У цій статті ми знайдемо відповіді на питання про те, як створити проекцію точки на площину та як визначити координати цієї проекції. Спиратися в теоретичній частині на поняття проектування. Дамо визначення термінам, супроводжуємо інформацію ілюстраціями. Закріпимо отримані знання під час вирішення прикладів.
Проектування, види проектування
Для зручності розгляду просторових фігур використовують креслення із зображенням цих фігур.
Визначення 1
Проекція фігури на площину– креслення просторової фігури.
Вочевидь, що з побудови проекції існує низка використовуваних правил.
Визначення 2
Проектування- Процес побудови креслення просторової фігури на площині з використанням правил побудови.
Площина проекції- це площина, у якій будується зображення.
Використання тих чи інших правил визначає тип проектування: центральнеабо паралельне.
Окремим випадком паралельного проектування є перпендикулярне проектування або ортогональне: в геометрії переважно використовують саме його. Тому в мові саме прикметник «перпендикулярне» часто опускають: у геометрії говорять просто «проекція фігури» і мають на увазі під цим побудову проекції методом перпендикулярного проектування. В окремих випадках, звичайно, може бути обумовлено інше.
Зазначимо той факт, що проекція фігури на площину є проекція всіх точок цієї фігури. