як онтологічна категорія відображає міру можливості виникнення будь-якого сущого в будь-яких умовах. На відміну від математичної та логічної інтерпретації цього поняття онтологічна Ст не пов'язує себе з обов'язковістю кількісного виразу. Значення Ст розкривається в контексті розуміння детермінізму і характеру розвитку в цілому.
Відмінне визначення
Неповне визначення ↓
ІМОВІРНІСТЬ
поняття, що характеризує кількостей. міру можливості появи деякої події при визнач. умовах. У наук. пізнанні зустрічаються три інтерпретації Ст. Класична концепція Ст, що виникла з математич. аналізу азартних ігор і найповніше розроблена Б. Паскалем, Я. Бернуллі та П. Лапласом, розглядає Ст як ставлення числа сприятливих випадків до загальної кількості всіх рівноможливих. Напр., ірі киданні гральної кістки, що має 6 граней, випадання кожної з них можна очікувати з Ст, що дорівнює 1/6, тому що жодна грань не має переваг перед іншою. Подібна симетричність наслідків досвіду спеціально враховується при організації ігор, але порівняно рідко зустрічається при дослідженні об'єктивних подій у науці та практиці. Класич. інтерпретація Ст поступилася місцем статистич. концепції Ст, в основі якої лежать діє. спостереження появи деякої події в ході продовж. досвіду за точно фіксованих умов. Практика підтверджує, що чим частіше відбувається подія, тим більший ступінь об'єктивної можливості її появи, або В. Тому статистич. інтерпретація Ст спирається на поняття відносить. частоти, яке може бути визначено дослідним шляхом. Ст як теоретич. поняття ніколи не збігається з частотою, що емпірично визначається, проте в мн. випадках вона мало відрізняється від відносить. частоти, знайденої в результаті довж. спостережень. Багато статистики розглядають Ст як «двійник» відносить. частоти, яка визначається при статистич. дослідженні результатів спостережень
чи експериментів. Менш реалістичним виявилося визначення Ст як межі відносить. частот масових подій, чи колективів, запропоноване Р. Мізесом. Як подальший розвиток частотного підходу до Ст висувається диспозиційна, або пропенситивна, інтерпретація Ст (К. Поппер, Я. Хеккінг, М. Бунге, Т. Сетл). Відповідно до цієї інтерпретації, Ст характеризує властивість породжуючих умов, напр. експеримент. установки для отримання послідовності масових випадкових подій. Саме така установка породжує фізич. диспозиції, або схильності, В. яких брало може бути перевірена за допомогою відносить. частот.
Статистич. інтерпретація Ст домінує в наук. пізнанні, бо вона відображає специфічні. характер закономірностей, властивих масовим явищам довільного характеру. У багатьох фізичних., Біологічні., Економічні., Демографічні. та ін. соціальних процесах доводиться враховувати дію безлічі випадкових факторів, які характеризуються стійкою частотою. Виявлення цієї стійкої частоти та кількостей. її оцінка за допомогою Ст дає можливість розкрити необхідність, яка прокладає собі шлях через сукупну дію безлічі випадковостей. У цьому вся знаходить своє прояв діалектика перетворення випадковості на необхідність (див. Ф. Енгельс, в кн.: Маркс До. і Енгельс Ф., Соч., т. 20, з. 535-36).
Логічна, або індуктивна, Ст характеризує відношення між посилками та укладанням недемонстративного і, зокрема, індуктивного міркування. На відміну від дедукції, посилки індукції не гарантують істинності ув'язнення, лише роблять його тією чи іншою мірою правдоподібним. Це правдоподібність при точно сформульованих посилках іноді можна оцінювати за допомогою Ст. Значення цієї Ст найчастіше визначається за допомогою порівняння. понять (більше, менше чи одно), котрий іноді чисельним способом. Логіч. інтерпретацію часто використовують для аналізу індуктивних міркувань та побудови різних систем імовірнісних логік (Р. Карнап, Р. Джефрі). У семантич. логіч концепції. Ст часто визначається як ступінь підтвердження одного висловлювання іншими (напр., гіпотези її емпірич. даними).
У зв'язку з розвитком теорій прийняття рішень та ігор все більшого поширення набуває т. зв. персоналістська інтерпретація Ст. Хоча Ст. при цьому виражає ступінь віри суб'єкта і появу деякої події, самі Ст повинні вибиратися з таким розрахунком, щоб задовольнялися аксіоми обчислення Ст. Тому Ст при такій інтерпретації висловлює не стільки ступінь суб'єктивної, скільки розумної віри . Отже, рішення, прийняті на основі такої Ст, будуть раціональними, бо вони не враховують психологічну. особливостей та нахилів суб'єкта.
З гносеологіч. т. зр. різницю між статистич., логіч. і персоналістською інтерпретаціями Ст полягає в тому, що якщо перша дає характеристику об'єктивним властивостям і відносинам масових явищ випадкового характеру, то останні дві аналізують особливості суб'єктивної, пізнаваної. діяльності людей за умов невизначеності.
ІМОВІРНІСТЬ
одне з найважливіших понять науки, що характеризує особливе системне бачення світу, його будови, еволюції та пізнання. Специфіка імовірнісного погляду світ розкривається через включення до базових понять буття понять випадковості, незалежності та ієрархії (ідеї рівнів у структурі та детермінації систем).
Уявлення про ймовірність зародилися ще в давнину і ставилися до характеристики нашого знання, при цьому визнавалася наявність імовірнісного знання, яке відрізняється від достовірного знання та хибного. Вплив ідеї ймовірності на наукове мислення, в розвитку пізнання безпосередньо з розробкою теорії ймовірностей як математичної дисципліни. Зародження математичного вчення про ймовірність відноситься до 17 ст, коли було започатковано створення ядра понять, що допускають. кількісну (числову) характеристику та виражають імовірнісну ідею.
Інтенсивні програми ймовірності до розвитку пізнання припадають на 2-у стать. 19 - 1-ю підлогу. 20 ст. Імовірність увійшла до структур таких фундаментальних наук про природу, як класична статистична фізика, генетика, квантова теорія, кібернетика (теорія інформації). Відповідно, ймовірність уособлює той етап у розвитку науки, який нині визначається як некласична наука. Щоб розкрити новизну, особливості ймовірнісного способу мислення, необхідно виходити з аналізу предмета теорії ймовірностей та основ її численних додатків. Теорію ймовірностей зазвичай визначають як математичну дисципліну, що вивчає закономірності масових випадкових явищ за певних умов. Випадковість означає, що у межах масовості буття кожного елементарного явища залежить і визначається буттям інших явищ. У той же час сама масовість явищ має стійку структуру, містить певні регулярності. Масове явище цілком суворо поділяється на підсистеми, і відносне число елементарних явищ у кожному з підсистем (відносна частота) дуже стійко. Ця стійкість зіставляється із ймовірністю. Масове явище загалом характеризується розподілом ймовірностей, т. е. завданням підсистем та відповідних їм ймовірностей. Мова теорії ймовірностей є мовою імовірнісних розподілів. Відповідно до теорії ймовірностей і визначають як абстрактну науку про оперування розподілами.
Імовірність породила в науці уявлення про статистичні закономірності та статистичні системи. Останні суть системи, утворені з незалежних чи квазинезависимых сутностей, їх структура характеризується розподілами ймовірностей. Але як можливе утворення систем із незалежних сутностей? Зазвичай передбачається, що для утворення систем, що мають цілісні характеристики, необхідно, щоб між їх елементами були досить стійкі зв'язки, які цементують системи. Стійкість статистичним системам надає наявність зовнішніх умов, зовнішнього оточення, зовнішніх, а чи не внутрішніх сил. Саме визначення ймовірності завжди спирається завдання умов освіти вихідного масового явища. Ще однією найважливішою ідеєю, що характеризує імовірнісну парадигму, є ідея ієрархії (субординації). Ця ідея висловлює взаємовідносини між характеристиками окремих елементів та цілісними характеристиками систем: останні ніби надбудовуються над першими.
Значення імовірнісних методів у пізнанні полягає в тому, що вони дозволяють досліджувати і теоретично виражати закономірності будови та поведінки об'єктів та систем, що мають ієрархічну, «дворівневу» структуру.
Аналіз природи ймовірності спирається на частотне, статистичне її трактування. Разом з тим, досить тривалий час у науці панувало таке розуміння ймовірності, яке отримало назву логічної, або індуктивної, ймовірності. Логічну ймовірність цікавлять питання обґрунтованості окремого, індивідуального судження у певних умовах. Чи можна оцінити ступінь підтвердження (достовірності, істинності) індуктивного висновку (гіпотетичного висновку) у кількісній формі? У ході становлення теорії ймовірностей такі питання неодноразово обговорювалися, і почали говорити про ступені підтвердження гіпотетичних висновків. Ця міра ймовірності визначається наявною у розпорядженні даної людини інформацією, її досвідом, поглядами на світ і психологічним складом розуму. У всіх подібних випадках величина ймовірності не піддається суворим вимірам і практично поза компетенцією теорії ймовірностей як послідовної математичної дисципліни.
Об'єктивне, частотне трактування ймовірності затверджувалося у науці зі значними труднощами. Спочатку на розуміння природи ймовірності надали сильний вплив ті філософсько-методологічні погляди, характерні для класичної науки. Історично становлення імовірнісних методів у фізиці відбувалося під визначальним впливом ідей механіки: статистичні системи трактувалися як механічні. Оскільки відповідні завдання не вирішувалися строгими методами механіки, то виникли твердження, що звернення до ймовірнісних методів та статистичних закономірностей є результатом неповноти наших знань. В історії розвитку класичної статистичної фізики робилися численні спроби обґрунтувати її на основі класичної механіки, проте вони зазнали невдачі. Підстави ймовірності полягають у тому, що вона виражає собою особливості структури певного класу систем, іншого, ніж системи механіки: стан елементів цих систем характеризується нестійкістю та особливим характером взаємодій, що не зводиться до механіки.
Входження ймовірності у пізнання веде до заперечення концепції жорсткого детермінізму, до заперечення базової моделі буття та пізнання, вироблених у процесі становлення класичної науки. Базові моделі, представлені статистичними теоріями, носять інший, більш загальний характер: вони включають ідеї випадковості і незалежності. Ідея ймовірності пов'язана з розкриттям внутрішньої динаміки об'єктів та систем, яка не може бути повністю визначена зовнішніми умовами та обставинами.
Концепція імовірнісного бачення світу, яка спирається на абсолютизацію уявлень про незалежність (як і раніше парадигма жорсткої детермінації), в даний час виявила свою обмеженість, що найбільше позначається при переході сучасної науки до аналітичних методів дослідження складноорганізованих систем та фізико-математичних основ явищ самоорганізації.
Відмінне визначення
Неповне визначення ↓
Зрозуміло, що кожна подія має той чи інший рівень можливості свого наступу (своєї реалізації). Щоб кількісно порівнювати між собою події за рівнем їхньої можливості, очевидно, потрібно з кожною подією пов'язати певне число, яке тим більше, чим можливіша подія. Таке число називається ймовірністю події.
Ймовірність події– є чисельний захід ступеня об'єктивної можливості настання цієї події.
Розглянемо стохастичний експеримент і випадкову подію А, що спостерігається у цьому експерименті. Повторимо цей експеримент n разів і нехай m(A) – кількість експериментів, у яких подія відбулася.
Відношення (1.1)
називається відносною частотоюподії А у проведеній серії експериментів.
Легко переконатися у справедливості властивостей:
якщо А та В несумісні (АВ= ), то ν(А+В) = ν(А) + ν(В) (1.2)
Відносна частота визначається лише після проведення серії експериментів і, взагалі кажучи, може змінюватись від серії до серії. Однак досвід показує, що у багатьох випадках зі збільшенням кількості дослідів відносна частота наближається до деякого числа. Цей факт стійкості відносної частоти неодноразово перевірявся і можна вважати експериментально встановленим.
приклад 1.19.. Якщо кинути одну монету, ніхто не зможе передбачити, якою стороною вона впаде вгору. Але якщо кинути дві тонни монет, кожен скаже, що приблизно одна тонна впаде догори гербом, тобто відносна частота випадання герба приблизно дорівнює 0,5.
Якщо зі збільшенням числа дослідів відносна частота події ν(А) прагне деякому фіксованому числу, то кажуть, що подія А статистично стійка, а це число називають ймовірністю події А.
Ймовірністю події Аназивається деяке фіксоване число Р(А), якого прагне відносна частота ν(А) цієї події при збільшенні числа дослідів, тобто, 
Це визначення називають статистичним визначенням ймовірності .
Розглянемо якийсь стохастичний експеримент і нехай простір його елементарних подій складається з кінцевої або нескінченної (але лічильної) множини елементарних подій ω 1 , ω 2 , …, ω i , … . припустимо, що кожній елементарній події ω i прописано деяке число - р i , що характеризує ступінь можливості появи даної елементарної події і задовольняє наступним властивостям:
Таке число p i називається ймовірністю елементарної подіїω i.
Нехай тепер А-випадкова подія, що спостерігається в цьому досвіді, і йому відповідає деяка безліч
У такій постановці ймовірністю події А називають суму ймовірностей елементарних подій, що сприяють А(що входять до відповідної множини А):
(1.4)
Введена таким чином ймовірність має ті ж властивості, що і відносна частота, а саме:
І якщо АВ = (А і В несумісні),
то P(A+B) = P(A) + P(B)
Дійсно, згідно (1.4)
В останньому співвідношенні ми скористалися тим, що жодна елементарна подія не може сприяти одночасно двом несумісним подіям.
Особливо відзначимо, що теорія ймовірностей не вказує способів визначення р i їх треба шукати з міркувань практичного характеру або отримувати з відповідного статистичного експерименту.
Як приклад розглянемо класичну схему теорії ймовірностей. І тому розглянемо стохастичний експеримент, простір елементарних подій якого складається з кінцевого (n) числа елементів. Припустимо додатково, що це елементарні події рівноможливі, тобто ймовірності елементарних подій рівні p(ω i)=p i =p. Звідси слідує що
Приклад 1.20. При киданні симетричної монети випадання герба і «решки» рівноможливі, їхня ймовірність дорівнює 0,5.
Приклад 1.21. При киданні симетричного кубика всі грані рівноможливі, їх ймовірність дорівнює 1/6.
Нехай тепер події А сприяє m елементарних подій, їх зазвичай називають результатами, що сприяють події А. Тоді
Отримали класичне визначення ймовірності: ймовірність Р(А) події А дорівнює відношенню числа наслідків, що сприяють події А, до загального числа наслідків
Приклад 1.22. У урні лежить m білих куль і n чорних. Чому дорівнює можливість витягнути білу кулю?
Рішення. Усього елементарних подій m+n. Вони все рівноймовірні. Сприятливих для події А з них m. Отже, 
.
З визначення ймовірності випливають такі властивості:
Властивість 1. Імовірність достовірної події дорівнює одиниці.
Справді, якщо подія є достовірною, то кожен елементарний результат випробування сприяє події. В цьому випадку т=п,отже,
P(A)=m/n=n/n=1.(1.6)
Властивість 2. Імовірність неможливої події дорівнює нулю.
Справді, якщо подія неможлива, то жоден з елементарних результатів випробування не сприяє події. В цьому випадку т= 0, отже, P(A)=m/n=0/n=0. (1.7)
Властивість 3.Імовірність випадкової події є позитивним числом, укладеним між нулем і одиницею.
Справді, випадковому події сприяє лише частина із загальної кількості елементарних результатів испытания. Тобто, 0≤m≤n, отже, 0≤m/n≤1, отже, ймовірність будь-якої події задовольняє подвійну нерівність 0≤ P(A) ≤1. (1.8)
Порівнюючи визначення ймовірності (1.5) та відносної частоти (1.1), укладаємо: визначення ймовірності не вимагає, щоб випробування проводилисьв дійсності; визначення ж відносної частоти передбачає, що випробування були здійснені фактично. Іншими словами, ймовірність обчислюють до досвіду, а відносну частоту після досвіду.
Однак, обчислення ймовірності вимагає наявності попередньої інформації про кількість або ймовірності елементарних результатів, що сприяють даній події. У разі відсутності такої попередньої інформації визначення ймовірності вдаються до емпіричних даних, тобто, за результатами стохастичного експерименту визначають відносну частоту події.
Приклад 1.23. Відділ технічного контролю виявив 3нестандартні деталі в партії з 80 випадково відібраних деталей. Відносна частота появи нестандартних деталей r (А)= 3/80.
Приклад 1.24. З мети. 24 пострілу, причому було зареєстровано 19 влучень. Відносна частота ураження цілі. r (А)=19/24.
Тривалі спостереження показали, що й у однакових умов виробляють досліди, у кожному у тому числі число випробувань досить велике, то відносна частота виявляє властивість стійкості. Ця властивість полягає в тому, що в різних дослідах відносна частота змінюється мало (тим менше, чим більше проведено випробувань), коливаючись у деякого постійного числа.Виявилося, що це постійне число можна сприйняти як наближене значення ймовірності.
Докладніше і точніше зв'язок між відносною частотою та ймовірністю буде викладено далі. Тепер проілюструємо властивість стійкості на прикладах.
Приклад 1.25. За даними шведської статистики, відносна частота народження дівчаток за 1935 р. по місяцях характеризується такими числами (числа розташовані в порядку прямування місяців, починаючи з Січня): 0,486; 0,489; 0,490; 0.471; 0,478; 0,482; 0.462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0,473
Відносна частота коливається близько числа 0,481, яке можна сприйняти за наближене значення ймовірності народження дівчаток.
Зауважимо, що статистичні дані різних країн дають приблизно те значення відносної частоти.
приклад 1.26.Багаторазово проводилися досліди кидання монети, у яких підраховували появу «герба». Результати кількох дослідів наведені у таблиці.
Отже, поговоримо на тему, яка цікавить багатьох. У цій статті я відповім на питання про те, як розрахувати ймовірність події. Наведу формули для такого розрахунку та кілька прикладів, щоб було зрозуміліше, як це робиться.
Що таке ймовірність
Почнемо з того, що ймовірність того, що та чи інша подія відбудеться – певна частка впевненості у кінцевому настанні якогось результату. Для цього розрахунку розроблена формула повної ймовірності, що дозволяє визначити, настане цікава для вас подія чи ні, через, так звані, умовні ймовірності. Ця формула має такий вигляд: Р = n/m, літери можуть змінюватися, але на саму суть це ніяк не впливає.
Приклади ймовірності
На найпростішому прикладі розберемо цю формулу та застосуємо її. Допустимо, у вас є якась подія (Р), нехай це буде кидок гральної кістки, тобто рівносторонній кубик. І нам потрібно підрахувати, якою є ймовірність випадання на ньому 2 очок. Для цього потрібна кількість позитивних подій (n), у нашому випадку – випадання 2 очок, на загальну кількість подій (m). Випадання 2 очок може бути тільки в одному випадку, якщо на кубику буде по 2 очки, тому що по іншому, сума буде більшою, з цього випливає, що n = 1. Далі підраховуємо число випадання будь-яких інших цифр на кістки, на 1 кістки – це 1, 2, 3, 4, 5 і 6, отже, сприятливих випадків 6, тобто m = 6. Тепер за формулою робимо нехитре обчислення Р = 1/6 і отримуємо, що випадання на кістки 2 очок дорівнює 1/6, тобто ймовірність події дуже мала.
Ще розглянемо приклад на кольорових кулях, що лежать у коробці: 50 білих, 40 чорних та 30 зелених. Потрібно визначити, яка ймовірність витягнути кулю зеленого кольору. І так, так як куль цього кольору 30, тобто позитивних подій може бути тільки 30 (n = 30), число всіх подій 120, m = 120 (за загальною кількістю всіх куль), за формулою розраховуємо, що витягнути зелену кулю ймовірність дорівнює Р = 30/120 = 0,25, тобто 25% зі 100. Таким же чином, можна обчислити і ймовірність витягнути кулю іншого кольору (чорного вона буде 33%, білого 42%).
Фактично формули (1) та (2) це короткий запис умовної ймовірності на основі таблиці сполученості ознак. Повернемося, наприклад, розглянутому (рис. 1). Припустимо, що нам стало відомо, ніби сім'я збирається купити широкоекранний телевізор. Яка ймовірність того, що ця сім'я справді придбає такий телевізор?
Мал. 1. Поведінка покупців широкоекранних телевізорів
В даному випадку нам необхідно обчислити умовну ймовірність Р (купівля здійснена | купівля планувалася). Оскільки нам відомо, що сім'я планує придбання, вибірковий простір складається не з усіх 1000 сімей, а лише з тих, що планують придбання широкоекранного телевізора. Із 250 таких сімей 200 справді купили цей телевізор. Отже, ймовірність того, що сім'я дійсно придбає широкоекранний телевізор, якщо вона запланувала це, можна обчислити за такою формулою:
Р (купівля здійснена | купівля планувалася) = кількість сімей, що планували та купили широкоекранний телевізор / кількість сімей, які планували купити широкоекранний телевізор = 200 / 250 = 0,8
Той самий результат дає формула (2):
де подія Аполягає в тому, що сім'я планує покупку широкоформатного телевізора, а подію У- У тому, що вона його дійсно купить. Підставляючи у формулу реальні дані, отримуємо:
Дерево рішень
На рис. 1 сім'ї розділені на чотири категорії: які планували покупку широкоекранного телевізора і не планували, а також купили такий телевізор і не купили. Аналогічну класифікацію можна виконати за допомогою дерева розв'язків (рис. 2). Дерево, зображене на рис. 2, має дві гілки, що відповідають сім'ям, які планували придбати широкоекранний телевізор, та сім'ям, які не робили цього. Кожна з цих гілок поділяється на дві додаткові гілки, що відповідають сім'ям, які купили і не купили широкоекранний телевізор. Імовірності, записані на кінцях двох основних гілок, є безумовними ймовірностями подій Аі А’. Імовірності, записані на кінцях чотирьох додаткових гілок є умовними ймовірностями кожної комбінації подій Аі У. Умовні ймовірності обчислюються шляхом поділу спільної ймовірності подій на безумовну ймовірність кожного з них.
Мал. 2. Дерево рішень
Наприклад, щоб визначити ймовірність того, що сім'я придбає широкоекранний телевізор, якщо вона запланувала зробити це, слід визначити ймовірність події купівля запланована та здійснена, а потім поділити його на ймовірність події купівля запланована. Переміщаючись по дереву рішення, зображене на рис. 2, отримуємо наступну (аналогічну попередньому) відповідь:
Статистична незалежність
У прикладі з покупкою широкоекранного телевізора ймовірність того, що випадково обрана сім'я придбала широкоекранний телевізор за умови, що вона планувала це зробити, дорівнює 200/250 = 0,8. Нагадаємо, що безумовна ймовірність того, що випадково обрана сім'я набула широкоекранного телевізора, дорівнює 300/1000 = 0,3. Звідси випливає дуже важливий висновок. Апріорна інформація про те, що сім'я планувала покупку, впливає на ймовірність самої покупки.Інакше кажучи, ці дві події залежать одна від одної. На противагу цьому прикладу існують статистично незалежні події, ймовірності яких не залежать одна від одної. Статистична незалежність виражається тотожністю: Р(А|В) = Р(А), де Р(А|В)- ймовірність події Аза умови, що сталася подія У, Р(А)- Безумовна ймовірність події А.
