Duy trì sự riêng tư của bạn là quan trọng đối với chúng tôi. Vì lý do này, chúng tôi đã phát triển Chính sách quyền riêng tư mô tả cách chúng tôi sử dụng và lưu trữ thông tin của bạn. Vui lòng xem lại các biện pháp bảo mật của chúng tôi và cho chúng tôi biết nếu bạn có bất kỳ câu hỏi nào.
Thu thập và sử dụng thông tin cá nhân
Thông tin cá nhân đề cập đến dữ liệu có thể được sử dụng để nhận dạng hoặc liên hệ với một người cụ thể.
Bạn có thể được yêu cầu cung cấp thông tin cá nhân của mình bất cứ lúc nào khi bạn liên hệ với chúng tôi.
Dưới đây là một số ví dụ về các loại thông tin cá nhân chúng tôi có thể thu thập và cách chúng tôi có thể sử dụng thông tin đó.
Chúng tôi thu thập những thông tin cá nhân nào:
- Khi bạn gửi đơn đăng ký trên trang web, chúng tôi có thể thu thập nhiều thông tin khác nhau, bao gồm tên, số điện thoại, địa chỉ email, v.v.
Cách chúng tôi sử dụng thông tin cá nhân của bạn:
- Thông tin cá nhân chúng tôi thu thập cho phép chúng tôi liên hệ với bạn về các ưu đãi, khuyến mãi độc đáo cũng như các sự kiện khác và sự kiện sắp tới.
- Đôi khi, chúng tôi có thể sử dụng thông tin cá nhân của bạn để gửi các thông báo và liên lạc quan trọng.
- Chúng tôi cũng có thể sử dụng thông tin cá nhân cho các mục đích nội bộ, chẳng hạn như tiến hành kiểm toán, phân tích dữ liệu và các nghiên cứu khác nhau nhằm cải thiện các dịch vụ chúng tôi cung cấp và cung cấp cho bạn các đề xuất về dịch vụ của chúng tôi.
- Nếu bạn tham gia rút thăm trúng thưởng, cuộc thi hoặc chương trình khuyến mãi tương tự, chúng tôi có thể sử dụng thông tin bạn cung cấp để quản lý các chương trình đó.
Tiết lộ thông tin cho bên thứ ba
Chúng tôi không tiết lộ thông tin nhận được từ bạn cho bên thứ ba.
Ngoại lệ:
- Nếu cần thiết - theo luật pháp, thủ tục tư pháp, thủ tục tố tụng và/hoặc trên cơ sở yêu cầu công khai hoặc yêu cầu từ các cơ quan chính phủ ở Liên bang Nga - tiết lộ thông tin cá nhân của bạn. Chúng tôi cũng có thể tiết lộ thông tin về bạn nếu chúng tôi xác định rằng việc tiết lộ đó là cần thiết hoặc phù hợp cho mục đích bảo mật, thực thi pháp luật hoặc các mục đích quan trọng khác.
- Trong trường hợp tổ chức lại, sáp nhập hoặc bán, chúng tôi có thể chuyển thông tin cá nhân mà chúng tôi thu thập cho bên thứ ba kế thừa hiện hành.
Bảo vệ thông tin cá nhân
Chúng tôi thực hiện các biện pháp phòng ngừa - bao gồm hành chính, kỹ thuật và vật lý - để bảo vệ thông tin cá nhân của bạn khỏi bị mất, trộm và lạm dụng cũng như truy cập, tiết lộ, thay đổi và phá hủy trái phép.
Tôn trọng quyền riêng tư của bạn ở cấp độ công ty
Để đảm bảo thông tin cá nhân của bạn được bảo mật, chúng tôi truyền đạt các tiêu chuẩn về quyền riêng tư và bảo mật cho nhân viên của mình và thực thi nghiêm ngặt các biện pháp bảo mật.
