Додавання з однаковими ступенями. Ступінь та її властивості

Якщо множаться (або діляться) два ступені, у яких різні підстави, але однакові показники, то їх підстави можна перемножити (або поділити), а показник ступеня результату залишити таким же як у множників (або дільника і дільника).

У загальному вигляді математичною мовою ці правила записуються так:
a m × b m = (ab) m
a m ÷ b m = (a/b) m

При розподілі b не може бути 0, тобто друге правило треба доповнити умовою b ≠ 0.

Приклади:
2 3 × 3 3 = (2 × 3) 3 = 63 = 36 × 6 = 180 + 36 = 216
6 5 ÷ 3 5 = (6 ÷ 3) 5 = 2 5 = 32

Тепер на цих конкретних прикладах доведемо, що правила-властивості ступенів з однаковими показниками є вірними. Розв'яжемо ці приклади так, ніби ми не знаємо про властивості ступенів:
2 3 × 3 3 = (2 × 2 × 2) × (3 × 3 × 3) = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 8 × 27 = 160 + 56 = 216
65 ÷ 35 = (6 × 6 × 6 × 6 × 6) ÷ (3 × 3 × 3 × 3 × 3) == 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32

Як бачимо, відповіді збіглися з тими, що були отримані, коли використовувалися правила. Знання цих правил дозволяє спростити обчислення.

Зверніть увагу, що вираз 2×2×2×3×3×3 можна представити у такому вигляді:
(2 × 3) × (2 × 3) × (2 × 3).

Цей вираз у свою чергу є чимось іншим як (2 × 3) 3. тобто 6 3 .

Розглянуті властивості ступенів з однаковими показниками можуть бути використані у зворотний бік. Наприклад, скільки буде 18 2?
18 2 = (3 × 3 × 2) 2 = 3 2 × 3 2 × 2 2 = 9 × 9 × 4 = 81 × 4 = 320 + 4 = 324

Властивості ступенів також використовуються при вирішенні прикладів:
= 2 4 × 3 6 = 2 4 × 3 4 × 3 × 3 = 6 4 × 3 2 = 6 2 × 6 2 × 3 2 = (6 × 6 × 3) 2 = 108 2 = 108 × 108 = 108 ( 100 + 8) = 10800 + 864 = 11664

Основні властивості ступенів

"Властивості ступенів"- Досить популярний запит у пошукових системах, що показує великий інтерес до властивостей ступеня. Ми зібрали вам всі властивості ступеня (властивості ступеня з натуральним показником, властивості ступеня з раціональним показником, властивості ступеня з цілим показником) в одному місці. Ви можете завантажити коротку версію шпаргалки "Властивості ступенів"у форматі.pdf, щоб при необхідності легко їх згадати, або ознайомитися з властивостями ступенівпрямо на сайті. Більш детально властивості ступенів з прикладамирозглянуті нижче.

Завантажити шпаргалку "Властивості ступенів" (Формат.pdf)

Властивості ступенів (коротко)

a 0=1, якщо a≠0

a 1=a

(−a)n=an, якщо n- парне

(−a)n=−an, якщо n- непарне

(a⋅b)n=an⋅bn

(ab)n=anbn

a−n=1an

(ab)−n=(ba)n

an⋅am=an+m

anam=an−m

(an)m=an⋅m

Властивості ступенів (з прикладами)

1-е властивість ступеняБудь-яке число відмінне від нуля в нульовому ступені дорівнює одиниці. a 0=1, якщо a≠0 Наприклад: 1120=1, (−4)0=1, (0,15)0=1

2-ге властивість ступеняБудь-яке число в першому ступені дорівнює самому числу. a 1=a Наприклад: 231=23, (−9,3)1=−9,3

3-тє властивість ступеняБудь-яке число парною мірою позитивно. an=an, якщо n- парне (що ділиться на 2) ціле число (− a)n=an, якщо n- парне (що ділиться на 2) ціле число Наприклад: 24=16, (−3)2=32=9, (−1)10=110=1

4-та властивість ступеняБудь-яке число непарною мірою зберігає свій знак. an=an, якщо n- непарне (не поділяється на 2) ціле число (− a)n=−an, якщо n- непарне (не поділяється на 2) ціле число Наприклад: 53=125, (−3)3=33=27, (−1)11=−111=−1

5-та властивість ступеняДобуток чисел, зведений оеу ступінь, можна уявити як добуток чисел зведено ихв цю ступінь (і навпаки). ( a⋅b)n=an⋅bn, при цьому a, b, n Наприклад: (2,1⋅0,3)4,5=2,14,5⋅0,34,5

6-та властивість ступеняПриватне (розподіл) чисел, зведених оеу ступінь, можна уявити як приватне чисел зведено ихв цю ступінь (і навпаки). ( ab)n=anbn, при цьому a, b, n- будь-які допустимі (не обов'язково цілі) числа Наприклад: (1,75)0,1=(1,7)0,150,1

7-е властивість ступеняБудь-яке число негативною мірою дорівнює зворотному числу в цьому ступені. (Зворотне число це число, на яке потрібно помножити це число, щоб отримати одиницю.) a−n=1an, при цьому aі n- будь-які допустимі (не обов'язково цілі) числа Наприклад: 7−2=172=149

8-е властивість ступеняБудь-який дріб у негативному ступені дорівнює зворотного дробу в цьому ступені. ( ab)−n=(ba)n, при цьому a, b, n- будь-які допустимі (не обов'язково цілі) числа Наприклад: (23)−2=(32)2, (14)−3=(41)3=43=64

9-е властивість ступеняПри множенні ступенів з однаковою основою показники ступеня складаються, а основа залишається незмінною. an⋅am=an+m, при цьому a, n, m- будь-які допустимі (не обов'язково цілі) числа Наприклад: 23⋅25=23+5=28, зверніть увагу, що ця властивість ступеня зберігається і для негативних значень ступенів 3−2⋅36=3−2+6=34, 47⋅4−3=47+(−3)= 47-3 = 44

10-та властивість ступеняПри розподілі ступенів з однаковою основою показники ступеня віднімаються, а основа залишається незмінною. anam=an−m, при цьому a, n, m- будь-які допустимі (не обов'язково цілі) числа Наприклад:(1,4)2(1,4)3=1,42+3=1,45, зверніть увагу, як застосовується ця властивість ступеня до негативних значення ступенів3−236=3−2−6=3−8, 474− 3=47−(−3)=47+3=410

11-та властивість ступеняПри зведенні ступеня ступінь ступеня перемножуються. ( an)m=an⋅mНаприклад: (23)2=23⋅2=26=64

Таблиця ступенів до 10

Мало кому вдається запам'ятати всю таблицю ступенів, та й кому це потрібно, коли її так легко знайти? Наша таблиця ступенів включає як популярні таблиці квадратів і кубів (від 1 до 10), так і таблиці інших ступенів, які зустрічаються рідше. У стовпцях таблиці ступенів вказуються підстави ступеня (число, яке потрібно звести у ступінь), у рядках – показники ступеня (ступінь, у який потрібно звести число), на перетині потрібного стовпця та потрібного рядка перебуває результат зведення потрібного числа у заданий ступінь. Існують кілька типів завдань, які вирішуються за допомогою таблиці ступенів. Пряме завдання – це обчислити n -ю ступінь числа. Зворотне завдання, яке також може бути вирішене за допомогою таблиці ступенів, може звучати так: "у який ступінь потрібно звести число a , щоб отримати число b ?" або "Яке число в ступені n дає число b ?".

Таблиця ступенів до 10

	1 n	2 n	3 n	4 n	5 n	6 n	7 n	8 n	9 n	10 n

Як користуватися таблицею ступенів

Розглянемо кілька прикладів використання таблиці ступенів.

приклад 1. Яке число вийде в результаті зведення числа 6 до 8 ступінь?У таблиці ступенів шукаємо стовпець 6 n, Оскільки за умовою завдання число 6 зводиться до ступеня. Потім у таблиці ступенів шукаємо рядок 8, оскільки задане число необхідно звести до ступеня 8. На перетині дивимося відповідь: 1679616.

приклад 2. В який ступінь потрібно звести число 9, щоб одержати 729?У таблиці ступенів шукаємо колонку 9 nі спускаємося нею вниз до числа 729 (третій рядок нашої таблиці ступенів). Номер рядка і є потрібний ступінь, тобто відповідь: 3.

приклад 3. Яке число потрібно звести до ступеня 7, щоб отримати 2187?У таблиці ступенів шукаємо рядок 7, потім рухаємося вправо до числа 2187. Від знайденого числа піднімаємося вгору і дізнаємося, що заголовок цього стовпця 3 nщо означає, що відповідь: 3.

приклад 4. В який ступінь потрібно звести число 2, щоб одержати 63?У таблиці ступенів знаходимо стовпець 2 nі спускаємося ним доти, доки не зустрінемо... Але цього не станеться. Число 63 ми ніколи не зустрінемо ні в цьому стовпці, ні в будь-якому іншому стовпці таблиці ступенів, а це означає, що жодне ціле число від 1 до 10 не дає число 63 при зведенні в ступінь від 1 до 10. Таким чином, відповіді немає .

Кожна арифметична операція часом стає занадто громіздкою для запису і намагаються спростити. Колись так було і з операцією додавання. Людям було необхідно проводити багаторазове однотипне складання, наприклад, порахувати вартість ста перських килимів, вартість якого становить 3 золоті монети за кожен. 3+3+3+…+3 = 300. Через громіздкість було придумано скоротити запис до 3 * 100 = 300. Фактично запис «три помножити на сто» означає, що потрібно взяти сто трійок і скласти між собою. Множення прижилося, набуло загальної популярності. Але світ не стоїть на місці, і в середньовіччі виникла необхідність проводити багаторазове однотипне множення. Згадується стара індійська загадка про мудреця, який попросив у нагороду за виконану роботу пшеничних зерен у такій кількості: за першу клітку шахівниці він просив одне зерно, за другу – два, третю – чотири, п'яту – вісім і так далі. Так з'явилося перше множення ступенів, адже кількість зерен дорівнювала двійці в ступені номера клітини. Наприклад, на останній клітині було б 2*2*2*…*2 = 2^63 зерен, що дорівнює числу завдовжки 18 знаків, у чому, власне, і криється сенс загадки.

Операція зведення в ступінь прижилася досить швидко, також швидко виникла необхідність проводити додавання, віднімання, розподіл і множення ступенів. Останнє і варто розглянути докладніше. Формули для складання ступенів прості і легко запам'ятовуються. До того ж, легко зрозуміти, звідки вони беруться, якщо операцію ступеня замінити множенням. Але спочатку слід розібратися в елементарній термінології. Вираз a^b (читається «а ступеня b») означає, що число a слід помножити саме він b раз, причому «a» називається основою ступеня, а «b» - статечним показником. Якщо підстави ступенів однакові, то формули виводяться дуже просто. Конкретний приклад: визначити значення виразу 2^3 * 2^4. Щоб знати, що має вийти, слід перед початком рішення дізнатися відповідь на комп'ютері. Забивши цей вираз у будь-який онлайн-калькулятор, пошуковик, набравши "множення ступенів з різними підставами і однаковими" або математичний пакет, на виході вийде 128. Тепер розпишемо цей вислів: 2^3 = 2*2*2, а 2^4 = 2 *2*2*2. Виходить, що 2^3 * 2^4 = 2*2*2*2*2*2*2 = 2^7 = 2^(3+4) . Виходить, що добуток ступенів з однаковою основою дорівнює підставі, зведеній у ступінь, що дорівнює сумі двох попередніх ступенів.

Можна подумати, що це випадковість, але ні: будь-який інший приклад зможе лише підтвердити це правило. Отже, у вигляді формула виглядає так: a^n * a^m = a^(n+m) . Також існує правило, що будь-яке число в нульовому ступені дорівнює одиниці. Тут слід згадати правило негативних ступенів: a^(-n) = 1/a^n. Тобто якщо 2^3 = 8, то 2^(-3) = 1/8. Використовуючи це можна довести справедливість рівності a^0 = 1: a^0 = a^(n-n) = a^n * a^(-n) = a^(n) * 1/a^(n) , a^ (n) можна скоротити та залишається одиниця. Звідси виводиться і те правило, що приватне ступенів з однаковими основами дорівнює цій підставі в ступені, що дорівнює приватному показнику дільника і дільника: a^n: a^m = a^(n-m) . Приклад: спростити вираз 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0: 2^(-2) . Множення є комутативною операцією, отже спочатку слід зробити додавання показників множення: 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0 = 2^(3+5-7+0) = 2^1 =2. Далі слід розібратися з розподілом на негативний ступінь. Необхідно відняти показник дільника з показника ділимого: 2^1: 2^(-2) = 2^(1-(-2)) = 2^(1+2) = 2^3 = 8. Виявляється, операція поділу на негативну ступінь тотожна операції множення на аналогічний позитивний показник. Таким чином, остаточна відповідь дорівнює 8.

Існують приклади, де є не канонічне множення ступенів. Перемножити ступені з різними підставами дуже часто буває набагато складніше, а часом взагалі неможливо. Слід навести кілька прикладів різних можливих прийомів. Приклад: спростити вираз 3^7 * 9^(-2) * 81^3 * 243^(-2) * 729. Очевидно, має місце множення ступенів з різними основами. Але, слід зазначити, що всі підстави є різними ступенями трійки. 9 = 3^2,1 = 3^4,3 = 3^5,9 = 3^6. Використовуючи правило (a^n) ^m = a^(n*m) , слід переписати вираз у зручнішому вигляді: 3^7 * (3^2) ^(-2) * (3^4) ^3 * ( 3^5) ^(-2) * 3^6 = 3^7 * 3^(-4) * 3^(12) * 3^(-10) * 3^6 = 3^(7-4+12 -10 +6) = 3 ^ (11) . Відповідь: 3^11. У випадках, коли різні підстави, на рівні показники працює правило a n * b n = (a b) n. Наприклад, 3^3 * 7^3 = 21^3. В іншому, коли різні підстави та показники, зробити повне множення не можна. Іноді можна частково спростити або вдатися до допомоги обчислювальної техніки.

Складання та віднімання ступенів

Очевидно, що числа зі ступенями можуть складатися, як інші величини шляхом їхнього складання одне за одним зі своїми знаками.

Так, сума a 3 та b 2 є a 3 + b 2 .
Сума a 3 - b n і h 5 -d 4 є a 3 - b n + h 5 - d 4 .

Коефіцієнти однакових ступенів однакових зміннихможуть складатися або відніматися.

Так, сума 2a 2 та 3a 2 дорівнює 5a 2 .

Це також очевидно, що якщо взяти два квадрати а, або три квадрати а, або п'ять квадратів а.

Але ступеня різних зміннихі різні ступені однакових змінних, повинні складатися їх складанням зі своїми знаками.

Так, сума a 2 та a 3 є сума a 2 + a 3 .

Це очевидно, що квадрат числа a, і куб числа a, не дорівнює подвійному квадрату a, але подвоєному кубу a.

Сума a 3 b n і 3a 5 b 6 є a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Відніманняступенів проводиться таким же чином, що і додавання, за винятком того, що знаки віднімаються повинні відповідно бути змінені.

Або:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Помноження ступенів

Числа зі ступенями можуть бути помножені, як і інші величини шляхом написання їх одне за одним, зі знаком множення або без нього між ними.

Так, результат множення a3 на b2 дорівнює a3b2 або aaabb.

Або:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Результат в останньому прикладі може бути упорядкований шляхом складання однакових змінних.
Вираз набуде вигляду: a 5 b 5 y 3 .

Порівнюючи кілька чисел (змінних) зі ступенями, ми можемо побачити, що якщо будь-які два з них множаться, то результат - це число (змінна) зі ступенем, що дорівнює суміступенів доданків.

Так, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Тут 5 - це ступінь результату множення, що дорівнює 2 + 3, сумі ступенів доданків.

Так, a n a m = a m + n .

Для a n a береться як множник стільки разів, скільки дорівнює ступінь n;

І a m береться як множник стільки разів, скільки дорівнює ступінь m;

Тому, ступеня з однаковими основами можуть бути помножені шляхом складання показників ступенів.

Так, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . І x3.x2.x = x3+2+1 = x6.

Або:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Помножте (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Відповідь: x 4 - y 4 .
Помножте (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Це правило справедливе і для чисел, показники ступеня яких негативні.

1. Так, a -2. a -3 = a -5. Це можна записати у вигляді (1/aa). (1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n. y-m = y-n-m.

3. a -n. am = am-n.

Якщо a + b множаться на a - b, результат дорівнюватиме a 2 - b 2: тобто

Результат множення суми чи різниці двох чисел дорівнює сумі чи різниці їх квадратів.

Якщо множиться сума та різниця двох чисел, зведених у квадрат, результат дорівнюватиме сумі або різниці цих чисел в четвертоїступеня.

Так, (a - y). (a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .

Розподіл ступенів

Числа зі ступенями можуть бути поділені, як і інші числа, забираючи від діленого дільника, або розміщенням їх у формі дробу.

Таким чином a 3 b 2 поділений на b 2 , дорівнює a 3 .

Запис a 5 , поділеного на a 3 , виглядає як $\frac $. Але це одно a 2 . У ряді чисел
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
будь-яке число може бути поділено на інше, а показник ступеня дорівнюватиме різниціпоказників ділених чисел.

При розподілі ступенів з однаковою основою їх показники віднімаються..

Так, y3: y2 = y3-2 = y1. Тобто $\frac = y$.

І a n+1:a = n+1-1 = a n . Тобто $ frac = a ^ n $.

