Теорема про площі подібних трикутників. Відношення площ подібних трикутників

вчитель: .

Тип уроку:урок ознайомлення з новим матеріалом.

Мета уроку:Довести властивість площ подібних трикутників і показати його практичну значущість під час вирішення завдань.

Завдання уроку:

    навчальні - довести властивість площ подібних трикутників і показати його практичну значущість під час вирішення завдань; розвиваючі – розвивати вміння аналізувати та підбирати аргументацію під час вирішення завдання, спосіб вирішення якої невідомий; виховні – виховувати інтерес до предмета через зміст навчального процесу створення ситуації успіху, виховувати вміння працювати у групі.

Учень має такі знання:

1. Визначення таких трикутників;

2. Застосування визначення подібних трикутників під час вирішення завдань;

3. Теорема про відношення площ трикутників, що мають по рівному куту;

Одиниця діяльнісного змісту, який потрібно засвоїти учням:

Хід уроку.

1. Організаційний момент.

2. Актуалізація знань.

3. Робота із проблемною ситуацією.

4. Підбиття підсумків уроку та запис домашнього завдання, рефлексія.

Методи навчання:словесні, наочні, проблемно-пошукові.

Форми навчання:фронтальна робота, робота в міні-групи, індивідуальна та самостійна робота.

Технології:задачно-цільова, інформаційні технології, компетентнісний підхід.

Обладнання:

    комп'ютер, проектор для презентації, інтерактивна дошка, документ камери; комп'ютерна презентація у Microsoft PowerPoint; опорний конспект;

Хід уроку

1. Організаційний момент.

Здрастуйте хлопці! Сідайте. Сьогодні ми маємо незвичайний урок. У нас на уроці є гості. Поверніться, будь ласка, та привітайте їх кивком голови. Дякую хлопці. Сідайте.

Сьогодні на уроці ми працюватимемо не в зошитах, а в опорних конспектах, які заповнюватимете на продовження всього уроку. Підпишіть його. Оцінка за урок складатиметься із двох складових: за опорний конспект та за активну роботу на уроці.

2. Актуалізація знань учнів. Підготовка до активної навчально-пізнавальної діяльності здебільшого етапі уроку.

Ми продовжуємо вивчати тему «подібність трикутників». Тому давайте згадаємо те, що вивчали на минулому уроці.

Теоретична розминка. Тест.У опорних конспектах перше завдання має тестовий характер. Дайте відповідь на запитання, вибираючи один із запропонованих варіантів відповіді, де необхідно впишіть свою відповідь.

1) Вчитель:Що називається ставленням двох відрізків?

Відповідь: Відношенням двох відрізків двох відрізків називається відношення їх довжин.

2) Вчитель:У якому разі відрізкиAB іCDпропорційні відрізкамA1 B1 іC1 D1

Відповідь: відрізкиAB іCDпропорційні відрізкамA1 B1 іC1 D1 , якщо

Ваші варіанти. Добре. Не забудьте виправити у когось не так.

3) Вчитель:Дайте визначення таких трикутників? Зверніться до опорного конспекту. У Вас є три варіанти відповіді на це запитання. Виберіть правильний. Обведіть його.

Так, будь ласка, який варіант вибрав ти

Відповідь: Два трикутники називаються подібними, якщо їх кути відповідно дорівнюють і сторони одного трикутника пропорційні сторонам іншого трикутника.

Молодці! Виправте в когось не так.

4) Вчитель:Чому дорівнює відношення площ двох трикутників, що мають по рівному куту?

Відповідь: Якщо кут одного трикутника дорівнює куту іншого трикутника, то площі цих трикутників відносяться як добутки сторін, що укладають рівні кути.

Розв'язання задач за готовими кресленнями. Далі наша розминка відбуватиметься в ході розв'язання задач за готовими кресленнями. Ці завдання також ви бачите у ваших опорних конспектах.

https://pandia.ru/text/80/368/images/image005_101.gif" width="480" height="360">

Відповідь: Сторони бермудського трикутника 2000 км, 1840 км, 2220 км. Довжина кордону 6060 км.

Рефлексія.

Можлива відповідь:у подібних трикутників подібні сторони пропорційні.

2. Ситуація успіху.

З розмірами Бермудського трикутника ми розібралися. Ну а тепер з'ясуємо виміри квіткової клумби. Перевертаємо опорні конспекти. Друге завдання. Це завдання вирішуємо, працюючи в парах. Перевіряємо аналогічним способом, але тільки результат представлятиме вже пара перша, що справилася із завданням.

Відповідь: сторони трикутної клумби 10м та 11м 20 см.

Отже, звіряємось. Чи всі згодні? Хто вирішував іншим способом?

Рефлексія.

Яким способом дії ви користувалися при вирішенні цього завдання? Запишіть у свій опорний конспект.

Можлива відповідь:

· У подібних трикутників відповідні кути рівні;

· Площі трикутників мають по рівному куту відносяться як твори сторін укладають рівні кути.

3. Ситуація збою.

5. Вивчення нового матеріалу.

При вирішенні третього завдання учні стикаються із проблемою. У них не виходить вирішити завдання, тому що на їхню думку недостатньо повна умова завдання або одержують необґрунтовану відповідь.

З таким типом завдань учні не зустрічалися раніше, тому стався збій під час вирішення завдання.

Рефлексія.

Яким способом намагалися вирішити?

Чому не вдалося вирішити останнє рівняння?

Учні: Ми не можемо знайти площу трикутника, якщо відомі тільки площа подібного трикутника та коефіцієнт подібності.

Таким чином, мета нашого урокузнайти площу трикутника, якщо відомі тільки площа подібного трикутника та коефіцієнт подібності.

Давайте переформулюємо завдання геометричною мовою. Вирішимо її, а потім повернемося до цього завдання.


Висновок: Відношення площ таких трикутників дорівнює квадрату коефіцієнта подібності.

Ну, а тепер давайте повернемося до завдання №3 і вирішимо його, спираючись на доведений факт.


7. Підсумок уроку

Що ви навчилися сьогодні робити нового?

Вирішувати задачі, в яких відомі коефіцієнт подібності та площа одного з подібних трикутників.

Яка геометрична властивість нам у цьому допомогла?

Відношення площ подібних трикутників дорівнює квадрату коефіцієнта подібності.

Домашнє завдання.

П. 58 стор.139 № 000, 548

Творче завдання.

Знайдіть чому дорівнює відношення периметрів двох подібних трикутників (№ 000)

1.3. Відношення площ таких трикутників. Теорема. Відношення площ двох подібних трикутників дорівнює квадрату коефіцієнта подібності. Доказ. Нехай трикутники ABC та A1B1C1 подібні і коефіцієнт подібності дорівнює k. Позначимо літерами S та S1 площі цих трикутників. Оскільки A= A1, то.

Слайд 11із презентації «Подібні трикутники» 8 клас». Обсяг архіву з презентацією 1756 КБ.

Геометрія 8 клас

короткий зміст інших презентацій

"Прямокутники" - Діагональ. Малюнки. Сторони прямокутника. Периметр прямокутника. Людина. Площа прямокутника. Прямокутник у житті. Визначення. Сторона прямокутника. Діагоналі. Казка про прямокутник. Прямокутник. Протилежні сторони.

«Скалярний твір у координатах» – вектор. Теорема Наполеона. Слідство. Властивості скалярного добутку векторів. Обміняйтесь картками. Вирішимо завдання. Геометрія. Скалярний твір у координатах та його властивості. Математичне тестування. Новий матеріал Рішення трикутника. Математична розминка. Ім'я автора теореми. Підтвердження теореми Піфагора.

«Знаходження площі паралелограма» - Площа паралелограма. Усні вправи. Висота. Визначення висоти паралелограма. Висота паралелограма. Знайдіть площу паралелограма. Площа трикутника. Площа квадратів. Властивості площ. Знайдіть площу трикутника. Знайдіть периметр квадрата. Підстава. Знайдіть площу прямокутника. Знайдіть площу квадрата. Ознаки рівності прямокутних трикутників.

"Вектори 8 клас" - Назвіть рівні та протилежні вектори. Вектори на уроках фізики. Абсолютна величина вектор. Абсолютна величина вектор. Прямокутник, у якого усі сторони рівні. Концепція вектор. Визначте координати вектора. Знайдіть та назвіть рівні вектори на цьому малюнку. Рівні вектор. Самостійна робота у парах. Векторні координати. Девіз уроку. Скалярні фізичні величини, такі як сила тертя, швидкість.

«Різні види симетрії» - Вимога. Ковзна симетрія. Рівнобедрений трикутник із дзеркальною симетрією. Теорія груп. Симетрія у біології. Обертальна симетрія. Двопроменева радіальна симетрія. Що таке симетрія | Суперсиметрія. Симетрія у геометрії. Симетрія у фізиці. Верхівка дзвони. Поява білатеральної симетрії. Білатеральна симетрія. Теорема Нетер. Відсутність симетрії. Симетрія фізики. Центральна симетрія.

"Квадрат у житті" - Квадрати знаходять нас скрізь. Індія. Магічний квадрат Альбрехта Дюрера. Історія. Квадрати. Магічний квадрат Ло Шу. Чорний квадрат. Загадка "Квадрат". Цікаві факти про квадрат. Геометричні фігури квадрат. Квадрат Малевіча. Магічний квадрат. Прямокутник. Квадрат. Основне поняття. Цікаві факти. Китай.

Мета уроку:дати визначення подібних трикутників, довести теорему щодо подібних трикутників.

Завдання уроку:

  • Освітні:учні повинні знати визначення подібних трикутників, теорему про відношенні подібних трикутників, вміти застосовувати їх при вирішенні завдань, реалізовувати міжпредметні зв'язки з алгеброю та фізикою.
  • Виховні:виховувати працьовитість, уважність, старанність, виховувати культуру поведінки учнів.
  • Розвиваючі:розвиток в учнів уваги, розвитку вміння міркувати, логічно мислити, робити висновки, розвитку в учнів грамотної математичної мови та мислення, розвивати навички самоаналізу та самостійності.
  • Здоров'язберігаючі:дотримання санітарно-гігієнічних норм, зміна видів діяльності на уроці.

Обладнання:комп'ютер, проектор, дидактичний матеріал: самостійні та контрольні роботи з алгебри та геометрії для 8 класу А.П. Єршова, та ін.

Тип уроку:Вивчення нового матеріалу.

Хід уроку

I. Організаційний момент(Привітання, перевірка готовності до уроку).

ІІ. Повідомлення теми уроку.

Вчитель:У повсякденному житті зустрічаються предмети однакової форми, але різних розмірів.

Приклад:футбольний та тенісний м'ячі.

У геометрії фігури однакової форми називають подібними: будь-які два кола, будь-які два квадрати.

Введемо поняття подібних трикутників.

Визначення:Два трикутники називаються подібними, якщо їх кути відповідно дорівнюють і сторони одного трикутника пропорційні подібним сторонам іншого.

Число k,рівне відношенню подібних сторін подібних трикутників, називається коефіцієнтом подібності. ΔABC ~ A 1 B 1 C 1

1. Усно:Чи подібні трикутники? Чому? (Заготовлене креслення на екрані).

а) Трикутник ABC і трикутник A 1 B 1 C 1 , якщо AB = 7, BC = 5, AC = 4, ∠A = 46˚, ∠C = 84˚, ∠A 1 = 46˚, ∠B 1 = 50 ˚, A 1 B 1 = 10,5, B 1 C 1 = 7,5, A 1 C 1 = 6.

б) В одному рівнобедреному трикутнику кут при вершині дорівнює 24˚, а в іншому рівнобедреному трикутнику кут при підставі дорівнює 78˚.

Хлопці! Згадаймо теорему про відношення площ трикутників, що мають за рівним кутом.

Теорема:Якщо кут одного трикутника дорівнює куту іншого трикутника, то площі цих трикутників відносяться як добутки сторін, що укладають рівні кути.

2. Письмова роботаза заготовленими кресленнями.

На екрані креслення:

а) Дано: BN: NC = 1:2,

BM = 7 см, AM = 3 см,

SMBN = 7 см 2 .

Знайти: S ABC

(Відповідь: 30 см 2 .)

б) Дано: AE = 2 см,

S AEK = 8 см 2 .

Знайти: S ABC

(Відповідь: 56 см 2 .)

3. Доведемо теорему про відношення площ таких трикутників ( доводить теорему учень на дошці, допомагає весь клас).

Теорема:Відношення двох подібних трикутників дорівнює квадрату коефіцієнта подібності.

4. Актуалізація знань.

Розв'язання задач:

1. Площа двох подібних трикутників дорівнює 75 см 2 і 300 см 2 . Одна зі сторін другого трикутника дорівнює 9см. Знайти подібну їй сторону першого трикутника. ( Відповідь: 4,5 см.)

2. Подібні сторони подібних трикутників дорівнюють 6см і 4см, а сума їх площ дорівнює 78 см 2 . Знайти площу цих трикутників. ( Відповідь: 54 см 2 та 24 см 2 .)

За наявності часу самостійна роботанавчального характеру.

Варіант 1

У подібних трикутників подібні сторони дорівнюють 7 см і 35 см.

Площа першого трикутника дорівнює 27 см2.

Знайти площу другого трикутника. ( Відповідь: 675 см 2 .)

Варіант 2

Площі подібних трикутників дорівнюють 17 см 2 і 68 см 2 . Сторона першого трикутника дорівнює 8см. Знайти подібну сторону другого трикутника. ( Відповідь: 4 см.)

5. Домашнє завдання:підручник з геометрії 7-9 Л.С. Атанасян та ін, п. 57, 58 № 545, 547.

6. Підбиття підсумків уроку.

Визначення та властивості подібних трикутників

Числа a 1 , a 2 , a 3 , …, a n називаються пропорційними числам b 1 , b 2 , b 3 , …, b n , якщо виконується рівність: a 1 / b 1 = а 2 / b 2 = a 3 / b 3 = … = a n / b n = k, де k – деяке число, яке називають коефіцієнтом пропорційності.

приклад.Числа 6; 7,5 та 15 пропорційні числам ‑4; 5 і 10. Коефіцієнтом пропорційності є число -1,5, оскільки

6/-4 = -7,5/5 = 15/-10 = -1,5.

Пропорційність чисел має місце, якщо ці числа пов'язані пропорцією.

Відомо, що пропорцію можна скласти не менше ніж з чотирьох чисел, тому поняття пропорційності застосовується як мінімум до чотирьох чисел (одна пара чисел пропорційна іншій парі або одна трійка чисел пропорційна іншій трійці, і т.д.).

Розглянемо на рис. 1два трикутники АВС і А 1 В 1 С 1 з рівними попарно кутами: A = A 1 B = B 1 C = C 1 .

Сторони, які протилежать рівним парам кутів обох трикутників, називаються подібними. Так, на рис. 1сторони AB і A 1 B 1 AC і A 1 C 1 BC і B 1 C 1 подібні, оскільки лежать навпроти відповідно рівних кутів трикутників ABC і A 1 B 1 C 1 .

Дамо визначення подібних трикутників:

Два трикутники називаються подібнимиякщо їх кути попарно рівні, а подібні сторони пропорційні.

Відношення подібних сторін подібних трикутників називається коефіцієнтом подібності.

Подібні трикутники позначаються наступним чином: ABC ~ A 1 B 1 C 1 .

Отже, на рис. 2маємо: Δ ABC ~ Δ A 1 B 1 C 1

кути A = A 1 , B = B 1 , C = C 1 і AB/A 1 B 1 = ВC/В 1 C 1 = АС/А 1 С 1 = k, де k – коефіцієнт подібності. З рис. 2видно, що у подібних трикутників однакові пропорції, і вони відрізняються лише масштабом.

Примітка 1: Рівні трикутники подібні до коефіцієнта 1.

Примітка 2: При позначенні таких трикутників слід упорядкувати вершини таким чином, щоб кути при них були попарно рівні. Наприклад, для трикутників, зображених на малюнку 2 говорити, що ABC ~ B 1 C 1 A 1 некоректно. Дотримуючись правильного порядку вершин, зручно виписувати пропорцію, що зв'язує подібні сторони трикутників, не звертаючись до креслення: у чисельнику та знаменнику відповідних відносин повинні стояти пари вершин, що займають однакові позиції у позначенні подібних трикутників. Наприклад, із запису «ABC ~ KNL» випливає, що кути A = K, B = N, C = L, і АВ/KN = BC/NL = AC/KL.

Примітка 3: Ті вимоги, які перераховані у визначенні таких трикутників, є надмірними. Ознаки подібності трикутників, які містять менше вимог до подібних трикутників, доведемо трохи пізніше.

Сформулюємо властивості подібних трикутників:

  1. Відношення відповідних лінійних елементів подібних трикутників дорівнює коефіцієнту їхньої подоби. До таких елементів таких трикутників відносяться ті, які вимірюються в одиницях довжини. Це, наприклад, сторона трикутника, периметр, медіана. Кут або площа до таких елементів не належать.
  2. Відношення площ подібних трикутників дорівнює квадрату коефіцієнта їхньої подоби.

Нехай трикутники ABC і A 1 B 1 C 1 подібні до коефіцієнта k (Рис. 2).

Доведемо, що S ABC /S A1 B1 C1 = k2.

Оскільки кути подібних трикутників попарно рівні, тобто A = A 1 і по теоремі про відношення площ трикутників, що мають по рівному куту, маємо:

S ABC /S A1 B1 C1 = (AB · AC) / (A 1 B 1 · A 1 C 1) = AB/A 1 B 1 · AC/A 1 C 1 .

Через подібність трикутників AB/A 1 B 1 = k і AC/A 1 C 1 = k,

тому S ABC /S A1 B1 C1 = AB/A 1 B 1 · AC/A 1 C 1 = k · k = k 2 .

Примітка: Сформульовані вище властивості подібних трикутників є справедливими і для довільних фігур.

Ознаки подоби трикутників

Вимоги, які пред'являються до подібних трикутників визначенням (це рівність кутів та пропорційність сторін) є надмірними. Встановлювати подобу трикутників можна і за меншою кількістю елементів.

Так, при вирішенні завдань найчастіше використовується перша ознака подібності трикутників, що стверджує, що для подібності двох трикутників достатньо рівності їх кутів:

Перша ознака подоби трикутників (по двох кутах): Якщо два кути одного трикутника відповідно дорівнюють двом кутам другого трикутника, то ці трикутники подібні (Рис. 3).

Нехай дані трикутники ABC, A 1 B 1 C 1 , в яких кути A = A 1 , B = B 1 . Необхідно довести, що ABC ~ A 1 B 1 C 1 .

Доказ.

1) За теоремою про суму кутів трикутника маємо:

кут C = 180 ° (кут A + кут B) = 180 ° (кут A 1 + кут B 1) = кут C 1 .

2) За теоремою про відношення площ трикутників, що мають по рівному куту,

S ABC / S A1 B1 C1 = (AB · AC) / (A 1 B 1 · A 1 C 1) = (AB · ВC) / (A 1 B 1 · В 1 C 1) = (AС · ВC) / (A 1 С 1 · В 1 C 1).

3) З рівності (AB · AC) / (A 1 B 1 · A 1 C 1) = (AB · ВC) / (A 1 B 1 · В 1 C 1) випливає, що AC/A 1 C 1 = BС /В 1 З 1 .

4) З рівності (AB · ВC) / (A 1 B 1 · В 1 C 1) = (AС · ВC) / (A 1 С 1 · В 1 C 1) випливає, що AВ/A 1 В 1 = АС /А 1 З 1 .

Таким чином, у трикутників ABC і A 1 B 1 C 1 DA = DA 1 , DB = DB 1 , DC = DC 1 і AB/A 1 B 1 = АС/А 1 С 1 .

5) AB/A 1 B 1 = АС/А 1 З 1 = ВC/В 1 C 1 , тобто подібні сторони пропорційні. Отже, ΔABC ~ ΔA 1 B 1 C 1 за визначенням.

Теорема про пропорційні відрізки. Розподіл відрізка у заданому відношенні

Теорема про пропорційні відрізки є узагальненням теореми Фалеса.

Для використання теореми Фалеса необхідно, щоб паралельні прямі, що перетинають дві дані прямі, відсікали на одній із них рівні відрізки. Узагальнена ж теорема Фалеса стверджує, що й паралельні прямі перетинають дві дані прямі, то відрізки, отсекаемые ними однієї прямий, пропорційні відрізкам, отсекаемым на другий прямий.

Теорема про пропорційні відрізки доводиться аналогічно до теореми Фалеса (тільки замість рівності трикутників тут використовується їх подібність).

Теорема про пропорційні відрізки (узагальнена теорема Фалеса):Паралельні прямі, що перетинають дві дані прямі, відсікають на них пропорційні відрізки.

Властивість медіан трикутника

Перша ознака подібності трикутників дозволяє довести властивість медіан трикутника:

Властивість медіан трикутника:Медіани трикутника перетинаються в одній точці, і діляться цією точкою щодо 2:1, рахуючи від вершини (Рис. 4).

Точка перетину медіан називається центроїдомтрикутник.

Нехай дано Δ ABC, у якого AA 1 , BB 1 , CC 1 – медіани, крім того, AA 1 ∩CC 1 = O. Необхідно довести, що BB 1 ∩ CC 1 = O та АО/ОА 1 = ВО/ОВ 1 = ЗІ/ОС 1 = 2.

Доказ.

1) Проведемо середню лінію A 1 C 1 . По теоремі про середню лінію трикутника A 1 C 1 || AC і A 1 C 1 = AC/2.

2) Трикутники AOC і A 1 OC 1 подібні по двох кутах (кут AOC = куту A 1 OC 1 як вертикальні, кут OAC = куту OA 1 C 1 як внутрішні навхрест що лежать при A 1 C 1 || AC і січній AA 1) , Отже, за визначенням подібних трикутників АО/А 1 О = ОС/ОС 1 = АС/А 1 С 1 = 2.

3) Нехай BB 1 ∩CC 1 = O 1 . Аналогічно пунктам 1 і 2 можна довести, що ВО/О 1 В 1 = СО 1 /О 1 С = 2. Але оскільки на відрізку СС 1 існує єдина точка О, що ділить його щодо СО: ОС 1 = 2: 1, то точки О і О 1 збігаються. Значить, всі медіани трикутника перетинаються в одній точці, що ділить кожну з них щодо 2:1, рахуючи від вершини.

У курсі геометрії у темі «площі багатокутників» доводиться той факт, що медіана розбиває довільний трикутник на дві рівновеликі частини. Крім того, при перетині трьох медіан трикутника утворюється шість рівновеликих трикутників.

Залишились питання? Не знаєте, як вирішувати завдання на кшталт трикутників?
Щоб отримати допомогу репетитора – .
Перший урок – безкоштовно!

blog.сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Пропорційні відрізки

Для запровадження поняття подоби спочатку ми повинні згадати поняття пропорційних відрізків. Згадаймо також визначення відношення двох відрізків.

Визначення 1

Відношенням двох відрізків називається відношення їх довжин.

Поняття пропорційності відрізків має місце і для більшої кількості відрізків. Нехай, наприклад, $AB=2$, $CD=4$, $A_1B_1=1$, $C_1D_1=2$, $A_2B_2=4$, $C_2D_2=8$, тоді

Тобто відрізки $AB$, $A_1B_1$, $\A_2B_2$ пропорційні відрізкам $CD$, $C_1D_1$, $C_2D_2$.

Подібні трикутники

Згадаймо спершу, що взагалі уявляє собі поняття подоби.

Визначення 3

Фігури називаються подібними, якщо вони мають однакову форму, але різні розміри.

Розберемося тепер із поняттям подібних трикутників. Розглянемо рисунок 1.

Малюнок 1. Два трикутники

Нехай у цих трикутників $ angle A = angle A_1, \ angle B = angle B_1, \ angle C = angle C_1 $. Введемо таке визначення:

Визначення 4

Сторони двох трикутників називаються подібними, якщо вони лежать навпроти рівних кутів цих трикутників.

На малюнку 1, сторони $AB$ і $A_1B_1$, $BC$ і $B_1C_1$, $AC$ і $A_1C_1$ подібні. Введемо тепер визначення таких трикутників.

Визначення 5

Два трикутники називаються подібними, якщо кути всі кути одного трикутника відповідно дорівнюють кутам іншого і трикутника, і всі подібні сторони цих трикутників пропорційні, тобто

\[\angle A=\angle A_1,\ \angle B=\angle B_1,\ \angle C=\angle C_1,\] \[\frac(AB)(A_1B_1)=\frac(BC)((B_1C) _1)=\frac(AC)(A_1C_1)\]

На малюнку 1 зображені такі трикутники.

Позначення: $ABC\sim A_1B_1C_1$

Для поняття подібності є також поняття коефіцієнта подібності.

Визначення 6

Число $k$, що дорівнює відношенню подібних сторін подібних фігур називається коефіцієнтом подібності цих фігур.

Площі подібних трикутників

Розглянемо тепер теорему про відношення площ таких трикутників.

Теорема 1

Відношення площ двох подібних трикутників дорівнює квадрату коефіцієнта подібності, тобто

\[\frac(S_(ABC))(S_(A_1B_1C_1))=k^2\]

Доказ.

Розглянемо два подібні трикутники і позначимо їх площі відповідно $S$ і $S_1$ (рис. 2).

Малюнок 2.

Для доказу цієї теореми пригадаємо таку теорему:

Теорема 2

Якщо кут одного трикутника дорівнює куту другого трикутника, їх площі відносяться як твори сторін, прилеглих до цього куту.

Оскільки трикутники $ABC$ і $A_1B_1C_1$ подібні, то, за визначенням,$angle A=angle A_1$. Тоді, за теоремою 2, отримаємо, що

Оскільки $\frac(AB)(A_1B_1)=\frac(AC)(A_1C_1)=k$, отримаємо

Теорему доведено.

Завдання, пов'язані з поняттям подоби трикутника

Приклад 1

Дані подібні трикутники $ABC$ і $A_1B_1C_1.$ Сторони першого трикутника $AB=2,\BC=5,\AC=6$. Коефіцієнт подібності даних трикутників $ k = 2 $. Знайти сторони другого трикутника.

Рішення.

Це завдання має два можливі рішення.

    Нехай $k=\frac(A_1B_1)(AB)=\frac((B_1C)_1)(BC)=\frac(A_1C_1)(AC)$.

    Тоді $A_1B_1=kAB,\(B_1C)_1=kBC,\A_1C_1=kAC$.

    Отже, $A_1B_1=4,\ (B_1C)_1=10,\ A_1C_1=12$

    Нехай $k=\frac(AB)(A_1B_1)=\frac(BC)((B_1C)_1)=\frac(AC)(A_1C_1)$

    Тоді $A_1B_1=\frac(AB)(k),\ (B_1C)_1=\frac(BC)(k),\ A_1C_1=\frac(AC)(k)$.

    Отже, $A_1B_1=1,\(B_1C)_1=2,5,\A_1C_1=3$.

Приклад 2

Дано такі трикутники $ABC$ і $A_1B_1C_1.$ Сторона першого трикутника $AB=2$, відповідна сторона другого трикутника $A_1B_1=6$. Висота першого трикутника $ CH = 4 $. Знайти площу другого трикутника.

Рішення.

Оскільки трикутники $ABC$ і $A_1B_1C_1$ подібні, то $k=\frac(AB)(A_1B_1)=\frac(1)(3)$.

Знайдемо площу першого трикутника.

По теоремі 1, маємо:

\[\frac(S_(ABC))(S_(A_1B_1C_1))=k^2\] \[\frac(4)(S_(A_1B_1C_1))=\frac(1)(9)\] \