Розв'язання логарифмічних рівнянь із нулем. Розв'язання логарифмічких рівнянь

Сьогодні ми навчимося вирішувати найпростіші логарифмічні рівняння, де не потрібні попередні перетворення та відбір коренів. Але якщо навчитися вирішувати такі рівняння, далі буде набагато простіше.

Найпростіше логарифмічне рівняння – це рівняння виду log a f (x) = b, де a, b – числа (a > 0, a ≠ 1), f (x) – деяка функція.

Відмінна риса всіх логарифмічних рівнянь - наявність змінної x під знаком логарифму. Якщо спочатку завдання дано саме таке рівняння, воно називається найпростішим. Будь-які інші логарифмічні рівняння зводяться до найпростіших шляхом спеціальних перетворень (див. «Основні властивості логарифмів»). Однак при цьому треба враховувати численні тонкощі: може виникнути зайве коріння, тому складні логарифмічні рівняння будуть розглянуті окремо.

Як розв'язувати такі рівняння? Достатньо замінити число, яке стоїть праворуч від знака рівності, логарифмом з тієї ж підстави, що й зліва. Потім можна позбутися знаку логарифму. Отримаємо:

log a f (x) = b ⇒ log a f (x) = log a a b ⇒ f (x) = a b

Здобули звичайне рівняння. Його коріння є корінням вихідного рівняння.

Винесення ступенів

Найчастіше логарифмічні рівняння, що зовні виглядають складно та загрозливо, вирішуються буквально в пару рядків без залучення складних формул. Сьогодні ми розглянемо саме такі завдання, де все, що вам потрібно — акуратно звести формулу до канонічної форми і не розгубитися при пошуку області визначення логарифмів.

Сьогодні, як ви вже здогадалися з назви, ми вирішуватимемо логарифмічні рівняння за формулами переходу до канонічної форми. Основною «фішкою» цього відеоуроку буде робота зі ступенями, а точніше, винесення ступеня з підстави та аргументу. Давайте розглянемо правило:

Аналогічним чином можна винести ступінь і з основи:

Як бачимо, якщо при винесенні ступеня з аргументу логарифму у нас просто з'являється додатковий множник спереду, то при винесенні ступеня з основи не просто множник, а перевернутий множник. Це треба пам'ятати.

Зрештою, найцікавіше. Дані формули можна поєднати, тоді ми отримаємо:

Зрозуміло, при виконанні даних переходів існують певні підводні камені, пов'язані з можливим розширенням області визначення або, навпаки, звуженням області визначення. Судіть самі:

log 3 x 2 = 2 ∙ log 3 x

Якщо першому випадку як x могло стояти будь-яке число, відмінне від 0, т. е. вимога x ≠ 0, то у другому випадку нас влаштують лише x , які лише рівні, а суворо більше 0, оскільки область визначення логарифма полягає в тому, щоб аргумент був строго більший за 0. Тому нагадаю вам чудову формулу з курсу алгебри 8-9 класу:

Тобто ми маємо записати нашу формулу так:

log 3 x 2 = 2 ∙ log 3 | x |

Тоді ніякого звуження області визначення не станеться.

Однак у сьогоднішньому відеоуроці жодних квадратів не буде. Якщо ви подивитеся на наші завдання, то побачите лише коріння. Отже, застосовувати це правило ми не будемо, однак його все одно необхідно пам'ятати, щоб у потрібний момент, коли ви побачите квадратичну функцію в аргументі або підставі логарифму, ви згадаєте це правило і всі перетворення виконаєте правильно.

Отже, перше рівняння:

Для вирішення такого завдання пропоную уважно подивитися на кожну з доданків, що є у формулі.

Давайте перепишемо перший доданок у вигляді ступеня з раціональним показником:

Дивимося на другий доданок: log 3 (1 - x). Тут робити нічого не потрібно, тут все вже перетворено.

Зрештою, 0, 5. Як я вже говорив у попередніх уроках, при вирішенні логарифмічних рівнянь і формул дуже рекомендую переходити від десяткових дробів до звичайних. Давайте так і зробимо:

0,5 = 5/10 = 1/2

Перепишемо нашу вихідну формулу з урахуванням отриманих доданків:

log 3 (1 − x) = 1

Тепер переходимо до канонічної форми:

log 3 (1 − x ) = log 3 3

Позбавляємося знаку логарифму, прирівнюючи аргументи:

1 − x = 3

−x = 2

x = −2

Все, ми вирішили рівняння. Однак давайте таки підстрахуємося і знайдемо область визначення. Для цього повернемося до вихідної формули та подивимося:

1 − x > 0

−x > −1

x< 1

Наш корінь x = −2 задовольняє цю вимогу, отже, x = −2 є рішенням вихідного рівняння. Ось тепер ми отримали чітке чітке обґрунтування. Все, завдання вирішено.

