Види деформацій
Деформацієюназивають зміну форми, розмірів чи об'єму тіла. Деформація може бути викликана дією на тіло доданих щодо нього зовнішніх сил. Деформації, що повністю зникають після припинення дії на тіло зовнішніх сил, називають пружними, а деформації, що зберігаються і після того, як зовнішні сили перестали діяти на тіло, - пластичними. Розрізняють деформації розтягуванняабо стиснення(одностороннього або всебічного), вигину, крученняі зсуву.
Сили пружності
При деформаціях твердого тіла його частинки (атоми, молекули, іони), що знаходяться у вузлах кристалічних ґрат, зміщуються зі своїх положень рівноваги. Цьому зміщенню протидіють сили взаємодії між частинками твердого тіла, що утримують ці частинки на певній відстані один від одного. Тому за будь-якого виду пружної деформації в тілі виникають внутрішні сили, що перешкоджають його деформації.
Сили, що виникають у тілі при його пружній деформації та спрямовані проти спрямування зміщення частинок тіла, що викликається деформацією, називають силами пружності. Сили пружності діють у будь-якому перерізі деформованого тіла, а також у місці його контакту з тілом, що викликає деформацію. У разі одностороннього розтягування або стиснення сила пружності спрямована вздовж прямої, за якою діє зовнішня сила, що викликає деформацію тіла, протилежно напрямку цієї сили і перпендикулярно поверхні тіла. Природа пружних сил є електричною.
Ми розглянемо випадок виникнення сил пружності при односторонньому розтягуванні та стисканні твердого тіла.
Закон Гука
Зв'язок між силою пружності та пружною деформацією тіла (при малих деформаціях) був експериментально встановлений сучасником Ньютона англійським фізиком Гуком. Математичний вираз закону Гука для деформації одностороннього розтягування (стиснення) має вигляд:
де f – сила пружності; х – подовження (деформація) тіла; k - коефіцієнт пропорційності, що залежить від розмірів та матеріалу тіла, званий жорсткістю. Одиниця жорсткості в СІ – ньютон на метр (Н/м).
Закон Гукадля одностороннього розтягування (стиснення) формулюють так: сила пружності, що виникає при деформації тіла, пропорційна подовженню цього тіла.
Розглянемо досвід, що ілюструє закон Гука. Нехай вісь симетрії циліндричної пружини збігається із прямою Ах (рис. 20, а). Один кінець пружини закріплений в опорі в точці А, а другий вільний і до нього прикріплено тіло М. Коли пружина не деформована, її вільний кінець знаходиться в точці С. Цю точку прийме початок відліку координати х, що визначає положення вільного кінця пружини.
Розтягнемо пружину так, щоб її вільний кінець знаходився в точці D, координата якої х > 0: У цій точці пружина діє на тіло М пружною силою
Стиснем тепер пружину так, щоб її вільний кінець знаходився в точці В, координата якої х
З малюнка видно, що проекція сили пружності пружини на вісь Ах має знак, протилежний знаку координати х, оскільки сила пружності спрямовано завжди до положення рівноваги З. На рис. 20 б зображений графік закону Гука. На осі абсцис відкладають значення подовження пружини, але в осі ординат - значення сили пружності. Залежність fх від х лінійна, тому графік є пряму, що проходить через початок координат.
Розглянемо ще один досвід.
Нехай один кінець тонкого сталевого дроту закріплений на кронштейні, а до іншого кінця підвішений вантаж, вага якого є зовнішньою силою F, що розтягує, що діє на дріт перпендикулярно її поперечному перерізу (рис. 21).
Дія цієї сили на дріт залежить як від модуля сили F, а й від площі поперечного перерізу дроту S.
Під дією доданої до неї зовнішньої сили дріт деформується, розтягується. При невеликому розтягуванні ця деформація є пружною. У пружно деформованому дроті виникає сила пружності f уп. Згідно з третім законом Ньютона, сила пружності дорівнює по модулю і протилежна за напрямом зовнішньої сили, що діє тіло, тобто.
f уп = -F (2.10)
Стан пружно деформованого тіла характеризують величиною s, званої нормальною механічною напругою(або, для стислості, просто нормальною напругою). Нормальна напруга s дорівнює відношенню модуля сили пружності до площі поперечного перерізу тіла:
s = f уп /S (2.11)
Нехай початкова довжина нерозтягнутого дроту становила L0. Після застосування сили F дріт розтягнувся і його довжина стала рівною L. Величину DL = L - L 0 називають абсолютним подовженням дроту. Величину e = DL/L 0 (2.12) називають відносним подовженням тіла. Для деформації розтягування e>0, для деформації стиснення e< 0.
Спостереження показують, що при невеликих деформаціях нормальна напруга s пропорційно до відносного подовження e:
s = E | e |. (2.13)
Формула (2.13) є одним із видів запису закону Гука для одностороннього розтягування (стиснення). У цій формулі відносне подовження взято по модулю, оскільки воно може бути позитивним і негативним. Коефіцієнт пропорційності Е у законі Гука називається модулем поздовжньої пружності (модулем Юнга).
Встановимо фізичний зміст модуля Юнга. Як видно з формули (2.12), e = 1 та L = 2L 0 при DL = L 0 . З формули (2.13) випливає, що в цьому випадку s = Е. Отже, модуль Юнга чисельно дорівнює такій нормальній напрузі, яка мала б виникнути в тілі зі збільшенням його довжини в 2 рази. (Якби для такої великої деформації виконувався закон Гука). З формули (2.13) видно також, що СІ модуль Юнга виражають у паскалях (1 Па = 1 Н/м 2).
Закон Гука формулюється так: сила пружності, що виникає при деформації тіла, внаслідок застосування сторонніх сил, пропорційно до його подовження. Деформація у свою чергу це зміна міжатомних або міжмолекулярних відстаней речовини під дією зовнішніх сил. Сила пружності це сила, яка прагне повернути ці атоми чи молекули у стан рівноваги.
Формула 1 – Закон Гука.
F – Сила пружності.
k - жорсткість тіла (Коефіцієнт пропорційності, який залежить від матеріалу тіла та його форми).
x - Деформація тіла (подовження або стиснення тіла).
Цей закон було відкрито Робертом Гуком 1660г. Він провів досвід, який полягав у тому, що. Тонка сталева струна була закріплена одним кінцем, а до другого кінця прикладалося різне зусилля. Простіше кажучи, струна була підвішена до стелі, і до неї прикладався вантаж різної маси.
Рисунок 1 – Розтягування струни під дією сили тяжіння.
В результаті досвіду Гук з'ясував, що в невеликих межах залежність розтягування тіла лінійна щодо сили пружність. Тобто при додатку одиниці сили тіло подовжується на одиницю довжини.
Малюнок 2 – Графік залежності сили пружності від подовження тіла.
Нуль на графіку це вихідна довжина тіла. Все, що праворуч це збільшення довжини тіла. Сила пружності має негативне значення. Тобто вона прагне повернути тіло у вихідний стан. Відповідно спрямована зустрічно деформуючою силою. Все, що зліва стиснення тіла. Сила пружності позитивна.
Розтягнення струни заздрості не лише від зовнішньої сили, а й від перерізу струни. Тонка струна ще якось розтягнеться від невеликої ваги. А от якщо взяти струну, тієї ж довжини, але діаметром скажемо в 1 м. То складно собі уявити яку вагу буде потрібно для її розтягування.
Для оцінки того, як сила діє на тіло певного перерізу, вводиться поняття нормальної механічної напруги.
Формула 2 - нормальна механічна напруга.
S-площа поперечного перерізу.
Ця напруга, зрештою, пропорційна відносному подовженню тіла. Відносне подовження це відношення збільшення довжини тіла до його загальної довжини. А коефіцієнт пропорційності називається модулем Юнга. Модуль тому що значення подовження тіла береться за модулем, без урахування знака. Не береться до уваги, коротшає тіло або подовжується. Важлива зміна його довжини.
Формула 3 – Модуль Юнга.
|e|- Відносне подовження тіла.
s- нормальна напруга тіла.
Якщо тіло впливати деякою силою, його розмір і (або) форма змінюються. Цей процес називають деформацією тіла. У тілах, що зазнають деформацій, виникають сили пружності, що врівноважують зовнішні сили.
Види деформації
Усі деформації можна розділити на два види: пружні деформаціїі пластичні.
Визначення
Пружноюназивають деформацію, якщо після зняття навантаження колишні розміри тіла та його форма повністю відновлюються.
Визначення
Пластичнійвважають деформацію, при якій зміни, що з'явилися, внаслідок деформації, розміру і форми тіла, після зняття навантаження відновлюються частково.
Характер деформації залежить від
- величини та часу впливу зовнішнього навантаження;
- матеріалу тіла;
- стану тіла (температури, способів обробки тощо).
Різкої межі між пружною та пластичною деформаціями не існує. У більшості випадків малі та короткочасні деформації можна вважати пружними.
Формулювання закону Гука
Емпірично отримано, що чим більшу деформацію необхідно отримати, тим більшу силу, що деформує, слід прикласти до тіла. За величиною деформації ($\Delta l$) можна судити про величину сили:
\[\Delta l=\frac(F)(k)\left(1\right),\]
вираз (1) означає, що абсолютна величина пружної деформації прямо пропорційна прикладеної сили. Це твердження є змістом закону Гука.
При деформації подовження (стиснення) тіла виконується рівність:
де $F$ - деформуюча сила; $l_0$ - початкова довжина тіла; $l$ - довжина тіла після деформації; $k$ - коефіцієнт пружності (коефіцієнт жорсткості, жорсткість), $ \ left = \ frac (Н) (м) $. Коефіцієнт пружності залежить від матеріалу тіла, його розмірів та форми.
Так як у деформованому тілі виникають сили пружності ($F_u$), які прагнуть відновити колишні розміри та форму тілу, то часто закон Гука формулюють щодо сил пружності:
Закон Гука добре працює для деформацій, які виникають у стрижнях зі сталі, чавуну та інших твердих речовин, у пружинах. Справедливий закон Гука для деформацій розтягування та стискування.
Закон Гука для малих деформацій
Сила пружності залежить від зміни відстані між частинами того самого тіла. Слід пам'ятати, що закон Гука виконується лише малих деформацій. При великих деформаціях сила пружності не пропорційна виміру довжини, при подальшому збільшенні деформуючого впливу тіло здатне руйнуватися.
Якщо деформації тіла малі, то сили пружності можна визначати за прискоренням, яке ці сили повідомляють тілам. Якщо тіло нерухоме, то модуль сили пружності знаходять із рівності нулю векторної суми сил, які діють тіло.
Закон Гука можна записувати не тільки щодо сил, але часто його формулюють для такої величини як напруга ($sigma = frac(F)(S)$ - сила, яка діє на одиничну площу поперечного перерізу тіла), тоді для малих деформацій:
\[\sigma =Е\frac(\Delta l)(l)\ \left(4\right),\]
де $Е$ - модуль Юнга; $ \ \ frac ( \ Delta l) (l) $ - відносне подовження тіла.
Приклади завдань із розв'язанням
Приклад 1
Завдання.До сталевого троса довгою $l$, діаметром $d$ підвісили вантаж масою $m$. Яка напруга в тросі ($sigma $), а також абсолютне його подовження ($ Delta l $)?
Рішення.Зробимо малюнок.
Для того щоб знайти силу пружності, розглянемо сили, які діють на тіло, підвішене до троса, так як сила пружності дорівнюватиме за величиною силою натягу ($ overline (N) $). За другим законом Ньютона маємо:
У проекції на вісь Y рівняння (1.1) отримаємо:
За третім законом Ньютона тіло, що діє на трос з силою рівною за величиною силою $\overline(N)$, трос, діє на тіло з силою $\overline(F)$, що дорівнює$\overline(\ N,)$ але протилежного напрямки, так деформуюча трос сила ($\overline(F)$) дорівнює:
\[\overline(F)=-\overline(N\ )\left(1.3\right).\]
Під впливом деформуючої сили в тросі виникає сила пружності, що дорівнює за величиною:
Напруга в тросі ($\sigma$) знайдемо як:
\[\sigma =\frac(F_u)(S)=\frac(mg)(S)\left(1.5\right).\]
Площа S - це площа поперечного перерізу троса:
\[\sigma =\frac(4mg\ )((\pi d)^2)\left(1.7\right).\]
За законом Гука:
\[\sigma =Е\frac(\Delta l)(l)\left(1.8\right),\]
\[\frac(\Delta l)(l)=\frac(\sigma )(E)\to \Delta l=\frac(\sigma l)(E)\to \Delta l=\frac(4mgl\ ) ((pi d)^2E).
Відповідь.$\sigma =\frac(4mg\ )((\pi d)^2);\ \Delta l=\frac(4mgl\ )((\pi d)^2E)$
Приклад 2
Завдання.Яка абсолютна деформація першої пружини з двох послідовно з'єднаних пружин (рис.2), якщо коефіцієнти жорсткості пружин дорівнюють: $k_1\ і k_2$, а подовження другої пружини становить $\Delta x_2$?
Рішення.Якщо система із послідовно з'єднаних пружин перебуває у стані рівноваги, то сили натягу даних пружин однакові:
За законом Гука:
Відповідно до (2.1) та (2.2) маємо:
Виразимо з (2.3) подовження першої пружини:
\[\Delta x_1=\frac(k_2\Delta x_2)(k_1).\]
Відповідь.$\Delta x_1=\frac(k_2\Delta x_2)(k_1)$.
Законом Гуказазвичай називають лінійні співвідношення між компонентами деформацій та компонентами напруг.
Візьмемо елементарний прямокутний паралелепіпед з гранями, паралельними координатним осям, навантажений нормальною напругою σ х, рівномірно розподіленим по двох протилежних гранях (рис. 1). При цьому σ y = σ z = τ х y = τ х z = τ yz = 0.
До досягнення межі пропорційності відносне подовження дається формулою
де Емодуль пружності при розтягуванні. Для сталі Е = 2*10 5 МПатому деформації дуже малі і вимірюються у відсотках або в 1*10 5 (у тензометричних приладах, що вимірюють деформації).
Подовження елемента у напрямку осі хсупроводжується його звуженням у поперечному напрямку, що визначається компонентами деформацій
де μ - Константа, яка називається коефіцієнтом поперечного стиснення або коефіцієнтом Пуассона. Для сталі μ зазвичай приймається рівним 0,25-0,3.
Якщо аналізований елемент навантажений одночасно нормальними напругами σ x, σ y, σ z, рівномірно розподіленими за його межами, додаються деформації
Виробляючи накладення компонентів деформації, викликаних кожною з трьох напруг, отримаємо співвідношення
Ці співвідношення підтверджуються численними експериментами. Застосований метод накладанняабо суперпозиціїдля відшукання повних деформацій і напруг, викликаних декількома силами, є законним, поки деформації та напруги малі та лінійно залежать від прикладених сил. У таких випадках ми нехтуємо малими змінами розмірів тіла, що деформується, і малими переміщеннями точок застосування зовнішніх сил і засновуємо наші обчислення на початкових розмірах і початковій формі тіла.
Слід зазначити, що з дещо переміщень ще не випливає лінійність співвідношень між силами та деформаціями. Так, наприклад, у стислому силами Qстрижні, навантаженому додатково поперечною силою Рнавіть при малому прогині δ виникає додатковий момент М = Qδ, що робить завдання нелінійним. У таких випадках повні прогини не є лінійними функціями зусиль та не можуть бути отримані за допомогою простого накладання (суперпозиції).
Експериментально встановлено, що якщо дотичні напруги діють по всіх гранях елемента, спотворення відповідного кута залежить тільки від відповідних компонентів дотичної напруги.
Константа Gназивається модулем пружності при зсуві або модулем зсуву.
Загальний випадок деформації елемента від дії на нього трьох нормальних та трьох дотичних компонентів напруг можна отримати за допомогою накладання: на три лінійні деформації, що визначаються виразами (5.2а), накладаються три деформації зсуву, що визначаються співвідношеннями (5.2б). Рівняння (5.2а) та (5.2б) визначають зв'язок між компонентами деформацій та напруг і називаються узагальненим законом Гука. Покажемо тепер, що модуль зсуву Gвиражається через модуль пружності при розтягуванні Ета коефіцієнт Пуассона μ . Для цього розглянемо окремий випадок, коли σ х = σ , σ y = -σ і σ z = 0.
Виріжемо елемент abcdплощинами, паралельними осі zта нахиленими під кутом 45° до осей хі у(Рис. 3). Як випливає з умов рівноваги елемента 0 bс, нормальні напруження σ vна всіх гранях елемента abcdрівні нулю, а дотичні напруги рівні
Такий напружений стан називається чистим зрушенням. З рівнянь (5.2а) випливає, що
тобто подовження горизонтального елемента 0 cі скорочення вертикального елемента 0 b: ε y = -ε x.
Кут між гранями аbі bcзмінюється, та відповідну величину деформації зсуву γ можна знайти з трикутника 0 bс:
Звідси слідує що
Чи багато хто з нас замислювався, яким дивним чином поводяться предмети при впливі на них?
Наприклад, чому тканина, якщо ми розтягуємо її в різні боки, може довго тягнутися, а раптом порватись? І чому той же експеримент куди складніше провести з олівцем? Від чого залежить опір матеріалу? Як можна визначити, наскільки він піддається деформації чи розтягуванню?
Всі ці та багато інших питань понад 300 років тому ставив собі англійський дослідник І знайшов відповіді, які нині об'єднані під загальною назвою "Закон Гука".
Згідно з його дослідженнями, кожен матеріал має так званий коефіцієнт пружності. Це властивість, що дозволяє матеріалу розтягуватись у певних межах. Коефіцієнт пружності – величина стала. Це означає, що кожен матеріал може витримати лише певний рівень опору, після чого досягає рівня незворотної деформації.
Загалом Закон Гука можна висловити формулою:
де F – сила пружності, k – вже згаданий коефіцієнт пружності, а / x/ – зміна довжини матеріалу. Що мається на увазі під зміною цього показника? Під впливом сили якийсь предмет, що вивчається, чи це струна, гума або будь-який інший, змінюються, витягуючись або стискаючись. Зміною довжини в даному випадку вважається різниця між початковою та кінцевою довжиною предмета, що вивчається. Тобто те, на скільки витягнулася/стиснулася пружина (гума, струна тощо)
Звідси, знаючи довжину та постійний коефіцієнт пружності для даного матеріалу, можна знайти силу, з якою матеріал натягується, або силу пружності,як ще часто називають Закон Гука.
Існують також особливі випадки, за яких цей закон у своїй стандартній формі використаний бути не може. Йдеться вимірі сили деформації за умов зсуву, тобто у ситуаціях, коли деформацію виробляє якась сила, що впливає матеріал під кутом. Закон Гука при зрушенні може бути виражений таким чином:
де τ - сила, що шукається, G- постійний коефіцієнт, відомий як модуль пружності при зсуві, y - кут зсуву, та величина, на яку змінився кут нахилу предмета.