Bài viết này nói về đường thẳng song song và đường thẳng song song. Đầu tiên, đưa ra định nghĩa về các đường thẳng song song trên mặt phẳng và trong không gian, giới thiệu các ký hiệu, đưa ra ví dụ và minh họa bằng đồ họa về các đường thẳng song song. Tiếp theo, các dấu hiệu và điều kiện cho sự song song của các đường thẳng sẽ được thảo luận. Tóm lại, các giải pháp cho các vấn đề điển hình trong việc chứng minh tính song song của các đường thẳng được đưa ra bởi các phương trình nhất định của đường thẳng trong hệ tọa độ hình chữ nhật trên mặt phẳng và trong không gian ba chiều.
Điều hướng trang.
Đường song song - thông tin cơ bản.
Sự định nghĩa.
Hai đường thẳng trong mặt phẳng được gọi là song song, nếu chúng không có điểm chung.
Sự định nghĩa.
Hai đường thẳng trong không gian ba chiều được gọi là song song, nếu chúng nằm trong cùng một mặt phẳng và không có điểm chung.
Xin lưu ý rằng mệnh đề “nếu chúng nằm trong cùng một mặt phẳng” trong định nghĩa các đường thẳng song song trong không gian là rất quan trọng. Chúng ta hãy làm rõ điểm này: hai đường thẳng trong không gian ba chiều không có điểm chung và không nằm trong cùng một mặt phẳng thì không song song mà cắt nhau.
Dưới đây là một số ví dụ về các đường thẳng song song. Các cạnh đối diện của tờ vở nằm trên những đường thẳng song song. Các đường thẳng nối mặt phẳng tường của ngôi nhà với mặt phẳng trần và sàn là song song. Đường ray trên mặt đất cũng có thể được coi là đường song song.
Để biểu thị các đường thẳng song song, hãy sử dụng ký hiệu “”. Nghĩa là, nếu đường thẳng a và b song song thì chúng ta có thể viết ngắn gọn a b.
Lưu ý: nếu đường thẳng a và b song song thì ta có thể nói đường thẳng a song song với đường thẳng b và đường thẳng b cũng song song với đường thẳng a.
Chúng ta hãy phát biểu một phát biểu có vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu các đường thẳng song song trên mặt phẳng: qua một điểm không nằm trên một đường thẳng cho trước sẽ có một đường thẳng duy nhất song song với đường thẳng đã cho. Tuyên bố này được chấp nhận như một thực tế (nó không thể được chứng minh dựa trên các tiên đề đã biết về phép đo mặt phẳng) và nó được gọi là tiên đề của các đường thẳng song song.
Đối với trường hợp trong không gian, định lý đúng: qua bất kỳ điểm nào trong không gian không nằm trên một đường thẳng cho trước, luôn có một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho. Định lý này được chứng minh dễ dàng bằng tiên đề đường thẳng song song trên (bạn có thể tìm cách chứng minh trong sách giáo khoa hình học lớp 10-11, được liệt kê ở cuối bài trong danh sách tài liệu tham khảo).
Đối với trường hợp trong không gian, định lý đúng: qua bất kỳ điểm nào trong không gian không nằm trên một đường thẳng cho trước, luôn có một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho. Định lý này có thể được chứng minh dễ dàng bằng tiên đề đường thẳng song song ở trên.
Sự song song của đường thẳng - dấu hiệu và điều kiện của sự song song.
Dấu hiệu của sự song song của đường thẳng là điều kiện đủ để các đường thẳng song song, nghĩa là điều kiện thỏa mãn đảm bảo các đường thẳng song song. Nói cách khác, việc đáp ứng điều kiện này là đủ để chứng minh thực tế rằng các đường thẳng song song.
Ngoài ra còn có các điều kiện cần và đủ cho sự song song của các đường thẳng trên một mặt phẳng và trong không gian ba chiều.
Hãy giải thích ý nghĩa của cụm từ “điều kiện cần và đủ để có hai đường thẳng song song”.
Ta đã xét điều kiện đủ để có đường thẳng song song. "Điều kiện cần để có đường thẳng song song" là gì? Từ cái tên “cần thiết”, rõ ràng việc đáp ứng điều kiện này là cần thiết đối với các đường thẳng song song. Nói cách khác, nếu điều kiện cần để các đường thẳng song song không được đáp ứng thì các đường thẳng đó không song song. Như vậy, điều kiện cần và đủ của đường thẳng song song là điều kiện cần và đủ để có các đường thẳng song song. Nghĩa là, một mặt đây là dấu hiệu của sự song song của các đường thẳng, mặt khác đây là tính chất mà các đường thẳng song song có.
Trước khi xây dựng điều kiện cần và đủ cho sự song song của các đường thẳng, nên nhớ lại một số định nghĩa phụ trợ.
Đường cát tuyến là đường thẳng cắt từng đường thẳng trong số hai đường thẳng cho trước không trùng nhau.
Khi hai đường thẳng giao nhau với một đường ngang, tám đường thẳng chưa phát triển sẽ được hình thành. Trong việc xây dựng điều kiện cần và đủ cho sự song song của các đường thẳng, cái gọi là nằm ngang, tương ứng Và góc một bên. Hãy thể hiện chúng trong bản vẽ.
Định lý.
Nếu hai đường thẳng trong một mặt phẳng cắt nhau bởi một đường thẳng thì để chúng song song thì điều kiện cần và đủ là các góc giao nhau bằng nhau hoặc các góc tương ứng bằng nhau hoặc tổng các góc một cạnh bằng 180 độ.
Chúng ta hãy minh họa bằng hình ảnh về điều kiện cần và đủ này cho sự song song của các đường thẳng trên một mặt phẳng.
Bạn có thể tìm thấy cách chứng minh các điều kiện về tính song song của các đường thẳng trong sách giáo khoa hình học lớp 7-9.
Lưu ý rằng những điều kiện này cũng có thể được sử dụng trong không gian ba chiều - điều chính là hai đường thẳng và đường thẳng nằm trong cùng một mặt phẳng.
Dưới đây là một số định lý thường được sử dụng để chứng minh tính song song của đường thẳng.
Định lý.
Nếu hai đường thẳng trong mặt phẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba thì chúng song song. Việc chứng minh tiêu chuẩn này được suy ra từ tiên đề đường thẳng song song.
Điều kiện tương tự xảy ra đối với các đường thẳng song song trong không gian ba chiều.
Định lý.
Nếu hai đường thẳng trong không gian song song với đường thẳng thứ ba thì chúng song song. Việc chứng minh tiêu chí này đã được bàn đến trong bài học hình học lớp 10.
Hãy minh họa các định lý đã nêu.
Chúng ta hãy trình bày một định lý khác cho phép chúng ta chứng minh tính song song của các đường thẳng trên một mặt phẳng.
Định lý.
Nếu hai đường thẳng trong mặt phẳng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì chúng song song.
Có một định lý tương tự cho các đường thẳng trong không gian.
Định lý.
Nếu hai đường thẳng trong không gian ba chiều vuông góc với cùng một mặt phẳng thì chúng song song.
Hãy vẽ các hình ảnh tương ứng với các định lý này.
Tất cả các định lý, tiêu chí và điều kiện cần và đủ nêu trên đều rất tốt trong việc chứng minh tính song song của đường thẳng bằng phương pháp hình học. Nghĩa là, để chứng minh sự song song của hai đường thẳng cho trước, bạn cần chứng minh chúng song song với đường thẳng thứ ba, hoặc chứng minh sự bằng nhau của các góc nằm ngang, v.v. Nhiều bài toán tương tự được giải trong bài học hình học ở trường phổ thông. Tuy nhiên, cần lưu ý rằng trong nhiều trường hợp, việc sử dụng phương pháp tọa độ để chứng minh sự song song của các đường thẳng trên mặt phẳng hoặc trong không gian ba chiều sẽ thuận tiện hơn. Chúng ta hãy xây dựng các điều kiện cần và đủ cho sự song song của các đường thẳng được chỉ định trong hệ tọa độ hình chữ nhật.
