròn vì 3 đứng sau nó và nhỏ hơn 5.