Phương pháp tiên đề: mô tả, các giai đoạn phát triển và ví dụ.

12.9. Phương pháp tiên đề Đối với người Hy Lạp cổ đại, các đối tượng của toán học thực sự tồn tại trong “thế giới ý tưởng”. Một số đặc tính của những vật thể này dường như hoàn toàn không thể phủ nhận đối với con mắt trí óc và được tuyên bố là những tiên đề, những đặc tính khác - không hiển nhiên - thì nên

(Tiên đề tiếng Hy Lạp - vị trí có ý nghĩa, được chấp nhận) - một cách xây dựng một lý thuyết trong đó một số phát biểu đúng được chọn lọc...

(Tiên đề Hy Lạp - vị trí có ý nghĩa, được chấp nhận) - một phương pháp xây dựng một lý thuyết trong đó một số mệnh đề đúng được chọn làm vị trí ban đầu (tiên đề), từ đó các mệnh đề đúng (định lý) còn lại của lý thuyết này sau đó được suy luận và chứng minh một cách hợp lý. Ý nghĩa khoa học của A.M. được biện minh bởi Aristotle, người đầu tiên chia toàn bộ tập hợp các phát biểu đúng thành cơ bản (“các nguyên tắc”) và những phát biểu yêu cầu bằng chứng (“có thể chứng minh được”). Trong quá trình phát triển của nó A.M. trải qua ba giai đoạn. Ở giai đoạn đầu tiên A.M. có ý nghĩa, các tiên đề được chấp nhận trên cơ sở tính hiển nhiên của chúng. Một ví dụ về cách xây dựng lý thuyết mang tính suy diễn như vậy là “Các phần tử” của Euclid. Ở giai đoạn thứ hai, D. Hilbert đưa ra một tiêu chí hình thức để áp dụng A.M. - Yêu cầu về tính nhất quán, độc lập và đầy đủ của hệ tiên đề. Ở giai đoạn thứ ba A.M. trở nên chính thức hóa. Theo đó, khái niệm “tiên đề” đã thay đổi. Nếu ở giai đoạn phát triển đầu tiên của A.M. nó được hiểu không chỉ là điểm khởi đầu của bằng chứng, mà còn là một lập trường đúng đắn không cần bằng chứng do tính hiển nhiên của nó, thì hiện nay tiên đề được chứng minh là một yếu tố cần thiết của lý thuyết, khi xem xét việc xác nhận điều sau. đồng thời khẳng định những nền tảng tiên đề của nó làm điểm khởi đầu cho việc xây dựng. Ngoài những phát biểu chính và mở đầu trong A.M. Mức độ của các quy tắc suy luận đặc biệt cũng bắt đầu nổi bật. Do đó, cùng với các tiên đề và định lý là tập hợp tất cả các phát biểu đúng của một lý thuyết nhất định, các tiên đề và định lý cho các quy tắc suy luận cũng được hình thành - các siêu tiên đề và siêu định lý. Năm 1931, K. Gödel đã chứng minh một định lý về tính không hoàn chỉnh cơ bản của bất kỳ hệ thống hình thức nào, bởi vì nó chứa đựng những mệnh đề không thể quyết định, vừa không thể chứng minh vừa không thể bác bỏ. Có tính đến những hạn chế đặt ra cho nó, AM được coi là một trong những phương pháp chính để xây dựng một lý thuyết chính thức hóa (và không chỉ thực chất), cùng với phương pháp giả thuyết-suy diễn (đôi khi được hiểu là “bán tiên đề”) và phương pháp giả thuyết toán học. Phương pháp giả thuyết-suy diễn, trái ngược với A.M., liên quan đến việc xây dựng một hệ thống các giả thuyết trong đó các giả thuyết yếu hơn được bắt nguồn từ những giả thuyết mạnh hơn trong khuôn khổ của một hệ thống suy diễn duy nhất, trong đó sức mạnh của giả thuyết tăng theo khoảng cách từ cơ sở thực nghiệm. của khoa học. Điều này cho phép chúng ta làm suy yếu sức mạnh của các hạn chế A.M.: khắc phục tính đóng của hệ tiên đề do khả năng đưa ra các giả thuyết bổ sung không bị ràng buộc chặt chẽ bởi các quy định ban đầu của lý thuyết; giới thiệu các đối tượng trừu tượng ở các cấp độ tổ chức thực tế khác nhau, tức là. loại bỏ hạn chế về giá trị của tiên đề “trong mọi thế giới”; loại bỏ yêu cầu về sự bình đẳng của các tiên đề. Mặt khác, A.M., trái ngược với phương pháp giả thuyết toán học, tập trung vào chính các quy tắc xây dựng các giả thuyết toán học liên quan đến các hiện tượng chưa được nghiên cứu, cho phép người ta thu hút một số lĩnh vực chủ đề nội dung nhất định.

V.L. Abushenko

Phương pháp tiên đề

Một trong những phương pháp xây dựng lý thuyết khoa học một cách diễn dịch, trong đó: 1) chọn một tập hợp nhất định được chấp nhận mà không...

