Після попередньої артпідготовки будуть менш страшні приклади з 3-4-5 вкладеннями функцій. Можливо, наступні два приклади здадуться деяким складними, але якщо їх зрозуміти (хтось і мучиться), то майже все інше в диференціальному обчисленні здаватиметься дитячим жартом.
Приклад 2
Знайти похідну функції
Як зазначалося, під час перебування похідної складної функції, передусім, необхідно правильноРОЗІБРАТИСЯ у вкладеннях. У тих випадках, коли є сумніви, нагадую корисний прийом: беремо піддослідне значення «ікс», наприклад, і пробуємо (подумки або на чернетці) підставити це значення в «страшний вираз».
1) Спочатку нам потрібно обчислити вираз, отже, сума - найглибше вкладення.
2) Потім необхідно обчислити логарифм:
4) Потім косинус звести до куба:
5) На п'ятому кроці різниця:
6) І, нарешті, сама зовнішня функція – це квадратний корінь: 
Формула диференціювання складної функції 
застосовуються у зворотному порядку, від самої зовнішньої функції, до внутрішньої. Вирішуємо:
Начебто без помилок:
1) Беремо похідну від квадратного кореня.
2) Беремо похідну від різниці, використовуючи правило 
3) Похідна трійки дорівнює нулю. У другому доданку беремо похідну від ступеня (куба).
4) Беремо похідну від косинуса.
6) І, нарешті, беремо похідну від найглибшого вкладення.
Може здатися дуже важко, але це ще не найбільш звірячий приклад. Візьміть, наприклад, збірку Кузнєцова і ви оціните всю красу і простоту розібраної похідної. Я помітив, що схожу штуку люблять давати на іспиті, щоб перевірити, чи розуміє студент, як знаходити похідну складної функції, чи не розуміє.
Наступний приклад самостійного рішення.
Приклад 3
Знайти похідну функції
Підказка: Спочатку застосовуємо правила лінійності та правило диференціювання твору
Повне рішення та відповідь наприкінці уроку.
Настав час перейти до чогось більш компактного та симпатичного.
Не рідкісна ситуація, як у прикладі дано твір не двох, а трьох функцій. Як знайти похідну від твору трьох множників?
Приклад 4
Знайти похідну функції 
Спочатку дивимося, а чи не можна твір трьох функцій перетворити на твір двох функцій? Наприклад, якби у нас у творі було два багаточлени, то можна було б розкрити дужки. Але в прикладі всі функції різні: ступінь, експонента і логарифм.
У таких випадках необхідно послідовнозастосувати правило диференціювання твору 
два рази
Фокус у тому, що з «у» ми позначимо твір двох функцій: , а й за «ве» - логарифм: . Чому можна так зробити? А хіба 
- це не твір двох множників і правило не працює? Нічого складного немає:
Тепер залишилося вдруге застосувати правило до дужки:
Можна ще поплутатися і винести щось за дужки, але в даному випадку відповідь краще залишити саме в такому вигляді - легше перевірятиме.
Розглянутий приклад можна вирішити другим способом:
Обидва способи вирішення абсолютно рівноцінні.
Приклад 5
Знайти похідну функції
Це приклад самостійного рішення, у зразку він вирішений першим способом.
Розглянемо аналогічні приклади із дробами.
Приклад 6
Знайти похідну функції 
Тут можна йти кількома шляхами:
Або так:
Але рішення запишеться компактніше, якщо в першу чергу використовувати правило диференціювання приватного 
, Прийнявши за весь чисельник:
У принципі приклад вирішено, і якщо його залишити в такому вигляді, то це не буде помилкою. Але за наявності часу завжди бажано перевірити на чернетці, а чи не можна спростити відповідь?
Наведемо вираз чисельника до спільного знаменника і позбавимося триповерховості дробу:
Мінус додаткових спрощень полягає в тому, що є ризик припуститися помилки вже не при знаходженні похідної, а при банальних шкільних перетвореннях. З іншого боку, викладачі нерідко бракують завдання та просять «довести до пуття» похідну.
Простіший приклад для самостійного вирішення:
Приклад 7
Знайти похідну функції
Продовжуємо освоювати прийоми знаходження похідної, і зараз ми розглянемо типовий випадок, коли для диференціювання запропоновано «страшний» логарифм
Якщо g(x) та f(u) – функції своїх аргументів, що диференціюються відповідно в точках xі u= g(x), то складна функція також диференційована у точці xі знаходиться за формулою
Типова помилка під час вирішення завдань похідні - машинальне перенесення правил диференціювання простих функцій на складні функції. Вчитимемося уникати цієї помилки.
приклад 2.Знайти похідну функції
Неправильне рішення:обчислювати натуральний логарифм кожного складника в дужках та шукати суму похідних:
Правильне рішення:знову визначаємо, де "яблуко", а де "фарш". Тут натуральний логарифм від вираження у дужках - це "яблуко", тобто функція за проміжним аргументом u, а вираз у дужках - "фарш", тобто проміжний аргумент uпо незалежній змінній x.
Тоді (застосовуючи формулу 14 з похідних таблиці)
У багатьох реальних завданнях вираз із логарифмом буває дещо складнішим, тому і є урок
приклад 3.Знайти похідну функції
Неправильне рішення:
Правильне рішення.Вкотре визначаємо, де "яблуко", а де "фарш". Тут косинус від виразу у дужках (формула 7 у таблиці похідних)- це "яблуко", воно готується в режимі 1, що впливає тільки на нього, а вираз у дужках (похідна ступеня - номер 3 у таблиці похідних) - це "фарш", він готується при режимі 2, що впливає лише на нього. І як завжди поєднуємо дві похідні знаком твору. Результат:
Похідна складної логарифмічної функції - часте завдання на контрольних роботах, тому рекомендуємо відвідати урок "Виробна логарифмічна функція".
Перші приклади були складні функції, у яких проміжний аргумент з незалежної змінної був простою функцією. Але в практичних завданнях нерідко потрібно знайти похідну складної функції, де проміжний аргумент або сам є складною функцією або містить таку функцію. Що робити у таких випадках? Знаходити похідні таких функцій за таблицями та правилами диференціювання. Коли знайдено похідна проміжного аргументу, вона просто підставляється у потрібне місце формули. Нижче – два приклади, як це робиться.
Крім того, корисно знати таке. Якщо складна функція може бути представлена у вигляді ланцюжка з трьох функцій
то її похідну слід шукати як добуток похідних кожної з таких функций:
Для вирішення багатьох ваших домашніх завдань може знадобитися відкрити у нових вікнах посібники Дії зі ступенями та коріннямі Дії з дробами .
приклад 4.Знайти похідну функції
Застосовуємо правило диференціювання складної функції, не забуваючи, що в отриманому творі похідних проміжний аргумент щодо незалежної змінної xне змінюється:
Готуємо другий співмножник твору та застосовуємо правило диференціювання суми:
Другий доданок - корінь, тому
Таким чином отримали, що проміжний аргумент, що є сумою, як один із доданків містить складну функцію: зведення в ступінь - складна функція, а те, що зводиться в ступінь - проміжний аргумент по незалежній змінній x.
Тому знову застосуємо правило диференціювання складної функції:
Ступінь першого співмножника перетворимо на корінь, а диференціюючи другий співмножник, не забуваємо, що похідна константи дорівнює нулю:
Тепер можемо знайти похідну проміжного аргументу, необхідного для обчислення похідної складної функції, що вимагається в умові завдання. y:
Приклад 5.Знайти похідну функції
Спочатку скористаємося правилом диференціювання суми:
Набули суму похідних двох складних функцій. Знаходимо першу з них:
Тут зведення синуса в ступінь - складна функція, а сам синус - проміжний аргумент щодо незалежної змінної x. Тому скористаємося правилом диференціювання складної функції, принагідно виносячи множник за дужки :
Тепер знаходимо другий доданок з утворюють похідну функції y:
Тут зведення косинуса в ступінь – складна функція f, а сам косинус - проміжний аргумент щодо незалежної змінної x. Знову скористаємося правилом диференціювання складної функції:
Результат - необхідна похідна:
Таблиця похідних деяких складних функцій
Для складних функцій виходячи з правила диференціювання складної функції формула похідної простий функції приймає інший вид.
| 1. Похідна складної статечної функції, де u x |  |
| 2. Похідне коріння від виразу | |
| 3. Похідна показової функції |  |
| 4. Окремий випадок показової функції | |
| 5. Похідна логарифмічна функція з довільною позитивною основою а |  |
| 6. Похідна складної логарифмічної функції, де u- Диференційована функція аргументу x | |
| 7. Похідна синуса |  |
| 8. Похідна косинуса |  |
| 9. Похідна тангенса |  |
| 10. Похідна котангенсу |  |
| 11. Похідна арксинусу |  |
| 12. Похідна арккосинусу |  |
| 13. Похідна арктангенса |  |
| 14. Похідна арккотангенса |  |
Функції складного вигляду не дуже коректно називати терміном "складна функція". Наприклад, виглядає дуже переконливо, але складною ця функція не є, на відміну від .
У цій статті ми розберемося з поняттям складної функції, навчимося виявляти її у складі елементарних функцій, дамо формулу знаходження її похідної та докладно розглянемо рішення характерних прикладів.
При вирішенні прикладів постійно використовуватимемо таблицю похідних і правила диференціювання, так що тримайте їх перед очима.
Складна функція- Це функція, аргументом якої також є функція.
На наш погляд, це визначення найбільш зрозуміле. Умовно можна позначати як f(g(x)). Тобто, g(x) як аргумент функції f(g(x)) .
Наприклад, нехай f – функція арктангенса, а g(x) = lnx є функція натурального логарифму, тоді складна функція f(g(x)) є arctg(lnx) . Ще приклад: f - функція зведення в четвертий ступінь, а 
- ціла раціональна функція (дивіться ), тоді 
.
У свою чергу, g(x) може бути складною функцією. Наприклад, 
. Умовно такий вираз можна позначити як 
. Тут f - функція синуса, - функція вилучення квадратного кореня, 
- Дробова раціональна функція. Логічно припустити, що рівень вкладеності функцій може бути будь-яким кінцевим натуральним числом .
Часто можна чути, що складну функцію називають композицією функцій.
Формула знаходження похідної складної функції.
приклад.
Знайти похідну складної функції.
Рішення.
У цьому прикладі f – функція зведення квадрат, а g(x) = 2x+1 – лінійна функція.
Ось докладне рішення з використанням формули похідної складної функції: 
Знайдемо цю похідну, попередньо спростивши вид вихідної функції.
Отже,
Як бачите, результати збігаються.
Намагайтеся не плутати, яка функція є f , а яка g(x) .
Пояснимо це прикладом на уважність.
приклад.
Знайти похідні складних функцій та .
Рішення.
У першому випадку f – це функція зведення квадрат, а g(x) – функція синуса, тому
.
У другому випадку f – це функція синуса, а – статечна функція. Отже, за формулою добутку складної функції маємо
Формула похідної функції має вигляд 
приклад.
Продиференціювати функцію 
.
Рішення.
У цьому прикладі складну функцію можна умовно записати як 
, де - функція синуса, функція зведення в третій ступінь, функція логарифмування на підставі e, функція взяття арктангенса і лінійна функція відповідно.
За формулою похідної складної функції 
Тепер знаходимо
Збираємо воєдино отримані проміжні результати: 
Страшного нічого немає, розбирайте складні функції як матрьошки.
На цьому можна було б закінчити статтю, якби жодне але…
Бажано чітко розуміти, коли застосовувати правила диференціювання та таблицю похідних, а коли формулу похідної складної функції.
ЗАРАЗ БУДЬТЕ ОСОБЛИВО УВАЖНІ. Ми поговоримо про відмінність функцій від складних функцій. Від того, наскільки Ви бачите цю відмінність, і залежатиме успіх при знаходженні похідних.
Почнемо із простих прикладів. функцію 
можна розглядати як складну: g(x) = tgx , 
. Отже, можна відразу застосовувати формулу похідної складної функції 
А ось функцію 
складною вже назвати не можна.
Ця функція є сумою трьох функцій , 3tgx і 1 . Хоча - є складною функцією: - статечна функція (квадратична парабола), а f - функція тангенса. Тому спочатку застосовуємо формулу диференціювання суми: 
Залишилося знайти похідну складної функції: 
Тому.
Сподіваємося, що суть Ви вловили.
Якщо дивитися ширше, можна стверджувати, що функції складного виду можуть входити до складу складних функцій і складні функції можуть бути складовими частинами функцій складного виду.
Як приклад розберемо за складовими частинами функцію 
.
По першеце складна функція, яку можна представити у вигляді , де f - функція логарифмування на підставі 3 , а g(x) є сума двох функцій 
і 
. Тобто, 
.
По-друге, Займемося функцією h (x). Вона є відношенням до 
.
Це сума двох функцій та 
, де 
- Складна функція з числовим коефіцієнтом 3 . - функція зведення в куб; - функція косинуса; - лінійна функція.
Це сума двох функцій і , де 
- складна функція, - функція експоненцювання, - статечна функція.
Таким чином, .
По-третє, переходимо до , яка є твір складної функції 
та цілої раціональної функції
Функція зведення в квадрат, - функція логарифмування на підставі e.
Отже, .
Підсумуємо: 
p align="justify"> Тепер структура функції зрозуміла і стало видно, які формули і в якій послідовності застосовувати при її диференціюванні.
У розділі диференціювання функції (знаходження похідної) Ви можете ознайомитись із вирішенням подібних завдань.
Похідна
Обчислення похідної від математичної функції (диференціювання) є частою завданням під час вирішення вищої математики. Для простих (елементарних) математичних функцій це досить простою справою, оскільки вже давно складені і легко доступні таблиці похідних для елементарних функцій. Однак, знаходження похідної складної математичної функції не є тривіальним завданням і часто потребує значних зусиль та тимчасових витрат.
Знайти похідну онлайн
Наш онлайн сервіс дозволяє позбутися безглуздих довгих обчислень та знайти похідну онлайнза одну мить. Причому скориставшись нашим сервісом на сайті www.сайт, ви можете обчислити похідну онлайняк від елементарної функції, так і від дуже складної, яка не має рішення в аналітичному вигляді. Головними перевагами нашого сайту в порівнянні з іншими є: 1) немає жорстких вимог до способу введення математичної функції для обчислення похідної (наприклад, при введенні функції синус ікс ви можете ввести її як sin x або sin (x) або sin [x] і т.д. д.); 2) обчислення похідної онлайн відбувається миттєво як онлайні абсолютно безкоштовно; 3) ми дозволяємо знаходити похідну від функції будь-якого порядку, Змінити порядок похідної дуже легко і зрозуміло; 4) ми дозволяємо знайти похідну майже від будь-якої математичної функції онлайн, навіть дуже складною, недоступною для вирішення іншими сервісами. Відповідь завжди точна і не може містити помилки.
Використання нашого сервера дозволить вам 1) обчислити похідну онлайн за вас, позбавивши тривалих і стомлюючих обчислень, в ході яких ви могли б припуститися помилки або друкарської помилки; 2) якщо ви обчислюєте похідну математичної функції самостійно, ми надаємо вам можливість порівняти отриманий результат з обчисленнями нашого сервісу і переконатися у вірності рішення чи знайти помилку, що закралася; 3)пользоваться нашим сервісом замість використання таблиць похідних простих функцій, де найчастіше потрібен час перебування потрібної функції.
Все, що від вас потрібно, щоб знайти похідну онлайн- це скористатися нашим сервісом на
Функції складного вигляду який завжди підходять під визначення складної функції. Якщо є функція виду y = sin x - (2 - 3) · r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11, то її не можна вважати складною на відміну від y = sin 2 x.
Ця стаття покаже поняття складної функції та її виявлення. Попрацюємо з формулами знаходження похідної із прикладами рішень у висновку. Застосування таблиці похідних та правила диференціювання помітно зменшують час для знаходження похідної.
Основні визначення
Визначення 1Складною функцією вважається така функція, яка аргумент також є функцією.
Позначається це так: f (g (x)) . Маємо, що функція g(x) вважається аргументом f(g(x)).
Визначення 2
Якщо є функція f і є функцією котангенсу, тоді g(x) = ln x – це функція натурального логарифму. Отримуємо, що складна функція f(g(x)) запишеться як arctg(lnx). Або функція f , що є функцією зведеної в 4 ступінь, де g (x) = x 2 + 2 x - 3 вважається цілою раціональною функцією, отримуємо, що f (g (x)) = (x 2 + 2 x - 3) 4 .
Очевидно, що g(x) може бути складною. З прикладу y = sin 2 x + 1 x 3 - 5 видно, що значення g має кубічний корінь із дробом. Даний вираз можна позначати як y = f (f 1 (f 2 (x))) . Звідки маємо, що f – це функція синуса, а f 1 – функція, що розташовується під квадратним коренем, f 2 (x) = 2 x + 1 x 3 – 5 – дробова раціональна функція.
Визначення 3
Ступінь вкладеності визначено будь-яким натуральним числом і записується як y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x))))))))).
Визначення 4
Поняття композиція функції належить до кількості вкладених функцій за умовою завдання. Для вирішення використовується формула знаходження похідної складної функції виду
(f(g(x))) "=f"(g(x)) · g"(x)
Приклади
Приклад 1Знайти похідну складної функції виду y = (2 x + 1) 2 .
Рішення
За умовою видно, що f є функцією зведення квадрат, а g (x) = 2 x + 1 вважається лінійною функцією.
Застосуємо формулу похідної для складної функції та запишемо:
f "(g (x)) = ((g (x)) 2)" = 2 · (g (x)) 2 - 1 = 2 · g (x) = 2 · (2 x + 1); g " (x) = (2 x + 1) " = (2 x) " + 1 " = 2 · x " + 0 = 2 · 1 · x 1 - 1 = 2 ⇒ (f (g (x))) "= f "(g (x)) · g "(x) = 2 · (2 x + 1) · 2 = 8 x + 4
Необхідно знайти похідну зі спрощеним вихідним виглядом функції. Отримуємо:
y = (2 x + 1) 2 = 4 x 2 + 4 x + 1
Звідси маємо, що
y " = (4 x 2 + 4 x + 1) " = (4 x 2) " + (4 x) " + 1 " = 4 · (x 2) " + 4 · (x) " + 0 = = 4 · 2 · x 2 - 1 + 4 · 1 · x 1 - 1 = 8 x + 4
Результати збіглися.
При вирішенні завдань такого виду важливо розуміти, де розташовуватиметься функція виду f і g (x) .
Приклад 2
Слід знайти похідні складних функцій виду y = sin 2 x та y = sin x 2 .
Рішення
Перший запис функції свідчить, що f є функцією зведення квадрат, а g (x) – функцією синуса. Тоді отримаємо, що
y " = (sin 2 x) " = 2 · sin 2 - 1 x · (sin x) " = 2 · sin x · cos x
Другий запис показує, що f є функцією синуса, а g(x) = x 2 позначаємо статечну функцію. Звідси випливає, що добуток складної функції запишемо як
y " = (sin x 2) " = cos (x 2) · (x 2) " = cos (x 2) · 2 · x 2 - 1 = 2 · x · cos (x 2)
Формула для похідної y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))))))) запишеться як y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (. . .) f n (x)))))) · f 1 "(f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))))) · · f 2 " (f 3 (. . . (f n (x))) )) · . . . · f n "(x)
Приклад 3
Знайти похідну функції y = sin (ln 3 a r c t g (2 x)).
Рішення
Даний приклад показує складність запису та визначення розташування функцій. Тоді y = f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))))) позначимо, де f , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 (x) є функцією синуса, функцією зведення в 3 ступінь, функцією з логарифмом та основою е, функцією арктангенсу та лінійною.
З формули визначення складної функції маємо, що
y " = f "(f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) · f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x))))) · · f 2 " (f 3 (f 4 (x))) · f 3 "(f 4 (x)) · f 4 " (x)
Отримуємо, що слід знайти
- f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) як похідна синуса по таблиці похідних, тоді f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) ) = cos (ln 3 a r c t g (2 x)).
- f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) як похідну статечну функцію, тоді f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) = 3 · ln 3 - 1 a r c t g (2 x) = 3 · ln 2 a r c t g (2 x) .
- f 2 "(f 3 (f 4 (x))) як похідна логарифмічна, тоді f 2 "(f 3 (f 4 (x))) = 1 a r c t g (2 x) .
- f 3 "(f 4 (x)) як похідний арктангенса, тоді f 3 "(f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2 .
- При знаходженні похідної f 4 (x) = 2 x зробити винесення 2 за знак похідної із застосуванням формули похідної статечної функції з показником, що дорівнює 1 тоді f 4 " (x) = (2 x) " = 2 · x " = 2 · 1 · x 1 - 1 = 2 .
Проводимо об'єднання проміжних результатів та отримуємо, що
y " = f "(f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) · f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x))))) · · f 2 " (f 3 (f 4 (x))) · f 3 "(f 4 (x)) · f 4 " (x) = = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) · 3 · ln 2 a r c t g (2 x) · 1 a r c t g (2 x) · 1 1 + 4 x 2 · 2 = = 6 · cos (ln 3 a r c t g (2 x)) · ln 2 a r c t g (2 x) a r c t g (2 x) · (1 + 4 x 2)
Розбір таких функцій нагадує матрьошки. Правила диференціювання не завжди можуть бути застосовані у явному вигляді за допомогою таблиці похідних. Найчастіше потрібно застосовувати формулу знаходження похідних складних функцій.
Існують деякі відмінності складного виду складних функцій. При явному вмінні це розрізняти, знаходження похідних даватиме особливо легко.
Приклад 4
Необхідно розглянути на наведенні такого прикладу. Якщо є функція виду y = t g 2 x + 3 t g x + 1 , тоді її можна розглянути як складний вид g (x) = t g x , f (g) = g 2 + 3 g + 1 . Очевидно, що необхідне застосування формули для складної похідної:
f "(g (x)) = (g 2 (x) + 3 g (x) + 1)" = (g 2 (x)) "+ (3 g (x))" + 1 " = = 2 · g 2 - 1 (x) + 3 · g "(x) + 0 = 2 g (x) + 3 · 1 · g 1 - 1 (x) = = 2 g (x) + 3 = 2 t g x + 3; g "(x) = (t g x)" = 1 cos 2 x ⇒ y " = (f (g (x)))" = f "(g (x)) · g "(x) = (2 t g x + 3 ) · 1 cos 2 x = 2 t g x + 3 cos 2 x
Функція виду y = t g x 2 + 3 t g x + 1 не вважається складною, оскільки має суму t g x 2 3 t g x і 1 . Однак, t g x 2 вважається складною функцією, то отримуємо статечну функцію виду g (x) = x 2 і f є функцією тангенса. Для цього слід продиференціювати за сумою. Отримуємо, що
y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + (3 t g x) " + 1 " = = (t g x 2) " + 3 · (t g x) " + 0 = (t g x 2) " + 3 cos 2 x
Переходимо до знаходження похідної складної функції (t g x 2) " :
f "(g (x)) = (t g (g (x)))" = 1 cos 2 g (x) = 1 cos 2 (x 2) g "(x) = (x 2)" = 2 · x 2 - 1 = 2 x ⇒ (t g x 2) "= f "(g (x)) · g "(x) = 2 x cos 2 (x 2)
Отримуємо, що y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x
Функції складного виду можуть бути включені до складу складних функцій, причому самі складні функції можуть бути складовими складного функції.
Приклад 5
Наприклад розглянемо складну функцію виду y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x · (x 2 + 1)
Ця функція може бути представлена у вигляді y = f (g (x)) , де значення f є функцією логарифму на підставі 3 , а g (x) вважається сумою двох функцій виду h (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 і k(x) = ln 2 x · (x 2 + 1) . Очевидно, що y = f(h(x) + k(x)) .
Розглянемо функцію h(x) . Це відношення l(x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 к m (x) = e x 2 + 3 3
Маємо, що l(x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n(x) + p(x) є сумою двох функцій n(x) = x 2 + 7 та p(x) = 3 cos 3 (2 x + 1) , де p (x) = 3 · p 1 (p 2 (p 3 (x))) є складною функцією з числовим коефіцієнтом 3 а p 1 - функцією зведення в куб, p 2 функцією косинуса, p 3 (x) = 2 x + 1 – лінійною функцією.
Отримали, що m (x) = e x 2 + 3 3 = q (x) + r (x) є сумою двох функцій q (x) = e x 2 і r (x) = 3 3 де q (x) = q 1 (q 2 (x)) – складна функція, q 1 – функція з експонентою, q 2 (x) = x 2 – статечна функція.
Звідси видно, що h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 · p 1 (p 2 ( p 3 (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)
При переході до виразу виду k(x) = ln 2 x · (x 2 + 1) = s (x) · t (x) видно, що функція представлена у вигляді складної s(x) = ln 2 x = s 1 ( s 2 (x)) з цілою раціональною t (x) = x 2 + 1 , де s 1 є функцією зведення в квадрат, а s 2 (x) = ln x - логарифмічної з основою е.
Звідси випливає, що вираз набуде вигляду k (x) = s (x) · t (x) = s 1 (s 2 (x)) · t (x) .
Тоді отримаємо, що
y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x · (x 2 + 1) = = f n (x) + 3 · p 1 (p 2 (p 3 (x))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) · t (x)
За структурами функції стало явно, як і які формули необхідно застосовувати для спрощення вираження за його диференціювання. Для ознайомлення подібних завдань і для поняття їх вирішення необхідно звернутися до пункту диференціювання функції, тобто знаходження її похідної.
Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter