Đưa ra định nghĩa cổ điển về xác suất. Công thức cộng xác suất

Xác suất của một sự kiện được hiểu là một đặc tính số học nhất định về khả năng xảy ra sự kiện đó. Có một số cách tiếp cận để xác định xác suất.

Xác suất của sự kiện MỘTđược gọi là tỷ lệ giữa số kết quả thuận lợi cho sự kiện này trên tổng số tất cả các kết quả cơ bản không tương thích có thể xảy ra như nhau tạo thành một nhóm hoàn chỉnh. Vì vậy, xác suất của sự kiện MỘTđược xác định bởi công thức

Ở đâu tôi– số kết quả tiểu học thuận lợi MỘT, N– số lượng tất cả các kết quả của bài kiểm tra sơ cấp có thể có.

Ví dụ 3.1. Trong một thí nghiệm liên quan đến việc ném một con súc sắc, tổng số kết quả N bằng 6 và chúng đều có thể xảy ra như nhau. Hãy để sự kiện MỘT có nghĩa là sự xuất hiện của một số chẵn. Khi đó đối với sự kiện này, kết quả thuận lợi sẽ là sự xuất hiện của các số 2, 4, 6. Số của chúng là 3. Do đó, xác suất xảy ra sự kiện MỘT bằng

Ví dụ 3.2. Xác suất để một số có hai chữ số được chọn ngẫu nhiên có các chữ số giống nhau là bao nhiêu?

Số có hai chữ số là các số từ 10 đến 99, có tổng cộng 90 số có cùng chữ số (là các số 11, 22, ..., 99). Vì trong trường hợp này tôi=9, N=90 thì

Ở đâu MỘT– sự kiện, “một số có cùng chữ số.”

Ví dụ 3.3. Trong một lô gồm 10 phần, 7 phần là tiêu chuẩn. Tìm xác suất để trong số sáu phần được lấy ngẫu nhiên có 4 phần là tiêu chuẩn.

Tổng số kết quả kiểm tra cơ bản có thể xảy ra bằng số cách trích xuất 6 phần từ 10, tức là số cách kết hợp 10 phần tử, mỗi phần có 6 phần tử. Hãy để chúng tôi xác định số lượng kết quả thuận lợi cho sự kiện mà chúng tôi quan tâm MỘT(trong số sáu phần được lấy có 4 phần tiêu chuẩn). Bốn phần tiêu chuẩn có thể được lấy từ bảy phần tiêu chuẩn theo những cách khác nhau; đồng thời, 6-4=2 phần còn lại phải là không chuẩn, nhưng bạn có thể lấy hai phần không chuẩn từ 10-7=3 phần không chuẩn theo nhiều cách khác nhau. Do đó, số kết quả thuận lợi bằng .

Khi đó xác suất cần tìm bằng

Các tính chất sau đây suy ra từ định nghĩa xác suất:

1. Xác suất của một sự kiện đáng tin cậy là bằng một.

Thật vậy, nếu sự kiện là đáng tin cậy thì mọi kết quả cơ bản của phép thử đều ủng hộ sự kiện đó. Trong trường hợp này m=n, do đó

2. Xác suất xảy ra một sự kiện không thể xảy ra là bằng không.

Thật vậy, nếu một sự kiện là không thể xảy ra thì không có kết quả cơ bản nào của phép thử ủng hộ sự kiện đó. Trong trường hợp này nó có nghĩa là

3. Xác suất của một sự kiện ngẫu nhiên là một số dương nằm giữa 0 và 1.

Thật vậy, chỉ một phần trong tổng số kết quả cơ bản của bài kiểm tra được ưa chuộng bởi một sự kiện ngẫu nhiên. Trong trường hợp này< tôi< n, có nghĩa là 0 < m/n < 1, tức là 0< P(A) < 1. Итак, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству

Việc xây dựng một lý thuyết xác suất hoàn chỉnh về mặt logic dựa trên định nghĩa tiên đề về một sự kiện ngẫu nhiên và xác suất của nó. Trong hệ tiên đề do A. N. Kolmogorov đề xuất, các khái niệm không xác định là một sự kiện và xác suất cơ bản. Dưới đây là các tiên đề xác định xác suất:

1. Mọi sự kiện MỘTđược gán một số thực không âm P(A). Con số này được gọi là xác suất của sự kiện MỘT.

2. Xác suất của một sự kiện đáng tin cậy là bằng một.

3. Xác suất xảy ra ít nhất một trong các sự kiện không tương thích theo cặp bằng tổng xác suất của các sự kiện này.

Dựa trên những tiên đề này, các tính chất của xác suất và sự phụ thuộc giữa chúng được suy ra dưới dạng các định lý.

Câu hỏi tự kiểm tra

1. Tên của đặc tính số học về khả năng xảy ra một sự kiện là gì?

2. Xác suất của một sự kiện là gì?

3. Xác suất của một sự kiện đáng tin cậy là bao nhiêu?

4. Xác suất của một sự kiện không thể xảy ra là bao nhiêu?

5. Giới hạn xác suất của một sự kiện ngẫu nhiên là gì?

6. Giới hạn xác suất của bất kỳ sự kiện nào là gì?

7. Định nghĩa nào về xác suất được gọi là cổ điển?

Định nghĩa cổ điển về xác suất.

Như đã đề cập ở trên, với số lượng lớn N tần số kiểm tra P*(A)=m/ N sự xuất hiện của một sự kiện MỘT ổn định và đưa ra giá trị gần đúng về xác suất của một sự kiện MỘT , tức là .

Tình huống này cho phép chúng ta tìm ra xác suất gần đúng của một sự kiện bằng thực nghiệm. Trong thực tế, phương pháp tìm xác suất của một sự kiện này không phải lúc nào cũng thuận tiện. Rốt cuộc, chúng ta cần biết trước xác suất của một sự kiện nào đó, ngay cả trước khi thử nghiệm. Đây là vai trò mang tính suy nghiệm và tiên đoán của khoa học. Trong một số trường hợp, xác suất của một sự kiện có thể được xác định trước khi thử nghiệm bằng cách sử dụng khái niệm khả năng trang bị của các sự kiện (hoặc khả năng trang bị).

Hai sự kiện đó được gọi là có thể xảy ra như nhau (hoặc đều có thể ), nếu không có lý do khách quan nào để tin rằng một trong số chúng có thể xảy ra thường xuyên hơn cái kia.

Vì vậy, ví dụ, sự xuất hiện của quốc huy hoặc dòng chữ khi ném đồng xu là những sự kiện có thể xảy ra như nhau.

Hãy xem một ví dụ khác. Hãy để họ ném xúc xắc. Do tính đối xứng của hình lập phương, chúng ta có thể giả sử rằng hình dáng của bất kỳ số nào 1, 2, 3, 4, 5 hoặc 6 có thể xảy ra như nhau (khả năng như nhau).

Sự kiện trong thí nghiệm này chúng hình thành nhóm đầy đủ , nếu ít nhất một trong số chúng xảy ra do kết quả của thí nghiệm. Vì vậy, trong ví dụ cuối cùng, nhóm sự kiện hoàn chỉnh bao gồm sáu sự kiện - sự xuất hiện của các con số 1, 2, 3, 4, 5 Và 6.

Rõ ràng, bất kỳ sự kiện nào MỘT và sự kiện ngược lại của nó tạo thành một nhóm hoàn chỉnh.

Sự kiện B gọi điện thuận lợi sự kiện MỘT , nếu xảy ra sự kiện B kéo theo sự xuất hiện của một sự kiện MỘT . Vì vậy, nếu MỘT - sự xuất hiện của số điểm chẵn khi ném xúc xắc, sau đó là sự xuất hiện của số 4 đại diện cho một sự kiện ủng hộ một sự kiện MỘT.

Hãy để sự kiện trong thí nghiệm này tạo thành một nhóm hoàn chỉnh gồm các sự kiện có thể xảy ra như nhau và không tương thích theo từng cặp. Hãy gọi họ kết quả các bài kiểm tra. Hãy giả sử rằng sự kiện MỘT ủng hộ kết quả thử nghiệm. Khi đó xác suất của sự kiện MỘT trong thí nghiệm này được gọi là thái độ. Vì vậy chúng ta đi đến định nghĩa sau.

Xác suất P(A) của một sự kiện trong một thử nghiệm nhất định là tỷ lệ giữa số kết quả thử nghiệm thuận lợi cho sự kiện A trên tổng số kết quả thử nghiệm có thể xảy ra tạo thành một nhóm hoàn chỉnh gồm các sự kiện không tương thích theo từng cặp có xác suất như nhau: .

Định nghĩa xác suất này thường được gọi là cổ điển. Có thể chứng minh rằng định nghĩa cổ điển thỏa mãn các tiên đề xác suất.

Ví dụ 1.1. Một lô từ 1000 vòng bi. Mình vô tình vào được đợt này 30 vòng bi không đạt tiêu chuẩn. Xác định xác suất P(A) rằng ổ trục được lấy ngẫu nhiên sẽ trở thành ổ trục tiêu chuẩn.

Giải pháp: Số lượng vòng bi tiêu chuẩn là 1000-30=970 . Chúng ta sẽ giả định rằng mỗi ổ trục có xác suất được chọn như nhau. Khi đó, nhóm sự kiện hoàn chỉnh bao gồm các kết quả có thể xảy ra như nhau, trong đó sự kiện đó MỘT ủng hộ kết quả. Đó là lý do tại sao .

Ví dụ 1.2. Trong bình 10 quả bóng: 3 trắng và 7 đen. Hai quả bóng được lấy từ bình cùng một lúc. Xác suất là gì r rằng cả hai quả bóng đều có màu trắng?

Giải pháp: Số lượng tất cả các kết quả thử nghiệm có khả năng xảy ra như nhau bằng số cách mà trong đó 10 lấy ra hai quả bóng, tức là số lượng kết hợp từ 10 các yếu tố bởi 2 (nhóm sự kiện đầy đủ):

Số kết quả thuận lợi (có bao nhiêu cách có thể chọn từ 3 chọn quả bóng 2) : . Do đó, xác suất yêu cầu .

Nhìn về phía trước, vấn đề này có thể được giải quyết theo cách khác.

Giải pháp: Xác suất để trong lần thử thứ nhất (rút bi) lấy được bi trắng là (tổng số bi 10 , trong đó 3 trắng). Xác suất để trong lần thử thứ hai lấy ra bi trắng lần nữa là bằng (tổng số bi đã trở thành 9, bởi vì họ lấy một cái ra, nó trở thành màu trắng 2, bởi vì Họ lấy ra cái màu trắng). Do đó, xác suất kết hợp các sự kiện bằng tích của xác suất của chúng, tức là .

Ví dụ 1.3. Trong bình 2 màu xanh lá, 7 màu đỏ, 5 màu nâu và 10 những quả bóng trắng. Xác suất để một quả bóng màu xuất hiện là bao nhiêu?

Giải pháp: Chúng tôi lần lượt tìm thấy xác suất xuất hiện của các quả bóng màu xanh lá cây, đỏ và nâu: ; ; . Vì các sự kiện đang xem xét rõ ràng là không tương thích với nhau, nên bằng cách sử dụng tiên đề phép cộng, chúng ta tìm thấy xác suất xuất hiện một quả bóng màu:

Hoặc, theo một cách khác. Xác suất để xuất hiện bi trắng là . Khi đó xác suất xuất hiện của một quả bóng không phải màu trắng (tức là có màu), tức là. xác suất của sự kiện ngược lại là bằng .

Định nghĩa hình học của xác suất. Để khắc phục nhược điểm của định nghĩa xác suất cổ điển (không áp dụng được cho các thử nghiệm có số lượng kết quả vô hạn), một định nghĩa hình học về xác suất được đưa ra - xác suất của một điểm rơi vào một vùng (đoạn, một phần của mặt phẳng, vân vân.).

Hãy để phân khúc là một phần của phân khúc. Một điểm được đặt ngẫu nhiên trên một đoạn, có nghĩa là đáp ứng các giả định sau: điểm được đặt có thể ở bất kỳ điểm nào trên đoạn đó, xác suất một điểm rơi trên đoạn đó tỷ lệ thuận với độ dài của đoạn đó và không phụ thuộc vào vị trí của nó so với đoạn đó. Theo các giả định này, xác suất của một điểm rơi trên một đoạn được xác định bởi đẳng thức

Ban đầu, chỉ là một tập hợp thông tin và quan sát thực nghiệm về trò chơi xúc xắc, lý thuyết xác suất đã trở thành một môn khoa học kỹ lưỡng. Người đầu tiên đưa ra khuôn khổ toán học cho nó là Fermat và Pascal.

Từ suy nghĩ về cái vĩnh cửu đến lý thuyết xác suất

Hai cá nhân mà lý thuyết xác suất mang ơn nhiều công thức cơ bản của nó, Blaise Pascal và Thomas Bayes, được biết đến như những người sùng đạo sâu sắc, người sau này là một mục sư Trưởng lão. Rõ ràng, mong muốn của hai nhà khoa học này trong việc chứng minh quan điểm sai lầm về một Vận may nào đó, người mang lại may mắn cho những người cô ấy yêu thích, đã tạo động lực cho nghiên cứu trong lĩnh vực này. Trên thực tế, bất kỳ trò chơi cờ bạc nào với số tiền thắng và thua đều chỉ là một bản giao hưởng của các nguyên tắc toán học.

Nhờ niềm đam mê của Chevalier de Mere, một người không kém phần mê cờ bạc và là người không thờ ơ với khoa học, Pascal buộc phải tìm cách tính xác suất. De Mere quan tâm đến câu hỏi sau: “Bạn cần ném hai viên xúc xắc theo cặp bao nhiêu lần để xác suất đạt 12 điểm vượt quá 50%?” Câu hỏi thứ hai được quý ông rất quan tâm: “Làm thế nào để chia tiền cược cho những người tham gia trò chơi còn dang dở?” Tất nhiên, Pascal đã trả lời thành công cả hai câu hỏi của de Mere, người vô tình trở thành người khởi xướng sự phát triển lý thuyết xác suất. Điều thú vị là con người của de Mere vẫn được biết đến trong lĩnh vực này chứ không phải trong văn học.

Trước đây, chưa có nhà toán học nào thử tính xác suất của các sự kiện, vì người ta tin rằng đây chỉ là một giải pháp phỏng đoán. Blaise Pascal đã đưa ra định nghĩa đầu tiên về xác suất của một sự kiện và chỉ ra rằng đó là một con số cụ thể có thể được chứng minh bằng toán học. Lý thuyết xác suất đã trở thành cơ sở của thống kê và được sử dụng rộng rãi trong khoa học hiện đại.

Sự ngẫu nhiên là gì

Nếu chúng ta xem xét một bài kiểm tra có thể lặp lại vô số lần thì chúng ta có thể xác định một sự kiện ngẫu nhiên. Đây là một trong những kết quả có thể xảy ra của thí nghiệm.

Kinh nghiệm là việc thực hiện các hành động cụ thể trong những điều kiện không đổi.

Để có thể làm việc với kết quả của thí nghiệm, các sự kiện thường được ký hiệu bằng các chữ cái A, B, C, D, E...

Xác suất của một sự kiện ngẫu nhiên

Để bắt đầu phần toán học của xác suất, cần phải xác định tất cả các thành phần của nó.

Xác suất của một sự kiện là thước đo bằng số về khả năng xảy ra một sự kiện nào đó (A hoặc B) do một trải nghiệm. Xác suất được ký hiệu là P(A) hoặc P(B).

Trong lý thuyết xác suất họ phân biệt:

đáng tin cậy sự kiện được đảm bảo xảy ra do kết quả của trải nghiệm P(Ω) = 1;
không thể nào sự kiện không bao giờ có thể xảy ra P(Ø) = 0;
ngẫu nhiên một sự kiện nằm ở mức độ tin cậy và không thể xảy ra, nghĩa là xác suất xảy ra sự kiện đó là có thể xảy ra nhưng không được đảm bảo (xác suất xảy ra sự kiện ngẫu nhiên luôn nằm trong khoảng 0<Р(А)< 1).

Mối quan hệ giữa các sự kiện

Cả một và tổng các sự kiện A+B đều được xem xét, khi sự kiện được tính khi ít nhất một trong các thành phần A hoặc B hoặc cả hai thành phần A và B được đáp ứng.

Trong mối quan hệ với nhau, các sự kiện có thể là:

Tương đương có thể.
Tương thích.
Không tương thích.
Đối diện (loại trừ lẫn nhau).
Sự phụ thuộc.

Nếu hai sự kiện có thể xảy ra với xác suất bằng nhau thì chúng đều có thể.

Nếu việc xảy ra sự kiện A không làm giảm xác suất xảy ra sự kiện B về 0 thì họ tương thích.

Nếu sự kiện A và B không bao giờ xảy ra đồng thời trong cùng một trải nghiệm thì chúng được gọi là không tương thích. Tung một đồng xu là một ví dụ điển hình: việc xuất hiện các mặt ngửa tự động là việc không xuất hiện các mặt ngửa.