Một trong những phương pháp xây dựng lý thuyết khoa học một cách diễn dịch, trong đó: 1) một tập hợp mệnh đề nhất định của một lý thuyết (tiên đề) nhất định được chấp nhận mà không cần chứng minh; 2) các khái niệm trong đó không được xác định rõ ràng trong khuôn khổ lý thuyết này; 3) các quy tắc định nghĩa và quy tắc suy luận của một lý thuyết nhất định là cố định, cho phép người ta đưa các thuật ngữ (khái niệm) mới vào lý thuyết và rút ra một số mệnh đề từ những mệnh đề khác một cách hợp lý; 4) tất cả các mệnh đề khác của lý thuyết (định lý) này đều bắt nguồn từ (1) trên cơ sở (3). Những ý tưởng đầu tiên về A. m. Hy Lạp (Eleatics, Plato. Aristotle, Euclid). Sau đó, những nỗ lực đã được thực hiện nhằm cung cấp một cách trình bày tiên đề về các phần khác nhau của triết học và khoa học (Spinoza, Newton, v.v.). Những nghiên cứu này được đặc trưng bởi việc xây dựng tiên đề có ý nghĩa của một lý thuyết nhất định (và chỉ một), trong khi sự chú ý chính được dành cho đến việc định nghĩa và lựa chọn các tiên đề hiển nhiên bằng trực giác. Bắt đầu từ nửa sau của thế kỷ 19, cùng với sự phát triển mạnh mẽ của các vấn đề chứng minh toán học và logic toán học, lý thuyết tiên đề bắt đầu được coi là một hình thức (và từ thế kỷ 20). -30 của thế kỷ 20 - như một hệ thống được chính thức hóa, thiết lập mối quan hệ giữa các yếu tố (dấu hiệu) của nó và mô tả bất kỳ tập hợp đối tượng nào thỏa mãn nó. Đồng thời, chính Người ta bắt đầu chú ý đến việc thiết lập tính nhất quán của hệ thống, tính hoàn chỉnh của nó, tính độc lập của hệ tiên đề, v.v. Do thực tế là hệ thống ký hiệu có thể được xem xét bất kể nội dung có thể được biểu diễn trong chúng hay lấy xét về mặt cú pháp và ngữ nghĩa là các hệ thống tiên đề được phân biệt (chỉ hệ thống tiên đề sau đại diện cho chính kiến ​​​​thức khoa học). Sự khác biệt này đòi hỏi phải xây dựng hệ thống cơ bản. các yêu cầu đặt ra cho chúng, theo hai thuật ngữ, cú pháp và ngữ nghĩa (tính nhất quán về cú pháp và ngữ nghĩa, tính đầy đủ, tính độc lập của các tiên đề, v.v.). Việc phân tích các hệ tiên đề hình thức hóa đã dẫn đến việc thiết lập các hạn chế cơ bản của chúng, trong đó chủ yếu là không thể hoàn thành Tiên đề hóa các hệ thống đã phát triển đầy đủ được chứng minh bằng các lý thuyết khoa học của Gödel (ví dụ, số học về các số tự nhiên), ngụ ý rằng không thể hình thức hóa hoàn toàn kiến ​​thức khoa học. Tiên đề hóa chỉ là một trong những phương pháp xây dựng kiến ​​thức khoa học, nhưng được sử dụng như một phương tiện khám phá khoa học còn rất hạn chế. Tiên đề hóa thường được thực hiện sau khi lý thuyết đã được xây dựng đầy đủ về nội dung của nó và phục vụ mục đích trình bày nó chính xác hơn, đặc biệt là rút ra một cách chặt chẽ tất cả các hệ quả từ các tiền đề đã được chấp nhận trong 30-40 năm qua. Người ta đã chú ý đến việc tiên đề hóa không chỉ các môn toán học mà còn cả một số lĩnh vực vật lý, sinh học, tâm lý học, kinh tế, ngôn ngữ học, v.v., bao gồm các lý thuyết về cấu trúc và động lực của kiến ​​thức khoa học. Khi nghiên cứu kiến ​​thức khoa học tự nhiên (nói chung là bất kỳ kiến ​​thức phi toán học nào), các phương pháp toán học xuất hiện dưới dạng phương pháp giả thuyết-suy diễn (xem thêm Công thức hóa)

Phương pháp tiên đề

Một phương pháp xây dựng một lý thuyết trong đó nó dựa trên những quy định ban đầu nhất định - các tiên đề hoặc định đề...

Một phương pháp xây dựng một lý thuyết trong đó nó dựa trên các quy định ban đầu nhất định - các tiên đề hoặc định đề, từ đó tất cả các phát biểu khác của lý thuyết này phải được suy luận một cách thuần túy logic.

Phương pháp tiên đề

Một phương pháp xây dựng một lý thuyết khoa học trong đó một số điều khoản của lý thuyết được chọn làm điều khoản ban đầu và tất cả những điều khoản còn lại...

Một phương pháp xây dựng một lý thuyết khoa học trong đó một số quy định của lý thuyết được chọn làm những quy định ban đầu và tất cả các quy định khác của nó được suy ra từ chúng một cách thuần túy logic, thông qua bằng chứng. Các phát biểu được chứng minh trên cơ sở các tiên đề được gọi là định lý.