Tính song song của các đường trong hệ tọa độ chữ nhật.
Trong đoạn này của bài viết chúng tôi sẽ xây dựng điều kiện cần và đủ của đường thẳng song song trong hệ tọa độ hình chữ nhật, tùy thuộc vào loại phương trình xác định các đường này và chúng tôi cũng sẽ cung cấp lời giải chi tiết cho các bài toán đặc trưng.
Hãy bắt đầu với điều kiện song song của hai đường thẳng trên một mặt phẳng trong hệ tọa độ chữ nhật Oxy. Chứng minh của ông dựa trên định nghĩa vectơ chỉ phương của một đường thẳng và định nghĩa vectơ pháp tuyến của một đường thẳng trên mặt phẳng.
Định lý.
Để hai đường thẳng không trùng nhau song song trong một mặt phẳng thì điều kiện đủ là các vectơ chỉ phương của các đường thẳng này thẳng hàng hoặc các vectơ pháp tuyến của các đường thẳng này thẳng hàng hoặc vectơ chỉ phương của một đường thẳng vuông góc với pháp tuyến vectơ của dòng thứ hai.
Rõ ràng, điều kiện song song của hai đường thẳng trên một mặt phẳng được rút gọn thành (vectơ chỉ phương của đường thẳng hoặc vectơ pháp tuyến của đường thẳng) hoặc (vectơ chỉ phương của một đường thẳng và vectơ pháp tuyến của đường thẳng thứ hai). Do đó, nếu và là các vectơ chỉ phương của đường thẳng a và b, và 
Và 
lần lượt là các vectơ pháp tuyến của đường thẳng a và b, khi đó điều kiện cần và đủ để đường thẳng a và b song song sẽ được viết là 
, hoặc 
, hoặc , trong đó t là một số thực. Ngược lại, tọa độ của các hướng dẫn và (hoặc) vectơ pháp tuyến của các đường thẳng a và b được tìm thấy bằng cách sử dụng các phương trình đường thẳng đã biết.
Cụ thể, nếu đường thẳng a trong hệ tọa độ chữ nhật Oxy trên mặt phẳng xác định phương trình đường thẳng tổng quát có dạng 
, và đường thẳng b - 
, khi đó các vectơ pháp tuyến của các đường thẳng này lần lượt có tọa độ và điều kiện song song của các đường thẳng a và b sẽ được viết là .
Nếu đường thẳng a tương ứng với phương trình của đường thẳng có hệ số góc có dạng , và đường thẳng b - , thì vectơ pháp tuyến của các đường thẳng này có tọa độ và , và điều kiện song song của các đường thẳng này có dạng 
. Do đó, nếu các đường thẳng trên mặt phẳng trong hệ tọa độ chữ nhật song song và có thể được xác định bằng phương trình đường thẳng có hệ số góc thì hệ số góc của các đường thẳng sẽ bằng nhau. Và ngược lại: nếu các đường thẳng không trùng nhau trên một mặt phẳng trong hệ tọa độ hình chữ nhật có thể xác định được bằng phương trình đường thẳng có hệ số góc bằng nhau thì các đường thẳng đó song song.
Nếu đường thẳng a và đường thẳng b trong hệ tọa độ chữ nhật được xác định bằng phương trình chính tắc của đường thẳng trên mặt phẳng có dạng 
Và 
, hoặc phương trình tham số của đường thẳng trên mặt phẳng có dạng 
Và 
theo đó, vectơ chỉ phương của các đường thẳng này có tọa độ và , và điều kiện song song của các đường thẳng a và b được viết là .