Xác suất của tổng các sự kiện không tương thích như vậy bao gồm tổng xác suất của từng sự kiện:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Nếu sự xuất hiện của một sự kiện làm cho sự kiện khác không thể xảy ra thì chúng được gọi là ngược lại. Sau đó, một trong số chúng được chỉ định là A, và cái còn lại - Ā (đọc là “không phải A”). Sự kiện A xảy ra nghĩa là Ā không xảy ra. Hai sự kiện này tạo thành một nhóm hoàn chỉnh với tổng xác suất bằng 1.

Các sự kiện phụ thuộc có ảnh hưởng lẫn nhau, làm giảm hoặc tăng xác suất xảy ra lẫn nhau.

Mối quan hệ giữa các sự kiện. Ví dụ

Sử dụng các ví dụ sẽ dễ hiểu hơn nhiều các nguyên tắc của lý thuyết xác suất và sự kết hợp của các sự kiện.

Thí nghiệm sẽ được thực hiện bao gồm việc lấy các quả bóng ra khỏi hộp và kết quả của mỗi thí nghiệm là kết quả cơ bản.

Một sự kiện là một trong những kết quả có thể xảy ra của một thí nghiệm - quả bóng màu đỏ, quả bóng màu xanh, quả bóng có số sáu, v.v.

Bài kiểm tra số 1. Có 6 quả bóng tham gia, trong đó có 3 quả bóng màu xanh lam với số lẻ và 3 quả bóng còn lại màu đỏ với số chẵn.

Bài kiểm tra số 2. Có 6 quả bóng màu xanh được đánh số từ 1 đến 6.

Dựa trên ví dụ này, chúng ta có thể đặt tên cho các kết hợp:

Sự kiện đáng tin cậy bằng tiếng Tây Ban Nha Số 2, sự kiện “lấy quả bóng xanh” là đáng tin cậy vì xác suất xảy ra của nó bằng 1, vì tất cả các quả bóng đều có màu xanh và không thể bỏ sót. Trong khi đó sự kiện “lấy được bóng số 1” là ngẫu nhiên.
Sự kiện không thể xảy ra. bằng tiếng Tây Ban Nha Số 1 với bóng xanh và đỏ, sự kiện “nhận được bóng tím” là không thể xảy ra vì xác suất xuất hiện của nó là 0.
Các sự kiện có thể xảy ra như nhau. bằng tiếng Tây Ban Nha Số 1, các sự kiện “lấy bóng số 2” và “lấy bóng số 3” đều có thể xảy ra như nhau, và các sự kiện “lấy bóng số chẵn” và “lấy bóng số 2” đều có thể thực hiện được. ” có xác suất khác nhau.
Sự kiện tương thíchĐạt được điểm sáu hai lần liên tiếp trong khi ném xúc xắc là một sự kiện tương thích.
Sự kiện không tương thích Trong cùng một tiếng Tây Ban Nha Thứ 1, sự kiện “lấy bi đỏ” và “lấy bi số lẻ” không thể kết hợp trong cùng một trải nghiệm.
Sự kiện trái ngược nhau. Ví dụ nổi bật nhất của việc này là việc tung đồng xu, trong đó việc rút được mặt ngửa tương đương với việc không vẽ được mặt sấp và tổng xác suất của chúng luôn bằng 1 (nhóm đầy đủ).
Sự kiện phụ thuộc. Vì vậy, trong tiếng Tây Ban Nha Số 1, bạn có thể đặt mục tiêu rút được quả bóng đỏ hai lần liên tiếp. Việc lấy hay không lấy lần đầu đều ảnh hưởng đến khả năng lấy lại lần thứ hai.

Có thể thấy, sự kiện đầu tiên ảnh hưởng đáng kể đến xác suất xảy ra sự kiện thứ hai (40% và 60%).

Công thức xác suất sự kiện

Quá trình chuyển đổi từ bói toán sang dữ liệu chính xác xảy ra thông qua việc chuyển chủ đề sang mặt phẳng toán học. Nghĩa là, các phán đoán về một sự kiện ngẫu nhiên như “xác suất cao” hoặc “xác suất tối thiểu” có thể được chuyển thành dữ liệu số cụ thể. Đã được phép đánh giá, so sánh và nhập tài liệu đó vào các phép tính phức tạp hơn.

Từ quan điểm tính toán, việc xác định xác suất của một sự kiện là tỷ lệ giữa số lượng kết quả tích cực cơ bản với số lượng tất cả các kết quả có thể có của trải nghiệm liên quan đến một sự kiện cụ thể. Xác suất được ký hiệu là P(A), trong đó P là viết tắt của từ “xác suất”, được dịch từ tiếng Pháp là “xác suất”.

Vì vậy, công thức tính xác suất của một sự kiện là:

Trong đó m là số kết quả thuận lợi cho sự kiện A, n là tổng tất cả các kết quả có thể xảy ra cho trải nghiệm này. Trong trường hợp này, xác suất xảy ra sự kiện luôn nằm trong khoảng từ 0 đến 1:

0  P(A)  1.

Tính xác suất của một sự kiện. Ví dụ

Hãy học tiếng Tây Ban Nha. Số 1 với các quả bóng, đã được mô tả trước đó: 3 quả bóng màu xanh có số 1/3/5 và 3 quả bóng màu đỏ có số 2/4/6.

Dựa trên thử nghiệm này, một số vấn đề khác nhau có thể được xem xét:

A – quả bóng màu đỏ rơi ra ngoài. Có 3 quả bóng màu đỏ và có tổng cộng 6 lựa chọn. Đây là ví dụ đơn giản nhất trong đó xác suất của một sự kiện là P(A) = 3/6 = 0,5.
B - cán một số chẵn. Có 3 số chẵn (2,4,6) và tổng số phương án số có thể có là 6. Xác suất của sự kiện này là P(B)=3/6=0,5.
C - sự xuất hiện của một số lớn hơn 2. Có 4 phương án như vậy (3,4,5,6) trên tổng số các kết quả có thể xảy ra là 6. Xác suất của sự kiện C bằng P(C)=4 /6=0,67.

Như có thể thấy từ các tính toán, sự kiện C có xác suất cao hơn vì số lượng kết quả tích cực có thể xảy ra cao hơn trong A và B.

Sự kiện không tương thích

Những sự kiện như vậy không thể xuất hiện đồng thời trong cùng một trải nghiệm. Như trong tiếng Tây Ban Nha Số 1 không thể có được quả bóng xanh và quả bóng đỏ cùng một lúc. Nghĩa là, bạn có thể nhận được một quả bóng màu xanh hoặc màu đỏ. Tương tự như vậy, số chẵn và số lẻ không thể xuất hiện cùng lúc trên xúc xắc.

Xác suất của hai sự kiện được coi là xác suất của tổng hoặc tích của chúng. Tổng các sự kiện A+B như vậy được coi là một sự kiện bao gồm sự xuất hiện của sự kiện A hoặc B và tích của chúng AB là sự xuất hiện của cả hai. Ví dụ, sự xuất hiện của hai số sáu cùng một lúc trên các mặt của hai viên xúc xắc trong một lần ném.

Tổng của một số sự kiện là một sự kiện giả định trước sự xuất hiện của ít nhất một trong số chúng. Việc tạo ra một số sự kiện là sự xuất hiện chung của tất cả chúng.

Trong lý thuyết xác suất, theo quy luật, việc sử dụng kết hợp “và” biểu thị một tổng và kết hợp “hoặc” - phép nhân. Các công thức có ví dụ sẽ giúp bạn hiểu logic của phép cộng và phép nhân trong lý thuyết xác suất.

Xác suất của tổng các sự kiện không tương thích

Nếu xác suất của các sự kiện không tương thích được xem xét thì xác suất của tổng các sự kiện bằng việc cộng xác suất của chúng:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Ví dụ: hãy tính xác suất trong tiếng Tây Ban Nha. Số 1 với các quả bóng màu xanh và đỏ, một số từ 1 đến 4 sẽ xuất hiện, chúng ta sẽ tính toán không phải bằng một hành động mà bằng tổng xác suất của các thành phần cơ bản. Vì vậy, trong một thí nghiệm như vậy chỉ có 6 quả bóng hoặc 6 kết quả có thể xảy ra. Các số thỏa mãn điều kiện là 2 và 3. Xác suất được số 2 là 1/6, xác suất được số 3 cũng là 1/6. Xác suất để lấy được số từ 1 đến 4 là:

Xác suất của tổng các sự kiện không tương thích của một nhóm hoàn chỉnh là 1.

Vì vậy, nếu trong một thí nghiệm với khối lập phương, chúng ta cộng xác suất của tất cả các số xuất hiện thì kết quả sẽ là một.

Điều này cũng đúng với các sự kiện trái ngược nhau, chẳng hạn như trong thí nghiệm với một đồng xu, trong đó một mặt là sự kiện A, và mặt kia là sự kiện ngược lại Ā, như đã biết,

P(A) + P(Ā) = 1

Xác suất xảy ra các sự kiện không tương thích

Phép nhân xác suất được sử dụng khi xem xét sự xuất hiện của hai hoặc nhiều sự kiện không tương thích trong một quan sát. Xác suất để các sự kiện A và B xuất hiện đồng thời bằng tích các xác suất của chúng, hoặc:

P(A*B)=P(A)*P(B)

Ví dụ, xác suất rằng trong tiếng Tây Ban Nha Số 1, sau hai lần thử, một quả bóng màu xanh sẽ xuất hiện hai lần, bằng

Nghĩa là, xác suất xảy ra một sự kiện khi sau hai lần thử lấy bóng, chỉ lấy được bóng xanh là 25%. Rất dễ dàng để thực hiện các thí nghiệm thực tế về vấn đề này và xem liệu điều này có thực sự đúng hay không.

Sự kiện chung

Các sự kiện được coi là kết hợp khi sự xuất hiện của một trong số chúng có thể trùng với sự xuất hiện của một sự kiện khác. Mặc dù thực tế là chúng là chung nhưng xác suất của các sự kiện độc lập vẫn được xem xét. Ví dụ: ném hai viên xúc xắc có thể cho kết quả khi số 6 xuất hiện trên cả hai viên. Mặc dù các sự kiện trùng khớp và xuất hiện cùng lúc nhưng chúng độc lập với nhau - chỉ có sáu viên có thể rơi ra, viên xúc xắc thứ hai không có. ảnh hưởng lên nó.

Xác suất của các sự kiện chung được coi là xác suất của tổng của chúng.

Xác suất của tổng các sự kiện chung. Ví dụ

Xác suất của tổng các sự kiện A và B có mối liên hệ với nhau bằng tổng xác suất của sự kiện đó trừ đi xác suất xảy ra của chúng (nghĩa là sự xuất hiện chung của chúng):

khớp R (A+B)=P(A)+P(B)- P(AB)

Giả sử xác suất bắn trúng mục tiêu chỉ bằng một phát bắn là 0,4. Khi đó sự kiện A sẽ bắn trúng mục tiêu ở lần thử đầu tiên, B - ở lần thử thứ hai. Những sự kiện này là chung, vì có thể bạn có thể bắn trúng mục tiêu bằng cả phát đầu tiên và phát thứ hai. Nhưng các sự kiện không phụ thuộc. Xác suất xảy ra trường hợp hai phát bắn trúng mục tiêu (ít nhất là một phát) là bao nhiêu? Theo công thức:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

Đáp án cho câu hỏi là: “Xác suất bắn trúng mục tiêu sau 2 phát bắn là 64%”.

Công thức xác suất xảy ra một sự kiện này cũng có thể được áp dụng cho các sự kiện không tương thích, trong đó xác suất xảy ra đồng thời của một sự kiện P(AB) = 0. Điều này có nghĩa là xác suất của tổng các sự kiện không tương thích có thể được coi là trường hợp đặc biệt của công thức được đề xuất.

Hình học xác suất cho rõ ràng

Điều thú vị là xác suất của tổng các sự kiện chung có thể được biểu diễn dưới dạng hai khu vực A và B, giao nhau. Như có thể thấy trên hình, diện tích phần giao của chúng bằng tổng diện tích trừ đi diện tích giao điểm của chúng. Cách giải thích hình học này làm cho công thức có vẻ phi logic trở nên dễ hiểu hơn. Lưu ý rằng nghiệm hình học không phải là hiếm trong lý thuyết xác suất.

Việc xác định xác suất của tổng của nhiều (nhiều hơn hai) sự kiện chung là khá phức tạp. Để tính toán, bạn cần sử dụng các công thức được cung cấp cho những trường hợp này.

Sự kiện phụ thuộc

Các sự kiện được gọi là phụ thuộc nếu sự xuất hiện của một (A) trong số chúng ảnh hưởng đến xác suất xảy ra (B) khác. Hơn nữa, ảnh hưởng của cả việc xảy ra và không xảy ra sự kiện A đều được tính đến. Mặc dù các sự kiện được gọi là phụ thuộc theo định nghĩa, nhưng chỉ một trong số chúng là phụ thuộc (B). Xác suất thông thường được ký hiệu là P(B) hoặc xác suất của các sự kiện độc lập. Trong trường hợp các sự kiện phụ thuộc, một khái niệm mới được đưa ra - xác suất có điều kiện P A (B), là xác suất của một sự kiện phụ thuộc B chịu sự xuất hiện của sự kiện A (giả thuyết) mà nó phụ thuộc vào.

Nhưng sự kiện A cũng là ngẫu nhiên nên nó cũng có xác suất cần thiết và có thể được tính đến trong các phép tính được thực hiện. Ví dụ sau đây sẽ chỉ ra cách làm việc với các sự kiện phụ thuộc và một giả thuyết.

Một ví dụ về tính xác suất của các sự kiện phụ thuộc

Một ví dụ điển hình để tính toán các sự kiện phụ thuộc là một bộ bài tiêu chuẩn.

Lấy một bộ bài gồm 36 lá làm ví dụ, chúng ta hãy xem xét các sự kiện phụ thuộc. Chúng ta cần xác định xác suất lá bài thứ hai rút ra từ bộ bài sẽ là kim cương nếu lá bài đầu tiên rút ra là:

Bubnovaya.
Một màu khác.

Rõ ràng, xác suất của sự kiện B thứ hai phụ thuộc vào A đầu tiên. Vì vậy, nếu tùy chọn đầu tiên là đúng, tức là có ít hơn 1 lá bài (35) và 1 viên kim cương (8) trong bộ bài, xác suất của sự kiện B:

RA (B) =8/35=0,23

Nếu phương án thứ hai đúng thì bộ bài có 35 lá bài và vẫn giữ nguyên số kim cương (9) thì xác suất xảy ra sự kiện B sau:

RA (B) = 9/35=0,26.

Có thể thấy, nếu sự kiện A dựa vào lá bài đầu tiên là kim cương thì xác suất xảy ra sự kiện B sẽ giảm và ngược lại.

Nhân các sự kiện phụ thuộc

Theo hướng dẫn của chương trước, chúng ta chấp nhận sự kiện đầu tiên (A) là một sự kiện thực tế, nhưng về bản chất, nó có tính chất ngẫu nhiên. Xác suất của sự kiện này, cụ thể là rút được một viên kim cương từ bộ bài, bằng:

P(A) = 9/36=1/4

Vì lý thuyết không tồn tại một mình mà nhằm mục đích phục vụ cho các mục đích thực tế, nên công bằng mà nói cần lưu ý rằng điều thường cần nhất là xác suất tạo ra các sự kiện phụ thuộc.

Theo định lý tích xác suất của các sự kiện phụ thuộc, xác suất xảy ra sự kiện phụ thuộc chung A và B bằng xác suất của một sự kiện A nhân với xác suất có điều kiện của sự kiện B (phụ thuộc vào A):

P(AB) = P(A) *P A(B)

Sau đó, trong ví dụ về bộ bài, xác suất rút được hai lá bài có chất kim cương là:

9/36*8/35=0,0571, hay 5,7%

Và xác suất lấy được không phải kim cương trước mà sau đó là kim cương bằng:

27/36*9/35=0,19 hoặc 19%

Có thể thấy rằng xác suất xảy ra sự kiện B sẽ lớn hơn nếu rút được lá bài đầu tiên của bộ không phải là kim cương. Kết quả này khá logic và dễ hiểu.

Tổng xác suất của một sự kiện

Khi một bài toán với xác suất có điều kiện trở nên đa dạng, nó không thể được tính toán bằng các phương pháp thông thường. Khi có nhiều hơn hai giả thuyết, cụ thể là A1,A2,…,A n, .. tạo thành một nhóm sự kiện hoàn chỉnh được cung cấp:

P(A i)>0, i=1,2,…
A i ∩ A j =Ø,i≠j.
Σ k A k = Ω.