Переходимо до другого завдання:

Давайте розбиратися з кожним доданком окремо.

Виписуємо перше:

Перший доданок ми перетворили. Працюємо з другим складником:

Нарешті, останній доданок, який стоїть праворуч від знаку рівності:

Підставляємо отримані вирази замість доданків в отриманій формулі:

log 3 x = 1

Переходимо до канонічної форми:

log 3 x = log 3 3

Позбавляємося знаку логарифму, прирівнюючи аргументи, і отримуємо:

x = 3

Знову ж таки, давайте про всяк випадок підстрахуємося, повернемося до вихідного рівняння і подивимося. У вихідній формулі змінна x є тільки в аргументі, отже,

x > 0

У другому логарифмі x стоїть під коренем, але знову ж таки в аргументі, отже, корінь має бути більше 0, тобто підкорене вираз має бути більше 0. Дивимося на наш корінь x = 3. Очевидно, що він задовольняє цю вимогу. Отже, x = 3 є рішенням логарифмічного вихідного рівняння. Все, завдання вирішено.

Ключових моментів у сьогоднішньому відеоуроці два:

1) не бійтеся перетворювати логарифми і, зокрема, не бійтеся виносити ступеня за знак логарифму, при цьому пам'ятайте нашу основну формулу: при винесенні ступеня з аргументу вона виноситься просто без змін як множник, а при винесенні ступеня з основи цей ступінь перевертається.

2) другий момент пов'язаний із саме канонічною формою. Перехід до канонічної форми ми виконували наприкінці перетворення формули логарифмічного рівняння. Нагадаю таку формулу:

a = log b b a

Зрозуміло, під виразом «будь-яке число b », я маю на увазі такі числа, які задовольняють вимоги, що накладаються на основу логарифму, тобто.

1 ≠ b > 0

Ось за таких b , а оскільки основа у нас вже відома, то ця вимога виконуватиметься автоматично. Але за таких b — будь-яких, які задовольняють цю вимогу — цей перехід може бути виконаний, і в нас вийде канонічна форма, в якій можна позбутися знаку логарифму.

Розширення області визначення та зайве коріння

У процесі перетворення логарифмічних рівнянь може статися неявне розширення області визначення. Найчастіше учні цього навіть не помічають, що призводить до помилок та неправильних відповідей.

Почнемо з найпростіших конструкцій. Найпростішим логарифмічним рівнянням називається таке:

log a f(x) = b

Зверніть увагу: x є лише в одному аргументі одного логарифму. Як ми розв'язуємо такі рівняння? Використовуємо канонічну форму. Для цього представляємо число b = log a a b і наше рівняння перепишеться в наступному вигляді:

log a f(x) = log a a b

Цей запис називається канонічною формою. Саме до неї слід зводити будь-яке логарифмічне рівняння, яке ви зустрінете не лише у сьогоднішньому уроці, але й у будь-якій самостійній та контрольній роботі.

Як дійти канонічної форми, які прийоми використовувати — це питання практики. Головне розуміти: як тільки ви отримаєте такий запис, можна вважати, що завдання вирішено. Тому що наступним кроком буде запис:

f(x) = a b

Іншими словами, ми позбавляємося знаку логарифму і просто прирівнюємо аргументи.

До чого вся ця розмова? Справа в тому, що канонічна форма застосовна не тільки до найпростіших завдань, а й до будь-яких інших. Зокрема і до тих, які ми вирішуватимемо сьогодні. Давайте подивимося.

Перше завдання:

У чому проблема цього рівняння? У тому, що функція стоїть одразу у двох логарифмах. Завдання можна звести до найпростішої, просто віднімаючи один логарифм з іншого. Але виникають проблеми з областю визначення: може з'явитися зайве коріння. Тому давайте просто перенесемо один із логарифмів праворуч:

Ось такий запис вже набагато більше схожий на канонічну форму. Але є ще один нюанс: у канонічній формі аргументи мають бути однакові. А у нас ліворуч стоїть логарифм з основи 3, а праворуч — з основи 1/3. Знає, потрібно привести ці підстави до того самого числа. Наприклад, пригадаємо, що таке негативні ступені:

А потім скористаємося винесемо показник «−1» за межі log як множник:

Зверніть увагу: ступінь, що стояла в основі, перевертається і перетворюється на дріб. Ми отримали майже канонічну запис, позбавившись різних підстав, але натомість отримали множник «−1» праворуч. Давайте внесемо цей множник у аргумент, перетворивши його на ступінь:

Зрозуміло, отримавши канонічну форму, ми сміливо закреслюємо знак логарифму та прирівнюємо аргументи. При цьому нагадаю, що при зведенні в ступінь «-1» дріб просто перевертається — виходить пропорція.

Скористаємося основною властивістю пропорції та перемножимо її хрест-навхрест:

(x − 4) (2x − 1) = (x − 5) (3x − 4)

2x 2 − x − 8x + 4 = 3x 2 − 4x − 15x + 20

2x 2 − 9x + 4 = 3x 2 − 19x + 20

x 2 − 10x + 16 = 0

Перед нами наведене квадратне рівняння, тому вирішуємо його за допомогою формул Вієта:

(x − 8)(x − 2) = 0

x 1 = 8; x 2 = 2

Ось і все. Думаєте, рівняння вирішено? Ні! За таке рішення ми отримаємо 0 балів, тому що у вихідному рівнянні присутні відразу два логарифми зі змінною x . Тому потрібно врахувати область визначення.

І тут починається найвеселіше. Більшість учнів плутаються: у чому полягає сфера визначення логарифму? Зрозуміло, всі аргументи (у нас їх два) мають бути більшими за нуль:

(x − 4)/(3x − 4) > 0

(x − 5)/(2x − 1) > 0

Кожну з цих нерівностей потрібно вирішити, відзначити на прямій, перетнути — і тільки потім подивитися, яке коріння лежить на перетині.

Скажу чесно: такий прийом має право на існування, він надійний і ви отримаєте правильну відповідь, проте в ньому занадто багато зайвих дій. Тому давайте ще раз пройдемося за нашим рішенням і подивимося: де саме потрібно застосувати область визначення? Іншими словами, потрібно парно розуміти, коли саме виникає зайве коріння.

Спочатку у нас було два логарифми. Потім ми перенесли один із них праворуч, але на область визначення це не вплинуло.
Потім ми виносимо ступінь з основи, але логарифмів все одно залишається два, і в кожному з них є змінна x .
Нарешті, ми закреслюємо знаки log та отримуємо класичне дробово-раціональне рівняння.

Саме на останньому кроці відбувається розширення області визначення! Як тільки ми перейшли до дробово-раціонального рівняння, позбавившись знаків log, вимоги до змінної x різко змінилися!

Отже область визначення можна вважати не на самому початку рішення, а лише на згаданому кроці — перед безпосереднім прирівнюємо аргументів.

Тут і криється можливість для оптимізації. З одного боку, від нас потрібно, щоб обидва аргументи були більшими за нуль. З іншого боку, далі ми прирівнюємо ці аргументи. Отже, якщо хоча б один і них буде позитивним, то і другий теж виявиться позитивним!

Ось і виходить, що вимагати виконання одразу двох нерівностей — це надмірність. Достатньо розглянути лише один із цих дробів. Яку саме? Та, що простіше. Наприклад, давайте розберемося з правим дробом:

(x − 5)/(2x − 1) > 0

Це типова дробно-раціональна нерівність, розв'язуємо її методом інтервалів:

Як поставити знаки? Візьмемо число, свідомо найбільше всіх наших коренів. Наприклад 1 млрд. і підставляємо його дріб. Отримаємо позитивне число, тобто. праворуч від кореня x = 5 стоятиме знак плюс.

Потім знаки чергуються, тому що коріння парної кратності ніде немає. Нас цікавлять інтервали, де функція є позитивною. Отже, x ∈ (−∞; −1/2)∪(5; +∞).

Тепер згадуємо відповіді: x = 8 і x = 2. Строго кажучи, це ще відповіді, лише кандидати у відповідь. Який із них належить зазначеній множині? Звичайно, x = 8. А ось x = 2 нас не влаштовує по області визначення.

Отже, відповіддю до першого логарифмічного рівняння буде x = 8. Ось тепер ми отримали грамотне, обґрунтоване рішення з урахуванням області визначення.

Переходимо до другого рівняння:

log 5 (x − 9) = log 0,5 4 − log 5 (x − 5) + 3

Нагадую, що якщо в рівнянні присутній десятковий дріб, то його слід позбутися. Іншими словами, перепишемо 0,5 у вигляді звичайного дробу. Відразу зауважуємо, що логарифм, що містить цю основу, легко вважається:

Це дуже важливий момент! Коли у нас і в основі, і в аргументі стоять ступеня, ми можемо винести показники цих ступенів за формулою:

Повертаємося до нашого вихідного логарифмічного рівняння та переписуємо його:

log 5 (x − 9) = 1 − log 5 (x − 5)

Отримали конструкцію, досить близьку до канонічної форми. Однак нас бентежать доданки і знак мінус праворуч від знака рівності. Давайте представимо одиницю як логарифм на підставі 5:

log 5 (x − 9) = log 5 5 1 − log 5 (x − 5)

Віднімемо логарифми праворуч (при цьому їх аргументи діляться):

log 5 (x − 9) = log 5 5/(x − 5)

Чудово. Ось ми й набули канонічну форму! Закреслюємо знаки logи і прирівнюємо аргументи:

(x − 9)/1 = 5/(x − 5)

Це пропорція, яка легко вирішується множенням навхрест:

(x − 9)(x − 5) = 5 1

x 2 − 9x − 5x + 45 = 5

x 2 − 14x + 40 = 0

Вочевидь, маємо наведене квадратне рівняння. Воно легко вирішується за допомогою формул Вієта:

(x − 10)(x − 4) = 0

x 1 = 10

x 2 = 4

Ми отримали два корені. Але це не остаточні відповіді, а лише кандидати, бо логарифмічне рівняння потребує ще й перевірки сфери визначення.

Нагадую: не треба шукати, коли коженз аргументів буде більше за нуль. Достатньо вимагати, щоб один аргумент — або x − 9, або 5/(x − 5) — був більшим за нуль. Розглянемо перший аргумент:

x − 9 > 0

x > 9

Очевидно, що цій вимогі задовольняє лише x = 10. Це і є остаточна відповідь. Усі завдання вирішено.

Ще раз ключові думки сьогоднішнього уроку:

Як тільки змінна x з'являється у кількох логарифмах, рівняння перестає бути елементарним, і йому доведеться вважати область визначення. Інакше можна запросто записати у відповідь зайве коріння.
Роботу з самою областю визначення можна значно спростити, якщо виписувати нерівність не відразу, а саме в той момент, коли ми позбавляємося знаків log. Адже коли аргументи прирівнюються один до одного, достатньо зажадати, щоб більше за нуль був лише один з них.

Зрозуміло, ми самі обираємо, з якого аргументу складати нерівність, тому логічно вибирати найпростіший. Наприклад, у другому рівнянні ми вибрали аргумент (x − 9) — лінійну функцію, на противагу дрібно-раціональному другому аргументу. Погодьтеся, розв'язувати нерівність x − 9 > 0 значно простіше, ніж 5/(x − 5) > 0. Хоча результат виходить той самий.

Дане зауваження суттєво спрощує пошук ОДЗ, але будьте уважні: використовувати одну нерівність замість двох можна лише в тому випадку, коли аргументи саме прирівнюються один до одного!

Звісно, хтось зараз запитає: а що, буває інакше? Так, буває. Наприклад, на самому кроці, коли ми перемножуємо два аргументи, що містять змінну, закладено небезпеку виникнення зайвого коріння.

Судіть самі: спочатку потрібно, щоб кожен з аргументів був більшим за нуль, але після перемноження достатньо, щоб їхній твір був більшим за нуль. В результаті упускається випадок, коли кожен із цих дробів негативний.

Тому якщо ви тільки починаєте розбиратися зі складними логарифмічними рівняннями, в жодному разі не перемножуйте логарифми, що містять змінну x — занадто часто це призведе до виникнення зайвого коріння. Краще зробіть один зайвий крок, перенесіть один доданок в інший бік, складіть канонічну форму.

Ну, а як чинити в тому випадку, якщо без перемноження таких логарифмів не обійтися, ми обговоримо наступного відеоуроку.

Ще раз про ступеня в рівнянні

Сьогодні ми розберемо досить слизьку тему щодо логарифмічних рівнянь, а точніше — винесення ступенів із аргументів та підстав логарифмів.

Я б навіть сказав, мова йтиме про винесення парних ступенів, тому що саме з парними ступенями виникає більшість труднощів і вирішення реальних логарифмічних рівнянь.

Почнемо з канонічної форми. Допустимо, у нас є рівняння виду log a f (x) = b. У цьому випадку ми переписуємо число b за формулою b = log a a b. Виходить таке:

log a f(x) = log a a b

Потім ми прирівнюємо аргументи:

f(x) = a b

Канонічної формою називається передостання формула. Саме до неї намагаються звести будь-яке логарифмічне рівняння, яким би складним і страшним воно не здавалося б на перший погляд.

Ось давайте спробуємо. Почнемо з першого завдання:

Попереднє зауваження: як я вже казав, усі десяткові дроби у логарифмічному рівнянні краще перевести її у звичайні:

0,5 = 5/10 = 1/2

Перепишемо наше рівняння з урахуванням цього факту. Зауважимо, що і 1/1000, і 100 є ступенем десятки, а потім винесемо ступеня звідусіль, де вони є: з аргументів і навіть з основи логарифмів:

І ось тут у багатьох учнів виникає питання: «Звідки праворуч узявся модуль?» Справді, чому не написати просто (х − 1)? Безумовно, зараз ми напишемо (х – 1), але право на такий запис нам дає облік галузі визначення. Адже в іншому логарифмі вже стоїть (х - 1), і цей вираз має бути більшим за нуль.

Але коли ми виносимо квадрат з основи логарифму, ми повинні залишити в основі саме модуль. Поясню чому.

Справа в тому, що з точки зору математики винесення ступеня рівносильне витягу кореня. Зокрема, коли з виразу (x − 1) 2 виноситься квадрат, ми по суті витягуємо корінь другого ступеня. Але корінь із квадрата — це не що інше як модуль. Саме модуль, тому що навіть якщо вираз х - 1 буде негативним, при зведенні в квадрат мінус все одно згорить. Подальше вилучення кореня дасть нам позитивне число - вже без жодних мінусів.

Загалом, щоб не допускати образливих помилок, запам'ятайте раз і назавжди:

Корінь парного ступеня з будь-якої функції, яка зведена в цей же ступінь, дорівнює не самій функції, а її модулю:

Повертаємось до нашого логарифмічного рівняння. Говорячи про модуль, я стверджував, що ми можемо безболісно зняти його. Це правда. Зараз поясню чому. Строго кажучи, ми повинні були розглянути два варіанти:

x − 1 > 0 ⇒ |х − 1| = х − 1
x − 1< 0 ⇒ |х − 1| = −х + 1

Кожен із цих варіантів треба було б вирішити. Але є одна проблема: у вихідній формулі вже є функція (х − 1) без жодного модуля. І слідуючи області визначення логарифмів, ми маємо право відразу записати, що х − 1 > 0.

Ця вимога має виконуватися незалежно від будь-яких модулів та інших перетворень, які ми виконуємо у процесі рішення. Отже, другий варіант розглядати безглуздо - він ніколи не виникне. Навіть якщо при вирішенні цієї гілки нерівності ми отримаємо якісь числа, вони все одно не увійдуть до остаточної відповіді.

Тепер ми буквально за один крок від канонічної форми логарифмічного рівняння. Давайте представимо одиницю у такому вигляді:

1 = log x − 1 (x − 1) 1

Крім того, внесемо множник −4, що стоїть праворуч, в аргумент:

log x − 1 10 −4 = log x − 1 (x − 1)

Перед нами канонічна форма логарифмічного рівняння. Позбавляємося знаку логарифму:

10 −4 = x − 1

Але оскільки в підставі стояла функція (а не просте число), додатково вимагатимемо, щоб ця функція була більшою за нуль і не дорівнює одиниці. Вийде система:

Оскільки вимога х − 1 > 0 виконується автоматично (адже х − 1 = 10 −4), одна з нерівностей можна викреслити з нашої системи. Другу умову можна викреслити, тому що х − 1 = 0,0001< 1. Итого получаем:

х = 1 + 0,0001 = 1,0001

Це єдиний корінь, який автоматично задовольняє всі вимоги області визначення логарифму (втім, всі вимоги були відсіяні як свідомо виконані в умовах нашого завдання).

Отже, друге рівняння:

3 log 3 x x = 2 log 9 x x 2

Чим це рівняння принципово відрізняється від попереднього? Вже хоча б тим, що підстави логарифмів — 3х та 9х — не є натуральними ступенями один одного. Отже, перехід, який ми використали у попередньому рішенні, неможливий.

Давайте хоча б позбудемося ступенів. У нашому випадку єдиний ступінь стоїть у другому аргументі:

3 log 3 x x = 2 ∙ 2 log 9 x | x |

Втім, знак модуля можна забрати, адже змінна х стоїть ще й у підставі, тобто. х > 0 ⇒ |х| = х. Перепишемо наше логарифмічне рівняння:

3 log 3 x x = 4 log 9 x x

Отримали логарифми, у яких однакові аргументи, але різні підстави. Як вчинити далі? Варіантів тут безліч, але ми розглянемо лише два з них, які є найбільш логічними, а найголовніше — це швидкі та зрозумілі прийоми для більшості учнів.

Перший варіант ми вже розглядали: у будь-якій незрозумілій ситуації перекладаєте логарифми зі змінною основою до якоїсь постійної основи. Наприклад, до двійки. Формула переходу проста:

Зрозуміло, у ролі змінної с повинно виступати нормальне число: 1 ≠ c > 0. Нехай у разі с = 2. Тепер маємо звичайне дробово-раціональне рівняння. Збираємо всі елементи зліва:

Очевидно, що множник log 2 x краще винести, оскільки він присутній і в першому, і в другому дробі.

log 2 x = 0;

3 log 2 9х = 4 log 2 3x

Розбиваємо кожен log на два доданки:

log 2 9х = log 2 9 + log 2 x = 2 log 2 3 + log 2 x;

log 2 3x = log 2 3 + log 2 x

Перепишемо обидві частини рівності з урахуванням цих фактів:

3 (2 log 2 3 + log 2 x) = 4 (log 2 3 + log 2 x)

6 log 2 3 + 3 log 2 x = 4 log 2 3 + 4 log 2 x

2 log 2 3 = log 2 x

Тепер залишилося внести двійку під знак логарифму (вона перетвориться на ступінь: 3 2 = 9):

log 2 9 = log 2 x

Перед нами класична канонічна форма, позбавляємося знаку логарифму та отримуємо:

Як і передбачалося, цей корінь виявився більшим за нуль. Залишилося перевірити область визначення. Подивимося на підстави:

Але корінь x = 9 відповідає цим вимогам. Отже, він є остаточним рішенням.

Висновок з цього рішення просто: не лякайтеся довгих викладок! Просто на самому початку ми вибрали нову основу навмання — і це суттєво ускладнило процес.

Але тоді виникає питання: яка ж основа є оптимальним? Про це я розповім у другому способі.

Повернімося до нашого вихідного рівняння:

3 log 3x x = 2 log 9x x 2

3 log 3x x = 2 ∙ 2 log 9x | x |

х > 0 ⇒ |х| = х

3 log 3 x x = 4 log 9 x x

Тепер трохи подумаємо: яке число чи функція буде оптимальною основою? Очевидно, що найкращим варіантом буде с = х те, що вже стоїть в аргументах. У цьому випадку формула log a b = log c b /log c a набуде вигляду:

Іншими словами, вираз просто перевертається. При цьому аргумент та основа змінюється місцями.

Ця формула дуже корисна і часто застосовується при розв'язанні складних логарифмічних рівнянь. Однак при використанні цієї формули виникає один дуже серйозний камінь. Якщо замість підстави ми підставляємо змінну х, то на неї накладаються обмеження, яких раніше не спостерігалося:

Такого обмеження у вихідному рівнянні не було. Тому слід окремо перевірити випадок, коли х = 1. Підставимо це значення до нашого рівняння:

3 log 3 1 = 4 log 9 1

Отримуємо правильну числову рівність. Отже, х = 1 є коренем. Такий самий корінь ми знайшли в попередньому методі на самому початку рішення.

А ось тепер, коли ми окремо розглянули цей окремий випадок, сміливо вважаємо, що х ≠ 1. Тоді наше логарифмічне рівняння перепишеться у такому вигляді:

3 log x 9x = 4 log x 3x

Розкладаємо обидва логарифми за тією ж формулою, що й раніше. При цьому зауважимо, що log x x = 1:

3 (log x 9 + log x x ) = 4 (log x 3 + log x x )

3 log x 9 + 3 = 4 log x 3 + 4

3 log x 3 2 − 4 log x 3 = 4 − 3

2 log x 3 = 1

Ось ми й дійшли канонічної форми:

log x 9 = log x x 1

x = 9

Отримали друге коріння. Він задовольняє вимогу х ≠ 1. Отже, х = 9 нарівні з х = 1 є остаточною відповіддю.

Як бачимо, обсяг викладок трохи скоротився. Але при вирішенні реального логарифмічного рівняння кількість дій буде набагато меншою ще й тому, що від вас не потрібно так детально розписувати кожен крок.

Ключове правило сьогоднішнього уроку полягає в наступному: якщо в задачі є парний ступінь, з якого витягують корінь такого ж ступеня, то на виході ми отримай модуль. Однак цей модуль можна прибрати, якщо звернути увагу на область визначення логарифмів.

Але будьте уважні: більшість учнів після цього уроку вважають, що їм усе зрозуміло. Але при вирішенні реальних завдань вони не можуть відтворити весь логічний ланцюжок. У результаті рівняння обростає зайвим корінням, а відповідь виходить неправильною.

На цьому уроці ми повторимо основні теоретичні факти про логарифми та розглянемо розв'язання найпростіших логарифмічних рівнянь.

Нагадаємо центральне визначення – визначення логарифму. Воно пов'язане з вирішенням показового рівняння. Дане рівняння має єдиний корінь, його називають логарифмом b на підставі а:

Визначення:

Логарифмом числа b на підставі а називається такий показник ступеня, в який потрібно звести основу а, щоб отримати число b.

Нагадаємо основне логарифмічне тотожність.

Вираз (вираз 1) є коренем рівняння (вираз 2). Підставимо значення х із виразу 1 замість х у вираз 2 і отримаємо основну логарифмічну тотожність:

Отже бачимо, що кожному значенню ставиться у відповідність значення . Позначимо b за х (), з за у, і таким чином отримуємо логарифмічну функцію:

Наприклад:

Згадаймо основні властивості логарифмічної функції.

Ще раз звернемо увагу, тут, тому що під логарифмом може стояти суворо позитивний вираз, як основа логарифму.

Мал. 1. Графік логарифмічної функції за різних підстав

Графік функції зображено чорним кольором. Мал. 1. Якщо аргумент зростає від нуля до нескінченності, функція зростає від мінус до плюс нескінченності.

Графік функції при зображені червоним кольором. Мал. 1.

Властивості цієї функції:

Область визначення: ;

Область значень: ;

Функція монотонна по всій своїй області визначення. При монотонному (строго) зростає, більшому значенню аргументу відповідає більше значення функції. При монотонно (строго) зменшується, більшому значенню аргументу відповідає менше значення функції.

Властивості логарифмічної функції є ключем до розв'язання різноманітних логарифмічних рівнянь.

Розглянемо найпростіше логарифмическое рівняння, й інші логарифмічні рівняння, зазвичай, зводяться до такого виду.

Оскільки рівні основи логарифмів і самі логарифми, рівні функції, що стоять під логарифмом, але ми повинні не прогаяти область визначення. Під логарифмом може стояти лише позитивне число, маємо:

Ми з'ясували, що функції f і g рівні, тому достатньо вибрати одну будь-яку нерівність щоб дотриматися ОДЗ.

Таким чином, ми отримали змішану систему, в якій є рівняння та нерівність:

Нерівність, як правило, вирішувати необов'язково, достатньо вирішити рівняння і знайдене коріння підставити в нерівність, таким чином виконати перевірку.

Сформулюємо метод розв'язання найпростіших логарифмічних рівнянь:

Зрівняти основи логарифмів;

Прирівняти підлогарифмічні функції;

Виконати перевірку.

Розглянемо конкретні приклади.

Приклад 1 - розв'язати рівняння:

Підстави логарифмів спочатку рівні, маємо право прирівняти підлогарифмічні вирази, не забуваємо про ОДЗ, виберемо для складання нерівності перший логарифм:

Приклад 2 - розв'язати рівняння:

Дане рівняння відрізняється від попереднього тим, що підстави логарифмів менше одиниці, але це ніяк не впливає на розв'язання:

Знайдемо корінь і підставимо його в нерівність:

Здобули неправильну нерівність, отже, знайдений корінь не задовольняє ОДЗ.

Приклад 3 - розв'язати рівняння:

Підстави логарифмів спочатку рівні, маємо право прирівняти підлогарифмічні вирази, не забуваємо про ОДЗ, виберемо для складання нерівності другий логарифм:

Знайдемо корінь і підставимо його в нерівність:

Очевидно, що лише перший корінь задовольняє ОДЗ.

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.

Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, електронну адресу і т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

Персональна інформація, що збирається нами, дозволяє нам зв'язуватися з вами і повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються нами, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно чи доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.

Збір та використання персональної інформації

Яку персональну інформацію ми збираємо:

Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, електронну адресу і т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

Персональна інформація, що збирається нами, дозволяє нам зв'язуватися з вами і повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються нами, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно чи доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Приклади:

\(\log_(2)(⁡x) = 32\)
\(\log_3⁡x=\log_3⁡9\)
\(\log_3⁡((x^2-3))=\log_3⁡((2x))\)
\(\log_(x+1)((x^2+3x-7))=2\)
\(\lg^2⁡((x+1))+10=11 \lg⁡((x+1))\)

Як вирішувати логарифмічні рівняння:

При вирішенні логарифмічного рівняння потрібно прагнути перетворити його на вигляд \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\), після чого зробити перехід до \(f(x)=g(x) \).

\(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) \(⇒\) \(f(x)=g(x)\).

Приклад:\(\log_2⁡(x-2)=3\)

Рішення:
\(\log_2⁡(x-2)=\log_2⁡8\)
\ (x-2 = 8 \)
\(x=10\)
Перевірка:\(10>2\) - підходить по ОДЗ
Відповідь:\(x=10\)

ОДЗ:
\(x-2>0\)
\(x>2\)

Дуже важливо!Цей перехід можна робити лише якщо:

Ви написали для вихідного рівняння, і наприкінці перевірите, чи входять знайдені в ОДЗ. Якщо це не зробити, може з'явитися зайве коріння, а значить – неправильне рішення.

Число (або вираз) ліворуч і праворуч однаково;

Логарифми ліворуч і праворуч - «чисті», тобто не повинно бути ніяких множень, поділів і т.д. - Тільки одинокі логарифми по обидва боки від знаку одно.

Наприклад:

Зауважимо, що рівняння 3 та 4 можна легко вирішити, застосувавши потрібні властивості логарифмів.

приклад . Розв'язати рівняння \(2\log_8⁡x=\log_8⁡2,5+\log_8⁡10\)

Рішення :

		Напишемо ОДЗ: (x>0).
\(2\log_8⁡x=\log_8⁡2,5+\log_8⁡10\) ОДЗ: \(x>0\)		Зліва перед логарифмом стоїть коефіцієнт, справа сума логарифмів. Це нам заважає. Перенесемо двійку у показник ступеня \(x\) за якістю: \(n \log_b(⁡a)=\log_b⁡(a^n)\). Суму логарифмів представимо у вигляді одного логарифму за якістю: \(\log_a⁡b+\log_a⁡c=\log_a(⁡bc)\)
\(\log_8⁡(x^2)=\log_8⁡25\)		Ми привели рівняння до виду \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) і записали ОДЗ, отже можна виконати перехід до виду \(f(x)=g(x)\ ).
		Вийшло. Вирішуємо його та отримуємо коріння.
\(x_1=5\) \(x_2=-5\)		Перевіряємо чи підходять коріння під ОДЗ. Для цього в (x>0) замість (x) підставляємо (5) і (-5). Цю операцію можна виконати усно.
\(5>0\), \(-5>0\)		Перша нерівність вірна, друга – ні. Значить (5) - корінь рівняння, а от (-5) - ні. Записуємо відповідь.

Відповідь : \(5\)

приклад : Розв'язати рівняння \(\log^2_2⁡(x)-3 \log_2(⁡x)+2=0\)

Рішення :

		Напишемо ОДЗ: (x>0).
\(\log^2_2⁡(x)-3 \log_2(⁡x)+2=0\) ОДЗ: \(x>0\)		Типове рівняння, яке вирішується за допомогою . Замінюємо \(\log_2⁡x) на \(t\).
\(t=\log_2⁡x\)
		Отримали звичайне. Шукаємо його коріння.
\(t_1=2\) \(t_2=1\)		Робимо зворотну заміну
\(\log_2(⁡x)=2\) \(\log_2(⁡x)=1\)		Перетворюємо праві частини, представляючи їх як логарифми: \(2=2 \cdot 1=2 \log_2⁡2=\log_2⁡4\) і \(1=\log_2⁡2\)
\(\log_2(⁡x)=\log_2⁡4\) \(\log_2(⁡x)=\log_2⁡2 \)		Тепер наші рівняння мають вигляд \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\), і ми можемо виконати перехід до \(f(x)=g(x)\).
\(x_1=4\) \(x_2=2\)		Перевіряємо відповідність коренів ОДЗ. Для цього в нерівність \(x>0\) замість \(x\) підставляємо \(4\) та \(2\).
\(4>0\) \(2>0\)		Обидві нерівності вірні. Значить і (4) і (2) корені рівняння.

Відповідь : \(4\); \(2\).