Стан електрона в одновимірній решітці. Динаміка електронів у кристалічній решітці

Хвильове число Kпов'язано з імпульсом електрона Pрівністю

Замінивши у співвідношенні невизначеностей імпульс через хвильове число, отримаємо співвідношення невизначеності для KІ X:

З цього співвідношення випливає, що при точно визначеному Kстановище електрона в кристалі буде зовсім невизначеним. Для того щоб можна було вивчати динаміку електрона в кристалі, необхідно розташовувати вирази для його швидкості та прискорення. Про швидкість можна говорити лише в тому випадку, якщо електрон буде хоча б приблизно локалізований в просторі.

Покладемо Δ Kвідмінним від нуля. Тоді електрон буде локалізовано в межах області Δ X~1/Δk. Відповідно до принципу суперпозиції псі-функція електрона може бути представлена ​​у вигляді суми плоских хвиль виду, значення хвильових чисел яких укладені в межах Δ K. Якщо Δ Kневелика, суперпозиція плоских хвиль утворює хвильовий пакет. Максимум амплітуди результуючої хвилі переміщається із груповою швидкістю

Найімовірніше місцезнаходження електрона збігається із центром групи хвиль. Отже, є швидкість електрона в кристалі.

Скориставшись співвідношенням, замінимо частоту через енергію. В результаті отримаємо, що

З'ясуємо, як поводитиметься електрон під дією накладеного на кристал зовнішнього електричного поля. У цьому випадку, крім сил, що створюються полем решітки, на електрон діятиме сила , модуль якої дорівнює EEВн. За час Dtця сила здійснює над електроном роботу. Підстановка виразу для дає

Ця робота йде на збільшення енергії електрона в кристалі: DA=DE. Замінивши в DAна DEі взявши до уваги, що , прийдемо до співвідношення

.

Звідси випливає, що

Продиференціювавши вираз по T, знайдемо прискорення електрона в кристалі:

.

Взявши до уваги, отримаємо

.

Напишемо цю формулу так:

.

Випливає, що прискорення електрона в кристалі пропорційно зовнішній силі EEВн. Цей результат є нетривіальним, оскільки прискорення має бути пропорційним до суми сил EEВн і FКри тільки своєрідність сили FКр призводить до того, що за пропорційності прискорення сумі сил EEВн і FКр має місце також його пропорційність доданку EEВн.

Порівнюючи з рівнянням другого закону Ньютона

Приходимо до висновку, що вираз

.

Формально грає по відношенню до зовнішньої сили роль маси, у зв'язку з чим величину називають Ефективною масоюелектрона у кристалі.

Ефективна маса M* може сильно відрізнятися від фактичної маси електрона M, зокрема вона може набувати негативних значень. Це зумовлено тією обставиною, що насправді рівняння другого закону Ньютона має вигляд

,

Де сила, обумовлена ​​дією на електрон поля решітки. Зіставлення з рівнянням

Наочно показує, що M* може суттєво відрізнятися від M. Незважаючи на це, саме значення M*визначає характер руху електрона у ґратах під дією сили EEВн. Введення ефективної маси дозволяє абстрагуючись від взаємодії електронів з гратами визначати характер руху електрона під дією зовнішнього поля. Приписавши електрону масу M*, ми можемо дослідити поведінку електрона під дією сили EEВн, вважаючи його вільним. Зі сказаного випливає, що співвідношення, отримані в наближенні вільних електронів, виявляються справедливими для електрона, що рухається в періодичному полі, якщо в них замінити справжню масу Mефективною масою M*.

Зокрема, вираз у разі періодичного поля має вигляд

Дійсно, дворазове диференціювання по Kдає

Що узгоджується з визначенням M* (Див.).

Отже, вплив грат на рух електрона можна врахувати замінивши в рівнянні руху, що включає тільки зовнішню силу EEВн, справжню масу Mефективною масою M*.

Досліджуємо залежність ефективної маси M* від "місце розташування" електрона всередині дозволеної енергетичної зони. Поблизу дна зони (див. точки A та A¢ на рис.9) хід кривий E(K)мало відрізняється від перебігу кривої для вільних електронів. Відповідно M* » M.

У точці перегину (точка B на рис.9) дорівнює нулю. Отже, M* Звертається в нескінченність. Це означає, що зовнішнє поле не може змінити швидкість електрона, що перебуває у стані з енергією. E B.

Поблизу стелі дозволеної зони (точка C на рис.9) похідна<0 (С ростом KЗменшується). Відповідно до цього ефективна маса M* електронів, що займають рівні поблизу стелі зони, виявляється негативною. Фактично це означає, що під спільною дією сил EEВн і FКр електрон, що перебуває у стані з енергією E C отримує прискорення, протилежне до зовнішньої сили EEВн.

На перший погляд вам може здатися, що електрон, що володіє невеликою енергією, насилу протискується через твердий кристал. Атоми в ньому укладені так, що їх центри відстоять один від одного лише на кілька ангстрем, а ефективний діаметр атома при розсіюванні електронів становить приблизно 1А або близько цього. Інакше кажучи, атоми, якщо їх порівнювати з проміжками між ними, дуже великі, тому можна очікувати, що середній вільний пробіг між зіткненнями буде близько кількох ангстрем, а це практично дорівнює нулю. Слід очікувати, що електрон майже відразу влетить у той чи інший атом. Проте перед нами звичайнісіньке явище природи: коли грати ідеальні, електрону нічого не варто плавно пронестися крізь кристал, майже як крізь вакуум. Дивний цей факт причина того, що метали так легко проводять електрику; крім того, він дозволив винайти безліч корисних пристроїв. Наприклад, завдяки йому транзистор здатний імітувати радіолампу. У радіолампі електрони рухаються вільно через вакуум, у транзисторі вони теж рухаються вільно, але через кристалічну решітку. Механізм того, що відбувається в транзисторі, буде описаний у цьому розділі; Наступна глава присвячена застосуванням цих принципів у різних практичних пристроях.

Провідність електронів у кристалі - один із прикладів дуже загального явища. Через кристали можуть мандрувати як електрони, а й інші «об'єкти». Так, атомні збудження також можуть подорожувати аналогічним способом. Явище, про яке ми зараз говоритимемо, постійно виникає щодо фізики твердого стану.

Ми вже неодноразово розбирали приклади систем із двома станами. Уявімо цього разу електрон, який може бути в одному з двох положень, причому в кожному з них він опиняється в однаковому оточенні. Припустимо також, що є певна амплітуда переходу електрона з одного положення в інше і, природно, така ж амплітуда переходу назад, точно, як в гол. 8, § 1 (вип. 8) для молекулярного іона водню. Тоді закони квантової механіки призводять до таких результатів. У електрона виникне два можливі стани з певною енергією, причому кожен стан може бути описано амплітудою того, що електрон перебуває в одному з двох базових положень. У кожному стані певної енергії величини цих двох амплітуд постійні в часі, а фази змінюються в часі з однаковою частотою. З іншого боку, якщо електрон спочатку був в одному положенні, то згодом він перейде в інше, а ще пізніше повернеться до першого положення. Зміни амплітуди схожі на рух двох пов'язаних маятників.

Розглянемо тепер ідеальну кристалічну решітку і уявимо, що в ній електрон може розташуватись у певній «ямці» біля певного атома, маючи певну енергію. Припустимо також, що електрон має деяку амплітуду того, що він перескочить в іншу ямку, яка знаходиться неподалік, біля іншого атома. Це чимось нагадує систему із двома станами, але з додатковими ускладненнями. Після того як електрон досягає сусіднього атома, він може перейти в нове місце або повернутися у вихідну позицію. Все це схоже не так на парупов'язаних маятників, скільки на нескінченна безлічмаятників, пов'язаних між собою. Це чимось нагадує одну з тих машин (складених із довгого ряду стрижнів, прикріплених до закрученого дроту), за допомогою яких на першому курсі демонструвалося поширення хвиль.

Якщо у вас є гармонійний осцилятор, пов'язаний з іншим гармонічним осцилятором, який у свою чергу пов'язаний з наступним осцилятором, який і т.д..., і якщо ви створите в одному місці якусь нерегулярність, то вона почне розповсюджуватися як хвиля по дроту. Те ж саме виникає і в тому випадку, якщо ви помістите електрон біля одного з атомів у їхньому довгому ланцюжку.

Як правило, завдання з механіки найлегше вирішувати мовою хвиль, що встановилися; це простіше, ніж аналізувати наслідки окремого поштовху. Тоді з'являється якась картина зсувів, яка поширюється кристалом, як хвиля із заданою, фіксованою частотою. Те саме відбувається з електроном, і з тієї ж причини, тому що електрон описується в квантовій механіці схожими рівняннями.

Але треба пам'ятати одну річ: амплітуда для електрона бути в цьому місці амплітуда,а чи не ймовірність. Якби електрон просто просочувався з одного місця в інше, як вода через дірочку, то його поведінка була б зовсім іншою. Якби, скажімо, ми з'єднали два бачки з водою тоненькою трубочкою, якою вода з одного бачка по краплі перетікала в інший, то рівні води вирівнювалися б по експоненті. З електроном же відбувається просочування амплітуди, а не монотонне переливання ймовірностей. А одна з властивостей уявного члена (множника iу диференціальних рівняннях квантової механіки) - що він змінює експоненційне рішення на коливальне. І те, що після цього відбувається, анітрохи не схоже на те, як вода перетікає з одного бачка до іншого.

Тепер ми хочемо квантовомеханічну нагоду проаналізувати кількісно. Нехай є одновимірна система, що складається з довгого ланцюга атомів (фіг. 11.1 а). (Кристал, звичайно, тривимірний, але фізика в обох випадках дуже близька; якщо ви розберетеся в одновимірному випадку, то зможете розібратися і в тому, що буває у трьох вимірах.) Ми хочемо знати, що станеться, якщо в цю лінію атомів помістити окремий електрон. Звісно, ​​у реальному кристалі таких електронів міріади. Але більшість їх (у непровідному кристалі майже всі) займає в загальній картині руху своє місце, кожен крутиться навколо свого атома, і все виявляється цілком встановленим. А ми хочемо розмірковувати про те, що буде, якщо всередину помістити зайвийелектрон. Ми не думатимемо про те, що роблять інші електрони, тому що вважатимемо, що на те, щоб змінити їхню енергію, потрібно дуже багато енергії збудження. Ми збираємося додати електрон і створити новий слабко пов'язаний негативний іон. Спостерігаючи за тим, що робить цей зайвийелектрон, ми робимо наближення, нехтуючи у своїй внутрішнім механізмом атомів.

Зрозуміло, що цей електрон зможе перейти до іншого атома, переносячи у місце негативний іон. Ми припустимо, що (точно, як і у випадку електрона, що «стрибав» від протона до протону) електрон може з якоюсь амплітудою «стрибати» від атома до його сусідів з будь-якого боку.

Як описувати таку систему? Що вважати розумними базовими станами? Якщо ви згадаєте, що ми робили, коли електрон мав лише дві можливі позиції, ви зможете здогадатися. Нехай у нашому ланцюжку всі відстані між атомами однокони, і нехай ми їх пронумеруємо по порядку, як на фіг. 11.1, а.Один базисний стан - коли електрон знаходиться біля атома № 6; інший базисний стан - коли електрон знаходиться біля № 7, або біля № 8, і т. д.; n-й базовий стан можна описати, сказавши, що електрон знаходиться біля атома № n.Позначимо цей базисний стан |n>. З фіг. 11.1 ясно, що мається на увазі під трьома базовими станами:

За допомогою цих наших базисних станів можна описати будь-який стан нашого одномірного кристала, задавши всі амплітуди те, що стан |φ> перебуває у одному з базисних станів, т. е. амплітуду те, що електрон розташований поблизу даного приватного атома. Тоді стан |φ> можна записати у вигляді суперпозиції базисних станів:

Крім того, ми хочемо ще припустити, що коли електрон знаходиться поблизу одного з атомів, то є деяка амплітуда того, що він просочиться до того атома, що ліворуч, або до того, що справа. Візьмемо найпростіший випадок, коли вважається, що він може проникнути лише до найближчих сусідів, а до наступного сусіда він зможе дійти у два прийоми. Приймемо, що амплітуди того, що електрон перестрибне від одного атома до сусіднього, рівні iA/ h (За одиницю часу).

Змінимо на час позначення та амплітуду , пов'язану з n-м атомом, позначимо через З n .Тоді (11.1) матиме вигляд

Якби ви знали кожну з амплітуд З nв даний момент, то, взявши квадрати їх модулів, можна було б отримати ймовірність того, що ви побачите електрон, глянувши в цей момент на атом n.

Але що сталося б трохи згодом? За аналогією з вивченими нами системами з двома станами ми пропонуємо скласти гамільтонові рівняння для цієї системи у вигляді рівнянь такого типу:

Перший праворуч коефіцієнт Е 0фізично означає енергію, яку мав би електрон, якби він не міг просочуватися від одного атома до іншого. (Цілком неважливо, що ми назвемо Е 0;Ми неодноразово бачили, що реально це не означає нічого, крім вибору нуля енергії. з (n-1)-й ямки. Як зазвичай, Авважається постійним (не залежить від t).

Для опису поведінки будь-якого стану | φ> треба для кожної з амплітуд З nмати за одним рівнянням типу (11.3). Оскільки ми маємо намір розглянути кристал з дуже великою кількістю атомів, то припустимо, що станів є дуже багато, атоми тягнуться без кінця в обидві сторони. (При кінцевому числі атомів доведеться спеціально звертати увагу на те, що трапляється на кінцях.) А якщо кількість N наших базисних станів нескінченно велика, то і вся система наших рівнянь гамільтонів нескінченна! Ми напишемо лише частину її:

Лекція 15. Електрони у кристалах

15.1. Електропровідність металів

Квантовомеханічний розрахунок показує, що у разі ідеальної кристалічної решітки електрони провідності не відчували б при своєму русі ніякого опору та електропровідність металів була б нескінченно великою . Відповідно до корпускулярно-хвильового дуалізму, руху електрона зіставляють хвильовий процес. Ідеальна кристалічна решітка металу (у її вузлах знаходяться нерухомі частинки і в ній відсутні порушення періодичності) веде себе подібно до оптично однорідного середовища - вона «електронні хвилі» не розсіює. Це відповідає тому, що метал не чинить електричного струму - упорядкованого руху електронів - ніякого опору. «Електронні хвилі», поширюючись в ідеальній кристалічній решітці металу, ніби огинають вузли грат і проходять значні відстані.

У реальній кристалічній решітці металу завжди є неоднорідності, якими можуть бути, наприклад, домішки, вакансії; неоднорідності зумовлюються також тепловими коливаннями. У реальних кристалічних гратах відбувається розсіювання «електронних хвиль» на неоднорідностях, що і є причиною електричного опору металів. Розсіювання «електронних хвиль» на неоднорідностях, пов'язаних із тепловими коливаннями, можна розглядати як зіткнення електронів із фононами.

Питомий електричний опір ( ρ ) металів можна подати у вигляді

де ρ колив - опір, зумовлений тепловими коливаннями грат, ρ прим - опір, зумовлений розсіюванням електронів на домішкових атомах. доданок ρ колиб зменшується зі зниженням температури і перетворюється на нуль при Т= 0 К. Доданок ρ прим при невеликій концентрації домішок не залежить від температури і утворює так зване залишкове сопро тивление металу, т. е. опір, яким метал має поблизу 0 До.

Розрахунок електропровідності металів, виконаний на основі квантової теорії, призводить до вираження для питомої електричної провідності металу

яке на вигляд нагадує класичну формулу для σ але має зовсім інший фізичний зміст. Тут п -концентрація електронів провідності у металі;<ℓ F> - середня довжина вільного пробігу електрона, що має енергію Фермі, - Середня швидкість теплового руху такого електрона, m* - ефективна маса електронів. Висновки, отримані на основі формули (15.1), повністю відповідають досвідченим даним. Квантова теорія металів, зокрема, пояснює залежність питомої провідності від температури: σ ~ 1/Т(класична теорія дає, що σ ~ 1/√Т), а також аномально великі величини (порядку сотень періодів решітки) середньої довжини вільного пробігу електронів<ℓ F> у металі.

Відповідно до класичної теорії, середня швидкість теплового руху електронів<u> ~ √ T,тому вона не змогла пояснити справжню залежність питомої електричної провідності від температури. У квантовій теорії середня швидкість<u F> від температури практично не залежить, тому що доводиться, що зі зміною температури рівень Фермі залишається практично незмінним (див. (14.53)). Однак із підвищенням температури розсіювання «електронних хвиль» на теплових коливаннях грат (на фононах) зростає, що відповідає зменшенню середньої довжини вільного пробігу електронів. В області кімнатних температур<ℓ F> ~ T-1, тому з огляду на незалежність від температури, отримаємо, що опір металів ( R~ 1/σ ) відповідно до даних дослідів зростає пропорційно T.

Відмінність класичного трактування руху електронів провідності в металі та квантовомеханічного трактування полягає в наступному. При класичному розгляді передбачається, що всі електрони обурюються зовнішнім електричним полем. При квантовомеханічному трактуванні доводиться брати до уваги, що хоча електричним полем також обурюються всі електрони, проте їх колективний рух сприймається в досвіді як обурення полем. лише електронів, що займають стани поблизу рівня Фермі . Крім того, при класичному трактуванні у знаменнику формули (15.1) повинна стояти звичайна маса електрона т.При квантовомеханічному трактуванні замість звичайної маси повинна бути взята ефективна маса електрона m *. Ця обставина є проявом загального правила, згідно з яким співвідношення, отримані в наближенні вільних електронів, виявляються справедливими і для електронів, що рухаються в періодичному полі ґрат, якщо в них замінити справжню масу mелектрона ефективною масою m*.

15.2. Електропровідність напівпровідників

Напівпровідниками є кристалічні речовини, у яких при 0 К валентна зона повністю заповнена електронами (див. рис. 14.14, б), а ширина забороненої зони невелика. Напівпровідники зобов'язані своєю назвою тієї обставини, що за величиною електропровідності вони займають проміжне положення між металами та діелектриками. Однак характерним для них є не величина провідності, а те, що їхня провідність зростає з підвищенням температури (у металів вона зменшується).

15.2.1. Власна провідність напівпровідників

Власними напівпровідниками є хімічно чисті напівпровідники, які провідність називається власної провідністю. Прикладом власних напівпровідників можуть бути хімічно чисті Ge, Si, і навіть багато хімічні сполуки: InSb, GaAs, CdS та інших.

При 0 До та відсутності інших зовнішніх факторів власні напівпровідники поводяться як діелектрики. При підвищенні температури електрони з верхніх рівнів валентної зони I можуть бути перекинуті на нижні рівні зони провідності I I (рис. 15.1). При накладенні на кристал електричного поля вони переміщаються проти поля та створюють електричний струм. Таким чином, зона I I через її часткове «укомплектування» електронами стає зоною провідності. Провідність власних напівпровідників, обумовлена ​​електронами, називається електронною провідністю або провідністю n -Типу.

Внаслідок теплових закидів електронів із зони I у зону I I у валентній зоні виникають вакантні стани, що отримали назву дірок . У зовнішньому електричному полі на місце, що звільнилося від електрона - дірку - може переміститися електрон з сусіднього рівня, а дірка з'явиться в тому місці, звідки пішов електрон, і т. д. Такий процес заповнення дірок електронами рівносильний переміщенню дірки в напрямку, протилежному руху електрона, так, як якби дірка мала позитивний заряд, рівним за величиною заряду електрона.

Мал. 15.1 Мал. 15.2

Провідність власних напівпровідників, обумовлена ​​квазічастинками – дірками, називається дірковою провідністю або провідністю р-типу .

Таким чином, у власних напівпровідниках спостерігаються два механізми провідності – електронний та дірковий. Число електронів у зоні провідності дорівнює числу дірок у валентній зоні, оскільки останні відповідають електронам, збудженим у зону провідності. Отже, якщо концентрації електронів провідності та дірок позначити відповідно n e та nр, то

n e = nнар.

Провідність напівпровідників завжди є збудженою, тобто з'являється лише під дією зовнішніх факторів (температури, опромінення, сильних електричних полів тощо).

У своєму напівпровіднику рівень Фермі перебуває у середині забороненої зони (рис. 15.2). Дійсно, для перекидання електрона з верхнього рівня валентної зони на нижній рівень зони провідності витрачається енергія активації , що дорівнює ширині запитаної зони ΔE. При появі електрона в зоні провідності у валентній зоні обов'язково виникає дірка. Отже, енергія, витрачена утворення пари носіїв струму, повинна ділитися на дві рівні частини. Так як енергія, що відповідає половині ширини забороненої зони, йде на перекидання електрона і така ж енергія витрачається на утворення дірки, то початок відліку для кожного з цих процесів має перебувати в середині забороненої зони. Енергія Фермі у власному напівпровіднику є енергію, від якої відбувається збудження електронів і дірок.

Висновок розташування рівня Фермі у середині забороненої зони власного напівпровідника може бути підтверджений математичними викладками. У фізиці твердого тіла доводиться, що концентрація електронів у зоні провідності

де Е2- енергія, що відповідає дну зони провідності (рис. 15.2); Е F – енергія Фермі; T- Термодинамічна температура; З 1 - постійна, що залежить від температури та ефективної маси електрона провідності.