Vì vậy, công thức tính tổng xác suất xảy ra sự kiện B với một nhóm đầy đủ các sự kiện ngẫu nhiên A1, A2,..., An bằng:

Nhìn về tương lai

Xác suất của một sự kiện ngẫu nhiên là vô cùng cần thiết trong nhiều lĩnh vực khoa học: kinh tế lượng, thống kê, vật lý, v.v. Vì một số quá trình không thể được mô tả một cách xác định, vì bản chất chúng có tính xác suất nên cần có các phương pháp làm việc đặc biệt. Lý thuyết xác suất của một sự kiện có thể được sử dụng trong bất kỳ lĩnh vực công nghệ nào như một cách để xác định khả năng xảy ra lỗi hoặc trục trặc.

Chúng ta có thể nói rằng bằng cách nhận ra xác suất, theo một cách nào đó, chúng ta thực hiện một bước lý thuyết vào tương lai, nhìn nó qua lăng kính của các công thức.

Các vấn đề về việc xác định xác suất cổ điển.
Ví dụ về giải pháp

Trong bài học thứ ba, chúng ta sẽ xem xét các vấn đề khác nhau liên quan đến việc áp dụng trực tiếp định nghĩa cổ điển về xác suất. Để nghiên cứu hiệu quả các tài liệu trong bài viết này, tôi khuyên bạn nên làm quen với các khái niệm cơ bản lý thuyết xác suất Và cơ bản về tổ hợp. Nhiệm vụ xác định xác suất theo cách cổ điển với xác suất có xu hướng bằng một sẽ xuất hiện trong công việc độc lập/kiểm soát của bạn trên terver, vì vậy hãy sẵn sàng cho công việc nghiêm túc. Bạn có thể hỏi, điều gì nghiêm trọng đến vậy? ...chỉ một công thức nguyên thủy. Tôi cảnh báo bạn không nên phù phiếm - các nhiệm vụ theo chủ đề khá đa dạng và nhiều nhiệm vụ trong số đó có thể dễ dàng khiến bạn bối rối. Về vấn đề này, ngoài việc học qua bài chính, hãy cố gắng nghiên cứu các nhiệm vụ bổ sung về chủ đề trong con heo đất. giải pháp làm sẵn cho toán học cao hơn. Kỹ thuật giải là kỹ thuật giải, nhưng “bạn bè” vẫn “cần phải nhận biết bằng mắt”, bởi ngay cả trí tưởng tượng phong phú cũng có hạn và cũng có đủ những nhiệm vụ tiêu chuẩn. Chà, tôi sẽ cố gắng sắp xếp càng nhiều càng tốt với chất lượng tốt.

Hãy nhớ lại những tác phẩm kinh điển của thể loại này:

Xác suất của một sự kiện xảy ra trong một thử nghiệm nhất định bằng tỷ lệ , trong đó:

- tổng số tất cả đều có thể, tiểu học kết quả của bài kiểm tra này, hình thành nhóm sự kiện đầy đủ;

- Số lượng tiểu học kết quả có lợi cho sự kiện.

Và ngay lập tức dừng lại ngay lập tức. Bạn có hiểu những thuật ngữ được gạch chân không? Điều này có nghĩa là sự hiểu biết rõ ràng, không trực quan. Nếu không, tốt hơn hết bạn nên quay lại bài viết đầu tiên về lý thuyết xác suất và chỉ sau đó mới tiếp tục.

Vui lòng không bỏ qua các ví dụ đầu tiên - trong đó tôi sẽ nhắc lại một điểm cơ bản quan trọng và cũng cho bạn biết cách định dạng chính xác giải pháp và cách thực hiện điều này:

Vấn đề 1

Một chiếc bình chứa 15 quả cầu trắng, 5 quả đỏ và 10 quả đen. Lấy ngẫu nhiên 1 viên bi, tính xác suất để viên bi đó có: a) trắng, b) đỏ, c) đen.

Giải pháp: Điều kiện tiên quyết quan trọng nhất để sử dụng định nghĩa cổ điển về xác suất là khả năng đếm tổng số kết quả.

Có tổng cộng 15 + 5 + 10 = 30 quả bóng trong bình và rõ ràng những sự thật sau đây là đúng:

– việc lấy bất kỳ quả bóng nào đều có thể thực hiện được như nhau (cơ hội bình đẳng kết quả), trong khi kết quả tiểu học và hình thức nhóm sự kiện đầy đủ (tức là, kết quả của bài kiểm tra là một trong 30 quả bóng chắc chắn sẽ bị loại bỏ).

Như vậy, tổng số kết quả:

Xét trường hợp: – Từ trong bình rút ra một quả cầu màu trắng. Sự kiện này được ưa chuộng tiểu học do đó, theo định nghĩa cổ điển:
– xác suất để lấy được một quả bóng trắng từ bình.

Thật kỳ lạ, ngay cả trong một nhiệm vụ đơn giản như vậy, người ta vẫn có thể mắc phải sai sót nghiêm trọng, điều mà tôi đã tập trung vào trong bài viết đầu tiên về lý thuyết xác suất. Cạm bẫy ở đây là ở đâu? Lập luận ở đây là không đúng “Vì một nửa số bi trắng nên xác suất lấy được bi trắng là» . Định nghĩa cổ điển về xác suất đề cập đến TIỂU HỌC kết quả, và phân số phải được viết ra!

Tương tự, với các điểm khác, hãy xem xét các sự kiện sau:

– một quả bóng màu đỏ sẽ được rút ra từ chiếc bình;
– một quả bóng màu đen sẽ được rút ra từ chiếc bình.

Một sự kiện được ưa chuộng bởi 5 kết quả cơ bản và một sự kiện được ưa chuộng bởi 10 kết quả cơ bản. Vậy xác suất tương ứng là:

Việc kiểm tra điển hình của nhiều tác vụ máy chủ được thực hiện bằng cách sử dụng các định lý về tổng xác suất của các sự kiện tạo thành một nhóm hoàn chỉnh. Trong trường hợp của chúng tôi, các sự kiện tạo thành một nhóm hoàn chỉnh, có nghĩa là tổng các xác suất tương ứng nhất thiết phải bằng một: .

Hãy kiểm tra xem điều này có đúng không: đó là điều tôi muốn đảm bảo.

Trả lời:

Về nguyên tắc, câu trả lời có thể được viết ra chi tiết hơn, nhưng cá nhân tôi thường chỉ viết các con số ở đó - vì lý do là khi bạn bắt đầu “dập tắt” các vấn đề ở hàng trăm và hàng nghìn, bạn sẽ cố gắng giảm bớt việc viết các câu trả lời. giải pháp nhiều nhất có thể. Nhân tiện, về sự ngắn gọn: trong thực tế, phương án thiết kế “tốc độ cao” là phổ biến giải pháp:

Tổng cộng: 15 + 5 + 10 = 30 quả bóng trong bình. Theo định nghĩa cổ điển:
– xác suất để lấy được bi trắng từ bình;
– xác suất để lấy được bi đỏ từ bình;
– xác suất để lấy được một quả bóng đen từ bình.

Trả lời:

Tuy nhiên, nếu có một số điểm trong điều kiện thì việc xây dựng giải pháp theo cách đầu tiên thường sẽ thuận tiện hơn, việc này tốn nhiều thời gian hơn một chút nhưng đồng thời “sắp xếp mọi thứ lên kệ” và giúp việc này dễ dàng hơn. để điều hướng vấn đề.

Hãy khởi động nào:

Vấn đề 2

Cửa hàng đã nhận được 30 chiếc tủ lạnh, 5 chiếc trong số đó bị lỗi sản xuất. Chọn ngẫu nhiên một tủ lạnh. Xác suất để nó không có khiếm khuyết là bao nhiêu?

Chọn tùy chọn thiết kế phù hợp và kiểm tra mẫu ở cuối trang.

Trong những ví dụ đơn giản nhất, số lượng điểm chung và số lượng kết quả thuận lợi nằm trên bề mặt, nhưng trong hầu hết các trường hợp, bạn phải tự mình đào củ khoai tây lên. Một loạt các vấn đề kinh điển về một người đăng ký hay quên:

Vấn đề 3

Khi bấm số điện thoại, thuê bao quên hai chữ số cuối mà nhớ rằng một số là 0 và một là số lẻ. Tìm xác suất để người đó quay đúng số.

Ghi chú : 0 là số chẵn (chia hết cho 2 không có số dư)

Giải pháp: Đầu tiên chúng ta tìm tổng số kết quả. Theo điều kiện, thuê bao nhớ rằng một trong các chữ số là 0 và chữ số còn lại là số lẻ. Ở đây sẽ hợp lý hơn nếu không phức tạp với tổ hợp và sử dụng phương pháp liệt kê trực tiếp kết quả . Nghĩa là, khi đưa ra giải pháp, chúng ta chỉ cần viết ra tất cả các kết hợp:
01, 03, 05, 07, 09
10, 30, 50, 70, 90

Và chúng tôi đếm chúng - tổng cộng: 10 kết quả.

Chỉ có một kết quả thuận lợi duy nhất: con số chính xác.

Theo định nghĩa cổ điển:
– xác suất thuê bao quay đúng số

Trả lời: 0,1

Phân số thập phân trông khá phù hợp trong lý thuyết xác suất, nhưng bạn cũng có thể tuân theo phong cách Vyshmatov truyền thống, chỉ hoạt động với phân số thông thường.

Nhiệm vụ nâng cao cho giải pháp độc lập:

Vấn đề 4

Thuê bao đã quên mã PIN cho thẻ SIM của mình nhưng nhớ rằng trong đó có ba số “năm” và một trong các số đó là “bảy” hoặc “tám”. Xác suất ủy quyền thành công trong lần thử đầu tiên là bao nhiêu?

Tại đây, bạn cũng có thể phát triển ý tưởng về khả năng người đăng ký sẽ phải đối mặt với hình phạt dưới dạng mã puk, nhưng thật không may, lý do đã vượt quá phạm vi của bài học này

Giải pháp và câu trả lời dưới đây.

Đôi khi việc liệt kê các kết hợp hóa ra lại là một công việc rất khó khăn. Đặc biệt, đây là trường hợp của nhóm bài toán tiếp theo, không kém phần phổ biến, khi tung 2 viên xúc xắc. (ít thường xuyên hơn - số lượng lớn hơn):

Vấn đề 5

Tính xác suất để khi ném 2 viên xúc xắc tổng số điểm sẽ là:

a) năm điểm;
b) không quá bốn điểm;
c) Bao gồm từ 3 đến 9 điểm.

Giải pháp: tìm tổng số kết quả:

Các cách mà mặt của xúc xắc thứ 1 có thể rơi ra Và theo những cách khác nhau, cạnh của khối lập phương thứ 2 có thể rơi ra ngoài; Qua quy tắc nhân các tổ hợp, tổng cộng: sự kết hợp có thể. Nói cách khác, mỗi mặt của khối lập phương thứ nhất có thể là ra lệnh một cặp vợ chồng với mỗi cạnh của hình lập phương thứ 2. Chúng ta thống nhất viết một cặp như vậy dưới dạng , số nào đổ được ở xúc xắc thứ nhất, là số đổ được ở xúc xắc thứ 2. Ví dụ:

– Xúc xắc thứ nhất ghi được 3 điểm, xúc xắc thứ hai ghi được 5 điểm, tổng điểm: 3 + 5 = 8;
– Xúc xắc thứ nhất ghi được 6 điểm, xúc xắc thứ hai ghi được 1 điểm, tổng điểm: 6 + 1 = 7;
– 2 điểm tung trên cả 2 viên xúc xắc, tổng: 2 + 2 = 4.

Rõ ràng, số tiền nhỏ nhất được tính bằng một cặp và số tiền lớn nhất là hai số "sáu".

a) Xét sự kiện: – khi ném hai viên xúc xắc sẽ xuất hiện 5 điểm. Hãy viết ra và đếm số kết quả có lợi cho sự kiện này:

Tổng số: 4 kết quả thuận lợi. Theo định nghĩa cổ điển:
– xác suất mong muốn.

b) Xem xét sự kiện: – sẽ không có nhiều hơn 4 điểm. Tức là 2, 3 hoặc 4 điểm. Một lần nữa chúng ta liệt kê và đếm các kết hợp thuận lợi, ở bên trái tôi sẽ ghi tổng số điểm và sau dấu hai chấm - các cặp phù hợp:

Tổng cộng: 6 sự kết hợp thuận lợi. Như vậy:
– xác suất không quá 4 điểm sẽ được tung ra.

c) Xét sự kiện: – Sẽ có tổng cộng 3 đến 9 điểm. Ở đây bạn có thể đi đường thẳng, nhưng... vì lý do nào đó mà bạn không muốn. Đúng, một số cặp đã được liệt kê trong các đoạn trước, nhưng vẫn còn rất nhiều việc phải làm.

Cách tốt nhất để tiếp tục là gì? Trong những trường hợp như vậy, đường vòng trở nên hợp lý. Hãy xem xét sự kiện ngược lại: – 2 hoặc 10 hoặc 11 hoặc 12 điểm sẽ được tung ra.

Vấn đề là gì? Sự kiện ngược lại được ưa chuộng bởi số lượng cặp đôi nhỏ hơn đáng kể:

Tổng cộng: 7 kết quả thuận lợi.

Theo định nghĩa cổ điển:
– xác suất bạn sẽ đạt được ít hơn ba hoặc nhiều hơn 9 điểm.

Ngoài việc liệt kê trực tiếp và đếm kết quả, nhiều công thức tổ hợp. Và một lần nữa một vấn đề hoành tráng về thang máy:

Vấn đề 7

3 người bước vào thang máy của tòa nhà 20 tầng ở tầng 1. Và đi thôi. Tìm xác suất để:

a) họ sẽ thoát ra ở các tầng khác nhau
b) hai người sẽ thoát ra ở cùng một tầng;
c) mọi người sẽ xuống cùng một tầng.

Bài học thú vị của chúng ta đã kết thúc, và cuối cùng, một lần nữa tôi thực sự khuyên rằng nếu không giải được thì ít nhất hãy hiểu các vấn đề bổ sung về việc xác định xác suất cổ điển. Như tôi đã lưu ý, “đệm tay” cũng quan trọng!

Hơn nữa dọc theo khóa học - Định nghĩa hình học của xác suất Và Định lý cộng và nhân xác suất và... may mắn là điều chính yếu!

Giải pháp và câu trả lời:

Nhiệm vụ 2: Giải pháp: 30 – 5 = 25 tủ lạnh không có khuyết tật.

– xác suất để một tủ lạnh được chọn ngẫu nhiên không có khuyết tật.
Trả lời :

Nhiệm vụ 4: Giải pháp: tìm tổng số kết quả:
những cách bạn có thể chọn nơi đặt số đáng ngờ và trên mọi Trong 4 vị trí này có thể tìm được 2 chữ số (bảy hoặc tám). Theo quy tắc nhân các tổ hợp thì tổng số kết quả là: .
Ngoài ra, giải pháp có thể chỉ cần liệt kê tất cả các kết quả (may mắn là có rất ít trong số đó):
7555, 8555, 5755, 5855, 5575, 5585, 5557, 5558
Chỉ có một kết quả thuận lợi (mã pin đúng).
Vì vậy, theo định nghĩa cổ điển:
– xác suất người đăng ký đăng nhập vào lần thử đầu tiên
Trả lời :

Nhiệm vụ 6: Giải pháp: tìm tổng số kết quả:
số trên 2 viên xúc xắc có thể xuất hiện theo nhiều cách khác nhau.

a) Xét sự kiện: – Khi ném hai viên xúc xắc, tích số điểm sẽ bằng bảy. Không có kết quả thuận lợi cho một sự kiện nhất định, theo định nghĩa cổ điển về xác suất:
, tức là sự kiện này là không thể.

b) Xét sự kiện: – khi ném hai viên xúc xắc, tích số điểm sẽ ít nhất là 20. Các kết quả sau đây thuận lợi cho sự kiện này:

Tổng số: 8
Theo định nghĩa cổ điển:
– xác suất mong muốn.

c) Xét các biến cố ngược lại:
– tích của các điểm sẽ bằng nhau;
– tích của các điểm sẽ là số lẻ.
Hãy liệt kê tất cả các kết quả có lợi cho sự kiện:

Tổng số: 9 kết quả thuận lợi.
Theo định nghĩa cổ điển về xác suất:
Các sự kiện đối lập tạo thành một nhóm hoàn chỉnh, do đó:
– xác suất mong muốn.