Hãy xem xét các giải pháp cho một số ví dụ.
Ví dụ.
Các đường thẳng có song song không? 
Và ?
Giải pháp.
Ta viết lại phương trình đường thẳng thành đoạn dưới dạng phương trình tổng quát của đường thẳng: 
. Bây giờ chúng ta có thể thấy đó là vectơ pháp tuyến của đường thẳng , a là vectơ pháp tuyến của đường thẳng. Các vectơ này không thẳng hàng, vì không có số thực t nào thỏa mãn đẳng thức ( 
). Do đó, điều kiện cần và đủ để các đường thẳng song song trên một mặt phẳng không được thỏa mãn nên các đường thẳng đã cho không song song.
Trả lời:
Không, các đường thẳng không song song.
Ví dụ.
Là đường thẳng và song song?
Giải pháp.
Chúng ta rút gọn phương trình chính tắc của đường thẳng thành phương trình đường thẳng có hệ số góc: . Rõ ràng, phương trình của các đường thẳng và không giống nhau (trong trường hợp này, các đường thẳng đã cho sẽ giống nhau) và các hệ số góc của các đường thẳng bằng nhau, do đó các đường thẳng ban đầu song song.
Chúng không giao nhau, bất kể chúng được tiếp tục bao lâu. Tính song song của đường thẳng trong chữ viết được biểu thị như sau: AB|| VỚIE
Khả năng tồn tại của những đường như vậy được chứng minh bằng định lý.
Định lý.
Qua một điểm bất kỳ nằm ngoài một đường thẳng cho trước, người ta vẽ được một điểm song song với đường thẳng đó.
Cho phép ABđường thẳng này và VỚI một số điểm được đưa ra bên ngoài nó. Cần phải chứng minh điều đó thông qua VỚI bạn có thể vẽ một đường thẳng song songAB. Hãy hạ nó xuống AB từ điểm VỚI vuông gócVỚID và sau đó chúng tôi sẽ tiến hành VỚIE^ VỚID, điều đó là có thể. Thẳng C.E. song song AB.
Để chứng minh điều này, chúng ta hãy giả sử điều ngược lại, tức là C.E. giao nhau với AB tại một thời điểm nào đó M. Sau đó từ điểm Mđến một đường thẳng VỚID chúng ta sẽ có hai đường vuông góc khác nhau MD Và bệnh đa xơ cứng, điều đó là không thể. Có nghĩa, C.E. không thể vượt qua với AB, tức là VỚIE song song AB.
Kết quả.
Hai đường vuông góc (CEVàD.B.) thành một đường thẳng (CD) là song song.
Tiên đề đường thẳng song song.
Qua cùng một điểm không thể vẽ được hai đường thẳng khác nhau song song với cùng một đường thẳng.
Vì vậy, nếu thẳng VỚID, vẽ qua điểm VỚI song song với đường thẳng AB, sau đó mỗi dòng khác VỚIE, vẽ qua cùng một điểm VỚI, không thể song song AB, tức là cô ấy đang tiếp tục sẽ giao nhau Với AB.
Việc chứng minh sự thật không hoàn toàn hiển nhiên này hóa ra là không thể. Nó được chấp nhận mà không cần bằng chứng, như một giả định cần thiết (định đề).
Hậu quả.
1. Nếu thẳng(VỚIE) cắt với một trong song song(ĐB), sau đó nó cắt với một cái khác ( AB), vì ngược lại qua cùng một điểm VỚI sẽ có hai đường thẳng khác nhau đi song song AB, điều đó là không thể.
2. Nếu mỗi người trong hai người trực tiếp (MỘTVàB) song song với đường thẳng thứ ba ( VỚI) , thì họ song song giữa họ.
Thật vậy, nếu chúng ta giả sử rằng MỘT Và B cắt nhau tại một điểm nào đó M thì hai đường thẳng khác nhau đi qua điểm này và song song với nhau VỚI, điều đó là không thể.
Định lý.
Nếu như đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó vuông góc với đường thẳng kia song song.
Cho phép AB || VỚID Và EF ^ AB.Cần phải chứng minh điều đó EF ^ VỚID.
vuông gócEF, giao nhau với AB, chắc chắn sẽ vượt qua và VỚID. Gọi điểm giao nhau là H.
Bây giờ chúng ta hãy giả sử rằng VỚID không vuông góc với E.H.. Sau đó, một số đường thẳng khác, ví dụ H.K., sẽ vuông góc với E.H. và do đó thông qua cùng một điểm H sẽ có hai thẳng song song AB: một VỚID, theo điều kiện, và cái khác H.K. như đã được chứng minh trước đó. Vì điều này là không thể nên không thể giả định rằng ĐBđã không vuông góc với E.H..
Hướng dẫn
Trước khi bắt đầu chứng minh, hãy đảm bảo rằng các đường thẳng nằm trong cùng một mặt phẳng và có thể vẽ được trên đó. Cách đơn giản nhất để chứng minh điều này là đo bằng thước kẻ. Để làm điều này, hãy sử dụng thước đo để đo khoảng cách giữa các đường thẳng ở một số nơi càng xa nhau càng tốt. Nếu khoảng cách không đổi thì các đường thẳng đã cho song song. Nhưng phương pháp này không đủ chính xác nên tốt hơn nên sử dụng các phương pháp khác.
Vẽ một đường thẳng thứ ba sao cho nó cắt cả hai đường thẳng song song. Nó tạo thành bốn góc bên ngoài và bốn góc bên trong với chúng. Hãy xem xét các góc bên trong. Những điểm nằm qua đường cát tuyến được gọi là nằm chéo. Những người nằm một bên được gọi là đơn phương. Dùng thước đo góc đo hai góc giao nhau. Nếu chúng bằng nhau thì các đường thẳng sẽ song song. Nếu nghi ngờ, hãy đo các góc trong một phía và cộng các giá trị thu được. Các đường thẳng sẽ song song nếu tổng các góc trong một phía bằng 180°.
Nếu bạn không có thước đo góc, hãy sử dụng thước vuông 90 độ. Sử dụng nó để dựng đường vuông góc với một trong các đường thẳng. Sau đó, tiếp tục vuông góc này để nó giao với một đường thẳng khác. Sử dụng cùng một hình vuông, kiểm tra xem đường vuông góc này cắt nó ở góc nào. Nếu góc này cũng bằng 90° thì các đường thẳng song song với nhau.
Nếu các đường thẳng được cho trong hệ tọa độ Descartes, hãy tìm hướng hoặc vectơ pháp tuyến của chúng. Nếu các vectơ này lần lượt thẳng hàng với nhau thì các đường thẳng song song. Rút gọn phương trình đường thẳng về dạng tổng quát và tìm tọa độ vectơ pháp tuyến của mỗi đường thẳng. Tọa độ của nó bằng các hệ số A và B. Nếu tỉ số tọa độ tương ứng của các vectơ pháp tuyến bằng nhau thì chúng thẳng hàng và các đường thẳng song song.
Ví dụ, các đường thẳng được cho bởi các phương trình 4x-2y+1=0 và x/1=(y-4)/2. Phương trình đầu tiên có dạng tổng quát, phương trình thứ hai là chính tắc. Đưa phương trình thứ hai về dạng tổng quát. Sử dụng quy tắc chuyển đổi tỷ lệ cho việc này, kết quả là 2x=y-4. Sau khi rút gọn về dạng tổng quát, bạn nhận được 2x-y+4=0. Vì phương trình tổng quát của bất kỳ dòng nào được viết Ax+By+C=0, nên đối với dòng đầu tiên: A=4, B=2, và đối với dòng thứ hai A=2, B=1. Đối với tọa độ trực tiếp đầu tiên của vectơ pháp tuyến (4;2) và đối với tọa độ trực tiếp thứ hai – (2;1). Tìm tỉ số tọa độ tương ứng của các vectơ pháp tuyến 4/2=2 và 2/1=2. Các số này bằng nhau, nghĩa là các vectơ thẳng hàng. Vì các vectơ thẳng hàng nên các đường thẳng song song.
