Перерізи геометричних фігур мають різні форми. У паралелепіпеда перетин завжди є прямокутником або квадратом. Воно має низку параметрів, які можуть бути знайдені аналітичним способом.
Інструкція
Через паралелепіпед можна провести чотири перерізи, які є квадратами або прямокутниками. Усього він має два діагональні і два поперечні перерізи. Як правило, вони мають різні розміри. Винятком є куб, у якого вони однакові.
Перед тим як будувати перетин паралелепіпеда, складіть уявлення про те, що є ця фігура. Існує два види паралелепіпедів - звичайний та прямокутний. У звичайного паралелепіпеда грані розташовуються під деяким кутом до основи, а прямокутного вони перпендикулярні йому. Всі грані прямокутного паралелепіпеда є прямокутниками або квадратами. З цього випливає, що куб - це окремий випадок прямокутного паралелепіпеда.
Будь-який переріз паралелепіпеда має певні характеристики. Основними є площа, периметр, довжини діагоналей. Якщо з умови завдання відомі сторони перерізу або інші його параметри, цього достатньо, щоб знайти його периметр або площу. З обох боків визначаються також діагоналі перерізів. Перший із цих параметрів - площа діагонального перерізу.
Для того щоб знайти площу діагонального перерізу, потрібно знати висоту та сторони основи паралелепіпеда. Якщо дано довжину і ширину основи паралелепіпеда, то діагональ знайдіть за теоремою Піфагора:
d=?a^2+b^2.
Знайшовши діагональ і знаючи висоту паралелепіпеда, обчисліть площу перерізу паралелепіпеда:
S = d * h.
Периметр діагонального перерізу теж можна обчислювати за двома величинами - діагоналі основи та висотою паралелепіпеда. У цьому випадку спочатку знайдіть дві діагоналі (верхньої та нижньої основ) за теоремою Піфагора, а потім складіть з подвоєним значенням висоти.
Якщо провести площину, паралельну ребрам паралелепіпеда, можна отримати перетин-прямокутник, сторонами якого є одна зі сторін основи паралелепіпеда та висота. Площу цього перерізу знайдіть так:
S = a * h.
Периметр цього перерізу знайдіть аналогічним чином за такою формулою:
p = 2 * (a + h).
Останній випадок виникає, коли перетин проходить паралельно двом підстав паралелепіпеда. Тоді його площа та периметр дорівнюють значенню площі та периметру основ, тобто:
S = a * b - площа перерізу;
Портфоліо вчителя математики НОУ ЗОШ «ЛАДА» Лісунової Г.В.
Тема: «Побудова перерізів тетраедра та паралелепіпеда».
Предмет: геометрія Клас: 10 Використовувані педагогічні технології:технологія проектного навчання; інформаційні технології. Тема уроку: Побудова перерізів тетраедра та паралелепіпеда Тип уроку: урок закріплення та розвитку знань. Форми роботи на уроці: фронтальна, індивідуальна Список використаних джерел та програмно-педагогічних засобів:Л.С. Атанасян. Геометрія. 10-11 класи, - М: Просвітництво, 2006р.
В. М. Литвиненко. Завдання в розвитку просторових уявлень. Книжка для вчителя. - М: Просвітництво, 1991.
Г. Прокопенко. Методи вирішення завдань на побудову перерізів багатогранників. 10 клас. ППГУ, м. Челябінськ. Щотижнева учбово-методична газета "Математика" 31/2001.
О. Мордкович. Семінар дев'ятий. Тема: Побудова перерізів багатогранників (позиційні задачі). Щотижневий додаток до газети "Перше вересня". Математика. 3/94.
Мультимедійний інтерактивний курс "Відкрита математика. Стереометрія." Фізикон
«Жива геометрія»
Перевірити знання теоретичного матеріалу про багатогранники (тетраедр, паралелепіпед).
Продовжити формування вміння аналізувати креслення, виділяти основні елементи під час роботи з моделлю багатогранника, намічати хід вирішення завдання, передбачати кінцевий результат.
