За допомогою цього онлайн калькулятора можна знайти відстань між прямими у просторі. Надається докладне рішення з поясненнями. Щоб обчислити відстань між прямими в просторі, задайте вигляд рівняння прямих ("канонічний" або "параметричний"), введіть коефіцієнти рівнянь прямих у комірки та натискайте на кнопку "Вирішити".
×
Попередження
Очистити всі комірки?
Закрити Очистити
Інструкція щодо введення даних.Числа вводяться як цілих чисел (приклади: 487, 5, -7623 тощо.), десяткових чисел (напр. 67., 102.54 тощо.) чи дробів. Дроб треба набирати у вигляді a/b, де a і b (b>0) цілі або десяткові числа. Приклади 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 тощо.
Відстань між прямими у просторі – теорія, приклади та рішення
Нехай задана декартова прямокутна система координат Oxyz L 1 та L 2:
| . | (1) |
 ,
| (2) |
де M 1 (x 1 , y 1 , z 1) та M 2 (x 2 , y 2 , z 2) − точки, що лежать на прямих L 1 та L 2 , а q 1 ={m 1 , p 1 , l 1 ) q 2 ={m 2 , p 2 , l 2 ) − напрямні вектори прямих L 1 та L 2 відповідно.
Прямі (1) і (2) у просторі можуть збігатися, бути паралельними, перетинатися, або схрещуватися. Якщо прямі у просторі перетинаються чи збігаються, то відстань між ними дорівнює нулю. Ми розглянемо два випадки. Перший – прямі паралельні, і другий – прямі схрещуються. Інші є частими випадками. Якщо при обчисленні відстані між паралельними прямими ми отримаємо відстань рівним нулю, це означає, що ці прямі збігаються. Якщо ж відстань між прямими схрещуються дорівнює нулю, то ці прямі перетинаються.
1. Відстань між паралельними прямими у просторі
Розглянемо два методи обчислення відстані між прямими.
Метод 1. Від точки M 1 прямий L 1 проводимо площину α , перпендикулярно до прямої L 2 . Знаходимо точку M 3 (x 3 , y 3 , y 3) перетину площини α і прямий L 3 . По суті, ми знаходимо проекцію точки M 1 на пряму L 2 . Як знайти проекцію точки на пряму подивіться. Далі обчислюємо відстань між точками M 1 (x 1 , y 1 , z 1) та M 3 (x 3 , y 3 , z 3):
Приклад 1. Знайти відстань між прямими L 1 та L 2:Пряма L 2 проходить через точку M 2 (x 2 , y 2 , z 2)=M
Підставляючи значення m 2 , p 2 , l 2 , x 1 , y 1 , z 1 в (5) отримаємо:
Знайдемо точку перетину прямої L 2 та площині α , для цього збудуємо параметричне рівняння прямої L 2 .
Щоб знайти точку перетину прямої L 2 та площині α , підставимо значення змінних x, y, zз (7) до (6):
Підставляючи отримане значення tв (7), отримаємо точку перетину прямої L 2 та площині α :
 |
Залишається знайти відстань між точками M 1 та M 3:
  |
L 1 та L 2 рівно d=7.2506.
Метод 2. Знайдемо відстань між прямими L 1 та L 2 (рівняння (1) та (2)). По-перше, перевіряємо паралельність прямих L 1 та L 2 . Якщо напрямні вектори прямих L 1 та L 2 колінеарні, тобто. якщо існує таке число λ, що виконано рівність q 1 =λ q 2 , то прямі L 1 та L 2 паралельні.
Даний метод обчислення відстані між паралельними векторами ґрунтується на понятті векторного твору векторів. Відомо, що норма векторного твору векторів та q 1 дає площу паралелограма, утвореного цими векторами (Рис.2). Дізнавшись площу паралелограма, можна знайти вершину паралелограма d, розділивши площу на основу q 1 паралелограма.
q 1:
 .
|
Відстань між прямими L 1 та L 2 одно:
| , |
 ,
|
Приклад 2. Розв'яжемо приклад 1 методом 2. Знайти відстань між прямими
Пряма L 2 проходить через точку M 2 (x 2 , y 2 , z 2)=M 2 (8, 4, 1) і має напрямний вектор
| q 2 ={m 2 , p 2 , l 2 }={2, −4, 8} |
Вектори q 1 та q 2 колінеарні. Отже прямі L 1 та L 2 паралельні. Для обчислення відстані між паралельними прямими скористаємося векторним добутком векторів.
Побудуємо вектор =( x 2 −x 1 , y 2 −y 1 , z 2 −z 1 }={7, 2, 0}.
Обчислимо векторний добуток векторів та q 1 . Для цього складемо 3×3 матрицю, перший рядок якої базисні вектори i, j, k, а інші рядки заповнені елементами векторів та q 1:
Таким чином, результатом векторного твору векторів та q 1 буде вектор:
Відповідь: Відстань між прямими L 1 та L 2 рівно d=7.25061.
2. Відстань між схрещуючими прямими у просторі
Нехай задана декартова прямокутна симтема координат Oxyzі нехай у цій системі координат задані прямі L 1 та L 2 (рівняння (1) та (2)).