Або:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

Правило також справедливе і для чисел з негативнимизначеннями ступенів.
Результат поділу a-5 на a-3, дорівнює a-2.
Також, $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 або $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

Необхідно дуже добре засвоїти множення та поділ ступенів, оскільки такі операції дуже широко застосовуються в алгебрі.

Приклади розв'язання прикладів з дробами, що містять числа зі ступенями

1. Зменшіть показники ступенів у $\frac$ Відповідь: $\frac$.

2. Зменшіть показники ступенів у $\frac$. Відповідь: $\frac$ або 2x.

3. Зменшіть показники ступенів a 2 /a 3 та a -3 /a -4 та приведіть до спільного знаменника.
a 2 .a -4 є a -2 перший чисельник.
a 3 .a -3 є a 0 = 1, другий чисельник.
a 3 .a -4 є a -1 загальний чисельник.
Після спрощення: a -2 /a -1 та 1/a -1 .

4. Зменшіть показники ступенів 2a 4 /5a 3 та 2 /a 4 та приведіть до спільного знаменника.
Відповідь: 2a 3 /5a 7 та 5a 5 /5a 7 або 2a 3 /5a 2 та 5/5a 2 .

5. Помножте (a 3 + b)/b 4 (a — b)/3.

6. Помножте (a 5 + 1)/x 2 (b 2 — 1)/(x + a).

7. Помножте b4/a-2 на h-3/x та an/y-3.

8. Розділіть a4/y3 на a3/y2. Відповідь: a/y.

Властивості ступеня

Нагадуємо, що в даному уроці розуміються властивості ступенівз натуральними показниками та нулем. Ступені з раціональними показниками та їх властивості будуть розглянуті в уроках для 8 класів.

Ступінь з натуральним показником має кілька важливих властивостей, які дозволяють спрощувати обчислення в прикладах зі ступенями.

Властивість №1
Добуток ступенів

При множенні ступенів з однаковими основами основа залишається без змін, а показники ступенів складаються.

a m · a n = a m + n , де "a" - будь-яке число, а "m", "n" - будь-які натуральні числа.

Ця властивість ступенів також діє на твір трьох і більше ступенів.

• Спростити вираз.
  b · b 2 · b 3 · b 4 · b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
• Подати у вигляді ступеня.
  6 15 · 36 = 6 15 · 6 2 = 6 15 · 6 2 = 6 17
• Подати у вигляді ступеня.
  (0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Зверніть увагу, що у зазначеній властивості йшлося лише про множення ступенів з однаковими підставами. Воно не відноситься до їх складання.

Не можна замінювати суму (3 3 + 3 2) на 3 5 . Це зрозуміло, якщо
порахувати (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36, а 3 5 = 243

Властивість №2
Приватне ступенів

При розподілі ступенів з однаковими основами основа залишається без змін, а з показника діленого ступеня віднімають показник ступеня дільника.

• Записати приватне у вигляді ступеня
  (2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2
• Обчислити.

11 3 − 2 · 4 2 − 1 = 11 · 4 = 44
приклад. Вирішити рівняння. Використовуємо властивість приватного ступеня.
3 8: t = 3 4

Відповідь: t = 3 4 = 81

Користуючись властивостями № 1 і № 2, можна легко спрощувати вирази та проводити обчислення.

приклад. Спростити вираз.
4 5m + 6 · 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5

приклад. Знайти значення виразу, використовуючи властивості ступеня.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

Зверніть увагу, що у властивості 2 йшлося лише про поділ ступенів з однаковими основами.

Не можна замінювати різницю (4 3 −4 2) на 4 1 . Це зрозуміло, якщо порахувати (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 , а 4 1 = 4

Властивість №3
Зведення ступеня до ступеня

При зведенні ступеня ступінь ступеня залишається без зміни, а показники ступенів перемножуються.

(a n) m = a n · m, де "a" - будь-яке число, а "m", "n" - будь-які натуральні числа.

Нагадуємо, що приватне можна подати у вигляді дробу. Тому на темі зведення дробу до ступеня ми зупинимося докладніше на наступній сторінці.

Як множити ступені

Як множити ступеня? Які ступені можна перемножити, а які – ні? Як число помножити на ступінь?

В алгебрі знайти добуток ступенів можна у двох випадках:

1) якщо ступеня мають однакові підстави;

2) якщо ступеня мають однакові показники.

При множенні ступенів з однаковими основами треба основу залишити колишньою, а показники - скласти:

При множенні ступенів з однаковими показниками загальний показник можна винести за дужки:

Розглянемо, як множити ступені, на конкретних прикладах.

Одиницю у показнику ступеня не пишуть, але при множенні ступенів - враховують:

При множенні кількість ступенів може бути будь-якою. Слід пам'ятати, що перед буквою знак множення можна не писати:

У виразах зведення у ступінь виконується насамперед.

Якщо потрібно число помножити на ступінь, спочатку виконати зведення в ступінь, а вже потім - множення:

Збільшення ступенів з однаковими основами

Цей відеоурок доступний за абонементом

У вас є абонемент? Увійти

На цьому уроці ми вивчимо множення ступенів з однаковими основами. Спочатку згадаємо визначення ступеня та сформулюємо теорему про справедливість рівності . Потім наведемо приклади її застосування на конкретних числах та доведемо її. Також ми застосуємо теорему для вирішення різноманітних завдань.

Тема: Ступінь з натуральним показником та її властивості

Розмноження ступенів з однаковими основами (формула )

1. Основні визначення

Основні визначення:

n- показник ступеня,

— n-а ступінь числа.

2. Формулювання теореми 1

Теорема 1.Для будь-якого числа ата будь-яких натуральних nі kсправедлива рівність:

Інакше: якщо а- Будь-яке число; nі kнатуральні числа, то:

Звідси правило 1:

3. Роз'яснювальні завдання

Висновок:окремі випадки підтвердили правильність теореми №1. Доведемо її у загальному випадку, тобто для будь-кого ата будь-яких натуральних nі k.

4. Доказ теореми 1

Дано число а- Будь-яке; числа nі k –натуральні. Довести:

Доказ ґрунтується на визначенні ступеня.

5. Рішення прикладів за допомогою теореми 1

Приклад 1:Подайте у вигляді ступеня.

Для вирішення таких прикладів скористаємося теоремою 1.

ж)

6. Узагальнення теореми 1

Тут використано узагальнення:

7. Рішення прикладів за допомогою узагальнення теореми 1

8. Вирішення різних задач за допомогою теореми 1

Приклад 2:Обчисліть (можна використовувати таблицю основних ступенів).

а) (за таблицею)

б)

Приклад 3:Запишіть у вигляді ступеня з основою 2.

а)

Приклад 4:Визначте знак числа:

, а –негативне, оскільки показник ступеня при -13 непарний.

Приклад 5:Замініть (·) ступенем числа з основою r:

Маємо, тобто.

9. Підбиття підсумків

1. Дорофєєв Г.В., Суворова С.Б., Бунімович Є.А. та ін Алгебра 7. 6 видання. М: Просвітництво. 2010 р.

1. Шкільний помічник (Джерело).

1. Подайте у вигляді ступеня:

а Б В Г Д)

3. Запишіть у вигляді ступеня з основою 2:

4. Визначте знак числа:

а)

5. Замініть (·) ступенем числа з основою r:

а) r 4 · (·) = r 15; б) (·) · r 5 = r 6

Розмноження та поділ ступенів з однаковими показниками

На цьому уроці ми вивчимо збільшення ступенів з однаковими показниками. Спочатку згадаємо основні визначення та теореми про множення та поділ ступенів з однаковими підставами та зведення ступінь у ступінь. Потім сформулюємо і доведемо теореми про множення та поділ ступенів з однаковими показниками. А потім з їх допомогою вирішимо низку типових завдань.

Нагадування основних визначень та теорем

Тут a- Основа ступеня,

— n-а ступінь числа.

Теорема 1.Для будь-якого числа ата будь-яких натуральних nі kсправедлива рівність:

При множенні ступенів з однаковими основами показники складаються, основа залишається незмінною.

Теорема 2.Для будь-якого числа ата будь-яких натуральних nі k,таких, що n > kсправедлива рівність:

При розподілі ступенів з однаковими основами показники забираються, а основа залишається незмінною.

Теорема 3.Для будь-якого числа ата будь-яких натуральних nі kсправедлива рівність:

Всі перелічені теореми були про ступеня з однаковими підставами, на цьому уроці будуть розглянуті ступеня з однаковими показниками.

Приклади на збільшення ступенів з однаковими показниками

Розглянемо такі приклади:

Розпишемо вирази щодо визначення ступеня.

Висновок:з прикладів можна побачити, що але це ще потрібно довести. Сформулюємо теорему та доведемо її у загальному випадку, тобто для будь-яких аі bта будь-якого натурального n.

Формулювання та доказ теореми 4

Для будь-яких чисел аі bта будь-якого натурального nсправедлива рівність:

Доведеннятеореми 4 .

За визначенням ступеня:

Отже, ми довели, що .

Щоб перемножити ступеня з однаковими показниками, достатньо перемножити основи, а показник ступеня залишити незмінним.

Формулювання та доказ теореми 5

Сформулюємо теорему поділу ступенів з однаковими показниками.

Для будь-якого числа аі b () та будь-якого натурального nсправедлива рівність:

Доведеннятеореми 5 .

Розпишемо і за визначенням ступеня:

Формулювання теорем словами

Отже, ми довели, що .

Щоб поділити один на одного ступеня з однаковими показниками, достатньо розділити одну основу на іншу, а показник ступеня залишити незмінним.

Розв'язання типових задач за допомогою теореми 4

Приклад 1:Подати у вигляді добутку ступенів.

Для вирішення таких прикладів скористаємося теоремою 4.

Для вирішення наступного прикладу пригадаємо формули:

Узагальнення теореми 4

Узагальнення теореми 4:

Рішення прикладів за допомогою узагальненої теореми 4

Продовження вирішення типових завдань

Приклад 2:Запишіть у вигляді ступеня твору.

Приклад 3:Запишіть як ступінь з показником 2.

Приклади на обчислення

Приклад 4:Обчислити найраціональнішим способом.

2. Мерзляк А.Г., Полонський В.Б., Якір М.С. Алгебра 7. М: ВЕНТАНА-ГРАФ

3. Колягін Ю.М., Ткачова М.В., Федорова Н.Є. та ін Алгебра 7. М.: Просвітництво. 2006 р.

2. Шкільний помічник (Джерело).

1. Подати у вигляді добутку ступенів:

а); б); в); г);

2. Запишіть у вигляді ступеня добутку:

3. Запишіть у вигляді ступеня з показником 2:

4. Обчислити найраціональнішим способом.

Урок математики на тему «Умноження та поділ ступенів»

Розділи:Математика

Педагогічна мета:

учень навчитьсярозрізняти властивості множення та поділу ступенів з натуральним показником; застосовувати ці властивості у разі однакових підстав;

учень отримає можливістьвміти виконувати перетворення ступенів з різними основами та вміти виконувати перетворення у комбінованих завданнях.

Завдання:

організувати роботу учнів у вигляді повторення раніше вивченого матеріалу;

забезпечити рівень відтворення у вигляді виконання вправ різного типу;

організувати перевірку щодо самооцінки учнів у вигляді тестування.

Діяльні одиниці вчення:визначення ступеня із натуральним показником; компоненти ступеня; визначення частки; сполучний закон множення.

I. Організація демонстрації оволодіння учнями наявними знаннями. (крок 1)

а) Актуалізація знань:

2) Сформулювати визначення ступеня із натуральним показником.

a n = a a a a … а (n разів)

b k = b b b a… b (k разів) Обґрунтувати відповідь.

ІІ. Організація самооцінювання учня ступенем володіння актуальним досвідом. (крок 2)

Тест для самоперевірки: (індивідуальна робота у двох варіантах.)

А1) Подайте твір 7 7 7 7 x x x у вигляді ступеня:

А2) Подати у вигляді твору ступінь (-3) 3 х 2

A3) Обчисліть: -2 3 2 + 4 5 3

Кількість завдань у тесті я підбираю відповідно до підготовки рівня класу.

До тесту даю ключ для самоперевірки. Критерії: залік – не залік.

ІІІ. Навчально-практичне завдання (крок 3) + крок 4. (сформулюють властивості самі учні)

обчисліть: 2 2 2 3 = ? 3 3 3 2 3 =?

Спростіть: а 2 а 20 =? b 30 b 10 b 15 =?

У ході вирішення задачі 1) і 2) учні пропонують рішення, а я, як вчитель, організую клас на знаходження способу для спрощення ступенів при множенні з однаковими підставами.

Вчитель: придумати спосіб спрощення ступенів при множенні з однаковими підставами.

На кластері з'являється запис:

Формулюється тема уроку. Збільшення ступенів.

Вчитель: придумайте правило розподілу ступенів з однаковими основами.

Міркування: якою дією перевіряється поділ? а 5: а 3 =? що а 2 а 3 = а 5

Повертаюся до схеми – кластер та доповнюємо запис – ..при розподілі віднімаємо та дописуємо тему уроку. …і поділ ступенів.

IV. Повідомлення учням меж пізнання (як мінімум і як максимум).

Вчитель: завданням мінімуму на сьогоднішній урок є навчитися застосовувати властивості множення та поділу ступенів з однаковими основами, а максимуму: застосовувати множення та розподіл спільно.

На дошці записуємо : а m а n = а m + n; а m: а n = а m-n

V. Організація вивчення нового матеріалу. (крок 5)

а) За підручником: №403 (а, в, д) завдання з різними формулюваннями

№404 (а, д, е) самостійна робота, потім організую взаємоперевірку, даю ключі.

б) За якого значення m справедлива рівність? а 16 а m = а 32; х h х 14 = х 28; х 8 (*) = х 14

Завдання: вигадати аналогічні приклади для поділу.

в) № 417(а), №418(а) Пастки для учнів: х 3 х n = х 3n; 3 4 3 2 = 9 6; а 16: а 8 = а2.

VI. Узагальнення вивченого, проведення діагностичної роботи (що спонукає учнів, а не вчителя вивчати цю тему) (крок 6)

Діагностична робота.

Тест(ключи помістити на звороті тесту).

Варіанти завдань: уявіть як часткове х 15: х 3 ; подайте у вигляді ступеня добуток (-4) 2 (-4) 5 (-4) 7 ; при якому m справедлива рівність а 16 а m = а 32; знайдіть значення виразу h 0: h 2 при h = 0,2; обчисліть значення виразу (5 2 5 0): 5 2 .

Підсумок уроку. Рефлексія.Поділяю клас на дві групи.

Знайдіть аргументи I група: на користь знання властивостей ступеня, а II група – аргументи, які будуть говорити, що можна уникнути властивостей. Усі відповіді вислуховуємо, робимо висновки. На наступних уроках можна запропонувати статистичні дані та назвати рубрику «У голові не вкладається!»

Середня людина з'їдає 32 10 2 кг огірків упродовж життя.

Оса здатна здійснити безпосадковий переліт на 3,2 10 2 км.

Коли скло тріскається, тріщина поширюється зі швидкістю близько 5 10 3 км/год.

Жаба з'їдає за своє життя понад 3 тонни комарів. Використовуючи рівень, запишіть в кг.

Найбільш плідною вважається океанська риба – місяць (Моlа mola), яка відкладає за один нерест до 300000000 ікринок діаметром близько 1,3 мм. Запишіть це число за допомогою ступеня.

VII. Домашнє завдання.

Історична довідка. Які числа називають числами Ферма.

П.19. №403, №408, №417

Використовувана література:

Підручник "Алгебра-7", автори Ю.М. Макарічев, Н.Г. Міндюк та ін.

Дидактичний матеріал для 7 класу, Л.В. Кузнєцова, Л.І. Звавіч, С.Б. Суворова.

Енциклопедія з математики.

Журнал "Квант".

Властивості ступенів, формулювання, докази, приклади.

Після того як визначено ступінь числа, логічно поговорити про властивості ступеня. У цій статті ми дамо основні властивості ступеня числа, при цьому торкнемося всіх можливих показників ступеня. Тут же наведемо докази всіх властивостей ступеня, а також покажемо, як застосовуються ці властивості при вирішенні прикладів.

Навігація на сторінці.

Властивості ступенів із натуральними показниками

За визначенням ступеня з натуральним показником ступінь a n являє собою добуток n множників, кожен з яких дорівнює a . Відштовхуючись від цього визначення, а також використовуючи властивості множення дійсних чисел, можна отримати та обґрунтувати наступні властивості ступеня з натуральним показником:

основна властивість ступеня a m · a n = a m + n, його узагальнення a n 1 · a n 2 · ... · a n k = a n 1 + n 2 + ... + n k ;

властивість приватного ступенів з однаковими основами a m:a n =a m−n ;

властивість ступеня твору (a b) n = a n b n, його розширення (a 1 · a 2 · ... · a k) n = a 1 n · a 2 n · ... · a k n;

властивість частки у натуральному ступені (a:b) n =a n:b n ;

зведення ступеня в ступінь (a m) n = a m · n, його узагальнення (((a n 1) n 2) …) n k = a n 1 · n 2 · ... · n k ;

порівняння ступеня з нулем:

• якщо a>0, то an>0 для будь-якого натурального n;
• якщо a = 0, то a n = 0;
• якщо a 2·m >0 якщо а 2·m−1 n ;
• якщо m і n такі натуральні числа, що m>n, то при 0m n, а при a>0 справедлива нерівність a m>a n.

Відразу зауважимо, що всі записані рівності є тотожнимиза дотримання зазначених умов, та його праві і ліві частини можна поміняти місцями. Наприклад, основна властивість дробу a m ·a n =a m+n при спрощення виразівчасто застосовується у вигляді m + n = a m · a n .

Тепер розглянемо кожне з них докладно.

Почнемо з якості твору двох ступенів з однаковими основами, яке називають основною властивістю ступеня: для будь-якого дійсного числа a та будь-яких натуральних чисел m і n справедлива рівність a m ·a n =a m+n .

Доведемо основну властивість ступеня. За визначенням ступеня з натуральним показником добуток ступенів з однаковими основами виду a m · a n можна записати як добуток . В силу властивостей множення отриманий вираз можна записати як , а це твір є ступінь числа a з натуральним показником m+n, тобто, a m+n. На цьому доказ завершено.

Наведемо приклад, що підтверджує основну властивість ступеня. Візьмемо ступеня з однаковими основами 2 і натуральними ступенями 2 і 3 за основною властивістю ступеня можна записати рівність 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 . Перевіримо його справедливість, навіщо обчислимо значення виразів 2 2 ·2 3 і 2 5 . Виконуючи зведення в ступінь, маємо 2 2 · 2 3 = (2 · 2) · (2 ​​· 2 · 2) = 4 · 8 = 32 і 2 5 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32 , так як виходять рівні значення, то рівність 2 2 · 2 3 = 25 - правильне, і воно підтверджує основну властивість ступеня.

Основне властивість ступеня з урахуванням властивостей множення можна узагальнити добуток трьох і більшої кількості ступенів з однаковими основами і натуральними показниками. Так, для будь-якої кількості k натуральних чисел n 1 , n 2 , …, n k справедлива рівність a n 1 ·a n 2 ·...·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k .

Наприклад, (2,1) 3 · (2,1) 3 · (2,1) 4 · (2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 = (2,1) 17 .

Можна переходити до наступної властивості ступенів із натуральним показником – властивості приватного ступеня з однаковими підставами: для будь-якого відмінного від нуля дійсного числа a і довільних натуральних чисел m і n, що задовольняють умові m>n справедлива рівність a m:a n =a m−n .

Перш ніж навести доказ цієї властивості, обговоримо зміст додаткових умов у формулюванні. Умова a≠0 необхідна для того, щоб уникнути розподілу на нуль, тому що 0 n =0 , а при знайомстві з розподілом ми домовилися, що на нуль ділити не можна. Умова m>n вводиться для того, щоб ми не виходили за межі натуральних показників ступеня. Справді, при m>n показник ступеня a m−n є натуральним числом, інакше він буде або нулем (що відбувається за m−n), або негативним числом (що відбувається за m m−n ·a n =a (m−n) +n = a m . З отриманої рівності a m-n · a n = a m і зі зв'язку множення з поділом випливає, що a m-n є частковим ступенем a m і a n .

Наведемо приклад. Візьмемо два ступені з однаковими основами π і натуральними показниками 5 і 2, розглянутій властивості ступеня відповідає рівність π 5:π 2 =π 5−3 =π 3 .

Тепер розглянемо властивість ступеня твору: натуральний ступінь n добутку двох будь-яких дійсних чисел a і b дорівнює добутку ступенів a n і b n , тобто, (a b) n = a n b n .

Справді, за визначенням ступеня з натуральним показником маємо . Останній твір на підставі властивостей множення можна переписати як що дорівнює a n · b n .

Наведемо приклад: .

Ця властивість поширюється на ступінь добутку трьох і більшої кількості множників. Тобто, властивість натурального ступеня n твору k множників записується як (a 1 · a 2 · ... · a k) n = a 1 n · a 2 n · ... · a k n .

Для наочності покажемо цю властивість з прикладу. Для добутку трьох множників у ступені 7 маємо.

Наступна властивість є властивість приватного в натуральному ступені: частка дійсних чисел a і b , b≠0 в натуральному ступені n дорівнює приватному ступені a n і b n , тобто, (a:b) n =a n:b n .

Доказ можна провести, використовуючи попередню властивість. Так (a:b) n · b n = ((a: b) · b) n = a n, а з рівності (a: b) n · b n = a n слід, що (a: b) n є приватним від поділу a n на b n.

Запишемо цю властивість на прикладі конкретних чисел: .

Тепер озвучимо властивість зведення ступеня до ступеня: для будь-якого дійсного числа a та будь-яких натуральних чисел m і n ступінь a m у ступеню n дорівнює ступеню числа a з показником m·n , тобто (a m) n = a m·n .

Наприклад, (5 2) 3 = 5 2 · 3 = 5 6 .

Доказом якості ступеня є такий ланцюжок рівностей: .

Розглянуту властивість можна поширити на ступінь ступеня ступеня і т.д. Наприклад, для будь-яких натуральних чисел p , q , r і s справедлива рівність . Для більшої ясності наведемо приклад із конкретними числами: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

Залишилося зупинитися на властивостях порівняння ступенів із натуральним показником.

Почнемо з доказу якості порівняння нуля і рівня з натуральним показником.

Спочатку обгрунтуємо, що a n >0 при будь-якому a>0 .

Добуток двох позитивних чисел є позитивним числом, що випливає з визначення множення. Цей факт та властивості множення дозволяють стверджувати, що результат множення будь-якої кількості позитивних чисел також буде позитивним числом. А ступінь числа a з натуральним показником n за визначенням є добутком n множників, кожен із яких дорівнює a . Ці міркування дозволяють стверджувати, що з будь-якого позитивного підстави a ступінь a n є позитивне число. Через доведену властивість 3 5 >0 , (0,00201) 2 >0 і .

Досить очевидно, що з будь-якого натурального n при a=0 ступінь a n є нуль. Дійсно, 0 n = 0 · 0 · ... · 0 = 0 . Наприклад, 03 = 0 і 0762 = 0 .

Переходимо до негативних підстав ступеня.

Почнемо з випадку, коли показник ступеня є парним числом, позначимо його як 2m, де m - натуральне. Тоді . За правилом множення негативних чисел кожен із творів виду a·a дорівнює добутку модулів чисел a та a , отже, є позитивним числом. Отже, позитивним буде і твір і ступінь a 2·m. Наведемо приклади: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 і .

Нарешті, коли основа ступеня a є негативним числом, а показник ступеня є непарне число 2·m−1 , то . Всі твори a · a є позитивними числами, добуток цих позитивних чисел також позитивно, а його множення на негативне число, що залишилося a дає в результаті негативне число. В силу цієї властивості (−5) 3 17 n n являє собою добуток лівих та правих частин n вірних нерівностей a властивостей нерівностей справедлива і доведена нерівність виду a n n . Наприклад, через цю властивість справедливі нерівності 3 7 7 і .

Залишилося довести останню з перерахованих властивостей ступенів із натуральними показниками. Сформулюємо його. З двох ступенів з натуральними показниками та однаковими позитивними основами, меншими одиниці, більший той ступінь, показник якого менший; а з двох ступенів з натуральними показниками та однаковими основами, більшими одиниці, більшим є той ступінь, показник якого більший. Переходимо до підтвердження цієї якості.

Доведемо, що з m>n і 0m n . Для цього запишемо різницю a m -a n і порівняємо її з нулем. Записана різниця після винесення a n за дужки набуде вигляду a n · (a m−n −1) . Отриманий твір негативно як добуток позитивного числа a n і негативного числа a m−n −1 (a n позитивний як натуральний ступінь позитивного числа, а різниця a m−n −1 негативний, тому що m−n>0 через вихідну умову m>n , звідки слід, що з 0m−n менше одиниці). Отже, a m -a n m n , що потрібно було довести. Для прикладу наведемо правильну нерівність.

Залишилося довести другу частину якості. Доведемо, що з m>n і a>1 справедливо a m >a n . Різниця a m -a n після винесення a n за дужки набуває вигляду a n · (a m−n −1) . Це твір позитивно, тому що при a>1 ступінь a n є позитивне число, і різницю a m−n −1 є позитивне число, оскільки m−n>0 в силу початкової умови, і при a>1 ступінь a m−n більше одиниці . Отже, a m -a n >0 і a m >a n , що потрібно було довести. Ілюстрацією цієї властивості є нерівність 3 7 >3 2 .

Властивості ступенів із цілими показниками

Так як цілі позитивні числа є натуральними числами, то всі властивості ступенів з цілими позитивними показниками точно збігаються з властивостями ступенів з натуральними показниками, перерахованими і доведеними в попередньому пункті.

Ступінь із цілим негативним показником, а також ступінь із нульовим показником ми визначали так, щоб залишалися справедливими всі властивості ступенів із натуральними показниками, що виражаються рівностями. Тому всі ці властивості справедливі і для нульових показників ступеня, і для негативних показників, при цьому, звичайно, підстави ступенів відмінні від нуля.

Отже, для будь-яких дійсних і відмінних від нуля чисел a і b, а також будь-яких цілих чисел m і n справедливі такі властивості ступенів із цілими показниками:

• a m · a n = a m + n;
• a m:a n =a m−n;
• (a b) n = a n b n ;
• (a:b) n = a n: b n;
• (a m) n = a m·n;
• якщо n – ціле позитивне число, a та b – позитивні числа, причому a n n і a −n >b −n ;
• якщо m і n – цілі числа, причому m>n, то при 0m n, а при a>1 виконується нерівність a m>a n.

При a=0 ступеня a m і a n мають сенс коли і m , і n позитивні цілі числа, тобто, натуральні числа. Отже, щойно записані властивості також справедливі випадків, коли a=0 , а числа m і n – цілі позитивні.

Довести кожну з цих властивостей нескладно, для цього достатньо використовувати визначення ступеня з натуральним і цілим показником, а також властивості дій з дійсними числами. Наприклад доведемо, що властивість ступеня ступеня виконується як цілих позитивних чисел, так цілих непозитивних чисел. Для цього потрібно показати, що якщо p є нуль або натуральне число і q є нуль або натуральне число, то справедливі рівності (a p) q =a p·q , (a −p) q =a (−p)·q , (a p ) −q =a p·(−q) та (a −p) −q =a (−p)·(−q) . Зробимо це.

Для позитивних p і q рівність (a p) q =a p·q доведено у попередньому пункті. Якщо p = 0, то маємо (a 0) q = 1 q = 1 і a 0 · q = a 0 = 1, звідки (a 0) q = a 0 · q. Аналогічно, якщо q = 0, то (a p) 0 = 1 і a p · 0 = a 0 = 1, звідки (a p) 0 = a p · 0 . Якщо і p=0 і q=0 , то (a 0) 0 =1 0 =1 і a 0·0 =a 0 =1 , звідки (a 0) 0 =a 0·0 .

Тепер доведемо, що (a −p) q =a (−p)·q . За визначенням ступеня з цілим негативним показником, тоді . За якістю приватного у ступеня маємо . Оскільки 1 p =1·1·…·1=1 і , то . Останнє вираз за визначенням є ступенем виду a −(p·q) , який з правил множення можна записати як a (−p)·q .

Аналогічно .

І .

За таким самим принципом можна довести решту властивостей ступеня з цілим показником, записані у вигляді рівностей.

У передостанньому із записаних властивостей варто зупинитися на доказі нерівності a −n >b −n , яка справедлива для будь-якого цілого негативного −n та будь-яких позитивних a та b , для яких виконується умова a . Запишемо і перетворимо різницю лівої та правої частин цієї нерівності: . Оскільки за умовою a n n, отже, b n −a n >0 . Добуток a n · b n теж позитивно як добуток позитивних чисел a n і b n . Тоді отриманий дріб позитивний як приватний позитивних чисел b n -a n і a n · b n . Отже, звідки a −n >b −n , що потрібно було довести.

Остання властивість ступенів із цілими показниками доводиться так само, як аналогічна властивість ступенів із натуральними показниками.

Властивості ступенів з раціональними показниками

Ступінь з дрібним показником ми визначали, поширюючи на неї властивості ступеня з цілим показником. Іншими словами, ступені з дробовими показниками мають ті ж властивості, що і ступені з цілими показниками. А саме:

1. властивість добутку ступенів з однаковими основами при a>0, а якщо і, то при a≥0;
2. властивість приватного ступеня з однаковими підставами при a>0;
3. властивість твору в дрібній мірі при a>0 і b>0 а якщо і , то при a≥0 і (або) b≥0 ;
4. властивість приватного в дрібному ступені при a>0 і b>0, а якщо , то при a≥0 і b>0;
5. властивість ступеня ступеня при a>0, а якщо і, то при a≥0;
6. властивість порівняння ступенів з рівними раціональними показниками: для будь-яких позитивних чисел a і b, a 0 справедлива нерівність a p p, а при p p > b p;
7. властивість порівняння ступенів з раціональними показниками та рівними основами: для раціональних чисел p і q, p>q при 0p q, а при a>0 – нерівність a p>a q.

p align="justify"> Доказ властивостей ступенів з дробовими показниками базується на визначенні ступеня з дробовим показником, на властивостях арифметичного кореня n-ого ступеня і на властивостях ступеня з цілим показником. Наведемо докази.

За визначенням ступеня з дробовим показником і , тоді . Властивості арифметичного кореня дозволяють нам записати такі рівності. Далі, використовуючи властивість ступеня з цілим показником, отримуємо , звідки за визначенням ступеня з дробовим показником маємо , А показник отриманого ступеня можна перетворити так: . На цьому доказ завершено.

Абсолютно аналогічно доводиться друга властивість ступенів із дробовими показниками:


По подібним принципам доводяться та інші рівності:


Переходимо до підтвердження наступного властивості. Доведемо, що для будь-яких позитивних a і b, a 0 справедлива нерівність a p p, а при p p > b p. Запишемо раціональне число p як m/n, де m – ціле число, а n – натуральне. Умовами p 0 у разі будуть еквівалентні умови m 0 відповідно. При m>0 та am m . З цієї нерівності за якістю коренів маємо , а оскільки a і b – позитивні числа, то на основі визначення ступеня з дробовим показником отриману нерівність можна переписати як , тобто a p p .

Аналогічно, при m m >b m , звідки , тобто, і a p >b p .

Залишилося довести останню з перерахованих властивостей. Доведемо, що раціональних чисел p і q , p>q при 0p q , а при a>0 – нерівність a p >a q . Ми завжди можемо привести до спільного знаменника раціональні числа p і q, нехай при цьому ми отримаємо прості дроби і де m 1 і m 2 - цілі числа, а n - натуральне. У цьому умові p>q буде відповідати умова m 1 >m 2 , що з правила порівняння звичайних дробів з однаковими знаменниками. Тоді за якістю порівняння ступенів з однаковими основами та натуральними показниками при 0m 1 m 2 , а за a>1 – нерівність a m 1 >a m 2 . Ці нерівності за властивостями коренів можна переписати відповідно як і . А визначення ступеня з раціональним показником дозволяє перейти до нерівностей та відповідно. Звідси робимо остаточний висновок: при p>q і 0pq, а при a>0 - нерівність ap>aq.

Властивості ступенів із ірраціональними показниками

З того, як визначається ступінь з ірраціональним показником, можна зробити висновок, що вона має всі властивості ступенів з раціональними показниками. Так для будь-яких a>0, b>0 та ірраціональних чисел p і q справедливі наступні властивості ступенів із ірраціональними показниками:

1. a p · a q = a p + q;
2. a p: a q = a p-q;
3. (a b) p = a p b ;
4. (a:b) p = a p: b p;
5. (a p) q = a p · q;
6. для будь-яких позитивних чисел a і b, a 0 справедлива нерівність a p p, а при p p > b p;
7. для ірраціональних чисел p і q, p>q при 0p q, а при a>0 - нерівність a p>a q.

Звідси можна зробити висновок, що ступеня з будь-якими дійсними показниками p і q при a>0 мають ті ж властивості.

• Алгебра – 10 клас. Тригонометричні рівняння Урок та презентація на тему: "Рішення найпростіших тригонометричних рівнянь" Додаткові матеріали Шановні користувачі, не забувайте залишати свої коментарі, відгуки, побажання! Усі матеріали […]
• Відкрито конкурс на позицію «ПРОДАВЕЦЬ - КОНСУЛЬТАНТ»: Обов'язки: продаж мобільних телефонів та аксесуарів для мобільного зв'язку сервісне обслуговування абонентів Білайн, Теле2, МТС підключення тарифних планів та послуг Білайн та Теле2, МТС консультування […]
• Паралелепіпед формули Паралелепіпед – це багатогранник з 6 гранями, кожна з яких є паралелограмом. Прямокутний паралелепіпед – це паралелепіпед, кожна грань якого є прямокутником. Будь-який паралелепіпед характеризується 3 […]
• Прийняти закон про Родові маєтки Прийняти федеральний закон про безоплатне виділення кожному бажаючому громадянину Російської Федерації або сім'ї громадян ділянки землі для облаштування на ньому Родового Маєтку на таких умовах: 1. Ділянка виділяється для […]
• Суспільство захисту прав споживача астану Для того, щоб отримати pin-код для доступу до цього документа на нашому сайті, відправте SMS-повідомлення з текстом zan на номер Абоненти GSM-операторів (Activ, Kcell, Beeline, NEO, Tele2) відправивши SMS на номер, […]
• ІНСПЕКЦІЯ ГОСТЕХНАДЗОРУ БРЯНСЬКОЇ ОБЛАСТІ Квитанція про оплату держмита(Завантажити-12,2 kb) Заяви на реєстрацію для фіз.осіб(Завантажити-12 kb) Заяви на реєстрацію для юр.осіб(Завантажити-11,4 kb) : 1.заява 2.паспорт […]
• ПРАВОПИС Н І НН У РІЗНИХ ЧАСТКАХ МОВЛЕННЯ С.Г.ЗЕЛІНСЬКА ДИДАКТИЧНИЙ МАТЕРІАЛ Теоретична зарядка 1. Коли в прикметниках пишеться нн? 2. Назвіть винятки із цих правил. 3. Як відрізнити віддієслівне прикметник з суфіксом -н- від причастя з […]
• Пивоєв В.М. Філософія та методологія науки: навчальний посібник для магістрів та аспірантів Петрозаводськ: Вид-во ПетрГУ, 2013. ― 320 с.ISBN 978-5-821-1647-0 PDF 3 mb Навчальний посібник призначений для студентів старших курсів, магістрів та аспірантів […]

Після того як визначено ступінь числа, логічно поговорити про властивості ступеня. У цій статті ми дамо основні властивості ступеня числа, при цьому торкнемося всіх можливих показників ступеня. Тут же наведемо докази всіх властивостей ступеня, а також покажемо, як застосовуються ці властивості при вирішенні прикладів.

Навігація на сторінці.

Властивості ступенів із натуральними показниками

За визначенням ступеня з натуральним показником ступінь a n є добутком n множників, кожен з яких дорівнює a . Відштовхуючись від цього визначення, а також використовуючи властивості множення дійсних чисел, можна отримати та обґрунтувати наступні властивості ступеня з натуральним показником:

1. основна властивість ступеня a m · a n = a m + n, його узагальнення;
2. властивість приватного ступенів з однаковими основами a m:a n =a m−n ;
3. властивість ступеня твору (a b) n = a n b n, його розширення;
4. властивість частки у натуральному ступені (a:b) n =a n:b n ;
5. зведення ступеня в ступінь (a m) n = a m·n його узагальнення (((a n 1) n 2) …) n k =a n 1 ·n 2 ·...·n k;
6. порівняння ступеня з нулем:
   • якщо a>0, то an>0 для будь-якого натурального n;
   • якщо a = 0, то a n = 0;
   • якщо a<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 , якщо a<0 и показатель степени есть нечетное число 2·m−1 , то a 2·m−1 <0 ;
7. якщо a та b – позитивні числа та a
8. якщо m і n такі натуральні числа, що m>n то при 0 0 справедлива нерівність a m >a n .

Відразу зауважимо, що всі записані рівності є тотожнимиза дотримання зазначених умов, та його праві і ліві частини можна поміняти місцями. Наприклад, основна властивість дробу a m ·a n =a m+n при спрощення виразівчасто застосовується у вигляді m + n = a m · a n .

Тепер розглянемо кожне з них докладно.

Почнемо з якості твору двох ступенів з однаковими основами, яке називають основною властивістю ступеня: для будь-якого дійсного числа a та будь-яких натуральних чисел m і n справедлива рівність a m ·a n =a m+n .

Доведемо основну властивість ступеня. За визначенням ступеня з натуральним показником добуток ступенів з однаковими основами виду a m a a n можна записати як добуток. В силу властивостей множення отриманий вираз можна записати як , а це твір є ступінь числа a з натуральним показником m+n, тобто, a m+n. На цьому доказ завершено.

Наведемо приклад, що підтверджує основну властивість ступеня. Візьмемо ступеня з однаковими основами 2 і натуральними ступенями 2 і 3 за основною властивістю ступеня можна записати рівність 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 . Перевіримо його справедливість, навіщо обчислимо значення виразів 2 2 ·2 3 і 2 5 . Виконуючи зведення в ступінь, маємо 2 2 · 2 3 = (2 · 2) · (2 ​​· 2 · 2) = 4 · 8 = 32і 2 5 =2·2·2·2·2=32 , оскільки виходять рівні значення, то рівність 2 2 · 2 3 = 25 - правильне, і воно підтверджує основну властивість ступеня.

Основне властивість ступеня з урахуванням властивостей множення можна узагальнити добуток трьох і більшої кількості ступенів з однаковими основами і натуральними показниками. Так для будь-якої кількості k натуральних чисел n 1 , n 2 , …, n k справедлива рівність a n 1 ·a n 2 ·...·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k.

Наприклад, (2,1) 3 · (2,1) 3 · (2,1) 4 · (2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

Можна переходити до наступної властивості ступенів із натуральним показником – властивості приватного ступеня з однаковими підставами: для будь-якого відмінного від нуля дійсного числа a і довільних натуральних чисел m і n, що задовольняють умові m>n справедлива рівність a m:a n =a m−n .

Перш ніж навести доказ цієї властивості, обговоримо зміст додаткових умов у формулюванні. Умова a≠0 необхідна для того, щоб уникнути розподілу на нуль, тому що 0 n =0 , а при знайомстві з розподілом ми домовилися, що на нуль ділити не можна. Умова m>n вводиться для того, щоб ми не виходили за межі натуральних показників ступеня. Дійсно, при m>n показник ступеня a m−n є натуральним числом, інакше він буде або нулем (що відбувається за m−n ), або негативним числом (що відбувається за m

Доведення. Основна властивість дробу дозволяє записати рівність a m−n ·a n =a (m−n)+n =a m. З отриманої рівності a m-n · a n = a m і з виходить, що a m-n є приватним ступенів a m і a n . Цим доведено властивість приватного ступеня з однаковими підставами.

Наведемо приклад. Візьмемо два ступені з однаковими основами π і натуральними показниками 5 і 2, розглянутій властивості ступеня відповідає рівність π 5:π 2 =π 5−3 =π 3 .

Тепер розглянемо властивість ступеня твору: натуральний ступінь n добутку двох будь-яких дійсних чисел a і b дорівнює добутку ступенів a n і b n , тобто, (a b) n = a n b n .

Справді, за визначенням ступеня з натуральним показником маємо . Останній твір на підставі властивостей множення можна переписати як що дорівнює a n · b n .

Наведемо приклад: .

Ця властивість поширюється на ступінь добутку трьох і більшої кількості множників. Тобто властивість натурального ступеня n твору k множників записується як (a 1 · a 2 · ... · a k) n = a 1 n · a 2 n · ... · a k n.

Для наочності покажемо цю властивість з прикладу. Для добутку трьох множників у ступені 7 маємо.

Наступна властивість є властивість приватного в натуральному ступені: частка дійсних чисел a і b , b≠0 в натуральному ступені n дорівнює приватному ступені a n і b n , тобто, (a:b) n =a n:b n .

Доказ можна провести, використовуючи попередню властивість. Так (a:b) n · b n = ((a: b) · b) n = a n, та якщо з рівності (a:b) n ·b n =a n слід, що (a:b) n є приватним від розподілу a n на b n .

Запишемо цю властивість на прикладі конкретних чисел: .

Тепер озвучимо властивість зведення ступеня до ступеня: для будь-якого дійсного числа a та будь-яких натуральних чисел m і n ступінь a m у ступеню n дорівнює ступеню числа a з показником m·n , тобто (a m) n = a m·n .

Наприклад, (5 2) 3 = 5 2 · 3 = 5 6 .

Доказом якості ступеня є такий ланцюжок рівностей: .

Розглянуту властивість можна поширити на ступінь ступеня ступеня і т.д. Наприклад, для будь-яких натуральних чисел p , q , r і s справедлива рівність . Для більшої ясності наведемо приклад із конкретними числами: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

Залишилося зупинитися на властивостях порівняння ступенів із натуральним показником.

Почнемо з доказу якості порівняння нуля і рівня з натуральним показником.

Спочатку обгрунтуємо, що a n >0 при будь-якому a>0 .

Добуток двох позитивних чисел є позитивним числом, що випливає з визначення множення. Цей факт та властивості множення дозволяють стверджувати, що результат множення будь-якої кількості позитивних чисел також буде позитивним числом. А ступінь числа a з натуральним показником n за визначенням є добутком n множників, кожен із яких дорівнює a . Ці міркування дозволяють стверджувати, що з будь-якого позитивного підстави a ступінь a n є позитивне число. Через доведену властивість 3 5 >0 , (0,00201) 2 >0 і .

Досить очевидно, що з будь-якого натурального n при a=0 ступінь a n є нуль. Дійсно, 0 n = 0 · 0 · ... · 0 = 0 . Наприклад, 03 = 0 і 0762 = 0 .

Переходимо до негативних підстав ступеня.

Почнемо з випадку, коли показник ступеня є парним числом, позначимо його як 2m, де m - натуральне. Тоді . По кожен із творів виду a·a дорівнює добутку модулів чисел a та a , отже, є позитивним числом. Отже, позитивним буде і твір і ступінь a 2·m. Наведемо приклади: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 і .

Нарешті, коли основа ступеня a є негативним числом, а показник ступеня є непарне число 2·m−1 , то . Всі твори a · a є позитивними числами, добуток цих позитивних чисел також позитивно, а його множення на негативне число, що залишилося a дає в результаті негативне число. В силу цієї властивості (−5) 3<0 , (−0,003) 17 <0 и .

