Середньовічний космос підпорядковувався суворим взаємозв'язкам усередині свого сферичного кордону, з чіткими законами кругового руху своїх небесних сфер, тоді як повсякденні закони і навіть безладдя панували поблизу Землі. Хоча геоцентричний погляд глибоко вкоренився у суспільстві, після Коперника межі цього погляду почали розмиватись. Навіть астрономи не одразу прийняли геліоцентричну систему світу. Але все ж таки пошук універсальних законів космічного порядку і прагнення до раціонального мислення, що йде від іонійської революції, вже відродилися.
Нова зірка Тихо Браге висвітлює шлях.
Серед тих тих, що шукають розумів, Тихо Браге (1546–1601) був блискучим дослідником нічного неба, який зібрав чудовий спостережний матеріал, необхідний астрономам. Протягом багатьох років він проводив акуратні візуальні спостереження планет, визначаючи їхнє становище на небі з точністю в одну хвилину дуги (1"), тоді як раніше астрономи задовольнялися точністю в 10". Тихо досяг нового рівня точності, побудувавши свій власний великий кутомірний інструмент, працюючи кожної безхмарної ночі та враховуючи різні систематичні помилки, що впливають на вимірювання положень зірок, включаючи рефракцію (зміна напрямку) світлового променя у земній атмосфері (див. рис. 6.2).
Браге був старшим сином в аристократичній сім'ї, яка жила на півдні Швеції (ця частина Швеції належала тоді Данії). На його характер могла вплинути смерть його брата-близнюка в юному віці та та обставина, що його виховували бездітні тітка та дядько. Талановитий юнак вступив до Копенгагенського університету, щоб вивчати риторику та філософію. Тут він зацікавився зірками. Приїхавши 1562 року до Лейпцигу, щоб вивчити право, він вирішив зайнятися астрономією. Поруч із любов'ю до астрономії, Браге вирізнявся запальним характером. Ще в студентські роки він уплутався в дуель на шпагах з іншим аристократом і втратив у цій битві частину носа. Все життя Браге намагався приховувати недолік своєї зовнішності за допомогою штучного металевого носа.
У 1576 Браге отримав в дар від короля Данії острів Відень. Там він збудував чудову обсерваторію Ураніборг і мав постійне забезпечення. Справа в тому, що прийомний батько Тихо Браге захворів і помер після того, як врятував короля, що потопає. Все це було досить дорого: кілька відсотків національного доходу Данії йшло на «Небесний замок» і було порівняно за вартістю та технологічним оснащенням (за мірками тієї епохи) з аналогічними параметрами космічного телескопа «Хаббл».
Але гроші потрапили до добрих рук. Рівень спостережень був піднятий на небувалу висоту, хоча обсерваторія була побудована до винаходу телескопа. Ці спостереження готували другу фазу коперніканської революції, оскільки Кеплер використовував саме спостереження Браге.
Ще до створення обсерваторії на о. Вен Тихо Браге провів спостереження нової яскравої зірки, що у листопаді 1572 року. Він писав: «Здивований її дивовижним виглядом, як битий ударом блискавки, тихо стояв я деякий час, дивлячись на цю зірку. Вона була поблизу зірок, які з античних часів зараховані до астеризму Кассіопея». Спочатку зірка була такою ж яскравою, як Венера, а потім почала поступово тьмяніти, поки зовсім не зникла через півтора роки (рис. 6.1).
Вже давно було помічено, що Місяць досить близький до Землі, оскільки він зміщується щодо зірок за зміни положення спостерігача внаслідок обертання Землі. Точні спостереження Бразі показали, що «нова» зірка не зрушила щодо зірок Кассіопеї протягом доби, ні протягом тривалого часу. Браге вирішив, що (1) ця зірка розташована набагато далі за Місяць і (2) фактично вона знаходиться на сфері нерухомих зірок. Він написав книжечку про це явище, де говорилося, що спочатку не повірив власним спостереженням, оскільки філософи, послідовники Аристотеля, стверджували, що може бути жодних змін у ефірної зоні небес. Незважаючи на це, нова зірка ясно показала, що небеса залишаються незмінними! Це важливе спостереження прославило Тихо Брага. Він продовжив свої дослідження, які відіграли критичну роль для коперніканської революції.
Мал. 6.1. Наднова, що спалахнула в 1572 в сузір'ї Кассіопея. Тихо Браге дійшов висновку, що ця Stella nova (нова зірка) повинна розташовуватися на сфері зірок, отже, ця сфера не може бути незмінною, як вважалося раніше. Сучасні спостереження набагато більш далеких наднових також призвели до найважливіших космологічних висновків.
Комета 1557 ще сильніше підірвала віру в ідеальне небо. Спостереження Бразі переконали його, що комета блукає набагато далі Місяця і навіть рухається траєкторією, яка проходить прямо крізь кришталеву сферу, що несе Сонце. Усе це суперечило традиційному думці. Нова зірка, комета та зроблені після цього висновки показали, що досить прості спостереження разом з обчисленнями та міркуваннями можуть забезпечити нас новими знаннями про космос.
Система світу Тихо Браге.
Хоча Тихо Браге і погоджувався з новою моделлю Коперника, але ознакою епохи змін стала запропонована їм нова система світу, що відрізняється від системи Птолемея. Земля залишалася фіксованою в центрі, і навколо неї зверталися Місяць та Сонце. Але всі інші планети вже не зверталися навколо Землі, а рухалися навколо Сонця, і це утримувало їх поблизу Землі. Математично модель Тихо була еквівалентною моделі Коперника. Тоді навіщо потрібна така складна побудова? Для Браге, педантичного спостерігача, труднощі моделі Коперника у тому, що річний рух Землі орбітою навколо Сонця мало викликати періодичні зміни видимого становища нерухомих зірок, звані паралактичні зміщення. Але цих змін не видно, отже або відстані до зірок дуже великі, або Земля нерухома. Браге вважав, що якби зірки дійсно були такі далекі, то їх розмір виявився б фантастично великий (у ту дотелескопічну епоху він вважав кутовий розмір зірок рівним приблизно 1 хвилині дуги, що всього в 30 разів менше сонячного диска). Але якщо Земля нерухома, немає і проблеми гігантських зірок. Крім того, немає потреби у величезних «марних» порожніх просторах, що виникають у геліоцентричній моделі світу.
Мал. 6.2. Тихо досяг найвищої точності у своїх візуальних астрономічних спостереженнях. На цьому малюнку з книги Тихо (1598) показаний його настінний квадрант. Два помічники допомагають спостерігачеві фіксувати час і записувати дані.
Цей парадокс гігантських зірок служив одним із аргументів проти теорії Коперника і був усунений, коли Галілей показав, що зірки набагато дрібніші, ніж це здається неозброєному оку. Він простягнув мотузку на тлі зоряного неба і перевірив, на якій відстані мотузка закриває зірку, що знаходиться за нею. Галілей дійшов висновку, що зірки мають ширину 5 секунд дуги (тобто 1/12 хвилини дуги). Насправді кутовий розмір зірок набагато менший, але атмосфера Землі розмиває їх зображення.
Космографічна таємниця Кеплера.
Йоганн Кеплер був великим будівельником світової системи, ймовірно, останнім, хто вважав, що математичні моделі Платона є ідеальним відображенням фізичної реальності. Його сім'я в Німеччині, мабуть, виявилася далеко не ідеальною для майбутнього серйозного вченого. Батько його був авантюристом та найманцем; він зник назавжди, коли Йоганну виповнилося 17 років. Його матері, ексцентричної особи типу відьми, загрожувала смерть на багатті за чаклунство. Її звільнили з в'язниці лише завдяки багаторічним старанням сина, який на той час став шановним астрономом. Сім'я була бідною, але Кеплер отримав стипендію для навчання у школі – навіть тоді існували стипендії для бідних, але обдарованих дітей. Потім він вступив до університету Тюбінгена для вивчення теології. Там від математика Міхаеля Местліна він дізнався про нову систему світу і став палким шанувальником Коперника. Особливе враження справило на нього те, як рух Землі пояснював задній рух планет.
Коли Кеплеру було 24 роки, йому запропонували посаду професора математики в університеті протестантського міста Грац, створеному кількома роками раніше. Після недовгих сумнівів він погодився, хоча вивчення теології ще не було завершено. У Тюбінгені теологи могли відчувати, що Кеплер дуже критичний для того, щоб проповідувати. У будь-якому разі, ця робота давала йому деяку економічну свободу та час для вивчення космології (рис. 6.3).
В університеті молодий лектор не був популярним. У перший рік викладання у нього на лекціях було лише кілька студентів, а наступного року не виявилося жодного. Але крім викладання до його обов'язків входила підготовка календаря з астрономічною інформацією та астрологічними прогнозами.
У своєму першому календарі він передбачив надзвичайно холодну зиму та турецьке вторгнення до Австрії. Пророцтва справдилися, і це зробило його знаменитим.
Мал. 6.3. Йоган Кеплер (1571-1630) на портреті 1610 року.
Кеплер був захоплений дослідженням структури Всесвіту, який на той час обмежувався Сонячною системою, оточеною сферою нерухомих зірок. Під впливом традиції піфагорійців він вважав, що має існувати математичний закон для послідовності відстаней планет від Сонця. Чи було ключем до космічної архітектури те, що кількість відомих на той час планет (шість) на одиницю перевищувала кількість правильних тіл, відомих Платону? Наприкінці першого року викладання Кеплер висунув блискучу ідею: сфери, якими рухаються планети, повинні бути такими, щоб усередині та зовні на них можна було побудувати тіла Платона (правильні опуклі багатогранники). Тому їх і шість. Він почав працювати над своєю першою книгою «Космографічна таємниця» з описом нової моделі, згідно з якою Великий Архітектор створив Всесвіт за допомогою п'яти ідеальних тіл (рис. 6.4).
Кожен правильний багатогранник складається з однакових правильних багатокутників. Ось ці тіла: куб можна зібрати з шести квадратів, а три ідеальні тіла складаються з рівносторонніх трикутників - тетраедр (4 трикутники), октаедр (8) та ікосаедр (20). А додекаедр складається із 12 п'ятикутників. Якщо одну сферу щільно вкласти всередину куба, а іншу описати навколо куба, то відношення їх радіусів дорівнюватиме 0,577. Октаедр дає таке ж співвідношення.
Сфери ікосаедра та додекаедра дають відношення 0,795, а сфери тетраедр – 0,333. Ці числа чимось нагадують стосунки відстаней від Сонця сусідніх планет. Хоча відповідність і була далеко не ідеальною, Кеплер вважав, що він вірним шляхом. Пізніше стало ясно, що ідеальні тіла навряд чи мають щось спільне із будовою Сонячної системи. Крім того, побільшало планет. Проте перша спроба Кеплера підійти до космосу з геометричних позицій відіграла важливу роль у його кар'єрі.
Мал. 6.4. В Академії Платона було доведено, що є лише п'ять правильних багатогранників. Для Платона вони представляли вогонь, землю, повітря, воду та небесну речовину. Кеплер бачив у формах можливу основу архітектури Всесвіту (у цей час Сонячна система обмежувалася сферою нерухомих зірок).
Шляхи Кеплера та Браге перетинаються.
В 1588 Тихо Браге втратив свого благодійника: король Фредерік II помер. У наступні роки його стосунки з королівським двором погіршувалися. У 1596, після коронації наступника престолу Крістіана, господаря острова Вен позбавили щорічних виплат. Після цього Тихо не міг залишатися на своєму острові. Він залишив Данію назавжди і спочатку жив у Гамбурзі, а кілька останніх років свого життя провів у Празі. Він помер у 1601 році, як кажуть, після великої вечері з поливанням. Лежачи на смертному одрі, він повторював те саме питання - чи було його життя хоч чимось корисним? І як жива відповідь на це відчайдушне запитання, біля його ліжка стояв молодик - Йоганн Кеплер.
Тихо Браге отримав книгу «Космографічна таємниця» у подарунок від Кеплера у 1597 році. Він зрозумів, що автор має бути дуже талановитим юнаком. Коли 1600 року імператор Німеччини Рудольф II призначив Бразі посаду імператорського математика у Празі, Тихо вирішив запросити Кеплера. Вперше вони зустрілися в лютому в замку Бенатек поблизу Праги, за кілька днів після страти Джордано Бруно на багатті в Римі. Кеплер залишився у Бразі до літа, потім повернувся до Граца і дізнався, що більше не потрібен університету. Він повернувся до Праги і почав допомагати Бразі. Так розпочався один із важливих періодів у житті Кеплера. Після смерті Браге в 1602 році він став імператорським математиком із зарплатою вдвічі меншою за зарплату попередника. Виконавши кропіткий аналіз спостережень Бразі за планетою Марс, Кеплер відкрив закони руху планет навколо Сонця. Можна сказати, що так було вирішено завдання Платона, поставлене за два тисячоліття до цього.
Нові закони космічного ладу.
Довго можна розповідати про те, як Кеплер прийшов до своїх нових революційних поглядів на рух планет. Вперше відвідавши Тихо Браге, він дуже зацікавився отриманням від Тихо точніших значень мінімальної та максимальної відстані планет на їхніх орбітах. Йому дуже хотілося продовжити свої спроби підігнати планетні орбіти до ідеальних тіл. Після певних сумнівів Тихо дозволив Кеплеру зібрати всі його спостереження Марса.
Спочатку Кеплер намагався зрозуміти рух Марса, слідом я старому принципу кругового руху. Після року боротьби з колами та епіциклами він дійшов висновку, що з їхньою допомогою не можна пояснити рух Марса. Фактично все упиралося в невелике відхилення у 8 упертих хвилин дуги, які Кеплер ніяк не міг пояснити за допомогою кіл. Кеплер розумів, наскільки важливо перевірити теоретичні висновки за допомогою точних спостережень. Точність Тихо, що дорівнює 2", була вищою, ніж відхилення. Кеплер зазначав, що «ці 8 хвилин дуги, які я не можу відкинути, призведуть до повної зміни астрономії».
Потім, попри вікову традицію, він використовував еліптичну орбіту для пояснення руху Марса. Еліпси були відомі ще з часів Аполлонія (див. розділ 3), який вивчав ці криві поряд з іншими конічними перерізами - гіперболою та параболою. Цікаво, що він був і автором теорії епіциклів у русі планет. Йому, як і всім іншим до Кеплера, не спадало на думку, що планети можуть рухатися еліпсами. Еліпс є витягнутою замкненою орбітою, тоді як коло - лише приватний невитягнутий варіант еліпса.
Робота всього життя Кеплера виразилася у трьох законах. Два перших з'явилися у його книзі «Нова астрономія» (1609), а третій закон – у книзі «Гармонія світу» (1619). Поданий вище перший закон формулювався так.
1. Планети обертаються навколо Сонця еліптичними орбітами, причому в одному з фокусів еліпса розташоване Сонце.
Насправді Кеплер відкрив свій другий закон раніше за перший. Він виявив, що Земля повільніше рухається своєю орбітою, коли вона далі від Сонця, і швидше - коли ближче. Швидкість переміщення траєкторією не залишається постійною при русі еліпсом навколо Сонця, а поводиться так:
2. Радіус-вектор, що з'єднує Сонце з планетою, замітає однакові площі за однаковий час.
Щоб зрозуміти другий закон, представимо область, що замітається, у вигляді трикутника з вершиною у Сонця і підставою у вигляді короткої дуги, по якій планета переміщається по орбіті за одиницю часу. Трикутник буде вузьким і витягнутим, коли планета далеко від Сонця, і широким - коли вона близько, але площі обох трикутників дорівнюватимуть (рис. 6.5).
Мал. 6.5. Перший закон Кеплера: планети обертаються навколо Сонця еліптичними орбітами. Сонце розташоване в одній із двох фокальних точок. Другий закон Кеплера: планета рухається зі змінною швидкістю, так що радіус-вектор замітає рівні площі за рівні інтервали часу (тобто чим ближче до Сонця, тим швидше рухається). Третій закон Кеплера: період звернення планети навколо Сонця залежить від її орбіти отже квадрат період пропорційний кубу середньої відстані від Сонця.
Третій закон Кеплера порівнює розміри орбіт та орбітальні періоди будь-яких двох планет. Зазвичай їх порівнюють із Землею, тому для будь-якої планети використовують як одиниця часу земний рік, а як одиниця довжини - відстань від Землі до Сонця (а. е.). Розмір орбіти (а) дорівнює половині великої осі еліпса. Розміри орбіт та тривалість повного обороту планети по орбіті (Р) пов'язані таким чином:
3. Квадрати орбітальних періодів планет пропорційні кубам півосей їх орбіт.
Цікаво подивитися, з якою точністю Кеплер міг перевірити свій третій закон, використовуючи наявні значення, наведені у «Гармонії світу». У табл. 6.1 верхній ряд представляє квадрат орбітального періоду Р кожної планети: Р2 = Р x Р (одиниця виміру - рік). А нижній ряд так само представляє куби «а» - середньої відстані від Сонця: а3 = ах ах а (в одиницях середньої відстані Землі = 1 а. е.). Відповідні спостережні помилки у верхньому та нижньому рядах практично однакові.
Таблиця 6.1. Значення орбітальних параметрів обчислені Кеплером для перевірки його третього закону.
Кеплер працював у Празі до 1612 року. Це був найплідніший час у його кар'єрі, незважаючи на безперервні економічні проблеми та особисту трагедію (померли його дружина та маленький син). На додаток до «Нової астрономії» він опублікував три книги з оптики (близько чверті з опублікованих ним робіт присвячені світла та оптики).
У 1612 році його покровитель імператор Рудольф II помер, і Кеплер переїхав у Лінц працювати викладачем, приблизно за таких же умовах, як і в Граці. Після цього він знову одружився, і його юна дружина народила йому сімох дітей, з яких двоє померли в дитинстві. У 1626 році Кеплер залишив Лінц з релігійних міркувань. Кеплер був прикладом людини, здатної вирішувати складні наукові завдання, незважаючи на безліч негараздів. В останні роки життя Кеплер писав про свої страждання, які приготувала йому дивна доля, постійно стикаючись з труднощами. І у всьому цьому він не бачив своєї провини.
Разом зі своєю великою родиною Кеплер оселився в Ульмі, де й опублікував свою останню велику роботу «Рудольфові таблиці», що містить астрономічні таблиці, що ґрунтуються на спостереженнях Бразі, нові закони руху планет та рекомендації для обчислення положень небесних об'єктів у будь-який момент часу.
Кінець життя Кеплера був принизливим. Кілька років він намагався отримати у імператора Фердинанда II недоплачену йому платню, але безрезультатно. Сподіваючись отримати свої 817 гульденів, він навіть прослужив два роки астрологом у генерала Валленштейна, героя Тридцятирічної війни. Втративши всяку надію, Кеплер сів на коня і поїхав до Регенсбурга, де засідав рейхстаг Священної Римської імперії. То справді був листопад 1630 року; довгий шлях верхи в погану погоду за зруйнованою війною Німеччини виявився надто важким для слабкого здоров'я 58-річного Кеплера. До міста він доїхав уже хворим, продав свого худого коня всього за 2 гульдени і впав у ліжко з високою температурою. За кілька днів він помер. Кеплера поховали за містом, на лютеранському цвинтарі. У роки наступної довгої війни його могила була зруйнована разом із цвинтарем.
Орбіти та сили.
Багатьох дивувала здатність планет рухатися замкнутими орбітами. Як вони знаходять свій шлях назад до тієї ж точки у просторі та повторюють ту ж витягнуту траєкторію? Щоб пояснити фізику цього руху, Кеплер залучив дві сили: одна з них веде планету по колу, а друга типу «магнетизму» змушує її відхилятися від кола. Ці дві сили якимось чином так узгоджені, що виходить ідеальний еліпс. Як ми побачимо нижче, через 50 років після смерті Кеплера Ньютон показав, що лише сили гравітації достатньо для пояснення замкнутої форми планетних орбіт.
У період життя Кеплера його роботи не отримали того визнання, на яке вони заслуговували. Він не дізнався справжню цінність своїх робіт. Для Кеплера Всесвіт все ще був кінцевим, із зірками, прикріпленими до зовнішньої сфери. Усередині цієї сфери був світ, джерело математичних законів Природи. Такою була місія Кеплера – стояти однією ногою у минулому, складаючи гороскопи, а іншою – прокладати шлях до сучасної астрономії. Він не вірив у матеріальність планетних сфер. Планети рухаються у порожньому просторі під впливом різних сил. Спостерігаючи їх, ми із захопленням згадуємо закони Кеплера. Вивчення цих закономірностей та пошук гармонії у Всесвіті зробили Кеплера попередником сучасної космології та теоретичної фізики. Коли Ньютон розробляв свою механіку та теорію гравітації, він, за його словами, «стояв на плечах гігантів». Одним із цих гігантів був Кеплер, а другим - Галілей, про якого ми розповімо в наступному розділі.
Наприкінці XVI ст. датський астроном І. Кеплер, вивчаючи рух планет, відкрив три закони їхнього руху. З цих законів І. Ньютон вивів формулу для закону всесвітнього тяжіння. Надалі, використовуючи закони механіки, І. Ньютон вирішив завдання двох тіл - вивів закони, якими одне тіло рухається у полі тяжіння іншого тіла. Він отримав три узагальнені закони Кеплера.
Перший закон Кеплера. Під дією сили тяжіння одне небесне тіло рухається в полі тяжіння іншого небесного тіла по одному з конічних перерізів – колу, еліпсу, параболі чи гіперболі (рис. 15.5).
Планети рухаються навколо Сонця еліптичною орбітою (рис. 15.6). Найближча до Сонця точка орбіти називається перигелієм, найдальша - афелієм. Лінія, що з'єднує якусь точку еліпса з фокусом, називається радіус-вектором. Відношення відстані між фокусами до великої осі (до найбільшого діаметру) називається ексцентриситетом е. Еліпс тим сильніше витягнутий, що більший його ексцентриситет. Велика піввісь еліпса а – середня відстань планети до Сонця.
Еліптичними орбітами рухаються і комети і астероїди. У кола е = 0, у еліпса 0< е < 1, у параболы е = 1, у гиперболы е >1 (див. рис. 15.5).
Рух природних і штучних супутників навколо планет, рух однієї зірки навколо іншої у подвійній системі також підкоряються цьому першому узагальненому закону Кеплера.
Другий закон Кеплера. Кожна планета рухається отже радіус-вектор планети за рівні проміжки часу описує рівні площі.
Планета проходить шлях від точки А до А і від В до В (рис. 15.7) за один і той же час. Іншими словами, планета рухається найшвидше в перигелії, а найповільніше - коли знаходиться на найбільшому видаленні (в афелії). Таким чином, другий закон Кеплера визначає швидкість руху планети. Вона тим більша, чим планета ближче до Сонця. Так, швидкість комети Галлея у перигелії дорівнює 55 км/с, а афелії 0,9 км/с.
Третій закон Кеплера. Куб великої півосі орбіти тіла, поділений на квадрат періоду його обігу і суму мас тіл, є величина стала.
Якщо Т - період обертання одного тіла навколо іншого тіла на середній відстані а, то третій узагальнений закон Кеплера записується як
а 3 /[Т 2 (М 1 + М 2)] = G/4π 2 , (15.2)
де М 1 і М 2 - маси двох тіл, що притягуються, a G - гравітаційна постійна. Для Сонячної системи маса Сонця маси будь-якої планети, і тоді
Права частина рівняння - постійна всім тіл Сонячної системи, як і стверджує третій закон Кеплера, отриманий вченим зі спостережень.
Третій узагальнений закон Кеплера дозволяє визначати маси планет щодо руху їхніх супутників, а маси подвійних зірок - за елементами їх орбіт.
Рух планет та інших небесних тіл навколо Сонця під дією сили тяжіння відбувається за трьома законами Кеплера. Ці закони дозволяють розраховувати положення планет і визначати їх маси руху супутників навколо них.
Запитання до параграфу
1. Перерахуйте основні елементи еліптичної орбіти планети.
2. Як пов'язані періоди поводження планет зі своїми середніми відстанями до Сонця?
3. Сформулюйте перший узагальнений закон Кеплера.
4. Запишіть третій узагальнений закон Кеплера.