Нехай прямі L 1 та L 2 не паралельні (паралельні прямі ми роздивилися в попередньому параграфі). Щоб знайти відстань між прямими L 1 та L 2 потрібно побудувати паралельні площини α 1 та α 2 так, щоб пряма L 1 лежав на площині α 1 а пряма L 2 − на площині α 2 . Тоді відстань між прямими L 1 та L 2 дорівнює відстані між площинами L 1 та L 2 (Рис. 3).
де n 1 ={A 1 , B 1 , C 1) − нормальний вектор площини α 1 . Для того, щоб площина α 1 проходила через пряму L 1 , нормальний вектор n 1 повинен бути ортогональним напрямного вектора q 1 прямий L 1, тобто. скалярний добуток цих векторів повинен дорівнювати нулю:
Вирішуючи систему лінійних рівнянь (27)-(29), з трьома рівняннями та чотирма невідомими A 1 , B 1 , C 1 , D 1 і підставляючи в рівняння
Площини α 1 та α 2 паралельні, отже отримані нормальні вектори n 1 ={A 1 , B 1 , C 1 ) n 2 ={A 2 , B 2 , C 2) цих площин колінеарні. Якщо ці вектори не рівні, можна помножити (31) на деяке число так, щоб отриманий нормальний вектор n 2 збігався з нормальним вектором рівняння (30).
Тоді відстань між паралельними площинами обчислюється формулою:
 | (33) |
Рішення. Пряма L 1 проходить через точку M 1 (x 1 , y 1 , z 1)=M 1 (2, 1, 4) і має напрямний вектор q 1 ={m 1 , p 1 , l 1 }={1, 3, −2}.
Пряма L 2 проходить через точку M 2 (x 2 , y 2 , z 2)=M 2 (6, −1, 2) і має напрямний вектор q 2 ={m 2 , p 2 , l 2 }={2, −3, 7}.
Побудуємо площину α 1 , що проходить через пряму L 1 , паралельно прямий L 2 .
Оскільки площина α 1 проходить через пряму L 1 , вона проходить також через точку M 1 (x 1 , y 1 , z 1)=M 1 (2, 1, 4) та нормальний вектор n 1 ={m 1 , p 1 , l 1 ) α 1 перпендикулярна напрямному вектору q 1 прямий L 1 . Тоді рівняння площини має задовольняти умові:
Оскільки площина α 1 має бути паралельною прямою L 2 , то має виконуватися умова:
Подаємо ці рівняння в матричному вигляді:
 | (40) |
Розв'яжемо систему лінійних рівнянь (40) щодо A 1 , B 1 , C 1 , D 1.
У цій статті на прикладі розв'язання задачі C2 з ЄДІ розібрано спосіб знаходження за допомогою методу координат. Нагадаємо, що прямі є схрещуються, якщо вони не лежать в одній площині. Зокрема, якщо одна пряма лежить у площині, а друга пряма перетинає цю площину в точці, яка не лежить на першій прямій, такі прямі є схрещуються (див. малюнок).
Для знаходження відстані між прямими схрещуютьсянеобхідно:
- Провести через одну з прямих площину, що схрещуються, яка паралельна іншій прямій, що схрещується.
- Опустити перпендикуляр із будь-якої точки другої прямої на отриману площину. Довжина цього перпендикуляра буде шуканою відстанню між прямими.
Розберемо даний алгоритм докладніше з прикладу розв'язання задачі C2 з ЄДІ з математики.
Відстань між прямими у просторі
Завдання.У одиничному кубі ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 знайдіть відстань між прямими BA 1 та DB 1 .
Мал. 1. Креслення до завдання
Рішення.Через середину діагоналі куба DB 1 (точку O) проведемо пряму, паралельну до прямої A 1 B. Точки перетину даної прямої з ребрами BCі A 1 D 1 позначаємо відповідно Nі M. Пряма MNлежить у площині MNB 1 і паралельна прямий A 1 Bяка в цій площині не лежить. Це означає, що пряма A 1 Bпаралельна площині MNB 1 за ознакою паралельності прямої та площини (рис. 2).
Мал. 2. Шукана відстань між прямими, що схрещуються, дорівнює відстані від будь-якої точки виділеної прямої до зображеної площини
Шукаємо тепер відстань від якоїсь точки прямої A 1 Bдо площини MNB 1 . Ця відстань за визначенням буде шуканою відстанню між прямими, що схрещуються.
Для знаходження цієї відстані скористаємося методом координат. Введемо прямокутну декартову систему координат таким чином, щоб її початок збігся з точкою B, вісь Xбула спрямована вздовж ребра BAвісь Y- вздовж ребра BCвісь Z- вздовж ребра BB 1 (рис. 3).
Мал. 3. Прямокутну декартову систему координат виберемо так, як показано на малюнку
Знаходимо рівняння площини MNB 1 у цій системі координат. Для цього визначаємо спершу координати точок M, Nі B 1: 
Отримані координати підставляємо у загальне рівняння прямої та отримуємо наступну систему рівнянь:
З другого рівняння системи отримуємо з третього отримуємо після чого з першого отримуємо Підставляємо отримані значення у загальне рівняння прямої:
Помічаємо, що інакше площина MNB 1 проходила через початок координат. Ділимо обидві частини цього рівняння і отримуємо:
Відстань від точки до площини визначається за такою формулою.