Các đường thẳng song song là các đường thẳng nằm trong cùng một mặt phẳng và không có điểm chung. Nói cách khác, đây là những đường sẽ không bao giờ giao nhau. Có rất nhiều ví dụ về sự song song trong thế giới của chúng ta: đó là đường ray xe lửa, dây đàn guitar và dây điện cao thế. Danh sách này có thể được tiếp tục vô tận. Trong quá trình sản xuất một số bộ phận, việc duy trì tính song song là rất quan trọng, vì vậy sẽ rất hữu ích nếu chúng ta biết cách chứng minh rằng các đoạn thẳng song song.
Một số người có thể phẫn nộ: “Làm sao người ta có thể chứng minh sự song song của các đoạn thẳng nếu chỉ biết dấu hiệu của sự song song của các đường thẳng?” Câu trả lời cho câu hỏi này rất đơn giản: bất kỳ đoạn nào cũng có thể được kéo dài sang cả hai phía mà vẫn giữ nguyên hướng, từ đó thu được một đường thẳng. Sau đó chứng minh tính song song của các đường đã thu được và từ đó sẽ tính song song của các đoạn. Chứng minh tính song song của các đường thẳng cũng tương tự như cách tìm tọa độ trung điểm của một đoạn thẳng - việc này được thực hiện trong một hoặc hai bước và bất kỳ học sinh nào cũng có thể thực hiện được.
Bằng chứng đầu tiên, đơn giản và trực quan nhất là sử dụng tam giác vuông để vẽ đường thẳng vuông góc với một trong các đường thẳng. Nếu đường thẳng vừa vẽ cũng vuông góc với đường thẳng thứ hai thì các đường thẳng này song song. Độ vuông góc có thể được kiểm tra bằng cách đặt một góc vuông vào giao điểm của đường thẳng và đường ngang. Biết cách chia một đoạn làm đôi, bạn có thể nối các đầu và giữa của chúng. Nếu bạn nhận được các đường thẳng song song thì các đoạn ban đầu song song.
Một cách chứng minh cổ điển là kiểm tra xem các điều kiện của định lý sau có thỏa mãn hay không: “Nếu khi hai đường thẳng cắt một đường thẳng, tổng các góc một cạnh bằng 180 độ thì hai đường thẳng đó song song”. Nhưng để làm được điều này, bạn cần có một thước đo góc, thực hiện các phép đo chính xác và tránh sai sót. Đối với những người biết cách xây dựng một phân số bằng một phân số cho trước, có một cách chứng minh phức tạp hơn.
Cần phải xây dựng một đoạn sao cho phần đầu của nó trùng với phần đầu của đoạn đầu tiên và phần cuối của nó trùng với phần cuối của đoạn kia. Tiếp theo, bạn nên xây dựng một đoạn bằng đoạn này và kiểm tra xem nó có phù hợp để nối phần cuối của đoạn thứ nhất với phần đầu của đoạn thứ hai hay không. Nếu điều kiện này được đáp ứng thì các đoạn thẳng song song. Cần lưu ý rằng phương pháp này chỉ áp dụng cho các đoạn có độ dài song song và bằng nhau.
Cũng giống như việc tìm nghiệm thuộc một đoạn thẳng, bạn có thể chứng minh tính song song của các đoạn thẳng thông qua một đường phụ hoặc đoạn thẳng. Bạn cần biết định lý sau: hai đường thẳng cùng song song với một phần ba thì cũng song song với nhau. Phương pháp này phù hợp với những trường hợp không thể vẽ cát tuyến hoặc không có thước đo góc.