Công thức cho phương trình logarit. Các trường hợp có căn cứ khác nhau

đại số lớp 11

Đề tài: “Phương pháp giải phương trình logarit”

Mục tiêu bài học:

    giáo dục: phát triển kiến ​​thức về các cách giải phương trình logarit, khả năng áp dụng chúng trong từng tình huống cụ thể và lựa chọn phương pháp giải;

    đang phát triển: phát triển kỹ năng quan sát, so sánh, vận dụng kiến ​​thức vào tình huống mới, nhận biết khuôn mẫu, khái quát hóa; phát triển kỹ năng kiểm soát lẫn nhau và tự chủ;

    giáo dục: bồi dưỡng thái độ có trách nhiệm trong công tác giáo dục, nhận thức sâu sắc nội dung bài học, ghi chép cẩn thận.

Loại bài học : bài học giới thiệu bài mới.

“Việc phát minh ra logarit, vừa làm giảm bớt công việc của nhà thiên văn học, vừa kéo dài tuổi thọ của ông.”
Nhà toán học và thiên văn học người Pháp P.S. Laplace

Tiến độ bài học

I. Xác định mục tiêu bài học

Định nghĩa logarit đã nghiên cứu, tính chất của logarit và hàm logarit sẽ cho phép chúng ta giải các phương trình logarit. Tất cả các phương trình logarit, dù phức tạp đến đâu, đều được giải bằng các thuật toán thống nhất. Chúng ta sẽ xem xét các thuật toán này trong bài học hôm nay. Không có nhiều trong số họ. Nếu bạn thành thạo chúng, thì bất kỳ phương trình nào có logarit sẽ khả thi đối với mỗi bạn.

Viết chủ đề bài học vào vở: “Các phương pháp giải phương trình logarit”. Tôi mời mọi người hợp tác.

II. Cập nhật kiến ​​thức tham khảo

Hãy chuẩn bị nghiên cứu chủ đề của bài học. Bạn giải từng nhiệm vụ và viết ra câu trả lời; bạn không cần phải viết điều kiện. Làm việc theo cặp.

1) Với những giá trị nào của x thì hàm có ý nghĩa:

MỘT)

b)

V)

d)

(Câu trả lời được kiểm tra cho từng slide và các lỗi được sắp xếp)

2) Đồ thị của hàm số có trùng nhau không?

a) y = x và

b)Và

3) Viết lại các đẳng thức dưới dạng logarit:

4) Viết các số dưới dạng logarit cơ số 2:

4 =

2 =

0,5 =

1 =

5) Tính toán :

6) Hãy cố gắng khôi phục hoặc bổ sung những yếu tố còn thiếu trong các đẳng thức này.

III. Giới thiệu tài liệu mới

Tuyên bố sau đây được hiển thị trên màn hình:

“Phương trình là chiếc chìa khóa vàng mở ra mọi bí mật toán học.”
Nhà toán học Ba Lan hiện đại S. Kowal

Cố gắng xây dựng định nghĩa của phương trình logarit. (Phương trình chứa ẩn số dưới dấu logarit ).

Hãy xem xétphương trình logarit đơn giản nhất: nhật ký MỘT x = b (trong đó a>0, a ≠ 1). Vì hàm logarit tăng (hoặc giảm) trên tập hợp số dương và nhận tất cả các giá trị thực, nên theo định lý nghiệm, nó tuân theo rằng với mọi b phương trình này có và chỉ một nghiệm và một dương.

Nhắc lại định nghĩa logarit. (Logarit của một số x cơ số a là biểu thị lũy thừa mà cơ số a phải tăng lên để thu được số x ). Từ định nghĩa của logarit, ngay lập tức suy ra rằngMỘT V. là một giải pháp như vậy.

Viết tiêu đề:Các phương pháp giải phương trình logarit

1. Theo định nghĩa logarit .

Đây là cách giải các phương trình đơn giản nhất.

Hãy xem xétSố 514(a) ): Giải phương trình

Bạn đề xuất cách giải quyết nó như thế nào? (Theo định nghĩa logarit )

Giải pháp . , Do đó 2x – 4 = 4; x = 4.

Trả lời: 4.

Trong nhiệm vụ này 2x – 4 > 0, vì> 0, do đó không có nghiệm ngoại lai nào có thể xuất hiện, vàkhông cần kiểm tra . Không cần thiết phải viết ra điều kiện 2x – 4 > 0 trong bài tập này.

2. Hiệu lực (chuyển từ logarit của một biểu thức đã cho sang chính biểu thức này).

Hãy xem xétSố 519(g): nhật ký 5 ( x 2 +8)- nhật ký 5 ( x+1)=3 nhật ký 5 2

Bạn nhận thấy tính năng gì?(Các cơ số giống nhau và logarit của hai biểu thức bằng nhau) . Có thể làm gì?(Tăng cường).

Cần lưu ý rằng mọi nghiệm đều chứa trong tất cả x mà biểu thức logarit của nó dương.

Giải pháp: ODZ:

X 2 +8>0 sự bất bình đẳng không cần thiết

nhật ký 5 ( x 2 +8) = nhật ký 5 2 3 + nhật ký 5 ( x+1)

nhật ký 5 ( x 2 +8)= nhật ký 5 (8 x+8)

Hãy khai triển phương trình ban đầu

x 2 +8= 8 x+8

chúng ta có được phương trìnhx 2 +8= 8 x+8

Hãy giải quyết nó:x 2 -8 x=0

x=0, x=8

Trả lời: 0; 8

Nói chungchuyển sang hệ thống tương đương :

phương trình

(Hệ có chứa điều kiện dư - một trong các bất đẳng thức không cần xét).

Câu hỏi dành cho lớp : Bạn thích giải pháp nào nhất trong ba giải pháp này? (Thảo luận về các phương pháp).

Bạn có quyền quyết định bằng mọi cách.

3. Giới thiệu biến mới .

Hãy xem xétSố 520(g) . .

Bạn đã nhận thấy điều gì? (Đây là phương trình bậc hai đối với log3x) Đề xuất của bạn là gì? (Giới thiệu một biến mới)

Giải pháp . ODZ: x > 0.

Cho phép, thì phương trình sẽ có dạng:. Phân biệt D > 0. Nghiệm theo định lý Vieta:.

Hãy quay trở lại việc thay thế:hoặc.

Giải các phương trình logarit đơn giản nhất, ta được:

; .

Trả lời : 27;

4. Logarit cả hai vế của phương trình.

Giải phương trình:.

Giải pháp : ODZ: x>0, lấy logarit hai vế của phương trình theo cơ số 10:

. Hãy áp dụng tính chất logarit của lũy thừa:

(lgx + 3) lgx =

(logx + 3) logx = 4

Cho logx = y thì (y + 3)y = 4

, (D > 0) nghiệm theo định lý Vieta: y1 = -4 và y2 = 1.

Trở lại phép thay, ta được: lgx = -4,; logx = 1,. . Nó như sau: nếu một trong các hàm y = f(x) tăng lên, còn cái kia y = g(x) giảm trên khoảng X thì phương trình f(x)=g(x) có nhiều nhất một nghiệm trên khoảng X .

Nếu có gốc thì có thể đoán được. .

Trả lời : 2

“Việc áp dụng đúng các phương pháp có thể học được bằng cách
chỉ bằng cách áp dụng chúng vào nhiều ví dụ khác nhau.”
Nhà sử học toán học người Đan Mạch G. G. Zeiten

TÔI V. Bài tập về nhà

P. 39 Xét ví dụ 3, giải câu 514(b), câu 529(b), câu 520(b), câu 523(b)

V. Tóm tắt bài học

Chúng ta đã xem xét những phương pháp giải phương trình logarit nào trên lớp?

Trong các bài học tiếp theo chúng ta sẽ xem xét các phương trình phức tạp hơn. Để giải quyết chúng, các phương pháp nghiên cứu sẽ hữu ích.

Slide cuối cùng được hiển thị:

“Cái gì hơn bất cứ thứ gì trên thế giới?
Không gian.
Điều khôn ngoan nhất là gì?
Thời gian.
Phần tốt nhất là gì?
Đạt được những gì bạn muốn."
Thales

Chúc mọi người đạt được điều mình mong muốn. Cảm ơn sự hợp tác và hiểu biết của bạn.

Biểu thức logarit, giải ví dụ. Trong bài viết này chúng ta sẽ xem xét các vấn đề liên quan đến việc giải logarit. Các nhiệm vụ đặt câu hỏi tìm ý nghĩa của một biểu thức. Cần lưu ý rằng khái niệm logarit được sử dụng trong nhiều nhiệm vụ và việc hiểu ý nghĩa của nó là vô cùng quan trọng. Đối với Kỳ thi Thống nhất, logarit được sử dụng khi giải phương trình, các bài toán ứng dụng cũng như trong các bài tập liên quan đến nghiên cứu hàm số.

Hãy để chúng tôi đưa ra ví dụ để hiểu ý nghĩa của logarit:


Nhận dạng logarit cơ bản:

Các tính chất của logarit phải luôn được ghi nhớ:

*Logarit của tích bằng tổng logarit của các thừa số.

* * *

*Logarit của thương (phân số) bằng hiệu logarit của các thừa số.

* * *

*Logarit của một số mũ bằng tích của số mũ với logarit cơ số của nó.

* * *

* Chuyển sang nền tảng mới

* * *

Thêm tài sản:

* * *

Việc tính logarit có liên quan chặt chẽ đến việc sử dụng tính chất của số mũ.

Hãy liệt kê một số trong số họ:

Bản chất của tính chất này là khi chuyển tử số sang mẫu số và ngược lại thì dấu của số mũ thay đổi ngược lại. Ví dụ:

Một hệ quả tất yếu từ tính chất này:

* * *

Khi nâng lũy ​​thừa lên lũy thừa, cơ số vẫn giữ nguyên nhưng số mũ được nhân lên.

* * *

Như bạn đã thấy, khái niệm logarit rất đơn giản. Điều quan trọng là bạn cần thực hành tốt, điều này mang lại cho bạn một kỹ năng nhất định. Tất nhiên, cần phải có kiến ​​thức về công thức. Nếu kỹ năng chuyển đổi logarit cơ bản chưa được phát triển thì khi giải các bài toán đơn giản, bạn rất dễ mắc sai lầm.

Thực hành, giải các ví dụ đơn giản nhất trong khóa học toán trước, sau đó chuyển sang các ví dụ phức tạp hơn. Trong tương lai, tôi chắc chắn sẽ chỉ ra cách giải các logarit “xấu xí”; những bài toán này sẽ không xuất hiện trong Kỳ thi Thống nhất nhưng rất đáng quan tâm, đừng bỏ lỡ!

Thế thôi! Chúc bạn may mắn!

Trân trọng, Alexander Krutitskikh

P.S: Tôi sẽ rất biết ơn nếu bạn cho tôi biết về trang này trên mạng xã hội.

Các video cuối cùng trong chuỗi bài học dài về giải phương trình logarit. Lần này chúng ta sẽ làm việc chủ yếu với ODZ của logarit - chính vì việc xem xét không chính xác (hoặc thậm chí bỏ qua) miền định nghĩa mà hầu hết các lỗi phát sinh khi giải các bài toán như vậy.

Trong bài học video ngắn này, chúng ta sẽ xem xét việc sử dụng các công thức để cộng và trừ logarit, đồng thời giải quyết các phương trình hữu tỉ phân số mà nhiều học sinh cũng gặp khó khăn.

Chúng ta sẽ nói về điều gì? Công thức chính tôi muốn hiểu trông như thế này:

log a (f g ) = log a f + log a g

Đây là sự chuyển đổi tiêu chuẩn từ tích sang tổng logarit và ngược lại. Có thể bạn đã biết công thức này ngay từ khi bắt đầu học logarit. Tuy nhiên, có một trở ngại.

Miễn là các biến a, f và g là số bình thường thì không có vấn đề gì phát sinh. Công thức này hoạt động tuyệt vời.

Tuy nhiên, ngay khi các hàm xuất hiện thay cho f và g, vấn đề mở rộng hay thu hẹp miền định nghĩa sẽ phát sinh tùy thuộc vào hướng chuyển đổi. Hãy tự đánh giá: trong logarit được viết ở bên trái, miền định nghĩa như sau:

fg > 0

Nhưng trong số lượng được viết bên phải, phạm vi định nghĩa đã hơi khác một chút:

f > 0

g > 0

Bộ yêu cầu này nghiêm ngặt hơn so với bộ yêu cầu ban đầu. Trong trường hợp đầu tiên, chúng tôi sẽ hài lòng với tùy chọn f< 0, g < 0 (ведь их произведение положительное, поэтому неравенство fg >0 được thực thi).

Vì vậy, khi chuyển từ cấu trúc bên trái sang cấu trúc bên phải, phạm vi định nghĩa sẽ bị thu hẹp. Nếu lúc đầu chúng ta có một tổng và viết lại nó dưới dạng tích, thì phạm vi định nghĩa sẽ mở rộng.

Nói cách khác, trong trường hợp đầu tiên, chúng ta có thể mất gốc, và trong trường hợp thứ hai, chúng ta có thể có thêm rễ. Điều này phải được tính đến khi giải các phương trình logarit thực.

Vì vậy, nhiệm vụ đầu tiên:

[Chú thích cho hình ảnh]

Ở bên trái, chúng ta thấy tổng logarit sử dụng cùng cơ số. Do đó, các logarit này có thể được thêm vào:

[Chú thích cho hình ảnh]

Như bạn có thể thấy, ở bên phải, chúng tôi đã thay thế số 0 bằng công thức:

a = log b b a

Hãy sắp xếp lại phương trình của chúng ta thêm một chút:

log 4 (x − 5) 2 = log 4 1

Trước mắt chúng ta là dạng chính tắc của phương trình logarit; chúng ta có thể gạch bỏ dấu logarit và đánh đồng các đối số:

(x − 5) 2 = 1

|x − 5| = 1

Xin lưu ý: mô-đun này đến từ đâu? Hãy để tôi nhắc bạn rằng căn bậc hai của một hình vuông chính xác bằng mô đun:

[Chú thích cho hình ảnh]

Sau đó, chúng ta giải phương trình cổ điển bằng mô đun:

|f | = g (g > 0) ⇒f = ±g

x − 5 = ±1 ⇒x 1 = 5 − 1 = 4; x 2 = 5 + 1 = 6

Đây là hai câu trả lời ứng cử viên. Chúng có phải là nghiệm của phương trình logarit ban đầu không? Không, trong mọi trường hợp!

Chúng ta không có quyền để mọi thứ như vậy và viết ra câu trả lời. Hãy xem bước mà chúng ta thay thế tổng logarit bằng một logarit của tích các đối số. Vấn đề là trong các biểu thức ban đầu chúng ta có hàm. Vì vậy, bạn nên yêu cầu:

x(x − 5) > 0; (x − 5)/x > 0.

Khi chúng tôi chuyển đổi sản phẩm, thu được hình vuông chính xác, các yêu cầu đã thay đổi:

(x − 5) 2 > 0

Khi nào yêu cầu này được đáp ứng? Vâng, hầu như luôn luôn! Ngoại trừ trường hợp x − 5 = 0. Tức là sự bất bình đẳng sẽ được giảm xuống một điểm thủng:

x − 5 ≠ 0 ⇒ x ≠ 5

Như bạn có thể thấy, phạm vi định nghĩa đã được mở rộng, đó là những gì chúng ta đã nói ở đầu bài học. Do đó, rễ phụ có thể xuất hiện.

Làm thế nào bạn có thể ngăn chặn những rễ phụ này xuất hiện? Rất đơn giản: chúng ta xem xét các nghiệm thu được và so sánh chúng với miền định nghĩa của phương trình ban đầu. Hãy đếm:

x (x − 5) > 0

Ta sẽ giải bằng phương pháp khoảng:

x (x − 5) = 0 ⇒ x = 0; x = 5

Chúng tôi đánh dấu các số kết quả trên dòng. Tất cả các điểm đều bị thiếu vì sự bất bình đẳng là nghiêm ngặt. Lấy bất kỳ số nào lớn hơn 5 và thay thế:

[Chú thích cho hình ảnh]

Chúng ta quan tâm đến các khoảng (−∞; 0) ∪ (5; ∞). Nếu đánh dấu nghiệm của chúng ta trên đoạn, chúng ta sẽ thấy rằng x = 4 không phù hợp với chúng ta, vì nghiệm này nằm ngoài phạm vi định nghĩa của phương trình logarit ban đầu.

Ta quay về tổng, gạch bỏ nghiệm x = 4 và viết đáp án: x = 6. Đây là đáp án cuối cùng của phương trình logarit ban đầu. Thế là xong, vấn đề đã được giải quyết.

Hãy chuyển sang phương trình logarit thứ hai:

[Chú thích cho hình ảnh]

Hãy giải quyết nó. Lưu ý rằng số hạng đầu tiên là một phân số và số hạng thứ hai là cùng một phân số nhưng bị đảo ngược. Đừng sợ biểu thức lgx - nó chỉ là logarit thập phân, chúng ta có thể viết nó:

lgx = log 10 x

Vì chúng ta có hai phân số nghịch đảo nên tôi đề xuất giới thiệu một biến mới:

[Chú thích cho hình ảnh]

Do đó, phương trình của chúng ta có thể được viết lại như sau:

t + 1/t = 2;

t + 1/t − 2 = 0;

(t 2 − 2t + 1)/t = 0;

(t − 1) 2 /t = 0.

Như bạn có thể thấy, tử số của phân số là một bình phương chính xác. Một phân số bằng 0 khi tử số của nó bằng 0 và mẫu số của nó khác 0:

(t − 1) 2 = 0; t ≠ 0

Hãy giải phương trình đầu tiên:

t − 1 = 0;

t = 1.

Giá trị này thỏa mãn yêu cầu thứ hai. Do đó, có thể nói rằng chúng ta đã giải được hoàn toàn phương trình của mình, nhưng chỉ đối với biến t. Bây giờ hãy nhớ t là gì:

[Chú thích cho hình ảnh]

Ta được tỉ lệ:

lgx = 2 lgx + 1

2 logx − logx = −1

logx = −1

Chúng tôi đưa phương trình này về dạng chính tắc của nó:

logx = log 10 −1

x = 10 −1 = 0,1

Kết quả là chúng ta nhận được một nghiệm duy nhất, theo lý thuyết, đó là nghiệm của phương trình ban đầu. Tuy nhiên, chúng ta vẫn hãy chơi an toàn và viết ra miền định nghĩa của phương trình ban đầu:

[Chú thích cho hình ảnh]

Vì vậy, root của chúng tôi đáp ứng tất cả các yêu cầu. Chúng tôi đã tìm ra nghiệm của phương trình logarit ban đầu. Đáp án: x = 0,1. Vấn đề đã được giải quyết.

Chỉ có một điểm mấu chốt trong bài học hôm nay: khi sử dụng công thức chuyển từ tích sang tổng và ngược lại, hãy nhớ lưu ý rằng phạm vi định nghĩa có thể thu hẹp hoặc mở rộng tùy thuộc vào hướng chuyển đổi được thực hiện.

Làm thế nào để hiểu điều gì đang xảy ra: co lại hay giãn nở? Rất đơn giản. Nếu trước đây các hàm nằm cùng nhau nhưng bây giờ chúng tách biệt thì phạm vi định nghĩa đã thu hẹp lại (vì có nhiều yêu cầu hơn). Nếu lúc đầu các chức năng đứng riêng biệt và bây giờ chúng nằm cùng nhau, thì phạm vi định nghĩa sẽ được mở rộng (ít yêu cầu được áp đặt cho sản phẩm hơn so với các yếu tố riêng lẻ).

Khi tính đến nhận xét này, tôi muốn lưu ý rằng phương trình logarit thứ hai hoàn toàn không yêu cầu các phép biến đổi này, nghĩa là chúng ta không cộng hoặc nhân các đối số ở bất kỳ đâu. Tuy nhiên, ở đây tôi muốn bạn chú ý đến một kỹ thuật tuyệt vời khác cho phép bạn đơn giản hóa giải pháp một cách đáng kể. Đó là về việc thay thế một biến.

Tuy nhiên, hãy nhớ rằng không có sự thay thế nào giải phóng chúng ta khỏi phạm vi định nghĩa. Đó là lý do tại sao sau khi tìm được tất cả các nghiệm, chúng ta không hề lười biếng mà quay lại phương trình ban đầu để tìm ODZ của nó.

Thông thường, khi thay thế một biến, sẽ xảy ra lỗi khó chịu khi học sinh tìm thấy giá trị của t và cho rằng lời giải đã hoàn tất. Không, trong mọi trường hợp!

Khi bạn đã tìm thấy giá trị của t, bạn cần quay lại phương trình ban đầu và xem chính xác ý nghĩa của chữ cái này là gì. Kết quả là chúng ta phải giải thêm một phương trình nữa, tuy nhiên, phương trình này sẽ đơn giản hơn nhiều so với phương trình ban đầu.

Đây chính xác là điểm giới thiệu một biến mới. Chúng tôi chia phương trình ban đầu thành hai phương trình trung gian, mỗi phương trình có nghiệm đơn giản hơn nhiều.

Cách giải các phương trình logarit "lồng nhau"

Hôm nay chúng ta tiếp tục nghiên cứu phương trình logarit và sẽ phân tích cách xây dựng khi logarit này nằm dưới dấu của logarit khác. Chúng ta sẽ giải cả hai phương trình bằng dạng chính tắc.

Hôm nay chúng ta tiếp tục nghiên cứu các phương trình logarit và sẽ phân tích cách xây dựng khi một logarit này nằm dưới dấu của một logarit khác. Chúng ta sẽ giải cả hai phương trình bằng dạng chính tắc. Hãy để tôi nhắc bạn rằng nếu chúng ta có một phương trình logarit đơn giản có dạng log a f (x) = b, thì để giải phương trình như vậy chúng ta thực hiện các bước sau. Trước hết chúng ta cần thay thế số b :

b = log a a b

Lưu ý: a b là một đối số. Tương tự, trong phương trình ban đầu, đối số là hàm f(x). Sau đó, chúng ta viết lại phương trình và có được cấu trúc này:

log a f (x) = log a a b

Sau đó, chúng ta có thể thực hiện bước thứ ba - loại bỏ dấu logarit và chỉ cần viết:

f(x) = a b

Kết quả là chúng ta có được một phương trình mới. Trong trường hợp này, không có hạn chế nào được áp đặt lên hàm f (x). Ví dụ, hàm logarit cũng có thể thay thế nó. Và sau đó chúng ta sẽ thu được một phương trình logarit, chúng ta sẽ lại rút gọn về dạng đơn giản nhất và giải bằng dạng chính tắc.

Tuy nhiên, đủ lời bài hát. Hãy giải quyết vấn đề thực sự. Vì vậy, nhiệm vụ số 1:

log 2 (1 + 3 log 2 x ) = 2

Như bạn có thể thấy, trước mắt chúng ta có phương trình logarit đơn giản nhất. Vai trò của f(x) là xây dựng 1 + 3 log 2 x, và vai trò của số b là số 2 (vai trò của a cũng có hai vai). Hãy viết lại hai điều này như sau:

Điều quan trọng là phải hiểu rằng hai số hai đầu tiên đến với chúng ta từ cơ số logarit, tức là nếu có 5 trong phương trình ban đầu, thì chúng ta sẽ nhận được 2 = log 5 5 2. Nói chung, cơ số chỉ phụ thuộc vào logarit ban đầu được đưa ra trong bài toán. Và trong trường hợp của chúng tôi đây là số 2.

Vì vậy, hãy viết lại phương trình logarit của chúng ta có tính đến thực tế là hai số ở bên phải thực ra cũng là logarit. Chúng tôi nhận được:

log 2 (1 + 3 log 2 x ) = log 2 4

Hãy chuyển sang bước cuối cùng trong kế hoạch của chúng ta - loại bỏ hình thức kinh điển. Bạn có thể nói, chúng tôi chỉ đơn giản gạch bỏ các dấu hiệu của nhật ký. Tuy nhiên, từ quan điểm toán học, không thể "gạch bỏ nhật ký" - sẽ đúng hơn nếu nói rằng chúng ta chỉ đơn giản đánh đồng các đối số:

1 + 3 log 2 x = 4

Từ đây dễ dàng tìm được 3 log 2 x:

3 log 2 x = 3

log 2 x = 1

Chúng ta lại thu được phương trình logarit đơn giản nhất, hãy đưa nó trở lại dạng chính tắc. Để làm điều này, chúng ta cần thực hiện những thay đổi sau:

1 = log 2 2 1 = log 2 2

Tại sao lại có hai ở căn cứ? Bởi vì trong phương trình chính tắc của chúng ta ở bên trái có logarit chính xác theo cơ số 2. Chúng ta viết lại bài toán có tính đến thực tế này:

log 2 x = log 2 2

Một lần nữa chúng ta loại bỏ dấu logarit, tức là chúng ta chỉ đơn giản đánh đồng các đối số. Chúng tôi có quyền thực hiện điều này vì các cơ sở giống nhau và không có hành động bổ sung nào được thực hiện ở bên phải hoặc bên trái:

Thế thôi! Vấn đề đã được giải quyết. Chúng tôi đã tìm ra giải pháp cho phương trình logarit.

Hãy chú ý! Mặc dù biến x xuất hiện trong đối số (tức là các yêu cầu nảy sinh đối với miền định nghĩa), chúng tôi sẽ không đưa ra bất kỳ yêu cầu bổ sung nào.

Như tôi đã nói ở trên, việc kiểm tra này là dư thừa nếu biến chỉ xuất hiện trong một đối số của một logarit. Trong trường hợp của chúng ta, x thực sự chỉ xuất hiện trong đối số và chỉ dưới một dấu log. Vì vậy, không cần kiểm tra bổ sung.

Tuy nhiên, nếu bạn không tin tưởng vào phương pháp này, bạn có thể dễ dàng xác minh rằng x = 2 thực sự là một nghiệm gốc. Chỉ cần thay số này vào phương trình ban đầu là đủ.

Hãy chuyển sang phương trình thứ hai, nó thú vị hơn một chút:

log 2 (log 1/2 (2x − 1) + log 2 4) = 1

Nếu chúng ta biểu thị biểu thức bên trong logarit lớn bằng hàm f (x), chúng ta sẽ có được phương trình logarit đơn giản nhất mà chúng ta đã bắt đầu bài học video hôm nay. Do đó, bạn có thể áp dụng dạng chính tắc mà bạn sẽ phải biểu diễn đơn vị ở dạng log 2 2 1 = log 2 2.

Hãy viết lại phương trình lớn của chúng ta:

log 2 (log 1/2 (2x − 1) + log 2 4) = log 2 2

Chúng ta hãy thoát khỏi dấu logarit, đánh đồng các đối số. Chúng ta có quyền làm điều này, bởi vì các căn cứ ở bên trái và bên phải đều giống nhau. Ngoài ra, lưu ý rằng nhật ký 2 4 = 2:

log 1/2 (2x − 1) + 2 = 2

log 1/2 (2x − 1) = 0

Trước mắt chúng ta một lần nữa là phương trình logarit đơn giản nhất có dạng log a f (x) = b. Hãy chuyển sang dạng chính tắc, nghĩa là chúng ta biểu thị số 0 ở dạng log 1/2 (1/2)0 = log 1/2 1.

Chúng tôi viết lại phương trình của mình và loại bỏ dấu log, đánh đồng các đối số:

log 1/2 (2x − 1) = log 1/2 1

2x − 1 = 1

Một lần nữa, chúng tôi nhận được câu trả lời ngay lập tức. Không cần kiểm tra thêm vì trong phương trình ban đầu chỉ có một logarit chứa hàm làm đối số.

Vì vậy, không cần kiểm tra bổ sung. Chúng ta có thể nói một cách an toàn rằng x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình này.

Nhưng nếu trong logarit thứ hai có hàm nào đó của x thay vì bốn (hoặc 2x không có trong đối số mà ở cơ số) - thì cần phải kiểm tra miền định nghĩa. Nếu không, khả năng cao là bạn sẽ gặp phải rễ phụ.

Những rễ phụ này đến từ đâu? Điểm này phải được hiểu rất rõ ràng. Hãy xem các phương trình ban đầu: ở mọi nơi hàm x đều nằm dưới dấu logarit. Do đó, vì chúng tôi đã viết log 2 x nên chúng tôi tự động đặt yêu cầu x > 0. Nếu không, mục này đơn giản là vô nghĩa.

Tuy nhiên, khi giải phương trình logarit, chúng ta loại bỏ tất cả các dấu logarit và thu được các cách dựng đơn giản. Không có hạn chế nào được đặt ở đây vì hàm tuyến tính được xác định cho bất kỳ giá trị x nào.

Chính vấn đề này, khi hàm cuối cùng được xác định ở mọi nơi và luôn luôn, nhưng hàm gốc không được xác định ở mọi nơi và không phải luôn luôn, đó là lý do tại sao các nghiệm phụ thường xuất hiện khi giải các phương trình logarit.

Nhưng tôi nhắc lại một lần nữa: điều này chỉ xảy ra trong trường hợp hàm có nhiều logarit hoặc ở cơ số của một trong số chúng. Trong các vấn đề mà chúng ta đang xem xét ngày nay, về nguyên tắc, không có vấn đề gì với việc mở rộng phạm vi định nghĩa.

Các trường hợp có căn cứ khác nhau

Bài học này được dành cho các cấu trúc phức tạp hơn. Logarit trong các phương trình ngày nay sẽ không còn được giải ngay lập tức nữa - trước tiên cần phải thực hiện một số phép biến đổi.

Chúng ta bắt đầu giải các phương trình logarit với các cơ số hoàn toàn khác nhau, không phải là lũy thừa chính xác của nhau. Đừng để những vấn đề như vậy làm bạn sợ - chúng không khó giải quyết hơn những thiết kế đơn giản nhất mà chúng ta đã thảo luận ở trên.

Nhưng trước khi chuyển trực tiếp sang các bài toán, hãy để tôi nhắc bạn về công thức giải phương trình logarit đơn giản nhất bằng dạng chính tắc. Hãy xem xét một vấn đề như thế này:

log a f (x) = b

Điều quan trọng là hàm f(x) chỉ là một hàm và vai trò của các số a và b phải là các số (không có biến x nào cả). Tất nhiên, theo nghĩa đen trong một phút nữa, chúng ta sẽ xem xét những trường hợp như vậy khi thay vì biến a và b lại có các hàm, nhưng bây giờ không phải vậy.

Như chúng ta nhớ, số b phải được thay thế bằng logarit có cùng cơ số a, nằm ở bên trái. Việc này được thực hiện rất đơn giản:

b = log a a b

Tất nhiên, các từ “bất kỳ số b” và “bất kỳ số a” có nghĩa là các giá trị thỏa mãn phạm vi định nghĩa. Đặc biệt, trong phương trình này chúng ta chỉ nói về cơ số a > 0 và a ≠ 1.

Tuy nhiên, yêu cầu này tự động được thỏa mãn, vì bài toán ban đầu đã chứa logarit cơ số a - chắc chắn nó sẽ lớn hơn 0 và không bằng 1. Do đó, ta tiếp tục giải phương trình logarit:

log a f (x) = log a a b

Ký hiệu như vậy được gọi là dạng chuẩn. Sự tiện lợi của nó nằm ở chỗ chúng ta có thể loại bỏ ngay dấu log bằng cách đánh đồng các đối số:

f(x) = a b

Bây giờ chúng ta sẽ sử dụng kỹ thuật này để giải các phương trình logarit với cơ số thay đổi. Vì vậy, chúng ta hãy đi!

log 2 (x 2 + 4x + 11) = log 0,5 0,125

Tiếp theo là gì? Bây giờ ai đó sẽ nói rằng bạn cần tính logarit phù hợp hoặc giảm chúng về cùng một cơ số hoặc thứ gì đó khác. Và thực sự, bây giờ chúng ta cần đưa cả hai cơ số về cùng một dạng - 2 hoặc 0,5. Nhưng chúng ta hãy tìm hiểu quy tắc sau một lần và mãi mãi:

Nếu có số thập phân trong phương trình logarit, hãy đảm bảo chuyển đổi các phân số đó từ số thập phân sang ký hiệu chung. Sự chuyển đổi này có thể đơn giản hóa rất nhiều giải pháp.

Việc chuyển đổi như vậy phải được thực hiện ngay lập tức, ngay cả trước khi thực hiện bất kỳ hành động hoặc chuyển đổi nào. Hãy xem:

log 2 (x 2 + 4x + 11) = log 1/2 1/8

Kỷ lục đó mang lại cho chúng ta điều gì? Chúng ta có thể biểu diễn 1/2 và 1/8 dưới dạng lũy ​​thừa với số mũ âm:


[Chú thích cho hình ảnh]

Trước mắt chúng ta là hình thức kinh điển. Chúng ta đánh đồng các đối số và nhận được phương trình bậc hai cổ điển:

x 2 + 4x + 11 = 8

x 2 + 4x + 3 = 0

Trước mắt chúng ta có phương trình bậc hai sau, có thể giải dễ dàng bằng công thức của Vieta. Ở trường trung học, bạn sẽ thấy những màn trình diễn tương tự theo nghĩa đen bằng miệng:

(x + 3)(x + 1) = 0

x 1 = −3

x 2 = −1

Thế thôi! Phương trình logarit ban đầu đã được giải. Chúng tôi có hai gốc.

Hãy để tôi nhắc bạn rằng trong trường hợp này không cần thiết phải xác định miền định nghĩa, vì hàm với biến x chỉ xuất hiện trong một đối số. Do đó, phạm vi định nghĩa được thực hiện tự động.

Vậy là phương trình đầu tiên đã được giải. Hãy chuyển sang điều thứ hai:

log 0,5 (5x 2 + 9x + 2) = log 3 1/9

log 1/2 (5x 2 + 9x + 2) = log 3 9 −1

Bây giờ hãy lưu ý rằng đối số của logarit thứ nhất cũng có thể được viết dưới dạng lũy ​​thừa với số mũ âm: 1/2 = 2 −1. Sau đó, bạn có thể loại bỏ lũy thừa ở cả hai vế của phương trình và chia mọi thứ cho −1:

[Chú thích cho hình ảnh]

Và bây giờ chúng ta đã hoàn thành một bước rất quan trọng trong việc giải phương trình logarit. Có lẽ ai đó không nhận thấy điều gì đó nên hãy để tôi giải thích.

Hãy nhìn vào phương trình của chúng ta: cả bên trái và bên phải đều có dấu logarit, nhưng bên trái có logarit cơ số 2, và bên phải có logarit cơ số 3. Ba không phải là lũy thừa nguyên của hai và ngược lại, bạn không thể viết 2 bằng 3 theo một số nguyên độ.

Do đó, đây là những logarit có cơ số khác nhau và không thể quy giản lẫn nhau bằng cách cộng lũy ​​thừa. Cách duy nhất để giải những bài toán như vậy là loại bỏ một trong các logarit này. Trong trường hợp này, vì chúng ta vẫn đang xem xét các vấn đề khá đơn giản, nên logarit bên phải đã được tính toán đơn giản và chúng ta có được phương trình đơn giản nhất - chính xác là phương trình mà chúng ta đã nói ở đầu bài học hôm nay.

Hãy biểu thị số 2, ở bên phải, dưới dạng log 2 2 2 = log 2 4. Và sau đó chúng ta loại bỏ dấu logarit, sau đó chúng ta chỉ còn lại một phương trình bậc hai:

log 2 (5x 2 + 9x + 2) = log 2 4

5x2 + 9x + 2 = 4

5x 2 + 9x − 2 = 0

Trước mắt chúng ta có một phương trình bậc hai thông thường, nhưng nó không bị rút gọn vì hệ số của x 2 khác với hệ số đơn vị. Do đó, chúng tôi sẽ giải quyết nó bằng cách sử dụng phân biệt đối xử:

D = 81 − 4 5 (−2) = 81 + 40 = 121

x 1 = (−9 + 11)/10 = 2/10 = 1/5

x 2 = (−9 − 11)/10 = −2

Thế thôi! Chúng ta đã tìm được cả hai nghiệm, có nghĩa là chúng ta đã thu được nghiệm của phương trình logarit ban đầu. Thật vậy, trong bài toán ban đầu, hàm có biến x chỉ có một đối số. Do đó, không cần kiểm tra bổ sung trên miền định nghĩa - cả hai gốc mà chúng tôi tìm thấy chắc chắn đáp ứng tất cả các hạn chế có thể có.

Đây có thể là phần cuối của video bài học hôm nay, nhưng kết luận lại tôi muốn nói lại: hãy nhớ chuyển đổi tất cả các phân số thập phân thành phân số thường khi giải phương trình logarit. Trong hầu hết các trường hợp, điều này giúp đơn giản hóa rất nhiều giải pháp của họ.

Hiếm khi, rất hiếm khi bạn gặp phải các vấn đề trong đó việc loại bỏ các phân số thập phân chỉ làm phức tạp thêm việc tính toán. Tuy nhiên, trong các phương trình như vậy, theo quy luật, ban đầu rõ ràng là không cần thiết phải loại bỏ các phân số thập phân.

Trong hầu hết các trường hợp khác (đặc biệt nếu bạn mới bắt đầu thực hành giải phương trình logarit), hãy thoải mái loại bỏ số thập phân và chuyển chúng thành số bình thường. Bởi vì thực tế cho thấy rằng bằng cách này, bạn sẽ đơn giản hóa đáng kể việc giải và tính toán tiếp theo.

Sự tinh tế và thủ thuật của giải pháp

Hôm nay chúng ta chuyển sang các bài toán phức tạp hơn và sẽ giải phương trình logarit, phương trình này không dựa trên một con số mà dựa trên một hàm số.

Và ngay cả khi hàm này là tuyến tính, những thay đổi nhỏ sẽ phải được thực hiện đối với sơ đồ giải pháp, ý nghĩa của nó phụ thuộc vào các yêu cầu bổ sung áp đặt cho miền định nghĩa logarit.

Nhiệm vụ phức tạp

Hướng dẫn này sẽ khá dài. Trong đó chúng ta sẽ phân tích hai phương trình logarit khá nghiêm trọng mà nhiều học sinh mắc lỗi khi giải. Trong quá trình làm gia sư môn toán, tôi liên tục gặp phải 2 loại lỗi:

  1. Sự xuất hiện của các nghiệm phụ do sự mở rộng phạm vi định nghĩa của logarit. Để tránh những sai lầm phản cảm như vậy, chỉ cần theo dõi cẩn thận từng chuyển đổi;
  2. Mất gốc do học sinh quên xem xét một số trường hợp “tinh tế” - đây là những tình huống chúng ta sẽ tập trung vào hôm nay.

