Даний онлайн калькулятор дозволяє вирішувати диференціальні рівняння онлайн. Достатньо у відповідне поле ввести ваше рівняння, позначаючи через апостроф " похідну від функції і натиснути на кнопку "вирішити рівняння". І система, реалізована на основі популярного сайту WolframAlpha видасть докладне розв'язання диференціального рівнянняабсолютно безкоштовно. Ви можете також задати завдання Коші, щоб з множини можливих рішень вибрати приватне відповідне заданим початковим умовам. Завдання Коші вводиться окремому полі.
Диференціальне рівняння
За промовчанням у рівнянні функція yє функцією від змінної x. Однак ви можете задати своє позначення змінної, якщо напишете, наприклад, y(t) у рівнянні, калькулятор автоматично розпізнає, що yє функція від змінної t. За допомогою калькулятора ви зможете вирішувати диференціальні рівняннябудь-якої складності і виду: однорідні і неоднорідні, лінійні або нелінійні, першого порядку або другого і більш високих порядків, рівняння з змінними, що розділяються або нерозділяються, і т.д. Рішення диф. рівняння дається в аналітичному вигляді, має докладний опис. Диференціальні рівняння дуже часто зустрічаються у фізиці та математиці. Без їх обчислення неможливо вирішувати багато завдань (особливо математичної фізики).
Одним із етапів розв'язання диференціальних рівнянь є інтегрування функцій. Є стандартні методи розв'язування диференціальних рівнянь. Необхідно привести рівняння до виду з змінними y і x, що розділяються, і окремо проінтегрувати розділені функції. Щоб це зробити, іноді слід провести певну заміну.
Розв'язання диференціальних рівнянь. Завдяки нашому онлайн сервісу вам доступне рішення диференціальних рівнянь будь-якого виду і складності: неоднорідні, однорідні, нелінійні, лінійні, першого, другого порядку, з змінними, що розділяються, або не поділяються і т.д. Ви отримуєте розв'язання диференціальних рівнянь в аналітичному вигляді з детальним описом. Багато хто цікавиться: навіщо потрібно вирішувати диференціальні рівняння онлайн? Даний вид рівнянь дуже поширений у математиці та фізиці, де вирішити багато завдань без обчислення диференціального рівняння буде неможливо. Також диференціальні рівняння поширені економіки, медицині, біології, хімії та інших науках. Рішення такого рівняння в онлайн режимі значно полегшує вам поставлені завдання, дає можливість краще засвоїти матеріал і перевірити себе. Переваги розв'язання диференціальних рівнянь онлайн. Сучасний математичний сервіс сайт дозволяє вирішувати диференціальні рівняння онлайн будь-якої складності. Як ви знаєте, існує велика кількість видів диференціальних рівнянь і для кожного з них передбачені свої способи розв'язання. На нашому сервісі ви можете знайти рішення диференціальних рівнянь будь-якого порядку та виду в режимі онлайн. Для отримання рішення ми пропонуємо заповнити вихідні дані та натиснути кнопку «Рішення». Помилки в роботі сервісу виключені, тому ви можете бути на 100% впевнені, що отримали правильну відповідь. Вирішуйте диференціальні рівняння разом із нашим сервісом. Вирішити диференціальні рівняння онлайн. За промовчанням у такому рівнянні функція y – це функція від x змінної. Але ви можете ставити і своє позначення змінної. Наприклад, якщо ви вкажете в диференціальному рівнянні y(t), то наш сервіс автоматично визначить, що є функцією від t змінної. Порядок всього диференціального рівняння залежатиме максимального порядку похідної функції, що у рівнянні. Вирішити таке рівняння означає знайти потрібну функцію. Вирішити диференціальні рівняння онлайн допоможе вам наш сервіс. Для вирішення рівняння від вас не потрібно багато зусиль. Необхідно лише ввести у потрібні поля ліву та праву частини вашого рівняння та натиснути кнопку «Рішення». При введенні похідну функції необхідно позначати через апостроф. За лічені секунди ви отримаєте готове детальне рішення диференціального рівняння. Наш сервіс є абсолютно безкоштовним. Диференціальні рівняння з змінними, що