Відпрацювати навички розв'язання задач на побудову перерізів багатогранників.
Розвивати графічну культуру та математичну мову.
Формувати навички використання комп'ютерних технологій під час уроків геометрії.
Розвиваючі:Розвивати пізнавальний інтерес учнів.
Формувати та розвивати у учнів просторову уяву.
Виховні:Виховувати самостійність, акуратність, працьовитість.
Виховувати вміння працювати індивідуально над завданням.
Виховувати волю та наполегливість для досягнення кінцевих результатів.
Технічне забезпечення:
Комп'ютер із встановленими програмами «Жива геометрія», Power Point, мультимедіапроектор.
Роздатковий матеріал:Бланки-картки із завданнями для практичної роботи, бланки-картки з відповідями для взаємоперевірки, опори – пам'ятки, презентація на тему «Аксіоми стереометрії, наслідки з них», презентація учня «Побудова перерізів паралелепіпеда», кольорові олівці.
Структура уроку.
| Вітання. Організаційний момент. | ||
| Постановка мети та завдання уроку. | ||
| Повторення вивченого матеріалу із використанням презентації. | ||
| Актуалізація опорних знань. | ||
| Практична робота на побудову перерізів. | ||
| Взаємоперевірка. | ||
| Домашнє завдання | ||
| Рефлексія. | ||
1)Привітання. Організаційний момент.
2) Постановка мети та завдання уроку.
Завдання на побудову перерізів у багатогранниках займають помітне місце у курсі стереометрії. Їх роль зумовлена тим, що розв'язання цього виду завдань сприяє засвоєнню аксіом стереометрії, наслідків їх, розвитку просторових уявлень і конструктивних навичок. Уміння вирішувати завдання на побудову перерізів є основою вивчення багатьох тем курсу стереометрії. При вирішенні багатьох стереометричних задач використовують перерізи багатогранників площиною. На попередніх уроках ми з вами познайомилися з аксіомами стереометрії, наслідками з аксіом і теоремами про паралельність прямих і площин у просторі. Ми розглянули алгоритми побудови нескладних перерізів куба, тетраедра та паралелепіпеда. Ці перерізи, як правило, задавалися точками, розташованими на ребрах чи гранях багатогранника. Сьогодні на уроці ми з вами повторимо геометричні твердження, що дають змогу сформулювати правила побудови перерізів. А також навчимося застосовувати ці знання при вирішенні задачі на побудову перерізу тетраедра та паралелепіпеда площиною, що проходить через три дані точки, такі, що жодні три з цих точок не лежать в одній грані.
3) Повторення вивченого матеріалу із використанням презентації.
Давайте повторимо деякі питання теорії.
- Що таке січна площина? Як можна задати січну площину? Що таке переріз тетраедра (паралелепіпеда)? Які багатокутники ми отримували під час побудови перерізів тетраедра? А які багатокутники ми можемо отримати при побудові перерізів паралелепіпеда? Давайте повторимо аксіоми стереометрії, наслідки з них та способи завдання площини (презентація 1, слайди 1-10)
4) Актуалізація опорних знань.
Презентація учня «Побудова перерізів паралелепіпеда».
Тепер давайте згадаємо алгоритм побудови перерізу тетраедра на прикладі двох завдань (Презентація 1, слайди 11-12). (Побудова коментується покроково вчителем).- Пащенко Олексій за допомогою своєї презентації нагадає нам про алгоритми побудови перерізів паралелепіпеда (презентація 2, слайди 1-5) (учень демонструє слайди, коментуючи послідовність побудови)– А зараз за допомогою програми «Жива геометрія» ми «оживимо» простір на прикладі перерізу куба. Програма дозволяє обертати багатогранник, що дозволить вам побачити перетин з усіх боків.
5) Практична робота на побудову перерізів із подальшою взаємоперевіркою.
