Tam giác MNP có cạnh MP=6\sqrt(3) và MN=NP nằm ở đáy lăng kính bên phải MNPM_(1)N_(1)P_(1) . Điểm K được chọn trên cạnh NN_(1) sao cho NK:N_(1)K=3:4 . Trong trường hợp này, góc giữa mặt phẳng MNP và mặt phẳng MKP là 60^(\circ) .
a) Chứng minh khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và M_1P_1 bằng cạnh bên của lăng trụ.
b) Cho KP=9, tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và M_(1)P_(1) .
Hiển thị giải phápGiải pháp
a) Đường thẳng MN nằm trong mặt phẳng \left (MNN_(1) \right) , \left (M_(1)P_(1) \right) và cắt \left (MNN_(1) \right) tại điểm M_(1 ) thì theo tiêu chí đường xiên thì MN và M_(1)P_(1) là đường xiên.
Các mặt phẳng MNP và M_(1)N_(1)P_(1) song song giống như các đáy của lăng kính. Theo điều kiện, lăng kính thẳng, nghĩa là mỗi cạnh bên vuông góc với các đáy, do đó, khoảng cách giữa các đường thẳng MN và M_(1)P_(1), là điều cần chứng minh.
b) Vẽ NH\perp MP , khi đó NH là chiều cao và đường trung tuyến trong tam giác cân MNP . KH là đường trung bình \bigtriangleup MKP . NH là hình chiếu của KH lên \left (MPN \right) và NH\perp MP . Do đó KH\perp MP (theo định lý ba đường vuông góc).
\angle KHN là góc tuyến tính của góc nhị diện KMPN, từ đó \angle KHN = 60^(\circ) .
Trong chặng \bigtriangleup KPH KH=\sqrt(KP^(2)-PH^(2))= \sqrt(81-27)=\sqrt(54)=3\sqrt(6).
Nhiệm vụ C2 #29
Đáy của lăng trụ đứng là tam giác cân
Thêm 22.03.2011 23:17
Tình trạng:
Đáy của lăng trụ thẳng ABCA1B1C1 có tam giác cân ABC, đáy BC bằng 3. Cạnh bên của lăng trụ là 32. Tìm diện tích mặt cắt lăng trụ của mặt phẳng đi qua CB1 song song với chiều cao của đáy AD. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng cắt là 6/5.Giải pháp:
1. Hãy giải quyết mặt cắt ngang. Vì song song với AD nên mặt phẳng của nó thuộc đường thẳng LK, song song với AD và đi qua trung điểm CB1. Đoạn LK bằng AD và vì K là trung điểm của CB1 nên L là trung điểm của AA1.
2. Vì L là trung điểm của AA1 nên LC = LB1, nghĩa là tam giác CLB1 cân và diện tích cần tìm của nó bằng CB1*LK/2.
3. Cho x = AD = LK, y = AA1 = BB1 = CC1.
Khi đó từ điều kiện diện tích bề mặt bên của lăng kính là 32 và BC = 3, ta thu được
(AB+BC+AC)*AA1 = 32
y*(2*sqrt((3/2)^2+x^2)+3) = 32, hoặc
Y*(3+sqrt(9+4*x^2)) = 32 (1)
4. Khoảng cách AH từ điểm A đến mặt phẳng CLB1 bằng khoảng cách từ A đến đường thẳng LM song song với CB1 và đi qua điểm L.
LAM là tam giác vuông, trong đó AM = DC = 3/2, AL = y/2.
Diện tích của nó là
1/2*AM*AL = 1/2*LM*AH.
Từ đây chúng ta có được
1/2*3/2*y/2 = 1/2*6/5*sqrt((3/2)^2+(y/2)^2)
Y = 4/5*sqrt(9+y^2) (2)
5. Từ phương trình. (2)
ta thấy chiều cao của lăng kính là y = 4.
6. Từ phương trình. (1)
, biết y, ta thấy chiều cao của đáy lăng trụ là x = 2.
7. Diện tích tam giác CLB1
S = x*sqrt(3^2+y^2)/2 = 2*sqrt(9+16)/2 = 5
Nhiệm vụ C2 #29
Đáy của lăng trụ đứng là tam giác cân
Thêm 22.03.2011 23:17
Tình trạng:
Đáy của lăng trụ thẳng ABCA1B1C1 có tam giác cân ABC, đáy BC bằng 3. Cạnh bên của lăng trụ là 32. Tìm diện tích mặt cắt lăng trụ của mặt phẳng đi qua CB1 song song với chiều cao của đáy AD. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng cắt là 6/5.Giải pháp:
1. Hãy giải quyết mặt cắt ngang. Vì song song với AD nên mặt phẳng của nó thuộc đường thẳng LK, song song với AD và đi qua trung điểm CB1. Đoạn LK bằng AD và vì K là trung điểm của CB1 nên L là trung điểm của AA1.
2. Vì L là trung điểm của AA1 nên LC = LB1, nghĩa là tam giác CLB1 cân và diện tích cần tìm của nó bằng CB1*LK/2.
3. Cho x = AD = LK, y = AA1 = BB1 = CC1.
Khi đó từ điều kiện diện tích bề mặt bên của lăng kính là 32 và BC = 3, ta thu được
(AB+BC+AC)*AA1 = 32
y*(2*sqrt((3/2)^2+x^2)+3) = 32, hoặc
Y*(3+sqrt(9+4*x^2)) = 32 (1)
4. Khoảng cách AH từ điểm A đến mặt phẳng CLB1 bằng khoảng cách từ A đến đường thẳng LM song song với CB1 và đi qua điểm L.
LAM là tam giác vuông, trong đó AM = DC = 3/2, AL = y/2.
Diện tích của nó là
1/2*AM*AL = 1/2*LM*AH.
Từ đây chúng ta có được
1/2*3/2*y/2 = 1/2*6/5*sqrt((3/2)^2+(y/2)^2)
Y = 4/5*sqrt(9+y^2) (2)
5. Từ phương trình. (2)
ta thấy chiều cao của lăng kính là y = 4.
6. Từ phương trình. (1)
, biết y, ta thấy chiều cao của đáy lăng trụ là x = 2.
7. Diện tích tam giác CLB1
S = x*sqrt(3^2+y^2)/2 = 2*sqrt(9+16)/2 = 5