У чому головна сутність формули?
Ця формула дозволяє знайти будь-який ЗА ЙОГО НОМЕРЕ " n" .
Зрозуміло, треба знати ще перший член a 1і різниця прогресії d, Так без цих параметрів конкретну прогресію і не запишеш.
Завчити (або зашпаргалити) цю формулу мало. Потрібно засвоїти її суть і застосувати формулу в різних завданнях. Та ще й не забути в потрібний момент, так...) Як не забути– я не знаю. А ось як згадати,при необхідності - точно підкажу. Тим, хто урок до кінця подужає.)
Отже, розберемося із формулою n-го члена арифметичної прогресії.
Що таке формула взагалі – ми собі уявляємо.) Що таке арифметична прогресія, номер члена, різниця прогресії – доступно викладено у попередньому уроці. Загляньте, до речі, як не читали. Там просто все. Залишилося розібратися, що таке n-й член.
Прогресію у загальному вигляді можна записати у вигляді ряду чисел:
a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....
a 1- Позначає перший член арифметичної прогресії, a 3- третій член, a 4- Четвертий, і так далі. Якщо нас цікавить п'ятий член, скажімо, ми працюємо з a 5якщо сто двадцятий - з a 120.
А як позначити у загальному вигляді будь-якийчлен арифметичної прогресії, з будь-якимномером? Дуже просто! Ось так:
a n
Це і є n-й член арифметичної прогресії.Під літерою n ховаються відразу всі номери членів: 1, 2, 3, 4 тощо.
І що нам дає такий запис? Подумаєш, замість цифри букву записали...
Цей запис дає нам потужний інструмент для роботи з арифметичною прогресією. Використовуючи позначення a n, ми можемо швидко знайти будь-якийчлен будь-якийарифметичній прогресії. І ще купу завдань щодо прогресії вирішити. Самі далі побачите.
У формулі n-го члена арифметичної прогресії:
| a n = a 1 + (n-1)d |
a 1- Перший член арифметичної прогресії;
n- Номер члена.
Формула пов'язує ключові параметри будь-якої прогресії: a n; a 1; dі n. Навколо цих властивостей і крутяться всі завдання з прогресії.
Формула n-го члена можна використовувати й у записи конкретної прогресії. Наприклад, завдання може бути сказано, що прогресія задана умовою:
a n = 5 + (n-1) ·2.
Таке завдання може і в глухий кут поставити ... Немає ні ряду, ні різниці ... Але, порівнюючи умову з формулою, легко збагнути, що в цій прогресії a 1 =5, а d=2.
А буває ще зліше!) Якщо взяти ту ж умову: a n = 5 + (n-1) · 2,та розкрити дужки та привести подібні? Отримаємо нову формулу:
a n = 3 + 2n.
Це Тільки не загальна, а для конкретної прогресії. Ось тут таїться підводний камінь. Дехто думає, що перший член - це трійка. Хоча реально перший член - п'ятірка... Трохи нижче ми попрацюємо з такою формулою.
У завдання на прогресію зустрічається ще одне позначення - a n+1. Це, як ви здогадалися, "ен плюс перший" член прогресії. Сенс його простий і нешкідливий.) Це член прогресії, номер якого більший за номер n на одиницю. Наприклад, якщо в якомусь завданні ми беремо за a nп'ятий член, то a n+1буде шостим членом. І таке інше.
Найчастіше позначення a n+1зустрічається у рекурентних формулах. Не лякайтеся цього страшного слова!) Це просто спосіб висловлювання члена арифметичної прогресії через попередній.Припустимо, нам дана арифметична прогресія ось у такому вигляді, за допомогою рекурентної формули:
a n+1 = a n +3
a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8
a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11
Четвертий – через третій, п'ятий – через четвертий, тощо. А як порахувати одразу, скажімо двадцятий член, a 20? А ніяк!) Поки 19-й член не дізнаємось, 20-й не порахувати. У цьому є принципова відмінність рекурентної формули від формули n-го члена. Рекурентна працює тільки через попереднійчлен, а формула n-го члена – через першийі дозволяє відразузнаходити будь-який член за його номером. Не прораховуючи цілий ряд чисел по порядку.
В арифметичній прогресії рекурентну формулу легко перетворити на звичайну. Порахувати пару послідовних членів, обчислити різницю d,знайти, якщо треба, перший член a 1, Записати формулу у звичайному вигляді, та й працювати з нею. У ДПА подібні завдання часто зустрічаються.
Застосування формули n члена арифметичної прогресії.
Спочатку розглянемо пряме застосування формули. Наприкінці попереднього уроку було завдання:
Дана арифметична прогресія (a n). Знайти a 121 якщо a 1 =3, а d=1/6.
Це завдання можна без будь-яких формул вирішити, просто з сенсу арифметичної прогресії. Додавати, та додавати... Годинник-другий.)
А за формулою рішення займе менше хвилини. Можете засікати час.) Вирішуємо.
В умовах наведено всі дані для використання формули: a 1 =3, d=1/6.Залишається збагнути, чому одно n.Чи не питання! Нам треба знайти a 121. Ось і пишемо:
Прошу звернути увагу! Замість індексу nз'явилося конкретне число: 121. Що цілком логічно.) Нас цікавить член арифметичної прогресії номер сто двадцять один.Ось це і буде наше n.Саме це значення n= 121 ми і підставимо далі до формули, до дужок. Підставляємо всі числа у формулу та вважаємо:
a 121 = 3 + (121-1) · 1/6 = 3 +20 = 23
Ось і всі справи. Так само швидко можна було знайти і п'ятсот десятий член, і тисяча третій, кожен. Ставимо замість nпотрібний номер в індексі у літери " a"і в дужках, та й рахуємо.
Нагадаю суть: ця формула дозволяє знайти будь-якийчлен арифметичної прогресії ЗА ЙОГО НОМЕРЕ " n" .
Вирішимо завдання хитрішим. Нехай нам трапилося таке завдання:
Знайдіть перший член арифметичної прогресії (a n), якщо a 17 = -2; d=-0,5.
Якщо виникли труднощі, підкажу перший крок. Запишіть формулу n члена арифметичної прогресії!Так-так. Руками запишіть, прямо в зошиті:
| a n = a 1 + (n-1)d |
А тепер, дивлячись на літери формули, розуміємо, які дані ми маємо, а чого не вистачає? Є d=-0,5,є сімнадцятий член ... Все? Якщо вважаєте, що все, то завдання не вирішите, так...
У нас ще є номер n! В умові a 17 =-2заховані два параметри.Це значення сімнадцятого члена (-2), та її номер (17). Тобто. n=17.Ця "дрібниця" часто проскакує повз голову, а без неї, (без "дрібниці", а не голови!) завдання не вирішити. Хоча... і без голови теж.)
Тепер можна просто тупо підставити наші дані у формулу:
a 17 = a 1 + (17-1) · (-0,5)
Ах так, a 17нам відомо, що це -2. Ну гаразд, підставимо:
-2 = a 1 + (17-1) · (-0,5)
Ось по суті, і все. Залишилося висловити перший член арифметичної прогресії з формули, та порахувати. Вийде відповідь: a 1 = 6.
Такий прийом – запис формули та проста підстановка відомих даних – чудово допомагає у простих завданнях. Ну, треба, звичайно, вміти висловлювати змінну з формули, а що робити! Без цього вміння математику можна взагалі не вивчати.
Ще одне популярне завдання:
Знайдіть різницю арифметичної прогресії (a n), якщо a 1 =2; a 15 = 12.
Що робимо? Ви здивуєтеся, пишемо формулу!)
| a n = a 1 + (n-1)d |
Розуміємо, що нам відомо: a 1 = 2; a 15 = 12; та (спеціально виокремлю!) n=15. Сміливо підставляємо у формулу:
12 = 2 + (15-1) d
Вважаємо арифметику.)
12 = 2 + 14d
d=10/14 = 5/7
Це правильна відповідь.
Так, завдання на a n , a 1і dвирішили. Залишилося навчитися знаходити:
Число 99 є членом арифметичної прогресії (a n), де a 1 = 12; d=3. Знайти номер члена.
Підставляємо у формулу n-го члена відомі нам величини:
a n = 12 + (n-1) · 3
На перший погляд, тут дві невідомі величини: a n та n.Але a n- це якийсь член прогресії з номером n... І цей член прогресії ми знаємо! Це 99. Ми не знаємо його номер n,так цей номер і потрібно знайти. Підставляємо член прогресії 99 у формулу:
99 = 12 + (n-1) · 3
Висловлюємося з формули nвважаємо. Отримаємо відповідь: n=30.
А тепер завдання на ту саму тему, але більш творча):
Визначте, чи буде число 117 членом арифметичної прогресії (a n):
-3,6; -2,4; -1,2 ...
Знову пишемо формулу. Що немає ніяких параметрів? Гм... А очі нам навіщо дано?) Перший член прогресії бачимо? Бачимо. Це –3,6. Можна сміливо записати: a 1 = -3,6.Різниця dможна з ряду визначити? Легко, якщо знаєте, що таке різницю арифметичної прогресії:
d = -2,4 - (-3,6) = 1,2
Так, найпростіше зробили. Залишилося розібратися з невідомим номером nі незрозумілим числом 117. У попередній задачі хоч було відомо, що дано саме член прогресії. А тут і того не знаємо... Як бути! Ну, як бути, як бути... Включити творчі здібності!
Ми припустимо,що 117 - це все-таки член нашої прогресії. З невідомим номером n. І, як у попередній задачі, спробуємо знайти цей номер. Тобто. пишемо формулу (так-так!) і підставляємо наші числа:
117 = -3,6 + (n-1) · 1,2
Знову висловлюємося з формулиn, вважаємо та отримуємо:
Опаньки! Номер вийшов дробовий!Сто один із половиною. А дрібних номерів у прогресіях не буває.Який висновок зробимо? Так! Число 117 не єчленом нашої прогресії. Воно знаходиться десь між сто першим і сто другим членом. Якби номер вийшов натуральним, тобто. позитивним цілим, число було б членом прогресії зі знайденим номером. А в нашому випадку відповідь завдання буде: ні.
Завдання на основі реального варіанту ГІА:
Арифметична прогресія задана умовою:
a n = -4 + 6,8 n
Знайти перший і десятий члени прогресії.
Тут прогресію задано не зовсім звичним чином. Формула якась... Буває.) Однак, ця формула (як я писав вище) - теж формула n-го члена арифметичної прогресії!Вона також дозволяє знайти будь-який член прогресії за його номером.
Шукаємо перший член. Той, хто думає. що перший член – мінус чотири, фатально помиляється!) Тому, що формула у завданні – видозмінена. Перший член арифметичної прогресії у ній захований.Нічого, зараз знайдемо.)
Так само, як і в попередніх завданнях, підставляємо n=1у цю формулу:
a 1 = -4 + 6,8 · 1 = 2,8
Ось! Перший член 2,8, а чи не -4!
Аналогічно шукаємо десятий член:
a 10 = -4 + 6,8 · 10 = 64
Ось і всі справи.
А тепер тим, хто дочитав до цих рядків, - обіцяний бонус.)
Припустимо, у складній бойовій обстановці ГІА або ЄДІ ви забули корисну формулу n-го члена арифметичної прогресії. Щось пригадується, але невпевнено якось... Чи то nтам, чи n+1, чи то n-1...Як бути!
Спокій! Цю формулу легко вивести. Не дуже суворо, але для впевненості та правильного рішення точно вистачить!) Для висновку достатньо пам'ятати елементарний сенс арифметичної прогресії та мати пару-трійку хвилин часу. Потрібно просто намалювати картинку. Для наочності.
Малюємо числову вісь та відзначаємо на ній перший. другий, третій тощо. члени. І відзначаємо різницю dміж членами. Ось так:
Дивимося на картинку і розуміємо: чому дорівнює другий член? Другий одне d:
a 2 =a 1 + 1 ·d
Чому дорівнює третій член? Третійчлен дорівнює перший член плюс два d.
a 3 =a 1 + 2 ·d
Уловлюєте? Я не дарма деякі слова виділяю жирним шрифтом. Ну гаразд, ще один крок).
Чому дорівнює четвертий член? Четвертийчлен дорівнює перший член плюс три d.
a 4 =a 1 + 3 ·d
Час зрозуміти, що кількість проміжків, тобто. d, завжди один менше, ніж номер шуканого члена n. Тобто, до номера n, кількість проміжківбуде n-1.Отже, формула буде (без варіантів!):
| a n = a 1 + (n-1)d |
Взагалі, наочні картинки дуже допомагають вирішувати багато завдань у математиці. Не нехтуйте картинками. Але якщо картинку намалювати важко, то... тільки формула!) Крім того, формула n-го члена дозволяє підключити до вирішення весь потужний арсенал математики - рівняння, нерівності, системи і т.д. Картинку в рівняння не вставиш...
Завдання для самостійного вирішення.
Для розминки:
1. В арифметичній прогресії (a n) a 2 = 3; a 5 =5,1. Знайти a 3 .
Підказка: за картинкою завдання вирішується секунд за 20... За формулою – складніше виходить. Але для освоєння формули - корисніше.) У Розділі 555 це завдання вирішено і з картинці, і за формулою. Відчуйте різницю!)
А це – вже не розминка.)
2. В арифметичній прогресії (a n) a 85 = 19,1; a 236 = 49, 3. Знайти a 3 .
Що, не хочеться малюнок малювати?) Ще б пак! Краще за формулою, так...
3. Арифметична прогресія задана умовою:a 1 =-5,5; an+1 = an+0,5. Знайдіть сто двадцять п'ятий член цієї прогресії.
У цьому вся завдання прогресія задана рекурентним способом. Але рахувати до сто двадцять п'ятого члена... Не всім такий подвиг під силу. Зате формула n-го члена під силу кожному!
4. Дана арифметична прогресія (a n):
-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....
Знайти номер найменшого позитивного члена прогресії.
5. За умовою завдання 4 знайти суму найменшого позитивного та найбільшого негативного членів прогресії.
6. Добуток п'ятого та дванадцятого членів зростаючої арифметичної прогресії дорівнює -2,5, а сума третього та одинадцятого членів дорівнює нулю. Знайти a 14 .
Не найпростіше завдання, так ...) Тут спосіб "на пальцях" не прокотить. Прийде формули писати і рівняння розв'язувати.
Відповіді (безладно):
3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5
Вийшло? Це приємно!)
Чи не все виходить? Буває. До речі, в останньому завданні є один тонкий момент. Уважність під час читання завдання буде потрібна. І логіка.
Розв'язання цих завдань докладно розібрано у Розділі 555. І елемент фантазії для четвертої, і тонкий момент для шостий, і загальні підходи на вирішення будь-яких завдань на формулу n-го члена - все розписано. Рекомендую.
Якщо Вам подобається цей сайт...
До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)
Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)
можна познайомитися з функціями та похідними.
Наприклад, послідовність (2); \ (5 \); \ (8 \); \ (11 \); \(14\)... є арифметичною прогресією, тому що кожен наступний елемент відрізняється від попереднього на три (може бути отриманий з попереднього додаванням трійки):
У цій прогресії різниця (d) позитивна (рівна (3)), і тому кожен наступний член більший за попередній. Такі прогресії називаються зростаючими.
Однак (d) може бути і негативним числом. Наприклад, в арифметичній прогресії \(16\); \ (10 \); \ (4 \); \(-2\); \ (-8 \) ... Різниця прогресії \ (d \) дорівнює мінус шести.
І в цьому випадку кожен наступний елемент буде меншим, ніж попередній. Ці прогресії називаються спадаючими.
Позначення арифметичної прогресії
Прогресію позначають маленькою латинською літерою.
Числа, що утворюють прогресію, називають її членами(або елементами).
Їх позначають тією ж літерою як і арифметичну прогресію, але з числовим індексом, рівним номеру елемента по порядку.
Наприклад, арифметична прогресія (a_n = \ left \ (2; 5; 8; 11; 14 ... \ right \) \) складається з елементів \ (a_1 = 2 \); \ (a_2 = 5 \); \ (a_3 = 8 \) і так далі.
Іншими словами, для прогресії (a_n = \ left \ (2; 5; 8; 11; 14 ... \ right \) \)
Розв'язання задач на арифметичну прогресію
У принципі, викладеної вище інформації вже достатньо, щоб вирішувати практично будь-яке завдання на арифметичну прогресію (у тому числі з тих, що пропонують на ОДЕ).
Приклад (ОДЕ).
Арифметична прогресія задана умовами (b_1 = 7; d = 4). Знайдіть (b_5).
Рішення:
Відповідь: \ (b_5 = 23 \)
Приклад (ОДЕ).
Дано перші три члени арифметичної прогресії: \(62; 49; 36…\) Знайдіть значення першого негативного члена цієї прогресії.
Рішення:
|
Нам дано перші елементи послідовності та відомо, що вона – арифметична прогресія. Тобто, кожен елемент відрізняється від сусіднього на те саме число. Дізнаємось на яке, віднімаючи з наступного елемента попередній: \(d=49-62=-13\). |
|
|
Тепер ми можемо відновити нашу прогресію до потрібного (першого негативного) елемента. |
|
|
Готово. Можна писати відповідь. |
Відповідь: \(-3\)
Приклад (ОДЕ).
Дано кілька елементів арифметичної прогресії, що йдуть поспіль: \(…5; x; 10; 12,5...\) Знайдіть значення елемента, позначеного буквою \(x\).
Рішення:
|
|
Щоб знайти (x), нам потрібно знати наскільки наступний елемент відрізняється від попереднього, інакше кажучи - різницю прогресії. Знайдемо її з двох відомих сусідніх елементів: (d = 12,5-10 = 2,5). |
|
|
Нині ж без проблем знаходимо шукане: \(x=5+2,5=7,5\). |
|
|
Готово. Можна писати відповідь. |
Відповідь: \(7,5\).
Приклад (ОДЕ).
Арифметична прогресія задана такими умовами: (a_1=-11); \(a_(n+1)=a_n+5\) Знайдіть суму перших шести членів цієї прогресії.
Рішення:
|
Нам потрібно знайти суму перших шістьох членів прогресії. Але ми не знаємо їх значень, нам дано лише перший елемент. Тому спочатку обчислюємо значення по черзі, використовуючи дане нам: \ (n = 1 \); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) |
|
|
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) |
Шукану суму знайдено. |
Відповідь: \ (S_6 = 9 \).
Приклад (ОДЕ).
В арифметичній прогресії \(a_(12)=23\); \ (a_ (16) = 51 \). Знайдіть різницю цієї прогресії.
Рішення:
Відповідь: \ (d = 7 \).
Важливі формули арифметичної прогресії
Як бачите, багато завдань з арифметичної прогресії можна вирішувати, просто зрозумівши головне – те, що арифметична прогресія є ланцюжок чисел, і кожен наступний елемент у цьому ланцюжку виходить додаванням до попереднього одного і того ж числа (різниці прогресії).
Однак часом трапляються ситуації, коли вирішувати «в лоб» дуже незручно. Наприклад, уявіть, що в першому прикладі нам потрібно знайти не п'ятий елемент \(b_5\), а триста вісімдесят шостий \(b_(386)\). Це що ж, нам (385) разів додавати четвірку? Або уявіть, що у передостанньому прикладі треба знайти суму перших сімдесяти трьох елементів. Вважати замучаєшся ...
Тому в таких випадках «у лоб» не вирішують, а використовують спеціальні формули, виведені для арифметичної прогресії. І головні їх це формула енного члена прогресії і формула суми (n) перших членів.
Формула \(n\)-го члена: \(a_n=a_1+(n-1)d\), де \(a_1\) - перший член прогресії;
\ (n \) - Номер шуканого елемента;
\(a_n\) - член прогресії з номером \(n\).
Ця формула дозволяє нам швидко знайти хоч триста, хоч мільйонний елемент, знаючи лише перший і різницю прогресії.
приклад.
Арифметична прогресія задана умовами: (b_1=-159); (d = 8,2). Знайдіть \(b_(246)\).
Рішення:
Відповідь: \ (b_ (246) = 1850).
Формула суми n перших членів: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), де
\(a_n\) – останній підсумований член;
Приклад (ОДЕ).
Арифметична прогресія задана умовами (a_n = 3,4n-0,6 \). Знайдіть суму перших (25) членів цієї прогресії.
Рішення:
|
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\) |
Щоб обчислити суму перших двадцяти п'яти елементів, нам потрібно знати значення першого та двадцять п'ятого члена. |
|
|
\(n = 1; \) \ (a_1 = 3,4 · 1-0,6 = 2,8 \) |
Тепер знайдемо двадцять п'ятий член, підставивши замість двадцять п'ять. |
|
|
\ (n = 25; \) \ (a_ (25) = 3,4 · 25-0,6 = 84,4 \) |
Ну, а зараз без проблем обчислюємо потрібну суму. |
|
|
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) |
Відповідь готова. |
Відповідь: \ (S_ (25) = 1090 \).
Для суми перших членів можна отримати ще одну формулу: потрібно просто в (S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25\ ) замість \(a_n\) підставити формулу для нього \(a_n=a_1+(n-1)d\). Отримаємо:
Формула суми n перших членів: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), де
\ (S_n \) - Шукана сума \ (n \) перших елементів;
\(a_1\) – перший сумований член;
(d) - різниця прогресії;
\(n\) – кількість елементів у сумі.
приклад.
Знайдіть суму перших (33)-їх членів арифметичної прогресії: (17); \ (15,5 \); \ (14 \) ...
Рішення:
Відповідь: \ (S_ (33) = -231 \).
Більш складні завдання на арифметичну прогресію
Тепер у вас є вся необхідна інформація для вирішення практично будь-якого завдання на арифметичну прогресію. Завершимо тему розглядом завдань, у яких треба не просто застосовувати формули, але й трохи думати (в математиці це корисно ☺)
Приклад (ОДЕ).
Знайдіть суму всіх негативних членів прогресії: (-19,3); \ (-19 \); \ (-18,7 \) ...
Рішення:
|
\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\) |
Завдання дуже схоже на попереднє. Починаємо вирішувати також: спочатку знайдемо (d). |
|
|
\(d=a_2-a_1=-19-(-19,3)=0,3\) |
Тепер би підставити (d) у формулу для суми… і ось тут спливає маленький нюанс – ми не знаємо (n). Інакше кажучи, не знаємо, скільки членів потрібно буде скласти. Як це з'ясувати? Давайте думати. Ми припинимо складати елементи тоді, коли дійдемо першого позитивного елемента. Тобто потрібно дізнатися номер цього елемента. Як? Запишемо формулу обчислення будь-якого елемента арифметичної прогресії: (a_n=a_1+(n-1)d) для нашого випадку. |
|
|
\(a_n=a_1+(n-1)d\) |
||
|
\(a_n=-19,3+(n-1)·0,3\) |
Нам потрібно, щоб (a_n) став більше нуля. З'ясуємо, за якого \(n\) це станеться. |
|
|
\(-19,3+(n-1)·0,3>0\) |
||
|
\((n-1)·0,3>19,3\) \(|:0,3\) |
Ділимо обидві частини нерівності на (0,3). |
|
|
\(n-1>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) |
Переносимо мінус одиницю, не забуваючи міняти знаки |
|
|
\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\) |
Обчислюємо… |
|
|
\(n>65,333…\) |
…і з'ясовується, що перший позитивний елемент матиме номер (66). Відповідно, останній негативний має \(n=65\). Про всяк випадок, перевіримо це. |
|
|
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1)·0,3=-0,1\) |
Таким чином, нам потрібно скласти перші (65) елементів. |
|
|
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) |
Відповідь готова. |
Відповідь: \ (S_ (65) = -630,5 \).
Приклад (ОДЕ).
Арифметична прогресія задана умовами: (a_1=-33); \(a_(n+1)=a_n+4\). Знайдіть суму від \(26\)-го до \(42\) елемента включно.
Рішення:
|
\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\) |
У цьому завдання також потрібно знайти суму елементів, але починаючи не з першого, а з (26)-го. Для такої нагоди у нас формули немає. Як вирішувати? |
|
|
Для нашої прогресії \(a_1=-33\), а різниця \(d=4\) (адже саме четвірку ми додаємо до попереднього елементу, щоб визначити наступний). Знаючи це, знайдемо суму перших (42)-ух елементів. |
|
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) |
Тепер суму перших (25) елементів. |
|
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) |
Ну і нарешті обчислюємо відповідь. |
|
\ (S = S_ (42)-S_ (25) = 2058-375 = 1683 \) |
Відповідь: (S = 1683).
Для арифметичної прогресії існує ще кілька формул, які ми не розглядали в цій статті через їхню малу практичну корисність. Однак ви легко можете знайти їх .
