Отже, Велика теорема Ферма (нерідко звана останньою теоремою Ферма), сформульована в 1637 блискучим французьким математиком П'єром Ферма, дуже проста за своєю суттю і зрозуміла будь-якій людині із середньою освітою. Вона говорить, що формула а в ступені n + b у ступені n = c у ступені n не має натуральних (тобто не дробових) рішень для n > 2. Начебто все просто і зрозуміло, але найкращі вчені-математики та прості любителі билися над пошуком рішення понад три з половиною століть.
Чому вона така знаменита? Зараз дізнаємось...
Чи мало доведених, недоведених і доки не доведених теорем? Тут вся справа в тому, що Велика теорема Ферма є найбільшим контрастом між простотою формулювання і складністю доказу. Велика теорема Ферма – завдання неймовірно важке, проте її формулювання може зрозуміти кожен із 5-ма класами середньої школи, а ось доказ – навіть далеко не всякий математик-професіонал. Ні в фізиці, ні в хімії, ні в біології, ні в тій же математиці немає жодної проблеми, яка б формулювалася так просто, але залишалася невирішеною так довго. 2. У чому вона полягає?
Почнемо з піфагорових штанів Формулювання справді просте – на перший погляд. Як відомо нам з дитинства, «Піфагорові штани на всі боки рівні». Проблема виглядає настільки простою тому, що в її основі лежало математичне твердження, яке всім відомо, – теорема Піфагора: у будь-якому прямокутному трикутнику квадрат, побудований на гіпотенузі, дорівнює сумі квадратів, побудованих на катетах.
У V столітті до н. Піфагор заснував піфагорійське братство. Піфагорійці, крім іншого, вивчали цілі трійки, що задовольняють рівності x²+y²=z². Вони довели, що піфагорових трійок нескінченно багато, і отримали загальні формули для їхнього знаходження. Напевно, вони намагалися шукати трійки та вищих ступенів. Переконавшись, що це не виходить, піфагорійці залишили марні спроби. Члени братства були більше філософами та естетами, ніж математиками.
Тобто легко підібрати безліч чисел, які чудово задовольняють рівності x²+y²=z²
Починаючи з 3, 4, 5 – справді, молодшокласнику зрозуміло, що 9+16=25.
Або 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. Чудово.
Ну і таке інше. А якщо взяти схоже рівняння x? + y? = z? Може, також є такі числа?
І так далі (рис.1).
Так от, виявляється, що їх немає. Ось тут починається каверза. Простота - здається, тому що важко довести не наявність чогось, а навпаки, відсутність. Коли треба довести, що рішення є, можна і потрібно просто навести це рішення.
Довести відсутність складніше: наприклад, хтось каже: таке рівняння не має рішень. Посадити його в калюжу? легко: бац - а ось воно, рішення! (Приведіть рішення). І все, опонент вражений. А як довести відсутність?
Сказати: "Я не знайшов таких рішень"? А може, ти погано шукав? А раптом вони є, тільки дуже великі, ну дуже такі, що навіть у надпотужного комп'ютера поки не вистачає сил? Ось це й складно.
У наочному вигляді це можна показати так: якщо взяти два квадратики відповідних розмірів і розібрати на одиничні квадратики, то з цієї купки одиничних квадратиків виходить третій квадратик (рис. 2):
А зробимо те саме з третім виміром (рис. 3) – не виходить. Бракує кубиків, або залишаються зайві:
А ось математик XVII століття француз П'єр де Ферма із захопленням досліджував загальне рівняння x n + y n = z n . І, нарешті, зробив висновок: при n>2 цілих рішень не існує. Доказ Ферма безповоротно втрачено. Рукописи горять! Залишилося лише його зауваження в «Арифметиці» Діофанта: «Я знайшов справді дивовижний доказ цієї пропозиції, але поля тут занадто вузькі для того, щоб вмістити його».
Взагалі теорема без доказу називається гіпотезою. Але за Ферма закріпилася слава, що він ніколи не помиляється. Навіть якщо він не залишав докази якогось твердження, згодом воно підтверджувалося. До того ж Ферма довів свою тезу для n=4. Так гіпотеза французького математика увійшла до історії як Велика теорема Ферма.
Після Ферма над пошуком доказу працювали такі великі уми, як Леонард Ейлер (в 1770 їм було запропоновано рішення для n = 3),
Адрієн Лежандр і Йоган Діріхле (ці вчені в 1825 році спільно знайшли доказ для n = 5), Габріель Ламе (який знайшов доказ для n = 7) і багато інших. До середини 80-х років минулого століття стало зрозуміло, що вчений світ перебуває на шляху до остаточного вирішення Великої теореми Ферма, проте лише в 1993 математики побачили і повірили, що тривікова епопея з пошуку доказу останньої теореми Ферма практично закінчилася.
Легко показується, що теорему Ферма достатньо довести лише для простих n: 3, 5, 7, 11, 13, 17, … При складових n доказ залишається чинним. Але й простих чисел нескінченно багато.
У 1825 році, застосувавши метод Софі Жермен, жінки-математика, Діріхле та Лежандр незалежно одна від одної довели теорему для n=5. У 1839 року тим самим методом француз Габріель Ламе показав істинність теореми для n=7. Поступово теорему довели майже всім n, менших ста.
Нарешті, німецький математик Ернст Куммер у блискучому дослідженні показав, що методами математики ХІХ століття теорему у вигляді довести не можна. Премія Французької Академії Наук, започаткована в 1847 році за доказ теореми Ферма, залишилася неврученою.
У 1907 році багатий німецький промисловець Пауль Вольфскель через нерозділене кохання вирішив звести рахунки з життям. Як справжній німець він призначив дату і час самогубства: рівно опівночі. В останній день він склав заповіт та написав листи друзям та родичам. Справи закінчилися раніше півночі. Слід сказати, що Пауль цікавився математикою. Від нічого робити він пішов у бібліотеку і почав читати знамениту статтю Куммера. Несподівано йому здалося, що Куммер у ході міркувань зробив помилку. Вольфскель став із олівцем у руках розбирати це місце статті. Опівночі минула, настав ранок. Пробіл у доказі було заповнено. Та й сам привід для самогубства тепер виглядав абсолютно безглуздим. Пауль розірвав прощальні листи та переписав заповіт.
Незабаром він помер природною смертю. Спадкоємці були неабияк здивовані: 100 000 марок (понад 1 000 000 нинішніх фунтів стерлінгів) передавалися на рахунок Королівського наукового товариства Геттінгена, яке того ж року оголосило про проведення конкурсу на здобуття премії Вольфскеля. 100 000 марок покладалися теорему Ферма, що доказав. За спростування теореми не належало ні пфеніг...
Більшість професійних математиків уважали пошук доказу Великої теореми Ферма безнадійною справою і рішуче відмовлялися витрачати час на таке марне заняття. Зате любителі повеселіли на славу. Через кілька тижнів після оголошення на Геттінгенському університеті обрушилася лавина «доказів». Професор Е. М. Ландау, в обов'язок якого входив розбір надісланих доказів, роздав своїм студентам картки:
Шановний(а) . . . . . . . .
Дякую Вам за надісланий Вами рукопис із доказом Великої теореми Ферма. Перша помилка знаходиться на стор. ... у рядку... . Через неї весь доказ втрачає чинність.
Професор Е. М. Ландау
1963 року Пауль Коен, спираючись на висновки Геделя, довів нерозв'язність однієї з двадцяти трьох проблем Гільберта — гіпотези континууму. А що, якщо Велика теорема Ферма теж нерозв'язна? Але справжніх фанатиків Великої теореми це не розчарувало. Поява комп'ютерів зненацька дала математикам новий спосіб підтвердження. Після Другої світової війни групи програмістів та математиків довели Велику теорему Ферма за всіх значень n до 500, потім до 1 000, а пізніше до 10 000.
У 80-ті роки Семюель Вагстафф підняв межу до 25 000, а в 90-ті математики заявили, що Велика теорема Ферма вірна при всіх значеннях n до 4 мільйонів. Але якщо від нескінченності відібрати навіть трильйон трильйонів, вона не стане меншою. Математиків не переконує статистика. Довести Велику теорему означало довести її ВСІХ n, які у нескінченність.
У 1954 році два молодих японських друга-математика зайнялися дослідженням модулярних форм. Ці форми породжують ряди чисел, кожна – свій ряд. Випадково Таніяма порівняв ці ряди із рядами, що породжуються еліптичними рівняннями. Вони збігалися! Але модулярні форми – геометричні об'єкти, а еліптичні рівняння – алгебраїчні. Між такими різними об'єктами ніколи не знаходили зв'язку.
Проте друзі після ретельної перевірки висунули гіпотезу: у кожного еліптичного рівняння існує двійник – модулярна форма, і навпаки. Саме ця гіпотеза стала фундаментом цілого напряму в математиці, але до тих пір, поки гіпотеза Таніями-Сімури не була доведена, вся будівля могла впасти в будь-який момент.
В 1984 Герхард Фрей показав, що рішення рівняння Ферма, якщо воно існує, можна включити в деяке еліптичне рівняння. Двома роками пізніше професор Кен Рібет довів, що це гіпотетичне рівняння не може мати двійника у модулярному світі. Відтепер Велика теорема Ферма була нерозривно пов'язана з гіпотезою Таніями-Сімури. Довівши, що будь-яка еліптична крива модулярна, робимо висновок, що еліптичного рівняння з рішенням рівняння Ферма немає, і Велика теорема Ферма було б відразу доведено. Але протягом тридцяти років довести гіпотезу Таніями-Сімури не вдавалося, і надій на успіх залишалося все менше.
У 1963 році, коли йому було лише десять років, Ендрю Вайлз вже був зачарований математикою. Коли він дізнався про Велику теорему, то зрозумів, що не зможе відмовитися від неї. Школярем, студентом, аспірантом він готував себе до цього завдання.
Дізнавшись про висновки Кена Рібета, Уайлз з головою пішов на доказ гіпотези Таніями-Сімури. Він вирішив працювати у повній ізоляції та таємності. «Я розумів, що все, що має якесь відношення до Великої теореми Ферма, викликає надто великий інтерес… Занадто багато глядачів наперед заважають досягненню мети». Сім років наполегливої роботи принесли плоди, Уайлс нарешті завершив доказ гіпотези Таніями-Сімури.
У 1993 році англійський математик Ендрю Уайлс представив світові свій доказ Великої теореми Ферма (Уайльс прочитав свою сенсаційну доповідь на конференції в Інституті сера Ісаака Ньютона в Кембриджі), робота над яким тривала понад сім років.
Поки в пресі продовжувався галас, розпочалася серйозна робота з перевірки доказу. Кожен фрагмент доказу повинен бути ретельно вивчений перш ніж доказ може бути визнаний суворим та точним. Уайлс провів неспокійне літо в очікуванні відгуків рецензентів, сподіваючись, що йому вдасться отримати схвалення. Наприкінці серпня експерти виявили недостатньо обґрунтоване судження.
Виявилося, що це рішення містить грубу помилку, хоча загалом і правильно. Уайлс не здався, закликав на допомогу відомого фахівця з теорії чисел Річарда Тейлора, і вже 1994 року вони опублікували виправлений і доповнений доказ теореми. Найдивовижніше, що ця робота зайняла цілих 130 (!) смуг у математичному журналі "Annals of Mathematics". Але й на цьому історія не закінчилася — останню точку було поставлено лише наступного, 1995 року, коли вийшов остаточний і «ідеальний», з математичної точки зору, варіант доказу.
«…через півхвилини після початку святкового обіду з нагоди її дня народження, я подарував Наді рукопис повного доказу» (Ендрю Уальс). Я ще не говорив, що математики дивні люди?
На цей раз жодних сумнівів у доказі не було. Дві статті були піддані ретельному аналізу і в травні 1995 року були опубліковані в журналі «Annals of Mathematics».
З того моменту минуло чимало часу, однак у суспільстві досі існує думка про нерозв'язність Великої теореми Ферма. Але навіть ті, хто знає про знайдений доказ, продовжують роботу в цьому напрямі — мало кого влаштовує, що Велика теорема потребує вирішення 130 сторінок!
Тому зараз сили дуже багатьох математиків (переважно це любителі, а не професійні вчені) кинуті на пошуки простого та лаконічного доказу, проте цей шлях, швидше за все, не приведе нікуди. August 5th, 2013
У світі можна знайти не так багато людей, які жодного разу не чули про Велику теорему Ферма - мабуть, це єдина математична задача, що отримала таку широку популярність і стала справжньою легендою. Про неї згадується в безлічі книг і фільмів, при цьому головний контекст майже всіх згадок - неможливість довести теорему.
Так, ця теорема дуже відома і в певному сенсі стала «ідолом», якому поклоняються математики-аматори та професіонали, але мало кому відомо про те, що її доказ знайдено, а сталося це вже далекого 1995 року. Але про все по порядку.
Отже, Велика теорема Ферма (нерідко звана останньою теоремою Ферма), сформульована в 1637 році блискучим французьким математиком П'єром Ферма, дуже проста за своєю суттю і зрозуміла будь-якій людині із середньою освітою. Вона говорить, що формула а в ступені n + b у ступені n = c у ступені n не має натуральних (тобто не дробових) рішень для n > 2. Начебто все просто і зрозуміло, але найкращі вчені-математики та прості любителі билися над пошуком рішення понад три з половиною століть.
Чому вона така знаменита? Зараз дізнаємось...
Чи мало доведених, недоведених і доки не доведених теорем? Тут вся справа в тому, що Велика теорема Ферма є найбільшим контрастом між простотою формулювання і складністю доказу. Велика теорема Ферма - завдання неймовірно важка, проте її формулювання може зрозуміти кожен з 5-ма класами середньої школи, а ось доказ - навіть далеко не всякий математик-професіонал. Ні в фізиці, ні в хімії, ні в біології, ні в тій же математиці немає жодної проблеми, яка б формулювалася так просто, але залишалася невирішеною так довго. 2. У чому вона полягає?
Почнемо з піфагорових штанів Формулювання справді просте - на перший погляд. Як відомо нам з дитинства, «Піфагорові штани на всі боки рівні». Проблема виглядає настільки простою тому, що в її основі лежало математичне твердження, яке всім відомо, - теорема Піфагора: у будь-якому прямокутному трикутнику квадрат, побудований на гіпотенузі, дорівнює сумі квадратів, побудованих на катетах.
У V столітті до н. Піфагор заснував піфагорійське братство. Піфагорійці, крім іншого, вивчали цілі трійки, що задовольняють рівності x²+y²=z². Вони довели, що піфагорових трійок нескінченно багато, і отримали загальні формули для їхнього знаходження. Напевно, вони намагалися шукати трійки та вищих ступенів. Переконавшись, що це не виходить, піфагорійці залишили марні спроби. Члени братства були більше філософами та естетами, ніж математиками.
Тобто легко підібрати безліч чисел, які чудово задовольняють рівності x²+y²=z²
Починаючи з 3, 4, 5 – справді, молодшокласнику зрозуміло, що 9+16=25.
Або 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. Чудово.
Так от, виявляється, що їх немає. Ось тут починається каверза. Простота - здається, тому що важко довести не наявність чогось, а навпаки, відсутність. Коли треба довести, що рішення є, можна і потрібно просто навести це рішення.
Довести відсутність складніше: наприклад, хтось каже: таке рівняння не має рішень. Посадити його в калюжу? легко: бац – а ось воно, рішення! (Приведіть рішення). І все, опонент вражений. А як довести відсутність?
Сказати: "Я не знайшов таких рішень"? А може, ти погано шукав? А раптом вони є, тільки дуже великі, ну дуже такі, що навіть у надпотужного комп'ютера поки не вистачає сил? Ось це й складно.
У наочному вигляді це можна показати так: якщо взяти два квадратики відповідних розмірів і розібрати на одиничні квадратики, то з цієї купки одиничних квадратиків виходить третій квадратик (рис. 2):
А зробимо те саме з третім виміром (рис. 3) – не виходить. Бракує кубиків, або залишаються зайві:
А ось математик XVII століття француз П'єр де Ферма із захопленням досліджував загальне рівняння xn+yn=zn. І, нарешті, зробив висновок: при n>2 цілих рішень не існує. Доказ Ферма безповоротно втрачено. Рукописи горять! Залишилося лише його зауваження в «Арифметиці» Діофанта: «Я знайшов справді дивовижний доказ цієї пропозиції, але поля тут занадто вузькі для того, щоб вмістити його».
Взагалі теорема без доказу називається гіпотезою. Але за Ферма закріпилася слава, що він ніколи не помиляється. Навіть якщо він не залишав доказів будь-якого твердження, згодом воно підтверджувалося. До того ж Ферма довів свою тезу для n=4. Так гіпотеза французького математика увійшла до історії як Велика теорема Ферма.
Після Ферма над пошуком доказу працювали такі великі уми, як Леонард Ейлер (в 1770 їм було запропоновано рішення для n = 3),
Адрієн Лежандр і Йоган Діріхле (ці вчені в 1825 році спільно знайшли доказ для n = 5), Габріель Ламе (який знайшов доказ для n = 7) і багато інших. До середини 80-х років минулого століття стало зрозуміло, що вчений світ знаходиться на шляху до остаточного вирішення Великої теореми Ферма, проте тільки в 1993 математики побачили і повірили, що тривікова епопея з пошуку доказів останньої теореми Ферма практично закінчилася.
Легко показується, що теорему Ферма достатньо довести лише для простих n: 3, 5, 7, 11, 13, 17, … При складових n доказ залишається чинним. Але й простих чисел нескінченно багато.
У 1825 році, застосувавши метод Софі Жермен, жінки-математика, Діріхле та Лежандр незалежно одна від одної довели теорему для n=5. У 1839 року тим самим методом француз Габріель Ламе показав істинність теореми для n=7. Поступово теорему довели майже всім n, менших ста.
Нарешті, німецький математик Ернст Куммер у блискучому дослідженні показав, що методами математики ХІХ століття теорему у вигляді довести не можна. Премія Французької Академії Наук, започаткована в 1847 році за доказ теореми Ферма, залишилася неврученою.
У 1907 році багатий німецький промисловець Пауль Вольфскель через нерозділене кохання вирішив звести рахунки з життям. Як справжній німець він призначив дату і час самогубства: рівно опівночі. В останній день він склав заповіт та написав листи друзям та родичам. Справи закінчилися раніше за північ. Слід сказати, що Пауль цікавився математикою. Від нічого робити він пішов у бібліотеку і почав читати знамениту статтю Куммера. Несподівано йому здалося, що Куммер у ході міркувань зробив помилку. Вольфскель став із олівцем у руках розбирати це місце статті. Опівночі минула, настав ранок. Пробіл у доказі було заповнено. Та й сам привід для самогубства тепер виглядав абсолютно безглуздим. Пауль розірвав прощальні листи та переписав заповіт.
Незабаром він помер природною смертю. Спадкоємці були неабияк здивовані: 100 000 марок (понад 1 000 000 нинішніх фунтів стерлінгів) передавалися на рахунок Королівського наукового товариства Геттінгена, яке того ж року оголосило про проведення конкурсу на здобуття премії Вольфскеля. 100 000 марок покладалися теорему Ферма, що доказав. За спростування теореми не належало ні пфеніг...
Більшість професійних математиків уважали пошук доказу Великої теореми Ферма безнадійною справою і рішуче відмовлялися витрачати час на таке марне заняття. Зате любителі повеселіли на славу. Через кілька тижнів після оголошення на Геттінгенському університеті обрушилася лавина «доказів». Професор Е. М. Ландау, в обов'язок якого входив розбір надісланих доказів, роздав своїм студентам картки:
Шановний(а) . . . . . . . .
Дякую Вам за надісланий Вами рукопис із доказом Великої теореми Ферма. Перша помилка знаходиться на стор. ... у рядку... . Через неї весь доказ втрачає чинність.
Професор Е. М. Ландау
1963 року Пауль Коен, спираючись на висновки Геделя, довів нерозв'язність однієї з двадцяти трьох проблем Гільберта — гіпотези континууму. А що, якщо Велика теорема Ферма теж нерозв'язна? Але справжніх фанатиків Великої теореми це не розчарувало. Поява комп'ютерів зненацька дала математикам новий спосіб підтвердження. Після Другої світової війни групи програмістів та математиків довели Велику теорему Ферма за всіх значень n до 500, потім до 1 000, а пізніше до 10 000.
У 80-ті роки Семюель Вагстафф підняв межу до 25 000, а в 90-ті математики заявили, що Велика теорема Ферма вірна при всіх значеннях n до 4 мільйонів. Але якщо від нескінченності відібрати навіть трильйон трильйонів, вона не стане меншою. Математиків не переконує статистика. Довести Велику теорему означало довести її ВСІХ n, які у нескінченність.
У 1954 році два молодих японських друга-математика зайнялися дослідженням модулярних форм. Ці форми породжують ряди чисел, кожна – свій ряд. Випадково Таніяма порівняв ці ряди із рядами, що породжуються еліптичними рівняннями. Вони збігалися! Але модулярні форми – геометричні об'єкти, а еліптичні рівняння – алгебраїчні. Між такими різними об'єктами ніколи не знаходили зв'язку.
Тим не менш, друзі після ретельної перевірки висунули гіпотезу: у кожного еліптичного рівняння існує двійник – модулярна форма, і навпаки. Саме ця гіпотеза стала фундаментом цілого напряму в математиці, але доти, поки гіпотеза Таніями-Сімури не була доведена, вся будівля могла зруйнуватися будь-якої миті.
В 1984 Герхард Фрей показав, що рішення рівняння Ферма, якщо воно існує, можна включити в деяке еліптичне рівняння. Двома роками пізніше професор Кен Рібет довів, що це гіпотетичне рівняння не може мати двійника у модулярному світі. Відтепер Велика теорема Ферма була нерозривно пов'язана з гіпотезою Таніями-Сімури. Довівши, що будь-яка еліптична крива модулярна, робимо висновок, що еліптичного рівняння з рішенням рівняння Ферма немає, і Велика теорема Ферма було б відразу доведено. Але протягом тридцяти років довести гіпотезу Таніями-Сімури не вдавалося, і надій на успіх залишалося дедалі менше.
У 1963 році, коли йому було всього десять років, Ендрю Вайлз вже був зачарований математикою. Коли він дізнався про Велику теорему, то зрозумів, що не зможе відмовитися від неї. Школярем, студентом, аспірантом він готував себе до цього завдання.
Дізнавшись про висновки Кена Рібета, Уайлс з головою пішов на доказ гіпотези Таніями-Сімури. Він вирішив працювати у повній ізоляції та таємності. «Я розумів, що все, що має якесь відношення до Великої теореми Ферма, викликає надто великий інтерес… Занадто багато глядачів наперед заважають досягненню мети». Сім років наполегливої роботи принесли плоди, Уайлс нарешті завершив доказ гіпотези Таніями-Сімури.
У 1993 році англійський математик Ендрю Уайлс представив світові свій доказ Великої теореми Ферма (Уайльс прочитав свою сенсаційну доповідь на конференції в Інституті сера Ісаака Ньютона в Кембриджі), робота над яким тривала понад сім років.
Поки в пресі продовжувався галас, розпочалася серйозна робота з перевірки доказу. Кожен фрагмент доказу повинен бути ретельно вивчений перш ніж доказ може бути визнаний суворим та точним. Уайлс провів неспокійне літо в очікуванні відгуків рецензентів, сподіваючись, що йому вдасться отримати їхнє схвалення. Наприкінці серпня експерти виявили недостатньо обґрунтоване судження.
Виявилося, що це рішення містить грубу помилку, хоча загалом і правильно. Уайлс не здався, закликав на допомогу відомого фахівця в теорії чисел Річарда Тейлора, і вже в 1994 вони опублікували виправлений і доповнений доказ теореми. Найдивовижніше, що ця робота зайняла цілих 130 (!) смуг у математичному журналі "Annals of Mathematics". Але й на цьому історія не закінчилася — останню точку було поставлено лише наступного, 1995 року, коли вийшов остаточний і «ідеальний», з математичної точки зору, варіант доказу.
«…через півхвилини після початку святкового обіду з нагоди її дня народження, я подарував Наді рукопис повного доказу» (Ендрю Уальс). Я ще не говорив, що математики дивні люди?
На цей раз жодних сумнівів у доказі не було. Дві статті були піддані ретельному аналізу і в травні 1995 року були опубліковані в журналі «Annals of Mathematics».
З того моменту пройшло чимало часу, однак у суспільстві досі існує думка про нерозв'язність Великої теореми Фер-ма. Але навіть ті, хто знає про знайдений доказ, продовжують роботу в цьому напрямі — мало кого влаштовує, що Велика теорема потребує вирішення 130 сторінок!
Тому зараз сили дуже багатьох математиків (в основному це любителі, а не професійні вчені) кинуті на пошуки простого і лаконічного доказу, проте цей шлях, швидше за все, не приведе нікуди...
джерело
Ендрю Вайлз - професор математики Прінстонського університету, він довів Велику теорему Ферма, над якою не одне покоління вчених билося сотні років.
30 років над одним завданням
Вперше Уайлз дізнався про останню теорему Ферма, коли йому було десять років. Він зайшов дорогою зі школи додому до бібліотеки і захопився читанням книги «Останнє завдання» Еріка Темпла Белла. Можливо сам ще не знаючи, але з цього моменту він присвятив своє життя пошукам доказу, незважаючи на те, що це було те, що вислизало від кращих розумів на планеті протягом трьох століть.
Уайлз дізнався про останню теорему Ферма, коли йому було десять років
Він знайшов його через 30 років після доказу іншим ученим, Кеном Рібетом, зв'язку теореми японських математиків Таніями і Сімури з Великою теоремою Ферма. На відміну від скептично налаштованих колег, Вайлз одразу зрозумів - ось воно, і через сім років поставив крапку у доказі.
Сам процес доказу видався дуже драматичним: Уайлс завершив свою працю в 1993 році, але прямо під час публічного виступ знайшов у своїх міркуваннях істотний «прогалину». Два місяці пішло на пошук помилки у обчисленнях (помилка крилася серед 130 друкованих сторінок рішення рівняння). Далі півтора роки велася напружена робота над виправленням помилки. Вся наукова спільнота Землі була здивована. Уайлс завершив свою роботу 19 вересня 1994-го року і відразу ж представив її суспільству.
Страшна слава
Найбільше Ендрю боявся слави та публічності. Він дуже довго відмовлявся від виступів по телебаченню. Вважається, що його зміг переконати Джон Лінч. Він запевнив Уайлса, що він міг надихнути нове покоління математиків і показати потужність математики громадськості.
Ендрю Вайлз довгий час відмовлявся від виступів по телебаченню
Дещо пізніше, вдячне суспільство почало нагороджувати Ендрю преміями. Так 27 червня 1997 року Уайлс отримав премію Вольфскеля, яка приблизно склала $ 50 000. Це набагато менше, ніж Вольфскель мав намір залишити століттям раніше, але гіперінфляція призвела до скорочення суми.
На жаль, математичний еквівалент Нобелівської премії — премія Філдса, Уайлсу просто не дісталася через те, що її вручають математикам молодше сорока років. Натомість він отримав спеціальну срібну тарілку на церемонії вручення медалі Філдса на честь його важливого досягнення. Уайлз також виграв престижну премію Вольфа, премію короля Файзала та багато інших міжнародних нагород.
Думки колег
Реакція одного з найвідоміших сучасних російських математиків академіка В. І. Арнольда на доказ «активно скептична»:
Не справжня математика — справжня математика геометрічна і сильна зв'язками з фізикою. Більше того, сама проблема Ферма за своєю природою не може генерувати розвиток математики, оскільки вона «бінарна», тобто формулювання проблеми вимагає дати відповідь лише на запитання «так чи ні».
Разом про те, математичні роботи останніх років самого У. І. Арнольда багато в чому виявилися присвячені варіаціям дуже близьку теоретико-числовую тематику. Можливо, Уайлс парадоксальним чином став непрямою причиною цієї активності.
Справжня мрія
Коли Ендрю запитують, як йому вдалося просидіти в чотирьох стінах понад 7 років, займаючись одним завданням, Уайлз розповідає, як мріяв під час своєї роботи, щонастане час, коли курси математики у вузах, і навіть у школах будуть підлаштовані під його метод доказу теореми. Йому хотілося, щоб сам доказ Великої теореми Ферма став не лише модельним математичним завданням, а й методологічною моделлю для викладання математики. Уайлс уявляв, що у її прикладі можна буде вивчати всі основні розділи математики та фізики.
4 жінки, без яких не було б докази
Ендрю одружений і має трьох дочок, двоє з яких народилися «в семирічному процесі першого варіанта доказу».
Сам Уайлс вважає, що без своєї сім'ї в нього нічого не вийшло б
У ці роки тільки Нада, дружина Ендрю, знала про те, що він штурмує самотужки найнеприступнішу і найзнаменитішу вершину математики. Саме їм, Наді, Клер, Кейт та Олівії присвячено знамениту фінальну статтю Уайлса «Модулярні еліптичні криві та Остання теорема Ферма» у центральному математичному журналі «Annals of Mathematics», де публікуються найважливіші математичні роботи. Втім, сам Вайлз анітрохи не заперечує, що без своєї сім'ї в нього нічого не вийшло б.
Судячи з популярності запиту "теорема Ферма - короткий доказ",ця математична проблема справді багатьох цікавить. Ця теорема була вперше висловлена П'єром де Ферма в 1637 на краю копії "Арифметики", де він стверджував, що у нього було її рішення, воно було занадто велике для того, щоб поміститися на краю.
Перший успішний доказ був опублікований в 1995 році - це був повний доказ теореми Ферма, здійснений Ендрю Уайлсом. Воно було описане як «приголомшливий прогрес» і призвело Уайлса до здобуття премії Абеля у 2016 році. Будучи описаним відносно коротко, доказ теореми Ферма також довело велику частину теореми модульності та відкрило нові підходи до численних інших проблем та ефективних методів підйому модульності. Ці звершення просунули математику на 100 років наперед. Доказ малої теореми Ферма сьогодні не є чимось надзвичайним.
Нерозв'язана проблема стимулювала розвиток алгебраїчної теорії чисел у XIX столітті та пошук доказу теореми модульності у XX столітті. Це одна з найпомітніших теорем в історії математики і до повного доказу великої теореми Ферма методом поділу вона була в Книзі рекордів Гіннеса як «найскладніша математична проблема», однією з особливостей якої є те, що вона має найбільшу кількість невдалих доказів.
Історична довідка
Піфагорійське рівняння x 2 + y 2 = z 2 має нескінченну кількість позитивних цілих рішень для x, y і z. Ці рішення відомі як трійці Піфагора. Приблизно в 1637 році Ферма написав на краю книги, що більш загальне рівняння a n + b n = c n не має рішень у натуральних числах, якщо n є цілим числом, більшим за 2. Хоча сам Ферма стверджував, що має вирішення свого завдання, він не залишив ніяких подробиць про її підтвердження. Елементарний доказ теореми Ферма, заявлений її творцем, швидше був його хвалькуватою вигадкою. Книгу великого французького математика було виявлено через 30 років після його смерті. Це рівняння, що отримало назву «Остання теорема Ферма», протягом трьох з половиною століть залишалося невирішеним у математиці.
Теорема зрештою стала однією з найпомітніших невирішених проблем математики. Спроби довести це викликали значний розвиток теорії чисел, і з часом остання теорема Ферма здобула популярність як невирішена проблема математики.
Коротка історія доказів
Якщо n = 4, що доведено самим Ферма, то достатньо довести теорему для індексів n, які є простими числами. Протягом наступних двох століть (1637-1839) гіпотеза була доведена лише для простих чисел 3, 5 та 7, хоча Софі Жермен оновлювала та доводила підхід, який мав відношення до всього класу простих чисел. У середині 19 століття Ернст Куммер розширив це і довів теорему всім правильних простих чисел, у результаті нерегулярні прості числа аналізувалися індивідуально. Ґрунтуючись на роботі Куммера і, використовуючи складні комп'ютерні дослідження, інші математики змогли розширити рішення теореми, маючи на меті охопити всі основні показники до чотирьох мільйонів, але док-во для всіх експонентів, як і раніше, було недоступним (це означає, що математики зазвичай вважали рішення теореми неможливим, надзвичайно складним, або недосяжним із сучасними знаннями).
Робота Шімури та Таніями
У 1955 році японські математики Горо Шимура та Ютака Таніяма підозрювали, що існує зв'язок між еліптичними кривими та модульними формами, двома зовсім різними областями математики. Відома у той час, як гіпотеза Таніяма-Шимура-Вейля і (зрештою) як теорема модульності, вона існувала сама по собі, без видимого зв'язку з останньою теоремою Ферма. Вона сама собою широко розглядалася як важлива математична теорема, але при цьому вважалася (як і теорема Ферма) неможливою для доказу. У той же час доказ великої теореми Ферма (методом поділу та застосування складних математичних формул) було здійснено лише через півстоліття.
У 1984 році Герхард Фрей помітив очевидний зв'язок між цими двома раніше не пов'язаними та невирішеними проблемами. Повне підтвердження того, що дві теореми були тісно пов'язані, було опубліковано в 1986 Кеном Рібетом, який грунтувався на частковому доказі Жана-П'єра Серра, який довів все, крім однієї частини, відомої як «гіпотеза епсілону». Простіше кажучи, ці роботи Фрея, Серра та Рібе показали, що якби теорема про модульність могла бути доведена, принаймні для напівстабільного класу еліптичних кривих, то й доказ останньої теореми Ферма також рано чи пізно буде відкрито. Будь-яке рішення, яке може суперечити останній теоремі Ферма, може використовуватися, щоб суперечити теоремі модульності. Тому, якщо теорема про модульність виявилася істинною, то за визначенням не може існувати рішення, що суперечить останній теоремі Ферма, а значить, вона незабаром мала бути доведена.
Хоча обидві теореми були складними проблемами для математики, які вважаються нерозв'язними, робота двох японців стала першим припущенням про те, як остання теорема Ферма могла б бути продовжена та доведена для всіх чисел, а не лише для деяких. Важливим для дослідників, які обрали тему дослідження, був той факт, що на відміну від останньої теореми Ферма, теорема модульності була основною активною областю досліджень, для якої було розроблено доказ, а не лише історичною дивністю, тому час, витрачений на її роботу, міг бути виправдано з професійної точки зору. Однак загальна думка полягала в тому, що рішення гіпотези Таніями-Шімур виявилося недоцільним.
Велика теорема Ферма: доказ Уайлса
Дізнавшись, що Рібет довів правильність теорії Фрея, англійський математик Ендрю Уайлс, який з дитинства цікавиться останньою теоремою Ферма і має досвід роботи з еліптичними кривими та суміжними областями, вирішив спробувати довести гіпотезу Таніями-Шімури, як спосіб довести останню теорему Ферма. У 1993 році, через шість років після оголошення своєї мети, таємно працюючи над проблемою вирішення теореми, Уайльсу вдалося довести суміжну гіпотезу, що, у свою чергу, допомогло б йому довести останню теорему Ферма. Документ Уайлса був величезним за розміром та масштабом.
Нестача була виявлена в одній частині його оригінальної статті під час рецензування і вимагала ще одного року співпраці з Річардом Тейлором, щоб спільно вирішити теорему. У результаті остаточне підтвердження Уайлсом великої теореми Ферма не змусило довго чекати. У 1995 році воно було опубліковано в набагато меншому масштабі, ніж попередня математична робота Уайлса, наочно показуючи, що він не помилився у своїх попередніх висновках про можливість доказу теореми. Досягнення Уайлса було широко розтиражовано у популярній пресі та популяризовано у книгах та телевізійних програмах. Інші частини гіпотези Таніяма-Шимура-Вейля, які тепер були доведені та відомі як теорема про модульність, згодом були доведені іншими математиками, які ґрунтувалися на роботі Уайлса в період між 1996 та 2001 роками. За своє досягнення Уайлс був удостоєний честі та отримав численні нагороди, у тому числі премію Абеля 2016 року.
Доказ Уайлсом останньої теореми Ферма є окремим випадком вирішення теореми модульності для еліптичних кривих. Тим не менш, це найвідоміший випадок настільки масштабної математичної операції. Разом з рішенням Рібе, британський математик також отримав доказ останньої теореми Ферма. Остання теорема Ферма і теорема про модульність майже повсюдно вважалися недоведеними сучасними математиками, але Ендрю Уайлс зміг довести всьому науковому світу, що навіть вчені мужі здатні помилятися.
Вайлз вперше оголосив про своє відкриття в середу 23 червня 1993 року на лекції в Кембриджі під назвою «Модульні форми, еліптичні криві та уявлення Галуа». Однак у вересні 1993 року було встановлено, що його розрахунки містять помилку. Через рік, 19 вересня 1994 року, у тому, що він назвав би «найважливішим моментом його трудового життя», Вайлз наткнувся на одкровення, яке дозволило йому виправити вирішення завдання до того рівня, коли воно зможе задовольнити математичну спільноту.
Характеристика роботи
Доказ теореми Ферма Ендрю Уайлсом використовує багато методів з алгебраїчної геометрії та теорії чисел і має багато розгалужень у цих галузях математики. Він також використовує стандартні конструкції сучасної геометрії алгебри, такі як категорія схем і теорія Івасави, а також інші методи XX століття, які не були доступні П'єру Ферма.
Дві статті, що містять докази, складають 129 сторінок, які писалися протягом семи років. Джон Коутс описав це відкриття як одне з найбільших досягнень теорії чисел, а Джон Конвей назвав його головним математичним звершенням 20 століття. Уайлз, щоб довести останню теорему Ферма шляхом доведення теореми модульності для окремого випадку напівстабільних еліптичних кривих, розробив дієві методи підйому модульності та відкрив нові підходи до численних інших проблем. За рішення останньої теореми Ферма він був присвячений лицарям і отримав інші нагороди. Коли стало відомо, що Уайлс виграв премію Абеля, Норвезька академія наук описала його досягнення як «чудовий та елементарний доказ останньої теореми Ферма».
Як це було
Одним із людей, які аналізували початковий рукопис Уайлса з рішенням теореми, був Нік Кац. У ході свого огляду він поставив британцю низку уточнюючих питань, які змусили Уайлса визнати, що його робота явно містить прогалину. В одній критичній частині доказу була допущена помилка, яка оцінювала порядок конкретної групи: система Ейлера, яка використовується для розширення методу Коливагіна і Флача, була неповною. Помилка, однак, не зробила його роботу марною - кожна частина роботи Уайлса була дуже значною і новаторською сама по собі, як і багато розробок і методів, які він створив у ході своєї роботи і які торкалися лише однієї частини рукопису. Проте у цій початковій роботі, опублікованій у 1993 році, справді не було доказу великої теореми Ферма.
Уайлс провів майже рік, намагаючись заново знайти рішення теореми - спочатку поодинці, а потім у співпраці зі своїм колишнім учнем Річардом Тейлором, але все, здавалося, було марним. До кінця 1993 року поширилися чутки, що під час перевірки доказ Уайльса зазнав невдачі, але наскільки серйозною була ця невдача, відомо не було. Математики почали чинити тиск на Уайлса, щоб він розкрив деталі своєї роботи, незалежно від того, була вона виконана чи ні, щоб ширша спільнота математиків могла досліджувати і використати все, чого йому вдалося досягти. Замість того, щоб швидко виправити свою помилку, Вайлз лише виявив додаткові складні аспекти у доказі великої теореми Ферма, і нарешті усвідомив, наскільки складною вона є.
Уайлз заявляє, що вранці 19 вересня 1994 року він був на межі того, щоб кинути все і здатися, і майже змирився з тим, що зазнав невдачі. Він готовий був опублікувати свою незакінчену роботу, щоб інші могли на ній ґрунтуватися і знайти, у чому він схибив. Англійський математик вирішив дати собі останній шанс і востаннє проаналізував теорему, щоб спробувати зрозуміти основні причини, з яких його підхід не працював, як раптом усвідомив, що підхід Коливагіна-Флака не працюватиме, поки він не підключить до процесу доказу ще й теорію Івасави, змусивши її працювати.
6 жовтня Уайлс попросив трьох колег (включаючи Фалтінса) розглянути його нову роботу, а 24 жовтня 1994 р. він представив два рукописи - «Модульні еліптичні криві та остання теорема Ферма» та «Теоретичні властивості кільця деяких Гекке-алгебр», другий з яких написав разом із Тейлором і довів, що було виконано певні умови, необхідні виправдання виправленого кроку у статті.
Ці дві статті були перевірені і, нарешті, опубліковані як повнотекстове видання в журналі «Аннали математики» за травень 1995 року. Нові розрахунки Ендрю були широко проаналізовані і наукова спільнота зрештою їх визнала. У цих роботах була встановлена теорема модульності для напівстабільних еліптичних кривих - останній крок до доказу великої теореми Ферма, через 358 років після її створення.
Історія великої проблеми
Рішення цієї теореми вважалося найбільшою проблемою математики протягом багатьох століть. У 1816 та 1850 роках Французька академія наук запропонувала приз за загальний доказ великої теореми Ферма. У 1857 році Академія присудила 3000 франків та золоту медаль Куммеру за дослідження ідеальних чисел, хоча він і не подавав заявку на приз. Ще одна премія була запропонована йому у 1883 році Брюссельською академією.
Премія Вольфскеля
У 1908 році німецький промисловець і математик-аматор Пауль Вольфскель заповів 100 000 золотих марок (велику суму для того часу) Академії наук Геттінгена, щоб ці гроші стали призом за повний доказ великої теореми Ферма. 27 червня 1908 року Академія опублікувала дев'ять правил нагородження. Серед іншого, ці правила вимагали опублікування доказу в журналі, що рецензується. Приз мав присуджуватись лише через два роки після публікації. Термін конкурсу мав спливти 13 вересня 2007 року - приблизно через сторіччя після свого початку. 27 червня 1997 року Вайлз отримав призові гроші Вольфсхеля, а потім ще 50 000 доларів. У березні 2016 року він отримав 600 000 євро від уряду Норвегії в рамках премії Абеля за "приголомшливий доказ останньої теореми Ферма за допомогою гіпотези модульності для напівстабільних еліптичних кривих, що відкриває нову еру в теорії чисел". То справді був світовий тріумф скромного англійця.
До підтвердження Уайлса теорема Ферма, як говорилося раніше, вважалася абсолютно нерозв'язною протягом цілих століть. Тисячі невірних доказів у різний час були представлені комітету Вольфскеля, становивши приблизно 10 футів (3 метри) кореспонденції. Тільки першого року існування премії (1907-1908) було подано 621 заявок з претензією на рішення теореми, хоча до 1970-х років їх кількість зменшилася приблизно до 3-4 заявок на місяць. На думку Ф. Шліхтінга, рецензента Вольфсхеля, більшість доказів були засновані на елементарних методах, що викладаються в школах, і часто представлялися «людьми з технічною освітою, але невдалою кар'єрою». За словами історика математики Говарда Ейвса, остання теорема Ферма встановила своєрідний рекорд – це теорема, яка набрала найбільшу кількість невірних доказів.
Лаври Ферма дісталися японцям
Як уже говорилося раніше, приблизно в 1955 році японські математики Горо Шимура і Ютака Таніяма відкрили можливий зв'язок між двома, мабуть, різними галузями математики - еліптичними кривими і модульними формами. Отримана в результаті їх досліджень теорема модульності (на той час відома як гіпотеза Таніями-Шімури) свідчить, що кожна еліптична крива є модулярною, що означає, що вона може бути пов'язана з унікальною модулярною формою.
Теорія спочатку була відхилена як малоймовірна або дуже спекулятивна, але була сприйнята серйозніше, коли теоретик чисел Андре Вейль знайшов докази, що підтверджують висновки японців. У результаті гіпотеза часто називалася гіпотезою Таніями-Шімури-Вейля. Вона стала частиною програми Langlands, що представляє собою список важливих гіпотез, які потребують доказів у майбутньому.
Навіть після серйозної уваги гіпотеза була визнана сучасними математиками як надзвичайно важка або, можливо, недоступна для доказу. Тепер саме ця теорема чекає на свого Ендрю Уайлса, який зміг би здивувати весь світ її вирішенням.
Теорема Ферма: доказ Перельмана
Незважаючи на розхожий міф, російський математик Григорій Перельман, за всієї своєї геніальності, не має жодного відношення до теореми Ферма. Що, втім, не применшує його численних заслуг перед науковою спільнотою.
У минулому ХХ столітті сталася подія, рівного за масштабом якого в математиці не було за всю її історію. 19 вересня 1994 року було доведено теорему, сформульована П'єром де Ферма (1601-1665) понад 350 років тому 1637 року. Вона відома також як "остання теорема Ферма" або як "велика теорема Ферма", оскільки є ще так звана "мала теорема Ферма". Її довів 41-річний, до цього моменту в математичному співтоваристві нічим особливо непримітний, і за математичними мірками вже немолодий, професор університету Прінстона Ендрю Уайлс.
Дивно, що про цю подію до ладу не знають не тільки наші звичайні російські обивателі, а й багато людей, що цікавляться наукою, включаючи навіть чимало вчених у Росії, які так чи інакше використовують математику. Це показують «сенсаційні» повідомлення, що не припиняються, про «елементарні докази» теореми Ферма в російських популярних газетах і по телебаченню. Чергові докази висвітлювалися з такою інформаційною силою, начебто не існувало дослід Уайлса, що пройшов саму авторитетну експертизу і отримав найширшу популярність у всьому світі. Реакція російської математичної спільноти на ці першосмужні новини в ситуації давно отриманого суворого доказу виявилася вражаюче млявою. Наша мета полягає в тому, щоб дати малюнок захоплюючої та драматичної історії доказу Уайлса в контексті феєричної історії найбільшої теореми Ферма і трохи поговорити про її доказ. Тут нам насамперед цікаве питання можливості доступного викладу докази Уайлса, про яке, звичайно, більшість математиків у світі знає, але говорити про розуміння цього доказу можуть лише дуже і дуже мало хто з них.
Отже, згадаємо знамениту теорему Ферма. Більшість із нас так чи інакше чули про неї ще зі шкільної доби. Ця теорема пов'язані з дуже знаменним рівнянням. Це, мабуть, найпростіше осмислене рівняння, яке можна написати, використовуючи три невідомих і ще один суворо позитивний цілочисельний параметр .
Ось воно:
Велика теорема Ферма стверджує, що при значеннях параметра (ступеня рівняння), що перевищують двійку, цілих рішень цього рівняння не існує (крім, звичайно, рішення, коли всі ці змінні рівні нулю одночасно).
Приваблива сила цієї теореми Ферма для широкої публіки очевидна: немає іншого математичного твердження, що має таку простоту формулювання, доступність доказу, а також привабливість його «статусності» в очах суспільства.
Крім того, завжди приваблювала ймовірна елементарність доказу, оскільки сам Ферма «її довів», написавши на полях перекладу «Арифметики» Діофанта: «Я знайшов цьому справді чудовий доказ, але поля тут занадто вузькі, щоб умістити його».
Ось чому тут доречно навести оцінку актуальності популяризації доказу Уайлса проблеми Ферма, що належить відомому американському математику Рему Мерті (R. Murty) (цитуємо за перекладом книги Ю. Маніна і А. Панчишкіна, що виходить незабаром, «Введення в сучасну теорію чисел»):
Велика теорема Ферма займає особливе місце в історії цивілізації. Своєю зовнішньою простотою вона завжди притягувала до себе як любителів, так і професіоналів… Все виглядає так, якби було задумано якимось вищим розумом, який протягом століть розвивав різні напрямки думки лише для того, щоб потім возз'єднати їх в один захоплюючий сплав для вирішення Великої теореми Ферма. Жодна людина не може претендувати на те, щоб бути експертом у всіх ідеях, використаних у цьому «чудовому» доказі. В епоху загальної спеціалізації, коли кожен з нас знає «все більше і більше про все менше і менше», необхідно мати огляд цього шедевра ... »
Почнемо з короткого історичного екскурсу, здебільшого навіяного захоплюючою книгою Саймона Сінгха «Велика теорема Ферма». Навколо привабливою своєю простотою підступної теореми завжди кипіли неабиякі пристрасті. Історія її доказу – суцільні драми, містика та навіть безпосередні жертви. Мабуть, найзнакова жертва - Ютака Таніяма (1927-1958). Саме цей молодий талановитий японський математик, який вирізнявся у житті великою екстравагантністю, створив у 1955 році основу для атаки Уайлса. На основі його ідей Горо Шимура та Андре Вейль декількома роками пізніше (60-67 роки) остаточно сформулювали знамениту гіпотезу, довівши значну частину якої Уайлс отримав теорему Ферма як наслідок. Містика історії смерті нетривіального Ютаки пов'язана з його бурхливим темпераментом: він повісився у віці тридцяти одного року на ґрунті нещасного кохання.
Вся довга історія загадкової теореми супроводжувалася постійними оголошеннями про її доказ, починаючи з Ферма. Постійно перебувають помилки в нескінченному потоці доказів осягали як математиків-любителів, а й математиків-професіоналів. Це призвело до того, що термін «ферматист», що застосовується до Ферма, що доводить теорему, став загальним. Інтрига, що постійно зберігається, з її доказом приводила іноді до кумедних казусів. Так, коли в першому варіанті вже широко розрекламованого доказу Уайлса виявилася прогалина, на одній зі станцій нью-йоркського метро з'явився єхидний напис: "я знайшов справді чудовий доказ Великої теореми Ферма, але прийшов мій поїзд і я не встигаю його записати".
Ендрю Вайлз (Andrew Wiles), народився в Англії в 1953 році, навчався на математичному факультеті в Кембриджі; в аспірантурі був у професора Джона Коутса. Під його керівництвом Ендрю осягав теорію японського математика Івасави, що знаходиться на межі класичної теорії чисел та сучасної геометрії алгебри. Такий сплав на вигляд далеких один від одного математичних дисциплін отримав назву арифметичної алгебраїчної геометрії. Ендрю кинув виклик проблемі Ферма, спираючись саме на цю складну навіть для багатьох професійних математиків синтетичну теорію.
Після закінчення аспірантури Уайлс отримав позицію у Прінстонському університеті, де працює і зараз. Він одружений і має трьох доньок, двоє з яких народилися «у семирічному процесі першого варіанта доказу». У ці роки тільки Нада, дружина Ендрю, знала про те, що він штурмує самотужки найнеприступнішу і найзнаменитішу вершину математики. Саме їм, Наді, Клер, Кейт та Олівії присвячено знамениту фінальну статтю Уайлса «Модулярні еліптичні криві та Остання теорема Ферма» у центральному математичному журналі «Annals of Mathematics», де публікуються найважливіші математичні роботи.
Самі події навколо докази розгорталися досить драматично. Цей захоплюючий сценарій можна назвати «ферматист – математик-професіонал».
Справді, Ендрю мріяв довести теорему Ферма з юнацьких років. Але йому, на відміну переважної більшості ферматистів, було ясно, що цього потрібно освоювати цілі пласти найскладнішої математики. Рухаючись до своєї мети, Ендрю закінчує математичний факультет знаменитого університету Кембриджу і починає спеціалізуватися в сучасній теорії чисел, що знаходиться на стику з алгебраїчною геометрією.
Ідея штурму сяючої вершини досить проста і фундаментальна – максимально хороша амуніція та ретельна розробка маршруту.
Як потужний інструмент досягнення мети вибирається розвивається самим же Уайлсом вже знайома йому теорія Івасави, що має глибоке історичне коріння. Ця теорія узагальнювала теорію Куммера - історично першу серйозну математичну теорію з штурму проблеми Ферма, що з'явилася ще в 19 столітті. У свою чергу, коріння теорії Куммера лежить у знаменитій теорії легендарного та геніального романтика-революціонера Еваріста Галуа, який загинув у віці двадцяти одного року на дуелі на захист честі дівчини (зверніть увагу, згадавши історію з Таніямою, на фатальну роль прекрасних дам в історії математики) .
Уайлс повністю занурюється в доказ, припиняючи участь у наукових конференціях. І в результаті семирічного відлюдництва від математичного співтовариства в Прінстоні, в травні 1993 року Ендрю ставить крапку у своєму тексті - справа зроблена.
Саме в цей час підвертається чудовий привід сповістити науковий світ про своє відкриття – вже у червні мала відбутися конференція у рідному Кембриджі саме з потрібної тематики. Три лекції в Кембриджському інституті Ісаака Ньютона розбурхують не лише математичний світ, а й широку громадськість. Наприкінці третьої лекції, 23 червня 1993 року, Уайлс оголошує про доказ великої теореми Ферма. Доказ насичений цілим букетом нових ідей, як-от новий підхід до гіпотези Таніями-Шимуры-Вейля, далеко просунута теорія Івасави, нова «теорія контролю деформацій» уявлень Галуа. Математичне співтовариство з величезним нетерпінням чекає на перевірку тексту доказу експертами з арифметичної алгебраїчної геометрії.
Ось тут і настає той драматичний поворот. Сам Уайлс у процесі спілкування з рецензентами виявляє у себе прогалину у доказі. Тріщину дав винайдений ним самим механізм «контролю деформацій» - несуча конструкція доказу.
Пробіл виявляється через кілька місяців в результаті «построчкового» пояснення Уайлсом свого доказу колезі по кафедрі в Прінстоні Ніку Кацу. Нік Кац, перебуваючи вже давно у дружніх стосунках із Ендрю, рекомендує йому співпрацю з молодим перспективним англійським математиком Річардом Тейлором.
Проходить ще один рік напруженої роботи, пов'язаний з вивченням додаткової зброї атаки на проблему, що не піддається, - так званих ейлерівських систем, незалежно відкритих у 80-ті роки нашим співвітчизником Віктором Коливагіним (що вже давно працює в університеті Нью-Йорка) і Тейном.
І ось нове випробування. Не доведений до кінця, але все ж таки дуже вражаючий результат роботи Уайлса, доповідається їм міжнародному конгресі математиків у Цюріху наприкінці серпня 1994 року. Уайлз бореться щосили. Буквально перед доповіддю, за словами очевидців, він ще щось гарячково пише, намагаючись максимально покращити ситуацію із «провислим» доказом.
Після цього доповіді Уайлса, що інтригує аудиторію найбільших математиків світу, математична спільнота «радісно видихає» і співчутливо аплодує: нічого, хлопець, з ким не буває, але зате просунув науку, показавши, що і у вирішенні такої неприступної гіпотези можна успішно просуватися, чого раніше ніхто навіть не думав робити. Черговий ферматист Ендрю Уайлс не зміг відібрати потаємну мрію багатьох математиків про доказ теореми Ферма.
Природно уявити стан Уайлса на той час. Навіть підтримка та доброзичливе ставлення колег по цеху не могли компенсувати його стан психологічного спустошення.
І ось, лише через місяць, коли, як пише Уайлс у вступі до своєї підсумкової статті в «Annals» із остаточним доказом, «я вирішив кинути останній погляд на ейлерові системи у спробі реанімувати цей аргумент для доказу», це сталося. Спалах осяяння зазнав Уайлса 19-го вересня 1994 р. Саме в цей день прогалину в доказі вдалося закрити.
Далі справи пішли у стрімкому темпі. Вже налагоджена співпраця з Річардом Тейлором щодо ейлерових систем Коливагіна і Тейна дозволила остаточно оформити доказ у вигляді двох великих статей уже в жовтні.
Їх публікація, що зайняла весь номер «Annals of Mathematics», відбулася вже у листопаді 1994. Все це викликало новий потужний інформаційний сплеск. Історія доказу Уайлса отримала у США захоплену пресу, зняли фільм і випустили книги про автора фантастичного прориву в математиці. В одній із оцінок своєї власної праці Уайлс зазначив, що він винайшов математику майбутнього.
(Цікаво, чи це так? Зауважимо лише, що з усім цим інформаційним шквалом різко контрастував практично нульовий інформаційний резонанс у Росії, що триває досі).
Задамося питанням – яка «внутрішня кухня» отримання визначних результатів? Адже цікаво знати, як вчений організує свою роботу, на що в ній орієнтується, як визначає пріоритети своєї діяльності. Що можна сказати в цьому сенсі про Ендрю Уайлса? І несподівано виявляється, що в сучасну епоху активних наукових комунікацій та колективного стилю роботи Уайлс мав свій погляд на стиль роботи над суперпроблемами.
Вайлз йшов до свого фантастичного результату на основі інтенсивної безперервної багаторічної індивідуальної роботи. Організація його діяльності, кажучи казенною мовою, мала екстремально позаплановий характер. Це категорично не можна було назвати діяльністю в рамках певного гранту, за якою необхідно регулярно звітувати і знову щоразу планувати отримання певних результатів до певного терміну.
Така діяльність поза суспільством, яка не використовує безпосереднє наукове спілкування з колегами навіть на конференціях, здавалася суперечить усім канонам роботи сучасного вченого.
Але саме індивідуальна робота, дозволяла виходити за рамки стандартних понять і методів, що вже склалися. Такий стиль роботи, замкнутий за формою і одночасно вільний по суті, дозволяв винаходити нові потужні методи та отримувати результати нового рівня.
Проблема, що стояла перед Уайлсом (гіпотеза Таніями-Шімури-Вейля) не знаходилася в ті роки в числі навіть найближчих вершин, які можуть бути підкорені сучасною математикою. При цьому ніхто з фахівців не заперечував її величезного значення, і номінально вона була у мейнстрімі сучасної математики.
Таким чином, діяльність Уайлса носила яскраво виражений позасистемний характер і результату було досягнуто завдяки сильній мотивації, таланту, творчій свободі, волі, більш ніж сприятливим матеріальним умовам для роботи в Прінстоні і, що вкрай важливо, порозуміння в сім'ї.
Доказ Уайлса, що з'явився як грім серед ясного неба, став своєрідним тестом міжнародного математичного співтовариства. Реакція навіть найпрогресивнішої частини цієї спільноти в цілому виявилася, як не дивно, досить нейтральною. Після того як вщухли емоції і захоплення першого часу після появи знакового доказу, всі спокійно продовжили свої справи. Фахівці з арифметичної алгебраїчної геометрії потихеньку вивчали «могутній доказ» у своєму вузькому колі, решта ж борознили свої математичні стежки, розходячись, як і раніше, все далі один від одного.
Спробуємо зрозуміти цю ситуацію, яка має як об'єктивні, так і суб'єктивні причини. Об'єктивні чинники несприйняття, хоч як це дивно, мають коріння в організаційної структурі сучасної наукової діяльності. Ця діяльність подібна до катка, що спускається по похилій вниз дорозі і має колосальну інерцію: своя школа, свої пріоритети, свої джерела фінансування, і.т.д. Все це добре з погляду налагодженої системи звітності перед грантодавцем, але заважає підняти голову та озирнутися на всі боки: а що власне справді є важливим та актуальним для науки та суспільства, а не для чергової порції гранту?
Потім - знову ж таки - не хочеться вилазити зі своєї затишної нірки, де все так знайоме, і залазити в іншу, зовсім незнайому нору. Невідомо, чого там чекати. Тим більше, свідомо ясно - за вторгнення грошей там не дають.
Цілком природно, що жодна з бюрократичних структур, що організують науку в різних країнах, включаючи і Росію, так і не зробила висновків не лише з феномену доказу Ендрю Уайлса, а й схожого феномену гучного доказу Григорія Перельмана іншої, теж знаменитої математичної проблеми.
Суб'єктивні чинники нейтральності реакції математичного світу на «подію тисячоліття» лежать у цілком прозаїчних причинах. Доказ справді надзвичайно складний і довгий. Для нефахівця в арифметичній алгебраїчній геометрії воно здається складається з нашарування термінології та конструкцій найбільш абстрактних математичних дисциплін. Здається, що автор і зовсім не ставив за мету, щоб його зрозуміли якомога більше цікавих математиків.
Ця методологічна складність, на жаль, присутня як неминуча витрата великих доказів останнього часу (наприклад, розбір недавнього доказу Григорія Перельмана гіпотези Пуанкаре продовжується дотепер).
Складність сприйняття посилюється ще й тим, що арифметична геометрія алгебри - дуже екзотична підобласть математики, що викликає труднощі навіть у професійних математиків. Справа посилювалася також і надзвичайною синтетичністю доказу Уайлса, що використовував різноманітні сучасні інструменти, створені великою кількістю математиків останніми роками.
Але треба врахувати, що перед Уайлсом і стояло методичне завдання пояснення – він конструював новий метод. У методі працював саме синтез своїх геніальних ідей Уайлса і конгломерату нових результатів із різних математичних напрямів. І саме така потужна конструкція протаранила неприступну проблему. Доказ не став випадковістю. Факт його кристалізації повністю відповідав як логіці розвитку науки, і логіці пізнання. Завдання роз'яснення такого супердоказу є абсолютно самостійним, дуже непростим, хоча й дуже перспективною проблемою.
Можете самі промацати громадську думку. Спробуйте запитати знайомих математиків з приводу докази Уайлса: хто зрозумів? Хто зрозумів хоча б основні ідеї? Хто захотів зрозуміти? Хто відчув, що це нова математика? Відповіді на ці питання видаються риторичними. І навряд чи ви зустрінете багато охочих прорвати частокіл спеціальних термінів і освоїти нові поняття та методи для того, щоб вирішити лише одне екзотичне рівняння. І чому заради саме цього завдання треба все це вивчати?
Наведу такий кумедний приклад. Кілька років тому знаменитий французький математик, філдсовський лауреат, П'єр Делінь, найбільший фахівець з алгебраїчної геометрії та теорії чисел, на запитання автора про сенс одного з ключових об'єктів доказу Уайлса – так званого «кільця деформацій» - після півгодинного роздуму сказав, що не до кінця розуміє сенс цього об'єкта. З моменту доказу на цей момент минуло вже десять років.
Тепер можна відтворити реакцію російських математиків. Основна реакція – її майже повна відсутність. В основному це викликано «важкою» та «незвичною» математикою Уайлса.
Наприклад, у класичній теорії чисел ви не зустрінете таких довгих доказів, як у Уайлса. Як висловлюються фахівці з теорії чисел, «доказ має бути на сторінку» (доказ Уайлса у співпраці з Тейлором у журнальному варіанті займає 120 сторінок).
Також не можна виключати чинника побоювання за непрофесіоналізм своєї оцінки: реагуючи, береш він відповідальність за оцінки докази. А як це робити, коли не знаєш цієї математики?
Характерною є позиція зайнята безпосередніми фахівцями з теорії чисел: «… і трепет, і пекучий інтерес, і обережність перед однією з найбільших загадок в історії математики» (з передмови до книги Пауло Рібенбойма «Остання теорема Ферма для любителів» – єдиного доступного на сьогоднішній день) день джерела безпосередньо за доказом Уайлса широкого читача.
Реакція однієї з найвідоміших сучасних російських математиків академіка В.І. Арнольда на підтвердження «активно скептична»: це справжня математика – справжня математика геометрична і сильна зв'язками з фізикою. Більше того, сама проблема Ферма за своєю природою не може генерувати розвиток математики, оскільки вона «бінарна», тобто формулювання проблеми вимагає дати відповідь лише на запитання «так чи ні». Разом про те, математичні роботи останніх років самого В.І. Арнольда багато в чому були присвячені варіаціям на дуже близьку теоретико-числову тематику. Можливо, Уайлс парадоксальним чином став непрямою причиною цієї активності.
На мехматі МДУ все-таки з'являються ентузіасти доказу. Чудовий математик та вчений-популяризатор Ю.П. Соловйов (який тимчасово пішов від нас) ініціює переклад книги Е.Кнеппа з еліптичних кривих з необхідним матеріалом з гіпотези Таніями-Шімури-Вейля. Олексій Панчишкін, який працює нині у Франції, 2001-го року читає на мехматі лекції, покладені в основу відповідної частини його з Ю.І. Маніним чудової, згаданої вище книги з сучасної теорії чисел (що виходить у російському перекладі Сергія Горчинського з редактурою Олексія Паршина в 2007 р.).
Дещо дивно, що в московському математичному інституті Стеклова – центрі математичного світу Росії – доказ Уайлса не розбирався на семінарах, а вивчався лише окремими профільними експертами. Тим більше, не розбиралося і доказ уже повної гіпотези Таніями-Шімури-Вейля (Уайлс довів лише її частину, достатню для доказу теореми Ферма). Цей доказ було дано 2000 року вже цілим колективом зарубіжних математиків, включаючи Річарда Тейлора – співавтора Уайлса за завершальним етапом доказу теореми Ферма.
Також не наголошувалося і на публічних висловлюваннях і, тим більше, дискусій з боку відомих російських математиків з приводу доказу Уайлса. Відома досить різка дискусія між росіянином В. Арнольдом («скептиком методу доказу») та американцем С. Ленгом («ентузіастом методу доказу»), проте її сліди губляться в західних виданнях. У російській центральної математичної пресі за час, що минув від часу публікації докази Уайлса, був публікацій на тему докази. Мабуть, єдиною публікацією на цю тему був переклад статті канадського математика Генрі Дармона навіть ще остаточної версії доказу в «Успіхах математичних наук» у 1995 році (кумедно, що повний доказ уже був опублікований).
На цьому «сонному» математичному фоні, незважаючи на вкрай абстрактний характер доказу Уайлса, деякі безстрашні теоретичні фізики включили його в зону свого потенційного інтересу і почали його вивчення, сподіваючись рано чи пізно знайти програми математики Уайлса. Це не може не тішити, хоча б тому, що ця математика всі ці роки була практично в самоізоляції.
Проте проблема адаптації доказу, що вкрай обтяжує його прикладний потенціал, залишалася і залишається дуже актуальною. На сьогоднішній день оригінальний украй спеціальний текст статті Уайлса та спільної статті Уайлса та Тейлора вже адаптований, правда тільки для досить вузького кола професійних математиків. Це зроблено в книзі Ю. Маніна і А. Панчишкіна. Їм вдалося успішно згладити певну штучність оригінального доказу. Крім того, американський математик Серж Ленг, шалений пропагандист доказу Уайлса (на жаль, що пішов від нас у вересні 2005-го року), включив деякі найважливіші конструкції доказу до третього видання свого університетського підручника «Алгебра», що став класичним.
Як приклад штучності оригінального доказу відзначимо, що однією з особливо яскравих рис, що створюють таке враження, є особлива роль окремих простих чисел, таких як 2, 3, 5, 11, 17, а також окремих натуральних чисел, таких як 15, 30 60. Окрім іншого, цілком очевидно, що доказ не геометричний у звичайнісінькому розумінні. Воно не містить природних геометричних образів, яких можна було б прив'язатися для кращого розуміння тексту. Надпотужна «затермінологізована» абстрактна алгебра та «просунута» теорія чисел чисто психологічно б'ють наскільки можна сприйняття доказу навіть кваліфікованого читача-математика.
Залишається тільки дивуватися, чому в такій ситуації експерти доказу, включаючи самого Уайлса, його «не шліфують», не пропагують і не популяризують явний «математичний хіт» навіть у рідній математичній спільноті.
Отже, якщо говорити коротко, то на сьогоднішній день факт доказу Уайлса є просто фактом доказу теореми Ферма зі статусом першого правильного доказу і використаної в ньому «надпотужної математики».
З приводу потужної, але з знайшла додатків математики дуже яскраво свого часу висловився відомий російський математик середини минулого століття, колишній декан мехмата, В.В. Голубєв:
«… за дотепним зауваженням Ф. Клейна, багато відділів математики уявляють подібність тих виставок нових моделей зброї, які існують при фірмах, що виготовляють озброєння; при всій дотепності, вкладеному винахідниками, часто буває, що коли починається справжня війна, ці новинки виявляються через ті чи інші причини непридатними… Тієї ж картини є і сучасне викладання математики; учням даються в руки дуже досконалі і потужні засоби математичного дослідження ..., але далі учні не виносять ніякого уявлення про те, де і як ці потужні та дотепні методи можуть бути прикладені у вирішенні основного завдання всієї науки: у пізнанні навколишнього світу і у впливі на його творчої волі людини. Свого часу О.П. Чехов сказав, що якщо у першій дії п'єси на сцені висить рушниця, то необхідно, щоб хоч у третій дії з неї стріляли. Це зауваження цілком застосовне і до викладання математики: якщо студентам викладається якась теорія, необхідно показати рано чи пізно, які додатки можна зробити з цієї теорії насамперед у галузі механіки, фізики чи техніки та інших областях.»
Продовжуючи цю аналогію можна сказати, що доказ Уайлса є виключно сприятливим матеріалом для вивчення величезного пласта сучасної фундаментальної математики. Тут студентам можна показати як завдання класичної теорії чисел тісно пов'язане з такими розділами чистої математики як сучасна алгебраїчна теорія чисел, сучасна теорія Галуа, p-адична математика, арифметична алгебраїчна геометрія, комутативна та некомутативна алгебра.
Було б справедливо, якби впевненість Уайлса, що винайдена ним математика – математика нового рівня знайшла своє підтвердження. І дуже не хочеться, щоб цю справді дуже гарну і синтетичну математику спіткала доля «рушниці, що не вистрілила».
І все-таки, поставимо тепер питання: чи можна в досить доступних термінах описати доказ Уайлса для широкої аудиторії, що цікавиться?
З погляду фахівців, це абсолютна утопія. Але давайте, все-таки, спробуємо, керуючись простим міркуванням, що теорема Ферма – це твердження лише про цілих точках нашого звичайного тривимірного евклідова простору.
Будемо послідовно підставляти точки з цілими координатами рівняння Ферма.
Уайлс знаходить оптимальний механізм перерахунку цілих точок та їх тестування на задоволення рівняння теореми Ферма (після введення необхідних визначень такий перерахунок якраз і буде відповідати так званому «властивості модулярності еліптичних кривих над полем раціональних чисел», що описується гіпотезою Таніями-Шиму-Шиму-Шиму-Шиму.
Механізм перерахунку оптимізується за допомогою чудової знахідки німецького математика Герхарда Фрея, який зв'язав потенційне рішення рівняння Ферма з довільним показником з іншим, зовсім несхожим на нього, рівнянням. Це нове рівняння задається спеціальною кривою (названою еліптичною кривою Фрея). Ця крива Фрея задається рівнянням дуже простого виду:
Несподіванка ідеї Фрея полягала у переході від теоретико-числової природи завдання до її «прихованого» геометричного аспекту. А саме: Фрей зіставив будь-якому рішенню рівняння Ферма, тобто числам, що задовольняють співвідношення
зазначену вище криву. Тепер залишалося показати, що таких кривих немає при .
Винахід Фрея на момент «старту Уайлса» було дуже свіжим (85-й рік) і перегукувалося також із відносно недавнім підходом французького математика Хеллегуарша (70-ті роки), який запропонував використовувати еліптичні криві для пошуку рішень діофантових рівнянь, тобто. рівнянь подібних до рівняння Ферма.
Спробуємо тепер подивитися на криву Фрея з іншого погляду, саме, як інструмент перерахунку цілих точок в евклидовом просторі. Іншими словами, у нас крива Фрея відіграватиме роль формули, що визначає алгоритм такого перерахунку.
У такому контексті можна сказати, що Уайлс винаходить інструменти (спеціальні конструкції алгебри) для контролю за цим перерахунком. Власне, цей тонкий інструментарій Уайлса і становить центральне ядро та основну складність доказу. Саме при виготовленні цих інструментів і виникають основні витончені знахідки алгебри Уайлса, які так непрості для сприйняття.
Але все ж таки, найнесподіванішим ефектом доказу, мабуть, виявляється достатність використання лише однієї «фріївської» кривої, що представляється зовсім нескладною, майже «шкільною» залежністю.
Дивно, що використання тільки однієї такої кривої виявляється достатнім для тестування всіх точок тривимірного евклідового простору з цілими координатами щодо задоволення їх співвідношення Великої теореми Ферма з довільним показником ступеня .
Іншими словами, використання всього однієї кривої (щоправда, що має специфічний вигляд), доступної для розуміння і звичайного старшокласника, виявляється рівносильним побудові алгоритму (програми) послідовного перерахунку цілих точок звичайного тривимірного простору. І не просто перерахунки, а перерахунки з одночасним тестуванням цілої точки на «її задоволеність» рівняння Ферма.
Саме тут виникає фантом самого П'єра де Ферма, оскільки за такого перерахунку оживає те, що зазвичай називається «Ferma't descent», або редукцією (або «методом нескінченного спуску») Ферма.
У цьому контексті відразу ж стає зрозумілим, чому сам Ферма не міг довести свою теорему з об'єктивних причин, хоча при цьому цілком міг «побачити» геометричну ідею її доказу.
Найголовніше тут у цьому, що це інструменти «мінімальні», тобто. їх не можна спростити. Хоча сама по собі ця «мінімальність» дуже непроста. І саме усвідомлення Уайлсом цієї нетривіальної «мінімальності» стало вирішальним фінальним кроком доказу. Це якраз і був той самий «спалах» 19-го вересня 1994 року.
Деяка проблема, що викликає незадоволеність, тут таки залишається – у Уайлса ця мінімальна конструкція не описана явно. Тому у тих, хто цікавиться проблемою Ферма, ще є цікава робота - необхідна ясна інтерпретація цієї «мінімальності».
Можливо, що саме тут і має ховатися геометрія «заалгебраїзованого» доказу. Не виключено, що саме цю геометрію і відчував сам Ферма, коли робив знаменитий запис на вузьких полях свого трактату: «я знайшов справді чудовий доказ…».
Тепер безпосередньо перейдемо до віртуального експерименту та спробуємо «покопатися» у думках математика-юриста П'єра де Ферма.
Геометричний образ так званої малої теореми Ферма можна представити у вигляді кола, що котиться "без прослизання" по прямій і "намотує" на себе цілі точки. Рівняння малої теореми Ферма у цій інтерпретації набуває і фізичний зміст – сенс закону збереження такого руху в одновимірному дискретному часі.
Ці геометричні та фізичні образи можна спробувати перенести на ситуацію, коли розмірність задачі (кількість змінних рівнянь) збільшується і рівняння малої теореми Ферма переходить у рівняння великої теореми Ферма. А саме: припустимо, що геометрія великої теореми Ферма представляється сферою, що котиться по площині і «нав'язує» цілі точки на цій площині. Важливо, що це кочення має бути довільним, а «періодичним» (математики також кажуть «циклотомическим»). Періодичність кочення означає, що вектори лінійної і кутової швидкості сфери, що котиться максимально загальним чином через певний фіксований час (період) повторюються за величиною і за напрямом. Така періодичність аналогічна періодичності лінійної швидкості кочення кола по прямій, що моделює «мале» рівняння Ферма.
Відповідно, «велике» рівняння Ферма набуває сенсу закону збереження зазначеного вище руху сфери вже у двовимірному дискретному часі. Візьмемо тепер діагональ цього двовимірного часу (саме в цьому кроці і полягає вся складність!). Ця надзвичайно хитра і виявляється єдиною діагональ і є рівнянням великої теореми Ферма, коли показник рівняння дорівнює саме двом.
Важливо, що у одновимірної ситуації – ситуації малої теореми Ферма – такої діагоналі знаходити зайве, оскільки час одномірно і діагональ брати нема чого. Тому ступінь змінної у рівнянні малої теореми Ферма може бути довільним.
Отже, несподівано, ми отримуємо місток до «офізичення» великої теореми Ферма, тобто, до появи в неї фізичного сенсу. Як тут не згадати, що Ферма займався не далеким був і фізики.
До речі, досвід фізики також показує, що закони збереження механічних систем наведеного вище виду квадратичні за фізичними змінними завданнями. І нарешті, все це цілком узгоджується із квадратичною структурою законів збереження енергії ньютонівської механіки, відомих зі школи.
З погляду наведеної вище «фізичної» інтерпретації великої теореми Ферма властивість «мінімальності» відповідає мінімальності ступеня закону збереження (це двійка). А редукції Ферма та Уайлса відповідає приведення законів збереження перерахунку точок до закону найпростішого вигляду. Цей найпростіший (мінімальний за складністю) перерахунок як геометрично, так і алгебраїчно і представляється коченням саме сфери по площині, оскільки сфера і площина – «мінімальні», як нам зрозуміло, двовимірні геометричні об'єкти.
Вся складність, на перший погляд відсутня, тут полягає в тому, що точний опис такого на вигляд «простого» руху сфери зовсім непростий. Справа в тому, що «періодичне» кочення сфери «вбирає в себе» купу так званих «прихованих» симетрій нашого тривимірного простору. Ці приховані симетрії обумовлені нетривіальними поєднаннями (композиціями) лінійного та кутового руху сфери – див. рис.1.
 |
Саме для точного опису цих прихованих симетрій, геометрично закодованих таким хитрим коченням сфери (крапки з цілими координатами «сидять» у вузлах намальованої решітки), і потрібні алгебраїчні конструкції Уайлса.
У наведеній на рис.1 геометричній інтерпретації лінійний рух центру сфери "вважає" цілі точки на площині, а її кутовий (або обертальний) рух забезпечує просторову (або вертикальну) компоненту перерахунку. Обертальний рух сфери не відразу вдається «розглянути» у довільному коченні сфери по площині. Саме обертальний рух і відповідає згаданим вище прихованим симетріям евклідового простору.
Введена вище крива Фрея якраз і «кодує» найкрасивіший з естетичної точки зору перерахунок цілих точок у просторі, що нагадує рух гвинтовими сходами. Дійсно, якщо стежити за кривою, яку замітає деяка точка сфери за один період, то виявиться, що наша позначена точка помітить криву, зображену на рис. 2, що нагадує «подвійну просторову синусоїду» - просторовий аналог графіка. Цю красиву криву можна інтерпретувати як графік «мінімальної» за (тобто) кривою Фрея. Це і є графік нашого перерахунку, що тестує.
Підключивши деяке асоціативне сприйняття цієї картини, на свій подив ми виявимо, що поверхня, що обмежується нашою кривою, разюче схожа на поверхню молекули ДНК - «наріжної цегли» біології! Можливо, невипадково термінологія ДНК-кодування конструкцій з доказу Уайлса використовується у книзі Сінгха «Велика теорема Ферма».
Ще раз підкреслимо, що вирішальним моментом нашої інтерпретації виявляється та обставина, що аналогом закону збереження для малої теореми Ферма (його ступінь може бути як завгодно великий) виявляється рівняння Великої теореми Ферма саме у випадку.
 |
Саме цей ефект «мінімальності ступеня закону збереження кочення сфери за площиною» відповідає затвердженню Великої теореми Ферма.
Тепер перекинемо місток до сучасної фізики. Запропонований тут геометричний образ докази Уайлса дуже близький до геометрії сучасної фізики, яка намагається підібратися до загадки гравітації природи – квантової загальної теорії відносності. Для підтвердження цього, з першого погляду несподіваного, взаємодії Великої теореми Ферма і «Великої Фізики», уявимо, що сфера, що котиться, масивна і «продавлює» площину під собою. Інтерпретація цього "продавлювання" на рис. 3 разюче нагадує добре відому геометричну інтерпретацію загальної теорії відносності Ейнштейна, що описує саме «геометрію гравітації».
А якщо врахувати ще й присутній дискретизацію нашої картинки, що втілюється дискретними цілими ґратами на площині, то ми взагалі спостерігаємо «квантову гравітацію»!
 |
Ось на цій цій мажорній «об'єднавчій» фізико-математичній ноті і закінчимо нашу «кавалерійську» спробу дати наочне тлумачення «надабстрактного» доказу Уайлса.
Тепер, мабуть, слід підкреслити, що у будь-якому разі, хоч би який був правильний доказ теореми Ферма, він обов'язково повинен їх так чи інакше використовувати конструкції та логіку доказу Уайлса. Обійти все це просто неможливо через згадану «властивість мінімальності» математичних інструментів Уайлса, використаних для доказу. У нашій «геометро-динамічній» інтерпретації цього доказу це «властивість мінімальності» забезпечує «мінімально необхідні умови» для коректної (тобто «східної») побудови алгоритму, що тестує.
З одного боку, це величезне прикрість для любителів-ферматистів (якщо, звичайно, вони про це дізнаються; як кажуть, «менше знаєш – краще спиш»). З іншого боку, природна «неспрощованість» докази Уайлса формально полегшує життя професійним математикам – вони можуть не читати «елементарні» докази, що періодично виникають, від любителів математики, посилаючись на відсутність відповідності з доказом Уайлса.
Загальний висновок полягає в тому, що і тим і іншим треба «напружуватися» і розуміти цей «зуверський» доказ, осягаючи по суті «всю математику».
Що ж ще важливо не прогаяти, підбиваючи підсумки всієї цієї унікальної історії, свідками якої ми стали? Сила докази Уайлса у цьому, що є непросто формально-логічним міркуванням, а представляє широкий і потужний метод. Це творіння є не окремим інструментом для доказу одного окремо взятого результату, а прекрасним набором добре підібраних інструментів, що дозволяє «розколювати» найрізноманітніші завдання. Важливо й те, що подивившись униз з висоти хмарочоса докази Уайлса, побачимо й усю попередню математику. Пафос полягає в тому, що це буде не «клаптикове», а панорамне бачення. Все це говорить не лише про наукову, а й про методологічну наступність цього воістину магічного доказу. Залишилося «всього нічого» - тільки його зрозуміти і навчитися застосовувати.
Цікаво, чим сьогодні зайнятий наш герой-сучасник Уайлз? Про Ендрю жодних особливих новин немає. Він, природно, отримав різні нагороди та премії, включаючи ту саму знамениту премію німця Вольфскеля, що знецінилася під час першої громадянської війни. За весь час, що пройшов з моменту тріумфу доказу проблеми Ферма до сьогодні, мені вдалося помітити лише одну, щоправда, як завжди велику, статтю в тих же “Annals” (у співавторстві зі Скіннером). Може Ендрю знову причаївся напередодні нового математичного ривка, наприклад, так званої “abc”-гіпотези – нещодавно сформульованої (Массером і Остерле в 1986 році) і найголовнішою проблемою теорії чисел на сьогоднішній день (це «проблема століття» за висловом Сержа Ленга). ).
Набагато більше інформації про співавтора Уайлса щодо завершальної частини доказу – Річарда Тейлора. Він був одним із чотирьох авторів доказу повної гіпотези Таніями-Шмури-Вейля і серйозно претендував на медаль філдсов на математичному конгресі в Китаї в 2002 році. Однак, не отримав її (тоді її отримали всього два математики - російський математик з Прінстона Володимир Воєводський "за теорію мотивів" і француз Лоран Лафорг "за важливу частину програми Ленглендсу"). Тейлор опублікував цей час чимала кількість чудових робіт. І ось нещодавно, Річард досяг нового великого успіху - довів дуже відому гіпотезу - гіпотезу Тейта-Саїто, що також відноситься до арифметичної алгебраїчної геометрії і узагальнюючу результати німецької. математика 19-го століття Г. Фробеніуса та російського математика 20-го століття Н. Чеботарьова.
Давайте насамкінець трохи пофантазуємо. Можливо, настане час, коли курси математики у вузах і навіть у школах будуть підлаштовані під методи доказу Уайлса. Це означає, що Велика теорема Ферма стане не лише модельним математичним завданням, а й методологічною моделлю для викладання математики. На її прикладі можна буде вивчати по суті всі основні розділи математики. Більш того, майбутня фізика, а можливо навіть біологія та економіка, спиратимуться саме на цей математичний апарат. А раптом?
Здається, перші кроки у цьому напрямі вже зроблено. Про це свідчить, наприклад, те, що американський математик Серж Ленг включив до третього видання свого класичного керівництва з алгебри основні конструкції доказу Уайлса. Ще далі йдуть російські Юрій Манін та Олексій Панчишкін у згаданому новому виданні своєї «Сучасної теорії чисел», детально викладаючи сам доказ у контексті сучасної математики.
І як тепер не вигукнути: велика теорема Ферма "померла" - нехай живе метод Уайлса!