Ефективна маса - величина, що має розмірність маси та характеризує динамічні властивості квазічастинок - електронів провідності та дірок. Введення в зонну теорію ефективної маси електрона провідності дозволяє, з одного боку, враховувати дію на електрони провідності як зовнішнього нуля, а й внутрішнього періодичного поля кристала, з другого боку, абстрагуючись від взаємодії електронів провідності з решіткою, розглядати рух у зовнішньому полі як рух вільних частин.

Концентрація дірок у валентній зоні

де З 2 - постійна, яка залежить від температури та ефективної маси дірки; Е 1 - енергія, що відповідає верхній межі валентної зони.

Енергія збудження в даному випадку відраховується вниз від рівня Фермі (рис. 15.2), тому величини в експоненційній множині мають знак, зворотний знаку експоненційного множника (15.3). Тому що для власного напівпровідника n e = nр (15.2), то

тобто рівень Фермі у власному напівпровіднику дійсно розташований у середині забороненої зони. Тому що для власних напівпровідників ΔE >> kT, то розподіл Фермі – Дірака (14.42) переходить у розподіл Максвелла – Больцмана (14.15). Поклавши (14.42) E - E F ≈ ΔE/2, отримаємо

де σ 0 - постійна, характерна для даного напівпровідника.

Збільшення провідності напівпровідників з підвищенням температури є їхньою характерною особливістю (у металів з підвищенням температури провідність зменшується). З погляду зонної теорії цю обставину пояснити досить просто: з підвищенням температури росте суто електронів, які внаслідок теплового збудження переходять у зону провідності та беруть участь у провідності. Тому питома провідність своїх напівпровідників із підвищенням температури зростає.

Якщо уявити температурну залежність питомої провідності ln σ від 1/ Т, то для власних напівпровідників - пряма (рис. 15.3), за нахилом якої можна визначити ширину забороненої зони Е, а за її продовженням - σ 0 (пряма відсікає на осі ординат відрізок, що дорівнює ln σ 0. Одним з найбільш поширених напівпровідникових елементів є германій, що має грати типу алмазу, в якій кожен атом пов'язаний з ковалентними зв'язками з чотирма найближчими сусідами. Упитана плоска схема розташування атомів у кристалі Ge дана на рис. 15.4,

де кожна рисочка позначає зв'язок, що здійснюється одним електроном. В ідеальному кристалі при Т= 0 До така структура є діелектриком, тому що всі валентні електрони беруть участь в утворенні зв'язків і, отже, не беруть участь у провідності. При підвищенні температури (або під впливом інших зовнішніх факторів)

теплові коливання решітки можуть призвести до розриву деяких валентних зв'язків, у результаті частина електронів відщеплюється і вони стають вільними. У покинутому електронному місці виникає дірка (вона зображена білим кружком), заповнити яку можуть електрони із сусідньої пари.

Мал. 15.3. Мал. 15.4.

В результаті дірка, так само як і електрон, що звільнився, буде рухатися по кристалу. Рух електронів провідності та дірок без електричного поля є хаотичним. Якщо ж кристал накласти електричне полі, то електрони почнуть рухатися проти поля, дірки - по полю, що призведе до виникнення власної провідності германію, обумовленої як електронами, і дірками.

У напівпровідниках поряд із процесом генерації електронів та дірок йде процес рекомбінації ; електрони переходять із зони провідності у валентну зону, віддаючи енергію решітці та випускаючи кванти електромагнітного випромінювання. У результаті кожної температури встановлюється певна рівноважна концентрація електронів і дірок, що змінюється з температурою, згідно з виразом (15.5).

15.2.2. Домішна провідність напівпровідників

Провідність напівпровідників, обумовлена ​​домішками, називається домішковий провідністю , а самі напівпровідники - домішковими напівпровідниками. Домішна провідність обумовлена ​​домішками (атоми сторонніх елементів), а також дефектами типу надлишкових атомів (у порівнянні зі стехіометричним складом), тепловими (порожні вузли або атоми в міжвузлях) та механічними (тріщини, дислокації тощо) дефектами. Наявність у напівпровіднику домішки істотно змінює його провідність. Наприклад, при введенні кремнію приблизно 0,001 ат. % бору його провідність збільшується приблизно 106 раз.

Домішну провідність напівпровідників розглянемо з прикладу Ge і Si, у яких вводяться атоми з валентністю, що відрізняється від валентності основних атомів на одиницю. Наприклад, при заміщенні атома Німеччина п'ятивалентним атомом миш'яку (рис. 15.5, а) один електрон не може утворити ковалентного зв'язку, він виявляється зайвим і може бути легко при теплових коливаннях решітки відщеплений від атома, тобто стати вільним. Утворення вільного електрона не супроводжується порушенням ковалентного зв'язку; отже, на відміну випадку, розглянутого вище, дірка немає. Надмірний позитивний заряд, що виникає поблизу атома домішки, пов'язаний з атомом домішки і тому переміщатися ґратами не може.

З погляду зонної теорії розглянутий процес можна подати так (рис. 15.5, б). Введення домішки спотворює поле ґрат, що призводить до виникнення у забороненій зоні енергетичного рівня Dвалентних електронів миш'яку, званого домішковим рівнем . В разі

Німеччина з домішкою миш'яку цей рівень розташовується від дна зони провідності на відстані ΔЕD= 0.013 еВ. Так як ΔЕD < kT, то вже при нормальних температурах енергія теплового руху достатня для того, щоб перекинути електрони домішкового рівня в зону провідності; позитивні заряди, що утворюються при цьому, локалізуються на нерухомих атомах миш'яку і в провідності не беруть участь.

Таким чином, у напівпровідниках з домішкою, валентність якої на одиницю більше валентності основних атомів, носіями струму є електрони; виникає еелектронна домішкова провідність (провідність) n -Типу ). Напівпровідники еелектронними(або напівпровідниками n -Типу ). Домішки, що є джерелом електронів, називаються донорами донорними рівнями .

Припустимо, що в ґрати кремнію введено домішковий атом з трьома валентними електронами, наприклад бор (рис. 15.6, а). Для утворення зв'язків із чотирма найближчими сусідами у атома бору не вистачає одного електрона, один із зв'язків залишається неукомплектованим і четвертий електрон може бути захоплений від сусіднього атома основної речовини, де відповідно утворюється дірка. Послідовне заповнення дірок, що утворюються, електронами еквівалентно руху дірок у напівпровіднику, тобто дірки не залишаються локалізованими, а переміщаються в решітці кремнію як вільні позитивні заряди. Надлишковий негативний заряд, що виникає поблизу атома домішки, пов'язаний з атомом домішки і по решітці переміщатися не може.

За зонною теорією, введення тривалентної домішки у ґрати кремнію призводить до виникнення у забороненій зоні домішкового енергетичного рівня. Ане зайнятого електронами. У разі кремнію з домішкою бору цей рівень розташовується вище за верхній край валентної зони на відстані ΔЄА= 0.08 еВ (рис. 15.6. 6 ). Близькість цих рівнів до валентної зони призводить до того, що вже при

порівняно низьких температурах електрони з валентної зони переходять на домішкові рівні і, зв'язуючись з атомами бору, втрачають здатність переміщатися ґратами кремнію, тобто у провідності не беруть участь. Носіями струму є лише дірки, що виникають у валентній зоні.

Таким чином, у напівпровідниках з домішкою, валентність якої на одиницю менша за валентність основних атомів, носіями струму є дірки;виникає діркова провідність (провідність р-Типу). Напівпровідники з такою провідністю називаються дирочними (або напівпровідниками р-типу ). Домішки, які захоплюють електрони з валентної зони напівпровідника, називаються акцепторами , а енергетичні рівні цих домішок - акцепторними рівнями.

На відміну від власної провідності, що здійснюється одночасно електронами та дірками, домішкова провідність напівпровідників обумовлена ​​переважно носіями одного знака: електронами - у разі донорної домішки, дірками - у разі акцепторної. Ці носії струму називаються основними . Крім основних носіїв у напівпровіднику є й неосновні носії: у напівпровідниках n-типу - дірки, у напівпровідниках р-Типу - електрони.

Наявність домішкових рівнів у напівпровідниках суттєво змінює положення рівня Фермі E F. Розрахунки показують, що у разі напівпровідників n-типу рівень Фермі E Fo при 0 До розташований посередині між дном зони провідності та донорним рівнем (рис. 15.7).

З підвищенням температури дедалі більше електронів перетворюється з донорних станів у зону провідності, але, крім цього, зростає кількість теплових флуктуацій, здатних збуджувати електрони з валентної зони і перекидати їх через заборонену зону енергій. Тому при високих температурах рівень Фермі має тенденцію зміщуватися вниз (суцільна крива) до свого граничного положення в центрі забороненої зони, характерного для власного напівпровідника.

Рівень Фермі у напівпровідниках р-типу при Т= 0 К E Fo розташовується посередині між стелею валентної зони та акцепторним рівнем (рис. 15.8). Суцільна крива знов-таки показує його усунення з температурою. При температурах, у яких домішкові атоми виявляються повністю виснаженими і збільшення концентрації носіїв відбувається з допомогою порушення власних носіїв, рівень Фермі розташовується посередині забороненої зони, як і власному напівпровіднику.

Провідність домішкового напівпровідника, як і провідність будь-якого провідника, визначається концентрацією носіїв та їх рухливістю. Зі зміною температури рухливість носіїв змінюється за порівняно слабким статечним законом, а концентрація носіїв - за дуже сильним експоненційним законом, тому провідність домішкових напівпровідників від температури визначається в основному температурною залежністю концентрації носіїв струму в ньому. На рис. 15.9 дано приблизний графік ln σ від 1/ Тдля домішкових напівпровідників. Ділянка АВописує домішкову провідність напівпровідника. Зростання домішкової провідності напівпровідника зі збільшенням температури обумовлено переважно підвищенням концентрації домішкових носіїв. Ділянка НДвідповідає області виснаження домішок, ділянка CDвизначає свою провідність напівпровідника.

15.2.3. Фотопровідність напівпровідників. Ексітони

Збільшення електропровідності напівпровідників може бути зумовлене не лише тепловим збудженням носіїв струму, а й під впливом електромагнітного випромінювання. У такому разі говорять про фотопровідності напівпровідників . Фотопровідність напівпровідників може бути пов'язана з властивостями як основної речовини, так і домішок, що містяться в ньому. У першому випадку при поглинанні фотонів, що відповідають власної смузі поглинання напівпровідника, тобто коли енергія фотонів дорівнює або більше ширини забороненої зони ( hν ≥ ∆E), можуть здійснюватися перекидання електронів з валентної зони до зони провідності (рис. 15.10, а), що призведе до появи додаткових (нерівноважних) електронів (у зоні провідності) та дірок (у валентній зоні). В результаті виникає власна фотопровідність , обумовлена ​​електронами та дірками.

Якщо напівпровідник містить домішки, то фотопровідність може

виникати і при hν < ∆E: для напівпровідників з донорною домішкою фотон повинен мати енергію. hν ≥ ∆ED, а для напівпровідників з акцепторною домішкою hν ≥ ∆EA. При поглинанні світла домішковими центрами відбувається перехід електронів із донорних рівнів у зону провідності у разі напівпровідника n-типу (рис. 15.10, б) або з валентної зони на акцепторні рівні у разі напівпровідника р-типу (рис. 15.10, в). В результаті виникає домішкова фотопровідність , що є чисто електронною для напівпровідників n-типу та чисто дірочною для напівпровідників р-Типу.

З умови hν = hc/λ можна визначити червоний кордон фотопровідності - максимальну довжину хвилі, за якої ще фотопровідність збуджується:

для власних напівпровідників

для домішкових напівпровідників

(∆Eп - у випадку енергія активації домішкових атомів).

Враховуючи значення ∆ Eта ∆ Eп для конкретних напівпровідників, можна показати, що червона межа фотопровідності для власних напівпровідників посідає видиму область спектра, для домішкових напівпровідників - на інфрачервону.

Теплове чи електромагнітне збудження електронів і дірок може не супроводжуватися збільшенням електропровідності. Одним із таких механізмів може бути механізм виникнення екситонів. Ексітони являють собою квазічастинки - електрично нейтральні зв'язані стани електрона та дірки, що утворюються у разі збудження з енергією, меншою ширини забороненої зони. Рівні енергії екситонів розташовуються біля дна зони провідності. Так як ексітони електрично нейтральні, їх виникнення в напівпровіднику не призводить до появи додаткових носіїв струму, внаслідок чого екситонне поглинання світла не супроводжується збільшенням фотопровідності.

15.3. Контакт електронного та дірочного напівпровідників

Кордон дотику двох напівпровідників, один з яких має електронну, а інший - дірочну провідність, називається електронно-дірковим переходом (або р- n -переходом) . Ці переходи мають велике практичне значення, будучи основою багатьох напівпровідникових приладів. р-n-Перехід не можна здійснити просто механічним з'єднанням двох напівпровідників. Зазвичай області різної провідності створюють при вирощуванні кристалів, або при відповідній обробці кристалів.

15.3.1. Напівпровідникові діоди (p- n-перехід)

Нехай донорний напівпровідник (робота виходу – Аnрівень Фермі - E Fn) наводиться в контакт (рис. 15.11, а, б) з акцепторним напівпровідником (робота виходу - A p, рівень Фермі - E Fp). Електрони з n-напівпровідника, де їх концентрація вище, будуть дифундувати в р-напівпровідник, де їхня концентрація нижче. Дифузія ж дірок відбувається у зворотному напрямку - у напрямку р → n.

У n-напівпровіднику, через догляд електронів, поблизу кордону залишається некомпенсований позитивний об'ємний заряд нерухомих іонізованих донорних атомів

У p-напівпровіднику, через відхід дірок, поблизу кордону утворюється негативний об'ємний заряд нерухомих іонізованих акцепторів (рис. 15.11, а). Ці об'ємні заряди утворюють у межі подвійний електричний шар, поле якого, спрямоване від n-області до р-області, що перешкоджає подальшому переходу електронів у напрямку n →рта дірок у напрямку р→ n. Якщо концентрації донорів та акцепторів у напівпровідниках n- І р-Типу однакові, то товщини шарів d 1 і d2(Рис. 15.11, в), у яких локалізуються нерухомі

заряди, рівні (d 1 = d 2).

За певної товщини р-n-Переходу настає рівноважний стан, що характеризується вирівнюванням рівнів Фермі для обох напівпровідників (рис, 15.11, в).В області р-n-переходу енергетичні зони викривляються, у результаті виникають потенційні бар'єри як електронів, так дірок. Висота потенційного бар'єру eφвизначається початковою різницею положень рівня Фермі обох напівпровідниках. Усі енергетичні рівні акцепторного напівпровідника піднято щодо рівнів донорного напівпровідника на висоту, рівну eφ, причому підйом відбувається на товщині подвійного шару d.

Товщина dшару р-n-Переходу в напівпровідниках становить приблизно 10-б - 10-7 м, а контактна різниця потенціалів - десяті частки вольт. Носії струму здатні подолати таку різницю потенціалів лише за температури кілька тисяч градусів, т. е. при нормальних температурах рівноважний контактний шар є зспираючим (характеризується підвищеним опором).

Опір замикаючого шару можна змінити за допомогою зовнішнього електричного поля. Якщо додане до р-n-переходу зовнішнє електричне іоле спрямоване від n-напівпровідника до р-напівпровіднику (рис. 15.12, а), тобто збігається з полем контактного шару, то воно викликає рух електронів у n-напівпровіднику та дірок в р-напівпровіднику від кордону р-n-Переходу в протилежні сторони. В результаті замикаючий шар розшириться і його опір зросте.

Напрямок зовнішнього поля, що розширює замикаючий шар, називається замикаючим (зворотнім ). У цьому напрямку електричний струм через р-п-перехід мало проходить. Струм у замикаючому шарі в замикаючому напрямку утворюється лише за рахунок неосновних носіїв струму (електронів у р-напівпровіднику та дірок в п-напівпровіднику).

Якщо додане до р-п-переходу зовнішнє електричне поле спрямоване

протилежно до поля контактного шару (рис. 15.12, б), то воно викликає рух електронів у п-напівпровіднику та дірок в р-напівпровіднику до кордону р-п-переходу

назустріч один одному. У цій галузі вони рекомбінують, товщина контактного шару та його опір зменшуються. Отже, у цьому направленіта електричний струм проходить крізь р-п-перехід у напрямку від р-напівпровідника до п-напівпровіднику; воно називається пропускним (прямим ).

Таким чином, р-п-перехід (подібно до контакту металу з напівпровідником)

має односторонню (вентильну) провідність.

На рис.15.13 представлена ​​вольт-амперна характеристика р-п-переходу. Як уже зазначалося, при пропускній (прямій) напрузі зовнішнє електричне поле сприяє руху основних носіїв струму до кордону. р-п-переходу (див. рис. 15.12, б). В результаті товщина контактного шару зменшується. Відповідно зменшується і опір переходу (тим сильніше, що більше напруга), а сила струму стає великою (права гілка на рис.15.13). Цей напрямок струму називається прямим. При замикаючій (зворотній) напрузі зовнішнє електричне поле перешкоджає руху основних носіїв струму до кордону. р-п-переходу (див. рис. 15.12, а) та сприяє руху неосновних носіїв струму, концентрація яких у напівпровідниках невелика. Це призводить до збільшення товщини контактного шару, збідненого основними.

носіями струму. Відповідно збільшується і опір переходу. Тому в даному випадку через р-п-перехід протікає лише невеликий струм (він називається зворотним ), повністю обумовлений неосновними носіями струму (ліва галузь рис. 15.13). Швидке зростання цього струму означає пробій контактного шару та його руйнування. При включенні в ланцюг змінного струму р-п-Переходи діють як випрямлячі.

15.3.2. Напівпровідникові тріоди (транзистори)

Одностороння провідність контактів двох напівпровідників (або металу з напівпровідником) використовується для випрямлення та перетворення змінних струмів. Якщо є один електронно-дірковий перехід, то його дія аналогічна дії двоелектродної лампи-діода. Тому напівпровідниковий пристрій, що містить один р-п-перехід, називається напівпровідниковим(кристальним) діодом.

р-п-Переходи мають не тільки прекрасні властивості, що випрямляють, але можуть бути використані також для посилення, а якщо в схему ввести зворотний зв'язок, то і для генерування електричних коливань. Прилади, призначені для цього, отримали назву напівпровідникових тріодів , або транзисторів . Вони можуть бути типу р-п-рта типу п-р-пзалежно від чергування областей із різною провідністю.

Наприклад розглянемо принцип роботи площинного тріода р-п-р, тобто тріода на основі п-напівпровідника (рис. 15.14). Робочі «електроди» тріода, якими є база (Середня частина транзистора), емітер і коллектор(прилеглі до бази з обох сторін області з іншим типом провідності), включаються до схеми за допомогою непрямих контактів - металевих провідників.

Між емітером і базою прикладається постійна напруга, що зміщує в прямому напрямку, а між базою і колектором - постійна зміщувальна напруга в зворотному напрямку. Змінна напруга, що посилюється

подається на вхідний опір Rвх, а посилене - знімається з вихідного опору Rвих. Протікання струму в ланцюзі зміттера обумовлено переважно рухом дірок (вони є основними носіями струму) і супроводжується їх «впорскуванням» - інжекцією - До області бази. Прониклі в базу дірки дифундують у напрямку до колектора, причому при невеликій товщині бази значна частина інжектованих дірок досягає колектора. Тут дірки захоплюються полем, що діє всередині переходу (притягуються до негативно зарядженого колектора), внаслідок чого змінюється струм колектора. Отже, будь-яка зміна струму в ціні емітера викликає зміну струму в колі колектора.

Прикладаючи між емітером та базою змінну напругу, отримаємо в ланцюзі колектора змінний струм, а на вихідному опорі - змінну напругу. Величина посилення залежить від властивостей р-п-переходів, навантажувальних опорів та напруги батареї Бк. Зазвичай Rвих >> Rвх, тому Uвихзначно перевищує вхідну напругу Uвх (посилення може досягати 10 000). Так як потужність змінного струму, що виділяється в Rвих, може бути більше, ніж витрачається в ціні емітера, то транзистор дає і посилення потужності. Ця посилена потужність з'являється рахунок джерела струму, включеного в ланцюг колектора.

З розглянутого випливає, що транзистор, подібно до електронної лампи, дає посилення і напруги і потужності. Якщо лампі анодний струм управляється напругою на сітці, то транзисторі струм колектора, відповідний анодному струму лампи, управляється напругою з урахуванням.

Принцип роботи транзистора п-р-п-Типу аналогічний розглянутому вище, але роль дірок грають електрони. Існують інші типи транзисторів, як і інші схеми їх включення. Завдяки своїм перевагам перед електронними лампами (малі габаритні розміри, високі ККД і термін служби, відсутність катода, що розжарюється (тому споживання меншої потужності), відсутність необхідності у вакуумі і т. д.) транзистор здійснив революцію в області електронних засобів зв'язку і забезпечив створення швидкодіючих ЕОМ з великим обсягом пам'яті.

15.4. Контактні та термоелектричні явища з зонної теорії

15.4.1. Робота виходу та термоелектронна емісія

Поверхня металу вдається залишити лише тим електронам провідності, енергія яких виявляється достатньою подолання потенційного бар'єру, що є на поверхні. Видалення електрона від зовнішнього шару іонів грат призводить до виникнення в тому місці, яке залишив електрон, надлишкового позитивного заряду. Кулонівська взаємодія із цим зарядом змушує електрон, швидкість якого не дуже велика, повернутися назад. В результаті метал виявляється оточеним тонкою хмарою електронів. Ця хмара утворює разом із зовнішнім шаром іонів подвійний електричний шар. Сили, що діють на електрон у такому шарі, спрямовані усередину металу. Робота, що здійснюється проти цих сил під час перекладу електрона з металу назовні, йде збільшення потенційної енергії електрона.

Повна енергія електрона в металі складається з потенційної та кінетичної енергій. При абсолютному нулі значення кінетичної енергії електронів провідності укладено в межах від нуля до співпадаючої з рівнем енергії Фермі енергії Е max. На рис. 15.15 енергетичні рівні зони провідності "вписані" в потенційну яму. Для видалення межі металу різним електронам потрібно повідомити неоднакову енергію. Так, електрону, що знаходиться на нижньому рівні зони провідності, необхідно повідомити енергію ЕР0; для електрона, що знаходиться на рівні Фермі, достатня енергія ЕР0 - Е max = ЕР0 - E F.

Найменша енергія, яку необхідно повідомити електрону для того, щоб видалити його з твердого або рідкого тіла у вакуум, називається роботою виходу . Роботу виходу прийнято позначати через eφ, де φ - Величина, звана потенціалом виходу . Робота виходу електрона з металу визначається виразом

еφ = ЕР0 - E F

При підвищенні температури частина електронів провідності має достатню енергію для подолання потенційного бар'єру на межі металу. Випускання електронів нагрітим металом називається термоелектронною емісією .

Цей ефект використовується в електронних лампах, де катод нагрівається до високих температур. Вимірюючи вольт-амперну характеристику двоелектродної лампи (катод, анод) за різних температур катода та анодної напруги можна досліджувати термоелектронну емісію.

Виходячи з квантових уявлень, Дешман отримав (1923 р.) для струму насичення формулу

Jнас = AT 2 exp(- eφ/kT)

Тут eφ- робота виходу, А-Константа. Температурний хід струму насичення ця передає цілком задовільно. Формула (15.10) називається формулою Річардсона – Дешмана .

15.4.2. Контактна різниця потенціалів

Якщо привести два різні метали в дотик, між ними виникає різниця потенціалів, яка називається контактною. В результаті в навколишньому просторі метали з'являється електричне поле.

Контактна різниця потенціалів обумовлена ​​тим, що з дотику металів частина електронів з одного металу перетворюється на інший. У верхній частині рис. 15.16 зображено два метали до приведення їх у зіткнення та надано їх графіки потенційної енергії електрона. Рівень Фермі у першому металі лежить, припущення, вище, ніж у другому. . У нижній частині рис. 15.16 зображено два метали після приведення їх у зіткнення та дано їх графіки потенційної енергії електрона. Природно, що при виникненні контакту між металами електрони з найвищих рівнів у першому металі переходитимуть на нижчі вільні рівні другого металу. В результаті потенціал першого металу зросте, а другого зменшиться. Відповідно, потенційна енергія електрона в першому металі зменшиться, а в другому

збільшиться (нагадаємо, що потенціал металу та потенційна енергія електрона в ньому мають різні знаки). У статистичній фізиці доводиться, що умовою рівноваги між металами, що стикаються (а також між напівпровідниками або металом і напівпровідником) є рівність повних енергій, що відповідають рівням Фермі. При цьому рівні Фермі обох металів розташовуються на схемі на однаковій висоті. На рис. 15.16 видно, що в цьому випадку потенційна енергія електрона у безпосередній близькості до поверхні першого металу (точки А та В на рис.15.16, б) буде на еφ 2 - eφ 1 менше, ніж поблизу другого металу. Отже, між точками А і В встановлюється різниця потенціалів, яка, як випливає з малюнка, дорівнює

∆φ " = (eφ 2 – eφ 1)/e = φ 2 - φ 1

Різниця потенціалів (15.11), обумовлена ​​відмінністю робіт виходу контактуючих металів, називається зовнішньою контактною різницею потенціалів . Найчастіше говорять просто про контактної різниці потенціалів, маючи на увазі під нею зовнішню .

Якщо рівні Фермі для двох контактуючих металів неоднакові, то між внутрішніми точками металів спостерігається внутрішня контактна різниця потенціалів яка, як випливає з малюнка, дорівнює

∆φ "" = (EF 1 – EF 2)/e.

У квантової теорії доводиться, що причиною виникнення внутрішньої контактної різниці потенціалів є відмінність концентрацій електронів у металах, що контактують. ∆ φ "" залежить від температури Тконтакту металів (оскільки спостерігається залежність ЕFвід Т),обумовлюючи термоелектричні явища . Як правило , ∆φ "" << ∆φ Якщо, наприклад, ввести в дотик три різнорідні провідники, що мають однакову температуру, то різниця потенціалів між кінцями розімкнутого ланцюга дорівнює алгебраїчній сумі стрибків потенціалу у всіх контактах. Вона не залежить від природи проміжних провідників. : Різниця потенціалів між кінцями ланцюга визначається різницею робіт виходу для металів, що утворюють крайні ланки ланцюга.

Значення зовнішньої контактної різниці потенціалів коливаються різних пар металів від кількох десятих вольта до кількох вольт. Ми розглянули контакт двох металів. Однак контактна різниця потенціалів виникає і на межі між металом та напівпровідником, а також на кордоні між двома напівпровідниками.

Для замкнутого ланцюга, складеного з довільного числа різнорідних металів і напівпровідників, з однаковою температурою всіх спаїв, сума стрибків потенціалів дорівнюватиме нулю. Тому ЕРС у ланцюзі виникнути не може.

15.4.3. Термоелектричні явища

Термоелектричними називають такі явища, в яких проявляється специфічний зв'язок між тепловими та електричними процесами в металах та напівпровідниках.

Явище Зеєбека.Зеєбек(1821 р) виявив, що якщо спаї 1 і 2 двох різнорідних металів, що утворюють замкнутий ланцюг (рис.15.17), мають неоднакову температуру, то в ланцюзі тече електричний струм. Зміна знака в різних температур спаїв супроводжується зміною напряму струму.

У замкнутому ланцюгу для багатьох пар металів електрорушійна сила прямо пропорційна різниці температур в контактах

Етермо = α AB ( T 2 – T 1)

Ця ЕРС називається термоелектрорушійною силою . Причину виникнення термоелектрорушійної ЕРС можна зрозуміти за допомогою формули (15.12), яка визначає внутрішню контактну різницю потенціалів на межі двох металів. Так як положення рівня Фермі залежить від температури, то за різних температур контактів різними будуть і внутрішні контактні різниці потенціалів. Тому сума стрибків потенціалу на контактах буде відмінна від нуля, що призводить до виникнення термоелектричного струму. При градієнті температури відбувається також дифузія електронів, яка також зумовлює термо-ЕРС.

Явище Зеєбека використовується:

1) для вимірювання температури за допомогою термопар - Датчиків температур, що складаються з двох з'єднаних між собою різнорідних металевих провідників. Таких спаїв у термопарі може бути кілька;

2) для створення генераторів струму з прямим перетворенням теплової енергії на електричну. Їх використовують, зокрема, на космічних кораблях, супутниках як бортові джерела електроенергії;

3) для вимірювання потужності інфрачервоного, видимого та ультрафіолетового випромінювань.

Явище Пельтьє. Це (1834 р.) можна вважати зворотним термоелектриці. Якщо через термопару пропустити електричний струм від стороннього джерела (рис. 15.18) ), то один із спаїв буде нагріватися, а інший охолоджуватиметься. Теплота, виділена на одному спаї (+Q), дорівнюватиме теплоті, поглиненій на іншому (- Q).У разі зміни напрямку струму роль спаїв зміниться.

Кількість теплоти, що виділилася або поглинена, пропорційно заряду q,що протік через спай:

Q= П q

де П - коефіцієнт Пельтьє , залежить від дотичних матеріалів та його температури.

Закономірність (15.14) дозволяє визначити кількість теплоти Пельтьє , яке від кількості теплоти Джоуля - Ленца, позаяк у разі воно пропорційно квадрату сили струму.

Явище Пельтьє використовують для створення холодильників, термостатів, установок мікроклімату і т. п. Змінюючи силу струму в цих пристроях, можна регулювати кількість теплоти, що виділяється або поглинається, а змінюючи напрямок струму, можна перетворити холодильник на нагрівач і навпаки.

У разі контакту двох речовин з однаковим видом носіїв струму (метал – метал, метал – напівпровідник n-типу, два напівпровідники n-типу, два напівпровідники р-Типу) ефект Пельтьє має наступне пояснення. Носії струму (електрони або дірки) з різних боків від спаю мають різну середню енергію (мається на увазі повна енергія - кінетична плюс потенційна). Якщо носії, пройшовши через спай, потрапляють в область з меншою енергією, вони віддають надлишок енергії кристалічних ґрат, внаслідок чого спай нагрівається. На іншому спаї носії переходять у область з більшою енергією; недостатню енергію вони запозичують у решітки, що призводить до охолодження спаю.

У разі контакту двох напівпровідників із різним типом провідності ефект Пельтьє має інше пояснення. В цьому випадку на одному спаї електрони та дірки рухаються назустріч один одному. Зустрівшись, вони рекомбінують: електрон, який перебував у зоні провідності n-напівпровідника, потрапивши в р-напівпровідник, що займає у валентній зоні місце дірки. При цьому вивільняється енергія, яка потрібна для утворення вільного електрона в n-напів-провіднику та дірки в р-напівпровіднику, а також кінетична енергія електрона та дірки. Ця енергія повідомляється кристалічною решіткою і йде нагрівання спаю. На іншому спаї струм, що протікає, відсмоктує електрони і дірки від кордону між напівпровідниками. Зменшення носіїв струму в прикордонній області заповнюється за рахунок попарного народження електронів та дірок (при цьому електрон із валентної зони р-напівпровідника переходить у зону провідності n-напівпровідника). На утворення пари витрачається енергія, яка запозичується у ґрат, - спай охолоджується.

Явище Томсона. Це було передбачено У. Томсоном (Кельвін) в 1856 р. під час проходження струму по нерівномірно нагрітому провіднику має відбуватися додаткове виділення (поглинання) теплоти, аналогічній теплоті Пельтьє. Це явище після експериментального підтвердження отримало назву явища Томсона і пояснюється за аналогією з явищем Пельтьє.