Зверніть увагу на те, що події Аі У Р(А|В) = Р(А). Якщо таблиці сполученості ознак, має розмір 2×2, ця умова виконується хоча б однієї комбінації подій Аі У, воно буде справедливим і для будь-якої іншої комбінації. У нашому прикладі події купівля запланованаі купівля здійсненане є статистично незалежними, оскільки інформація про одну подію впливає на ймовірність іншої.
Розглянемо приклад, де показано, як перевірити статистичну незалежність двох подій. Запитаємо у 300 сімей, які купили широкоформатний телевізор, чи задоволені вони своєю покупкою (рис. 3). Визначте, чи пов'язані між собою ступінь задоволеності покупкою та тип телевізора.
Мал. 3. Дані, що характеризують ступінь задоволеності покупців широкоекранних телевізорів
Судячи з цих даних,
В той же час,
Р (покупець задоволений) = 240/300 = 0,80
Отже, ймовірність того, що покупець задоволений покупкою, і того, що сім'я купила HDTV-телевізор, є рівними між собою, і ці події є статистично незалежними, оскільки ніяк не пов'язані між собою.
Правило множення ймовірностей
Формула для обчислення умовної ймовірності дозволяє визначити ймовірність спільної події А і В. Дозволивши формулу (1)
щодо спільної ймовірності Р(А та В), Отримуємо загальне, правило множення ймовірностей. Ймовірність події А і Вдорівнює ймовірності події Аза умови, що настала подія У У:
(3) Р(А та В) = Р(А|В) * Р(В)
Розглянемо як приклад 80 сімей, які купили широкоекранний HDTV-телевізор (рис. 3). У таблиці зазначено, що 64 сім'ї задоволені покупкою та 16 – ні. Припустимо, що серед них випадково вибираються дві родини. Визначте ймовірність, що обидва покупці виявляться задоволеними. Використовуючи формулу (3), отримуємо:
Р(А та В) = Р(А|В) * Р(В)
де подія Аполягає в тому, що друга сім'я задоволена своєю покупкою, а подія У- У тому, що перша сім'я задоволена своєю покупкою. Імовірність того, що перша сім'я задоволена своєю покупкою, дорівнює 64/80. Однак ймовірність того, що друга сім'я також задоволена своєю покупкою, залежить від першої родини. Якщо перша сім'я після опитування не повертається у вибірку (вибір без повернення), кількість респондентів знижується до 79. Якщо перша сім'я виявилася задоволеною своєю покупкою, ймовірність того, що друга сім'я також буде задоволена, дорівнює 63/79, оскільки у вибірці залишилося лише 63 сім'ї, задоволені своїм придбанням. Таким чином, підставляючи у формулу (3) конкретні дані, отримаємо наступну відповідь:
Р(А та В) = (63/79)(64/80) = 0,638.
Отже, ймовірність того, що обидві сім'ї задоволені своїми покупками, дорівнює 63,8%.
Припустимо, що після опитування перша сім'я повертається у вибірку. Визначте ймовірність того, що обидві сім'ї виявляться задоволеними своєю покупкою. У цьому випадку ймовірність того, що обидві сім'ї задоволені своєю покупкою однакові, і дорівнюють 64/80. Отже, Р(А та В) = (64/80)(64/80) = 0,64. Таким чином, ймовірність того, що обидві сім'ї задоволені своїми покупками, дорівнює 64%. Цей приклад показує, що вибір другої сім'ї залежить від вибору першої. Таким чином, замінюючи у формулі (3) умовну ймовірність Р(А|В)ймовірністю Р(А), ми одержуємо формулу множення ймовірностей незалежних подій.
Правило збільшення ймовірностей незалежних подій.Якщо події Аі Ує статистично незалежними, ймовірність події А і Вдорівнює ймовірності події А, помноженої на ймовірність події У.
(4) Р(А та В) = Р(А)Р(В)
Якщо це правило виконується для подій Аі УОтже, вони є статистично незалежними. Таким чином, існують два способи визначити статистичну незалежність двох подій:
- Події Аі Ує статистично незалежними один від одного тоді і лише тоді, коли Р(А|В) = Р(А).
- Події Аі Bє статистично незалежними один від одного тоді і лише тоді, коли Р(А та В) = Р(А)Р(В).
Якщо таблиці сполученості ознак, має розмір 2×2, одне з цих умов виконується хоча б однієї комбінації подій Аі B, воно буде справедливим і для будь-якої іншої комбінації.
Безумовна ймовірність елементарної події
(5) Р(А) = P(A|B 1)Р(B 1) + P(A|B 2)Р(B 2) + … + P(A|B k)Р(B k)
де події B 1 , B 2 ... B k є взаємовиключними і вичерпними.
Проілюструємо застосування цієї формули з прикладу рис.1. Використовуючи формулу (5), отримуємо:
Р(А) = P(A|B 1)Р(B 1) + P(A|B 2)Р(B 2)
де Р(А)- ймовірність того, що купівля планувалася, Р(У 1)- ймовірність того, що покупка здійснена, Р(В 2)- Імовірність того, що покупка не здійснена.
ТЕОРЕМА БАЙЄСА
Умовна ймовірність події враховує інформацію про те, що сталася інша подія. Цей підхід можна використовувати як для уточнення ймовірності з урахуванням нової інформації, так і для обчислення ймовірності, що ефект, що спостерігається, є наслідком певної конкретної причини. Процедура уточнення цих ймовірностей називається теоремою Байєса. Вперше вона була розроблена Томасом Байєсом у 18 столітті.
Припустимо, що компанія, згадана вище, досліджує ринок збуту нової моделі телевізора. У минулому 40% телевізорів, створених компанією, мали успіх, а 60% моделей визнання не отримали. Перш ніж оголосити про випуск нової моделі, фахівці з маркетингу ретельно досліджують ринок та фіксують попит. У минулому успіх 80% моделей, які здобули визнання, прогнозувався заздалегідь, водночас 30% сприятливих прогнозів виявились невірними. Для нової моделі відділ маркетингу дав сприятливий прогноз. Яка ймовірність того, що нова модель телевізора матиме попит?
Теорему Байєса можна вивести з визначень умовної ймовірності (1) та (2). Щоб обчислити ймовірність Р(В|А), візьмемо формулу (2):
і підставимо замість Р(А і В) значення формули (3):
Р(А та В) = Р(А|В) * Р(В)
Підставляючи замість Р(А) формулу (5), отримуємо теорему Байєса:
де події B 1 , 2 , … k є взаємовиключними і вичерпними.
Введемо такі позначення: подія S - телевізор користується попитом, подія S' - телевізор не користується попитом, подія F - сприятливий прогноз, подія F’ - несприятливий прогноз. Припустимо, що P(S) = 0,4, P(S') = 0,6, P(F|S) = 0,8, P(F|S') = 0,3. Застосовуючи теорему Байєса отримуємо:
Імовірність попиту нову модель телевізора за умови сприятливого прогнозу дорівнює 0,64. Таким чином, ймовірність відсутності попиту за умови сприятливого прогнозу дорівнює 1-0,64 = 0,36. Процес обчислень подано на рис. 4.
Мал. 4. (а) Обчислення за формулою Байєса для оцінки ймовірності попиту телевізорів; (б) Дерево рішення для дослідження попиту на нову модель телевізора
Розглянемо приклад застосування теореми Байєса для медичної діагностики. Імовірність того, що людина страждає від певного захворювання, дорівнює 0,03. Медичний тест дозволяє перевірити, чи це так. Якщо людина дійсно хвора, ймовірність точного діагнозу (стверджує, що людина хвора, коли вона дійсно хвора) дорівнює 0,9. Якщо людина здорова, ймовірність хибнопозитивного діагнозу (стверджує, що людина хвора, коли вона здорова) дорівнює 0,02. Допустимо, що медичний тест дав позитивний результат. Яка ймовірність того, що людина дійсно хвора? Яка ймовірність точного діагнозу?
Введемо такі позначення: подія D - людина хвора, подія D' - людина здорова, подія Т - позитивний діагноз, подія Т' - негативний діагноз. З умови завдання випливає, що Р(D) = 0,03, P(D') = 0,97, Р(T|D) = 0,90, P(T|D') = 0,02. Застосовуючи формулу (6), отримуємо:
Імовірність того, що при позитивному діагнозі людина дійсно хвора, дорівнює 0,582 (див. також рис. 5). Знаменник формули Байєса дорівнює ймовірності позитивного діагнозу, тобто. 0,0464.
Якщо події H 1 , H 2 ..., H n утворюють повну групу, то для обчислення ймовірності довільної події можна використовувати формулу повної ймовірності:
P(А) = P(A/H 1)·P(H 1)+P(A/H 2)·P(H 2)
Відповідно до якої ймовірність настання події А може бути представлена як сума творів умовних ймовірностей події А за умови настання подій H i на безумовні ймовірності цих подій H i . Ці події H i називають гіпотезами.
З формули повної ймовірності випливає формула Байєса:
Імовірності P(H i) гіпотез H i називають апріорними ймовірностями - ймовірністю до проведення дослідів.
Імовірності P(A/H i) називають апостеріорними ймовірностями - ймовірності гіпотез H i уточнених в результаті досвіду.
Призначення сервісу. Онлайн-калькулятор призначений для обчислення повної ймовірності оформлення всього ходу рішення у форматі Word (див. приклади вирішення завдань).
Приклад №1. Магазин отримує електролампочки із двох заводів, причому частка першого заводу становить 25%. Відомо, що частка шлюбу на цих заводах дорівнює відповідно 5% і 10% від усієї продукції. Продавець навмання бере одну лампочку. Яка ймовірність того, що вона виявиться бракованою?
Рішення:Позначимо через А подію – «лампочка виявиться бракованою». Можливі наступні гіпотези про походження цієї лампочки: H 1– «лампочка надійшла з першого заводу». H 2- «Лампочка надійшла з другого заводу». Оскільки частка першого заводу становить 25 %, то ймовірність цих гіпотез дорівнює відповідно 
; 
.
Умовна ймовірність того, що бракована лампочка випущена першим заводом 
, другим заводом - p(A/H 2)=
ймовірність того, що продавець взяв браковану лампочку, знаходимо за формулою повної ймовірності
0,25 · 0,05 +0,75 · 0,10 = 0,0125 +0,075 = 0.0875
Відповідь: р(А)= 0,0875.
Приклад №2. Магазин отримав дві рівні за кількістю партії однойменного товару. Відомо що, 25% першої партії та 40% другої партії становить товар першого сорту. Яка ймовірність того, що навмання обрана одиниця товару буде не першого сорту?
Рішення:
Позначимо через А подію - "товар виявиться першого сорту". Можливі такі гіпотези про походження цього товару: H 1- "Товар з першої партії". H 2- "Товар з другої партії". Оскільки частка першої партії становить 25%, то ймовірності цих гіпотез рівні відповідно ; 
.
Умовна ймовірність того, що товар із першої партії – 
, з другої партії - 
шукаю ймовірність того, що навмання обрана одиниця товару буде першого сорту
р(А) = P(H 1) p(A/H 1)+P(H 2)·(A/H 2)= 0,25 · 0,5 +0,4 · 0,5 = 0,125 +0,2 = 0.325
Тоді, ймовірність того, що навмання обрана одиниця товару буде не першого сорту дорівнюватиме: 1- 0.325 = 0,675
Відповідь:
.
Приклад №3. Відомо, що 5% чоловіків та 1% жінок – дальтоніки. Навмання обрана людина виявилася не дальтоніком. Яка ймовірність, що це чоловік (вважати, що чоловіки та жінки порівну).
Рішення.
Подія A - навмання обрана людина виявилася не дальтоніком.
Знайдемо ймовірність появи цієї події.
P(A) = P(A|H=чоловік) + P(A|H=жінка) = 0.95*0.5 + 0.99*0.5 = 0.475 + 0.495 = 0.97
Тоді ймовірність, що це чоловік становитиме: p = P(A|H=чоловік) / P(A) = 0.475/0.97 = 0.4897
Приклад №4. У спортивній олімпіаді беруть участь 4 студенти з першого курсу, з другого – 6, з третьої – 5. Імовірність того, що студент з першого, другого, третього курсу переможе на олімпіаді, дорівнює відповідно 0,9; 0,7 та 0,8.
а) Знайдіть ймовірність перемоги навмання обраним її учасником.
б) У разі цього завдання один студент переміг на олімпіаді. До якої групи він найімовірніше належить?
Рішення.
Подія A - перемога навмання обраного учасника.
Тут P(H1) = 4/(4+6+5) = 0.267, P(H2) = 6/(4+6+5) = 0.4, P(H3) = 5/(4+6+5) = 0.333,
P(A|H1) = 0.9, P(A|H2) = 0.7, P(A|H3) = 0.8
а) P(A) = P(H1)*P(A|H1) + P(H2)*P(A|H2) + P(H3)*P(A|H3) = 0.267*0.9 + 0.4*0.7 + 0.333 * 0.8 = 0.787
б) Рішення можна отримати за допомогою цього калькулятора.
p1 = P(H1)*P(A|H1)/P(A)
p2 = P(H2)*P(A|H2)/P(A)
p3 = P(H3)*P(A|H3)/P(A)
p1, p2, p3 вибрати максимальну.
Приклад №5. На підприємстві є три верстати одного типу. Один із них дає 20% загальної продукції, другий – 30%, третій – 50%. У цьому перший верстат виробляє 5% шлюбу, другий 4%, третій – 2%. Знайти ймовірність того, що випадково відібраний непридатний виріб випущений першим верстатом.