У розділі курсу, присвяченому основним поняттям теорії ймовірностей, ми вже ввели до розгляду надзвичайно важливе поняття випадкової величини. Тут ми дамо подальший розвиток цього поняття та вкажемо способи, за допомогою яких випадкові величини можуть бути описані та характеризуються.
Як вже було сказано, випадковою величиною називається величина, яка в результаті досвіду може набути того чи іншого значення, невідомо заздалегідь – яке саме. Ми домовилися також розрізняти випадкові величини перервного (дискретного) та безперервного типу. Можливі значення перервних величин можуть бути перераховані заздалегідь. Можливі значення безперервних величин неможливо знайти заздалегідь перераховані і безперервно заповнюють певний проміжок.
Приклади випадкових перервних величин:
1) кількість появи герба при трьох киданнях монети (можливі значення 0, 1, 2, 3);
2) частота появи герба у тому ж досвіді (можливі значення);
3) кількість елементів, що відмовили в приладі, що складається з п'яти елементів (можливіше значення 0, 1, 2, 3, 4, 5);
4) кількість попадань у літак, достатня для виведення його з ладу (можливі значення 1, 2, 3, …, n, …);
5) число літаків, збитих у повітряному бою (можливі значення 0, 1, 2, …, N, де – загальна кількість літаків, що у бою).
Приклади безперервних випадкових величин:
1) абсцис (ордината) точки влучення при пострілі;
2) відстань від точки влучення до центру мішені;
3) помилка вимірника висоти;
4) час безвідмовної роботи радіолампи.
Умовимося надалі випадкові величини позначати великими літерами, які можливі значення – відповідними малими літерами. Наприклад, – кількість влучень при трьох пострілах; Можливі значення: .
Розглянемо перервну випадкову величину з можливими значеннями. Кожне з цих значень можливо, але не достовірно, і величина Х може прийняти кожне з них певною ймовірністю. Через війну досвіду величина Х прийме одне з цих значень, тобто. відбудеться одна з повної групи несумісних подій:
Позначимо ймовірність цих подій літерами p з відповідними індексами:
Оскільки несумісні події (5.1.1) утворюють повну групу, то
тобто. сума ймовірностей всіх можливих значень випадкової величини дорівнює одиниці. Ця сумарна можливість якимось чином розподілена між окремими значеннями. Випадкова величина буде повністю описана з імовірнісного погляду, якщо ми поставимо цей розподіл, тобто. точно вкажемо, якою ймовірністю володіє кожна з подій (5.1.1). Цим ми встановимо так званий закон розподілу випадкової величини.
Законом розподілу випадкової величини називається будь-яке співвідношення, що встановлює зв'язок між можливими значеннями випадкової величини та відповідними ймовірностями. Про випадкову величину ми говоритимемо, що вона підпорядкована цьому закону розподілу.
Встановимо форму, в якій може бути заданий закон розподілу випадкової перервної величини . Найпростішою формою завдання цього закону є таблиця, в якій перераховані можливі значення випадкової величини та відповідні їм ймовірності:
Таку таблицю ми називатимемо поруч розподілу випадкової величини.
Щоб надати ряду розподілу наочніший вигляд, часто вдаються до його графічного зображення: по осі абсцис відкладаються можливі значення випадкової величини, а по осі ординат – ймовірності цих значень. Для наочності одержані точки з'єднуються відрізками прямих. Така фігура називається багатокутником розподілу (рис. 5.1.1). Багатокутник розподілу, як і ряд розподілу, повністю характеризує випадкову величину; він є однією із форм закону розподілу.
Іноді зручною виявляється так звана "механічна" інтерпретація низки розподілів. Уявімо собі, що деяка маса, що дорівнює одиниці, розподілена по осі абсцис так, що в окремих точках зосереджені відповідно маси . Тоді ряд розподілу інтерпретується як система матеріальних точок з якимись масами, які розташовані на осі абсцис.
Розглянемо кілька прикладів перервних випадкових величин зі своїми законами розподілу.
Приклад 1. Виробляється один досвід, в якому може з'явитися або не з'явитись подія. Імовірність події дорівнює 0,3. Розглядається випадкова величина – число появи події у цьому досвіді (тобто. характеристична випадкова величина події , приймає значення 1, якщо вона з'явиться, і 0, а то й з'явиться). Побудувати ряд розподілу та багатокутник розподілу величини.
Рішення. Розмір має всього два значення: 0 і 1. Ряд розподілу величини має вигляд:
Багатокутник розподілу зображено на рис. 5.1.2.
Приклад 2. Стрілець робить три постріли по мішені. Імовірність влучення в ціль при кожному пострілі дорівнює 0,4. За кожне влучення стрілку зараховується 5 очок. Побудувати низку розподілу числа вибитих очок.
Рішення. Позначимо кількість вибитих очок. Можливі значення величини: .
Імовірність цих значень знаходимо за теоремою про повторення дослідів:
Ряд розподілу величини має вигляд:
Багатокутник розподілу зображено на рис. 5.1.3.
Приклад 3. Імовірність появи події щодо одного досвіді дорівнює . Виробляється ряд незалежних дослідів, які продовжуються до першої появи події, після чого досліди припиняються. Випадкова величина – кількість вироблених дослідів. Побудувати ряд розподілу величини.
Рішення. Можливі значення величини: 1, 2, 3, … (теоретично вони нічим не обмежені). Для того щоб величина прийняла значення 1, необхідно, щоб подія відбулася в першому ж досвіді; ймовірність цього дорівнює. Для того, щоб величина прийняла значення 2, потрібно, щоб у першому досвіді подія не з'явилася, а в другому з'явилася; ймовірність цього дорівнює, де, і т.д. Ряд розподілу величини має вигляд:
Перші п'ять ординат багатокутника розподілу на випадок показані на рис. 5.1.4.
Приклад 4. Стрілець веде стрілянину по мішені до першого влучення, маючи боєзапас 4 патрони. Імовірність влучення при кожному пострілі дорівнює 0,6. Побудувати ряд розподілу боєзапасу, що залишився невитраченим.
Випадкові величини: дискретні та безперервні.
Під час проведення стохастичного експерименту формується простір елементарних подій – можливих результатів цього експерименту. Вважають, що на цьому просторі елементарних подій задано випадкова величина X, якщо заданий закон (правило) яким кожному елементарному події зіставляється число. Таким чином, випадкову величину X можна розглядати як функцію, задану на просторі елементарних подій.
■ Випадкова величина- величина, яка при кожному випробуванні приймає те чи інше числове значення (перед невідомо, яке саме), що залежить від випадкових причин, які заздалегідь не можуть бути враховані. Випадкові величини позначають великими літерами латинського алфавіту, а можливі значення випадкової величини малими. Так, при киданні грального кубика відбувається подія, пов'язана з числом x , де x - число очок, що випало. Число очок – випадкова величина, а числа 1, 2, 3, 4, 5, 6 – можливі значення цієї величини. Відстань, яка пролетить снаряд при пострілі з гармати - теж випадкова величина (залежить від установки прицілу, сили та напрямки вітру, температури та інших факторів), а можливі значення цієї величини належать деякому проміжку (a; b).
■ Дискретна випадкова величина- Випадкова величина, яка приймає окремі, ізольовані можливі значення з певними ймовірностями. Число можливих значень дискретної випадкової величини може бути кінцевим та нескінченним.
■ Безперервна випадкова величина- Випадкова величина, яка може приймати всі значення з деякого кінцевого або нескінченного проміжку. Число можливих значень безперервної випадкової величини - нескінченно.
Наприклад, кількість очок, що випали при киданні кубика, бальна оцінка за контрольну роботу - дискретні випадкові величини; відстань, що пролітає снаряд при стрільбі з гармати, похибка вимірювань показника часу засвоєння навчального матеріалу, зростання та вага людини – безперервні випадкові величини.
Закон розподілу випадкової величини– відповідність між можливими значеннями випадкової величини та його ймовірностями, тобто. кожному можливому значенню x i ставиться у відповідність ймовірність p i , з якою випадкова величина може прийняти це значення. Закон розподілу випадкової величини може бути заданий таблично (у формі таблиці), аналітично (як формула) іграфічно.
Нехай дискретна випадкова величина X приймає значення x 1 x 2 ... x n з ймовірностями p 1 p 2 ... pn відповідно, тобто. P(X=x 1) = p 1 , P(X=x 2) = p 2 , …, P(X=x n) = p n . При табличному завданні закону розподілу цієї величини перший рядок таблиці містить можливі значення x 1 , x 2 , …, x n , а другий їх ймовірності
| X | x 1 | x 2 | … | x n |
| p | p 1 | p 2 | … | p n |
В результаті випробування дискретна випадкова величина X приймає одне і тільки одне з можливих значень, тому події X = x 1, X = x 2, …, X = x n утворюють повну групу попарно несумісних подій, і, отже, сума ймовірностей цих подій дорівнює одиниці , тобто. p 1 + p 2 + ... + p n = 1.
Закон розподілу дискретної випадкової величини. Багатокутник (полігон) розподілу.
Як відомо, випадковою величиною називається змінна величина, яка може набувати тих чи інших значень залежно від випадку. Випадкові величини позначають великими літерами латинського алфавіту (X, Y, Z), які значення – відповідними малими літерами (x, y, z). Випадкові величини поділяються на перервні (дискретні) та безперервні.
Дискретною випадковою величиною називається випадкова величина, що приймає лише кінцеве чи нескінченне (лічильна) безліч значень з певними ненульовими ймовірностями.
Законом розподілу дискретної випадкової величининазивається функція, що зв'язує значення випадкової величини з відповідними ймовірностями. Закон розподілу може бути заданий одним із таких способів.
1. Закон розподілу може бути заданий таблицею:
де λ>0, k = 0, 1, 2, … .
в) за допомогою функції розподілу F(x), що визначає для кожного значення x ймовірність того, що випадкова величина X прийме значення менше x, тобто. F(x) = P(X< x).
 |
Властивості функції F(x)
3. Закон розподілу може бути заданий графічно – багатокутником (полігоном) розподілу (дивись задачу 3).
Зазначимо, що з вирішення деяких завдань необов'язково знати закон розподілу. У деяких випадках достатньо знати одне або кілька чисел, що відображають найважливіші особливості закону розподілу. Це може бути число, що має сенс «середнього значення» випадкової величини, або число, що показує середній розмір відхилення випадкової величини від свого середнього значення. Числа такого роду називають числовими характеристиками випадкової величини.
Основні числові характеристики дискретної випадкової величини:
- Mатематичне очікування (середнє значення) дискретної випадкової величини M(X)=Σ x i p i .
Для біномного розподілу M(X)=np, для розподілу Пуассона M(X)=λ - Дисперсія дискретної випадкової величини D(X)= M2 або D(X)=M(X2)−2. Різниця X-M(X) називають відхиленням випадкової величини від її математичного очікування.
Для біномного розподілу D(X)=npq, для розподілу Пуассона D(X)=λ - Середнє квадратичне відхилення (стандартне відхилення) σ(X)=√D(X).
· Для наочності уявлення варіаційного ряду велике значення мають його графічні зображення. Графічно варіаційний ряд може бути зображений у вигляді полігону, гістограми та кумуляти.
· Полігон розподілу (дослівно – багатокутник розподілу) називають ламану, яка будується у прямокутній системі координат. Розмір ознаки відкладається на осі абсцис, відповідні частоти (чи відносні частоти ) – по осі ординат. Крапки (або ) з'єднують відрізками прямих і одержують полігон розподілу. Найчастіше полігони застосовуються зображення дискретних варіаційних рядів, але їх можна застосовувати й у інтервальних рядів. У цьому випадку осі абсцис відкладаються точки, відповідні серединам даних інтервалів.
Розглянутий вище приклад дозволяє зробити висновок, що значення, які використовуються для аналізу залежать від випадкових причин, тому такі змінні величини називаються випадковими. У більшості випадків вони з'являються в результаті спостережень або експериментів, які зводяться в таблиці, в першому рядку якої записуються різні значення випадкової величини Х, що спостерігаються, а в другому - відповідні частоти. Тому така таблиця називається емпіричним розподілом випадкової величини Хабо варіаційним рядом. Для варіаційного ряду ми знаходили середнє значення, дисперсію та середнє квадратичне відхилення.
безперервнийякщо її значення повністю заповнюють деякий числовий проміжок.
Випадкова величина називається дискретний, якщо всі її значення можна занумерувати (зокрема, якщо воно набуває кінцевого числа значень).
Слід зазначити два характерні властивостітаблиці розподілу дискретної випадкової величини:
Усі числа другого рядка таблиці позитивні;
Їхня сума дорівнює одиниці.
Відповідно до проведених досліджень можна припустити, що при збільшенні числа спостережень емпіричний розподіл наближається до теоретичного, заданого в табличній формі.
Важливою характеристикою дискретної випадкової величини є її математичне очікування.
Математичним очікуваннямдискретної випадкової величини Х, що набуває значення , , …, .з ймовірностями , , …, називається число:
Математичне очікування також називають середнім значенням.
До інших важливих характеристик випадкової величини відносяться дисперсія (8) та середнє відхилення квадратичне (9).
де: математичне очікування величини X.
.
(9)
Графічне представлення інформації значно наочніше, ніж табличне, тому можливість електронних таблиць MS Excel представляти розміщені у яких дані як різних діаграм, графіків і гістограм використовується дуже часто. Так, крім таблиці, розподіл випадкової величини зображують також за допомогою багатокутника розподілу. Для цього на координатній площині будують точки з координатами , , … і з'єднують їх прямими відрізками.
Для отримання прямокутника розподілу за допомогою MS Excel необхідно:
1. Вибрати закладку «Вставка» ® «Діаграма з областями» на панелі інструментів.
2. Активізувати область, що з'явилася на аркуші MS Excel, для діаграми правою кнопкою миші і в контекстному меню скористатися командою «Вибрати дані».
Мал. 6. Вибір джерела даних
Спочатку визначимо діапазон даних діаграми. Для цього у відповідну область діалогового вікна "Вибір джерела даних" введемо діапазон C6:I6 (в ньому представлені значення частот під назвою Ряд1, рис. 7).
Мал. 7. Додавання ряду 1
Для зміни назви ряду необхідно вибрати кнопку змінити область «Елементи легенди (ряди)» (див. рис. 7) та назвати її .
Для того, щоб додати підпис осі X, необхідно скористатися кнопкою «Змінити» області «Підписи горизонтальної осі (категорії)»
(рис. 8) та вказати значення ряду (діапазон $C$6:$I$6).
Мал. 8. Остаточний вид вікна діалогу "Вибір джерела даних"
Вибір кнопки у діалоговому вікні «Вибір джерела даних»
(Мал. 8) дозволить отримати необхідний багатокутник розподілу випадкової величини (Мал. 9).
Мал. 9. Багатокутник розподілу випадкової величини
Внесемо деякі зміни до дизайну отриманої графічної інформації:
Додамо підпис осі Х;
Відредагуємо підпис осі Y;
- 
додамо заголовок для діаграми "Багатокутник розподілу".
Для цього виберемо в області панелі інструментів закладку «Робота з діаграмами» закладку «Макет» і в панелі інструментів, що з'явилася, відповідні кнопки: «Назва діаграми», «Назви осей» (рис. 10).
Мал. 10. Підсумковий вид багатокутника розподілу випадкової величини
Відповідь: Розглянемо перервну випадкову величину Хз можливими значеннями. Кожне з цих значень можливе, але не достовірно, і величина Хможе прийняти кожне з них з певною ймовірністю. В результаті досвіду величина Хприйме одне з цих значень, тобто станеться одне з повної групи несумісних подій:
Позначимо ймовірність цих подій буквами рз відповідними індексами:
Т. е. розподіл ймовірностей різних значень може бути заданий таблицею розподілу, в якій у верхньому рядку вказуються всі значення, що приймаються даною дискретною випадковою величиною, а в нижній - ймовірності відповідних їй значень. Оскільки несумісні події (3.1) утворюють повну групу, тобто сума ймовірностей всіх можливих значень випадкової величини дорівнює одиниці. Розподіл ймовірностей безперервних випадкових величин не можна у вигляді таблиці, оскільки кількість значень таких випадкових величин нескінченно навіть у обмеженому інтервалі. Крім того, ймовірність отримати якесь певне значення дорівнює нулю. Випадкова величина буде повністю описана з імовірнісної точки зору, якщо ми поставимо цей розподіл, тобто в точності вкажемо, якою ймовірністю володіє кожна з подій. Цим ми встановимо так званий закон розподілу випадкової величини. Законом розподілу випадкової величини називається будь-яке співвідношення, що встановлює зв'язок між можливими значеннями випадкової величини та відповідними ймовірностями. Про випадкову величину ми говоритимемо, що вона підпорядкована цьому закону розподілу. Встановимо форму, в якій може бути заданий закон розподілу випадкової перервної величини X.Найпростішою формою завдання цього закону є таблиця, в якій перераховані можливі значення випадкової величини та відповідні їм ймовірності:
| x i | x 1 | x 2 | × × × | x n |
| p i | p 1 | p 2 | × × × | p n |
Таку таблицю ми називатимемо рядом розподілу випадкової величини X.
Мал. 3.1
Щоб надати ряду розподілу наочніший вигляд, часто вдаються до його графічного зображення: по осі абсцис відкладаються можливі значення випадкової величини, а по осі ординат – ймовірності цих значень. Для наочності одержані точки з'єднуються відрізками прямих. Така постать називається багатокутником розподілу (рис. 3.1). Багатокутник розподілу, як і ряд розподілу, повністю характеризує випадкову величину. він є однією із форм закону розподілу. Іноді зручною виявляється так звана "механічна" інтерпретація низки розподілів. Уявімо, що деяка маса, що дорівнює одиниці, розподілена по осі абсцис так, що в nокремих точках зосереджені відповідно до маси 
. Тоді ряд розподілу інтерпретується як система матеріальних точок з якимись масами, які розташовані на осі абсцис.
Досвідом називається всяке здійснення певних умов і дій за яких спостерігається випадкове явище, що вивчається. Досліди можна характеризувати якісно та кількісно. Випадковою називається величина, яка в результаті досвіду може набувати того чи іншого значення, причому заздалегідь не відомо яке саме.
Випадкові величини прийнято позначати (X, Y, Z), а відповідні значення (x, y, z)
Дискретними називаються випадкові величини, що приймають окремі ізольовані один від одного значення, які можна переоцінити. Безперервними величини можливі значення яких безперервно заповнюють певний діапазон. Законом розподілу випадкової величини називається будь-яке співвідношення встановлює зв'язок між можливими значеннями випадкових величин і ймовірності, що їм відповідають. Ряд та багатокутник розподілу. Найпростішою формою закону розподілу дискретної величини є низка розподілу. Графічною інтерпретацією низки розподілів є багатокутник розподілу.
Ви також можете знайти цікаву інформацію в науковому пошуковику Otvety.Online. Скористайтеся формою пошуку:
Ще на тему 13.Дискретна випадкова величина. Багатокутник розподілу. Операції з випадковими величинами, приклад.
- 13. Дискретна випадкова величина та закон її розподілу. Багатокутник розподілу. Операції із випадковими величинами. приклад.
- Поняття «випадкова величина» та її опис. Дискретна випадкова величина та її закон (ряд) розподілу. Незалежні випадкові величини. приклади.
- 14. Випадкові величини, їхні види. Закон розподілу імовірності дискретної випадкової величини (ДСВ). Способи будівлі випадкових величин (СВ).
- 16. Закон розподілу дискретної випадкової величини. Числові характеристики дискретної випадкової величини: математичне очікування, дисперсія та середнє відхилення.
- Математичні операції над дискретними випадковими величинами та приклади побудови законів розподілу для КХ,Х"1, X + К, XV за заданими розподілами незалежних випадкових величин X і У.
- Концепція випадкової величини. Закон розподілу дискретної случ. величини. Математичні операції над випадком. величинами.