Trả lời :

Vấn đề 8: Giải pháp: hãy tính tổng số kết quả: 10 đồng xu có thể rơi theo nhiều cách khác nhau.
Một cách khác: những cách mà đồng xu thứ nhất có thể rơi Và cách đồng xu thứ 2 có thể rơi Và … Và cách đồng xu thứ 10 có thể rơi Theo quy luật nhân tổ hợp thì 10 đồng xu có thể rơi cách.
a) Xét sự kiện: – mặt ngửa sẽ xuất hiện trên tất cả các đồng xu. Sự kiện này được ưa chuộng bởi một kết quả duy nhất, theo định nghĩa cổ điển về xác suất: .
b) Xét sự kiện: – 9 đồng xu sẽ ra mặt ngửa và một đồng xu sẽ ra mặt sấp.
Có những đồng xu có thể rơi trúng đầu. Theo định nghĩa cổ điển về xác suất: .
c) Xét sự kiện: – mặt ngửa sẽ xuất hiện trên một nửa số xu.
tồn tại sự kết hợp độc đáo của năm đồng xu có thể hạ cánh. Theo định nghĩa cổ điển về xác suất:
Trả lời :

Cơ sở lý thuyết xác suất

Kế hoạch:

1. Sự kiện ngẫu nhiên

2. Định nghĩa cổ điển về xác suất

3. Tính xác suất sự kiện và tổ hợp

4. Xác suất hình học

Thông tin lý thuyết

Sự kiện ngẫu nhiên.

Hiện tượng ngẫu nhiên- một hiện tượng mà kết quả của nó không được xác định rõ ràng. Khái niệm này có thể được hiểu theo nghĩa khá rộng. Cụ thể: mọi thứ trong tự nhiên đều khá ngẫu nhiên, sự xuất hiện và ra đời của bất kỳ cá nhân nào cũng là hiện tượng ngẫu nhiên, việc chọn sản phẩm trong cửa hàng cũng là hiện tượng ngẫu nhiên, đạt điểm trong kỳ thi là hiện tượng ngẫu nhiên, bệnh tật và hồi phục là hiện tượng ngẫu nhiên. , vân vân.

Ví dụ về hiện tượng ngẫu nhiên:

~ Việc bắn được thực hiện từ súng được gắn ở một góc nhất định so với phương ngang. Việc bắn trúng mục tiêu là ngẫu nhiên, nhưng đạn bắn trúng một “cái nĩa” nào đó là một khuôn mẫu. Bạn có thể chỉ định khoảng cách gần hơn và xa hơn mà đạn sẽ không bay. Bạn sẽ nhận được một số loại "ngã ba phân tán đạn"

~ Cùng một cơ thể được cân nhiều lần. Nói đúng ra, mỗi lần bạn sẽ nhận được những kết quả khác nhau, ngay cả khi chúng khác nhau một lượng không đáng kể, nhưng chúng sẽ khác nhau.

~ Một chiếc máy bay bay dọc theo cùng một lộ trình sẽ có một hành lang bay nhất định mà máy bay có thể điều động trong đó, nhưng nó sẽ không bao giờ có một lộ trình hoàn toàn giống hệt nhau

~ Một vận động viên sẽ không bao giờ có thể chạy cùng một quãng đường trong cùng một khoảng thời gian. Kết quả của nó cũng sẽ nằm trong một phạm vi số nhất định.

Kinh nghiệm, thí nghiệm, quan sát là những bài kiểm tra

Sự thử nghiệm- quan sát hoặc thực hiện một tập hợp các điều kiện nhất định được thực hiện nhiều lần và lặp lại thường xuyên theo cùng một trình tự, khoảng thời gian và tuân thủ các thông số giống hệt nhau khác.

Hãy xem xét một vận động viên bắn vào một mục tiêu. Để thực hiện được, cần phải đáp ứng các điều kiện như chuẩn bị cho vận động viên, nạp vũ khí, ngắm bắn, v.v. “Trúng” và “trượt” – các sự kiện xảy ra do một cú đánh.

Sự kiện– kết quả kiểm tra chất lượng cao.

Một sự kiện có thể xảy ra hoặc không. Sự kiện được biểu thị bằng chữ in hoa. Ví dụ: D = “Người bắn trúng mục tiêu”. S="Quả bóng trắng đã được rút ra." K="Một tờ vé số lấy ngẫu nhiên mà không trúng.".

Tung đồng xu là một bài kiểm tra. Sự sụp đổ của “huy hiệu” của cô ấy là một sự kiện, sự sụp đổ của “chữ số” của cô ấy là sự kiện thứ hai.

Bất kỳ thử nghiệm nào cũng liên quan đến sự xuất hiện của một số sự kiện. Một số trong số chúng có thể cần thiết đối với nhà nghiên cứu tại một thời điểm nhất định, một số khác có thể không cần thiết.

Sự kiện được gọi là ngẫu nhiên, nếu, khi một tập hợp các điều kiện nhất định được đáp ứng S nó có thể xảy ra hoặc không xảy ra. Trong phần tiếp theo, thay vì nói “tập hợp các điều kiện S đã được đáp ứng”, chúng ta sẽ nói ngắn gọn: “thử nghiệm đã được thực hiện”. Vì vậy, sự kiện sẽ được coi là kết quả của bài kiểm tra.

~ Người bắn bắn vào mục tiêu được chia thành bốn khu vực. Cú đánh là một bài kiểm tra. Đánh vào một khu vực nhất định của mục tiêu là một sự kiện.

~ Có những quả bóng màu trong bình. Một quả bóng được lấy ngẫu nhiên từ bình. Lấy một quả bóng từ một chiếc bình là một bài kiểm tra. Sự xuất hiện của một quả bóng có màu nhất định là một sự kiện.

Các loại sự kiện ngẫu nhiên

1. Các sự kiện được gọi là không tương thích nếu sự xuất hiện của một trong số chúng loại trừ sự xuất hiện của các sự kiện khác trong cùng một thử nghiệm.

~ Một bộ phận được lấy ngẫu nhiên khỏi hộp linh kiện. Sự xuất hiện của một bộ phận tiêu chuẩn sẽ loại bỏ sự xuất hiện của một bộ phận không chuẩn. Sự kiện € một phần tiêu chuẩn xuất hiện" và một phần không chuẩn xuất hiện" - không tương thích.

~ Một đồng xu được ném. Sự xuất hiện của "quốc huy" không bao gồm sự xuất hiện của dòng chữ. Các sự kiện “một huy hiệu xuất hiện” và “một dòng chữ xuất hiện” không tương thích với nhau.

Một số sự kiện hình thành nhóm đầy đủ, nếu ít nhất một trong số chúng xuất hiện do kết quả của bài kiểm tra. Nói cách khác, sự xuất hiện của ít nhất một trong các biến cố của nhóm hoàn chỉnh là biến cố đáng tin cậy.

Đặc biệt, nếu các sự kiện tạo thành nhóm hoàn chỉnh không tương thích theo cặp thì kết quả của phép thử sẽ là một và chỉ một trong các sự kiện này là trường hợp đặc biệt được chúng ta quan tâm nhất vì nó sẽ được sử dụng thêm.

~ Hai vé số tiền mặt và quần áo đã được mua. Một và chỉ một trong các sự kiện sau đây chắc chắn sẽ xảy ra:

1. “Tiền thắng rơi vào vé đầu tiên và không rơi vào vé thứ hai,”

2. “Tiền thắng không rơi vào tấm vé đầu tiên mà rơi vào tấm vé thứ hai,”

3. “Tiền thắng rơi vào cả hai vé”,

4. “cả hai vé đều không trúng.”

Những sự kiện này tạo thành một nhóm hoàn chỉnh gồm các sự kiện không tương thích theo từng cặp,

~ Người bắn đã bắn vào mục tiêu. Một trong hai sự kiện sau đây chắc chắn sẽ xảy ra: đánh, trượt. Hai sự kiện không tương thích này cũng tạo thành một nhóm hoàn chỉnh.

2. Sự kiện được gọi đều có thể, nếu có lý do để tin rằng cả hai đều không khả thi hơn cái kia.

~ Sự xuất hiện của “huy hiệu” và sự xuất hiện của dòng chữ khi ném đồng xu đều là những sự kiện có thể xảy ra như nhau. Thật vậy, người ta cho rằng đồng xu được làm bằng vật liệu đồng nhất, có hình trụ đều đặn và việc đúc tiền không ảnh hưởng đến việc mất mặt này hay mặt kia của đồng xu.

~ Sự xuất hiện của một hoặc nhiều điểm trên một viên xúc xắc được ném là những sự kiện có thể xảy ra như nhau. Thật vậy, người ta cho rằng khuôn được làm từ vật liệu đồng nhất, có hình dạng khối đa diện đều và sự hiện diện của các điểm không ảnh hưởng đến việc mất đi bất kỳ bề mặt nào.

3. Sự kiện được gọi là đáng tin cậy, nếu nó không thể không xảy ra

4. Sự kiện được gọi là không đáng tin cậy, nếu điều đó không thể xảy ra.

5. Sự kiện được gọi là đối diệnđến một sự kiện nào đó nếu nó bao gồm sự không xảy ra của sự kiện này. Các sự kiện đối lập không tương thích với nhau, nhưng một trong số chúng nhất thiết phải xảy ra. Các sự kiện đối lập thường được chỉ định là phủ định, tức là Một dấu gạch ngang được viết phía trên chữ cái. Hai biến cố trái ngược nhau: A và Ā; U và Ū, v.v. .

Định nghĩa cổ điển về xác suất

Xác suất là một trong những khái niệm cơ bản của lý thuyết xác suất.

Có một số định nghĩa về khái niệm này. Hãy để chúng tôi đưa ra một định nghĩa được gọi là cổ điển. Tiếp theo, chúng tôi sẽ chỉ ra những điểm yếu của định nghĩa này và đưa ra những định nghĩa khác cho phép chúng ta khắc phục những điểm yếu của định nghĩa cổ điển.

Xét tình huống: Một hộp chứa 6 quả bóng giống nhau, 2 quả đỏ, 3 quả xanh và 1 quả trắng. Rõ ràng, khả năng rút ngẫu nhiên một quả bóng có màu (tức là đỏ hoặc xanh) từ một chiếc bình lớn hơn khả năng rút được một quả bóng trắng. Khả năng này có thể được đặc trưng bởi một con số, được gọi là xác suất của một sự kiện (sự xuất hiện của một quả bóng màu).

Xác suất- một con số đặc trưng cho mức độ có thể xảy ra một sự kiện.

Trong tình huống đang được xem xét, chúng tôi biểu thị:

Sự kiện A = "Lấy quả bóng màu ra."

Chúng ta hãy gọi từng kết quả có thể có của bài kiểm tra (bài kiểm tra bao gồm việc lấy một quả bóng ra khỏi bình) kết quả và sự kiện cơ bản (có thể xảy ra). Kết quả cơ bản có thể được biểu thị bằng các chữ cái có chỉ số dưới đây, ví dụ: k 1, k 2.

Trong ví dụ của chúng ta có 6 quả bóng, do đó có 6 kết quả có thể xảy ra: một quả bóng trắng xuất hiện; một quả bóng màu đỏ xuất hiện; một quả bóng màu xanh xuất hiện, v.v. Dễ dàng nhận thấy các kết quả này tạo thành một nhóm hoàn chỉnh các sự kiện không tương thích theo cặp (chỉ có một quả bóng xuất hiện) và chúng đều có khả năng xảy ra như nhau (quả bóng được rút ngẫu nhiên, các quả bóng giống hệt nhau và được trộn kỹ).

Chúng ta hãy gọi các kết quả cơ bản trong đó sự kiện mà chúng ta quan tâm xảy ra kết quả thuận lợi sự kiện này. Trong ví dụ của chúng tôi, sự kiện được ưa chuộng MỘT(sự xuất hiện của một quả bóng màu) có 5 kết quả sau:

Vì vậy sự kiện MỘTđược quan sát thấy nếu một trong những kết quả cơ bản có lợi cho thử nghiệm xảy ra, bất kể đó là kết quả nào. MỘT.Đây là hình dáng của bất kỳ quả bóng màu nào, trong đó có 5 quả bóng trong hộp

Trong ví dụ đang xem xét, có 6 kết quả cơ bản; 5 người trong số họ ủng hộ sự kiện này MỘT. Kể từ đây, P(A)= 5/6. Con số này đưa ra đánh giá định lượng về mức độ có thể xuất hiện của một quả bóng màu.

Định nghĩa xác suất:

Xác suất của biến cố Ađược gọi là tỷ lệ giữa số kết quả thuận lợi cho sự kiện này trên tổng số tất cả các kết quả cơ bản không tương thích có thể xảy ra như nhau tạo thành một nhóm hoàn chỉnh.

P(A)=m/n hoặc P(A)=m: n, trong đó:

m là số tiểu học có kết quả thuận lợi MỘT;

N- số lượng tất cả các kết quả kiểm tra cơ bản có thể có.

Ở đây người ta giả định rằng các kết quả cơ bản là không tương thích, có thể xảy ra như nhau và tạo thành một nhóm hoàn chỉnh.

Các tính chất sau đây suy ra từ định nghĩa xác suất:

1. Xác suất của một sự kiện đáng tin cậy là bằng một.

Thật vậy, nếu sự kiện là đáng tin cậy thì mọi kết quả cơ bản của phép thử đều ủng hộ sự kiện đó. Trong trường hợp này m = n do đó p=1

2. Xác suất của một sự kiện không thể xảy ra là bằng không.

Thật vậy, nếu một sự kiện là không thể xảy ra thì không có kết quả cơ bản nào của phép thử ủng hộ sự kiện đó. Trong trường hợp này m=0, do đó p=0.

3.Xác suất của một sự kiện ngẫu nhiên là một số dương nằm trong khoảng từ 0 đến 1. 0T< n.

Trong các chủ đề tiếp theo, các định lý sẽ được đưa ra cho phép sử dụng xác suất đã biết của một số sự kiện để tìm xác suất của các sự kiện khác.

Đo lường. Một nhóm học sinh có 6 nữ và 4 nam. Xác suất để một học sinh được chọn ngẫu nhiên là nữ là bao nhiêu? sẽ có một chàng trai trẻ?

p dev = 6 / 10 = 0,6 p yun = 4 / 10 = 0,4

Khái niệm “xác suất” trong các khóa học lý thuyết xác suất nghiêm ngặt hiện đại được xây dựng trên cơ sở lý thuyết tập hợp. Chúng ta hãy xem xét một số khía cạnh của phương pháp này.

Giả sử một và chỉ một trong các sự kiện xảy ra do kết quả của phép thử: tôi có(i=1, 2, .... p). Sự kiện tôi có- gọi điện sự kiện cơ bản (kết quả cơ bản). VỀ theo đó các sự kiện cơ bản không tương thích theo cặp. Tập hợp tất cả các sự kiện cơ bản có thể xảy ra trong một bài kiểm tra được gọi là không gian của các sự kiện cơ bảnΩ (chữ in hoa tiếng Hy Lạp omega), và bản thân các sự kiện cơ bản là điểm của không gian này..

Sự kiện MỘTđược xác định bằng một tập hợp con (của không gian Ω), các phần tử của nó là các kết quả cơ bản thuận lợi MỘT; sự kiện TRONG là tập hợp con Ω có các phần tử mang lại kết quả thuận lợi TRONG, v.v. Do đó, tập hợp tất cả các sự kiện có thể xảy ra trong một thử nghiệm là tập hợp tất cả các tập con của Ω xảy ra đối với bất kỳ kết quả nào của thử nghiệm, do đó Ω là một sự kiện đáng tin cậy; một tập con trống của không gian Ω - là một sự kiện không thể xảy ra (nó không xảy ra dưới bất kỳ kết quả nào của phép thử).

Các sự kiện cơ bản được phân biệt với tất cả các sự kiện chủ đề, “mỗi sự kiện chỉ chứa một phần tử Ω

Mọi kết quả cơ bản tôi có trùng với một số dương tôi- xác suất của kết quả này và tổng của tất cả tôi bằng 1 hoặc có dấu tổng, thực tế này sẽ được viết dưới dạng biểu thức:

Theo định nghĩa, xác suất P(A) sự kiện MỘT bằng tổng xác suất của các kết quả cơ bản thuận lợi MỘT. Do đó, xác suất của một sự kiện đáng tin cậy là bằng một, một sự kiện không thể xảy ra là bằng 0 và một sự kiện tùy ý là từ 0 đến một.

Hãy xem xét một trường hợp đặc biệt quan trọng khi tất cả các kết quả đều có thể xảy ra như nhau. Số kết quả là n, tổng xác suất của tất cả các kết quả bằng một; do đó, xác suất của mỗi kết quả là 1/p. Hãy để sự kiện MỘTủng hộ m kết quả.

Xác suất của sự kiện MỘT bằng tổng xác suất của các kết quả thuận lợi MỘT:

P(A)=1/n + 1/n+…+1/n = n 1/n=1

Định nghĩa cổ điển của xác suất thu được.

Ngoài ra còn có tiên đề tiếp cận khái niệm “xác suất”. Trong hệ thống tiên đề được đề xuất. Kolmogorov A.N., các khái niệm không xác định là một sự kiện và xác suất cơ bản. Việc xây dựng một lý thuyết xác suất hoàn chỉnh về mặt logic dựa trên định nghĩa tiên đề về một sự kiện ngẫu nhiên và xác suất của nó.

Dưới đây là các tiên đề xác định xác suất:

1. Mọi sự kiện MỘTđược gán một số thực không âm R(A). Con số này được gọi là xác suất của sự kiện MỘT.

2. Xác suất của một sự kiện đáng tin cậy bằng một: