Три визначення безперервності функції у точці. Властивості функцій, безперервних на відрізку

Безперервна функція є функцією без «стрибків», тобто таку, для якої виконується умова: малим змінам аргументу слідують малі зміни відповідних значень функції. Графік подібної функції є плавною або безперервною кривою.

Безперервність у точці, граничної для деякої множини, можна визначити за допомогою поняття межі, а саме: функція повинна мати в цій точці межу, яка дорівнює її значенню в граничній точці.

При порушенні цих умов у певній точці говорять, що функція в даній точці зазнає розриву, тобто її безперервність порушується. На мові меж точку розриву можна описати як розбіжність значення функції у розривній точці з межею функції (якщо вона існує).

Точка розриву може бути усувною, для цього необхідно існування межі функції, але не співпадає з його значенням у заданій точці. І тут її у цій точці можна «поправити», тобто довизначити до безперервності.
Зовсім інша картина складається, якщо межі функції заданої існує. Можливо два варіанти точок розриву:

першого роду - є і кінцеві обидва з односторонніх меж, і значення одного з них або обох не збігаються зі значенням функції заданої точки;
другого роду, коли не існує одна або обидві з односторонніх меж або їх значення нескінченні.

Властивості безперервних функцій

Функція, отримана в результаті арифметичних дій, а також суперпозиції безперервних функцій на їх ділянці визначення також є безперервною.
Якщо дана безперервна функція, яка позитивна у певній точці, завжди можна знайти досить малу її околиця, де вона збереже свій знак.
Аналогічно, якщо її значення у двох точках A і B рівні, відповідно, a і b, причому a відмінно від b, то для проміжних точок вона набуде всіх значень з проміжку (a ; b). Звідси можна зробити цікавий висновок: якщо дати розтягнутій гумці стиснутись так, щоб вона не провисала (залишалася прямолінійною), то одна з її точок залишиться нерухомою. А геометрично це означає, що існує пряма, яка проходить через будь-яку проміжну точку між A та B, яка перетинає графік функції.

Зазначимо деякі з безперервних (на області визначення) елементарних функцій:

постійна;
раціональна;
тригонометричні.

Між двома фундаментальними поняттями в математиці – безперервністю та диференційністю – існує нерозривний зв'язок. Досить згадати, що з диференційованості функції необхідно, щоб це була безперервна функція.

Якщо ж функція у певній точці диференційована, там вона безперервна. Однак зовсім не обов'язково, щоб і її похідна була безперервною.

Функція, що має на деякому безлічі безперервну похідну, належить окремому класу гладких функцій. Інакше кажучи, це безперервно диференційована функція. Якщо ж похідна має обмежену кількість точок розриву (тільки першого роду), то таку функцію називають шматково гладкою.

Ще одним важливим поняттям є рівномірна безперервність функції, тобто її здатність бути у будь-якій точці своєї області визначення однаково безперервною. Таким чином, це властивість, що розглядається на безлічі точок, а не в будь-якій окремо взятій.

Якщо ж зафіксувати точку, то вийде нічим іншим, як визначення безперервності, тобто із наявності рівномірної безперервності випливає, що маємо безперервна функція. Загалом кажучи, зворотне твердження неправильне. Однак згідно з теоремою Кантора, якщо функція безперервна на компакті, тобто на замкнутому проміжку, вона на ньому рівномірно безперервна.

Визначення безперервності функції у точці
Функція f (x)називається безперервний у точці x 0 околиці U (x 0)цієї точки, і якщо межа при x прагне до x 0 існує і дорівнює значенню функції x 0 :
.

Тут мається на увазі, що x 0 - Це кінцева точка. Значення функції у ній може лише кінцевим числом.

Визначення безперервності праворуч (ліворуч)
Функція f (x)називається безперервної праворуч (ліворуч) у точці x 0 , якщо вона визначена на деякій правосторонній (лівосторонній) околиці цієї точки, і якщо праву (ліву) межу в точці x 0 дорівнює значенню функції x 0 :
.

Приклади

Приклад 1

Використовуючи визначення Гейна і Коші довести, що функція безперервна для всіх x .

Нехай є довільне число. Доведемо, що задана функція безперервна у точці .

Функція визначена всім x .

Тому вона визначена в точці та в будь-якій її околиці.
.
Використовуємо визначення по Гейні
.
Безперервність доведено.

Використовуємо визначення по Коші

Використовуємо.
Розглянемо випадок.
Ми маємо право розглядати функцію на будь-якій околиці точки. .

Тому вважатимемо, що
.
(П1.1)

;
Застосуємо формулу: .

Враховуючи (П1.1), зробимо оцінку:
;
(П1.2) .
.
Застосовуючи (П1.2), оцінимо абсолютну величину різниці:

(П1.3)
.
.

.
Згідно з властивостями нерівностей, якщо виконується (П1.3), якщо і якщо , то .

Тепер розглянемо точку.

В цьому випадку

Це означає, що функція безперервна у точці .

Аналогічним способом можна довести, що функція , де n - натуральне число, безперервна на всій дійсній осі.

Приклад 2
Використовуючи довести, що функція безперервна всім .
Ця функція визначена при . .

Тому вважатимемо, що
Доведемо, що вона безперервна у точці . .
Розглянемо випадок.
.

Ми маємо право розглядати функцію на будь-якій околиці точки.

.
Тому вважатимемо, що
.

(П2.1)

.
Тому вважатимемо, що
(П2.2) .

Покладемо.
.
Тоді

Враховуючи (П2.1), зробимо оцінку:
.
Згідно з властивостями нерівностей, якщо виконується (П1.3), якщо і якщо , то .

Отже,
.
Застосовуючи цю нерівність, і використовуючи (П2.2), оцінимо різницю:
.

(П2.3)
.
Вводимо позитивні числа та , зв'язавши їх співвідношеннями:

Згідно з властивостями нерівностей, якщо виконується (П2.3), якщо і якщо , то .

Це означає, що будь-якого позитивного завжди знайдеться .
Тоді для всіх x , що задовольняють нерівність , автоматично виконується нерівність:
Тепер розглянемо точку.
Нам потрібно показати, що задана функція безперервна у цій точці праворуч. В цьому випадку

Вводимо позитивні числа та:

Звідси видно, що з будь-якого позитивного завжди знайдеться .

Тоді для всіх x, таких що, виконується нерівність:

Це означає, що . Тобто функція безперервна праворуч у точці.

Аналогічним способом можна довести, що функція , де n - натуральне число, безперервна при .

Використана література:

О.І. Бісів. Лекції з математичного аналізу. Частина 1. Москва, 2004.

Л.Д. Кудрявці. Курс математичного аналізу. Том 1. Москва, 2003. С.М. Микільський. Курс математичного аналізу. Том 1. Москва, 1983. 1. Введення. 2. Визначення безперервності функції. 3. Класифікація точок розриву 4. Властивості безперервних функцій., тобто. стрибкоподібно. Поступово чи знижується курс валюти чи обвалюється, відбувається поступова еволюція чи революційний стрибок? Щоб уніфікувати якісні та кількісні оцінки того, що відбувається, слід абстрагуватися від конкретного змісту та вивчити проблему в термінах функціональної залежності. Це дозволяє зробити теорію меж, яку ми розглядали на минулій лекції.

10.2. Визначення безперервності функції

Безперервність функції інтуїтивно пов'язана з тим, що її графіком є суцільна крива, що ніде не переривається. Ми викреслюємо графік такої функції, не відриваючи ручки паперу. Якщо функція задана таблично, то про її безперервність, строго кажучи, не можна судити, тому що при заданому кроці таблиці поведінка функції в проміжках не визначена.

Насправді при безперервності має місце така обставина: якщо параметри, що характеризують ситуацію, трохизмінити, то не багатозміниться та ситуація. Тут важливо не те, що ситуація зміниться, а те, що вона зміниться трохи.

Сформулюємо поняття безперервності мовою приростів. Нехай деяке явище описується функцією та точка aналежить області визначення функції. Різниця називається збільшенням аргументуу точці a, Різниця - збільшенням функціїу точці a.

Визначення 10.1.Функція безперервна в точці a, якщо вона визначена в цій точці і нескінченно малому прирощенню аргументу відповідає нескінченно мале збільшення функції:

Приклад 10.1.Дослідити на безперервність функцію в точці.

Рішення.Побудуємо графік функції та відзначимо на ньому збільшення D xта D y(Рис. 10.1).

З графіка видно, що менше приріст D x, тим менше D y. Покажемо це аналітично. Приріст аргументу дорівнює , тоді збільшення функції в цій точці буде рівно

Звідси видно, що якщо , то і :

Дамо ще одне визначення безперервності функції.

Визначення 10.2.Функція називається безперервнийу точці а, якщо:

1) вона визначена в точці а, та деякої її околиці;

2) односторонні межі існують і рівні між собою:

;

3) межа функції при х® а дорівнює значенню функції у цій точці:

Якщо хоча б одна з цих умов порушується, то кажуть, що функція зазнає розрив.

Це визначення є робочим для встановлення безперервності у точці. Наслідуючи його алгоритм і відзначаючи збіги і розбіжності вимог визначення і конкретного прикладу, можна дійти невтішного висновку про безперервності функції у точці.

У визначенні 2 чітко проступає ідея близькості, коли ми запроваджували поняття межі. При необмеженому наближенні аргументу xдо граничного значення a, безперервна в точці aфункція f(x) як завгодно близько наближається до граничного значення f(a).

10.3. Класифікація точок розриву

Точки, в яких порушуються умови безперервності функції, називаються точками розривуцієї функції. Якщо x 0 – точка розриву функції , у ній не виконується, по крайнього заходу, одне з умов безперервності функції. Розглянемо наступний приклад.

1. Функція визначена в околиці точки aале не визначена в самій точці a. Наприклад, функція не визначена у точці a=2, тому зазнає розриву (див. рис. 10.2).

Мал. 10.2 Мал. 10.3

2. Функція визначена у точці aі в деякому її околиці, її односторонні межі існують, але не рівні другові: , то функція зазнає розриву. Наприклад, функція

визначена в точці , проте при функції відчуває розрив (див. рис. 10.3), т.к.

і ().

3. Функція визначена у точці aі в деякій її околиці, існує межа функції при , але ця межа не дорівнює значенню функції в точці a:

Наприклад, функція (див. рис. 10.4)

Тут – точка розриву:

Всі точки розриву поділяються на точки розриву, що усувається, точки розриву першого і другого роду.

Визначення 10.1.Точка розриву називається точкою усуненого розриву , якщо в цій точці існують кінцеві межі функції ліворуч і праворуч, рівні один одному:

Межа функції в цій точці існує, але не дорівнює значенню функції в граничній точці (якщо функція визначена в граничній точці) або функція в граничній точці не визначена.

На рис. 10.4 у точці умови безперервності порушено, і функція має розрив. На графіку точка (0; 1) виколота. Втім, цей розрив легко усунути – досить перевизначити цю функцію, поклавши її рівною своїй межі у цій точці, тобто. покласти. Тому такі розриви називаються усунутими.

Визначення 10.2.Точка розриву називається точкою розриву 1-го роду , якщо в цій точці існують кінцеві межі функції ліворуч і праворуч, але вони не рівні один одному:

Кажуть, що у цій точці функція відчуває стрибок.

На рис. 10.3 Функція має розрив 1-го роду в точці . Межі ліворуч і праворуч у цій точці рівні:

і .

Стрибок функції в точці розриву дорівнює.

Визначити таку функцію до безперервної неможливо. Графік складається з двох напівпрямих, розділених стрибком.

Визначення 10.3.Точка розриву називається точкою розриву 2-го роду якщо принаймні одна з односторонніх меж функції (ліворуч або праворуч) не існує або дорівнює нескінченності.

На рис 10.3 функція у точці має розрив 2-го роду. Розглянута функція при є нескінченно великою і кінцевою межею ні праворуч, ні зліва не має. Тому говорити про безперервність у такій точці не доводиться.

Приклад 10.2.Побудувати графік та визначити характер точок розриву:

Рішення.Побудуємо графік функції f(x) (рис 10.5).

З малюнка видно, що вихідна функція має три точки розриву: , x 2 = 1,
x 3 = 3. Розглянемо їх у порядку.

Тому точці є розрив 2-го роду.

а) Функція визначена у цій точці: f(1) = –1.

б) , ,

тобто. у точці x 2 = 1 є усунутий розрив. Перевизначивши значення функції у цій точці: f(1) = 5, розрив усувається і функція у цій точці стає безперервною.

а) Функція визначена у цій точці: f(3) = 1.

Значить, у точці x 1 = 3 є розрив 1-го роду. Функція у цій точці відчуває стрибок, рівний D y= –2–1 = –3.

10.4. Властивості безперервних функцій

Згадуючи відповідні властивості меж, укладаємо, що функція, що є результатом арифметичних дій над безперервними в одній точці функціями, також безперервні. Зазначимо:

1) якщо функції та безперервні в точці a, то функції , і (за умови, що ) також безперервні в цій точці;

2) якщо функція безперервна у точці aі функція безперервна в точці, то складна функція безперервна в точці aі

тобто. знак межі можна вносити під знак безперервної функції.

Кажуть що функція безперервна на деякій множині, якщо вона безперервна в кожній точці цієї множини. Графік такої функції - безперервна лінія, яка викреслюється одним розчерком пера.

Усі основні елементарні функції безперервні у всіх точках, де вони визначені.

Функції безперервні на відрізку, мають низку важливих відмінних властивостей. Сформулюємо теореми, що виражають деякі з цих властивостей.

Теорема 10.1 (теорема Вейєрштраса ). Якщо функція безперервна на відрізку, вона на цьому відрізку досягає своїх найменшого і найбільшого значень.

Теорема 10.2 (теорема Коші ). Якщо функція безперервна на відрізку, то вона на цьому відрізку має всі проміжні значення між найменшим і найбільшим значеннями.

З теореми Коші випливає така важлива властивість.

Теорема 10.3. Якщо функція безперервна на відрізку і кінцях відрізка приймає значення різних знаків, між a і b знайдеться така точка c, у якій функція перетворюється на нуль:.

Геометричний зміст цієї теореми очевидний: якщо графік безперервної функції переходить з нижньої напівплощини на верхню (або навпаки), то принаймні в одній точці вона перетне вісь Ox(Рис.10.6).

Приклад 10.3.Наближено обчислити корінь рівняння

, (Тобто приблизно замінити) багаточленному відповідного ступеня.

Це дуже важлива для практики властивість безперервних функцій. Наприклад, часто безперервні функції задаються таблицями (даними спостережень чи експериментів). Тоді використовуючи будь-який метод, можна таблично задану функцію замінити багаточленом. Відповідно до теореми 10.3, це можна завжди зробити з досить високою точністю. Працювати з аналітично заданою функцією (тим більше із багаточленом) набагато простіше.

10.5. Економічний сенс безперервності

Більшість функцій, які у економіці, є безперервними і це дозволяє висловлювати цілком значні твердження економічного змісту.

Як ілюстрацію розглянемо наступний приклад.

Податкова ставка Nмає приблизно такий графік, як на рис. 10.7а.

На кінцях проміжків вона розривна і ці розриви одного роду. Проте сама величина прибуткового податку P(Рис. 10.7б) є безперервною функцією річного доходу Q. Звідси, зокрема, випливає, що й річні доходи двох людей різняться незначно, те й відмінність у величинах прибуткового податку, що вони мають сплатити, також мають різнитися незначно. Цікаво, що обставина сприймається величезною більшістю людей як цілком природна, над якою вони навіть не замислюються.

10.6. Висновок

Під завісу дозволимо собі невеликий відступ.

Ось як можна графічно висловити сумне спостереження давніх:

Sic transit Gloria mundi …

(Так проходить земна слава …)

Кінець роботи -

Ця тема належить розділу:

Поняття функції

Поняття функції.. все тече і все змінюється геракліт.. таблиця х х х х y у у у у у.

Якщо Вам потрібний додатковий матеріал на цю тему, або Ви не знайшли те, що шукали, рекомендуємо скористатися пошуком по нашій базі робіт:

Що робитимемо з отриманим матеріалом:

Якщо цей матеріал виявився корисним для Вас, Ви можете зберегти його на свою сторінку в соціальних мережах:

Дослідження функції на безперервність у точці проводиться за вже накатаною рутинною схемою, яка полягає у перевірці трьох умов безперервності:

Приклад 1

Дослідити функцію на безперервність. Визначити характер розривів функції, якщо вони існують. Виконати креслення.

Рішення:

1) Під приціл потрапляє єдина точка , де функція не визначена.

Односторонні межі кінцеві та рівні.

Таким чином, у точці функція терпить усунутий розрив.

Як виглядає графік цієї функції?

Хочеться провести спрощення , і начебто виходить звичайна парабола. АЛЕвихідна функція не визначена в точці, тому обов'язкове наступне застереження:

Виконаємо креслення:

Відповідь: функція безперервна на всій числовій прямій крім точки , в якій вона терпить розрив.

Функцію можна визначити хорошим або не дуже способом, але за умовою цього не потрібно.

Ви скажете, приклад надуманий? Анітрохи. Десятки разів зустрічалося практично. Майже всі завдання сайту родом із реальних самостійних та контрольних робіт.

Розробимося з улюбленими модулями:

Приклад 2

Рішення: чомусь студенти бояться і не люблять функції з модулем, хоча нічого складного в них немає Таких речей ми вже трохи торкнулися на уроці Геометричні перетворення графіків. Оскільки модуль невід'ємний, він розкривається так: , де "альфа" - деякий вираз. В даному випадку , і наша функція повинна розписатися кусковим чином:

Але дроби обох шматків доведеться скоротити на . Скорочення, як і в попередньому прикладі, не пройде без наслідків. Вихідна функція не визначена в точці , оскільки знаменник перетворюється на нуль. Тому в системі слід додатково вказати умову і першу нерівність зробити суворим:

Тепер про ДУЖЕ КОРИСНИЙ прийом рішення: перед чистовим оформленням завдання на чернетці вигідно зробити креслення (незалежно від того, потрібен він за умовою чи ні). Це допоможе, по-перше, відразу побачити точки безперервності і точки розриву, а, по-друге, 100% убереже від помилок при знаходженні односторонніх меж.

Виконаємо креслення. Відповідно до наших викладок, зліва від точки необхідно накреслити фрагмент параболи (синій колір), а праворуч - шматок параболи (червоний колір), при цьому функція не визначена в самій точці :

Якщо є сумніви, візьміть кілька значень "ікс", підставте їх у функцію (не забуваючи, що модуль знищує можливий знак мінус) і звіртеся з графіком.

Досліджуємо функцію на безперервність аналітично:

1) Функція не визначена в точці , тому відразу можна сказати, що не є в ній безперервною.

2) Встановимо характер розриву, при цьому обчислимо односторонні межі:

Односторонні межі кінцеві і різні, отже, функція зазнає розриву 1-го роду зі стрибком у точці . Зауважте, що немає значення, визначена функція у точці розриву чи ні.