Переходимо до властивості порівняння ступенів з однаковими натуральними показниками, яке має наступне формулювання: з двох ступенів з однаковими натуральними показниками n менше та, основа якої менша, а більша за та, основа якої більша. Доведемо його.

Нерівність a n властивостей нерівностейсправедлива і доведена нерівність виду a n (2,2) 7 та .

Залишилося довести останню з перерахованих властивостей ступенів із натуральними показниками. Сформулюємо його. З двох ступенів з натуральними показниками та однаковими позитивними основами, меншими одиниці, більший той ступінь, показник якого менший; а з двох ступенів з натуральними показниками та однаковими основами, більшими одиниці, більшим є той ступінь, показник якого більший. Переходимо до підтвердження цієї якості.

Доведемо, що за m>n і 0 0 в силу вихідної умови m>n, звідки випливає, що при 0

Залишилося довести другу частину якості. Доведемо, що з m>n і a>1 справедливо a m >a n . Різниця a m -a n після винесення a n за дужки набуває вигляду a n · (a m−n −1) . Це твір позитивно, тому що при a>1 ступінь a n є позитивне число, і різницю a m−n −1 є позитивне число, оскільки m−n>0 в силу початкової умови, і при a>1 ступінь a m−n більше одиниці . Отже, a m -a n >0 і a m >a n , що потрібно було довести. Ілюстрацією цієї властивості є нерівність 3 7 >3 2 .

Властивості ступенів із цілими показниками

Так як цілі позитивні числа є натуральними числами, то всі властивості ступенів з цілими позитивними показниками точно збігаються з властивостями ступенів з натуральними показниками, перерахованими і доведеними в попередньому пункті.

Ступінь із цілим негативним показником, а також ступінь з нульовим показником ми визначали так, щоб залишалися справедливими всі властивості ступенів з натуральними показниками, що виражаються рівностями. Тому всі ці властивості справедливі і для нульових показників ступеня, і для негативних показників, при цьому, звичайно, підстави ступенів відмінні від нуля.

Отже, для будь-яких дійсних і відмінних від нуля чисел a і b, а також будь-яких цілих чисел m і n справедливі такі властивості ступенів із цілими показниками:

1. a m · a n = a m + n;
2. a m:a n =a m−n;
3. (a b) n = a n b n ;
4. (a:b) n = a n: b n;
5. (a m) n = a m·n;
6. якщо n – ціле позитивне число, a та b – позитивні числа, причому a b −n;
7. якщо m і n - цілі числа, причому m>n, то при 0 1 виконується нерівність a m >a n .

При a=0 ступеня a m і a n мають сенс коли і m , і n позитивні цілі числа, тобто, натуральні числа. Отже, щойно записані властивості також справедливі випадків, коли a=0 , а числа m і n – цілі позитивні.

Довести кожну з цих властивостей нескладно, для цього достатньо використовувати визначення ступеня з натуральним і цілим показником, а також властивості дій з дійсними числами. Наприклад доведемо, що властивість ступеня ступеня виконується як цілих позитивних чисел, так цілих непозитивних чисел. Для цього потрібно показати, що якщо p є нуль або натуральне число і q є нуль або натуральне число, то справедливі рівності (a p) q =a p·q , (a −p) q =a (−p)·q , (a p ) −q =a p·(−q) і (a −p) −q =a (−p)·(−q). Зробимо це.

Для позитивних p і q рівність (a p) q =a p·q доведено у попередньому пункті. Якщо p = 0, то маємо (a 0) q = 1 q = 1 і a 0 · q = a 0 = 1, звідки (a 0) q = a 0 · q. Аналогічно, якщо q = 0, то (a p) 0 = 1 і a p · 0 = a 0 = 1, звідки (a p) 0 = a p · 0 . Якщо і p=0 і q=0 , то (a 0) 0 =1 0 =1 і a 0·0 =a 0 =1 , звідки (a 0) 0 =a 0·0 .

Тепер доведемо, що (a −p) q =a (−p)·q . За визначенням ступеня з цілим негативним показником, тоді . За якістю приватного у ступеня маємо . Оскільки 1 p =1·1·…·1=1 і , то . Останнє вираз за визначенням є ступенем виду a −(p·q) , який з правил множення можна записати як a (−p)·q .

Аналогічно .

І .

За таким самим принципом можна довести решту властивостей ступеня з цілим показником, записані у вигляді рівностей.

У передостанньому із записаних властивостей варто зупинитися на доказі нерівності a −n >b −n , яка справедлива для будь-якого цілого негативного −n та будь-яких позитивних a та b , для яких виконується умова a . Оскільки за умовою a 0 . Добуток a n · b n теж позитивно як добуток позитивних чисел a n і b n . Тоді отриманий дріб позитивний як приватний позитивних чисел b n -a n і a n · b n . Отже, звідки a −n >b −n , що потрібно було довести.

Остання властивість ступенів із цілими показниками доводиться так само, як аналогічна властивість ступенів із натуральними показниками.

Властивості ступенів з раціональними показниками

Ступінь з дрібним показником ми визначали, поширюючи на неї властивості ступеня з цілим показником. Іншими словами, ступені з дробовими показниками мають ті ж властивості, що і ступені з цілими показниками. А саме:

p align="justify"> Доказ властивостей ступенів з дробовими показниками базується на визначенні ступеня з дробовим показником, на і на властивостях ступеня з цілим показником. Наведемо докази.

За визначенням ступеня з дробовим показником і , тоді . Властивості арифметичного кореня дозволяють нам записати такі рівності. Далі, використовуючи властивість ступеня з цілим показником, отримуємо , звідки за визначенням ступеня з дробовим показником маємо , А показник отриманого ступеня можна перетворити так: . На цьому доказ завершено.

Абсолютно аналогічно доводиться друга властивість ступенів із дробовими показниками:

По подібним принципам доводяться та інші рівності:

Переходимо до підтвердження наступного властивості. Доведемо, що для будь-яких позитивних a і b, a b p. Запишемо раціональне число p як m/n, де m – ціле число, а n – натуральне. Умов p<0 и p>0 у цьому випадку будуть еквівалентні умови m<0 и m>0 відповідно. При m>0 та a

Аналогічно, при m<0 имеем a m >b m, звідки, тобто, і a p > b p.

Залишилося довести останню з перерахованих властивостей. Доведемо, що раціональних чисел p і q , p>q при 0 0 - нерівність a p > a q. Ми завжди можемо привести до спільного знаменника раціональні числа p і q, нехай при цьому ми отримаємо прості дроби і де m 1 і m 2 - цілі числа, а n - натуральне. При цьому умові p>q відповідатиме умова m 1 >m 2 , що випливає з . Тоді за якістю порівняння ступенів з однаковими основами та натуральними показниками при 0 1 – нерівність a m 1 >a m 2 . Ці нерівності за властивостями коренів можна переписати відповідно як і . А визначення ступеня з раціональним показником дозволяє перейти до нерівностей та відповідно. Звідси робимо остаточний висновок: за p>q і 0 0 - нерівність a p > a q.

Властивості ступенів із ірраціональними показниками

З того, як визначається ступінь з ірраціональним показником, можна зробити висновок, що вона має всі властивості ступенів з раціональними показниками. Так для будь-яких a>0, b>0 та ірраціональних чисел p і q справедливі наступні властивості ступенів із ірраціональними показниками:

1. a p · a q = a p + q;
2. a p: a q = a p-q;
3. (a b) p = a p b ;
4. (a:b) p = a p: b p;
5. (a p) q = a p · q;
6. для будь-яких позитивних чисел a і b, a 0 справедлива нерівність a p b p;
7. для ірраціональних чисел p і q p при 0 0 - нерівність a p > a q.

Звідси можна зробити висновок, що ступеня з будь-якими дійсними показниками p і q при a>0 мають ті ж властивості.

Список літератури.

• Віленкін Н.Я., Жохов В.І., Чесноков А.С., Шварцбурд С.І. МатематикаЖ підручник для 5 кл. загальноосвітніх установ.
• Макарічев Ю.М., Міндюк Н.Г., Нешков К.І., Суворова С.Б. Алгебра: підручник для 7 кл. загальноосвітніх установ.
• Макарічев Ю.М., Міндюк Н.Г., Нешков К.І., Суворова С.Б. Алгебра: підручник для 8 кл. загальноосвітніх установ.
• Макарічев Ю.М., Міндюк Н.Г., Нешков К.І., Суворова С.Б. Алгебра: підручник для 9 кл. загальноосвітніх установ.
• Колмогоров А.М., Абрамов А.М., Дудніцин Ю.П. та ін Алгебра та початку аналізу: Підручник для 10 - 11 класів загальноосвітніх установ.
• Гусєв В.А., Мордкович А.Г. Математика (посібник для вступників до технікумів).