Увага!
До цієї теми є додаткові
матеріали у розділі 555.
Для тих, хто сильно "не дуже..."
І для тих, хто "дуже навіть...")
Арифметична прогресія - це ряд чисел, в якому кожне число більше (або менше) попереднього на одну й ту саму величину.
Ця тема часто представляється складною і незрозумілою. Індекси у літер, n-й член прогресії, різниця прогресії - все це якось бентежить, так ... Розберемося зі змістом арифметичної прогресії і все відразу налагодиться.)
Концепція арифметичної прогресії.
Арифметична прогресія - поняття дуже просте та чітке. Сумніваєтесь? Даремно.) Дивіться самі.
Я напишу незакінчений ряд чисел:
1, 2, 3, 4, 5, ...
Чи зможете продовжити цей ряд? Які числа підуть далі, за п'ятіркою? Кожен... е-е-е..., коротше, кожен зрозуміє, що далі підуть числа 6, 7, 8, 9 тощо.
Ускладнимо завдання. Даю незакінчений ряд чисел:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Чи зможете вловити закономірність, продовжити ряд, і назвати сьомеЧисло ряду?
Якщо зрозуміли, що це число 20 – я вас вітаю! Ви не тільки відчули ключові моменти арифметичної прогресії,але й успішно вжили їх у справу! Якщо не зрозуміли – читаємо далі.
А тепер переведемо ключові моменти із відчуттів у математику.)
Перший ключовий момент.
Арифметична прогресія має справу з рядами чисел.Це і бентежить спочатку. Ми звикли рівняння вирішувати, графіки будувати і таке інше... А тут продовжити ряд, знайти число ряду...
Нічого не страшного. Просто прогресії – це перше знайомство з новим розділом математики. Розділ називається "Ряди" і працює саме з рядами чисел та виразів. Звикайте.)
Другий ключовий момент.
В арифметичній прогресії будь-яке число відрізняється від попереднього на одну й ту саму величину.
У першому прикладі ця різниця – одиниця. Яке число не візьми, воно більше попереднього на один. У другому – трійка. Будь-яке число більше попереднього на трійку. Власне, саме цей момент дає нам можливість вловити закономірність і розрахувати наступні числа.
Третій ключовий момент.
Цей момент не впадає у вічі, так... Але дуже, дуже важливий. Ось він: кожне число прогресії стоїть своєму місці.Є перше число, є сьоме, є сорок п'яте і т.д. Якщо їх переплутати абияк, закономірність зникне. Зникне й арифметична прогресія. Залишиться просто ряд чисел.
Ось і вся суть.
Зрозуміло, у новій темі з'являються нові терміни та позначення. Їх треба знати. Інакше й завдання не зрозумієш. Наприклад, доведеться вирішувати, що-небудь, типу:
Випишіть перші шість членів арифметичної прогресії (a n), якщо a 2 = 5, d = -2,5.
Вселяє?) Літери, індекси якісь... А завдання, між іншим - простіше нікуди. Просто потрібно зрозуміти зміст термінів та позначень. Зараз ми цю справу опануємо і повернемося до завдання.
Терміни та позначення.
Арифметична прогресія- це ряд чисел, у якому кожне число відрізняється від попереднього на одну й ту саму величину.
Ця величина називається . Розберемося з цим поняттям детальніше.
Різниця арифметичної прогресії.
Різниця арифметичної прогресії- це величина, на яку будь-яке число прогресії більшепопереднього.
Один важливий момент. Прошу звернути увагу на слово "Більше".Математично це означає, що кожне число прогресії виходить додаткомрізниці арифметичної прогресії до попереднього числа.
Для розрахунку, скажімо, другогочисла ряду, треба до першомучислу додатицю саму різницю арифметичної прогресії. Для розрахунку п'ятого- Різниця треба додатидо четвертому,ну і т.п.
Різниця арифметичної прогресіїможливо позитивною,тоді кожне число ряду вийде реально більше за попередній.Така прогресія називається зростаючою.Наприклад:
8; 13; 18; 23; 28; .....
Тут кожне число виходить додаткомпозитивного числа +5 до попереднього.
Різниця може бути і негативною,тоді кожне число ряду вийде менше за попередній.Така прогресія називається (ви не повірите!) спадаючою.
Наприклад:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Тут кожне число виходить теж додаткомдо попереднього, але негативного числа, -5.
До речі, під час роботи з прогресією дуже корисно буває відразу визначити її характер - зростаюча вона, чи спадна. Це чудово допомагає зорієнтуватися у вирішенні, засікти свої помилки та виправити їх, поки не пізно.
Різниця арифметичної прогресіїпозначається, як правило, літерою d.
Як знайти d? Дуже просто. Треба від будь-якого числа ряду відібрати попереднєчисло. Відняти. До речі, результат віднімання називається "різниця".)
Визначимо, наприклад, dдля зростаючої арифметичної прогресії:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Беремо будь-яке число ряду, яке хочемо, наприклад, 11. Віднімаємо від нього попереднє число,тобто. 8:
Це правильна відповідь. Для цієї арифметичної прогресії різниця дорівнює трьом.
Брати можна саме будь-яке число прогресії,т.к. для конкретної прогресії d -завжди одне й те саме.Хоч десь на початку ряду, хоч у середині, хоч де завгодно. Брати не можна тільки перше число. Просто тому, що у першого числа немає попереднього.)
До речі, знаючи, що d = 3знайти сьоме число цієї прогресії дуже просто. Додамо 3 до п'ятого числа - отримаємо шосте, це буде 17. Додамо до шостого числа трійку, отримаємо сьоме - двадцять.
Визначимо dдля спадної арифметичної прогресії:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Нагадую, що, незалежно від символів, для визначення dтреба від будь-якого числа відібрати попереднє.Вибираємо будь-яку кількість прогресії, наприклад -7. Попереднє у нього – число -2. Тоді:
d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5
Різниця арифметичної прогресії може бути будь-яким числом: цілим, дрібним, ірраціональним, всяким.
Інші терміни та позначення.
Кожне число ряду називається членом арифметичної прогресії.
Кожен член прогресії має свій номер.Номери йдуть строго по порядку, без жодних фокусів. Перший, другий, третій, четвертий і т.д. Наприклад, у прогресії 2, 5, 8, 11, 14, ... двійка - це перший член, п'ятірка - другий, одинадцять - четвертий, ну, ви зрозуміли...) Прошу чітко усвідомити - самі числаможуть бути абсолютно будь-які, цілі, дробові, негативні, які завгодно, але нумерація чисел- По порядку!
Як записати прогресію у загальному вигляді? Чи не питання! Кожне число ряду записується як букви. Для позначення арифметичної прогресії використовується, як правило, літера a. Номер члена вказується індексом внизу праворуч. Члени пишемо через кому (або крапку з комою), ось так:
a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....
a 1- це перше число, a 3- третє, тощо. Нічого хитрого. Записати цей ряд коротко можна ось так: (a n).
Прогресії бувають кінцеві та нескінченні.
Кінцевапрогресія має обмежену кількість членів. П'ять, тридцять вісім, скільки завгодно. Але – кінцеве число.
Нескінченнапрогресія - має безліч членів, як можна здогадатися.)
Записати кінцеву прогресію через ряд можна ось так, всі члени та крапка в кінці:
a 1 , 2 , 3 , 4 , 5 .
Або так, якщо членів багато:
a 1 , a 2 , ... a 14 , a 15 .
У короткому записі доведеться додатково вказувати кількість членів. Наприклад (для двадцяти членів), ось так:
(a n), n = 20
Нескінченну прогресію можна дізнатися по трьома крапками в кінці ряду, як у прикладах цього уроку.
Тепер можна вирішити завдання. Завдання нескладні, чисто розуміння сенсу арифметичної прогресії.
Приклади завдань з арифметичної прогресії.
Розберемо детально завдання, що наведено вище:
1. Випишіть перші шість членів арифметичної прогресії (a n), якщо a 2 = 5, d = -2,5.
Перекладаємо завдання зрозумілою мовою. Дана нескінченна арифметична прогресія. Відоме друге число цієї прогресії: a 2 = 5.Відома різниця прогресії: d = -2,5.Потрібно знайти перший, третій, четвертий, п'ятий та шостий члени цієї прогресії.
Для наочності запишу ряд за умовою завдання. Перші шість членів, де другий член – п'ятірка:
a 1, 5, a 3, a 4, a 5, a 6,....
a 3 = a 2 + d
Підставляємо у вираз a 2 = 5і d = -2,5. Не забуваймо про мінус!
a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5
Третій член вийшов меншим за другий. Все логічно. Якщо число більше попереднього на негативнувеличину, отже, саме число вийде менше попереднього. Прогресія – спадна. Гаразд, врахуємо.) Вважаємо четвертий член нашого ряду:
a 4 = a 3 + d
a 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0
a 5 = a 4 + d
a 5=0+(-2,5)= - 2,5
a 6 = a 5 + d
a 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5
Так, члени з третього до шостого вирахували. Вийшов такий ряд:
a 1, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ....
Залишається знайти перший член a 1за відомим другим. Це крок в інший бік, вліво.) Отже, різниця арифметичної прогресії dтреба не додати до a 2, а відібрати:
a 1 = a 2 - d
a 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5
Ось і всі справи. Відповідь завдання:
7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...
Принагідно зауважу, що це завдання ми вирішували рекурентнимспособом. Це страшне слово означає, лише, пошук члена прогресії за попереднім (сусіднім) числом.Інші методи роботи з прогресією ми розглянемо далі.
З цього простого завдання можна зробити один важливий висновок.
Запам'ятовуємо:
Якщо нам відомий хоча б один член та різниця арифметичної прогресії, ми можемо знайти будь-який член цієї прогресії.
Запам'ятали? Цей нескладний висновок дозволяє вирішувати більшість завдань шкільного курсу на цю тему. Всі завдання крутяться навколо трьох основних параметрів: член арифметичної прогресії, різницю прогресії, номер члена прогресії.Все.
Зрозуміло, вся попередня алгебра не скасовується.) До прогресії причіплюються і нерівності, і рівняння, та інші речі. Але по самій прогресії- все крутиться довкола трьох параметрів.
Наприклад розглянемо деякі популярні завдання з цієї теми.
2. Запишіть кінцеву арифметичну прогресію у вигляді ряду, якщо n=5, d = 0,4 та a 1 = 3,6.
Тут все просто. Все вже дано. Потрібно згадати, як вважаються члени арифметичної прогресії, порахувати та й записати. Бажано не пропустити слова за умови завдання: "кінцеву" і " n=5". Щоб не рахувати до повного посиніння.) У цій прогресії всього 5 (п'ять) членів:
a 2 = a 1 + d = 3,6 + 0,4 = 4
a 3 = a 2 + d = 4 + 0,4 = 4,4
a 4 = a 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8
a 5 = a 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2
Залишається записати відповідь:
3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.
Ще завдання:
3. Визначте, чи буде число 7 членом арифметичної прогресії (a n), якщо a 1 = 4,1; d = 1,2.
Хм... Хто ж його знає? Як визначити?
Як-не-як... Та записати прогресію у вигляді ряду і подивитися, буде там сімка, чи ні! Вважаємо:
a 2 = a 1 + d = 4,1 + 1,2 = 5,3
a 3 = a 2 + d = 5,3 + 1,2 = 6,5
a 4 = a 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7
4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...
Зараз чітко видно, що сімку ми просто проскочилиміж 6,5 та 7,7! Не потрапила сімка до нашого ряду чисел, і, отже, сімка не буде членом заданої прогресії.
Відповідь: ні.
А ось завдання на основі реального варіанту ГІА:
4. Виписано кілька послідовних членів арифметичної прогресії:
...; 15; х; 9; 6; ...
Тут записаний ряд без кінця та початку. Немає ні номерів членів, ні різниці d. Нічого не страшного. Аби вирішити завдання досить розуміти сенс арифметичної прогресії. Дивимося і розуміємо, що можна дізнатисяіз цього ряду? Які параметри із трьох головних?
Номери членів? Немає тут жодного номера.
Зате є три числа і – увага! - Слово "послідовних"за умови. Це означає, що числа йдуть по порядку, без перепусток. А чи є в цьому ряду два сусідніхвідомих чисел? Так, є! Це 9 і 6. Отже, ми можемо обчислити різницю арифметичної прогресії! Від шістки віднімаємо попереднєчисло, тобто. дев'ятку:
Залишилися дрібниці. Яка кількість буде попередньою для ікса? П'ятнадцять. Отже, ікс можна легко знайти простим додаванням. До 15 додати різницю арифметичної прогресії:
Ось і все. Відповідь: х = 12
Наступні завдання вирішуємо самостійно. Зауваження: ці завдання - не так на формули. Чисто на розуміння сенсу арифметичної прогресії.) Просто записуємо ряд з числами-літерами, дивимось і розуміємо.
5. Знайдіть перший позитивний член арифметичної прогресії, якщо a 5 = -3; d = 1,1.
6. Відомо, що число 5,5 є членом арифметичної прогресії (a n), де a 1 = 1,6; d = 1,3. Визначте номер n цього члена.
7. Відомо, що у арифметичній прогресії a 2 = 4; a 5 = 15,1. Знайдіть a3.
8. Виписано кілька послідовних членів арифметичної прогресії:
...; 15,6; х; 3,4; ...
Знайдіть член прогресії, позначений літерою х.
9. Потяг почав рух від станції, поступово збільшуючи швидкість на 30 метрів за хвилину. Якою буде швидкість поїзда через п'ять хвилин? Відповідь дайте за км/год.
10. Відомо, що в арифметичній прогресії a 2 = 5; a 6 = -5. Знайдіть a 1.
Відповіді (безладно): 7,7; 7,5; 9,5; 9; 0,3; 4.
Все вийшло? Чудово! Можна освоювати арифметичну прогресію на рівні, у наступних уроках.
Чи не все вийшло? Чи не біда. У Особливому розділі 555 всі ці завдання розібрані по кісточках.) І, звичайно, описаний простий практичний прийом, який відразу висвічує рішення подібних завдань чітко, ясно, як на долоні!
До речі, у завданні про поїзд є дві проблемки, на яких нерідко спотикається народ. Одна – чисто за прогресією, а друга – загальна для будь-яких завдань з математики, та й фізики теж. Це переклад розмірності з однієї в іншу. В показано, як треба ці проблеми вирішувати.
У цьому вся уроці ми розглянули елементарний сенс арифметичної прогресії та її основні параметри. Цього достатньо для вирішення практично всіх завдань на цю тему. Додай dдо числа, пиши ряд, все і вирішиться.
Рішення "на пальцях" добре підходить для дуже коротких шматочків ряду, як у прикладах цього уроку. Якщо ряд довше, обчислення ускладнюються. Наприклад, якщо в задачі 9 у питанні замінити "п'ять хвилин"на "тридцять п'ять хвилин",завдання стане значно зліше.)
А ще бувають завдання прості по суті, але несусвітні за обчисленнями, наприклад:
Дана арифметична прогресія (a n). Знайти a 121 якщо a 1 =3, а d=1/6.
І що, будемо багато разів додавати по 1/6?! Це ж убитися можна!
Можна.) Якщо не знати просту формулу, за якою вирішувати подібні завдання можна за хвилину. Ця формула буде у наступному уроці. І завдання ця там вирішена. За хвилину.)
Якщо Вам подобається цей сайт...
До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)
Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)
можна познайомитися з функціями та похідними.
Або арифметична - це вид впорядкованої числової послідовності, властивості якої вивчають у шкільному алгебри курсі. У статті докладно розглянуто питання, як знайти суму арифметичної прогресії.
Що це за прогрес?
Перш ніж переходити до розгляду питання (як знайти суму арифметичної прогресії), варто зрозуміти, про що йтиметься.
Будь-яка послідовність дійсних чисел, що виходить шляхом додавання (віднімання) деякого значення з кожного попереднього числа, називається алгебраїчною (арифметичною) прогресією. Це визначення в перекладі на мову математики набуває форми:
Тут i - порядковий номер ряду елемента a i . Таким чином, знаючи лише одне початкове число, можна легко відновити весь ряд. Параметр d у формулі називається різницею прогресії.
Можна легко показати, що для ряду чисел, що розглядається, виконується наступна рівність:
a n = a 1 + d * (n – 1).
Тобто знаходження значення n-го по порядку елемента слід n-1 раз додати різницю d до першого елементу a 1 .
Чому дорівнює сума арифметичної прогресії: формула
Перш ніж наводити формулу для зазначеної суми, варто розглянути простий окремий випадок. Дана прогресія натуральних чисел від 1 до 10, необхідно знайти їхню суму. Оскільки членів у прогресії небагато (10), можна вирішити завдання в лоб, тобто підсумувати всі елементи по порядку.
S10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.
Варто врахувати одну цікаву річ: оскільки кожен член відрізняється від наступного на те саме значення d = 1, то попарне підсумовування першого з десятим, другого з дев'ятим і так далі дасть однаковий результат. Дійсно:
11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.
Як видно, цих сум всього 5, тобто рівно вдвічі менше, ніж кількість елементів ряду. Тоді, помножуючи число сум (5) на результат кожної суми (11), ви прийдете до отриманого в першому прикладі результату.
Якщо узагальнити ці міркування, можна записати такий вираз:
S n = n*(a 1 + a n)/2.
Цей вираз показує, що зовсім не обов'язково підсумовувати всі елементи, достатньо знати значення першого a 1 і останнього a n , а також загального числа доданків n.
Вважається, що вперше до цієї рівності здогадався Гаус, коли шукав рішення на задане його шкільним учителем завдання: підсумувати 100 перших цілих чисел.
Сума елементів від m до n: формула
Формула, наведена в попередньому пункті, дає відповідь на питання, як знайти суму арифметичної прогресії (перших елементів), але часто в завданнях необхідно підсумувати ряд чисел, що стоять у середині прогресії. Як це зробити?
Відповісти на це питання найпростіше, розглядаючи наступний приклад: нехай необхідно знайти суму членів від m-го до n-го. Для розв'язання задачі слід подати заданий відрізок від m до n прогресії у вигляді нового числового ряду. У такому уявленні m-й член am буде першим, а an стане під номер n-(m-1). У цьому випадку, застосовуючи стандартну формулу для суми, вийде такий вираз:
S m n = (n - m + 1) * (a m + a n)/2.
Приклад використання формул
Знаючи, як визначити суму арифметичної прогресії, варто розглянути простий приклад використання наведених формул.
Нижче дана числова послідовність, слід знайти суму її членів, починаючи з 5-го та закінчуючи 12-м:
Наведені числа свідчать, що різниця d дорівнює 3. Використовуючи вираз для n-го елемента, можна знайти значення 5-го та 12-го членів прогресії. Виходить:
a 5 = a 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 = 8;
a 12 = a 1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.
Знаючи значення чисел, що стоять на кінцях алгебраїчної прогресії, що розглядається, а також знаючи, які номери в ряді вони займають, можна скористатися формулою для суми, отриманої в попередньому пункті. Вийде:
S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.
Варто зазначити, що це значення можна було отримати інакше: спочатку знайти суму перших 12 елементів за стандартною формулою, потім обчислити суму перших 4 елементів за тією ж формулою, після чого відняти з першої другої суми.
Перш ніж ми почнемо вирішувати завдання на арифметичну прогресіюРозглянемо, що таке числова послідовність, оскільки арифметична прогресія - це окремий випадок числової послідовності.
Числова послідовність - це числова множина, кожен елемент якої має свій порядковий номер. Елементи цієї множини називаються членами послідовності. Порядковий номер елемента послідовності позначається індексом:
Перший елемент послідовності;
П'ятий елемент послідовності;
- "енний" елемент послідовності, тобто. елемент, "стоячий у черзі" під номером n.
Між значенням елемента послідовності та його порядковим номером існує залежність. Отже ми можемо розглядати послідовність як функцію, аргументом якої є порядковий номер елемента послідовності. Тобто можна сказати, що послідовність – це функція від натурального аргументу:
Послідовність можна задати трьома способами:
1 . Послідовність можна поставити за допомогою таблиці.У цьому випадку ми просто задаємо значення кожного члена послідовності.
Наприклад, Хтось вирішив зайнятися особистим тайм-менеджментом, і для початку порахувати протягом тижня, скільки часу він проводить у ВКонтакті. Записуючи час у таблицю, він отримає послідовність, що складається із семи елементів:
У першому рядку таблиці вказано номер дня тижня, у другому – час у хвилинах. Ми бачимо, що в понеділок хтось провів ВКонтакте 125 хвилин, тобто в четвер - 248 хвилин, а тобто в п'ятницю всього 15 хвилин.
2 . Послідовність можна поставити за допомогою формули n-го члена.
І тут залежність значення елемента послідовності з його номера виражається безпосередньо як формули.
Наприклад, якщо , то
Щоб знайти значення елемента послідовності із заданим номером, ми номер елемента підставляємо формулу n-го члена.
Те саме ми робимо, якщо потрібно знайти значення функції, якщо відомо значення аргументу. Ми значення аргументу підставляємо замість рівняння функції:
Якщо, наприклад, 
, то
Ще раз зауважу, що у послідовності, на відміну довільної числової функції, аргументом може лише натуральне число.
3 . Послідовність можна встановити за допомогою формули, що виражає залежність значення члена послідовності з номером n від значення попередніх членів. У цьому випадку нам недостатньо знати лише номер члена послідовності, щоб знайти його значення. Нам потрібно встановити перший член або кілька перших членів послідовності.
Наприклад, розглянемо послідовність 
, 
Ми можемо знаходити значення членів послідовності один за одним, починаючи з третього:
Тобто щоразу, щоб знайти значення n-го члена послідовності, ми повертаємося до двох попередніх. Такий спосіб завдання послідовності називається рекурентнимвід латинського слова recurro- Повертатися.
Тепер ми можемо надати визначення арифметичної прогресії. Арифметична прогресія - це простий окремий випадок числової послідовності.
Арифметичною прогресією називається числова послідовність, кожен член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому, складеному з одним і тим самим числом.
Число називається різницею арифметичної прогресії. Різниця арифметичної прогресії може бути позитивною, негативною або рівною нулю.
Якщо title="d>0"">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} зростаючою.
Наприклад, 2; 5; 8; 11;...
Якщо , то кожен член арифметичної прогресії менший за попередній, і прогресія є спадаючою.
Наприклад, 2; -1; -4; -7;...
Якщо , то всі члени прогресії дорівнюють одному й тому ж числу, і прогресія є стаціонарний.
Наприклад, 2;2;2;2;...
Основна властивість арифметичної прогресії:
Подивимося на малюнок.
Ми бачимо, що
, і в той же час
Склавши ці дві рівності, отримаємо:
.
Розділимо обидві частини рівності на 2:
Отже, кожен член арифметичної прогресії, починаючи з другого, дорівнює середньому арифметичному двох сусідніх:
Більше того, оскільки
, і в той же час
, то
, і, отже,
Кожен член арифметичної прогресії, починаючи з title="k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих.
!}
Формула го члена.
Ми бачимо, що для членів арифметичної прогресії виконуються співвідношення:
і, нарешті,
Ми отримали формулу n-го члена.
ВАЖЛИВО!Будь-який член арифметичної прогресії можна виразити через і. Знаючи перший член і різницю арифметичної прогресії можна знайти її член.
Сума n членів арифметичної прогресії.
У довільній арифметичній прогресії суми членів, рівновіддалених від крайніх рівні між собою:
Розглянемо арифметичну прогресію, у якій n членів. Нехай сума n членів цієї прогресії дорівнює.
Розташуємо члени прогресії спочатку в порядку зростання номерів, а потім в порядку зменшення:
Складемо попарно:
Сума у кожній дужці дорівнює , число пар дорівнює n.
Отримуємо:
Отже, суму n членів арифметичної прогресії можна знайти за формулами:
Розглянемо вирішення завдань на арифметичну прогресію.
1 . Послідовність задана формулою n-го члена: . Доведіть, що ця послідовність є арифметичною прогресією.
Доведемо, що різниця між двома сусідніми членами послідовності дорівнює одному й тому ж числу.
Ми отримали, що різниця двох сусідніх членів послідовності не залежить від їхнього номера і є константою. Отже, за визначенням, ця послідовність є арифметичною прогресією.
2 . Дана арифметична прогресія -31; -27;
а) Знайдіть 31 член прогресії.
б) Визначте, чи входить до цієї прогресії число 41.
а)Ми бачимо, що ;
Запишемо формулу n-го члена нашої прогресії.
У загальному випадку 
У нашому випадку 
тому 