Тепер залишається перенести креслення з чернетки (він зроблений як би за допомогою дослідження;-)) і завершити завдання:

Відповідь: функція безперервна на всій числовій прямій крім точки, в якій вона зазнає розриву першого роду зі стрибком.

Іноді вимагають додатково вказати стрибок розриву. Обчислюється він елементарно - з правої межі треба відняти ліву межу: , тобто у точці розриву наша функція стрибнула на 2 одиниці вниз (що нам повідомляє знак «мінус»).

Приклад 3

Дослідити функцію на безперервність. Визначити характер розривів функції, якщо вони існують. Зробити креслення.

Це приклад самостійного рішення, приблизний зразок рішення наприкінці уроку.

Перейдемо до найбільш популярної та поширеної версії завдання, коли функція складається з трьох шматків:

Приклад 4

Дослідити функцію на безперервність та побудувати графік функції

Рішення: очевидно, що всі три частини функції безперервні на відповідних інтервалах, тому залишилося перевірити лише дві точки «стику» між шматками. Спочатку виконаємо креслення на чернетці, техніку побудови я досить докладно закоментував у першій частині статті. Єдине, необхідно акуратно простежити за нашими особливими точками: через нерівність значення належить прямий (зелена точка), і через нерівність значення належить параболі (червона точка):

Ну ось, у принципі, все зрозуміло =) Залишилось оформити рішення. Для кожної з двох «стикових» точок стандартно перевіряємо 3 умови безперервності:

Односторонні межі кінцеві і різні, отже, функція зазнає розриву 1-го роду зі стрибком у точці .

Обчислимо стрибок розриву як різницю правої та лівої меж:
тобто графік рвонув на одну одиницю вгору.

II)Досліджуємо на безперервність точку

1) - функція визначена у цій точці.

2) Знайдемо односторонні межі:

- односторонні межі кінцеві і рівні, отже, існує спільна межа.

На завершальному етапі переносимо креслення на чистовик, після чого ставимо фінальний акорд:

Відповідь: функція безперервна на всій числовій прямій, крім точки, в якій вона терпить розрив першого роду зі стрибком.

Приклад 5

Дослідити функцію на безперервність та побудувати її графік .

Це приклад для самостійного розв'язання, коротке рішення та приблизний зразок оформлення завдання наприкінці уроку.

Може скластися враження, що в одній точці функція обов'язково має бути безперервною, а в іншій – обов'язково має бути розрив. Насправді це далеко не завжди так. Постарайтеся не нехтувати прикладами, що залишилися, - буде кілька цікавих і важливих фішок:

Приклад 6

Дана функція . Дослідити функцію на безперервність у точках. Побудувати графік.

Рішення: і знову відразу виконаємо креслення на чернетці:

Особливість даного графіка у тому, що з кускова функція задається рівнянням осі абсцис . Тут ця ділянка промальована зеленим кольором, а в зошит її зазвичай жирно виділяють простим олівцем. І, звичайно ж, не забуваємо про наших баранів: значення відноситься до гілки тангенса (червона точка), а значення належить прямій.

З креслення все зрозуміло - функція безперервна на всій числовій прямій, залишилося оформити рішення, яке доводиться до повного автоматизму буквально після 3-4-х прикладів:

I)Досліджуємо на безперервність точку

2) Обчислимо односторонні межі:

, Отже, спільна межа існує.

Стався тут невеликий курйоз. Справа в тому, що я створив чимало матеріалів про межу функції, і кілька разів хотів, та кілька разів забував про одне просте питання. І ось, неймовірним зусиллям волі таки змусив себе не втратити думку. =) Швидше за все, деякі читачі-«чайники» сумніваються: Чому дорівнює межа константи?Межа константи дорівнює самій константі. У цьому випадку межа нуля дорівнює самому нулю (лівостороння межа).

3) - межа функції у точці дорівнює значенню цієї функції у цій точці.

Таким чином, функція безперервна в точці визначення безперервності функції в точці.

II)Досліджуємо на безперервність точку

1) - функція визначена у цій точці.

2) Знайдемо односторонні межі:

І тут, у правосторонньому межі - межа одиниці дорівнює самій одиниці.

- Спільна межа існує.

3) - межа функції у точці дорівнює значенню цієї функції у цій точці.

Таким чином, функція безперервна в точці визначення безперервності функції в точці.

Як завжди, після дослідження переносимо наш креслення на чистовик.

Відповідь: функція безперервна в точках.

Зверніть увагу, що за умови нас нічого не питали про дослідження всієї функції на безперервність, і хорошим математичним тоном вважається формулювати точний та чіткийвідповідь на поставлене запитання. До речі, якщо за умовою не потрібно будувати графік, ви маєте повне право його і не будувати (правда, потім викладач може змусити це зробити).

Невелика математична «скоромовка» для самостійного вирішення:

Приклад 7

Дана функція .

Дослідити функцію на безперервність у точках. Класифікувати точки розриву, якщо вони є. Виконати креслення.

Постарайтеся правильно "вимовити" всі "слова" =) І графік намалювати точніше, точність, вона скрізь зайвою не буде;-)

Як ви пам'ятаєте, я рекомендував негайно виконувати креслення на чернетці, але іноді трапляються такі приклади, де не відразу зрозумієш, як виглядає графік. Тому у ряді випадків вигідно спочатку знайти односторонні межі і лише потім на основі дослідження зобразити гілки. У двох заключних прикладах ми, крім того, освоїмо техніку обчислення деяких односторонніх меж:

Приклад 8

Дослідити на безперервність функцію та побудувати її схематичний графік.

Рішення: Негативні точки очевидні: (звертає в нуль знаменник показника) і (звертає в нуль знаменник всього дробу). Незрозуміло, як виглядає графік цієї функції, а значить, спочатку краще провести дослідження:

I)Досліджуємо на безперервність точку

2) Знайдемо односторонні межі:

Зверніть увагу на типовий прийом обчислення односторонньої межі: у функцію замість «ікса» ми підставляємо У знаменнику жодного криміналу: «добавка» «мінус нуль» не відіграє ролі, і виходить «чотири». А ось у чисельнику відбувається невеликий трилер: спочатку у знаменнику показника вбиваємо -1 і 1, в результаті чого виходить . Одиниця, поділена на , Дорівнює «мінус нескінченності», отже: . І, нарешті, «двійка» в нескінченно великого негативного ступенядорівнює нулю: . Або, якщо ще докладніше: .

Обчислимо правосторонню межу:

І тут – замість «ікса» підставляємо. У знаменнику "добавка" знову не відіграє ролі: . У чисельнику проводяться аналогічні попередній межі дії: знищуємо протилежні числа та ділимо одиницю на :

Правостороння межа нескінченна, отже, функція зазнає розриву 2-го роду в точці .

II)Досліджуємо на безперервність точку

1) Функція не визначена у цій точці.

2) Обчислимо лівосторонню межу:

Метод такий самий: підставляємо у функцію замість «ікса». У чисельнику нічого цікавого - виходить кінцеве позитивне число. А в знаменнику розкриваємо дужки, прибираємо "трійки", і вирішальну роль відіграє "добавка".

За підсумками, кінцеве позитивне число, поділене на нескінченно мале позитивне число, Дає «плюс нескінченність»: .

Правостороння межа, як брат близнюк, за тим лише винятком, що у знаменнику випливає нескінченно мале негативне число:

Односторонні межі нескінченні, отже, функція зазнає розриву 2-го роду в точці .

Таким чином, у нас дві точки розриву, і, очевидно, три гілки графіка. До кожної гілки доцільно провести поточечную побудову, тобто. взяти кілька значень «ікс» і підставити в . Зауважте, що за умовою допускається побудова схематичного креслення, і таке послаблення є природним для ручної роботи. Я будую графіки за допомогою проги, тому не маю подібних труднощів, ось досить точна картинка:

Прямі є вертикальними асимптотамидля графіка цієї функції.

Відповідь: функція безперервна на всій числовій прямій крім точок, в яких вона зазнає розривів 2-го роду.

Простіша функція для самостійного вирішення:

Приклад 9

Дослідити на безперервність функцію та виконати схематичний креслення.

Зразковий зразок рішення наприкінці, що підкрався непомітно.

До зустрічі!

Рішення та відповіді:

Приклад 3:Рішення : перетворюємо функцію: . Враховуючи правило розкриття модуля і той факт, що , перепишемо функцію в шматковому вигляді:

Досліджуємо функцію на безперервність.

1) Функція не визначена у точці .

Односторонні межі кінцеві і різні, отже, функція зазнає розриву 1-го роду зі стрибком у точці . Виконаємо креслення:

Відповідь: функція безперервна на всій числовій прямій крім точки , в якій вона терпить розрив першого роду зі стрибком. Стрибок розриву: (Дві одиниці вгору).

Приклад 5:Рішення : кожна з трьох частин функції безперервна на інтервалі.
I)
1)

2) Обчислимо односторонні межі:

, Отже, спільна межа існує.
3) - межа функції у точці дорівнює значенню цієї функції у цій точці.
Таким чином, функція безперервна в точці визначення безперервності функції в точці.
II) Досліджуємо на безперервність точку

1) - функція визначена у цій точці. функція зазнає розриву 2-го роду, в точці

Як знайти область визначення функції?

Приклади рішень

Якщо десь немає чогось, значить, десь щось є

Продовжуємо вивчення розділу «Функції та графіки», і наступна станція нашої подорожі - Область визначення функції. Активне обговорення даного поняття розпочалося на першому ж уроці про графіки функційде я розглянув елементарні функції, і, зокрема, їх області визначення. Тому чайникам рекомендую почати з азів теми, оскільки я не знову зупинятимуся на деяких базових моментах.

Передбачається, що читач знає галузі визначення основних функцій: лінійної, квадратичної, кубічної функції, багаточленів, експонентів, логарифмів, синусу, косинуса. Вони визначені на . За рідкісні графіки запам'ятовуються далеко не відразу.

Область визначення - начебто річ проста, і виникає закономірне питання, про що буде стаття? На цьому уроці я розгляну найпоширеніші завдання на знаходження області визначення функції. Крім того, ми повторимо нерівності з однією змінною, навички вирішення яких знадобляться й інших завданнях вищої математики. Матеріал, до речі, весь шкільний, тож буде корисним не лише студентам, а й учням. Інформація, звичайно, не претендує на енциклопедичність, але тут не надумані «мертві» приклади, а смажені каштани, які взяті зі справжніх практичних робіт.

Почнемо з експрес-врубу у тему. Коротко про головне: йдеться про функцію однієї змінної. Її область визначення - це безліч значень «ікс», для яких існуютьзначення "ігреків". Розглянемо умовний приклад:

Область визначення цієї функції є об'єднання проміжків:
(Для тих, хто забув: - значок об'єднання). Іншими словами, якщо взяти будь-яке значення «ікс» з інтервалу або з , або з , то для кожного такого «ікс» існуватиме значення «ігрок».

Грубо кажучи, де область визначення – там є графік функції. А ось напівінтервал і точка «це» не входять до області визначення, тож графіка там немає.

Так, до речі, якщо щось не зрозуміло з термінології та/або змісту перших абзаців, краще повернутися до статті Графіки та властивості елементарних функцій.

Визначення
Функція f (x)називається безперервний у точці x 0 околиці цієї точки, і якщо межа при x прагне до x 0 дорівнює значенню функції x 0 :
.

Використовуючи визначення межі функції по Коші та по Гейні, можна дати розгорнуті визначення безперервності функції у точці .

Можна сформулювати поняття безперервності в термінах прирощень. Для цього ми вводимо нову змінну, яка називається збільшенням змінної x у точці.
.
Тоді функція безперервна в точці, якщо
.
Введемо нову функцію: збільшенням функціїЇї називають
.

у точці.
Тоді функція безперервна в точці, якщо (x)Теорема про обмеженість безперервної функції 0 Нехай функція f (x 0)безперервна в точці x

.
Тоді існує така околиця U
.
, де функція обмежена.
Теорема про збереження знаку безперервної функції

Нехай функція безперервна у точці.
І нехай вона має позитивне (негативне) значення в цій точці:
Тоді існує така околиця точки , де функція має позитивне (негативне) значення:
при .

Властивість безперервності ліворуч і праворуч
Функція безперервна в точці тоді і лише тоді, коли вона безперервна праворуч і ліворуч.

Докази властивостей наведено на сторінці «Властивості безперервних у точці функцій».

Безперервність складної функції

Теорема про безперервність складної функції
Нехай функція безперервна у точці.
І нехай функція безперервна у точці.

Тоді складна функція безперервна у точці.

Межа складної функції
Теорема про межу безперервної функції від функції
.
Нехай існує межа функції при , і він дорівнює: 0 Тут точка t
може бути кінцевою чи нескінченно віддаленою: .
І нехай функція безперервна у точці.
.

Тоді існує межа складної функції, і він дорівнює:
Теорема про межу складної функції
Нехай функція має межу і відображає проколоту околицю точки на проколоту околицю точки.
Нехай функція визначена на околиці і має на ній межу.
.

Тут - кінцеві чи нескінченно віддалені точки: .

Околиці та відповідні їм межі може бути як двосторонні, і односторонні.
Тоді існує межа складної функції і він дорівнює: Точки розривуВизначення точки розриву
Нехай функція визначена на деякому проколоті околиці точки.
Крапка називається

точкою розриву функції
, якщо виконується одна з двох умов: 1) не визначена в; 2) визначена в , але не є в цій точці.
.

Визначення точки розриву 1-го роду
Крапка називаєтьсяточкою розриву першого роду
.

якщо є точкою розриву і існують кінцеві односторонні межі ліворуч і праворуч:
, якщо виконується одна з двох умов: Визначення стрибка функціїСтрибком Δ функції
,
у точці називається різниця меж праворуч і ліворуч

Визначення точки усунення розриву

точкою усуненого розриву
, якщо виконується одна з двох умов: якщо існує межаПроте функція у точці або визначена, або дорівнює граничному значению: .

Таким чином, точка усуненого розриву - це точка розриву 1-го роду, в якій стрибок функції дорівнює нулю.

Визначення точки розриву 2-го роду
точкою розриву другого роду

якщо вона не є точкою розриву 1-го роду.
Якщо функція безперервна на відрізку, то вона обмежена на цьому відрізку.

Визначення досяжності максимуму (мінімуму)
Функція досягає свого максимуму (мінімуму) на безлічі, якщо існує такий аргумент, для якого
для всіх .

Визначення досяжності верхньої (нижньої) грані
Функція досягає своєї верхньої (нижньої) грані на безлічі, якщо існує такий аргумент, для якого
.

Друга теорема Вейєрштраса про максимум і мінімум безперервної функції
Безперервна на відрізку функція досягає на ньому своїх верхньої та нижньої граней або, що теж саме, досягає на відрізку свого максимуму та мінімуму.

Теорема Больцано - Коші про проміжне значення
Нехай функція безперервна на відрізку.
.

І нехай C є довільне число, що знаходиться між значеннями функції кінцях відрізка: і .
Тоді існує точка, для якої
.

Наслідок 1
Нехай функція безперервна на відрізку.
Теорема про збереження знаку безперервної функції

І хай значення функції кінцях відрізка мають різні знаки: або .

Тоді існує точка , значення функції якої дорівнює нулю:
Наслідок 2
для всіх .
Нехай функція безперервна на відрізку. І нехай . Тоді функція приймає на відрізку всі значення і тільки ці значення:Зворотні функції
.

Визначення зворотної функції
;
Нехай функція має область визначення X та безліч значень Y .
для всіх .

І нехай вона має властивість:
Тоді для будь-якого елемента з множини Y можна поставити у відповідність тільки один елемент множини X, для якого.

Така відповідність визначає функцію, яка називається
зворотною функцією

до.
Зворотна функція позначається так:

З визначення випливає, що

для всіх ;
Лемма про взаємну монотонність прямої та зворотної функцій

Якщо функція строго зростає (зменшується), існує зворотна функція, яка також строго зростає (зменшується).
Властивість про симетрію графіків прямої та зворотної функцій

Аналогічним чином можна сформулювати теорему про існування та безперервність зворотної функції на напівінтервалі.

Властивості та безперервність елементарних функцій

Елементарні функції та зворотні до них безперервні на своїй галузі визначення. Далі ми наводимо формулювання відповідних теорем і даємо посилання їх докази.

Показова функція

Показова функція f (x) = a x, з основою a > 0 - це межа послідовності
,
де є довільна послідовність раціональних чисел, що прагне x :
.

Теорема. Властивості показової функції
Показова функція має такі характеристики:
(П.0)визначена, при , всім ;
(П.1)при a ≠ 1 має безліч значень;
(П.2)строго зростає при , суворо зменшується при , є постійною при ;
(П.3) ;
(П.3 *) ;
(П.4) ;
(П.5) ;
(П.6) ;
(П.7) ;
(П.8)безперервна для всіх;
(П.9)при;
Теорема про збереження знаку безперервної функції

Логарифм

Логарифмічна функція, або логарифм, y = log a x, з основою a- це функція, обернена до показової функції з основою a.

Теорема. Властивості логарифму
Логарифмічна функція з основою a, y = log a x, має такі властивості:
(Л.1)визначена і безперервна, при і для позитивних значень аргументу;
(Л.2)має безліч значень;
(Л.3)строго зростає при , суворо зменшується при ;
(Л.4)при;
при;
(Л.5) ;
(Л.6)при;
(Л.7)при;
(Л.8)при;
(Л.9)Теорема про збереження знаку безперервної функції

Експонента та натуральний логарифм

У визначеннях показової функції та логарифму фігурує постійна a, яка називається основою ступеня або основою логарифму. У математичному аналізі, в переважній більшості випадків, виходять простіші обчислення, якщо в якості підстави використовувати число e:
.
Показову функцію з основою e називають експонентою: , а логарифм на основі e - натуральним логарифмом: .

Властивості експоненти та натурального логарифму викладені на сторінках
«Екпонента, е в ступені х»,
"Натуральний логарифм, функція ln x"

Ступінна функція

Ступінна функція з показником ступеня p- це функція f (x) = x pзначення якої в точці x дорівнює значенню показової функції з основою x в точці p .
Крім цього, f (0) = 0 p = 0при p> 0 .

Тут ми розглянемо властивості статечної функції y = x p при невід'ємних значеннях аргументу.
Для раціональних, при непарних m, статечна функція визначена і для негативних x.

У цьому випадку її властивості можна отримати, використовуючи парність або непарність.
Ступінна функція, y = x p, з показником p має такі властивості:
(З 1)визначена і безперервна на безлічі
при ,
при».

Тригонометричні функції

Теорема про безперервність тригонометричних функцій
Тригонометричні функції: синус ( sin x), косинус ( cos x), тангенс ( tg x) та котангенс ( ctg x

Теорема про безперервність зворотних тригонометричних функцій
Зворотні тригонометричні функції: арксинус ( arcsin x), арккосинус ( arccos x), арктангенс ( arctg x) та арккотангенс ( arcctg x), безперервні у своїх галузях визначення.