Не минуло й хвилини, як я створив новий Вердовський файл і продовжив таку захоплюючу тему. Потрібно ловити моменти робочого настрою, тож ліричного вступу не буде. Буде прозова порка =)
Дві прямі простори можуть:
1) схрещуватися;
2) перетинатися в точці;
3) бути паралельними;
4) збігатися.
Випадок № 1 принципово відрізняється з інших випадків. Дві прямі схрещуються, якщо вони не лежать в одній площині. Підніміть одну руку вгору, а іншу руку витягніть вперед - ось вам і приклад прямих, що схрещуються. У пунктах № 2-4 прямі обов'язково лежать в одній площині.
Як з'ясувати взаємне розташування прямих у просторі?
Розглянемо два прямі простори:
- Пряму, задану точкою і напрямним вектором;
- Пряму, задану точкою і напрямним вектором.
Для кращого розуміння виконаємо схематичне креслення: 
На кресленні як приклад зображені прямі, що схрещуються.
Як розібратися із цими прямими?
Так як відомі точки, то легко знайти вектор.
Якщо прямі схрещуються, то вектори не компланарні(Див. урок Лінійна (не) залежність векторів. Базис векторів), отже, визначник, складений їх координат, ненульовий. Або, що практично те саме, буде відмінно від нуля: 
.
У випадках № 2-4 наша конструкція «падає» в одну площину, при цьому вектори компланарні, а змішане твір лінійно залежних векторів дорівнює нулю: 
.
Розкручуємо алгоритм далі. Припустимо, що 
, Отже, прямі або перетинаються, або паралельні, або збігаються.
Якщо напрямні вектори колінеарні, То прямі або паралельні, або збігаються. Фінальною цвяхом пропоную наступний прийом: беремо якусь точку однієї прямої і підставляємо її координати в рівняння другої прямої; якщо координати "підійшли", то прямі збігаються, якщо "не підійшли", то прямі паралельні.
Хід алгоритму невигадливий, але практичні приклади все одно не завадять:
Приклад 11
З'ясувати взаємне розташування двох прямих
Рішення: Як і в багатьох задачах геометрії, рішення зручно оформити за пунктами:
1) Витягуємо з рівнянь точки та напрямні вектори:
2) Знайдемо вектор:
Таким чином, вектори компланарні, отже, прямі лежать в одній площині і можуть перетинатися, бути паралельними або збігатися.
4) Перевіримо напрямні вектори на колінеарність.
Складемо систему з відповідних координат даних векторів:
З кожногорівняння слід, що , отже, система спільна, відповідні координати векторів пропорційні, і колінеарні вектори.
Висновок: прямі паралельні чи збігаються.
5) З'ясуємо, чи є у прямих спільні точки. Візьмемо точку , що належить першої прямої, і підставимо її координати до рівняння прямої : 
Таким чином, спільних точок у прямих немає, і їм нічого не залишається, як бути паралельними.
Відповідь:
Цікавий приклад для самостійного вирішення:
Приклад 12
З'ясувати взаємне розташування прямих
Це приклад самостійного рішення. Зверніть увагу, що другий прямий як параметр виступає буква . Логічно. У загальному випадку – це дві різні прямі, тому у кожної прямий свій параметр.
І знову закликаю не пропускати приклади, пороти буду запропоновані мною завдання далеко не випадкові;-)
Завдання з прямою в просторі
У заключній частині уроку я постараюся розглянути максимальну кількість різних завдань із просторовими прямими. При цьому буде дотримано розпочатий порядок оповіді: спочатку ми розглянемо завдання з прямими, що схрещуються, потім з прямими, що перетинаються, і в кінці поговоримо про паралельні прямі в просторі. Однак повинен сказати, що деякі завдання даного уроку можна сформулювати відразу для кількох випадків розташування прямих, і у зв'язку з цим розбиття розділу на параграфи дещо умовно. Є простіші приклади, є складніші приклади, і, сподіваюся, кожен знайде те, що потрібно.
Схрещувальні прямі
Нагадую, що прямі схрещуються, якщо не існує площини, в якій вони обидві лежали б. Коли я продумував практику, на думку прийшло завдання-монстр, і зараз радий представити вашій увазі дракона з чотирма головами:
Приклад 13
Дані прямі. Потрібно:
а) довести, що прямі схрещуються;
б) знайти рівняння прямої , що проходить через точку перпендикулярно даним прямим;
в) скласти рівняння прямої , яка містить загальний перпендикулярпрямих, що схрещуються;
г) знайти відстань між прямими.
Рішення: Дорогу здолає той, хто йде:
а) Доведемо, що прямі схрещуються. Знайдемо точки та напрямні вектори даних прямих: 
Знайдемо вектор:
Обчислимо змішаний твір векторів:
Таким чином, вектори не компланарні, Отже, прямі схрещуються, що й потрібно довести.
Напевно, всі вже давно помітили, що для прямих алгоритм перевірки, що схрещуються, виходить коротше всього.
б) Знайдемо рівняння прямої, яка проходить через точку і перпендикулярна до прямого. Виконаємо схематичне креслення: 
Для різноманітності я розмістив пряму ЗАПодивіться, як вона трохи стерта в точках схрещування. Схрещування? Так, у загальному випадку пряма «де» схрещуватиметься з вихідними прямими. Хоча зараз нас поки що не цікавить, треба просто побудувати перпендикулярну пряму і все.
Що відомо про пряму «де»? Відома точка, що їй належить. Бракує напрямного вектора.
За умовою пряма має бути перпендикулярна прямим , отже, її напрямний вектор буде ортогонален направляючим векторам . Вже знайомий із Прімера № 9 мотив, знайдемо векторний твір:
Складемо рівняння прямої «де» по точці та напрямному вектору:
Готово. В принципі, можна змінити знаки у знаменниках та записати відповідь у вигляді 
Але потреби в цьому немає ніякої.
Для перевірки необхідно підставити координати точки в отримані рівняння прямої, потім за допомогою скалярного твору векторівпереконатися, що вектор дійсно ортогональний напрямних векторів пе один і пе два.
Як знайти рівняння прямої, що містить загальний перпендикуляр?
в) Це завдання складніше буде. Чайникам рекомендую пропустити даний пункт, не хочу охолоджувати вашу щиру симпатію до аналітичної геометрії. повинен розташовуватися тут.
Отже, потрібно знайти рівняння прямої, яка містить загальний перпендикуляр прямих, що схрещуються.
– це відрізок, що з'єднує дані прямі та перпендикулярний даним прямим: 
Ось наш красень: - загальний перпендикуляр прямих, що схрещуються. Він єдиний. Іншого такого немає. Нам же потрібно скласти рівняння прямої, що містить цей відрізок.
Що відомо про пряму «ем»? Відомий її напрямний вектор, знайдений у попередньому пункті. Але, на жаль, ми не знаємо жодної точки, що належить прямій «ем», не знаємо і кінців перпендикуляра – точок. Де ця перпендикулярна пряма перетинає дві вихідні прямі? В Африці, в Антарктиді? З початкового огляду та аналізу умови взагалі не видно, як вирішувати завдання. Але є хитрий хід, пов'язаний із використанням параметричних рівнянь прямої.
Рішення оформимо за пунктами:
1) Перепишемо рівняння першої прямої в параметричній формі: 
Розглянемо точку. Координат ми не знаємо. АЛЕ. Якщо точка належить даної прямої, її координатам відповідає , позначимо його через . Тоді координати точки запишуться у вигляді: 
Життя налагоджується, одне невідоме – таки не три невідомі.
2) Така ж наруга треба здійснити над другою точкою. Перепишемо рівняння другої прямої в параметричному вигляді: 
Якщо точка належить даній прямій, то при цілком конкретному значенніїї координати повинні задовольняти параметричним рівнянням:
Або: 
3) Вектор, як і раніше знайдений вектор, буде напрямним вектором прямий. Як скласти вектор по двох точках, розглядалося в незапам'ятні часи на уроці Вектори для чайників. Відмінність полягає в тому, що координати векторів записані з невідомими значеннями параметрів. Ну то й що? Ніхто ж не забороняє від координат кінця вектора відняти відповідні координати початку вектора.
Є дві точки: 
.
Знаходимо вектор:
4) Оскільки напрямні вектори колінеарні, один вектор лінійно виражається через інший з деяким коефіцієнтом пропорційності «лямбда»:
Або покоординатно: 
Вийшла сама, що ні є звичайна система лінійних рівняньз трьома невідомими , яка стандартно можна розв'язати, наприклад, методом Крамера. Але тут є можливість позбутися малої крові, з третього рівняння висловимо «лямбду» і підставимо її в перше і друге рівняння:
Таким чином: 
, А «лямбда» нам не буде потрібно. Те, що значення параметрів вийшли однакові – чиста випадковість.
5) Небо повністю прояснюється, підставимо знайдені значення 
у наші точки:
Напрямний вектор особливо не потрібен, тому що вже знайдено його колега.
Після довгого шляху завжди цікаво виконати перевірку.
:
Отримано вірні рівності.
Підставимо координати точки у рівняння 
:
Отримано вірні рівності.
6) Заключний акорд: складемо рівняння прямої по точці (можна взяти) і напрямному вектору:
В принципі, можна підібрати «хорошу» точку з цілими координатами, але це вже косметика.
Як знайти відстань між прямими, що схрещуються?
г) Зрубуємо четверту голову дракона.
Спосіб перший. Навіть не спосіб, а невеликий окремий випадок. Відстань між схрещуючими прямими дорівнює довжині їхнього загального перпендикуляра: 
.
Крайні точки загального перпендикуляра 
знайдені в попередньому пункті, і завдання елементарне:
Спосіб другий. Насправді найчастіше кінці загального перпендикуляра невідомі, тому використовують інший підхід. Через дві прямі, що схрещуються, можна провести паралельні площини, і відстань між даними площинами дорівнює відстані між даними прямими. Зокрема, між цими площинами і стирчить загальний перпендикуляр.
У курсі аналітичної геометрії з вищесказаних міркувань виведена формула знаходження відстані між прямими схрещуються: 
(Замість наших точок «ем один, два» можна взяти довільні точки прямих).
Змішаний твір векторіввже знайдено у пункті «а»: 
.
Векторний твір векторівзнайдено у пункті «бе»: 
, обчислимо його довжину:
Таким чином:
Гордо викладемо трофеї в один ряд:
Відповідь:
а) 
, отже, прямі схрещуються, що потрібно було довести;
б) 
;
в) 
;
г) 
Що ще можна розповісти про прямі, що схрещуються? Між ними визначено кут. Але універсальну формулу кута розглянемо в наступному параграфі:
Прямі простори, що перетинаються, обов'язково лежать в одній площині: 
Перша думка - всіма силами навалитися на точку перетину. І відразу ж подумалося, навіщо собі відмовляти у правильних бажаннях?! Давайте навалимося на неї прямо зараз!
Як знайти точку перетину просторових прямих?
Приклад 14
Знайти точку перетину прямих
Рішення: Перепишемо рівняння прямих у параметричній формі: 
Це завдання докладно розглядалося в Прикладі № 7 цього уроку (див. Рівняння прямої у просторі). А самі прямі, до речі, я взяв із Прімера № 12. Брехати не буду, нові ліньки вигадувати.
Прийом рішення стандартний і вже зустрічався, коли ми вимучували рівняння загального перпендикуляра прямих, що схрещуються.
Точка перетину прямих належить прямої , тому її координати задовольняють параметричним рівнянням даної прямої, і відповідає цілком конкретне значення параметра:
Але ця ж точка належить і другий прямий, отже: 
Прирівнюємо відповідні рівняння та проводимо спрощення: 
Отримано систему трьох лінійних рівнянь із двома невідомими. Якщо прямі перетинаються (що доведено в Прикладі № 12), система обов'язково спільна і має єдине рішення. Її можна вирішити методом Гауса, але вже таким дитсадківським фетишизмом грішити не будемо, зробимо простіше: з першого рівняння висловимо «те нульове» і підставимо його в друге і третє рівняння: 
Останні два рівняння вийшли, по суті, однаковими, і з них випливає, що . Тоді:
Підставимо знайдене значення параметра рівняння: 
Відповідь:
Для перевірки підставимо знайдене значення параметра рівняння: 
Отримані самі координати, що й потрібно перевірити. Скрупульозні читачі можу підставити координати точки і вихідні канонічні рівняння прямих.
До речі, можна було поступити навпаки: точку знайти через «ес нульове», а перевірити – через «те нульове».
Відома математична прикмета говорить: там, де обговорюють перетин прямих, завжди пахне перпендикулярами.
Як побудувати пряму простір, перпендикулярну даній?
(прямі перетинаються)
Приклад 15
а) Скласти рівняння прямої, що проходить через точку перпендикулярно до прямої 
(Прямі перетинаються).
б) Знайти відстань від точки до прямої.
Примітка
: застереження «прямі перетинаються» – істотна. Через точку
можна провести нескінченно багато перпендикулярних прямих, які схрещуватимуться з прямої «ель». Єдине рішення має місце у разі, коли через цю точку проводиться пряма, перпендикулярна двомзаданим прямим (див. приклад № 13, пункт «б»).
а) Рішення: Невідому пряму позначимо через . Виконаємо схематичне креслення:
Що відомо про пряму? За умовою дана точка. Для того щоб скласти рівняння прямої, необхідно знайти напрямний вектор. Як такий вектор цілком підійде вектор, їм і займемося. Точніше, візьмемо за шкірку невідомий кінець вектора.
1) Витягнемо з рівнянь прямої «ель» її напрямний вектор, а самі рівняння перепишемо в параметричній формі: 
Багато хто здогадався, зараз уже втретє за урок фокусник дістане білого лебедя з капелюха. Розглянемо точку із невідомими координатами. Оскільки точка , її координати задовольняють параметричним рівнянням прямий «ель» їм відповідає конкретне значення параметра: 
Або одним рядком:
2) За умовою прямі мають бути перпендикулярні, отже, їх напрямні вектори – ортогональні. А якщо вектори ортогональні, то їх скалярний твіродно нулю: 
Що вийшло? Найпростіше лінійне рівняння з однією невідомою: 
3) Значення параметра відоме, знайдемо точку:
І напрямний вектор:
.
4) Рівняння прямої складемо по точці та напрямному вектору 
:
Знаменники пропорції вийшли дробові, і це якраз той випадок, коли дробів доречно позбутися. Я просто помножу їх на -2: 
Відповідь: 
Примітка
: більш строга кінцівка рішення оформляється так: складемо рівняння прямої по точці та напрямному вектору 
. Дійсно, якщо вектор є напрямним вектором прямої, то колінеарний йому вектор , природно, теж буде напрямним вектором цієї прямої.
Перевірка складається з двох етапів:
1) перевіряємо напрямні вектори прямих на ортогональність;
2) підставляємо координати точки в рівняння кожної прямої, вони мають «підходити» і там, і там.
