Підготовка до підсумкового тестування з математики включає важливий розділ - «Логарифми». Завдання з цієї теми обов'язково містяться у ЄДІ. Досвід минулих років показує, що логарифмічні рівняння викликали складнощі у багатьох школярів. Тому розуміти, як знайти правильну відповідь, та оперативно справлятися з ними мають учні з різним рівнем підготовки.
Здайте атестаційне випробування успішно за допомогою освітнього порталу «Школкове»!
Під час підготовки до єдиного державного іспиту випускникам старших класів потрібне достовірне джерело, що надає максимально повну та точну інформацію для успішного вирішення тестових завдань. Однак підручник не завжди під рукою, а пошук необхідних правил і формул в Інтернеті часто вимагає часу.
Освітній портал «Школкове» дозволяє займатися підготовкою до ЄДІ у будь-якому місці у будь-який час. На нашому сайті пропонується найбільш зручний підхід до повторення та засвоєння великої кількості інформації з логарифмів, а також з одним і кількома невідомими. Почніть із легких рівнянь. Якщо ви впоралися з ними легко, переходьте до складніших. Якщо у вас виникли проблеми з вирішенням певної нерівності, ви можете додати її до «Вибраного», щоб повернутися до неї пізніше.
Знайти необхідні формули для виконання завдання, повторити окремі випадки та способи обчислення кореня стандартного логарифмічного рівняння ви можете, заглянувши до розділу «Теоретична довідка». Викладачі «Школково» зібрали, систематизували та виклали всі необхідні для успішної здачі матеріали у максимально простій та зрозумілій формі.
Щоб без проблем справлятися із завданнями будь-якої складності, на нашому порталі ви можете ознайомитися з вирішенням деяких типових логарифмічних рівнянь. Для цього перейдіть до розділу «Каталоги». У нас представлена велика кількість прикладів, у тому числі з рівняннями профільного рівня ЄДІ з математики.
Скористатися нашим порталом можуть учні зі шкіл у всій Росії. Для початку занять просто зареєструйтесь у системі та приступайте до вирішення рівнянь. Для закріплення результатів радимо повертатись на сайт «Школкове» щодня.
Розв'язання логарифмічних рівнянь. Частина 1.
Логарифмічним рівняннямназивається рівняння, у якому невідоме міститься під знаком логарифму (зокрема, на підставі логарифму).
Найпростіше логарифмічне рівняннямає вигляд:
Рішення будь-якого логарифмічного рівнянняпередбачає перехід від логарифмів до виразів, які стоять під знаком логарифмів. Однак ця дія розширює область допустимих значень рівняння та може призвести до появи сторонніх коренів. Щоб уникнути появи сторонніх коренів, можна вчинити одним із трьох способів:
1. Зробити рівносильний перехідвід вихідного рівняння до системи, що включає
в залежності від того, яка нерівність чи простіше.
Якщо рівняння містить невідоме на підставі логарифму:
то ми переходимо до системи:
2. Окремо знайти область допустимих значень рівнянняпотім вирішити рівняння і перевірити, чи задовольняють знайдені рішення рівняння.
3. Розв'язати рівняння, а потім зробити перевірку:підставити знайдені рішення у вихідне рівняння, і перевірити, чи отримаємо ми правильну рівність.
Логарифмічне рівняння будь-якого рівня складності зрештою завжди зводиться до найпростішого логарифмічного рівняння.
Всі логарифмічні рівняння можна умовно поділити на чотири типи:
1 . Рівняння, що містять логарифми лише першою мірою. Вони за допомогою перетворень та використання приводяться до вигляду
приклад. Розв'яжемо рівняння:
Прирівняємо вирази, що стоять під знаком логарифму:
Перевіримо, чи задовольняє наш корінь рівняння:
Так, задовольняє.
Відповідь: х = 5
2 . Рівняння, що містять логарифми в ступені, відмінному від 1 (зокрема, у знаменнику дробу). Такі рівняння вирішуються за допомогою введення заміни змінної.
приклад.Розв'яжемо рівняння:
Знайдемо ОДЗ рівняння:
Рівняння містить логарифми у квадраті, тому вирішується за допомогою заміни змінної.
Важливо!
Перш ніж вводити заміну, потрібно "розтягти" логарифми, що входять до складу рівняння на "цеглинки", використовуючи властивості логарифмів.
При "розтягуванні" логарифмів важливо дуже акуратно застосовувати властивості логарифмів:
Крім того, тут є ще одне тонке місце, і щоб уникнути поширеної помилки, скористаємося проміжною рівністю: запишемо ступінь логарифму в такому вигляді:
Аналогічно,
Підставимо отримані вирази у вихідне рівняння. Отримаємо: Тепер бачимо, що невідоме міститься у рівнянні у складі .Введемо заміну
З рівняннями ми всі знайомі з початкових класів. Ще там ми вчилися вирішувати найпростіші приклади і треба визнати, що вони знаходять своє застосування навіть у вищій математиці. З рівняннями все просто, в тому числі з квадратними. Якщо у вас проблеми з цією темою, рекомендуємо вам повторити її.
Логарифми ви, мабуть, теж уже пройшли. Тим не менш, вважаємо за важливе розповісти, що це для тих, хто ще не знає. Логарифм прирівнюється до ступеня, в який потрібно звести основу, щоб вийшло число, яке стоїть праворуч від знака логарифму. Наведемо приклад, виходячи з якого вам все стане ясно.
Якщо ви зведете 3 в четвертий ступінь вийде 81. Тепер підставте за аналогією числа, і остаточно зрозумієте, як вирішуються логарифми. Тепер залишилося лише поєднати два розглянуті поняття. Спочатку ситуація видається надзвичайно складною, але при найближчому розгляді ваги стає на свої місця. Ми впевнені, що після цієї короткої статті у вас не буде проблем у цій частині ЄДІ.
Сьогодні виділяють безліч способів вирішення подібних конструкцій. Ми розповімо про найпростіші, ефективніші та найбільш застосовні у разі завдань ЄДІ. Рішення логарифмічних рівнянь має починатися із найпростішого прикладу. Найпростіші логарифмічні рівняння складаються з функції та однієї змінної у ній.
Важливо врахувати, що x є всередині аргументу. A та b повинні бути числами. У такому разі ви можете просто висловити функцію через число в мірі. Виглядає це в такий спосіб.
Зрозуміло, рішення логарифмічного рівняння таким способом призведе до правильної відповіді. Ніг проблема переважної більшості учнів у тому випадку полягає в тому, що вони не розуміють, що і звідки береться. В результаті доводиться миритися з помилками та не отримувати бажаних балів. Найприкрішою помилкою буде, якщо ви переплутаєте літери місцями. Щоб розв'язати рівняння у такий спосіб, треба зазубрити цю стандартну шкільну формулу, бо зрозуміти її складно.
Щоб було простіше, можна вдатися до іншого способу – канонічної форми. Ідея вкрай проста. Знову зверніть увагу на завдання. Пам'ятайте, що a – число, а не функція або змінна. А не одно одному і більше нуля. На b жодних обмежень діє. Тепер із усіх формул згадуємо одну. B можна виразити в такий спосіб.
З цього випливає, що всі вихідні рівняння з логарифмами можна подати у вигляді:
Тепер ми можемо відкинути логарифми. Вийде проста конструкція, яку ми вже бачили раніше.
Зручність даної формули полягає в тому, що її можна застосовувати в різних випадках, а не тільки для найпростіших конструкцій.
Не хвилюйтеся щодо ООФ!
Багато досвідчені математики помітять, що ми не приділили уваги області визначення. Зводиться правило до того, що F(x) обов'язково більше 0. Ні, ми не прогавили цей момент. Зараз ми говоримо про ще одну серйозну перевагу канонічної форми.
Зайвого коріння тут не виникне. Якщо змінна зустрічатиметься лише одному місці, то область визначення перестав бути необхідністю. Вона виконується автоматично. Щоб переконатися в цій думці, займіться розв'язанням кількох простих прикладів.
Як вирішувати логарифмічні рівняння з різними підставами
Це вже складні логарифмічні рівняння, і підхід до їх вирішення має бути особливим. Тут рідко виходить обмежитися горезвісною канонічною формою. Почнемо нашу докладну розповідь. Ми маємо таку конструкцію.
Зверніть увагу на дріб. У ній є логарифм. Якщо ви побачите таке завдання, варто згадати один цікавий прийом.
Що це означає? Кожен логарифм можна подати у вигляді приватного двох логарифмів зі зручною основою. І в даної формули є окремий випадок, який застосовується з цим прикладом (маємо на увазі, якщо c = b).
Саме такий дріб ми й бачимо у нашому прикладі. Таким чином.
По суті, перевернули дріб і набули більш зручного виразу. Запам'ятайте цей алгоритм!
Тепер потрібно, що логарифмічне рівняння не мало різних підстав. Уявімо основу дробом.
У математиці є правило, виходячи з якого, можна винести ступінь із основи. Виходить така конструкція.
Здавалося б, що заважає тепер перетворити наш вираз на канонічну форму та елементарно вирішити її? Не все так просто. Дробів перед логарифмом не повинно бути. Виправляємо цю ситуацію! Дріб дозволяється виносити як ступінь.
Відповідно.
Якщо підстави однакові, ми можемо усунути логарифми і прирівняти самі вирази. Так ситуація стане у рази простішою, ніж була. Залишиться елементарне рівняння, яке кожен із нас умів вирішувати ще у 8 або навіть у 7 класі. Розрахунки ви зможете зробити самі.
Ми отримали єдино правильне коріння цього логарифмічного рівняння. Приклади розв'язання логарифмічного рівняння досить прості, чи не так? Тепер і у вас вдасться самостійно розібратися навіть із найскладнішими завданнями для підготовки та здачі ЄДІ.
Що зрештою?
У випадку будь-яких логарифмічних рівнянь ми виходимо з одного дуже важливого правила. Необхідно діяти так, щоб навести вираз до максимально простого вигляду. У такому разі у вас буде більше шансів не просто вирішити завдання правильно, але ще й зробити це максимально простим та логічним шляхом. Саме так завжди діють математики.
Настійно не рекомендуємо шукати складних шляхів, особливо в цьому випадку. Запам'ятайте кілька простих правил, які дозволять перетворити будь-який вираз. Наприклад, привести два або три логарифми до однієї основи або вивести ступінь із основи і виграти на цьому.
Також варто пам'ятати, що у вирішенні логарифмічних рівнянь необхідно постійно тренуватися. Поступово ви переходите до все більш складних конструкцій, а це призведе вас до впевненого вирішення всіх варіантів завдань на ЄДІ. Готуйтеся до іспитів завчасно, та й удачі вам!
Алгебра 11 клас
Тема: «Методи вирішення логарифмічних рівнянь»
Цілі уроку:
освітня: формування знань про різні способи вирішення логарифмічних рівнянь, умінь застосовувати їх у кожній конкретній ситуації та вибирати для вирішення будь-який спосіб;
розвиваюча: розвиток умінь спостерігати, порівнювати, застосовувати знання у новій ситуації, виявляти закономірності, узагальнювати; формування навичок взаємоконтролю та самоконтролю;
виховна: виховання відповідального ставлення до навчальної праці, уважного сприйняття матеріалу під час уроку, акуратності ведення записів.
Тип уроку : урок ознайомлення з новим матеріалом
«Винахід логарифмів, скоротивши роботу астронома, продовжило йому життя».
Французький математик та астроном П.С. Лаплас
Хід уроку
I. Постановка мети уроку
Вивчені визначення логарифму, властивості логарифмів та логарифмічної функції дозволять нам вирішувати логарифмічні рівняння. Всі логарифмічні рівняння, якої б складності вони не були, вирішуються за єдиними алгоритмами. Ці алгоритми розглянемо сьогодні на уроці. Їх не багато. Якщо їх освоїти, то будь-яке рівняння з логарифмами буде посильним кожному з вас.
Запишіть у зошиті тему уроку: «Методи розв'язання логарифмічних рівнянь». Запрошую всіх до співпраці.
ІІ. Актуалізація опорних знань
Підготуємось до вивчення теми уроку. Кожне завдання ви вирішуєте та записуєте відповідь, умову можна не писати. Працюйте у парах.
1) При яких значеннях має сенс функція:
а)
б)
в)
д)
(По кожному слайду звіряються відповіді та розбираються помилки)
2) Чи збігаються графіки функцій?
а) y = x і
б)і
3) Перепишіть рівності у вигляді логарифмічних рівностей:
4) Запишіть числа у вигляді логарифмів з основою 2:
4 =
2 =
0,5 =
1 =
5) Обчисліть :
6) Спробуйте відновити або доповнити елементи, що відсутні, у цих рівностях.
ІІІ. Ознайомлення з новим матеріалом
Демонструється на екрані вислів:
«Рівняння – це золотий ключ, який відкриває всі математичні сезами».
Сучасний польський математик С. Коваль
Спробуйте сформулювати визначення логарифмічного рівняння. (Рівняння, яке містить невідоме під знаком логарифму ).
Розглянемонайпростіше логарифмічне рівняння: log а x = b (Де а>0, a ≠ 1). Так як логарифмічна функція зростає (або зменшується) на безлічі позитивних чисел і приймає всі дійсні значення, то за теоремою про корені слідує, що для будь-якого b дане рівняння має, і притому тільки одне рішення, причому позитивне.
Згадайте визначення логарифму. (Логарифм числа х на підставі а - це показник ступеня, в який треба звести основу а, щоб отримати число х ). З визначення логарифму відразу випливає, щоа в є таким рішенням.
Запишіть заголовок:Методи розв'язання логарифмічних рівнянь
1. За визначенням логарифму .
Так вирішуються найпростіші рівняння виду.
Розглянемо№ 514(а
): Вирішити рівняння
Як ви пропонуєте його вирішувати? (За визначенням логарифму )
Рішення
.
, звідси 2х - 4 = 4; х = 4.
Відповідь: 4.
У цьому завданні 2х – 4 > 0, оскільки> 0, тому сторонніх коренів з'явитися не може, іперевірку немає необхідності робити . Умова 2х – 4 > 0 у цьому завданні виписувати не треба.
2. Потенціювання (перехід від логарифму даного виразу до цього виразу).
Розглянемо№519(г): log 5 ( x 2 +8)- log 5 ( x+1)=3 log 5 2
Яку особливість ви помітили?(Підстави однакові та логарифми двох виразів рівні) . Що можна зробити?(Потенціювати).
При цьому треба враховувати, що будь-яке рішення міститься серед усіх х, для яких вирази, що логарифмуються, позитивні.
Рішення: ОДЗ:
X 2 +8>0 зайва нерівність
log 5 ( x 2 +8) = log 5 2 3 + log 5 ( x+1)
log 5 ( x 2 +8)= log 5 (8 x+8)
Потенціюємо вихідне рівняння
x 2 +8= 8 x+8
отримаємо рівнянняx 2 +8= 8 x+8
Вирішуємо його:x 2 -8 x=0
х = 0, х = 8
Відповідь: 0; 8
Загаломпереходом до рівносильної системи :
Рівняння
(Система містить надмірну умову – одне з нерівностей можна розглядати).
Питання класу : Яке з цих трьох рішень вам найбільше сподобалося? (Обговорення методів).
Ви маєте право вирішувати у будь-який спосіб.
3. Введення нової змінної .
Розглянемо№ 520(г) . .
Що ви помітили? (Це квадратне рівняння щодо log3x) Ваші пропозиції? (Ввести нову змінну)
Рішення . ОДЗ: х > 0.
Нехай, Тоді рівняння набуде вигляду:
. Дискримінант D > 0. Коріння за теоремою Вієта:
.
Повернемося до заміни:або.
Розв'язавши найпростіші логарифмічні рівняння, отримаємо:
; .
Відповідь : 27;
4. Логарифмування обох частин рівняння.
Вирішити рівняння:
.
Рішення : ОДЗ: х>0, прологарифмуємо обидві частини рівняння на підставі 10:
. Застосуємо властивість логарифму ступеня:
(lgx + 3) lgx =
(lgx + 3) lgx = 4
Нехай lgx = y, тоді (у + 3) у = 4
, (D > 0) коріння за теоремою Вієта: у1 = -4 і у2 = 1.
Повернемося до заміни, отримаємо: lgx = -4,
; lgx = 1,
.
.
Він полягає в наступному:
якщо одна з функцій
у = f(x)
зростає, а інша
y = g(x)
зменшується на проміжку Х, то рівняння
f(x)= g(x)
має не більше одного кореня на проміжку Х
.
Якщо корінь є, його можна вгадати. .
Відповідь : 2
«Правильному застосуванню методів можна навчитися,
лише застосовуючи їх у різних прикладах».
Данський історик математики Г. Г. Цейтен
I V. Домашнє завдання
П. 39 розглянути приклад 3, вирішити № 514(б), № 529(б), №520(б), №523(б)
V. Підбиття підсумків уроку
Які методи розв'язання логарифмічних рівнянь ми розглянули уроці?
На наступних уроках розглянемо складніші рівняння. Для їх вирішення знадобляться вивчені методи.
Демонструється останній слайд:
«Що є найбільше у світі?
Простір.
Що наймудріше?
Час.
Що найприємніше?
Досягти бажаного».
Фалес
Бажаю всім досягти бажаного. Дякую за співпрацю та розуміння.
Сьогодні ми навчимося вирішувати найпростіші логарифмічні рівняння, де не потрібні попередні перетворення та відбір коренів. Але якщо навчитися вирішувати такі рівняння, далі буде набагато простіше.
Найпростіше логарифмічне рівняння – це рівняння виду log a f (x) = b, де a, b – числа (a > 0, a ≠ 1), f (x) – деяка функція.
Відмінна риса всіх логарифмічних рівнянь - наявність змінної x під знаком логарифму. Якщо спочатку завдання дано саме таке рівняння, воно називається найпростішим. Будь-які інші логарифмічні рівняння зводяться до найпростіших за допомогою спеціальних перетворень (див. «Основні властивості логарифмів»). Однак при цьому треба враховувати численні тонкощі: може виникнути зайве коріння, тому складні логарифмічні рівняння будуть розглянуті окремо.
Як розв'язувати такі рівняння? Достатньо замінити число, яке стоїть праворуч від знака рівності, логарифмом з тієї ж підстави, що й зліва. Потім можна позбутися знаку логарифму. Отримаємо:
log a f (x) = b ⇒ log a f (x) = log a a b ⇒ f (x) = a b
Здобули звичайне рівняння. Його коріння є корінням вихідного рівняння.
Винесення ступенів
Найчастіше логарифмічні рівняння, що зовні виглядають складно та загрозливо, вирішуються буквально в пару рядків без залучення складних формул. Сьогодні ми розглянемо саме такі завдання, де все, що вам потрібно — акуратно звести формулу до канонічної форми і не розгубитися при пошуку області визначення логарифмів.
Сьогодні, як ви вже здогадалися з назви, ми вирішуватимемо логарифмічні рівняння за формулами переходу до канонічної форми. Основною «фішкою» цього відеоуроку буде робота зі ступенями, а точніше, винесення ступеня з підстави та аргументу. Давайте розглянемо правило:
Аналогічним чином можна винести ступінь і з основи:
Як бачимо, якщо при винесенні ступеня з аргументу логарифму у нас просто з'являється додатковий множник спереду, то при винесенні ступеня з основи не просто множник, а перевернутий множник. Це треба пам'ятати.
Зрештою, найцікавіше. Дані формули можна поєднати, тоді ми отримаємо:
Зрозуміло, при виконанні даних переходів існують певні підводні камені, пов'язані з можливим розширенням області визначення або, навпаки, звуженням області визначення. Судіть самі:
log 3 x 2 = 2 ∙ log 3 x
Якщо першому випадку як x могло стояти будь-яке число, відмінне від 0, т. е. вимога x ≠ 0, то у другому випадку нас влаштують лише x , які лише рівні, а суворо більше 0, оскільки область визначення логарифма полягає в тому, щоб аргумент був строго більший за 0. Тому нагадаю вам чудову формулу з курсу алгебри 8-9 класу:
Тобто ми маємо записати нашу формулу так:
log 3 x 2 = 2 ∙ log 3 | x |
Тоді ніякого звуження області визначення не станеться.
Однак у сьогоднішньому відеоуроці жодних квадратів не буде. Якщо ви подивитеся на наші завдання, то побачите лише коріння. Отже, застосовувати це правило ми не будемо, однак його все одно необхідно пам'ятати, щоб у потрібний момент, коли ви побачите квадратичну функцію в аргументі або підставі логарифму, ви згадаєте це правило і всі перетворення виконаєте правильно.
Отже, перше рівняння:
Для вирішення такого завдання пропоную уважно подивитися на кожну з доданків, що є у формулі.
Давайте перепишемо перший доданок у вигляді ступеня з раціональним показником:
Дивимося на другий доданок: log 3 (1 - x). Тут робити нічого не потрібно, тут все вже перетворено.
Зрештою, 0, 5. Як я вже говорив у попередніх уроках, при вирішенні логарифмічних рівнянь і формул дуже рекомендую переходити від десяткових дробів до звичайних. Давайте так і зробимо:
0,5 = 5/10 = 1/2
Перепишемо нашу вихідну формулу з урахуванням отриманих доданків:
log 3 (1 − x) = 1
Тепер переходимо до канонічної форми:
log 3 (1 − x ) = log 3 3
Позбавляємося знаку логарифму, прирівнюючи аргументи:
1 − x = 3
−x = 2
x = −2
Все, ми вирішили рівняння. Однак давайте таки підстрахуємося і знайдемо область визначення. Для цього повернемося до вихідної формули та подивимося:
1 − x > 0
−x > −1
x< 1
Наш корінь x = −2 задовольняє цю вимогу, отже, x = −2 є рішенням вихідного рівняння. Ось тепер ми отримали чітке чітке обґрунтування. Все, завдання вирішено.
Переходимо до другого завдання:
Давайте розбиратися з кожним доданком окремо.
Виписуємо перше:
Перший доданок ми перетворили. Працюємо з другим складником:
Нарешті, останній доданок, який стоїть праворуч від знаку рівності:
Підставляємо отримані вирази замість доданків в отриманій формулі:
log 3 x = 1
Переходимо до канонічної форми:
log 3 x = log 3 3
Позбавляємося знаку логарифму, прирівнюючи аргументи, і отримуємо:
x = 3
Знову ж таки, давайте про всяк випадок підстрахуємося, повернемося до вихідного рівняння і подивимося. У вихідній формулі змінна x є тільки в аргументі, отже,
x > 0
У другому логарифмі x стоїть під коренем, але знову ж таки в аргументі, отже, корінь має бути більше 0, тобто підкорене вираз має бути більше 0. Дивимося на наш корінь x = 3. Очевидно, що він задовольняє цю вимогу. Отже, x = 3 є рішенням логарифмічного вихідного рівняння. Все, завдання вирішено.
Ключових моментів у сьогоднішньому відеоуроці два:
1) не бійтеся перетворювати логарифми і, зокрема, не бійтеся виносити ступеня за знак логарифму, при цьому пам'ятайте нашу основну формулу: при винесенні ступеня з аргументу вона виноситься просто без змін як множник, а при винесенні ступеня з основи цей ступінь перевертається.
2) другий момент пов'язаний із саме канонічною формою. Перехід до канонічної форми ми виконували наприкінці перетворення формули логарифмічного рівняння. Нагадаю таку формулу:
a = log b b a
Зрозуміло, під виразом «будь-яке число b », я маю на увазі такі числа, які задовольняють вимоги, що накладаються на основу логарифму, тобто.
1 ≠ b > 0
Ось за таких b , а оскільки основа у нас вже відома, то ця вимога виконуватиметься автоматично. Але за таких b — будь-яких, які задовольняють цю вимогу — цей перехід може бути виконаний, і в нас вийде канонічна форма, в якій можна позбутися знаку логарифму.
Розширення області визначення та зайве коріння
У процесі перетворення логарифмічних рівнянь може статися неявне розширення області визначення. Найчастіше учні цього навіть не помічають, що призводить до помилок та неправильних відповідей.
Почнемо з найпростіших конструкцій. Найпростішим логарифмічним рівнянням називається таке:
log a f(x) = b
Зверніть увагу: x є лише в одному аргументі одного логарифму. Як ми розв'язуємо такі рівняння? Використовуємо канонічну форму. Для цього представляємо число b = log a a b і наше рівняння перепишеться в наступному вигляді:
log a f(x) = log a a b
Цей запис називається канонічною формою. Саме до неї слід зводити будь-яке логарифмічне рівняння, яке ви зустрінете не тільки у сьогоднішньому уроці, а й у будь-якій самостійній та контрольній роботі.
Як дійти канонічної форми, які прийоми використовувати — це питання практики. Головне розуміти: як тільки ви отримаєте такий запис, можна вважати, що завдання вирішено. Тому що наступним кроком буде запис:
f(x) = a b
Іншими словами, ми позбавляємося знаку логарифму і просто прирівнюємо аргументи.
До чого вся ця розмова? Справа в тому, що канонічна форма застосовна не тільки до найпростіших завдань, а й до будь-яких інших. Зокрема і до тих, які ми вирішуватимемо сьогодні. Давайте подивимося.
Перше завдання:
У чому проблема цього рівняння? У тому, що функція стоїть одразу у двох логарифмах. Завдання можна звести до найпростішої, просто віднімаючи один логарифм з іншого. Але виникають проблеми з областю визначення: може з'явитися зайве коріння. Тому давайте просто перенесемо один із логарифмів праворуч:
Ось такий запис вже набагато більше схожий на канонічну форму. Але є ще один нюанс: у канонічній формі аргументи мають бути однакові. А у нас ліворуч стоїть логарифм на підставі 3, а праворуч — на підставі 1/3. Знає, потрібно привести ці підстави до того самого числа. Наприклад, пригадаємо, що таке негативні ступені:
А потім скористаємося винесемо показник «−1» за межі log як множник:
Зверніть увагу: ступінь, що стояла в основі, перевертається і перетворюється на дріб. Ми отримали майже канонічну запис, позбавившись різних підстав, але натомість отримали множник «−1» праворуч. Давайте внесемо цей множник в аргумент, перетворивши його на ступінь:
Зрозуміло, отримавши канонічну форму, ми сміливо закреслюємо знак логарифму та прирівнюємо аргументи. При цьому нагадаю, що при зведенні в ступінь «-1» дріб просто перевертається — виходить пропорція.
Скористаємося основною властивістю пропорції та перемножимо її хрест-навхрест:
(x − 4) (2x − 1) = (x − 5) (3x − 4)
2x 2 − x − 8x + 4 = 3x 2 − 4x − 15x + 20
2x 2 − 9x + 4 = 3x 2 − 19x + 20
x 2 − 10x + 16 = 0
Перед нами наведене квадратне рівняння, тому вирішуємо його за допомогою формул Вієта:
(x − 8)(x − 2) = 0
x 1 = 8; x 2 = 2
От і все. Думаєте, рівняння вирішено? Ні! За таке рішення ми отримаємо 0 балів, тому що у вихідному рівнянні присутні відразу два логарифми зі змінною x . Тому потрібно врахувати область визначення.
І тут починається найвеселіше. Більшість учнів плутаються: у чому полягає сфера визначення логарифму? Зрозуміло, всі аргументи (у нас їх два) мають бути більшими за нуль:
(x − 4)/(3x − 4) > 0
(x − 5)/(2x − 1) > 0
Кожну з цих нерівностей потрібно вирішити, відзначити на прямій, перетнути — і тільки потім подивитися, яке коріння лежить на перетині.
Скажу чесно: такий прийом має право на існування, він надійний і ви отримаєте правильну відповідь, проте в ньому занадто багато зайвих дій. Тому давайте ще раз пройдемося за нашим рішенням і подивимося: де саме потрібно застосувати область визначення? Іншими словами, потрібно парно розуміти, коли саме виникає зайве коріння.
- Спочатку у нас було два логарифми. Потім ми перенесли один із них праворуч, але на область визначення це не вплинуло.
- Потім ми виносимо ступінь з основи, але логарифмів все одно залишається два, і в кожному з них є змінна x .
- Нарешті, ми закреслюємо знаки log та отримуємо класичне дробово-раціональне рівняння.
Саме на останньому кроці відбувається розширення області визначення! Як тільки ми перейшли до дробово-раціонального рівняння, позбавившись знаків log, вимоги до змінної x різко змінилися!
Отже область визначення можна вважати не на самому початку рішення, а лише на згаданому кроці — перед безпосереднім прирівнюємо аргументів.
Тут і криється можливість для оптимізації. З одного боку, від нас потрібно, щоб обидва аргументи були більшими за нуль. З іншого боку, далі ми прирівнюємо ці аргументи. Отже, якщо хоча б один і них буде позитивним, то і другий теж виявиться позитивним!
Ось і виходить, що вимагати виконання одразу двох нерівностей — це надмірність. Достатньо розглянути лише один із цих дробів. Яку саме? Та, що простіше. Наприклад, давайте розберемося з правим дробом:
(x − 5)/(2x − 1) > 0
Це типова дробно-раціональна нерівність, розв'язуємо її методом інтервалів:
Як поставити знаки? Візьмемо число, свідомо більше всіх наших коренів. Наприклад 1 млрд. і підставляємо його дріб. Отримаємо позитивне число, тобто. праворуч від кореня x = 5 стоятиме знак плюс.
Потім знаки чергуються, тому що коріння парної кратності ніде немає. Нас цікавлять інтервали, де функція є позитивною. Отже, x ∈ (−∞; −1/2)∪(5; +∞).
Тепер згадуємо про відповіді: x = 8 та x = 2. Строго кажучи, це ще не відповіді, а лише кандидати на відповідь. Який із них належить зазначеній множині? Звичайно, x = 8. А ось x = 2 нас не влаштовує по області визначення.
Отже, відповіддю до першого логарифмічного рівняння буде x = 8. Ось тепер ми отримали грамотне, обґрунтоване рішення з урахуванням області визначення.
Переходимо до другого рівняння:
log 5 (x − 9) = log 0,5 4 − log 5 (x − 5) + 3
Нагадую, що якщо в рівнянні присутній десятковий дріб, то його слід позбутися. Іншими словами, перепишемо 0,5 у вигляді звичайного дробу. Відразу зауважуємо, що логарифм, що містить цю основу, легко вважається:
Це дуже важливий момент! Коли у нас і в основі, і в аргументі стоять ступеня, ми можемо винести показники цих ступенів за формулою:
Повертаємося до нашого вихідного логарифмічного рівняння та переписуємо його:
log 5 (x − 9) = 1 − log 5 (x − 5)
Отримали конструкцію, досить близьку до канонічної форми. Однак нас бентежать доданки і знак мінус праворуч від знака рівності. Давайте представимо одиницю як логарифм на підставі 5:
log 5 (x − 9) = log 5 5 1 − log 5 (x − 5)
Віднімемо логарифми праворуч (при цьому їх аргументи діляться):
log 5 (x − 9) = log 5 5/(x − 5)
Прекрасно. Ось ми й набули канонічну форму! Закреслюємо знаки logи і прирівнюємо аргументи:
(x − 9)/1 = 5/(x − 5)
Це пропорція, яка легко вирішується множенням навхрест:
(x − 9)(x − 5) = 5 1
x 2 − 9x − 5x + 45 = 5
x 2 − 14x + 40 = 0
Вочевидь, маємо наведене квадратне рівняння. Воно легко вирішується за допомогою формул Вієта:
(x − 10)(x − 4) = 0
x 1 = 10
x 2 = 4
Ми отримали два корені. Але це не остаточні відповіді, а лише кандидати, бо логарифмічне рівняння потребує ще й перевірки сфери визначення.
Нагадую: не треба шукати, коли коженз аргументів буде більше за нуль. Достатньо вимагати, щоб один аргумент — або x − 9, або 5/(x − 5) — був більшим за нуль. Розглянемо перший аргумент:
x − 9 > 0
x > 9
Очевидно, що цій вимогі задовольняє лише x = 10. Це і є остаточна відповідь. Усі завдання вирішено.
Ще раз ключові думки сьогоднішнього уроку:
- Як тільки змінна x з'являється у кількох логарифмах, рівняння перестає бути елементарним, і йому доведеться вважати область визначення. Інакше можна запросто записати у відповідь зайве коріння.
- Роботу з самою областю визначення можна значно спростити, якщо виписувати нерівність не відразу, а саме в той момент, коли ми позбавляємося знаків log. Адже коли аргументи прирівнюються один до одного, достатньо зажадати, щоб більше за нуль був лише один з них.
Зрозуміло, ми самі обираємо, з якого аргументу складати нерівність, тому логічно вибирати найпростіший. Наприклад, у другому рівнянні ми вибрали аргумент (x − 9) — лінійну функцію, на противагу дрібно-раціональному другому аргументу. Погодьтеся, розв'язувати нерівність x − 9 > 0 значно простіше, ніж 5/(x − 5) > 0. Хоча результат виходить той самий.
Дане зауваження суттєво спрощує пошук ОДЗ, але будьте уважні: використовувати одну нерівність замість двох можна лише в тому випадку, коли аргументи саме прирівнюються один до одного!
Звісно, хтось зараз запитає: а що, буває інакше? Так буває. Наприклад, на самому кроці, коли ми перемножуємо два аргументи, що містять змінну, закладено небезпеку виникнення зайвого коріння.
Судіть самі: спочатку потрібно, щоб кожен з аргументів був більшим за нуль, але після перемноження достатньо, щоб їхній твір був більшим за нуль. В результаті упускається випадок, коли кожен із цих дробів негативний.
Тому якщо ви тільки починаєте розбиратися зі складними логарифмічними рівняннями, в жодному разі не перемножуйте логарифми, що містять змінну x — занадто часто це призведе до виникнення зайвого коріння. Краще зробіть один зайвий крок, перенесіть один доданок в інший бік, складіть канонічну форму.
Ну, а як робити в тому випадку, якщо без перемноження таких логарифмів не обійтися, ми обговоримо наступного відеоуроку.
Ще раз про ступеня в рівнянні
Сьогодні ми розберемо досить слизьку тему щодо логарифмічних рівнянь, а точніше — винесення ступенів із аргументів та підстав логарифмів.
Я б навіть сказав, мова йтиме про винесення парних ступенів, тому що саме з парними ступенями виникає більшість труднощів і вирішення реальних логарифмічних рівнянь.
Почнемо з канонічної форми. Допустимо, у нас є рівняння виду log a f (x) = b. У цьому випадку ми переписуємо число b за формулою b = log a a b. Виходить таке:
log a f(x) = log a a b
Потім ми прирівнюємо аргументи:
f(x) = a b
Канонічної формою називається передостання формула. Саме до неї намагаються звести будь-яке логарифмічне рівняння, яким би складним і страшним воно не здавалося б на перший погляд.
Ось давайте спробуємо. Почнемо з першого завдання:
Попереднє зауваження: як я вже казав, усі десяткові дроби у логарифмічному рівнянні краще перевести її у звичайні:
0,5 = 5/10 = 1/2
Перепишемо наше рівняння з урахуванням цього факту. Зауважимо, що і 1/1000, і 100 є ступенем десятки, а потім винесемо ступеня звідусіль, де вони є: з аргументів і навіть з основи логарифмів:
І ось тут у багатьох учнів виникає питання: «Звідки праворуч узявся модуль?» Справді, чому не написати просто (х − 1)? Безумовно, зараз ми напишемо (х – 1), але право на такий запис нам дає облік галузі визначення. Адже в іншому логарифмі вже стоїть (х - 1), і цей вираз має бути більшим за нуль.
Але коли ми виносимо квадрат з основи логарифму, ми повинні залишити в основі саме модуль. Поясню чому.
Справа в тому, що з точки зору математики винесення ступеня рівносильне витягу кореня. Зокрема, коли з виразу (x − 1) 2 виноситься квадрат, ми по суті витягуємо корінь другого ступеня. Але корінь із квадрата — це не що інше як модуль. Саме модуль, тому що навіть якщо вираз х - 1 буде негативним, при зведенні в квадрат мінус все одно згорить. Подальше вилучення кореня дасть нам позитивне число - вже без жодних мінусів.
Загалом, щоб не допускати образливих помилок, запам'ятайте раз і назавжди:
Корінь парного ступеня з будь-якої функції, яка зведена в цей же ступінь, дорівнює не самій функції, а її модулю:
Повертаємось до нашого логарифмічного рівняння. Говорячи про модуль, я стверджував, що ми можемо безболісно зняти його. Це правда. Зараз поясню чому. Строго кажучи, ми повинні були розглянути два варіанти:
- x − 1 > 0 ⇒ |х − 1| = х − 1
- x − 1< 0 ⇒ |х − 1| = −х + 1
Кожен із цих варіантів треба було б вирішити. Але є одна проблема: у вихідній формулі вже є функція (х − 1) без жодного модуля. І слідуючи області визначення логарифмів, ми маємо право відразу записати, що х − 1 > 0.
Ця вимога має виконуватися незалежно від будь-яких модулів та інших перетворень, які ми виконуємо у процесі рішення. Отже, другий варіант розглядати безглуздо - він ніколи не виникне. Навіть якщо при вирішенні цієї гілки нерівності ми отримаємо якісь числа, вони все одно не увійдуть до остаточної відповіді.
Тепер ми буквально за один крок від канонічної форми логарифмічного рівняння. Давайте представимо одиницю у такому вигляді:
1 = log x − 1 (x − 1) 1
Крім того, внесемо множник −4, що стоїть праворуч, в аргумент:
log x − 1 10 −4 = log x − 1 (x − 1)
Перед нами канонічна форма логарифмічного рівняння. Позбавляємося знаку логарифму:
10 −4 = x − 1
Але оскільки в основі стояла функція (а не просте число), додатково вимагатимемо, щоб ця функція була більшою за нуль і не дорівнює одиниці. Вийде система:
Оскільки вимога х − 1 > 0 виконується автоматично (адже х − 1 = 10 −4), одна з нерівностей можна викреслити з нашої системи. Другу умову також можна викреслити, тому що х − 1 = 0,0001< 1. Итого получаем:
х = 1 + 0,0001 = 1,0001
Це єдиний корінь, який автоматично задовольняє всі вимоги області визначення логарифму (втім, всі вимоги були відсіяні як свідомо виконані в умовах нашого завдання).
Отже, друге рівняння:
3 log 3 x x = 2 log 9 x x 2
Чим це рівняння принципово відрізняється від попереднього? Вже хоча б тим, що основи логарифмів — 3х та 9х — не є натуральними ступенями один одного. Отже, перехід, який ми використали у попередньому рішенні, неможливий.
Давайте хоча б позбудемося ступенів. У нашому випадку єдиний ступінь стоїть у другому аргументі:
3 log 3 x x = 2 ∙ 2 log 9 x | x |
Втім, знак модуля можна забрати, адже змінна х стоїть ще й у підставі, тобто. х > 0 ⇒ |х| = х. Перепишемо наше логарифмічне рівняння:
3 log 3 x x = 4 log 9 x x
Отримали логарифми, у яких однакові аргументи, але різні підстави. Як вчинити далі? Варіантів тут безліч, але ми розглянемо лише два з них, які є найбільш логічними, а найголовніше — це швидкі та зрозумілі прийоми для більшості учнів.
Перший варіант ми вже розглядали: у будь-якій незрозумілій ситуації перекладаєте логарифми зі змінною основою до якоїсь постійної основи. Наприклад, до двійки. Формула переходу проста:
Зрозуміло, у ролі змінної с повинно виступати нормальне число: 1 ≠ c > 0. Нехай у разі с = 2. Тепер маємо звичайне дробово-раціональне рівняння. Збираємо всі елементи зліва:
Очевидно, що множник log 2 x краще винести, оскільки він присутній і в першому, і в другому дробі.
log 2 x = 0;
3 log 2 9х = 4 log 2 3x
Розбиваємо кожен log на два доданки:
log 2 9х = log 2 9 + log 2 x = 2 log 2 3 + log 2 x;
log 2 3x = log 2 3 + log 2 x
Перепишемо обидві частини рівності з урахуванням цих фактів:
3 (2 log 2 3 + log 2 x) = 4 (log 2 3 + log 2 x)
6 log 2 3 + 3 log 2 x = 4 log 2 3 + 4 log 2 x
2 log 2 3 = log 2 x
Тепер залишилося внести двійку під знак логарифму (вона перетвориться на ступінь: 3 2 = 9):
log 2 9 = log 2 x
Перед нами класична канонічна форма, позбавляємося знаку логарифму та отримуємо:
Як і передбачалося, цей корінь виявився більшим за нуль. Залишилося перевірити область визначення. Подивимося на підстави:
Але корінь x = 9 відповідає цим вимогам. Отже, він є остаточним рішенням.
Висновок з цього рішення просто: не лякайтеся довгих викладок! Просто на самому початку ми вибрали нову основу навмання — і це суттєво ускладнило процес.
Але тоді виникає питання: яка ж основа є оптимальним? Про це я розповім у другому способі.
Повернімося до нашого вихідного рівняння:
3 log 3x x = 2 log 9x x 2
3 log 3x x = 2 ∙ 2 log 9x | x |
х > 0 ⇒ |х| = х
3 log 3 x x = 4 log 9 x x
Тепер трохи подумаємо: яке число чи функція буде оптимальною основою? Очевидно, що найкращим варіантом буде с = х те, що вже стоїть в аргументах. У цьому випадку формула log a b = log c b /log c a набуде вигляду:
Іншими словами, вираз просто перевертається. При цьому аргумент та основа змінюється місцями.
Ця формула дуже корисна і часто застосовується при розв'язанні складних логарифмічних рівнянь. Однак при використанні цієї формули виникає один дуже серйозний камінь. Якщо замість підстави ми підставляємо змінну х, то на неї накладаються обмеження, яких раніше не спостерігалося:
Такого обмеження у вихідному рівнянні не було. Тому слід окремо перевірити випадок, коли х = 1. Підставимо це значення до нашого рівняння:
3 log 3 1 = 4 log 9 1
Отримуємо правильну числову рівність. Отже, х = 1 є коренем. Такий самий корінь ми знайшли в попередньому методі на самому початку рішення.
А ось тепер, коли ми окремо розглянули цей окремий випадок, сміливо вважаємо, що х ≠ 1. Тоді наше логарифмічне рівняння перепишеться у такому вигляді:
3 log x 9x = 4 log x 3x
Розкладаємо обидва логарифми за тією ж формулою, що й раніше. При цьому зауважимо, що log x x = 1:
3 (log x 9 + log x x ) = 4 (log x 3 + log x x )
3 log x 9 + 3 = 4 log x 3 + 4
3 log x 3 2 − 4 log x 3 = 4 − 3
2 log x 3 = 1
Ось ми й дійшли канонічної форми:
log x 9 = log x x 1
x = 9
Отримали друге коріння. Він задовольняє вимогу х ≠ 1. Отже, х = 9 нарівні з х = 1 є остаточною відповіддю.
Як бачимо, обсяг викладок трохи скоротився. Але при вирішенні реального логарифмічного рівняння кількість дій буде набагато меншою ще й тому, що від вас не потрібно так детально розписувати кожен крок.
Ключове правило сьогоднішнього уроку полягає в наступному: якщо в задачі є парний ступінь, з якого витягують корінь такого ж ступеня, то на виході ми отримай модуль. Однак цей модуль можна прибрати, якщо звернути увагу на область визначення логарифмів.
Але будьте уважні: більшість учнів після цього уроку вважають, що їм усе зрозуміло. Але при вирішенні реальних завдань вони не можуть відтворити весь логічний ланцюжок. У результаті рівняння обростає зайвим корінням, а відповідь виходить неправильною.