Так як у більш нагрітій частині провідника електрони мають більшу середню енергію, ніж менш нагрітій, то, рухаючись у напрямку зменшення температури, вони віддають частину своєї енергії решітці, в результаті чого відбувається виділення теплоти. Якщо ж електрони рухаються у бік зростання температури, всі вони, навпаки, поповнюють свою енергію з допомогою енергії решітки, у результаті відбувається поглинання теплоти.

15.5. Надпровідність

Камерлінг-Оннес виявив у 1911 р., що при температурі близько 4 К електричний опір ртуті стрибком зменшувався до нуля. Подальші дослідження показали, що аналогічно поводяться і багато інших металів та сплавів. Це явище назвали надпровідністю , А речовини, де воно спостерігається, - надпровідниками . Температура Тк,при якій відбувається стрибкоподібне зменшення опору, називається температурою переходу в надпровідний стан ня або критичною температурою . Стан надпровідника вище критичної температури називається нормальним , а нижче - надпровідним .

15.5.1. Бозе-конденсація та надплинність в електронній підсистемі металу

Теорія надпровідності була створена в 1957 Бардіном, Купером, і Шриффером. Її називають коротко теорією БКШ. Незалежно від них у 1958 р. розробив досконаліший варіант теорії надпровідності. Теорія надпровідності складна. Тому нижче обмежимося лише спрощеним викладом теорії БКШ.

Крім зовнішньої схожості між надплинністю (Надплинна рідина протікає без тертя, тобто без опору течії, по вузьких капілярах) і надпровідністю (струм у надпровіднику тече без опору по дроту) існує глибока фізична аналогія: і надплинність, і надпровідність – це макроскопічний квантовий ефект .

Електрони в металі, крім кулонівського відштовхування, відчувають особливий вид взаємного тяжіння, яке у надпровідному стані переважає над відштовхуванням. В результаті електрони провідності об'єднуються в так звані куперівські пари . Електрони, що входять до такої пари, мають протилежно спрямовані спини. Тому спин пари дорівнює нулю, і вона є бозоном. Бозони схильні накопичуватись в основному енергетичному стані, з якого їх порівняно важко перевести у збуджений стан. Інакше кажучи, при температурі нижче критичної ( Тк) відбувається бозе-конденсація куперівських пар електронів. Куперівські пари бозе-конденсату, прийшовши в надплинний рух, залишаються в цьому стані необмежено довго. Такий узгоджений рух пар є струм надпровідності.

Пояснимо сказане докладніше. Електрон, що рухається в металі, деформує (поляризує) кристалічну решітку, що складається з позитивних іонів. В результаті цієї деформації електрон виявляється оточеним «хмарою» позитивного заряду, що переміщається ґратами разом з електроном. Електрон і навколишня хмара є позитивно зарядженою системою, до якої буде притягатися інший електрон. Таким чином, кристалічні грати відіграють роль проміжного середовища, наявність якого призводить до тяжіння між електронами.

квантовомеханічною мовою тяжіння між електронами пояснюється як результат обміну між електронами квантами збудження решітки - фононами. Електрон, що рухається у металі, порушує режим коливань решітки – збуджує фонони. Енергія збудження передається іншому електрону, що поглинає фонон. Внаслідок такого обміну фононами виникає додаткова взаємодія між електронами, що має характер тяжіння. За низьких температур це тяжіння у речовин, що є надпровідниками, перевищує кулонівське відштовхування.

Взаємодія, обумовлена ​​обміном фононами, найбільш сильно проявляється у електронів, які мають протилежні імпульси і спини. В результаті два таких електрони об'єднуються в куперівську пару. Цю пару не слід уявляти собі як два злиплі електрони. Навпаки, відстань між електронами пари дуже велика, вона становить приблизно 10-4 см, тобто на чотири порядки перевищує міжатомні відстані в кристалі (наприклад, свинець у надпровідному стані Тдо ≈ 7,2 К). Приблизно 106 куперівських пар помітно перекриваються, тобто займають загальний обсяг.

У куперівські пари об'єднуються не всі електрони провідності. При температурі Т, Відмінної від абсолютного нуля, є певна ймовірність того, що пара буде зруйнована. Тому завжди поряд з парами є «нормальні» електрони, що рухаються кристалом звичайним чином. Чим ближче Тдо Тк, тим більше нормальних електронів стає більше, звертаючись в одиницю при Т= Тк. Отже, при температурі вище Ткнадпровідний стан неможливий.

Утворення куперівських пар призводить до розбудови енергетичного спектру металу. Для збудження електронної системи, що перебуває у надпровідному стані, треба зруйнувати хоча б одну пару, на що потрібна енергія, що дорівнює енергії зв'язку Есвелектронів у парі. Ця енергія є мінімальною кількістю енергії, яку може сприйняти система електронів надпровідника. Отже, в енергетичному спектрі електронів, що перебувають у надпровідному стані, є щілина ширини Есв,розташована у сфері рівня Фермі.

Отже, збуджений стан електронної системи, що перебуває у надпровідному стані, відокремлено від основного стану енергетичною щілиною ширини. Есв.Тому квантові переходи цієї системи не завжди будуть можливими. При малих швидкостях свого руху (що відповідають силі струму, меншій критичній Iк) електронна система не збуджуватиметься, а це і означає рух без тертя (надплинність), тобто без електричного опору.

Ширина енергетичної щілини Есвзі зростанням температури зменшується і перетворюється на нуль при критичній температурі Тк. Відповідно всі куперівські пари руйнуються, і речовина переходить у нормальний (ненадпровідний) стан.

15.5.2. Квантування магнітного потоку

Існування спарювання електронів у надпровіднику (при Т< Тк)було доведено прямими дослідами з квантування магнітного потоку . Розглянемо надпровідне кільце, яким циркулює надпровідний струм. Нехай електрони рухаються по колу радіусу rіз швидкістю υ. Енергія струму є виразом E = (1/2 з)IФ, де I- сила струму, а Ф - магнітний потік через розглянуте коло, створюваний цим струмом. Якщо N- повне число електронів у кільці, а Т-період звернення, то I = Ne/T= Neυ /2 πr.Таким чином, E = NeυФ /4 πrc.З іншого боку, та ж енергія дорівнює E = Nmυ 2/2. Прирівнюючи обидва вирази, отримаємо Ф = 2 πrcmυ / e.Якщо електрони рухаються куперівськими парами, то імпульс кожної такої пари дорівнює p = 2mυ , так що Ф = π rср/е.Але імпульс куперівської пари може набувати лише квантованих значень відповідно до співвідношення рr = пħ= nh/2π, де п- ціле число. Отже,

Формула такого виду була отримана Ф. Лондоном (1950) ще до створення теорії надпровідності. Однак Лондон отримав для Ф0 вдвічі більше значення, порівняно з тим, що дає формула (15.16). Це тим, що у 1950 р. явище спарювання електронів ще було відомо. Тому для імпульсу Лондон користувався виразом р= mυ , а не виразом р= 2 mυ , як зроблено вище. Досвід показав правильність формул (15.15) та (15.16) і тим самим підтвердив існування явища спарювання електронів.

Важливо зазначити таку обставину. Відомо, що в надпровідному кільці можна порушити електричний струм, що незагасає. Наприклад, один із досвідів такого роду тривав 2,5 роки, і все ж таки ніякого згасання струму виявлено не було. На перший погляд у цьому немає нічого дивного, оскільки у надпровіднику не виділяється джоулева тепло, а тому й немає згасання. Насправді питання складніше. Електрони у надпровідному кільці рухаються прискорено і повинні випромінювати, а це має призвести до загасання струму. . Досвід показує, що згасання немає. Протиріччя усувається так само, як і відповідне протиріччя з випромінюванням у класичній теорії атома. Щоб не було випромінювання, Бор увів квантовий постулатпро стаціонарні стани атома, а де Бройль пояснив це утворенням кругової стоячої хвилею де Бройля. Так, і в надпровідне кільце з струмом, з випромінювання не виникає через квантування електричного струму. Але це квантування спостерігається вже в макроскопічному масштабі (Кругова стояча хвиля де Бройля по кільцю зі струмом).

15.5.3. Ефект Мейсснера. Надпровідники першого та другого роду

Для надпровідного стану характерно те, що магнітне поле не проникає в товщу надпровідника. Це явище називається ефектом Мейсснера . Якщо надпровідний зразок охолоджується, будучи поміщеним у магнітне поле, в момент переходу в надпровідний стан поле виштовхується зі зразка, і магнітна індукція у зразку перетворюється на нуль. Формально можна сказати, що надпровідник має нульову магнітну проникність ( μ = 0). Речовини з μ < 1 называются диамагнетикам и. таким образом, надпровідник є ідеальним діамагнетиком .

Так як у надпровіднику немає магнітного поля, то в його обсязі не можуть текти і електричні струми, тобто всередині надпровідника j= 0. Це безпосередньо випливає з теореми про циркуляцію rot H= (4π/ c)J. Усі струми повинні текти поверхнею надпровідника.

Ці поверхневі струми збуджують магнітне поле, що компенсує провідника всередині зовнішнє прикладене поле. Такий механізм витіснення магнітного поля із надпровідника, про який йдеться в ефекті Мейсснера.

Ефект Мейсснера дуже наочно проявляється в ширянні магніту над поверхнею надпровідника. На тарілку із надпровідника (наприклад, свинцеву), охолоджену до температури нижче критичної, опускається невеликий магніт. При цьому в тарілці збуджуються індукційні струми, що незагасають. Відштовхуючи магніт, ці струми змушують його «парити» над тарілкою на певній висоті. Явище спостерігається і в тому випадку, коли магніт кладеться на тарілку, температура якої вища за критичну, а потім охолодженням тарілка приводиться в надпровідний стан. Справа в тому, що витіснення магнітного поля із надпровідника також супроводжується змінами магнітних потоків, а отже, і збудженням індукційних струмів. Ці струми визначаються лише взаємним розташуванням магніту та тарілки і зовсім не залежать від того, яким способом було досягнуто це розташування. Тому явище буде виглядати так само, як і за першої постановки досвіду.

Достатньо сильне зовнішнє магнітне поле руйнує надпровідний стан. Значення магнітної індукції, за якого це відбувається, називається критичним полем і позначається Вк.Значення Вкзалежить від температури зразка. При критичній температурі Вк= 0, зі зниженням температури значення Вкзростає, прагнучи Bk0 - значення критичного поля при нульовій температурі. Зразковий вид цієї залежності показано на рис. 15.19. Якщо посилювати струм, що тече через надпровідник, включений у загальний ланцюг, то при значенні сили струму Iкнадпровідний стан руйнується. Це значення називають критичним струмом . Значення Iкзалежить від температури. Вигляд цієї залежності аналогічний залежності Вквід Т(Див. рис. 15.19).

Одним із суттєвих факторів, що визначають поведінку надпровідника, є поверхнева

енергія , пов'язана з наявністю меж розділу між нормальною та надпровідною фазами. Ця енергія аналогічна енергії поверхневого натягу межі розділу двох рідин. Вона визначається кінцевою глибиною проникнення магнітного поля з нормальної в надпровідну фазу, тяжінням

між електронами куперівських пар, наявністю енергетичної щілини між надпровідною та нормальною фазами та ін. Ця енергія може бути як позитивною, так і негативною. На цю обставину звернув увагу (1957 р.), який ввів поділ надпровідників на надпровідники першого та другого роду . Для перших поверхнева енергія є позитивною, для других негативною. До надпровідників першого роду відноситься більшість чистих металів, а другого роду - переважна кількість сплавів, а також багато чистих металів з домішками та всі високотемпературні надпровідники. У надпровідниках першого роду спостерігається ефект Мейсснера, у надпровідниках другого роду – не завжди. Надпровідник другого роду може перебувати в надпровідному та змішаному станах . У надпровідному стані має місце ефект Мейсснера, у змішаному – ні. На рис. 15.20 крива B =Bк1 (Т)визначає магнітне критичне поле, при якому знаходяться в рівновазі надпровідна та змішана фази. Аналогічно, крива B =Bк1 (Т)відповідає рівновазі між надпровідною та нормальною фазами. Область температур та магнітних

полів, при яких метал знаходиться в надпровідному стані, позначена подвійною штрихуванням, область змішаного стану - простою штрихуванням, а область нормального стану не заштрихована. Для надпровідників першого роду змішаного стану немає. Зрозуміло, що у надпровіднику має реалізуватися стан мінімумуповної енергії, що включає поверхневу. Тому і виникає змішаний стан. У надпровідник у змішаному стані зовнішнє магнітне поле проникає через нитки кінцевого поперечного перерізу . Кінцевий переріз виходить тому, що з області, зайнятої магнітним полем, відбувається його проникнення в навколишній простір, що знаходиться в надпровідному стані, причому цей процес характеризується кінцевою глибиною проникнення. Тіло пронизане нитками, через які проходять магнітні потоки, а самі нитки відокремлені одна від одної проміжками, що зберігають надпровідність, якщо відстань між сусідніми нитками перевищує приблизно подвоєну глибину проникнення магнітного поля в надпровідник. Істотно, що магнітний потік через поперечний переріз нитки квантується . Енергетично вигідно, щоб через кожну нитку проходив один квант магнітного потоку Справді, розглянемо дві нитки радіусу r, через кожну з яких проходить квант магнітного потоку. Сумарний магнітний потік через обидві нитки дорівнює 2πr2Н.Нехай обидві нитки зливаються в одну радіуса R.Тоді той самий магнітний потік буде πR2H.Порівнюючи обидва вирази, знаходимо R = r√2. Тому довжина кола поперечного перерізу нитки, що утворилася в результаті злиття, буде 2 πR = 2πr√2, тоді як сума довжин кіл поперечних перерізів початкових двох ниток більше, так як вона дорівнює 2 π r∙2. Таким чином, злиття двох ниток зменшує бічну поверхню , за якою нитки межують з навколишнім простором. Це веде до енергетично невигідного збільшення поверхневої енергії, оскільки вона негативна. Отже, через тіло проходить магнітне поле, але воно зберігає надпровідність завдяки наявності надпровідних проміжків між нитками. При посиленні магнітного поля число ниток у тілі збільшується, а надпровідні проміжки між ними скорочуються. Зрештою магнітне поле починає пронизувати все тіло, і надпровідність зникає.

Надпровідні сплави завдяки високим значенням критичних магнітних полів НК2знайшли широке застосування для виготовлення обмоток соленоїдів, призначених для отримання надсильних магнітних полів (Гс і більше). Надпровідники I роду для цієї мети не годяться через низькі значення критичних магнітних полів, що руйнують надпровідність.

15.5.4. Ефект Джозефсона

На основі теорії надпровідності Б. Джозефсон (1962) передбачив ефект протікання надпровідного струму крізь тонкий шар діелектрика (плівка оксиду металу товщиною ≈ 1 нм), що розділяє два надпровідники (так званий контакт Джозефсона).

Електрони провідності проходять через діелектрик завдяки тунельному ефекту. Якщо струм через контакт Джозефсона не перевищує деякого критичного значення, то падіння напруги на ньому немає (стаціонарний ефект Джозефсона), якщо перевищує – виникає падіння напруги Uі контакт випромінює електромагнітні хвилі (Нестаціонарний ефект Джозефсона). Частота vвипромінювання пов'язана з Uна контакті співвідношенням v = 2eU/h (е- Заряд електрона). Виникнення випромінювання пояснюється тим, що куперівські пари (вони створюють надпровідний струм), проходячи крізь контакт, набувають щодо основного стану надпровідника надмірну енергію. Повертаючись до основного стану, вони випромінюють квант електромагнітної енергії hv = 2eU.

Ефект Джозефсона використовується для точного вимірювання дуже слабких магнітних полів (до 10-18 Тл), струмів (доА) та напруг (доВ), а також для створення швидкодіючих елементів логічних пристроїв ЕОМ та підсилювачів.

Довгий час надпровідний стан різних металів і сполук вдавалося отримати лише за дуже низьких температур, досяжних за допомогою рідкого гелію. На початку 1986 р. максимальне значення критичної температури становило 23 К. У мм. було виявлено ряд високотемпературних надпровідників з критичною температурою близько 100 К. Така температура досягається за допомогою рідкого азоту. На відміну від гелію рідкий азот одержують у промисловому масштабі.

Величезний інтерес до високотемпературних надпровідників обумовлений зокрема тим, що матеріали з критичною температурою порядку 300К справлять справжню технічну революцію. Наприклад, використання надпровідних ліній електропередач повністю усуне втрати потужності у проводах.

Для визначеності розглянемо кристал як лінійної ланцюжка періодично розташованих атомів (одномірний кристал). Нехай – період кристала.

Зворотні грати такого кристала будуть також лінійними (одномірними) з періодом рівним
.

П ервая зона Бріллюена займає інтервал від
до
, друга зона Бріллюена займає інтервал від
до
і от
до
, третя зона Бріллюена займає інтервал від
до
і от
до
.

Розглянемо з квантово-механічної точки зору трансляційний (спрямований) рух пов'язаного електрона такого одновимірного кристала під дією зовнішнього електричного поля. , що діє вздовж ланцюжка атомів. Рух електрона під дією поля будемо розглядати не як рух мікрочастинки, а як поширення електромагнітної хвилі вздовж ланцюжка атомів, в позитивному напрямку осіx, таку ситуацію можна створити в трьох мірному кристалі, якщо прикласти поле вздовж ланцюжка однакових атомів кристала.

Пов'язаний електрон кристала, як колективізована частка локалізований у досить великій області простору: ∆x ~ L, тоді відповідно до співвідношення невизначеності ∆x∆p ~ ħ, невизначеність значення імпульсу пов'язаного електрона та його енергії дуже мала, тому що ∆x велике; отже у разі стан пов'язаних електронів можна описувати шляхом суперпозиції стоячих хвиль з близькими значеннями хвильових векторів; тобто. стан пов'язаного електрона ми можемо описувати за допомогою хвильового пакета, що рухається зі швидкістю
. З цією швидкістю і рухається електрон під впливом електричного поля. Вільний електрон кристала під дією електричного поля рухається так, що його енергія залежить від вектора хвилі змінюється за параболічним законом:
.

З'ясуємо загалом характер залежності енергії пов'язаних електронів від хвильового вектора . Для спрощення підходу до вирішення цього завдання замінимо реальний потенційний рельєф ланцюжка атомів системою потенційних прямокутних ям, що знаходяться один від одного на відстані a і розділених прям
окутними потенційними бар'єрами однакової товщини.

П усть пов'язаний електрон під дією зовнішнього електричного поля з силою починає трансляційний рух зі стану, що характеризується, наприклад
і
. Нехай електричне поле спрямоване вздовж осі OX, як показано на малюнку. У цьому випадку пов'язані елементи рухаються перпендикулярно до стінок потенційних ям. На шляху
зовнішнє поле виконує роботу: , вона витрачається зміну енергії електрона:

Швидкість трансляційного руху електрона визначається швидкістю руху хвильового пакета:

(2)

З (1) випливає, що

(3)

Підставляючи (3) до (2), отримаємо:

(4)

Або у векторній формі:

(5)

Зміна хвильового вектора збігається з напрямом сили . З (1) та (2) випливає, що з часом значення хвильового вектора збільшується. Відповідно до співвідношення
збільшення значення вектора відповідає зменшенню довжини електронної хвилі.

Електронна хвиля в кристалі частково відбивається від усіх стін потенційних бар'єрів, несучи з собою частину енергії електрона. Доки не виконається умова Вульфа - Бреггов:
,
.

Відбиті хвилі матимуть різні фази. Накладаючись один на одного вони будуть гасити ці хвилі і, отже, пряма хвиля поширюватиметься по кристалу майже не розсіюючись. Тобто. пов'язаний електрон, параметри якого задовольняє співвідношенню Вульфа - Бреггов, рухатиметься як вільний електрон. Його енергія
залежить від вектора хвильового параболічно. У нашому випадку електронна хвиля перпендикулярна до стінок потенційних бар'єрів:
. Отже, співвідношення Вульфа - Бреггов для нашого випадку має вигляд:

(6)

З (6) випливає, що хвильовий вектор лежить на межі зон Бріллюена, n = 1 - на межі першої зони Бріллюена, n = 2 - на межі другої зони Бріллюена і т.д.

Коли згодом значення хвильового вектора буде належати і співвідношенню (6), то фази відбитих електронних хвиль матимуть близькі значення і отже, відбиті хвилі послаблюватимуть пряму хвилю. Коли значення хвильового вектора точно задовольняє умові Вульфа – Бреггов (6) інтенсивність відбитої електронної хвилі буде збігатися з інтенсивністю прямої хвилі.

З іншого боку, ці хвилі мають однакову частоту і поляризацію, тобто. в кристалі утворюються дві хвилі, що біжать, що поширюються в протилежних напрямках. В результаті суперпозиції цих хвиль утворюється стояча хвиля. Значить, коли
, електронні хвилі у кристалі – стоячі хвилі.

З двох хвиль, що біжать, як відомо можна сформувати дві стоячі хвилі, які будуть рішенням рівняння Шредінгера для пов'язаних електронів кристала при
:

Знак "+" означає, що функція
- парна относительноx,“-” означає, що функція
- непарна относительноx.