Про типові дії йшлося дуже багато, тому я виконав перевірку на чернетці.
До речі, забув ще пунктик - побудувати точку "зю" симетричну точці "ен" щодо прямої "ель". Втім, є хороший «плоский аналог», з яким можна ознайомитись у статті Найпростіші завдання з прямою на площині. Тут же вся відмінність буде в додатковій «зетовий» координаті.
Як знайти відстань від точки до прямої у просторі?
б) Рішення: Знайдемо відстань від точки до прямої .
Спосіб перший. Ця відстань у точності дорівнює довжині перпендикуляра: . Рішення очевидне: якщо відомі точки 
, то:
Спосіб другий. У практичних завданнях підстава перпендикуляра часто таємниця за сімома печатками, тому раціональніше користуватися готовою формулою.
Відстань від точки до прямої виражається формулою: 
, де - напрямний вектор прямий "ель", а - довільнаточка, що належить даній прямій.
1) З рівнянь прямої 
дістаємо напрямний вектор і найдоступнішу точку.
2) Крапка відома з умови, заточимо вектор:
3) Знайдемо векторний твірі обчислимо його довжину: 
4) Розрахуємо довжину напрямного вектора:
5) Таким чином, відстань від точки до прямої:
У цій статті увага націлена на знаходження відстані між прямими методом координат, що схрещуються. Спочатку дано визначення відстані між прямими, що схрещуються. Далі отримано алгоритм, що дозволяє знайти відстань між прямими, що схрещуються. Наприкінці детально розібрано рішення прикладу.
Навігація на сторінці.
Відстань між прямими, що схрещуються, - визначення.
Перш ніж дати визначення відстані між прямими, що схрещуються, нагадаємо визначення прямих, що схрещуються, і доведемо теорему, пов'язану з прямими, що схрещуються.
Визначення.
- Це відстань між однією з прямих, що схрещуються, і паралельною їй площиною, що проходить через іншу пряму.
У свою чергу відстань між прямою та паралельною їй площиною є відстань від деякої точки прямої до площини. Тоді справедливе наступне формулювання визначення відстані між прямими, що схрещуються.
Визначення.
Відстань між схрещуючими прямими– це відстань від деякої точки однієї з прямих, що схрещуються, до площини, що проходить через іншу пряму паралельно першій прямій.
Розглянемо схрещувальні прямі a і b. Зазначимо на прямій a деяку точку М 1 , через пряму b проведемо площину , паралельну прямій a і з точки М 1 опустимо перпендикуляр М 1 H 1 на площину . Довжина перпендикуляра M 1 H 1 є відстань між прямими схрещуються a і b .
Знаходження відстані між схрещувальними прямими – теорія, приклади, рішення.
При знаходженні відстані між прямими схрещуються основна складність часто полягає в тому, щоб побачити або побудувати відрізок, довжина якого дорівнює шуканій відстані. Якщо такий відрізок побудований, то залежно від умов завдання його довжина може бути знайдена за допомогою теореми Піфагора, ознак рівності чи подібності до трикутників тощо. Так ми і чинимо при знаходженні відстані між прямими, що схрещуються, на уроках геометрії в 10-11 класах.
Якщо ж у тривимірному просторі введена Oxyz і в ній задані прямі, що схрещуються, a і b , то впоратися із завданням обчислення відстані між заданими схрещуються прямими дозволяє метод координат. Давайте його докладно розберемо.
Нехай - площина, що проходить через пряму b паралельно прямий a . Тоді відстань між схрещуючими прямими a і b за визначенням дорівнює відстані від деякої точки М 1 , що лежить на прямій a , до площини . Таким чином, якщо ми визначимо координати деякої точки М 1 , що лежить на прямій a і отримаємо нормальне рівняння площини у вигляді , то ми зможемо обчислити відстань від точки 
до площини за формулою (ця формула була отримана у статті знаходження відстані від точки до площини). А ця відстань дорівнює шуканій відстані між прямими, що схрещуються.
Тепер докладно.
Завдання зводиться до отримання координат точки М 1 , що лежить на прямій a і до знаходження нормального рівняння площини .
З визначенням координат точки М 1 складнощів не виникає, якщо добре знати основні види рівнянь прямої в просторі . А ось на отриманні рівняння площини варто зупинитись докладніше.
Якщо ми визначимо координати деякої точки М 2 через яку проходить площину , а також отримаємо нормальний вектор площини у вигляді 
то ми зможемо написати загальне рівняння площини як .
Як точку М 2 можна взяти будь-яку точку, що лежить на прямій b , так як площина проходить через пряму b . Таким чином, координати точки М2 можна вважати знайденими.
Залишилося отримати координати нормального вектора площини. Зробимо це.
Площина проходить через пряму b і паралельна до прямої a . Отже, нормальний вектор площини перпендикулярний і напрямному вектору прямої a (позначимо його), і напрямному вектору прямої b (позначимо його). Тоді як вектор можна взяти і , тобто, . Визначивши координати та напрямних векторів прямих a та b та обчисливши 
ми знайдемо координати нормального вектора площини.
Отже, маємо загальне рівняння площини : .
Залишається тільки привести загальне рівняння площини до нормального вигляду і обчислити відстань між схрещуваними прямими a і b за формулою .
Таким чином, щоб знайти відстань між прямими, що схрещуються, a і b потрібно:
Розберемо рішення прикладу.
приклад.
У тривимірному просторі в прямокутній системі координат Oxyz задані дві прямі, що схрещуються, a і b . Пряму a визначають
У матеріалі цієї статті розберемо питання про відстань між двома паралельними прямими, зокрема, за допомогою методу координат. Розбір типових прикладів допоможе закріпити набуті теоретичні знання.
Yandex.RTB R-A-339285-1 Визначення 1
Відстань між двома паралельними прямими- Це відстань від деякої довільної точки однієї з паралельних прямих до іншої прямої.
Наведемо ілюстрацію для наочності:
На кресленні зображено дві паралельні прямі aі b. Точка М 1 належить прямий a з неї опущений перпендикуляр на пряму b. Отриманий відрізок М 1 Н 1 є відстань між двома паралельними прямими aі b.
Зазначене визначення відстані між двома паралельними прямими справедливе як у площині, так прямих у тривимірному просторі. Крім того, це визначення взаємопов'язане з наступною теоремою.
Теорема
Коли дві прямі паралельні, всі точки однієї з них рівновіддалені від іншої прямої.
Доказ
Нехай нам задані дві паралельні прямі aі b. Задамо на прямий аточки М 1 і М 2 опустимо з них перпендикуляри на пряму b, позначивши їх підстави відповідно до Н 1 і Н 2 . М 1 Н 1 – це відстань між двома паралельними прямими за визначенням, і треба довести, що | М1Н1 | = | М2Н2 | .
Нехай також існуватиме деяка січна, яка перетинає дві задані паралельні прямі. Умова паралельності прямих, розглянута у відповідній статті, дає нам право стверджувати, що в даному випадку внутрішні навхрест лежачі кути, утворені при перетині січної заданих прямих, є рівними: ∠ M 2 M 1 H 2 = ∠ H 1 H 2 M 1 . Пряма М 2 Н 2 перпендикулярна до прямої b за побудовою, і, звичайно, перпендикулярна до прямої a . Отримані трикутники М 1 Н 1 Н 2 і М 2 М 1 Н 2 є прямокутними і рівними один одному за гіпотенузою та гострим кутом: М 1 Н 2 – загальна гіпотенуза, ∠ M 2 M 1 H 2 = ∠ H 1 H 2 M 1 . Спираючись на рівність трикутників, ми можемо говорити про рівність їх сторін, тобто: | М1Н1 | = | М2Н2 | . Теорему доведено.
Зауважимо, що відстань між двома паралельними прямими – найменша з відстаней від точок однієї прямої до точок іншої.
Знаходження відстані між паралельними прямими
Ми вже з'ясували, що, по суті, щоб знайти відстань між двома паралельними прямими, необхідно визначити довжину перпендикуляра, опущеного з точки однієї прямої на іншу. Способів, як це зробити, кілька. У якихось завданнях зручно скористатися теоремою Піфагора; інші передбачають використання ознак рівності чи подібності трикутників тощо. У випадках, коли прямі задані в прямокутній системі координат, можна обчислити відстань між двома паралельними прямими, використовуючи метод координат. Розглянемо його докладніше.
Поставимо умови. Припустимо, зафіксовано прямокутну систему координат, у якій задані дві паралельні прямі a і b . Необхідно визначити відстань між заданими прямими.
Розв'язання задачі побудуємо на визначенні відстані між паралельними прямими: для знаходження відстані між двома заданими паралельними прямими необхідно:
Знайти координати деякої точки М 1 , Що належить одній із заданих прямих;
Здійснити обчислення відстані від точки М 1 до заданої прямої, якій ця точка не належить.
Спираючись на навички роботи з рівняннями прямої на площині або просторі, визначити координати точки М 1 просто. При знаходженні відстані від точки М 1 до прямої стане в нагоді матеріал статті про знаходження відстані від точки до прямої.
Повернемося, наприклад. Нехай пряма a описується загальним рівнянням A x + B y + C 1 = 0, а пряма b – рівнянням A x + B y + C 2 = 0 . Тоді відстань між двома заданими паралельними прямими можна обчислити, використовуючи формулу:
M 1 H 1 = C 2 - C 1 A 2 + B 2
Виведемо цю формулу.
Використовуємо деяку точку М 1 (x 1 , y 1) , Що належить прямий a . У такому разі координати точки М 1 задовольнятимуть рівняння A x 1 + B y 1 + C 1 = 0 . Таким чином, справедливою є рівність: A x 1 + B y 1 + C 1 = 0 ; з нього отримаємо: A x 1 + B y 1 = - C1.
Коли З 2< 0 , нормальное уравнение прямой b будет иметь вид:
A A 2 + B 2 x + B A 2 + B 2 y + C 2 A 2 + B 2 = 0
При 2 ≥ 0 нормальне рівняння прямої b виглядатиме так:
A A 2 + B 2 x + B A 2 + B 2 y - C 2 A 2 + B 2 = 0
І тоді для випадків, коли 2< 0 , применима формула: M 1 H 1 = A A 2 + B 2 x 1 + B A 2 + B 2 y 1 + C 2 A 2 + B 2 .