Đây là bài học cuối cùng về phương trình logarit. Sẽ còn dài, chúng ta sẽ phân tích các phương trình logarit phức tạp. Hãy thoải mái, pha cho mình một ít trà và bắt đầu.

Phương trình đầu tiên trông khá chuẩn:

log x + 1 (x − 0,5) = log x − 0,5 (x + 1)

Chúng ta hãy lưu ý ngay rằng cả hai logarit đều là bản sao đảo ngược của nhau. Chúng ta hãy nhớ công thức tuyệt vời:

log a b = 1/log b a

Tuy nhiên, công thức này có một số hạn chế phát sinh nếu thay vì các số a và b lại có các hàm biến x:

b > 0

1 ≠ a > 0

Những yêu cầu này áp dụng cho cơ số logarit. Mặt khác, trong một phân số, chúng ta bắt buộc phải có 1 ≠ a > 0, vì không chỉ biến a nằm trong đối số của logarit (do đó a > 0), mà bản thân logarit cũng nằm trong mẫu số của phân số . Nhưng log b 1 = 0 và mẫu số phải khác 0, do đó a ≠ 1.

Vì vậy, những hạn chế đối với biến a vẫn còn. Nhưng điều gì xảy ra với biến b? Một mặt, cơ số ngụ ý b > 0, mặt khác, biến b ≠ 1, vì cơ số của logarit phải khác 1. Tổng cộng, từ vế phải của công thức, nó tuân theo 1 ≠ b > 0.

Nhưng đây là vấn đề: yêu cầu thứ hai (b ≠ 1) bị thiếu trong bất đẳng thức thứ nhất, liên quan đến logarit trái. Nói cách khác, khi thực hiện phép biến đổi này chúng ta phải kiểm tra riêng, rằng đối số b khác với một!

Vì vậy, hãy kiểm tra xem nó ra. Hãy áp dụng công thức của chúng tôi:

[Chú thích cho hình ảnh]

1 ≠ x − 0,5 > 0; 1 ≠ x + 1 > 0

Vì vậy, chúng ta đã nhận được điều đó từ phương trình logarit ban đầu, theo đó cả a và b phải lớn hơn 0 và không bằng 1. Điều này có nghĩa là chúng ta có thể dễ dàng đảo ngược phương trình logarit:

Tôi đề nghị giới thiệu một biến mới:

log x + 1 (x − 0,5) = t

Trong trường hợp này, cách xây dựng của chúng ta sẽ được viết lại như sau:

(t 2 − 1)/t = 0

Lưu ý rằng trong tử số chúng ta có hiệu bình phương. Chúng tôi tiết lộ sự khác biệt của hình vuông bằng cách sử dụng công thức nhân viết tắt:

(t − 1)(t + 1)/t = 0

Một phân số bằng 0 khi tử số của nó bằng 0 và mẫu số của nó khác 0. Nhưng tử số chứa tích, vì vậy chúng ta đánh đồng mỗi thừa số bằng 0:

t 1 = 1;

t2 = −1;

t ≠ 0.

Như chúng ta có thể thấy, cả hai giá trị của biến t đều phù hợp với chúng ta. Tuy nhiên, lời giải không dừng lại ở đó, vì chúng ta cần tìm không phải t mà là giá trị của x. Chúng tôi quay trở lại logarit và nhận được:

log x + 1 (x − 0,5) = 1;

log x + 1 (x − 0,5) = −1.

Hãy đặt từng phương trình này ở dạng chính tắc:

log x + 1 (x − 0,5) = log x + 1 (x + 1) 1

log x + 1 (x − 0,5) = log x + 1 (x + 1) −1

Chúng ta loại bỏ dấu logarit trong trường hợp đầu tiên và đánh đồng các đối số:

x − 0,5 = x + 1;

x − x = 1 + 0,5;

Phương trình như vậy không có nghiệm, do đó phương trình logarit thứ nhất cũng không có nghiệm. Nhưng với phương trình thứ hai, mọi thứ thú vị hơn nhiều:

(x − 0,5)/1 = 1/(x + 1)

Giải tỉ số, ta được:

(x − 0,5)(x + 1) = 1

Hãy để tôi nhắc bạn rằng khi giải phương trình logarit, sẽ thuận tiện hơn nhiều khi sử dụng tất cả các phân số thập phân như phân số thông thường, vì vậy hãy viết lại phương trình của chúng ta như sau:

(x − 1/2)(x + 1) = 1;

x 2 + x − 1/2x − 1/2 − 1 = 0;

x 2 + 1/2x − 3/2 = 0.

Trước mắt chúng ta có phương trình bậc hai dưới đây, có thể giải dễ dàng bằng công thức của Vieta:

(x + 3/2) (x − 1) = 0;

x 1 = −1,5;

x 2 = 1.

Chúng tôi có hai gốc - chúng là ứng cử viên để giải phương trình logarit ban đầu. Để hiểu được gốc rễ nào thực sự sẽ đi vào câu trả lời, chúng ta hãy quay lại vấn đề ban đầu. Bây giờ chúng ta sẽ kiểm tra từng gốc của chúng ta để xem liệu chúng có phù hợp với miền định nghĩa hay không:

1,5 ≠ x > 0,5; 0 ≠ x > −1.

Những yêu cầu này tương đương với bất đẳng thức kép:

1 ≠ x > 0,5

Từ đây chúng ta thấy ngay rằng nghiệm x = −1,5 không phù hợp với chúng ta, nhưng x = 1 lại khá phù hợp với chúng ta. Do đó x = 1 là nghiệm cuối cùng của phương trình logarit.

Hãy chuyển sang nhiệm vụ thứ hai:

log x 25 + log 125 x 5 = log 25 x 625

Thoạt nhìn, có vẻ như tất cả các logarit đều có cơ sở và lập luận khác nhau. Phải làm gì với cấu trúc như vậy? Trước hết, hãy lưu ý rằng các số 25, 5 và 625 là lũy thừa của 5:

25 = 5 2 ; 625 = 5 4

Bây giờ chúng ta hãy tận dụng tính chất tuyệt vời của logarit. Vấn đề là bạn có thể rút ra lũy thừa từ một đối số dưới dạng thừa số:

log a b n = n ∙ log a b

Phép biến đổi này cũng bị hạn chế trong trường hợp b được thay thế bằng một hàm. Nhưng đối với chúng tôi, b chỉ là một con số và không có hạn chế bổ sung nào phát sinh. Hãy viết lại phương trình của chúng tôi:

2 ∙ log x 5 + log 125 x 5 = 4 ∙ log 25 x 5

Chúng ta đã thu được một phương trình có ba số hạng chứa dấu log. Hơn nữa, các đối số của cả ba logarit đều bằng nhau.

Đã đến lúc đảo ngược logarit để đưa chúng về cùng cơ số - 5. Vì biến b là một hằng số nên không có thay đổi nào trong miền định nghĩa xảy ra. Chúng ta chỉ viết lại:


[Chú thích cho hình ảnh]

Đúng như dự đoán, các logarit tương tự xuất hiện ở mẫu số. Tôi đề nghị thay thế biến:

log 5 x = t

Trong trường hợp này, phương trình của chúng ta sẽ được viết lại như sau:

Hãy viết tử số và mở ngoặc:

2 (t + 3) (t + 2) + t (t + 2) − 4t (t + 3) = 2 (t 2 + 5t + 6) + t 2 + 2t − 4t 2 − 12t = 2t 2 + 10t + 12 + t 2 + 2t − 4t 2 − 12t = −t 2 + 12

Hãy quay trở lại phần của chúng tôi. Tử số phải bằng 0:

[Chú thích cho hình ảnh]

Và mẫu số khác 0:

t ≠ 0; t ≠ −3; t ≠ −2

Các yêu cầu cuối cùng được đáp ứng một cách tự động, vì tất cả chúng đều “gắn liền” với các số nguyên và tất cả các câu trả lời đều là vô tỷ.

Như vậy phương trình hữu tỉ phân số đã được giải, đã tìm được giá trị của biến t. Hãy quay lại giải phương trình logarit và nhớ t là gì:

[Chú thích cho hình ảnh]

Chúng ta rút gọn phương trình này về dạng chính tắc và thu được một số có mức độ vô tỉ. Đừng để điều này làm bạn bối rối - ngay cả những lập luận như vậy cũng có thể được coi là tương đương:

[Chú thích cho hình ảnh]

Chúng tôi có hai gốc. Chính xác hơn, có hai câu trả lời ứng viên - hãy kiểm tra xem chúng có tuân thủ miền định nghĩa hay không. Vì cơ số của logarit là biến x nên chúng ta yêu cầu như sau:

1 ≠ x > 0;

Với thành công tương tự, chúng ta khẳng định rằng x ≠ 1/125, nếu không thì cơ số của logarit thứ hai sẽ chuyển về đơn vị. Cuối cùng, x ≠ 1/25 cho logarit thứ ba.

Tổng cộng, chúng tôi đã nhận được bốn hạn chế:

1 ≠ x > 0; x ≠ 1/125; x ≠ 25/1

Bây giờ câu hỏi là: rễ của chúng ta có đáp ứng được những yêu cầu này không? Tất nhiên là họ hài lòng! Bởi vì 5 lũy thừa bất kỳ sẽ lớn hơn 0 và yêu cầu x > 0 được tự động thỏa mãn.

Mặt khác, 1 = 5 0, 1/25 = 5 −2, 1/125 = 5 −3, có nghĩa là những hạn chế này đối với nghiệm của chúng ta (để tôi nhắc bạn, có số vô tỷ trong số mũ) cũng hài lòng và cả hai đáp án đều là giải pháp cho vấn đề.

Vì vậy, chúng tôi có câu trả lời cuối cùng. Có hai điểm chính trong nhiệm vụ này:

  1. Hãy cẩn thận khi đảo logarit khi đối số và cơ số bị hoán đổi. Những chuyển đổi như vậy áp đặt những hạn chế không cần thiết đối với phạm vi định nghĩa.
  2. Đừng ngại chuyển đổi logarit: chúng không chỉ có thể được đảo ngược mà còn có thể được mở rộng bằng cách sử dụng công thức tính tổng và thường được thay đổi bằng cách sử dụng bất kỳ công thức nào mà bạn đã nghiên cứu khi giải biểu thức logarit. Tuy nhiên, hãy luôn nhớ: một số phép biến đổi mở rộng phạm vi định nghĩa và một số phép biến đổi thu hẹp chúng.

Tất cả chúng ta đều quen thuộc với các phương trình từ trường tiểu học. Ở đó, chúng tôi cũng học cách giải những ví dụ đơn giản nhất và chúng tôi phải thừa nhận rằng chúng có ứng dụng ngay cả trong toán học cao hơn. Mọi thứ đều đơn giản với các phương trình, bao gồm cả phương trình bậc hai. Nếu bạn gặp khó khăn với chủ đề này, chúng tôi khuyên bạn nên xem lại nó.

Có lẽ bạn cũng đã từng học logarit. Tuy nhiên, chúng tôi cho rằng điều quan trọng là phải nói rõ nó là gì cho những người chưa biết. Logarit tương đương với lũy thừa mà cơ số phải được nâng lên để thu được số ở bên phải dấu logarit. Hãy đưa ra một ví dụ dựa vào đó mọi thứ sẽ trở nên rõ ràng với bạn.

Nếu bạn tăng 3 lên lũy thừa bốn, bạn sẽ nhận được 81. Bây giờ thay thế các số bằng cách tương tự, và cuối cùng bạn sẽ hiểu cách giải logarit. Bây giờ tất cả những gì còn lại là kết hợp hai khái niệm đã thảo luận. Ban đầu, tình hình có vẻ vô cùng phức tạp, nhưng khi xem xét kỹ hơn thì sức nặng đã rơi vào đúng vị trí. Chúng tôi chắc chắn rằng sau bài viết ngắn này, bạn sẽ không gặp vấn đề gì trong phần này của Kỳ thi Thống nhất.

Ngày nay có nhiều cách để giải các cấu trúc như vậy. Chúng tôi sẽ cho bạn biết về cách đơn giản nhất, hiệu quả nhất và có thể áp dụng nhất trong trường hợp thực hiện các nhiệm vụ Kỳ thi Thống nhất. Việc giải phương trình logarit nên bắt đầu bằng ví dụ đơn giản nhất. Các phương trình logarit đơn giản nhất bao gồm một hàm và một biến trong đó.

Điều quan trọng cần lưu ý là x nằm trong đối số. A và b phải là số. Trong trường hợp này, bạn có thể chỉ cần biểu diễn hàm theo lũy thừa của số. Nó trông như thế này.

Tất nhiên, việc giải phương trình logarit bằng phương pháp này sẽ đưa bạn đến câu trả lời đúng. Vấn đề của đại đa số học sinh trong trường hợp này là các em không hiểu cái gì đến từ đâu. Kết quả là bạn phải mắc lỗi và không đạt được số điểm mong muốn. Sai lầm khó chịu nhất sẽ là nếu bạn trộn lẫn các chữ cái. Để giải phương trình theo cách này, bạn cần phải thuộc lòng công thức học chuẩn này vì nó rất khó hiểu.

Để dễ dàng hơn, bạn có thể sử dụng một phương pháp khác - hình thức kinh điển. Ý tưởng này cực kỳ đơn giản. Chuyển sự chú ý của bạn trở lại vấn đề. Hãy nhớ rằng chữ a là một số, không phải hàm hay biến. A không bằng một và lớn hơn 0. Không có hạn chế nào đối với b. Bây giờ, trong tất cả các công thức, chúng ta hãy nhớ một công thức. B có thể được biểu diễn như sau.

Từ đó, tất cả các phương trình ban đầu có logarit có thể được biểu diễn dưới dạng:

Bây giờ chúng ta có thể bỏ logarit. Kết quả là một thiết kế đơn giản mà chúng ta đã thấy trước đó.

Sự tiện lợi của công thức này nằm ở chỗ nó có thể được sử dụng trong nhiều trường hợp khác nhau chứ không chỉ cho những thiết kế đơn giản nhất.

Đừng lo lắng về OOF!

Nhiều nhà toán học có kinh nghiệm sẽ nhận thấy rằng chúng ta chưa chú ý đến lĩnh vực định nghĩa. Quy tắc tóm lại là F(x) nhất thiết phải lớn hơn 0. Không, chúng ta đã không bỏ sót điểm này. Bây giờ chúng ta đang nói về một lợi thế quan trọng khác của hình thức kinh điển.

Sẽ không có rễ phụ ở đây. Nếu một biến chỉ xuất hiện ở một nơi thì không cần thiết phải có phạm vi. Nó được thực hiện tự động. Để xác minh nhận định này, hãy thử giải một số ví dụ đơn giản.

Cách giải phương trình logarit với các cơ số khác nhau

Đây vốn là những phương trình logarit phức tạp và cách tiếp cận để giải chúng phải đặc biệt. Ở đây hiếm khi có thể giới hạn bản thân ở hình thức kinh điển khét tiếng. Hãy bắt đầu câu chuyện chi tiết của chúng tôi. Chúng ta có cách xây dựng sau đây.

Hãy chú ý đến phân số. Nó chứa logarit. Nếu bạn thấy điều này trong một nhiệm vụ thì bạn nên nhớ một thủ thuật thú vị.

Nó có nghĩa là gì? Mỗi logarit có thể được biểu diễn dưới dạng thương số của hai logarit với cơ số thuận tiện. Và công thức này có trường hợp đặc biệt có thể áp dụng với ví dụ này (ý chúng tôi là nếu c=b).

Đây chính xác là phân số chúng ta thấy trong ví dụ của mình. Như vậy.

Về cơ bản, chúng ta đã đảo ngược phân số và có được biểu thức thuận tiện hơn. Hãy nhớ thuật toán này!