A. m. là một cách đặc biệt để xác định các đối tượng và mối quan hệ giữa chúng (xem: Định nghĩa tiên đề). A. m. được sử dụng trong toán học, logic, cũng như trong một số ngành vật lý, sinh học, v.v. A. m. có nguồn gốc từ thời cổ đại và nổi tiếng nhờ cuốn “Các nguyên tố” của Euclid xuất hiện vào khoảng năm 330–320. BC đ. Tuy nhiên, Euclid đã không mô tả được trong “các tiên đề và định đề” của mình tất cả các tính chất của các vật thể hình học mà ông thực sự sử dụng; bằng chứng của ông được kèm theo rất nhiều hình vẽ. Các giả định “ẩn” của hình học Euclid chỉ được tiết lộ trong thời hiện đại bởi D. Hilbert (1862-1943), người coi lý thuyết tiên đề là một lý thuyết hình thức thiết lập mối quan hệ giữa các phần tử (dấu hiệu) của nó và mô tả bất kỳ tập hợp đối tượng nào thỏa mãn nó . Ngày nay, các lý thuyết tiên đề thường được xây dựng dưới dạng các hệ thống chính thức hóa chứa đựng sự mô tả chính xác các phương tiện logic để rút ra các định lý từ các tiên đề. Chứng minh trong lý thuyết như vậy là một chuỗi các công thức, mỗi công thức đó là một tiên đề hoặc thu được từ các công thức trước đó trong chuỗi theo một trong các quy tắc suy luận được chấp nhận.

Một hệ tiên đề hình thức phải tuân theo các yêu cầu về tính nhất quán, đầy đủ, độc lập của hệ tiên đề, v.v..

LÀ. chỉ là một trong những phương pháp xây dựng tri thức khoa học. Nó có ứng dụng hạn chế vì nó đòi hỏi trình độ phát triển cao của một lý thuyết thực chất được tiên đề hóa.

Như nhà toán học và logic học nổi tiếng K. Gödel đã chỉ ra, các lý thuyết khoa học khá phong phú (ví dụ, số học về các số tự nhiên) không cho phép tiên đề hóa hoàn chỉnh. Điều này cho thấy những hạn chế của A.M. và không thể hình thức hóa hoàn toàn kiến ​​thức khoa học (xem: Định lý Gödel).

Một tiên đề là điểm khởi đầu, nguyên bản lập trường của một lý thuyết làm cơ sở cho việc chứng minh các điều khoản khác (ví dụ, các định lý) của lý thuyết này, trong khuôn khổ mà nó được chấp nhận không có bằng chứng. Trong ý thức và ngôn ngữ hàng ngày, một tiên đề là một chân lý chắc chắn không thể chối cãi được đến mức nó không yêu cầu chứng cớ.

Vì thế, phương pháp tiên đề- đây là một trong những cách xây dựng một lý thuyết khoa học một cách diễn dịch, trong đó một tập hợp các quy định nhất định được chấp nhận mà không cần bằng chứng, được gọi là “các nguyên tắc”, “định đề” hoặc “tiên đề”, được chọn lọc và thu được tất cả các đề xuất khác của lý thuyết BẰNG hệ quả logic những tiên đề này.

Phương pháp tiên đề trong toán học ít nhất bắt nguồn từ Euclid, mặc dù thuật ngữ “tiên đề” thường được tìm thấy trong Aristotle: “... Vì chứng minh là không thể cho mọi thứ: suy cho cùng, một bằng chứng phải được đưa ra trên cơ sở một điều gì đó liên quan đến một điều gì đó và để biện minh cho điều gì đó Vì vậy, hóa ra mọi thứ đã được chứng minh đều phải thuộc cùng một loại, vì tất cả các khoa học chứng minh đều sử dụng các tiên đề theo cách giống nhau.<…>Một tiên đề có mức độ tổng quát cao nhất và là bản chất của sự khởi đầu của mọi thứ.<…>Tôi gọi các nguyên tắc chứng minh là những điều khoản được chấp nhận rộng rãi trên cơ sở đó mọi người xây dựng bằng chứng của mình.<…>Không cần phải hỏi “tại sao” về các nguyên tắc tri thức, và bản thân mỗi nguyên tắc này đều phải đáng tin cậy. Điều hợp lý là điều có vẻ đúng đối với tất cả hoặc đa số mọi người, hoặc đối với những người khôn ngoan – đối với tất cả hoặc hầu hết họ, hoặc đối với những người nổi tiếng và vinh quang nhất.” (Ví dụ, xem Aristotle. Tác phẩm gồm bốn tập. T. 2. Topeka. M.: Mysl, 1978. P. 349).

Như có thể thấy từ phần cuối cùng của Chủ đề của Aristotle, cơ sở để chấp nhận một tiên đề là một “độ tin cậy” nhất định và thậm chí thẩm quyền những người "nổi tiếng và nổi tiếng". Nhưng hiện tại, đây được coi là lý do chưa đầy đủ. Các khoa học chính xác hiện đại, bao gồm cả toán học, không dùng đến sự hiển nhiên như một lập luận về sự thật: tiên đề được đưa ra và chấp nhận một cách đơn giản mà không cần bằng chứng.

David Hilbert (1862-1943), nhà toán học và vật lý học người Đức, đã chỉ ra rằng thuật ngữ tiên đềđôi khi được sử dụng theo nghĩa rộng hơn và đôi khi theo nghĩa hẹp hơn của từ này. Với cách hiểu rộng nhất về thuật ngữ này, chúng tôi gọi việc xây dựng một lý thuyết là “tiên đề”. Về vấn đề này, D. Gilbert phân biệt tiên đề nội dung và tiên đề hình thức.

Phần đầu tiên “... giới thiệu các khái niệm cơ bản của nó có liên quan đến kinh nghiệm hiện có của chúng tôi và coi các điều khoản chính của nó là những sự kiện hiển nhiên có thể được xác minh trực tiếp hoặc hình thành chúng như kết quả của một trải nghiệm nhất định và do đó bày tỏ sự tin tưởng của chúng tôi rằng chúng tôi đã thành công trong việc tấn công vào dấu vết của các quy luật tự nhiên, đồng thời chúng tôi có ý định ủng hộ niềm tin này bằng sự thành công của lý thuyết đang được phát triển. Tiên đề hình thức cũng cần thừa nhận bằng chứng của một loại sự vật nhất định - điều này cần thiết cho cả việc thực hiện suy luận và thiết lập tính nhất quán của chính tiên đề - tuy nhiên, có sự khác biệt đáng kể là loại bằng chứng này không dựa trên bất kỳ cơ sở nào. mối quan hệ nhận thức luận đặc biệt với lĩnh vực cụ thể đang được xem xét trong khoa học, nhưng vẫn giữ nguyên trong trường hợp của bất kỳ tiên đề nào: ở đây chúng tôi muốn nói đến một cách hiểu biết cơ bản đến mức nó thường là điều kiện tiên quyết cho bất kỳ nghiên cứu lý thuyết chính xác nào.<…>Tiên đề hình thức nhất thiết cần một tiên đề thực chất làm phần bổ sung cho nó, vì chính tiên đề này trước tiên hướng dẫn chúng ta trong quá trình lựa chọn các chủ nghĩa hình thức thích hợp, và sau đó, khi chúng ta đã có sẵn lý thuyết hình thức, nó cho chúng ta biết lý thuyết này nên được áp dụng như thế nào. đến lĩnh vực đang được xem xét thực tế. Mặt khác, chúng ta không thể giới hạn bản thân vào những tiên đề có ý nghĩa vì lý do đơn giản là trong khoa học - nếu không phải luôn luôn thì phần lớn - chúng ta đang xử lý những lý thuyết không tái tạo hoàn toàn tình trạng thực tế của sự việc mà chỉ đơn giản hóa việc lý tưởng hóa vị trí này, đó là ý nghĩa của chúng. Tất nhiên, loại lý thuyết này không thể được chứng minh bằng cách tham khảo bằng chứng về các tiên đề hoặc kinh nghiệm của nó. Hơn nữa, sự biện minh của nó chỉ có thể được thực hiện theo nghĩa là tính nhất quán của sự lý tưởng hóa được tạo ra trong đó sẽ được thiết lập, tức là. phép ngoại suy đó, nhờ đó các khái niệm được đưa ra trong lý thuyết này và các điều khoản chính của nó vượt quá ranh giới của những điều hiển nhiên có thể nhìn thấy được hoặc dữ liệu kinh nghiệm"(phần in nghiêng của tôi - Yu.E.). (Hilbert D., Bernays P. Cơ sở toán học. M.: Nauka, 1979. P. 23.)

Do đó, phương pháp tiên đề được hiểu hiện đại có nội dung như sau: a) chọn một tập hợp chấp nhận mà không có bằng chứng tiên đề; b) các khái niệm trong đó không được xác định rõ ràng trong khuôn khổ lý thuyết này; c) các quy tắc định nghĩa và quy tắc suy luận của một lý thuyết nhất định là cố định, cho phép người ta suy luận một cách logic một số giả định từ các giả định khác; d) tất cả các định lý khác được suy ra từ “a” trên cơ sở “c”. Nhiều phần khác nhau hiện đang được xây dựng bằng phương pháp này. nhà toán học(hình học, lý thuyết xác suất, đại số, v.v.), nhà vật lý(cơ học, nhiệt động lực học); những nỗ lực đang được thực hiện để tiên đề hóa hoá học Và sinh vật học. Gödel đã chứng minh rằng không thể tiên đề hóa hoàn toàn các lý thuyết khoa học đã phát triển đầy đủ (ví dụ, số học về các số tự nhiên), ngụ ý rằng không thể hình thức hóa hoàn toàn kiến ​​thức khoa học. Khi nghiên cứu tri thức khoa học tự nhiên, phương pháp tiên đề xuất hiện dưới dạng phương pháp suy diễn giả thuyết. Việc sử dụng khái niệm “tiên đề” trong lời nói hàng ngày như một loại tiên nghiệm sự hiển nhiên không còn phản ánh bản chất của khái niệm này nữa. Sự hiểu biết kiểu Aristoteles này về thuật ngữ này trong toán học và khoa học tự nhiên hiện đã bị vượt qua. Sẽ rất thích hợp khi đi cùng cuộc thảo luận về tiên đề với một đoạn trong tác phẩm kinh điển của Karl Raymund Popper:

“Một hệ thống lý thuyết có thể được gọi là tiên đề nếu một tập hợp các tiên đề được xây dựng thỏa mãn bốn yêu cầu cơ bản sau: (a) hệ thống tiên đề phải nhất quán(nghĩa là nó không được chứa các tiên đề tự mâu thuẫn hoặc mâu thuẫn giữa các tiên đề). Điều này tương đương với yêu cầu rằng không phải mọi tuyên bố tùy tiện đều có thể được suy luận trong một hệ thống như vậy. (b) Các tiên đề của một hệ đã cho phải độc lập, nghĩa là hệ đó không được chứa các tiên đề có thể suy ra từ các tiên đề khác. (Nói cách khác, một phát biểu nhất định chỉ có thể được gọi là tiên đề nếu nó không được suy diễn trong phần còn lại của hệ thống sau khi loại bỏ nó). Hai điều kiện này liên quan đến chính hệ thống tiên đề. Về mối quan hệ của hệ tiên đề với phần chủ yếu của lý thuyết thì các tiên đề phải: (c) hợp lýđể suy ra tất cả các phát biểu thuộc về lý thuyết tiên đề, và d) cần thiết theo nghĩa là hệ thống không nên chứa những giả định không cần thiết.<…>Tôi coi hai cách giải thích khác nhau về bất kỳ hệ thống tiên đề nào đều có thể chấp nhận được. Các tiên đề có thể được coi là (1) là quy ước, hoặc (2) là thực nghiệm hoặc khoa học giả thuyết"(Popper K.R. Logic nghiên cứu khoa học. M.: Respublika, 2005. P. 65).

Trong lịch sử khoa học, người ta có thể tìm thấy một số ví dụ về quá trình chuyển đổi sang cách trình bày một lý thuyết theo tiên đề. Hơn nữa, việc áp dụng nhất quán phương pháp này vào logic chứng minh các định lý trong hình học đã giúp người ta có thể suy nghĩ lại về ngành khoa học cổ xưa này, mở ra thế giới “hình học phi Euclide” (A. I. Lobachevsky, J. Bolyai, K. Gauss, G. F. B. Riemann, vân vân. ). Phương pháp này tỏ ra thuận tiện và hiệu quả, cho phép người ta xây dựng một lý thuyết khoa học theo đúng nghĩa đen dưới dạng một tinh thể duy nhất (đặc biệt, đây là cách trình bày cơ học lý thuyết và nhiệt động lực học cổ điển). Một lát sau, vào những năm 30 của thế kỷ 20, nhà toán học trong nước Andrei Nikolaevich Kolmogorov (1903-1987) đã đưa ra một lời biện minh mang tính tiên đề cho lý thuyết xác suất, mà các nhà sử học khoa học tin tưởng một cách tự tin rằng trước đây dựa trên những hình ảnh thực nghiệm về cờ bạc. (“quăng”, xúc xắc, đánh bài). Về vấn đề này, thật hợp lý khi cung cấp cho người đọc hai đoạn văn từ các tác phẩm kinh điển của khoa học và sư phạm, những người biết cách viết, như Berdyaev đã nói, không chỉ “về điều gì đó” mà còn về “điều gì đó”.

R. Courant và G. Robbins: “Có một tiên đề trong hệ thống Euclidian, liên quan đến tiên đề đó - dựa trên so sánh với dữ liệu thực nghiệm, sử dụng các sợi căng hoặc tia sáng - không thể nói liệu nó có “đúng” hay không. Cái này nổi tiếng định đề về sự song song, phát biểu rằng qua một điểm cho trước nằm ngoài một đường thẳng cho trước người ta có thể vẽ một và chỉ mộtđường thẳng song song với đường này. Một đặc điểm đặc biệt của tiên đề này là phát biểu chứa trong nó liên quan đến các tính chất của đường thẳng dọc theo toàn bộ chiều dài của nó, và đường thẳng được coi là kéo dài vô tận theo cả hai hướng: nói rằng hai đường thẳng song song có nghĩa là chúng không thể tìm thấy một điểm chung, cho dù chúng có kéo dài ra bao xa. giới hạn một phần của mặt phẳng, dù phần này rộng đến đâu, ngược lại, có thể vẽ qua một điểm cho trước nhiều đường thẳng không cắt một đường thẳng cho trước. Vì chiều dài tối đa có thể có của một cái thước, một sợi dây, thậm chí một chùm ánh sáng được vạch bởi kính thiên văn chắc chắn là hữu hạn, và vì bên trong một đường tròn có bán kính hữu hạn có nhiều đường thẳng đi qua một điểm cho trước và trong đường tròn không gặp một điểm cho trước. đường thẳng, nên định đề Euclid không bao giờ có thể được xác minh bằng thực nghiệm.<…>Nhà toán học người Hungary Bolyai và nhà toán học người Nga Lobachevsky đã chấm dứt những nghi ngờ bằng cách xây dựng một cách chi tiết một hệ thống hình học trong đó tiên đề về sự song song đã bị bác bỏ. Khi Bolyai gửi công trình của mình cho “vua toán học” Gauss, người mà ông đang háo hức chờ đợi sự hỗ trợ, ông đã nhận được thông báo rằng chính Gauss đã phát hiện ra phát hiện này trước đó, nhưng ông đã kiềm chế không công bố kết quả vào thời điểm đó vì sợ những cuộc thảo luận quá ồn ào.

Chúng ta hãy xem tính độc lập của tiên đề song song có ý nghĩa gì. Tính độc lập này nên được hiểu theo nghĩa là có thể xây dựng các câu “hình học” về điểm, đường thẳng, v.v., không có mâu thuẫn nội tại, dựa trên một hệ tiên đề trong đó tiên đề song song được thay thế bằng tiên đề đối lập của nó. Công trình này được gọi là hình học phi Euclide(phần in nghiêng của tôi - Yu.E.). Phải cần đến trí tuệ dũng cảm của Gauss, Bolyai và Lobachevsky để nhận ra rằng hình học, không dựa trên hệ tiên đề Euclide, có thể hoàn toàn nhất quán(phần in nghiêng của tôi – Yu.E.).<…>Bây giờ chúng ta có thể xây dựng các “mô hình” đơn giản của hình học thỏa mãn tất cả các tiên đề của Euclid, ngoại trừ tiên đề song song” (R. Kurant, G. Robbins. Toán học là gì? M.: Prosveshchenie, 1967. P. 250 ).

Các phiên bản khác nhau của hình học phi Euclide (ví dụ, hình học Riemann, cũng như hình học trong không gian nhiều hơn ba chiều) sau đó đã tìm thấy ứng dụng trong việc xây dựng các lý thuyết liên quan đến thế giới vi mô (cơ học lượng tử tương đối tính, vật lý hạt) và ngược lại, đến megaworld (thuyết tương đối rộng).

Cuối cùng, ý kiến ​​của nhà toán học Nga Andrei Nikolaevich Kolmogorov: “Lý thuyết xác suất hay một môn toán có thể và nên được tiên đề hóa theo đúng nghĩa giống như hình học hoặc đại số. Điều này có nghĩa là, sau khi đưa ra tên của các đối tượng đang nghiên cứu và các mối quan hệ cơ bản của chúng, cũng như các tiên đề mà các mối quan hệ này phải tuân theo, mọi trình bày tiếp theo chỉ nên dựa hoàn toàn vào các tiên đề này, không dựa vào ý nghĩa cụ thể thông thường của những đối tượng này và mối quan hệ của chúng(phần in nghiêng của tôi – Yu.E.).<…>Như đã biết, bất kỳ lý thuyết tiên đề (trừu tượng) nào cũng cho phép vô số cách giải thích cụ thể. Do đó, lý thuyết toán học về xác suất cho phép, cùng với những cách giải thích mà từ đó nó nảy sinh, còn có nhiều cách giải thích khác.<…>Việc tiên đề hóa lý thuyết xác suất có thể được thực hiện theo nhiều cách khác nhau, liên quan đến việc lựa chọn các tiên đề cũng như việc lựa chọn các khái niệm cơ bản và các quan hệ cơ bản. Nếu chúng ta theo đuổi mục tiêu có thể đơn giản hóa bản thân hệ tiên đề và xây dựng một lý thuyết xa hơn từ nó, thì có vẻ thích hợp nhất là tiên đề hóa các khái niệm về một sự kiện ngẫu nhiên và xác suất của nó. Ngoài ra còn có các hệ thống khác để xây dựng lý thuyết xác suất theo tiên đề, đó là những hệ thống trong đó khái niệm xác suất không phải là một trong những khái niệm cơ bản, mà bản thân nó được thể hiện thông qua các khái niệm khác [chú thích cuối trang: Ví dụ, Cf., von Mises R. Wahrscheinlichkeitsrechnung , Leipzig u. Wien, Pháp Deuticke, 1931; Bernstein S.N. Lý thuyết xác suất, tái bản lần thứ 2, Moscow, GTTI, 1934]. Tuy nhiên, đồng thời, họ cố gắng đạt được một mục tiêu khác, cụ thể là, càng gần càng tốt với mối liên hệ chặt chẽ nhất giữa lý thuyết toán học và sự xuất hiện thực nghiệm của khái niệm xác suất” (Kolmogorov A.N. Các khái niệm cơ bản về lý thuyết xác suất. M.: Nauka , 1974. Trang 9).

Phương pháp tiên đề lần đầu tiên được Euclid áp dụng thành công để xây dựng hình học cơ bản. Kể từ thời điểm đó, phương pháp này đã trải qua quá trình phát triển đáng kể và tìm thấy nhiều ứng dụng không chỉ trong toán học mà còn trong nhiều ngành khoa học tự nhiên chính xác (cơ học, quang học, điện động lực học, lý thuyết tương đối, vũ trụ học, v.v.).

Sự phát triển và cải tiến của phương pháp tiên đề diễn ra theo hai hướng chính: thứ nhất là sự khái quát hóa của phương pháp đó và thứ hai là sự phát triển của các kỹ thuật logic được sử dụng trong quá trình suy ra các định lý từ các tiên đề. Để hình dung rõ hơn bản chất của những thay đổi đã diễn ra, chúng ta hãy quay lại với tiên đề ban đầu của Euclid. Như đã biết, các khái niệm và tiên đề ban đầu của hình học được diễn giải theo một cách duy nhất. Điểm, đường và mặt phẳng, là những khái niệm cơ bản của hình học, có nghĩa là các đối tượng không gian lý tưởng hóa và bản thân hình học được coi là nghiên cứu về các tính chất của không gian vật lý. Dần dần người ta thấy rõ rằng các tiên đề của Euclid hóa ra không chỉ đúng trong việc mô tả các tính chất của hình học mà còn đúng với các đối tượng toán học và thậm chí cả vật lý khác. Vì vậy, nếu nói đến một điểm, chúng ta muốn nói đến bộ ba số thực, và đường thẳng và mặt phẳng - các phương trình tuyến tính tương ứng, thì các tính chất của tất cả các đối tượng phi hình học này sẽ thỏa mãn các tiên đề hình học của Euclid. Điều thú vị hơn nữa là việc giải thích các tiên đề này với sự trợ giúp của các đối tượng vật lý, chẳng hạn như trạng thái của hệ thống cơ học và hóa lý hoặc sự đa dạng của cảm giác màu sắc. Tất cả điều này chỉ ra rằng các tiên đề hình học có thể được diễn giải bằng cách sử dụng các đối tượng có bản chất rất khác nhau.