А для С 2 ≥ 0 шукана відстань визначається за формулою M 1 H 1 = - A A 2 + B 2 x 1 - B A 2 + B 2 y 1 - C 2 A 2 + B 2 = = A A 2 + B 2 x 1 + B A 2 + B 2 y 1 + C 2 A 2 + B 2
Таким чином, при будь-якому значенні числа 2 довжина відрізка | М1Н1 | (від точки М 1 до прямої b) обчислюється за формулою: M 1 H 1 = A A 2 + B 2 x 1 + B A 2 + B 2 y 1 + C 2 A 2 + B 2
Вище ми отримали: A x 1 + B y 1 = - C 1 тоді можемо перетворити формулу: M 1 H 1 = - C 1 A 2 + B 2 + C 2 A 2 + B 2 = C 2 - C 1 A 2 + B 2 . Тож ми, власне, отримали формулу, вказану в алгоритмі методу координат.
Розберемо теорію з прикладів.
Приклад 1
Задано дві паралельні прямі y = 2 3 x - 1 і x = 4 + 3 · λ y = - 5 + 2 · λ. Потрібно визначити відстань між ними.
Рішення
Вихідні параметричні рівняння дають можливість задати координати точки, якою проходить пряма, описувана параметричними рівняннями. Таким чином, отримуємо точку М 1 (4 - 5) . Необхідна відстань - це відстань між точкою М 1 (4 , - 5) до прямої y = 2 3 x - 1, зробимо його обчислення.
Задане рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом y = 2 3 x - 1 перетворимо на нормальне рівняння прямої. З цією метою спочатку здійснимо перехід до загального рівняння прямої:
y = 2 3 x - 1 ⇔ 2 3 x - y - 1 = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 3 = 0
Обчислимо множник, що нормує: 1 2 2 + (- 3) 2 = 1 13 . Помножимо на нього обидві частини останнього рівняння і нарешті отримаємо можливість записати нормальне рівняння прямої: 1 13 · 2 x - 3 y - 3 = 1 13 · 0 ⇔ 2 13 x - 3 13 y - 3 13 = 0 .
При x = 4 , а y = - 5 обчислимо відстань як модуль значення крайньої рівності:
2 13 · 4 - 3 13 · - 5 - 3 13 = 20 13
Відповідь: 20 13 .
Приклад 2
У фіксованій прямокутній системі координат O x y задані дві паралельні прямі, що визначаються рівняннями x - 3 = 0 і x + 5 0 = y - 1 1 . Необхідно знайти відстань між заданими паралельними прямими.
Рішення
Умовами завдання визначено одне загальне рівняння, що задається з вихідних прямих: x-3=0. Перетворимо вихідне канонічне рівняння на загальне: x + 5 0 = y - 1 1 ⇔ x + 5 = 0 . При змінній x коефіцієнти в обох рівняннях рівні (також рівні і за y – нуля), а тому маємо можливість застосувати формулу для знаходження відстані між паралельними прямими:
M 1 H 1 = C 2 - C 1 A 2 + B 2 = 5 - (-3) 1 2 + 0 2 = 8
Відповідь: 8 .
Насамкінець розглянемо завдання на знаходження відстані між двома паралельними прямими у тривимірному просторі.
Приклад 3
У прямокутній системі координат O x y z задані дві паралельні прямі, що описуються канонічними рівняннями прямої в просторі: x - 3 1 = y - 1 = z + 2 4 і x + 5 1 = y - 1 - 1 = z - 2 4 . Необхідно знайти відстань між цими прямими.
Рішення
З рівняння x - 31 = y - 1 = z + 24 легко визначаються координати точки, через яку проходить пряма, що описується цим рівнянням: М 1 (3 , 0 , - 2) . Зробимо обчислення відстані | М1Н1 | від точки М 1 до прямої x + 5 1 = y - 1 - 1 = z - 24.
Пряма x + 5 1 = y - 1 - 1 = z - 2 4 проходить через точку М 2 (- 5, 1, 2). Запишемо напрямний вектор прямий x + 5 1 = y - 1 - 1 = z - 2 4 як b → з координатами (1, - 1, 4) . Визначимо координати вектора M 2 M → :
M 2 M 1 → = 3 - (- 5 , 0 - 1 , - 2 - 2) ⇔ M 2 M 1 → = 8 , - 1 , - 4
Обчислимо векторний добуток векторів:
b → × M 2 M 1 → = i → j → k → 1 - 1 4 8 - 1 - 4 = 8 · i → + 36 · j → + 7 · k → ⇒ b → × M 2 M 1 → = ( 8, 36, 7)
Застосуємо формулу розрахунку відстані від точки до прямої у просторі:
M 1 H 1 = b → × M 2 M 1 → b → = 8 2 + 36 2 + 7 2 1 2 + (-1) 2 + 4 2 = 1409 3 2
Відповідь: 1409 3 2 .
Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter