Система тестівдля підготовки та самопідготовки до ОДЕ.Математика. Екзаменаційні роботи ОДЕ - 2018 .СтатГрад: Тренувальнаробота по математики 26.11.2014 із рішеннями: варіантМА90201.
ВПР о 11 класі. Варіанти 2019. Міні тестиЄДІ. ОДЕв 9 класі.ОДЕ по математики. Розбір усіх завдань варіанти СтатГрадвід 27 вересня. варіант Статградіз суспільствознавства від 19 березня. Тренувальнаробота СтатГрадпо фізиці.
У цьому розділі ви зможете безкоштовно завантажитидемонстраційні варіанти тестів ОДЕ(ДІА) 2019 року та минулих років з усіх предметів: математики(алгебри), російській мові, фізиціДемонстраційні варіанти тестів ОДЕ 2019: Демоверсії КІМ ОДЕ 2019 р., затверджені...
Передекзаменаційна робота ОДЕ-2018 по математики. 2 варіанти ОДЕз відповідями та критеріями оцінки. варіантмістить 25 завдань. Зручно використовувати під час підготовки до ОДЕ по математики. Цільова аудиторія: для 9 класу.
ВВР 2018 -2019.твір контрольна робота англійська мова впр завдання і відповіді суспільствознавство відповіді робочий зошит розклад результати українська мова клас тренувальні варіантифізика фізика 11 клас.
Це величезна база варіантівЄДІ, ОДЕ(ДІА), олімпіад, вступних іспитів та інших завдань по математикиз такими можливостями, як перегляд відповідей, рішень та відеорозборів. Пробний варіант ОДЕ(ДІА) № МА90104 по математикивід СтатГрад 2018 ...
Демонстраційний варіантконтрольних вимірювальних матеріалів для проведення 2018 році основного державного іспиту по МАТЕМАТИКА.Безкоштовно завантажитиелектронну книгу у зручному форматі, дивитися та читати: завантажитикнигу ОДЕ 2018 , Математика, 9 клас...
Розбір варіанти ОДЕ Статградвід 8 листопада 2018 (Всі завдання). Розбір завдань Тренувальноїроботи по МАТЕМАТИКА 9 класувід 8 листопада 2018 року варіантМА90103. Математикс. Математикс. 33 тис. передплатників. Підписатись.
Є таке цікаве спостереження: багато великих вчених, винахідників і політиків у школі відрізнялися як поганим поведінкою, а й великою кількістю двійок. Черчілль, Маяковський, Бродський, Толстой та Янукович — усі вони не сяяли позитивними відмітками в навчальному закладі (міф про двієчника Ейнштейна був надуманим). Але цей факт не дає права недбало ставитися до проблеми оцінювання школярів, удосконалення їх знань та контролю за навчанням. До нашого лексикону увірвалися терміни ЄДІ, ДІА, перевірочні роботи, тести.
Про СтатГрад
Час, коли вчитель оцінював знання свого підопічного в усній розмові, пішли у минуле. Наразі з'явилося багато нових технологій, які мають свої позитивні сторони. Яскравий приклад - "СтатГрад". Це свіжа, передова методика оцінювання знань школярів з певних предметів. Її основна місія – допомогти і перевірити готовність дитини до шкільних іспитів. Творцем «Статграду» є Московський інститут відкритого навчання. У вдосконаленні активну участь брав та приймає Центр постійного навчання математики.
Але вся первісна ініціатива виходила від «Росспоживнагляду». Цю технологію схвалюють у Міністерстві освіти, добрі відгуки надходять від організаторів предметних олімпіад. «Статград» не має статусу «обов'язки», це особиста ініціатива школи або окремих викладачів. А сам проект вважається пілотним.
Основні цілі системи:
- Розробити нові методики навчання.
- Контролювати якість наявних знань у школярів.
- Підвищувати почуття відповідальності в дітей віком.
- Допомагати готуватись до іспитів.
- Допомагати оцінити рівень викладання певної дисципліни.
- Знаходити прогалини у складанні шкільної програми.
- Зміцнювати міжпредметні зв'язки.
«Статград» працює в інформаційному ключі. Система розсилає завдання, перевіряє відповіді, робить висновки, дає поради. Спочатку необхідно зареєструватися в системі, отримати логін, пароль. Заради спортивного інтересу ознайомитись із сайтом не вийде. Ресурс видає інформацію лише реальним учням та викладачам. Якщо Ви вже в системі, то знайте – влітку 2017 року пройшло чергове, регулярне оновлення реєстрацій. Вам необхідно отримати нові паролі та логіни. Зареєструватися можна самостійно, але частіше це робиться класом чи всією школою.
«СтатГрад» не лише оцінює знання, а й дає рекомендації, знаходить слабкі місця як викладання дисципліни. Діти, які орієнтовані на серйозне навчання, кровно зацікавлені в участі та перевірці своїх знань. Багато предметів є ключовими у певній спеціальності чи професії. Будь-який мислячий і свідомий учень захоче перевірити свої знання, отримати незалежну оцінку. Найбільш популярні дисципліни — російська мова, хімія, історія.
Додаткові деталі
Система далека до досконалості, але відгуків більше позитивних, аніж негативних. У перевірці максимально зацікавлені школярі, які відвідують 9 клас чи 11 клас. Адже це випускні класи, які чекають на відповідальні іспити. А ще це час вибору своєї професії. Завдання з біології допоможуть тим, хто вирішив стати лікарем, а завдання з математики стануть у нагоді майбутнім програмістам та інженерам.
Тестування відбувається централізовано по всій країні. Стандартний місцевий час – 14:00 (після закінчення всіх уроків). На рішення тестів видається 45 хвилин. Більшість завдань вимагають лише вказівки правильної відповіді на бланку встановленого зразка. Рідше бувають творчі відповіді. У такому разі дитині треба написати кілька речень.
Перспективи 2017-2018 року
Жодних передумов для скасування цих перевірочних завдань немає. Ніхто не зобов'язує брати участь у системі, результати тестів не позначаються на підсумкових оцінках та перспективах добре влаштуватися у житті. Це додаткова можливість переконатися та оцінити свої власні знання, якість викладання у школі. Влада країни не наполягатиме на обов'язковому проходженні «Статграду», адже це вимагатиме фінансових витрат, викличе хвилю невдоволення. До подібної перевірки краще поставитися як до гри.
Якщо викладач рекомендує брати участь, то робіть це заради поваги та особистої самооцінки. Система характеризується справедливістю та об'єктивністю. Можливо, Ваш учитель занижує Ваші позначки. СтатГрад покаже його суб'єктивне ставлення, дасть впевненості в майбутньому.
Сучасна оцінка знань російських дітей часто витримує жодної критики. Введена порівняно недавно система тестів іноді морально калечить інтелект підростаючого покоління. Ось що про це говорять люди, що думають:
| Очікувана кількість школярів до 2025 року: | 17 мільйонів |
| Кількість учнів до: | 14 мільйонів |
| Частка шкіл в аварійному стані: | 11% |
| Кількість навчальних чвертей | 4 |
| Свято, сумісне із зимовими канікулами: | Новий рік |
| Дисципліна, за якою рідко задають домашнє завдання: | фізкультура |
| Число шкіл у Москві (2010 рік): | 1727 |
| Число надомних шкіл у Москві для інвалідів: | 14 |
На епіграф:
Найкраща нагорода для педагога — це коли учень перевершить вчителя з предмета, що навчається!
Завдання 1
Завдання №13 правильно вирішили 399 осіб, що складає (19%) випускників міста. Скільки всього випускників у цьому місті?
Оскільки 399 людина – це (19%), то (1%) – це (399:19=21) людина. Отже, \ (100 %) - це \ (21 \ cdot 100 = 2100 \) людина.
Відповідь: 2100
Завдання 2
На діаграмі показано середньомісячну температуру повітря в Ялті за кожен місяць 1990 року. По горизонталі вказуються місяці, вертикалі – температура в градусах Цельсія. Визначте за наведеною діаграмою найменшу середньомісячну температуру у другій половині 1990 року. Відповідь дайте у градусах Цельсія.
Друга половина року – це всі місяці з липня до грудня. З діаграми видно, що найменша температура була у грудні і дорівнювала \(2^\circ C\).
Відповідь: 2
Завдання 3
На папері з картатиною з розміром клітини \(1\times1\) зображений трикутник \(ABC\) . Знайдіть довжину його бісектриси, проведеної з вершини (B). 
З малюнка видно, що трикутник рівнобедрений ((BA = BC)). Отже, бісектриса, опущена з вершини (B), буде також медіаною і висотою. Тоді бісектриса \(BH\) дорівнює \(3\) :
Відповідь: 3
Завдання 4
Конкурс виконавців проводиться у 4 дні. Усього заявлено 75 виступів: по одному від кожної країни, яка бере участь у конкурсі. Виконавець із Росії бере участь у конкурсі. У перший день заплановано 12 виступів, інші розподілені порівну між днями, що залишилися. Порядок виступів визначається жеребкуванням. Якою є ймовірність того, що виступ виконавця з Росії відбудеться у третій день конкурсу?
Знайдемо, скільки виступів має відбутися третього дня. У перший день 12 виступів, всього 75, отже, в останні три дні (75-12 = 63) виступи. Отже, у третій день (63:3 = 21) виступ.
Таким чином, ймовірність того, що виступ виконавця з Росії відбудеться у третій день, дорівнює \[\dfrac(21)(75)=\dfrac7(25)=0,28\]
Відповідь: 0,28
Завдання 6
Гострий кут \(B\) прямокутного трикутника \(ABC\) дорівнює \(55^\circ\). Знайдіть кут між висотою (CH) і медіаною (CM), проведеними з вершини прямого кута (C). Відповідь дайте у градусах. 
Так як медіана, опущена з вершини прямого кута трикутника, дорівнює половині гіпотенузи, то \(\triangle BMC\) - рівнобедрений, тобто \(BM = CM\). Отже, \(\angle BCM=\angle B=55^\circ\).
\(\angle BCH=90^\circ-\angle B=35^\circ\). Отже, \(\angle HCM=55^\circ-35^\circ=20^\circ\).
Відповідь: 20
Завдання 7
На малюнку зображено графік функції \ (y = f (x) \) і дотична до нього в точці з абсцисою \ (x_0 \). Знайдіть значення похідної функції \(f(x)\) у точці \(x_0\) . 
Значення похідної в точці дотику дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної до позитивного напрямку осі Ox. Розглянемо \(\triangle ABC\): 
Кут нахилу дотичної дорівнює \(180^\circ-\angle ABC\) . З \(\triangle ABC\) видно, що \(\mathrm(tg)\,\angle ABC=10:8=1,25\). Так як \(\mathrm(tg)\,(180^\circ-\angle ABC)=-\mathrm(tg)\,\angle ABC\)то відповідь: \(-1,25\) .
Відповідь: -1,25
Завдання 8
Знайдіть об'єм правильної трикутної піраміди, сторони основи якої дорівнюють \(6\) , а висота дорівнює \(4\sqrt3\) . 
Так як піраміда правильна, то в основі лежить правильний трикутник. Площа правильного трикутника зі стороною \(a\) дорівнює \(S=\dfrac(\sqrt3)4a^2\) . Отже, \ (S = 9 \ sqrt3 \) . Тоді обсяг дорівнює \(V=\frac13Sh=\frac13\cdot 9\sqrt3\cdot 4\sqrt3=36\).
Відповідь: 36
Завдання 9
Знайдіть значення виразу \[\dfrac(-10\sin 97^\circ\cdot \cos 97^\circ)(\sin 194^\circ)\]
Зауважимо, що (97 ^ \ circ \ cdot 2 = 194 ^ \ circ \) . Отже: \[\dfrac(-10\sin 97^\circ\cdot \cos 97^\circ)(\sin (2\cdot 97^\circ))= \dfrac(-10\sin 97^\circ\cdot \ cos 97^\circ)(2\sin 97^\circ\cdot \cos97^\circ)=-5\]
Відповідь: -5
Завдання 10
При адіабатичному процесі для ідеального газу виконується закон \ де \(p\) - тиск у газі в паскалях, \(V\) - об'єм газу в кубічних метрах, \(k=\frac43\) . Знайдіть, який об'єм \(V\) (у куб. м) займатиме газ при тиску \(p\), що дорівнює \(2\cdot 10^5\) Па.
Підставимо дані у формулу: \
Відповідь: 125
Завдання 11
Відстань між містами A і B дорівнює 403 км. З міста A до міста B виїхав автомобіль, а за 1 годину слідом за ним зі швидкістю 90 км/год виїхав мотоцикл, наздогнав автомобіль у місті C і повернув назад. Коли мотоцикл повернувся до A, автомобіль прибув до B. Знайдіть відстань від A до С. Відповідь дайте за кілометри.
Нехай (x) км/год – швидкість автомобіля. Нехай \(y\) км - відстань від міста A до міста C. Тоді час, який витратив автомобіль на шлях AC, дорівнює \(\dfrac yx\) (год). Час, який витратив мотоцикл на цей же шлях, дорівнює (dfrac y (90)) (ч).
Так як мотоцикл виїхав на годину пізніше, то він витратив на 1 годину менше часу, отже \[\dfrac yx-1=\dfrac y(90)\] Це перше рівняння. На весь шлях від A до B автомобіль витратив (dfrac(403)x) (год). Мотоцикл витратив на шлях з C A стільки ж часу, скільки на шлях з A в C (так як назад він їхав з тією ж швидкістю, що і в C). Отже, на шлях від A до C і назад мотоцикл витратив \(\dfrac(2y)(90)\). Зауважимо, що у сумі мотоцикл рухався також на 1 годину менше часу, ніж автомобіль:\[\dfrac(403)x-1=\dfrac(2y)(90)\] \[\begin(cases) \dfrac yx-1=\dfrac y(90)\\ \dfrac(403)x-1=\dfrac(2y)(90) \end(cases)\]Виразимо \(x\) з першого рівняння: \(x=\dfrac(90y)(90+y)\) і підставимо у друге рівняння, отримаємо: \ Дискримінант \ (D = 313 ^ 2 + 2 \ cdot 4 \ cdot 403 \ cdot 90 = 388 \, 129 \). Виймемо корінь із цього числа. Оскільки \(600^2=360\,000\), а \(700^2=490\,000\), то \(600<\sqrt{388\,129}<700\)
. Так как \(61^2=3721\)
, \(62^2=3844\)
, \(63^2=3969\)
, то \(620<\sqrt{388\,129}<630\)
. Подберем последнюю цифру: на конце дают \(9\)
следующие цифры, возведенные в квадрат: \(3\)
и \(7\)
(\(3^2=9, 7^2=49\)
). Проверим: \(623^2=388\,129\)
. Таким образом, \(\sqrt{D}=623\)
.
Знайдемо коріння: \
Оскільки \(y\) - відстань, тобто величина невід'ємна, то підходить тільки корінь \(y = 234).
Відповідь: 234
Завдання 12
Знайдіть точку максимуму функції \
1 спосіб.
Зауважимо, що \
Отже, \(y=\sqrt(-(x+9)^2+2)\) . Оскільки \((x+9)^2\geqslant 0\), то \(-(x+9)^2+2\leqslant 2\).
Зауважимо, що при (x<-9\)
функция \(y(x)\)
является возрастающей, так как при увеличении \(x\)
значение \(y(x)\)
также растет. А при \(x>-9\) функція є спадною. Отже, \ (x = -9 \) - точка максимуму.
2 спосіб.
Знайдемо похідну функцію, щоб схематично побудувати графік цієї функції.
\
Знайдемо нулі похідної: \
Зауважимо, що \(x=-9\) підходить по ОДЗ (\(-79-18x-x^2\geqslant 0\)). Знайдемо знаки похідної праворуч і ліворуч від точки \(x=-9\): 
Таким чином, за визначенням точка (x=-9) є точкою максимуму.
Відповідь: -9
Завдання 13
а) Розв'яжіть рівняння \
б) Знайдіть усі корені цього рівняння, що належать відрізку \(\left.\)
а) За формулами наведення \(\sin(\pi+x)=-\sin x, \ \sin\left(\dfrac(\pi)2+x\right)=\cos x\). Тоді рівняння набуде вигляду \[-2\sin x\cos x=\sin x\quad\Leftrightarrow\quad \sin x(1+2\cos x)=0 \quad\Leftrightarrow\quad\left[\begin(gathered)\begin( aligned) &\sin x=0\\&\cos x=-\dfrac12\end(aligned)\end(gathered)\right.\]Корінням рівнянь будуть \(x=\pi n\) і \(x=\pm\dfrac(2\pi)3+2\pi k\) , \(n,k\in\mathbb(Z)\) .
б) Відберемо коріння. \(2\pi\leqslant \pi n\leqslant \dfrac(7\pi)2\quad\Leftrightarrow\quad 2\leqslant n\leqslant 3,5\quad\Rightarrow\quad n=2;3\quad\Rightarrow \quad x = 2 \ pi; \(2\pi\leqslant \dfrac(2\pi)3+2\pi k\leqslant \dfrac(7\pi)2\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac23\leqslant k\leqslant \dfrac(17)(12 )\quad\Rightarrow\quad k=1\quad\Rightarrow\quad x=\dfrac(8\pi)3\) \(2\pi\leqslant -\frac(2\pi)3+2\pi k\leqslant \dfrac(7\pi)2\quad \Leftrightarrow\quad \dfrac43\leqslant k\leqslant \dfrac(25)( 12) \ quad \ Rightarrow \ quad k = 2 \ quad \ Rightarrow \ quad x = \ dfrac (10 \ pi) 3 \)
Відповідь:
а) \(\pi n, \ \pm \dfrac(2\pi)3+2\pi k, \ n,k\in\mathbb(Z)\)
б) \(2\pi, \\dfrac(8\pi)3, \3\pi, \\dfrac(10\pi)3\)
Завдання 14
В основі правильної піраміди \(PABCD\) лежить квадрат \(ABCD\) зі стороною \(6\). Перетин піраміди проходить через вершину (B) і середину ребра (PD) перпендикулярно цьому ребру.
а) Доведіть, що кут нахилу бокового ребра піраміди до її основи дорівнює \(60^\circ\) .
б) Знайдіть площу перерізу піраміди.
а) За властивістю правильної піраміди (PD = PB). Оскільки \(PD\) перпендикулярно площині \(\alpha\) перерізу, воно перпендикулярно будь-який прямий з площини \(\alpha\) . Отже, \(PD\perp BK\) . Тоді \(BK\) - медіана і висота в \(\triangle BPD\), отже, цей трикутник рівнобедрений і \(BP=BD\). Отже, \(\triangle BPD\) - рівносторонній і \(\angle PDB=60^\circ\) . Але це і є кут між боковим ребром (PD) і площиною основи, чтд.
б) Проведемо ще одну пряму, що перетинає (BK) і перпендикулярну (PD). Тоді площина, що проходить через цю пряму і пряму (BK), і буде площиною (alpha).
Так як діагоналі квадрата взаємно перпендикулярні, то (AC perp BD). Тоді за теоремою про три перпендикуляри похила (PD) також буде перпендикулярна (AC).
Отже, якщо провести через точку перетину \(PO\) і \(BK\) пряму \(MN\) паралельно \(AC\), то \(MN\perp PD\). Проведемо: 
Таким чином, (BMKN) - шуканий переріз.
Зауважимо, що аналогічно за теоремою про три перпендикуляри (BK perp MN). Отже, \(S_(BMKN)=\frac12BK\cdot MN\cdot \sin\angle BQN\), а \(\sin\angle BQN=1\) , отже, \
Розглянемо \(\triangle BKD\). \ (BD = 6 \ sqrt2 \) , \ (KD = 0,5 PD = 0,5 BD = 3 \ sqrt2 \) . Отже, за теоремою Піфагора \ Так як \(PO\) і \(BK\) - медіани в \(\triangle BPD\) , то \(PQ:QO=2:1\), отже, \(PQ:PO = 2:3 \).
Оскільки \(\triangle APC\sim MPN\) , то \
Отже, \
Відповідь:
б) \(12\sqrt3\)
Завдання 15
Розв'яжіть нерівність \[\log_((x+4)^2)\left(3x^2-x-1\right)\leqslant 0\]
Випишемо ОДЗ нерівності: \[\begin(cases) (x+4)^2>0\\ (x+4)^2\ne 1\\3x^2-x-1>0\end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad x\in (-\infty;-5)\cup(-5;-4)\cup(-4;-3)\cup\left(-3;\dfrac(1-\sqrt(13))6\ right) \cup\left(\dfrac(1+\sqrt(13))6;+\infty\right)\]Вирішимо нерівність на ОДЗ. Скористаємося методом раціоналізації: \[((x+4)^2-1)\cdot (3x^2-x-1-1)\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad (x+3)(x+5)(x-1) (3x+2)\leqslant 0\]Вирішимо цю нерівність шляхом інтервалів: 
Отже, \\cup\left[-\dfrac23;1\right]\]Перетнемо отриману відповідь з ОДЗ і знайдемо підсумкову відповідь: \\]
Відповідь:
\((-5;-4)\cup(-4;-3)\cup\left[-\dfrac23;\dfrac(1-\sqrt(13))6\right) \cup\left(\dfrac( 1+\sqrt(13))6;1\right]\)
Завдання 16
Коло з центром \(O\) проходить через вершини \(B\) і \(C\) більшої бічної сторони прямокутної трапеції \(ABCD\) і стосується бічної сторони \(AD\) у точці \(K\) .
а) Доведіть, що кут \(BOC\) вдвічі більший за кут \(BKC\) .
б) Знайдіть відстань від точки \(K\) до прямої \(BC\), якщо підстави трапеції \(AB\) і \(CD\) дорівнюють 4 і 9 відповідно.
а) Кут (BOC) - центральний, що спирається на дугу (BC); кут (BKC) - вписаний і спирається на ту ж дугу, отже, (angle BOC = 2 angle BKC), чтд. 
б) Проведемо \(KH\perp BC\). Так як кут між дотичною і хордою, що виходить з точки дотику, дорівнює половині дуги, укладеної між ними, то \(\angle DKC=0,5\buildrel\smile\over(KC)=\angle KBC\). Аналогічно \(\angle AKB=\angle KCB\): 
Отже, \(\triangle AKB\sim \triangle KHC, \triangle KDC\sim \triangle KHB\)як прямокутні по гострому кутку. Тоді: \[\begin(aligned) &\dfrac(KB)(KC)=\dfrac(KH)(CD)\\ \dfrac(KC)(KB)=\dfrac(KH)(AB)\end(aligned) \]Звідси \
Відповідь:
Завдання 17
У липні планується взяти кредит на суму (69, 510) рублів. Умови його повернення такі:
- кожен січень борг зростає на (10%) порівняно з кінцем попереднього року;
- з лютого до червня кожного року необхідно виплатити деяку частину боргу.
На скільки рублів більше доведеться віддати у разі, якщо кредит буде повністю погашено трьома рівними платежами (тобто за три роки) порівняно з випадком, якщо кредит буде повністю погашено двома рівними платежами (тобто за два роки)?
Нехай (A) - сума кредиту в рублях. Нехай \(x\) - платіж у рублях у разі, якщо кредит взято на три роки, \(y\) - платіж у рублях у разі, якщо кредит взято на два роки. Так як за умовою платежі ануїтетні, то, якщо кредит взято на три роки, то в кінці третього року борг дорівнюватиме \ Якщо кредит взято на два роки, то наприкінці другого року борг дорівнюватиме. Якщо ви не розумієте чому так, можете ознайомитися з теорією за посиланням https://сайт/theory/44У першому випадку клієнт виплатить банку за всі роки (3x) рублів, у другому - (2y) рублів. Отже, потрібно знайти \(3x-2y\). Знайдемо: \(3x-2y=\dfrac(3\cdot 1,1^3\cdot A)(1,1^2+1,1+1)-\dfrac(2\cdot 1,1^2\cdot A) (1,1+1)=\) \(=1,1^2\cdot A\cdot \dfrac(3\cdot 1,1^2+3\cdot 1,1-2\cdot 1,1^2-2\cdot 1,1-2) (2,1 cdot 3,31) = 1,1 ^ 2 cdot A cdot dfrac (0,31) (2,1 cdot 3,31) = \) (= dfrac (11 cdot 11 cdot 6951 cdot 31) (21 cdot 331) = 11 cdot 11 cdot 31 = 3,751).
Відповідь: 3751
Завдання 18
Знайдіть усі значення параметра \(a\) , при кожному з яких система рівнянь \[\begin(cases) 2x^2+2y^2=5xy\\ (x-a)^2+(y-a)^2=5a^4 \end(cases)\]
має рівно два рішення.
1) Розглянемо перше рівняння системи як квадратне щодо \(x\) : \ Дискримінант дорівнює \(D=9y^2\) , отже, \
Тоді рівняння можна переписати у вигляді [[x-2y) \ cdot (2x-y) = 0 \] Отже, всю систему можна переписати у вигляді \[\begin(cases) \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &y=2x\\ &y=0,5x\end(aligned)\end(gathered)\right.\\ (x-a)^2 +(y-a)^2=5a^4\end(cases)\]Сукупність задає дві прямі, друге рівняння системи задає коло з центром в ((a; a)) і радіусом (R = sqrt5a ^ 2). Щоб вихідне рівняння мало два рішення, потрібно, щоб коло перетинало графік сукупності у двох точках. Ось креслення, коли, наприклад, \(a=1\) : 
Зауважимо, що оскільки координати центру кола рівні, то центр кола "бігає" по прямій \(y=x\) .
2) Так як у прямої \(y=kx\) тангенс кута нахилу цієї прямої до позитивного напрямку осі \(Ox\) дорівнює \(k\) , то тангенс кута нахилу прямої \(y=0,5x\) дорівнює \ (0,5\) (назвемо його \(\mathrm(tg)\,\alpha\) ), Прямий \(y=2x\) - дорівнює \(2\) (назвемо його \(\mathrm(tg)\) , \ beta \))). Зауважимо, що \(\mathrm(tg)\,\alpha\cdot \mathrm(tg)\,\beta=1\), отже, \(\mathrm(tg)\,\alpha=\mathrm(ctg)\,\beta=\mathrm(tg)\,(90^\circ-\beta)\). Отже, \(\alpha=90^\circ-\beta\) , звідки \(\alpha+\beta=90^\circ\) . Це означає, що кут між \(y=2x\) і позитивним напрямом \(Oy\) дорівнює куту між \(y=0,5x\) і позитивним напрямком \(Ox\) : 
Оскільки пряма \(y=x\) є бісектрисою I координатного кута (тобто кути між нею і позитивними напрямками \(Ox\) і \(Oy\) рівні по \(45^\circ\) ), то кути між \(y=x\) та прямими \(y=2x\) та \(y=0,5x\) рівні.
Все це нам потрібно було для того, щоб сказати, що прямі \(y=2x\) і \(y=0,5x\) симетричні один одному щодо \(y=x\) , отже, якщо коло стосується однієї з них , то вона обов'язково стосується і другої прямої.
Зауважимо, якщо \(a=0\) , то коло вироджується в точку \((0;0)\) і має лише одну точку перетину з обома прямими. Тобто, цей випадок нам не підходить.
Таким чином, для того, щоб коло мало 2 точки перетину з прямими, потрібно, щоб воно стосувалося цих прямих: 
Бачимо, що випадок, коли коло розташовується у третій чверті, симетричний (щодо початку координат) випадку, коли вона розташовується у першій чверті. Тобто в першій чверті \(a>0\) , а в третій \(a<0\)
(но такие же по модулю).
Тож розглянемо лише першу чверть. 
Зауважимо, що \(OQ=\sqrt((a-0)^2+(a-0)^2)=\sqrt2a\), \ (QK = R = \ sqrt5a ^ 2 \) . Тоді \ Тоді \[\mathrm(tg)\,\angle QOK=\dfrac(\sqrt5a^2)(\sqrt(2a^2-5a^4))\]Але з іншого боку, \[\mathrm(tg)\,\angle QOK=\mathrm(tg)\,(45^\circ-\alpha)=\dfrac(\mathrm(tg)\, 45^\circ-\mathrm(tg) \,\alpha)(1+\mathrm(tg)\,45^\circ\cdot \mathrm(tg)\,\alpha)\]отже, \[\dfrac(1-0,5)(1+1\cdot 0,5)=\dfrac(\sqrt5a^2)(\sqrt(2a^2-5a^4)) \quad\Leftrightarrow\quad a = \ pm \ dfrac15 \]Таким чином, ми вже відразу отримали і позитивне, і негативне значення для (a). Отже, відповідь: . Тоді: \
Якщо взяти, наприклад, \(x=2\) , \(y=1\) , то отримаємо послідовність: \(2, 1, 3, 4, 7, \dots\) Отже, таке можливо.
б) Аналогічно пункту а): \ Отже, один з (x) або (y) повинен бути негативним (обидва вони не можуть бути рівні (0), так як послідовність складається з натуральних чисел). Але це неможливо, тому що послідовність складається із натуральних чисел. Отже, відповідь: ні.
в) Відзначимо основні властивості послідовності, де (a_(n+1)=a_n+a_(n-1)\) при натуральних \(n\geqslant 2\) . Зауважимо, що перші два елементи цієї послідовності задаються довільно, а ось кожен наступний, починаючи з третього, дорівнює сумі двох попередніх. Отже, оскільки послідовність складається з натуральних чисел, то кожен елемент, починаючи з третього, більший за попередній, тобто \(a_(n+1):a_n>1\) при \(n\geqslant 2\) .
Це ж властивість можна переформулювати по-іншому: кожен елемент, починаючи з другого, менший за наступний: \(a_n:a_(n+1)<1\)
при \(n\geqslant 2\)
.
Але тоді \[\dfrac(a_(n+1))(a_n)=1+\dfrac(a_(n-1))(a_n)<1+1=2, \quad n\geqslant 3\]
(кожен елемент, починаючи з 4-го, менш ніж удвічі більше попереднього)
Припустимо, що рівність \(6na_(n+1)=(n^2+24)a_n\) аж до якогось великого \(n\) (тобто \(n\geqslant 3\)). Тоді \[\dfrac(a_(n+1))(a_n)=\dfrac(n^2+24)(6n)<2\]
Вирішимо нерівність: \[\dfrac(n^2+24)(6n)<2\quad\Rightarrow\quad n^2-12n+24<0
\quad\Leftrightarrow\quad n\in (6-\sqrt{12};6+\sqrt{12})\]
Оскільки \(n\) - натуральне, а \(9<6+\sqrt{12}<10\)
, то \(n\leqslant 9\)
.
Отже, найбільший елемент, для якого може бути виконана рівність пункту в), це \(a_(10)\) .
Спробуємо навести приклад. Для цього нам знадобиться рівність \(a_(n+2)=a_(n+1)+a_n\) використовувати у вигляді \(a_n=a_(n+2)-a_(n+1)\) , а також то що кожен елемент послідовності, починаючи з третього, повинен бути більшим за попередній.
Нехай \ (n = 9 \). Тоді \[\begin(aligned) &6\cdot 9\cdot a_(10)=105a_9\\ &18a_(10)=35a_9\quad\Rightarrow\\ &a_(10)=35k\ &a_9=18k\\ &a_8=17k\ \ &a_7=k\\ &a_6=16k\end(aligned)\]Отримали, що (a_6>a_7\) - протиріччя.
Нехай \ (n = 8 \). Тоді \[\begin(aligned) &6\cdot 8\cdot a_9=88a_8\\ &6a_9=11a_8\quad\Rightarrow\\ &a_9=11k\\ &a_8=6k\\ &a_7=5k\\ &a_6=k\\ &a_5=4 \end(aligned)\]Набули протиріччя.
Нехай \ (n = 7 \). Тоді \[\begin(aligned) &6\cdot 7\cdot a_8=73a_7\quad\Rightarrow\\ &a_8=73k\\ &a_7=42k\\ &a_6=31k\\ &a_5=11k\\ &a_4=20k\end(aligned) \]Набули протиріччя.
Нехай \ (n = 6 \). Тоді \[\begin(aligned) &6\cdot 6\cdot a_7=60a_6\\ &3a_7=5a_6\quad\Rightarrow\\ &a_7=5k\\ &a_6=3k\\ &a_5=2k\\ &a_4=k\\ &a_3=k \end(aligned)\]Набули протиріччя.
Нехай \ (n = 5 \). Тоді \[\begin(aligned) &6\cdot 5\cdot a_6=49a_5\quad\Rightarrow\\ &a_6=49k\\ &a_5=30k\\ &a_4=19k\\ &a_3=11k\\ &a_2=8k\\ &a_1=3 \end(aligned)\]Суперечності немає, отже, найбільш можливе \(n\) – це \(n=5\). Приклад: (3; 8; 11; 19; 30; 49 \) .