Учні одержують бланки-картки для практичної роботи (Додаток 1) Мала наповнюваність класу (5 осіб), досить велика кількість посадкових місць, а також подальша взаємоперевірка дозволяє виконання одного варіанта. На бланках також розташовано кілька різних прикладів побудови перерізів. У кожного учня на парті опора-пам'ятка (Додаток 2). Практична робота складається з 12 завдань різного рівня складності. 5-7 правильно виконаних завдань – оцінка «3», 8-10 завдань – оцінка «4», 11-12 завдань – оцінка «5»
6) Взаємоперевірка.
Учні змінюються листами з практичною роботою, одержують для перевірки бланки з відповідями (Додаток 3) . Перевіряють роботи один одного, відзначаючи правильно збудовані перерізи.
7) Домашнє завдання.
Як домашнє завдання я попрошу вас вирішити задачі, аналогічні завданням у практичній роботі, але на побудову перерізів тетраедра. Кожному пропонується виконати по 4 завдання (Додаток 4) Завдання мають три рівні складності.
8) Рефлексія.
Отже, підіб'ємо підсумок, чого ми навчилися сьогодні на уроці? - Які теоретичні положення часто нам доводилося використовувати? - Яких помилок було допущено при вирішенні завдань? Як ви їх усунули? – Кому доводилося повертатися до завдання кілька разів? - Де у практичній діяльності вам знадобиться сьогоднішній урок? На етапі рефлексії діяльності учні аналізують, де і чому було допущено помилки, як вони були виправлені, повторюють алгоритми, які викликали труднощі, оцінюють своєї діяльності на уроці.
9) Підсумок уроку.
На завершення уроку учні за допомогою вчителя фіксують ступінь відповідності поставленої мети та результатів діяльності. Виставляються оцінки.
Практична робота з побудови перерізів паралелепіпеда. Додаток 1
Додаток 2
Опора-пам'ятка
- Аксіома 1
. Через будь-які три точки, що не лежать на одній прямій, проходить площина, і лише одна. Аксіома 2
. Якщо дві точки прямої лежать у площині, то всі точки прямої лежать у цій площині. Аксіома 3
. Якщо дві площини мають загальну точку, вони мають спільну пряму, де лежать все загальні точки цих площин.
- Через пряму і не лежачу на ній точку проходить площину, і до того ж тільки одна. Через дві прямі, що перетинаються, проходить площину, і притому тільки одна.
Додаток 3
Відповіді до практичної роботи.
|
|
|
|
|
|
|
|
Ось така задача з геометрії про прямокутний паралелепіпед і площину:
У прямокутному паралелепіпеді ABCDA1B1C1D1 відомі ребра AA1 = 6, AB = 6, AD = 3 кореня з 13. Знайдіть площу перерізу паралелепіпеда площиною AMK, де точки М і К ділять ребра BB1 і CC1 щодо 1:2, рахуючи від прямої ВС .
Для вирішення цього завдання потрібно просто уявити те, що нам дано за умовою і зрозуміти, що потрібно знайти. Рекомендую умову розбивати на частини та кожну частину розглядати окремо. Нині я покажу, як це робиться.
Читаємо з самого початку: "У прямокутному паралелепіпеді..."- Все, достатньо. І так, у нас є прямокутний паралелепіпед – тривимірна геометрична фігура, яку найкраще намалювати на аркушику паперу. Ось як виглядає прямокутний паралелепіпед на малюнку. У житті це звичайна коробка взуття.
"...відомі ребра AA1 = 6, AB = 6, AD = 3 кореня з 13."Ось тепер ми можемо прямо на малюнку підписати довжину цих ребер. Дивимось на літери, я виділив ці три ребра синім кольором.
Фактично нам дано розміри паралелепіпеда. І хоча малюнку довжина ребер зовсім відповідає умові, нічого страшного. На алгебру рішення це не впливає. Ми не використовуємо рисунок для графічного розв'язання задачі. Він нам потрібний лише для того, щоб зрозуміти хід рішення. Однакові завдання для паралелепіпедів різних розмірів матимуть однаковий хід рішення. Наприкінці лише числа різні виходитимуть.
