На цій сторінці ви знайдете всі основні тригонометричні формули, які допоможуть вам вирішувати багато вправ, значно спростивши вираз.
Тригонометричні формули - математичні рівності для тригонометричних функцій, які виконуються за всіх допустимих значень аргументу.
Формулами задаються співвідношення між основними тригонометричними функціями – синусом, косінусом, тангенсом, котангенсом.
Синус кута – це координата y точки (ордината) на одиничному колі. Косинус кута – це координата x точки (абсцис).
Тангенс та котангенс – це, відповідно, співвідношення синуса до косінусу і навпаки.
`sin\alpha,\cos\alpha`
`tg \\alpha=\frac(sin\\alpha)(cos\\alpha), `` \alpha\ne\frac\pi2+\pi n, \ n \in Z`
`ctg \\alpha=\frac(cos\\alpha)(sin\\alpha), `` \alpha\ne\pi+\pi n, \ n \in Z`
І дві, що використовуються рідше – секанс, косеканс. Вони позначають співвідношення 1 до косинусу та синусу.
`sec \\alpha=\frac(1)(cos\\alpha),`` \alpha\ne\frac\pi2+\pi n,\n \in Z`
` cosec \ \ alpha = \ frac (1) (sin \ \ alpha), `` \ alpha \ ne \ pi + \ pi n, \ n \ in Z `
З визначень тригонометричних функцій видно, які знаки вони мають у кожній чверті. Знак функції залежить тільки від того, у якій із чвертей розташовується аргумент.
При зміні символу аргументу з "+" на "-" тільки функція косинус не змінює свого значення. Вона називається парною. Її графік симетричний щодо осі ординат.
Інші функції (синус, тангенс, котангенс) непарні. При зміні символу аргументу з «+» на «-» їх значення також змінюється негативне. Їхні графіки симетричні щодо початку координат.
`sin(-\alpha)=-sin \\alpha`
`cos(-\alpha)=cos \\alpha`
`tg(-\alpha)=-tg \\alpha`
`ctg(-\alpha)=-ctg \\alpha`
Основні тригонометричні тотожності
Основні тригонометричні тотожності - це формули, що встановлюють зв'язок між тригонометричними функціями одного кута (`sin \ alpha, \ cos \ \ alpha, \ tg \ alpha, \ ctg \ \ alpha`) і які дозволяють знаходити значення кожної з цих функцій через будь-яку відому іншу.
`sin^2 \alpha+cos^2 \alpha=1`
`tg \ \alpha \cdot ctg \ \alpha=1, \ \alpha\ne\frac(\pi n) 2, \ n \in Z`
`1+tg^2 \alpha=\frac 1(cos^2 \alpha)=sec^2 \alpha, `` \alpha\ne\frac\pi2+\pi n, \ n \in Z`
`1+ctg^2 \alpha=\frac 1(sin^2 \alpha)=cosec^2 \alpha, `` \alpha\ne\pi n, \ n \in Z`
Формули суми та різниці кутів тригонометричних функцій
Формули складання та віднімання аргументів виражають тригонометричні функції суми або різниці двох кутів через тригонометричні функції цих кутів.