розділяються. Якщо в диференціальному рівнянні в лівій частині знаходиться вираз, що залежить від y, а правій частині - вираз, який залежить від x, то таке диференціальне рівняння називається з змінними, що розділяються. У лівій частині може бути похідна від y рішення диференціальних рівнянь такого виду буде у вигляді функції y, вираженої через інтеграл від правої частини рівняння. Якщо ж у лівій частині буде диференціал функції від y, то у такому разі інтегруються обидві частини рівняння. Коли змінні в диференціальному рівнянні не розділені, їх потрібно розділити, щоб отримати диференціальне рівняння з розділеними змінними. Лінійне диференціальне рівняння. Лінійним називається диференціальне рівняння, у якого функція та всі її похідні перебувають у першому ступені. Загальний вигляд рівняння: y+a1(x)y=f(x). f(x) та a1(x) – це безперервні функції від x. Розв'язання диференціальних рівнянь такого типу зводиться до інтегрування двох диференціальних рівнянь із розділеними змінними. Порядок диференціального рівняння. Диференціальне рівняння то, можливо першого, другого, n-го порядку. Порядок диференціального рівняння визначає порядок старшої похідної, що міститься у ньому. У нашому сервісі можна вирішити диференціальні рівняння онлайн першого, другого, третього і т.д. порядку. Рішенням рівняння буде будь-яка функція y=f(x), підставивши яку рівняння, ви отримаєте тотожність. Процес пошуку розв'язання диференціального рівняння називають інтегруванням. Завдання Коші. Якщо крім самого диференціального рівняння задається початкова умова y(x0)=y0, це називається завданням Коші. У рішення рівняння додаються показники y0 і x0 і визначають значення довільної константи C, а потім часткове рішення рівняння при цьому значенні C. Це і є рішенням завдання Коші. Ще завдання Коші називають завданням із граничними умовами, що дуже поширене у фізиці та механіці. Також у вас є можливість задати завдання Коші, тобто з усіх можливих рішень рівняння вибрати приватне, що відповідає заданим умовам.
Згадаймо завдання, яке стояло перед нами під час знаходження певних інтегралів:
чи dy = f(x)dx. Її рішення:
і зводиться до обчислення невизначеного інтеграла. Насправді частіше зустрічається складніше завдання: знайти функцію y, якщо відомо, що вона задовольняє співвідношення виду
Це співвідношення пов'язує незалежну змінну x, невідому функцію yта її похідні до порядку nвключно, називаються .
У диференціальне рівняння входить функція під знаком похідних (чи диференціалів) тієї чи іншої системи. Порядок найвищої називається порядком (9.1) .
Диференційне рівняння:
- першого порядку,
Другого порядку,
- П'ятого порядку і т.д.
Функція, яка задовольняє даному диференціальному рівнянню, називається його розв'язком , або інтегралом . Вирішити його означає знайти всі його рішення. Якщо для шуканої функції yвдалося отримати формулу, яка дає всі рішення, то ми говоримо, що знайшли його спільне рішення , або загальний інтеграл .
Загальне рішення
містить nдовільних постійних 
і має вигляд
Якщо отримано співвідношення, яке пов'язує x, yі nдовільних постійних, у вигляді, не дозволеному щодо y -
то таке співвідношення називається загальним інтегралом рівняння (9.1).
Завдання Коші
Кожне конкретне рішення, тобто кожна конкретна функція, яка задовольняє даному диференціальному рівнянню та не залежить від довільних постійних, називається приватним рішенням , чи приватним інтегралом. Щоб отримати приватні рішення (інтеграли) із загальних, треба постійним надавати конкретні числові значення.
Графік приватного рішення називається інтегральною кривою. Загальне рішення, яке містить усі приватні рішення, є сімейством інтегральних кривих. Для рівняння першого порядку ця родина залежить від однієї довільної постійної, для рівняння n-го порядку - від nдовільних постійних.
Завдання Коші полягає у знаходженні приватного рішення для рівняння n-го порядку, що задовольняє nпочатковим умовам:
за якими визначаються n постійних з 1, з 2,..., c n.
Диференціальні рівняння 1-го порядку
Для невирішеного щодо похідної диференціальне рівняння 1-го порядку має вигляд
або для дозволеного щодо
Приклад 3.46. Знайти загальне рішення рівняння
Рішення.Інтегруючи, отримаємо
де С - довільна стала. Якщо надамо С конкретні числові значення, то отримаємо окремі рішення, наприклад,
Приклад 3.47. Розглянемо зростаючу грошову суму, покладену в банк за умови нарахування 100 r складних відсотків на рік. Нехай Yo початкова грошова сума, а Yx - після закінчення xроків. При нарахуванні відсотків один раз на рік, отримаємо
де x = 0, 1, 2, 3, .... При нарахуванні відсотків двічі на рік, отримаємо
де x = 0, 1/2, 1, 3/2, .... При нарахуванні відсотків nраз на рік і якщо xприймає послідовно значення 0, 1/n, 2/n, 3/n,... тоді
Позначити 1/n = h , тоді попередня рівність матиме вигляд:
При необмеженому збільшенні n(при 
) у межі приходимо до процесу зростання грошової суми при безперервному нарахуванні відсотків:
таким чином видно, що при безперервній зміні xЗакон зміни грошової маси виражається диференціальним рівнянням 1-го порядку. Де Y x - невідома функція, x- незалежна змінна, r- Постійна. Вирішимо дане рівняння, для цього перепишемо його таким чином:
звідки 
, або 
де через P позначено e C .
З початкових умов Y(0) = Yo , знайдемо P: Yo = Pe o , звідки, Yo = P. Отже, рішення має вигляд:
Розглянемо друге економічне завдання. Макроекономічні моделі теж описуються лінійним диференціальним рівнянням 1-го порядку, що описує зміну доходу чи випуску продукції Y як функцій часу.
Приклад 3.48. Нехай національний дохід Y зростає зі швидкістю, пропорційною його величиною:
і нехай, дефіцит у витратах уряду прямо пропорційний доходу Y з коефіцієнтом пропорційності q. Дефіцит у витратах призводить до зростання національного боргу D:
Початкові умови Y = Yo та D = Do при t = 0. З першого рівняння Y = Yoe kt . Підставляючи Y отримуємо dD/dt = qYoe kt. Загальне рішення має вигляд
D = (q/k) Yoe kt +С, де С = const, що визначається з початкових умов. Підставляючи початкові умови, отримуємо Do = (q/k) Yo + С. Отже, остаточно,
D = Do + (q / k) Yo (e kt -1),
звідси видно, що національний борг зростає з тією ж відносною швидкістю k, як і національний дохід.
Розглянемо найвищі диференціальні рівняння n-го порядку, це рівняння виду
Його загальне рішення отримаємо за допомогою nразів інтегрувань.
Приклад 3.49.Розглянемо приклад y """ = cos x.
Рішення.Інтегруючи, знаходимо
Загальне рішення має вигляд
Лінійні диференціальні рівняння
В економіці велике застосування мають розглянемо рішення таких рівнянь. Якщо (9.1) має вигляд:
воно називається лінійним, де рo(x), р1(x),..., рn(x), f(x) - задані функції. Якщо f(x) = 0, то (9.2) називається однорідними, інакше - неоднорідним. Загальне рішення рівняння (9.2) дорівнює сумі будь-якого його приватного рішення y(x)та загального рішення однорідного рівняння відповідного йому:
Якщо коефіцієнти р o (x), р 1 (x), ..., р n (x) постійні, то (9.2)
(9.4) називається лінійним диференціальним рівнянням із постійними коефіцієнтами порядку n .
Для (9.4) має вигляд:
Можна покласти без обмеження спільності р o = 1 і записати (9.5) у вигляді
Шукатимемо рішення (9.6) у вигляді y = e kx , де k - константа. Маємо: ; y " = ke kx , y "" = k 2 e kx , ..., y (n) = kne kx . Підставимо отримані вирази в (9.6), матимемо:
(9.7) є рівняння алгебри, його невідомим є k, Воно називається характеристичним. Характеристичне рівняння має ступінь nі nкоріння, серед яких можуть бути як кратні, так і комплексні. Нехай k 1 , k 2 ,..., k n - дійсні та різні, тоді 
- приватні рішення (9.7), а загальне
Розглянемо лінійне однорідне диференціальне рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами:
Його характеристичне рівняння має вигляд
(9.9)
його дискримінант D = р 2 – 4q залежно від знака D можливі три випадки.
1. Якщо D>0, то коріння k 1 і k 2 (9.9) дійсні та різні, і загальне рішення має вигляд:
Рішення.Характеристичне рівняння: k 2 + 9 = 0, звідки k = ± 3i, a = 0, b = 3, загальне рішення має вигляд:
y = C 1 cos 3x + C 2 sin 3x.
Лінійні диференціальні рівняння 2-го порядку застосовуються щодо економічної моделі павутиноподібного типу із запасами товарів, де швидкість зміни ціни P залежить від величини запасу (див. параграф 10). Якщо попит і пропозиція є лінійними функціями ціни, тобто
а - є постійна, що визначає швидкість реакції, процес зміни ціни описується диференціальним рівнянням:
За приватне рішення можна взяти постійну
що має сенс ціни рівноваги. Відхилення 
задовольняє однорідне рівняння
(9.10)
Характеристичне рівняння буде таким:
У разі член позитивний. Позначимо 
. Коріння характеристичного рівняння k 1,2 = ± i w, тому загальне рішення (9.10) має вигляд:
де C і довільні постійні вони визначаються з початкових умов. Набули закону зміни ціни в часі:
6.1. ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ ТА ВИЗНАЧЕННЯ
При вирішенні різних завдань математики та фізики, біології та медицини досить часто не вдається одразу встановити функціональну залежність у вигляді формули, що зв'язує змінні величини, які описують досліджуваний процес. Зазвичай доводиться використовувати рівняння, що містять, крім незалежної змінної та невідомої функції, ще її похідні.
Визначення.Рівняння, що пов'язує незалежну змінну, невідому функцію та її похідні різних порядків, називається диференційним.
Невідому функцію зазвичай позначають y(x)або просто y,а її похідні - y", y"і т.д.
Можливі й інші позначення, наприклад: якщо y= x(t), то x"(t), x""(t)- її похідні, а t- Незалежна змінна.
Визначення.Якщо функція залежить від однієї змінної, то диференціальне рівняння називається звичайним. Загальний вигляд звичайного диференціального рівняння:
або
Функції Fі fможуть не містити деяких аргументів, але для того, щоб рівняння були диференціальними, суттєво наявність похідної.
Визначення.Порядок диференціального рівнянняназивається порядок старшої похідної, що входить до нього.
Наприклад, x 2 y"- y= 0, y" + sin x= 0 – рівняння першого порядку, а y"+ 2 y"+ 5 y= x- Рівняння другого порядку.
При вирішенні диференціальних рівнянь використовується операція інтегрування, що з появою довільної постійної. Якщо дія інтегрування застосовується nраз, то, очевидно, і у рішенні буде утримуватися nдовільних постійних.
6.2. ДИФЕРЕНЦІЙНІ РІВНЯННЯ ПЕРШОГО ПОРЯДКУ
Загальний вигляд диференціального рівняння першого порядкувизначається виразом
Рівняння може не містити у явному вигляді xі y,але обов'язково містить у.
Якщо рівняння можна записати як
то отримаємо диференціальне рівняння першого порядку, дозволене щодо похідної.
Визначення.Загальним рішенням диференціального рівняння першого порядку (6.3) (або (6.4)) є безліч рішень 
, де З- Довільна постійна.
Графік розв'язання диференціального рівняння називається інтегральної кривої.
Надаючи довільної постійної Зрізні значення можна отримати приватні рішення. На площині xOyзагальне рішення є сімейством інтегральних кривих, відповідних кожному окремому решению.
Якщо задати точку A (x 0 , y 0),через яку має проходити інтегральна крива, то, як правило, з безлічі функцій 
можна виділити одну – приватне рішення.
Визначення.Приватним рішеннямДиференціального рівняння називається його рішення, що не містить довільних постійних.
Якщо 
є загальним рішенням, тоді з умови
можна знайти постійну З.Умову називають початковою умовою.
Завдання знаходження приватного рішення диференціального рівняння (6.3) або (6.4), що задовольняє початкову умову 
при 
називається завданням Коші.Чи завжди це завдання має рішення? Відповідь містить таку теорему.
Теорема Коші(Теорема існування та єдиності рішення). Нехай у диференціальному рівнянні y"= f(x, y)функція f(x, y)і її
приватна похідна 
визначені та безперервні в деякій
області D,містить точку 
Тоді в області Dіснує
єдине рішення рівняння, що задовольняє початкову умову 
при 
Теорема Коші стверджує, що за певних умов існує єдина інтегральна крива y= f(x),проходить через точку 
Точки, у яких не виконуються умови теореми
Коші, називаються особливими.У цих точках терпить розрив f(x, y) або.
Через особливу точку проходить кілька інтегральних кривих, або жодної.
Визначення.Якщо рішення (6.3), (6.4) знайдено у вигляді f(x, y, C)= 0, не дозволеним щодо у, воно називається спільним інтеграломдиференціального рівняння.
Теорема Коші лише гарантує, що рішення існує. Оскільки єдиного методу знаходження рішення немає, ми розглядатимемо лише деякі типи диференціальних рівнянь першого порядку, що інтегруються в квадратури.
Визначення.Диференціальне рівняння називається інтегрованим у квадратурах,якщо його рішення зводиться до інтегрування функций.
6.2.1. Диференціальні рівняння першого порядку з змінними, що розділяються.
Визначення.Диференціальне рівняння першого порядку називається рівнянням з розділяються змінними,
Права частина рівняння (6.5) є добутком двох функцій, кожна з яких залежить тільки від однієї змінної.
Наприклад, рівняння 
є рівнянням з поділяючою-
мися змінними 
а рівняння 
не можна уявити у вигляді (6.5).
Враховуючи що 
, перепишемо (6.5) у вигляді 
З цього рівняння отримаємо диференціальне рівняння з розділеними змінними, в якому при диференціалах стоять функції, що залежать лише від відповідної змінної:
Інтегруючи почленно, маємо
де C = C 2 - C 1 - довільна стала. Вираз (6.6) є загальним інтегралом рівняння (6.5).
Розділивши обидві частини рівняння (6.5) на,, ми можемо втратити ті рішення, за яких, 
Справді, якщо 
при 
то 
очевидно, є розв'язком рівняння (6.5).
приклад 1.Знайти рішення рівняння, що задовольняє
умові: y= 6 при x= 2 (y(2) = 6).
Рішення.Замінимо у"назавжди 
. Помножимо обидві частини на
dx,оскільки при подальшому інтегруванні не можна залишати dxу знаменнику:
а потім, розділивши обидві частини на 
отримаємо рівняння,
яке можна проінтегрувати. Інтегруємо: 
Тоді 
; потенціюючи, отримаємо y = C. (x + 1) - про-
ше рішення.
За початковими даними визначаємо довільну постійну, підставивши їх у загальне рішення
Остаточно отримуємо y= 2(x + 1) – приватне рішення. Розглянемо ще кілька прикладів розв'язання рівнянь із змінними, що розділяються.
приклад 2.Знайти рішення рівняння 
Рішення.Враховуючи що 
, отримаємо 
.
Проінтегрувавши обидві частини рівняння, матимемо
звідки 
приклад 3.Знайти рішення рівняння Рішення.Ділимо обидві частини рівняння на ті співмножники, які залежать від змінної, що не збігається зі змінною під знаком диференціала, тобто на 
та інтегруємо. Тоді отримаємо
і наостанок,
приклад 4.Знайти рішення рівняння
Рішення.Знаючи, що отримаємо. Розді-
лім змінні. Тоді 
Інтегруючи, отримаємо
Зауваження.У прикладах 1 і 2 потрібна функція yвиражена явно (загальне рішення). У прикладах 3 та 4 - неявно (загальний інтеграл). Надалі форма рішення не обговорюватиметься.
Приклад 5.Знайти рішення рівняння Рішення.
Приклад 6.Знайти рішення рівняння 
, що задовольняє
умові y(e)= 1.
Рішення.Запишемо рівняння у вигляді 
Помножуючи обидві частини рівняння на dxі на, отримаємо
Інтегруючи обидві частини рівняння (інтеграл у правій частині береться частинами), отримаємо 
Але за умовою y= 1 при x= e. Тоді
Підставимо знайдені значення Зу загальне рішення:
Отримане вираз називається частковим рішенням диференціального рівняння.
6.2.2. Однорідні диференціальні рівняння першого порядку
Визначення.Диференціальне рівняння першого порядку називається однорідним,якщо його можна подати у вигляді
Наведемо алгоритм розв'язання однорідного рівняння.
1. Замість yвведемо нову функціюТоді 
і, отже, 
2.У термінах функції uрівняння (6.7) набуває вигляду
т. е. заміна зводить однорідне рівняння до рівняння з змінними, що розділяються.
3. Вирішуючи рівняння (6.8), знаходимо спочатку u, а потім y= Ux.
приклад 1.Вирішити рівняння 
Рішення.Запишемо рівняння у вигляді
Виробляємо підстановку: 
Тоді 
Замінимо 
Помножимо на dx: 
Розділимо на xі на 
тоді
Проінтегрувавши обидві частини рівняння за відповідними змінними, матимемо
або, повертаючись до старих змінних, отримаємо остаточно
приклад 2.Вирішити рівняння 
Рішення.Нехай 
тоді
Поділимо обидві частини рівняння на x 2: 
Розкриємо дужки і перегрупуємо складові:
Переходячи до старих змінних, дійдемо остаточного результату:
приклад 3.Знайти рішення рівняння 
за умови
Рішення.Виконуючи стандартну заміну 
отримуємо
або 
або
Отже, приватне рішення має вигляд 
приклад 4.Знайти рішення рівняння
Рішення.
Приклад 5.Знайти рішення рівняння 
Рішення.
Самостійна робота
Знайти рішення диференціальних рівнянь з змінними, що розділяються (1-9).
Знайти вирішення однорідних диференціальних рівнянь (9-18).
6.2.3. Деякі програми диференціальних рівнянь першого порядку
Завдання про радіоактивний розпад
Швидкість розпаду Ra (радія) у кожен час пропорційна його готівковій масі. Знайти закон радіоактивного розпаду Ra, якщо відомо, що в початковий момент було Ra і період напіврозпаду Ra дорівнює 1590 років.
Рішення.Нехай у момент маса Ra складає x= x(t)г, причому 
Тоді швидкість розпаду Ra дорівнює
За умовою завдання 
де k
Розділяючи в останньому рівнянні змінні та інтегруючи, отримаємо
звідки 
Для визначення Cвикористовуємо початкову умову: при 
.
Тоді 
і, отже, 
Коефіцієнт пропорційності kвизначаємо із додаткової умови:
Маємо
Звідси 
та шукана формула
Завдання про швидкість розмноження бактерій
Швидкість розмноження бактерій пропорційна їх кількості. У початковий період було 100 мікробів. Протягом 3 год їхнє число подвоїлося. Знайти залежність кількості бактерій від часу. У скільки разів збільшиться кількість бактерій упродовж 9 год?
Рішення.Нехай x- кількість бактерій у момент t.Тоді, згідно з умовою, 
де k- Коефіцієнт пропорційності.
Звідси 
З умови відомо, що 
. Значить,
З додаткової умови 
. Тоді
Шукана функція: 
Значить, при t= 9 x= 800, т. е. протягом 9 год кількість бактерій збільшилася 8 раз.
Завдання про збільшення кількості ферменту
У культурі пивних дріжджів швидкість приросту ферменту, що діє, пропорційна його початковій кількості x.Початкова кількість ферменту aпротягом години подвоїлося. Знайти залежність
x(t).
Рішення.За умовою диференціальне рівняння процесу має вигляд 
звідси
Але 
. Значить, C= aі тоді 
Відомо також, що 
Отже,
6.3. ДИФЕРЕНЦІЙНІ РІВНЯННЯ ДРУГОГО ПОРЯДКУ
6.3.1. Основні поняття
Визначення.Диференціальним рівнянням другого порядкуназивається співвідношення, що пов'язує незалежну змінну, шукану функцію та її першу та другу похідні.
У окремих випадках у рівнянні можуть бути відсутніми x, уабо у". Однак рівняння другого порядку обов'язково має містити в". У випадку диференціальне рівняння другого порядку записується як:
або, якщо це можливо, у вигляді, дозволеному щодо другої похідної:
Як і у разі рівняння першого порядку, рівняння другого порядку можуть існувати загальне і приватне рішення. Загальне рішення має вигляд:
Знаходження приватного рішення
за початкових умов-задані
числа) називається завданням Коші.Геометрично це означає, що потрібно знайти інтегральну криву у= у (x),проходить через задану точку 
і що має в цій точці дотичну яка про-
разує з позитивним напрямом осі Oxзаданий кут. е. 
(Рис. 6.1). Завдання Коші має єдине рішення, якщо права частина рівняння (6.10), 
непре-
рівна і має безперервні приватні похідні по у, у"в деякій околиці початкової точки
Для знаходження постійних 
що входять у приватне рішення, треба дозволити систему
Мал. 6.1.Інтегральна крива