Значить, у точці
є два рішення рівняння Шредінгера, якому відповідає два різні значення енергій , тобто. у точці
на межі зон Бріллюена є стрибок енергій. Величину стрибка позначимо:
.

Стрибок енергії пояснюється тим, що в цьому випадку є угруповання елементів у різних по відношенню до позитивних іонів областей простору. Функція
дає пучності щільності електронного заряду в точках кристала, відповідних центрам позитивних іонів, зменшуючи цим потенційну енергію. Функція
дає пучності густини електронного заряду в точках кристала посередині між сусідніми атомами.

Дійсно щільність електронного заряду в точці
або
.
- Щільність зарядів.

(9)

(10)

Положення центрів іонів:
,
Положення точок на середині між сусідніми атомами:
,

Л
легко показати, що
і
мають максимальне значення у точках:
і
відповідно.
,

Отже, станам пов'язаного електрона, що характеризуються хвильовими векторами від 0 до
(підлога першої зони Бріллюена), відповідає інтервал дозволених енергій
, мінімальне значення енергії в якому
, а максимальне значення енергії позначимо
. Станам електрона в інтервалі від
до
(підлога другої зони Бріллюена) відповідає інтервал дозволених енергій

, а максимальне значення
. У точці
має місце стрибок енергій рівний
. Енергію всередині інтервалу
електрон не може мати це зона заборонених енергій. Станам електрона в інтервалі від
до
(підлога третьої зони Бріллюена) відповідає інтервал дозволених енергій
, мінімальне значення в якому
, а максимальне значення
, і т.д.

З
сукупність дозволених енергій:
,
,
і т.д. утворюють зони дозволених енергій кристала (або дозволені енергетичні зони). Проміжки енергій: утворюють зони заборонених енергій кристала (див. рисунок). На цьому малюнку показана якісна залежність енергії електронів у періодичному полі одновимірного кристала.

Поблизу точки Г
. Вочевидь першу зону енергії займатимуть сильно пов'язані електрони, тобто. ті, які будуть безпосередньо біля ядра атомів. Другу зону займають електрони, що знаходяться далі від ядра тощо. Найвища заповнена зона міститиме валентні електрони. Валентні електрони "відчувають" вплив сусідніх атомів кристала, тому їх зона буде ширшою.

Електронні оболонки атомів у кристалі сильно взаємодіють один з одним, в результаті чого вже не можна говорити про рівні енергії окремих атомів, а лише про рівні для сукупності електронних оболонок всіх атомів тіла в цілому. p align="justify"> Характер електронного енергетичного спектру різний для різних типів твердих тіл. Як попередній крок для вивчення цих спектрів необхідно, однак, розглянути більш формальну задачу про поведінку окремого електрона в зовнішньому просторово-періодичному електричному полі, яке служить моделлю кристалічних ґрат. Цьому присвячені §§ 55-60.

Періодичність поля означає, що воно не змінюється при паралельному перенесенні на будь-який вид вектора -основні періоди решітки; -цілі числа):

Тому і рівняння Шредінгера, що описує рух електрона в такому полі, інваріантно щодо будь-якого перетворення а. Звідси випливає, що якщо є хвильова функція деякого стаціонарного стану, то є рішення рівняння Шредінгера, що описує той же стан електрона. Це означає, що обидві функції повинні збігатися з точністю до постійного множника: . Очевидно, що повинна дорівнювати за модулем одиниці; в іншому випадку при необмеженому повторенні зміщення на а (або на) хвильова функція прагнула б до нескінченності. Загальний вигляд функції, що має таку властивість, наступний:

де k – довільний (речовий) постійний вектор, а – періодична функція

Цей результат було вперше отримано Ф. Блохом (F. Bloch, 1929); хвильові функції виду (55,2) називають функціями Блоха, і у зв'язку з цим про електроні в періодичному полі часто говорять як про блохівському електроні.

При заданому значенні рівняння Шредінгера має, взагалі кажучи, нескінченний ряд різних рішень, що відповідають нескінченному ряду різних дискретних значень енергії електрона; індекс s нумерує ці рішення. Такий самий індекс (номер енергетичної зони) треба приписати і різним гілкам функції - закону дисперсії електрона в періодичному полі. У кожній зоні енергія пробігає значення деякому кінцевому інтервалі.

Для різних зон ці інтервали розділені «енергетичними щілинами» або частково перекриваються; в останньому випадку в області перекриття кожному значенню енергії відповідають різні (у кожній зоні) значення. Геометрично це означає, що ізоенергетичні поверхні, що відповідають двом перекриваються зонам s і s, знаходяться в різних областях-простору. Формально перекриття зон означає виродження різні стани мають однакову енергію, але оскільки цим станам відповідають різні значення, то це не призводить до будь-яких особливостей в спектрі. Від загального випадку перекриття треба відрізняти перетин зон, коли значення збігаються в одних і точках до (ізоенергетичні поверхні перетинаються). Зазвичай під виродженням розуміють лише такий випадок; перетин призводить до появи певних особливостей у спектрі.

Усі функції з різними s або до, зрозуміло, взаємно ортогональні. Зокрема, з ортогональності з різними s і однаковими слід ортогональність функцій При цьому зважаючи на їх періодичність досить проводити інтегрування за обсягом v одного елементарного осередку решітки; при відповідному нормуванні

Сенс вектора полягає в тому, що визначає поведінку хвильової функції при трансляціях: перетворення а множить її на

Звідси відразу випливає, що величина до за своїм визначенням неоднозначна: значення, що відрізняються на будь-який вектор зворотної решітки b, призводять до однакової поведінки хвильової функції (множник ) Іншими словами, такі значення до фізично еквівалентні; вони відповідають одному й тому стану електрона, т. е. однієї й тієї ж хвильової функції.

Можна сказати, що функції періодичні (у зворотній решітці) щодо індексу k:

Періодична також і енергія:

Функції (55,2) виявляють певну схожість з хвильовими функціями вільного електрона - плоскими хвилями при цьому роль імпульсу, що зберігається, грає постійний вектор Ми знову (як і для фонону - див. V § 71) приходимо до поняття про квазіімпульсі електрона в періодичному полі. Підкреслимо, що істинного імпульсу, що зберігається, в цьому випадку взагалі немає, тому що в зовнішньому полі закон збереження імпульсу не має місця. Чудово, однак, що в періодичному полі електрон, проте, характеризується деяким постійним вектором.

У стаціонарному стані із заданим квазіімпульсом справжній імпульс може мати, з різними ймовірностями, нескінченну кількість значень виду (). Це випливає з того, що розкладання періодичної в просторі функції ряд Фур'є містить члени виду :

і тому розкладання хвильової функції (55,2) на плоскі хвилі

Той факт, що коефіцієнти розкладання залежать тільки від сум , виражає властивість періодичності у зворотній решітці (55,6). Підкреслимо, що цей факт, як і властивість (55,6), не є додатковою умовою, що накладається на функцію хвиль, а є автоматичним наслідком періодичності поля .

Всі фізично різні значення вектора лежать в одному елементарному осередку зворотної решітки. «Обсяг» цього осередку дорівнює де - обсяг елементарного осередку самої ґрати кристала. З іншого боку, обсяг простору визначає кількість відповідних йому станів (припадає на одиничний обсяг тіла). Таким чином, кількість таких станів, укладених у кожній енергетичній зоні, дорівнює т. е. числу елементарних осередків в одиниці об'єму кристала.

Крім своєї періодичності в просторі функції мають також і симетрію по відношенню до поворотів і відображень, що відповідає симетрії напрямків (кристалічного класу) решітки.

При цьому незалежно від наявності або відсутності центру симетрії в даному кристалічному класі завжди

Ця властивість – наслідок симетрії щодо поводження часу. Справді, з цієї симетрії, якщо - хвильова функція стаціонарного стану електрона, те й комплексно-спряженая функція визначає деякий стан із тією ж енергією. Але множиться при трансляціях на т. е. їй відповідає квазіімпульс

Розглянемо далі два електрони в періодичному полі. Розглядаючи їх разом як одну систему з хвильовою функцією ми знайдемо, що при паралельному перенесенні ця функція повинна помножитися на множник виду, де можна назвати квазіімпульсом системи. З іншого боку, на великих відстанях між електронами зводиться до твору хвильових функцій окремих електронів і при трансляції помножиться на вимогу збігу обох видів запису цього множника знаходимо, що

(55,10)

Зокрема, звідси випливає, що при зіткненні двох електронів, що рухаються в періодичному полі, сума їх квазіімпульсів зберігається з точністю до вектора решітки:

Подальша аналогія між імпульсом і дійсним імпульсом з'ясовується щодо середньої швидкості електрона.

Обчислення її вимагає знання оператора швидкості в поданні. Оператори у цьому поданні діють на коефіцієнти розкладання довільної хвильової функції за власними функціями

(55,12)

Знайдемо спочатку оператор. Маємо тотожно

У першому члені виконуємо інтегрування по честям, а в другому розкладемо періодичну (як і сама) функцію по системі взаємно ортогональних функцій з тим же до:

(55,13)

де - Постійні коефіцієнти. Тоді отримаємо

З іншого боку, за визначенням оператора, має бути

Порівнявши з отриманим виразом, знаходимо

(55,14)

де оператор (ермітів) задається своєю матрицею Істотно, що ця матриця діагональна за індексом до, і тому оператор комутативний з оператором

Оператор швидкості виходить, за загальними правилами, шляхом комутування оператора з гамільтоніаном електрона. У -уявленні гамільтоніан є діагональною по і номерам зон s матрицею з елементами Оператор же діючий тільки на змінну k, діагональний за номерами s. Тому у виразі

(55,16)

повністю аналогічним звичайному класичному співвідношенню.

Досі ми вели виклад, відволікаючись від наявності у електронів спина. У зневагі релятивістськими ефектами (спін-орбітальною взаємодією) облік спина призводить просто до дворазового виродження кожного рівня енергії із заданим значенням квазіімпульсу до - за двома значеннями проекції спина на якийсь фіксований напрямок у просторі. З урахуванням ж спін-орбітальної взаємодії ситуація різна залежно від того, чи має кристалічна решітка центр інверсії.

Спін-орбітальна взаємодія для електрона в періодичному полі описується оператором

(55,17)

де – матриця Паулі (див. IV § 33). Хвильові функції, куди діє цей оператор, - спинори першого рангу , де а - спинорний індекс. Відповідно до теореми Крамерса (див. III § 60), що відноситься до будь-якого (у тому числі періодичного) електричного поля, комплексно-сполучені спинори, що знову означає дворазове виродження кожного рівня із заданим квазіімпульсом.

Поряд з виродженням, пов'язаним із симетрією щодо обігу часу, для електрона в періодичному полі може існувати також і виродження, зобов'язане просторової симетрії решітки. Цим питанням присвячено нижче § 68.