`sin(\alpha+\beta)=` `sin \ \alpha\ cos \ \beta+cos \ \alpha\ sin \ beta`
` sin ( \ alpha - \ beta ) = `` sin \ \ alpha \ cos \ \ beta - cos \ \ alpha \ sin \ \ beta `
`cos(\alpha+\beta)=` `cos \ \alpha\ cos \ \beta-sin \ \alpha\ sin \ \beta`
`cos(\alpha-\beta)=` `cos \ \alpha\ cos \ \beta+sin \ alpha\ sin \ beta`
`tg(\alpha+\beta)=\frac(tg \ \alpha+tg \ \beta)(1-tg \ \alpha\ tg \ \beta)`
`tg(\alpha-\beta)=\frac(tg \ \alpha-tg \ \beta)(1+tg \ \alpha \ tg \ \beta)`
`ctg(\alpha+\beta)=\frac(ctg \ \alpha \ ctg \ \beta-1)(ctg \ \beta+ctg \ \alpha)`
`ctg(\alpha-\beta)=\frac(ctg \ \alpha\ ctg \ \beta+1)(ctg \ \beta-ctg \ \alpha)`
Формули подвійного кута
` sin \ 2 \ alpha = 2 \ sin \ \ alpha \ cos \ \ alpha = `` frac (2 \ tg \ \ alpha) (1 + tg ^ 2 \ alpha) = \ frac (2 \ ctg \ \ alpha )(1+ctg^2 \alpha)=` `\frac 2(tg \ \alpha+ctg \ \alpha)`
`cos \ 2\alpha=cos^2 \alpha-sin^2 \alpha=``1-2 \ sin^2 \alpha=2 \ cos^2 \alpha-1=` `frac(1-tg^ 2\alpha)(1+tg^2\alpha)=\frac(ctg^2\alpha-1)(ctg^2\alpha+1)=` `frac(ctg \ alpha-tg \ alpha) (ctg \ alpha + tg \ alpha)`
`tg \ 2\alpha=\frac(2 \ tg \ \alpha)(1-tg^2 \alpha)=``\frac(2 \ ctg \ \alpha)(ctg^2 \alpha-1)=` `\frac 2( \ ctg \ \alpha-tg \ \alpha)`
`ctg \ 2\alpha=\frac(ctg^2 \alpha-1)(2 \ ctg \ \alpha)=``\frac ( \ ctg \ \alpha-tg \ \alpha)2`
Формули потрійного кута
`sin \ 3\alpha=3 \ sin \ \alpha-4sin^3 \alpha`
`cos \ 3 \ alpha = 4 cos ^ 3 \ alpha-3 \ cos \ \ alpha`
`tg \ 3\alpha=\frac(3 \ tg \ \alpha-tg^3 \alpha)(1-3 \ tg^2 \alpha)`
`ctg \ 3\alpha=\frac(ctg^3 \alpha-3 \ ctg \ \alpha)(3 \ ctg^2 \alpha-1)`
Формули половинного кута
`sin \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1-cos \ \alpha)2)`
`cos \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1+cos \ \alpha)2)`
`tg \ frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1-cos \ alpha)(1+cos \ alpha))=` `frac (sin \ alpha)(1+cos \ \ alpha)=\frac (1-cos \ alpha)(sin \ alpha)`
`ctg \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1+cos \ \alpha)(1-cos \ \alpha))=``\frac (sin \ \alpha)(1-cos \ \ alpha)=\frac (1+cos \ alpha)(sin \ alpha)`
Формули половинних, подвійних і потрійних аргументів виражають функції `sin, \ cos, \ tg, \ ctg` цих аргументів (`\frac(\alpha)2, \ 2\alpha, \ 3\alpha, ... ') через ці ж функції аргументу `alpha`.
Висновок їх можна отримати з попередньої групи (складання та віднімання аргументів). Наприклад, тотожності подвійного кута легко отримати, замінивши `beta` на `alpha`.
Формули зниження ступеня
Формули квадратів (кубів і т. д.) тригонометричних функцій дозволяють перейти від 2,3, ... ступеня до тригонометричних функцій першого ступеня, але кратних кутів (`\alpha, \ 3\alpha, \ ...' або `2\alpha, \ 4 \ alpha, \ ... `).
`sin^2 \alpha=\frac(1-cos \ 2\alpha)2,`` (sin^2 \frac \alpha 2=\frac(1-cos \ \alpha)2)`
`cos^2 \alpha=\frac(1+cos \ 2\alpha)2,`` (cos^2 \frac \alpha 2=\frac(1+cos \ alpha)2)`
`sin^3 \alpha=\frac(3sin \ \alpha-sin \ 3\alpha)4`
`cos^3 \alpha=\frac(3cos \ \alpha+cos \ 3\alpha)4`
`sin^4 \alpha=\frac(3-4cos \ 2\alpha+cos \ 4\alpha)8`
`cos^4 \alpha=\frac(3+4cos \ 2\alpha+cos \ 4\alpha)8`
Формули суми та різниці тригонометричних функцій
Формули являють собою перетворення суми та різниці тригонометричних функцій різних аргументів на твір.
`sin \ \alpha+sin \ \beta=` `2 \ sin \frac(\alpha+\beta)2 \ cos \frac(\alpha-\beta)2`
`sin \ \alpha-sin \ \beta=` `2 \ cos \frac(\alpha+\beta)2 \ sin \frac(\alpha-\beta)2`
` cos \ \ alpha + cos \ \ beta = `` 2 \ cos \ frac ( \ alpha + \ beta ) 2 \ cos \ frac ( \ alpha - beta )2 `
`cos \ \alpha-cos \ \beta=` `-2 \ sin \frac(\alpha+\beta)2 \ sin \frac(\alpha-\beta)2=` `2 \ sin \frac(\alpha+\) beta)2 \ sin \frac(\beta-\alpha)2`
`tg \ \alpha \pm tg \ \beta=\frac(sin(\alpha \pm \beta))(cos \ \alpha \ cos \ \beta)`
`ctg \ \alpha \pm ctg \ \beta=\frac(sin(\beta \pm \alpha))(sin \ \alpha \ sin \ \beta)`
`tg \ \alpha \pm ctg \ \beta=``\pm \frac(cos(\alpha \mp \beta))(cos \ \alpha \ sin \ beta)`
Тут відбувається перетворення додавання та віднімань функцій одного аргументу на твір.
` cos \ \ alpha + sin \ \ alpha = \ sqrt (2) \ cos ( \ frac ( \ pi) 4- \ alpha)`
`cos \ \alpha-sin \ \alpha=\sqrt(2) \ sin (\frac(\pi)4-\alpha)`
`tg \ alpha+ctg \ \ alpha = 2 \ cosec \ 2 \ alpha; `` tg \ \ alpha-ctg \ \ alpha = -2 \ ctg \ 2 \ alpha
Наступні формули перетворюють суму та різницю одиниці та тригонометричної функції у добуток.
`1 + cos \ \ alpha = 2 \ cos ^ 2 \ frac ( \ alpha) 2 `
`1-cos \\alpha=2\sin^2\frac(\alpha)2`
`1 + sin \ \ alpha = 2 \ cos ^ 2 (\ frac (\ pi) 4-\ frac ( \ alpha) 2) `
`1-sin \ alpha=2 \ sin^2 (\frac (\pi) 4-\frac(\alpha)2)`
`1 \pm tg \ \alpha=\frac(sin(\frac(\pi)4 \pm \alpha))(cos \frac(\pi)4 \ cos \ \alpha)=` `\frac(\sqrt (2) sin(\frac(\pi)4 \pm \alpha))(cos \ \alpha)`
`1 \pm tg \ alpha \ tg \ \ beta = \ frac (cos (\ alpha \ mp \ beta)) (cos \ \ alpha \ cos \ \ beta); `` \ ctg \ \ alpha \ ctg \ \ beta \pm 1=\frac(cos(\alpha \mp \beta))(sin \ \alpha \ sin \ \beta)`
Формули перетворення творів функцій
Формули перетворення твору тригонометричних функцій з аргументами '\alpha' і '\beta' на суму (різницю) цих аргументів.
`sin \ \ alpha \ sin \ \ beta = `` \frac(cos(\alpha - \beta)-cos(\alpha + \beta))(2)`
`sin\alpha \ cos\beta =` `\frac(sin(\alpha - \beta)+sin(\alpha + \beta))(2)`
` cos \ \ alpha \ cos \ \ beta =` `\frac(cos(\alpha - \beta)+cos(\alpha + \beta))(2)`
`tg \ \ alpha \ tg \ \ beta = `` frac (cos ( \ alpha - \ beta) - cos ( \ alpha + \ beta)) ( cos ( \ alpha - \ beta) + cos ( \ alpha + \ beta)) = ``\frac(tg\alpha + tg\beta)(ctg\alpha + ctg\beta)`
`ctg \ \alpha \ ctg \ \beta =` `frac(cos(\alpha - \beta) + cos(\alpha + \beta)) (cos(\alpha - \beta)-cos(\alpha + \ beta)) = ``frac(ctg\alpha + ctg\beta)(tg\alpha+tg\beta)`
`tg \ \alpha \ ctg \ \beta =` `frac(sin(\alpha - \beta) + sin(\alpha + \beta)) (sin(\alpha + \beta)-sin(\alpha - \ beta))`
Універсальна тригонометрична підстановка
Ці формули виражають тригонометричні функції через тангенс половинного кута.
`sin \ \alpha= \frac(2tg\frac(\alpha)(2))(1 + tg^(2)\frac(\alpha)(2)), `` \alpha\ne \pi +2\ pi n, n \in Z`
`cos \ \ alpha = \ frac (1 - tg ^ (2) \ frac (\ alpha) (2)) (1 + tg ^ (2) \ frac (\ alpha) (2)), `` \ alpha \ ne \pi +2\pi n, n \in Z`
`tg \ \ alpha = \ frac (2tg \ frac (\ alpha) (2)) (1 - tg ^ (2) \ frac (\ alpha) (2)), `` \ alpha \ ne \ pi +2 \ pi n, n \in Z, `` \alpha \ne \frac(\pi)(2)+ \pi n, n \in Z`
`ctg \ \alpha = \frac(1 - tg^(2)\frac(\alpha)(2))(2tg\frac(\alpha)(2)), `` \alpha \ne \pi n, n \in Z, ``\alpha \ne \pi + 2\pi n, n \in Z`
Формули наведення
Формули приведення можна одержати, використовуючи такі властивості тригонометричних функцій, як періодичність, симетричність, властивість зсуву даний кут. Вони дозволяють функції довільного кута перетворити на функції, кут яких знаходиться в межі між 0 і 90 градусами.
Для кута (`\frac (\pi)2 \pm \alpha`) або (`90^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (\pi)2 - \alpha) = cos \ \ alpha; `` sin (\frac (\pi)2 + \alpha) = cos \ \ alpha`
`cos(\frac(\pi)2 - \alpha)=sin \\alpha;``cos(\frac(\pi)2 + \alpha)=-sin \alpha`
`tg(\frac(\pi)2 - \alpha) = ctg \\alpha;``tg(\frac(\pi)2 + \alpha)=-ctg \\alpha`
`ctg(\frac(\pi)2 - \alpha)=tg \\alpha;``ctg(\frac(\pi)2 + \alpha)=-tg \\alpha`
Для кута (`\pi \pm \alpha`) або (`180^\circ \pm \alpha`):
` sin (\pi - \ alpha) = sin \ \ alpha; `` sin (\pi + \ alpha) = - sin \ \ alpha`
`cos(\pi - \alpha)=-cos \\alpha;``cos(\pi + \alpha)=-cos \\alpha`
`tg(\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;`` tg(\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(\pi - \alpha) = -ctg \ \alpha;`` ctg(\pi + \alpha) = ctg \ \alpha`
Для кута (`\frac (3\pi)2 \pm \alpha`) або (`270^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac(3\pi)2 - \alpha)=-cos \\alpha;``sin(\frac(3\pi)2 + \alpha)=-cos\alpha`
`cos(\frac(3\pi)2 - \alpha)=-sin \\alpha;``cos(\frac(3\pi)2 + \alpha)=sin \\alpha`
`tg(\frac(3\pi)2 - \alpha)=ctg \\alpha;``tg(\frac(3\pi)2 + \alpha)=-ctg \\alpha`
`ctg(\frac(3\pi)2 - \alpha) = tg \\alpha;`` ctg(\frac(3\pi)2 + \alpha)=-tg \\alpha`
Для кута (`2\pi \pm \alpha`) або (`360^\circ \pm \alpha`):
` sin (2 \ pi - \ alpha) = - sin \ \ alpha; `` sin (2 \ pi + \ alpha) = sin \ \ alpha`
` cos (2 \ pi - \ alpha) = cos \ \ alpha; `` cos (2 \ pi + \ alpha) = cos \ \ alpha`
`tg(2\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;`` tg(2\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(2\pi - \alpha) = -ctg \ \ alpha; `` ctg (2 \ pi + \ alpha) = ctg \ \ alpha `
Вираз одних тригонометричних функцій через інші
`sin \ \alpha=\pm \sqrt(1-cos^2 \alpha)=` `\frac(tg \ \alpha)(\pm \sqrt(1+tg^2 \alpha))=\frac 1( \pm \sqrt(1+ctg^2 \alpha))`
`cos \ \alpha=\pm \sqrt(1-sin^2 \alpha)=` `\frac 1(\pm \sqrt(1+tg^2 \alpha))=\frac (ctg \ \alpha)( \pm \sqrt(1+ctg^2 \alpha))`
`tg \ \alpha=\frac (sin \ \alpha)(\pm \sqrt(1-sin^2 \alpha))=``\frac (\pm \sqrt(1-cos^2 \alpha))( cos \ \ alpha) = \ frac 1 (ctg \ \ alpha)`
`ctg \ \alpha=\frac (\pm \sqrt(1-sin^2 \alpha))(sin \ \alpha)=` `frac (cos \ \alpha)(\pm \sqrt(1-cos^ 2 \alpha))=\frac 1(tg \ \alpha)`
Тригонометрія буквально перекладається, як «вимір трикутників». Вона починає вивчатися ще у школі, і продовжується більш детально у ВНЗ. Тому основні формули тригонометрії потрібні, починаючи ще з 10 класу, а також для здачі ЄДІ. Вони позначають зв'язки між функціями, а оскільки цих зв'язків багато, то самих формул є чимало. Запам'ятати їх все нелегко, та й не треба – за необхідності їх можна вивести.
Тригонометричні формули застосовуються в інтегральному обчисленні, а також при тригонометричних спрощеннях, обчисленнях, перетвореннях.
Завдання.
Знайти значення x при .
Рішення.
Знайти значення аргументу функції , у якому він дорівнює якомусь значенню, означає визначити, за яких аргументів значення синуса буде саме так, як зазначено в умові.
В даному випадку нам потрібно з'ясувати, при яких значеннях значення синуса дорівнюватиме 1/2. Це можна зробити кількома способами.
Наприклад, використовувати , яким визначити при яких значеннях х функція синус дорівнюватиме 1/2.
Іншим способом є використання. Нагадаю, значення синусів лежать на осі Оу.
Найпоширенішим способом є звернення до особливо якщо йдеться про такі стандартні для цієї функції значення, як 1/2.
У всіх випадках не варто забувати про одну з найважливіших властивостей синуса - про його період.
Знайдемо в таблиці значення 1/2 для синуса і подивимося, які аргументи йому відповідають. Цікаві для нас аргументи рівні Пі / 6 і 5Пі / 6.
Запишемо все коріння, яке задовольняє задане рівняння. Для цього записуємо невідомий аргумент х, що цікавить нас, і одне із значень аргументу, отримане з таблиці, тобто Пі / 6. Запишемо для нього, враховуючи період синуса, всі значення аргументу:
Візьмемо друге значення, і зробимо ті самі кроки, що й у попередньому випадку:
Повним рішенням вихідного рівняння буде: 
і 
qможе набувати значення будь-якого цілого числа.
Найпростіші тригонометричні тотожності
Приватне від розподілу синуса кута альфа на косинус того ж кута дорівнює тангенсу цього кута (Формула 1). також доказ правильності перетворення найпростіших тригонометричних тотожностей.
Приватне від розподілу косинуса кута альфа на синус того ж кута дорівнює котангенсу цього ж кута (Формула 2)
Секанс кута дорівнює одиниці, поділеній на косинус цього самого кута (Формула 3)
Сума квадратів синуса і косинуса одного й того самого кута дорівнює одиниці (Формула 4). див. також доказ суми квадратів косинуса та синуса.
Сума одиниці та тангенсу кута дорівнює відношенню одиниці до квадрату косинуса цього кута (Формула 5)
Одиниця плюс котангенс кута дорівнює частці від поділу одиниці на синус квадрат цього кута (Формула 6)
Твір тангенсу на котангенс одного й того самого кута дорівнює одиниці (Формула 7).
Перетворення негативних кутів тригонометричних функцій (парність та непарність)
Для того, щоб позбутися від негативного значення градусної міри кута при обчисленні синуса, косинуса або тангенсу, можна скористатися такими тригонометричними перетвореннями (тотожностями), заснованими на принципах парності або непарності тригонометричних функцій.
Як видно, косинусі секанс є парною функцією, синус, тангенс та котангенс - непарні функції.
Синус негативного кута дорівнює негативному значенню синуса цього самого позитивного кута (мінус синус альфа).
Косинус "мінус альфа" дасть те саме значення, що і косинус кута альфа.
Тангенс мінус альфа дорівнює мінус тангенс альфа.
Формули приведення подвійного кута (синус, косинус, тангенс та котангенс подвійного кута)
Якщо необхідно розділити кут навпіл, або, навпаки, перейти від подвійного кута до одинарного, можна скористатися такими тригонометричними тотожностями:
Перетворення подвійного кута (синуса подвійного кута, косинуса подвійного кута та тангенсу подвійного кута) в одинарний відбувається за такими правилами:
Синус подвійного кутадорівнює подвійному добутку синуса на косинус одинарного кута
Косинус подвійного кутадорівнює різниці квадрата косинуса одинарного кута і квадрата синуса цього кута
Косинус подвійного кутадорівнює подвоєному квадрату косинуса одинарного кута мінус одиниця
Косинус подвійного кутадорівнює одиниці мінус подвійний синус квадрат одинарного кута
Тангенс подвійного кутадорівнює дробу, чисельник якого - подвоєний тангенс одинарного кута, а знаменник дорівнює одиниці мінус тангенс квадрат одинарного кута.
Котангенс подвійного кутадорівнює дробу, чисельник якого - квадрат котангенсу одинарного кута мінус одиниця, а знаменник дорівнює подвійному котангенсу одинарного кута
Формули універсальної тригонометричної підстановки
Наведені нижче формули перетворення можуть стати в нагоді, коли потрібно аргумент тригонометричної функції (sin α, cos α, tg α) розділити на два і привести вираз до значення половини кута. Зі значення α отримуємо α/2 .Дані формули називаються формулами універсальної тригонометричної підстановки. Їхня цінність полягає в тому, що тригонометричний вираз за їх допомогою зводиться до вираження тангенсу половини кута, незалежно від того, які тригонометричні функції (sin cos tg ctg) були у виразі спочатку. Після цього рівняння з тангенсом половини кута вирішити набагато простіше.
Тригонометричні тотожності перетворення половини кута
Наведені нижче формули тригонометричного перетворення половинної величини кута для його цілого значення.Значення аргументу тригонометричної функції α/2 наводиться значення аргументу тригонометричної функції α.
Тригонометричні формули складання кутів
cos (α - β) = cos α · cos β + sin α · sin β
sin (α + β) = sin α · cos β + sin β · cos α
sin (α - β) = sin α · cos β - sin β · cos α
cos (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β
Тангенс та котангенс суми кутівальфа та бета можуть бути перетворені за такими правилами перетворення тригонометричних функцій:
Тангенс суми кутівдорівнює дробу, чисельник якого - сума тангенсу першого і тангенсу другого кута, а знаменник - одиниця мінус добуток тангенсу першого кута на тангенс другого кута.
Тангенс різниці кутівдорівнює дробу, чисельник якого дорівнює різниці тангенсу кута, що зменшується, і тангенса віднімається кута, а знаменник - одиниці плюс добуток тангенсів цих кутів.
Котангенс суми кутівдорівнює дробу, чисельник якого дорівнює добутку котангенсів цих кутів плюс одиниця, а знаменник дорівнює різниці котангенсу другого кута та котангенсу першого кута.
Котангенс різниці кутівдорівнює дробу, чисельник якого - добуток котангенсів цих кутів мінус одиниця, а знаменник дорівнює сумі котангенсів цих кутів.
Дані тригонометричні тотожності зручно застосовувати, коли потрібно обчислити, наприклад тангенс 105 градусів (tg 105). Якщо його як tg (45 + 60), можна скористатися наведеними тотожними перетвореннями тангенсу суми кутів, після чого просто підставити табличні значення тангенса 45 і тангенса 60 градусів.
Формули перетворення суми чи різниці тригонометричних функцій
Вирази, які є сумою виду sin α + sin β можна перетворити за допомогою наступних формул:
Формули потрійного кута - перетворення sin3α cos3α tg3α в sinα cosα tgα
Іноді необхідно перетворити потрійну величину кута так, щоб аргументом тригонометричної функції замість 3 став кут α.У цьому випадку можна скористатися формулами (тотожностями) перетворення потрійного кута:
Формули перетворення твору тригонометричних функцій
Якщо виникає необхідність перетворити добуток синусів різних кутів косинусів різних кутів або навіть твори синуса на косинус, то можна скористатися такими тригонометричними тотожностями:
У цьому випадку добуток функцій синуса, косинуса або тангенса різних кутів буде перетворено на суму або різницю.
Формули наведення тригонометричних функцій
Користуватися таблицею приведення слід так. У рядку вибираємо функцію, яка нас цікавить. У стовпці – кут. Наприклад, синус кута (α+90) на перетині першого рядка та першого стовпця з'ясовуємо, що sin (α+90) = cos α.
|BD|
- Довжина дуги кола з центром у точці A .
α - кут, виражений у радіанах. Тангенс ( tg α
) - це тригонометрична функція, яка залежить від кута між гіпотенузою і катетом прямокутного трикутника, що дорівнює відношенню довжини протилежного катета |BC| до довжини прилеглого катета | AB | .Котангенс (
ctg α
) - це тригонометрична функція, що залежить від кута між гіпотенузою і катетом прямокутного трикутника, що дорівнює відношенню довжини прилеглого катета |AB| до довжини протилежного катета | BC | .Тангенс
Де
.
;
;
.
n
- ціле.
) - це тригонометрична функція, що залежить від кута між гіпотенузою і катетом прямокутного трикутника, що дорівнює відношенню довжини прилеглого катета |AB| до довжини протилежного катета | BC | .Тангенс
У західній літературі тангенс позначається так:
.
Графік функції тангенсу, y = tg x
;
;
.
Котангенс
У західній літературі котангенс позначається так:
Також прийнято такі позначення:
Графік функції котангенсу, y = ctg x Властивості тангенсу та котангенсуПеріодичність Функції y = tg x
та y =
ctg x
періодичні з періодом π.
Парність до довжини протилежного катета | BC | .Функції тангенс та котангенс - непарні.
| Області визначення та значень, зростання, спадання Властивості тангенсу та котангенсу | Області визначення та значень, зростання, спадання Функції y = | |
| Функції тангенс і котангенс безперервні у своїй області визначення (див. доказ безперервності). Основні властивості тангенсу та котангенсу представлені в таблиці ( | ||
| - ціле). | -∞ < y < +∞ | -∞ < y < +∞ |
| y = | - | |
| Область визначення та безперервність | - | |
| Область значень | - | - |
| Зростання 0 | ||
| Зменшення 0 | Області визначення та значень, зростання, спадання 0 | - |
Екстремуми
Нулі, y =
;
;
;
;
;
Точки перетину з віссю ординат, x =
Формули
Вирази через синус та косинус
Формули тангенсу та котангенс від суми та різниці
Інші формули легко отримати, наприклад 
Твір тангенсів
Формула суми та різниці тангенсів
;
;
У цій таблиці представлені значення тангенсів та котангенсів при деяких значеннях аргументу.
; .
.
Вирази через комплексні числа
.
Вирази через гіперболічні функції
Похідні
Похідна n-го порядку змінної x від функції :
Виведення формул для тангенсу >>>; для котангенсу > > > Інтегралиі Розкладання до лавЩоб отримати розкладання тангенса за ступенями x, потрібно взяти кілька членів розкладання в степеневий ряд для функцій
sin x
cos x
і розділити ці багаточлени один на одного, . При цьому виходять такі формули.При .
;
;
при .
де 
B n
- Числа Бернуллі. Вони визначаються або з рекурентного співвідношення:
де.
, де до довжини протилежного катета | BC | .Тангенс
Арккотангенс, arcctg
, де до довжини протилежного катета | BC | .Тангенс
Використана література:
І.М. Бронштейн, К.А. Семендяєв, Довідник з математики для інженерів та учнів втузів, «Лань», 2009.
Г. Корн, Довідник з математики для науковців та інженерів, 2012.