Нічого не зрозуміло. Звідки взялися точки М та К? Після цих слів за умови завдання ще щось написано. Тому пропускаємо цей фрагмент і читаємо далі.
"...де точки М і К ділять ребра BB1 і CC1 щодо 1:2..."Ага, ось і крапки з'явилися. Ребра на малюнку ми можемо знайти, але як їх поділити "... щодо 1:2..."? Все дуже просто. Згадуємо дитячий садок. "Поділіть відрізок на три рівні частини та візьміть одну частину" - це дуже просте завдання, з яким впорається навіть дитина. А ми вже дорослі. Як дізнатися, скільки частин потрібно ділити? Вираз "Розділити щодо 1:2"рівнозначно виразу "Розділити на 3 частини". Адже 1+2=3. Довжина всіх вертикальних ребер дорівнює 6 см. Одна частина дорівнюватиме 6/3=2 см. Нам потрібно взяти одну частину. Але яку? Нижню, верхню чи середню? Читаємо далі умову завдання: "...вважаючи від прямої НД". Чому ребро ВС раптом перетворилося на пряму? Математики, як справжні карткові шулери, дуже люблять підміняти одні поняття іншими, перетворюючи просте завдання на справжній ребус. Ось через такі ребуси багато хто ненавидить математику. Пряма НД збігається з ребром НД і перебувають вони на нижній підставі прямокутного паралелепіпеда, на денці коробки. Тому ми беремо нижню третину вертикальних граней. Позначаємо потрібні точки малюнку.
Усю умову завдання ми розібрали до кінця і тепер саме час повернутися до пропущеного фрагменту: "Знайдіть площу перерізу паралелепіпеда площиною AMK...". Через точки М та К можна провести ціле море площин. Всі вони будуть обертатися на відрізку МК, як шашлик на шампурі.
Нас цікавить тільки та площина, яка проходить через точку А. Така площина всього одна. Оскільки відрізок МК паралельний ребру ВС, а той у свою чергу паралельний ребру АD, то наша площина проходить через це ребро. У перерізі виходить прямокутник АDМК, розташований під кутом до основи.
Нам потрібно знайти площу цього прямокутника (на малюнку він зафарбований блакитним). Одна сторона маємо, потрібно знайти довжину іншої сторони. Якщо подивитися на зелений трикутник, то друга сторона прямокутника виявиться гіпотенузою прямокутного трикутника АВМ. По теоремі дідуся Піфагора ми легко знайдемо довжину цієї гіпотенузи. Як бачите, дитяче завдання на дві події.
Ось тільки мене мучать невиразні сумніви, що хтось десь заплутався. Якщо точок М і К брати не одну частину від ребер ВВ1 і СС1, а частини, тоді довжина гіпотенузи виходить рівною двом корінням з тринадцяти. При обчисленні площі перерізу число тринадцять вилазить з-під кореня і площа виходить 78 сантиметрів у квадраті. Очевидно, хтось помилився. Або математики при складанні свого ребуса, або я не правильно розшифрував витончену словесність цієї ребуса. Ось бачите до чого можуть призводити бездарні спроби здаватися розумнішими, ніж ти є насправді. Це стосується як мене, так і математиків. До речі, якби в умові було вказано співвідношення 2:1, то і я правильно вирішив би це завдання і отримав відповідь без квадратного кореня.
Для січної площини А1МК рішення виходить дуже красиве. Та сама теорема Піфагора для зеленого трикутничка, та сама площа прямокутника.
P.S. Малювати картинки можна на папері. Я малюнки малюю на комп'ютері, щоб і вам їх показувати. Ви також можете так робити. Берете заготівлю прямокутного паралелепіпеда і розмальовує її під умови свого завдання. Тоді знаходити рішення вам буде набагато простіше. Якщо у вас є ноутбук і він перегрівається від вашої надмірної старанності, тоді охолодна підставка допоможе вам позбутися проблем. Працює така підставка від ноутбука і підключається до нього через USB роз'єм. Жодних розеток з собою носити не потрібно. Дуже зручно та практично.