Bây giờ điều cần thiết là phương trình logarit không chứa các cơ số khác nhau. Hãy biểu diễn cơ số dưới dạng phân số.

Trong toán học có một quy tắc mà dựa vào đó bạn có thể rút ra được một mức độ từ một cơ số. Kết quả thi công sau đây.

Có vẻ như điều gì đang ngăn cản chúng ta chuyển biểu thức của mình sang dạng chuẩn và giải quyết nó một cách đơn giản? Nó không đơn giản như vậy. Không được có phân số trước logarit. Hãy khắc phục tình trạng này! Phân số được phép sử dụng làm độ.

Tương ứng.

Nếu các cơ số giống nhau, chúng ta có thể loại bỏ logarit và tự đánh đồng các biểu thức. Bằng cách này, tình hình sẽ trở nên đơn giản hơn nhiều so với trước đây. Những gì còn lại là một phương trình cơ bản mà mỗi chúng ta đều biết cách giải từ năm lớp 8, thậm chí là lớp 7. Bạn có thể tự mình thực hiện các phép tính.

Chúng ta đã thu được nghiệm thực sự duy nhất của phương trình logarit này. Ví dụ về giải phương trình logarit khá đơn giản phải không? Giờ đây, bạn sẽ có thể tự mình giải quyết ngay cả những nhiệm vụ phức tạp nhất để chuẩn bị và vượt qua Kỳ thi Thống nhất.

Kết quả là gì?

Trong trường hợp của bất kỳ phương trình logarit nào, chúng ta tiến hành từ một quy tắc rất quan trọng. Cần phải hành động theo cách giảm biểu thức xuống dạng đơn giản nhất có thể. Trong trường hợp này, bạn sẽ có cơ hội tốt hơn để không chỉ giải quyết nhiệm vụ một cách chính xác mà còn thực hiện nó theo cách đơn giản và hợp lý nhất có thể. Đây chính xác là cách các nhà toán học luôn làm việc.

Chúng tôi đặc biệt khuyên bạn không nên tìm những con đường khó, đặc biệt trong trường hợp này. Hãy nhớ một vài quy tắc đơn giản sẽ cho phép bạn chuyển đổi bất kỳ biểu thức nào. Ví dụ: giảm hai hoặc ba logarit về cùng một cơ số hoặc rút ra lũy thừa từ cơ số và giành chiến thắng về điều này.

Cũng cần nhớ rằng việc giải phương trình logarit đòi hỏi phải thực hành liên tục. Dần dần, bạn sẽ chuyển sang các cấu trúc ngày càng phức tạp hơn và điều này sẽ giúp bạn tự tin giải quyết tất cả các biến thể của bài thi trong Kỳ thi Thống nhất. Hãy chuẩn bị thật tốt cho kỳ thi của bạn và chúc may mắn!


Ví dụ:

\(\log_(2)(⁡x) = 32\)
\(\log_3⁡x=\log_3⁡9\)
\(\log_3⁡((x^2-3))=\log_3⁡((2x))\)
\(\log_(x+1)((x^2+3x-7))=2\)
\(\lg^2⁡((x+1))+10=11 \lg⁡((x+1))\)

Cách giải phương trình logarit:

Khi giải phương trình logarit, bạn nên cố gắng chuyển nó sang dạng \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\), sau đó chuyển sang dạng \(f(x )=g(x) \).

\(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) \(⇒\) \(f(x)=g(x)\).


Ví dụ:\(\log_2⁡(x-2)=3\)

Giải pháp:
\(\log_2⁡(x-2)=\log_2⁡8\)
\(x-2=8\)
\(x=10\)
Bài kiểm tra:\(10>2\) - phù hợp với DL
Trả lời:\(x=10\)

ODZ:
\(x-2>0\)
\(x>2\)

Rất quan trọng! Quá trình chuyển đổi này chỉ có thể được thực hiện nếu:

Bạn đã viết cho phương trình ban đầu và cuối cùng bạn sẽ kiểm tra xem những phương trình tìm được có được đưa vào ODZ hay không. Nếu điều này không được thực hiện, rễ phụ có thể xuất hiện, điều đó có nghĩa là một quyết định sai lầm.

Số (hoặc biểu thức) ở bên trái và bên phải giống nhau;

Các logarit ở bên trái và bên phải là “thuần túy”, nghĩa là không được phép nhân, chia, v.v. – chỉ có logarit đơn ở hai bên dấu bằng.

Ví dụ:

Lưu ý rằng phương trình 3 và 4 có thể được giải dễ dàng bằng cách áp dụng các tính chất cần thiết của logarit.

Ví dụ . Giải phương trình \(2\log_8⁡x=\log_8⁡2.5+\log_8⁡10\)

Giải pháp :

Hãy viết ODZ: \(x>0\).

\(2\log_8⁡x=\log_8⁡2.5+\log_8⁡10\) ODZ: \(x>0\)

Bên trái phía trước logarit là hệ số, bên phải là tổng các logarit. Điều này làm phiền chúng tôi. Hãy chuyển cả hai sang số mũ \(x\) theo thuộc tính: \(n \log_b(⁡a)=\log_b⁡(a^n)\). Chúng ta hãy biểu thị tổng các logarit dưới dạng một logarit theo thuộc tính: \(\log_a⁡b+\log_a⁡c=\log_a(⁡bc)\)

\(\log_8⁡(x^2)=\log_8⁡25\)

Chúng ta đã rút gọn phương trình về dạng \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) và viết ra ODZ, nghĩa là chúng ta có thể chuyển sang dạng \(f(x) =g(x)\ ).

Nó đã hoạt động. Chúng tôi giải quyết nó và lấy được gốc rễ.

\(x_1=5\) \(x_2=-5\)

Chúng tôi kiểm tra xem rễ có phù hợp với ODZ hay không. Để làm điều này, trong \(x>0\) thay vì \(x\) chúng ta thay thế \(5\) và \(-5\). Hoạt động này có thể được thực hiện bằng miệng.

\(5>0\), \(-5>0\)

Bất đẳng thức thứ nhất đúng, bất đẳng thức thứ hai thì không. Điều này có nghĩa là \(5\) là nghiệm của phương trình, nhưng \(-5\) thì không. Chúng tôi viết ra câu trả lời.

Trả lời : \(5\)


Ví dụ : Giải phương trình \(\log^2_2⁡(x)-3 \log_2(⁡x)+2=0\)

Giải pháp :

Hãy viết ODZ: \(x>0\).

\(\log^2_2⁡(x)-3 \log_2(⁡x)+2=0\) ODZ: \(x>0\)

Một phương trình điển hình được giải bằng cách sử dụng . Thay thế \(\log_2⁡x\) bằng \(t\).

\(t=\log_2⁡x\)

Chúng tôi đã nhận được một cái thông thường. Chúng tôi đang tìm kiếm nguồn gốc của nó.

\(t_1=2\) \(t_2=1\)

Thực hiện thay thế ngược lại

\(\log_2(⁡x)=2\) \(\log_2(⁡x)=1\)

Chúng tôi biến đổi các vế phải, biểu diễn chúng dưới dạng logarit: \(2=2 \cdot 1=2 \log_2⁡2=\log_2⁡4\) và \(1=\log_2⁡2\)

\(\log_2(⁡x)=\log_2⁡4\) \(\log_2(⁡x)=\log_2⁡2 \)

Bây giờ phương trình của chúng ta là \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) và chúng ta có thể chuyển sang \(f(x)=g(x)\).

\(x_1=4\) \(x_2=2\)

Chúng tôi kiểm tra sự tương ứng của các gốc của ODZ. Để làm điều này, thay thế \(4\) và \(2\) vào bất đẳng thức \(x>0\) thay vì \(x\).

\(4>0\) \(2>0\)

Cả hai bất đẳng thức đều đúng. Điều này có nghĩa là cả \(4\) và \(2\) đều là nghiệm của phương trình.

Trả lời : \(4\); \(2\).