Cách tiếp cận trừu tượng này đối với tiên đề phần lớn được chuẩn bị bằng việc khám phá ra hình học phi Euclide của N. I. Lobachevsky, J. Bolyai, C. F. Gauss và B. Riemann. Cách diễn đạt nhất quán nhất về quan điểm mới coi các tiên đề như những dạng trừu tượng cho phép có nhiều cách hiểu khác nhau được tìm thấy trong tác phẩm nổi tiếng “Cơ sở của hình học” (1899) của D. Hilbert. “Chúng tôi nghĩ,” ông viết trong cuốn sách này, “của ba hệ thống sự vật khác nhau: chúng tôi gọi những sự vật trong hệ thống đầu tiên là điểm và ký hiệu là A, B, C,...; Chúng ta gọi những thứ thuộc hệ thống thứ hai là trực tiếp và ký hiệu a, b, c,...; Chúng ta gọi những thứ thuộc hệ thống thứ ba và gọi chúng là a, B, y,...". Từ đó, rõ ràng là “điểm”, “đường thẳng” và “mặt phẳng” chúng ta có thể hiểu là bất kỳ hệ đối tượng nào. Điều quan trọng là các tính chất của chúng được mô tả bằng các tiên đề tương ứng. Bước tiếp theo trên con đường trừu tượng hóa nội dung của các tiên đề gắn liền với cách biểu diễn ký hiệu của chúng dưới dạng công thức, cũng như đặc tả chính xác của các quy tắc suy luận mô tả cách thu được các công thức (định lý) khác từ một số công thức ( tiên đề). Kết quả là, việc suy luận có ý nghĩa với các khái niệm ở giai đoạn nghiên cứu này chuyển thành một số thao tác với các công thức theo quy tắc đã định sẵn. Nói cách khác, tư duy có ý nghĩa được phản ánh ở đây trong phép tính. Những hệ thống tiên đề thuộc loại này thường được gọi là hệ thống cú pháp hình thức hóa, hay phép tính.

Tất cả ba loại tiên đề được xem xét đều được sử dụng trong khoa học hiện đại. Các hệ tiên đề chính thức được sử dụng chủ yếu khi nghiên cứu cơ sở logic của một ngành khoa học cụ thể. Nghiên cứu như vậy đã đạt được phạm vi lớn nhất trong toán học liên quan đến việc phát hiện ra những nghịch lý trong lý thuyết tập hợp. Các hệ thống chính thức đóng một vai trò quan trọng trong việc tạo ra các ngôn ngữ khoa học đặc biệt, với sự trợ giúp của nó, có thể loại bỏ càng nhiều càng tốt sự thiếu chính xác của ngôn ngữ tự nhiên, thông thường.

Một số nhà khoa học coi điểm này gần như là vấn đề then chốt trong quá trình áp dụng các phương pháp logic-toán học vào các ngành khoa học cụ thể. Vì vậy, nhà khoa học người Anh I. Woodger, một trong những người tiên phong trong việc sử dụng phương pháp tiên đề trong sinh học, tin rằng việc áp dụng phương pháp này trong sinh học và các ngành khoa học tự nhiên khác bao gồm việc tạo ra một ngôn ngữ hoàn hảo về mặt khoa học trong đó phép tính là có thể. Cơ sở để xây dựng một ngôn ngữ như vậy là một phương pháp tiên đề, được thể hiện dưới dạng một hệ thống chính thức hoặc phép tính. Các ký hiệu ban đầu của hai loại đóng vai trò là bảng chữ cái của ngôn ngữ chính thức: logic và cá nhân.

Các ký hiệu logic thể hiện các kết nối và mối quan hệ logic phổ biến trong nhiều hoặc hầu hết các lý thuyết. Các ký hiệu riêng lẻ đại diện cho các đối tượng của lý thuyết đang được nghiên cứu, ví dụ như toán học, vật lý hoặc sinh học. Giống như một chuỗi các chữ cái nhất định trong bảng chữ cái tạo thành một từ, một tập hợp hữu hạn các ký hiệu có trật tự sẽ tạo thành các công thức và cách diễn đạt của một ngôn ngữ hình thức. Để phân biệt các cách diễn đạt ngôn ngữ có ý nghĩa, khái niệm về một công thức được xây dựng chính xác được giới thiệu. Để hoàn thành quá trình xây dựng ngôn ngữ nhân tạo, việc mô tả rõ ràng các quy tắc suy ra hoặc chuyển đổi công thức này sang công thức khác và nêu bật một số công thức được xây dựng chính xác làm tiên đề là đủ. Do đó, việc xây dựng một ngôn ngữ hình thức hóa diễn ra giống như việc xây dựng một hệ tiên đề có ý nghĩa. Vì lý luận có ý nghĩa với các công thức là không thể chấp nhận được trong trường hợp đầu tiên, nên việc suy ra logic của các hậu quả ở đây phụ thuộc vào việc thực hiện các hoạt động được quy định chính xác để xử lý các ký hiệu và sự kết hợp của chúng.

Mục đích chính của việc sử dụng các ngôn ngữ chính thức trong khoa học là phân tích quan trọng về lý luận với sự trợ giúp của kiến ​​​​thức mới trong khoa học. Vì các ngôn ngữ chính thức phản ánh một số khía cạnh của lý luận có ý nghĩa nên chúng cũng có thể được sử dụng để đánh giá khả năng tự động hóa hoạt động trí tuệ.

Các hệ tiên đề trừu tượng được sử dụng rộng rãi nhất trong toán học hiện đại, được đặc trưng bởi cách tiếp cận cực kỳ tổng quát đối với chủ đề nghiên cứu. Thay vì nói về các con số, hàm số, đường thẳng, bề mặt, vectơ cụ thể và những thứ tương tự, nhà toán học hiện đại xem xét nhiều tập hợp đối tượng trừu tượng khác nhau, các thuộc tính của chúng được hình thành chính xác bằng các tiên đề. Những tập hợp hoặc tập hợp như vậy cùng với các tiên đề mô tả chúng hiện nay thường được gọi là các cấu trúc toán học trừu tượng.

Phương pháp tiên đề sẽ mang lại lợi ích gì cho toán học? Thứ nhất, nó mở rộng đáng kể phạm vi ứng dụng của các phương pháp toán học và thường tạo điều kiện thuận lợi cho quá trình nghiên cứu. Khi nghiên cứu các hiện tượng và quá trình cụ thể trong một lĩnh vực cụ thể, nhà khoa học có thể sử dụng các hệ thống tiên đề trừu tượng làm công cụ phân tích sẵn có. Sau khi chắc chắn rằng các hiện tượng đang được xem xét thỏa mãn các tiên đề của một số lý thuyết toán học, nhà nghiên cứu có thể sử dụng ngay tất cả các định lý tiếp theo từ các tiên đề mà không cần tốn thêm công sức. Phương pháp tiên đề giúp chuyên gia trong một ngành khoa học cụ thể tránh khỏi việc thực hiện các nghiên cứu toán học khá phức tạp và khó khăn.

Đối với một nhà toán học, phương pháp này giúp hiểu rõ hơn đối tượng nghiên cứu, nêu bật các hướng chính trong đó, hiểu được sự thống nhất và kết nối của các phương pháp và lý thuyết khác nhau. Sự thống nhất đạt được nhờ sự trợ giúp của phương pháp tiên đề, theo cách diễn đạt tượng hình của N. Bourbaki, không phải là sự thống nhất “tạo ra một bộ xương không có sự sống. Nó là chất dinh dưỡng của cơ thể đang phát triển toàn diện, một công cụ nghiên cứu dễ uốn nắn và hiệu quả…” Nhờ phương pháp tiên đề, đặc biệt là ở dạng chính thức, có thể bộc lộ đầy đủ cấu trúc logic của các lý thuyết khác nhau. Ở dạng hoàn hảo nhất, điều này áp dụng cho các lý thuyết toán học. Trong kiến ​​thức khoa học tự nhiên, chúng ta phải hạn chế ở việc tiên đề hóa cốt lõi chính của các lý thuyết. Hơn nữa, việc sử dụng phương pháp tiên đề giúp chúng ta có thể kiểm soát tốt hơn quá trình lý luận của chúng ta, đạt được sự chặt chẽ logic cần thiết. Tuy nhiên, giá trị chính của tiên đề hóa, đặc biệt là trong toán học, là nó hoạt động như một phương pháp khám phá các mô hình mới, thiết lập mối liên hệ giữa các khái niệm và lý thuyết mà trước đây dường như tách biệt với nhau.

Việc sử dụng hạn chế phương pháp tiên đề trong khoa học tự nhiên được giải thích chủ yếu bởi thực tế là các lý thuyết của nó phải liên tục được theo dõi bằng kinh nghiệm.

Vì điều này, lý thuyết khoa học tự nhiên không bao giờ phấn đấu đạt được sự hoàn chỉnh và tách biệt hoàn toàn. Trong khi đó, trong toán học, họ thích giải quyết các hệ tiên đề thỏa mãn yêu cầu về tính đầy đủ. Nhưng như K. Gödel đã chỉ ra, bất kỳ hệ thống tiên đề nhất quán nào có tính chất không tầm thường đều không thể hoàn chỉnh.

Yêu cầu về tính nhất quán của một hệ tiên đề quan trọng hơn nhiều so với yêu cầu về tính đầy đủ của chúng. Nếu một hệ tiên đề mâu thuẫn nhau thì nó sẽ không có giá trị gì về mặt tri thức. Bằng cách giới hạn bản thân trong những hệ thống chưa hoàn chỉnh, chỉ có thể tiên đề hóa nội dung chính của các lý thuyết khoa học tự nhiên, để lại khả năng phát triển và hoàn thiện lý thuyết hơn nữa thông qua thực nghiệm. Ngay cả mục tiêu hạn chế như vậy trong một số trường hợp hóa ra lại rất hữu ích, chẳng hạn như để khám phá một số tiền đề và giả định tiềm ẩn của lý thuyết, theo dõi các kết quả thu được, hệ thống hóa chúng, v.v.

Ứng dụng hứa hẹn nhất của phương pháp tiên đề là trong những ngành khoa học mà các khái niệm được sử dụng có tính ổn định đáng kể và nơi người ta có thể loại trừ sự thay đổi và phát triển của chúng.

Chính trong những điều kiện này mà người ta có thể xác định được các mối liên hệ logic-hình thức giữa các thành phần khác nhau của lý thuyết. Do đó, phương pháp tiên đề, ở một mức độ lớn hơn phương pháp giả thuyết-suy diễn, được điều chỉnh để nghiên cứu những kiến ​​thức đã có sẵn và đã đạt được.

Việc phân tích sự xuất hiện của tri thức và quá trình hình thành của nó đòi hỏi phải chuyển sang biện chứng duy vật, coi đó là học thuyết sâu sắc và toàn diện nhất về sự phát triển.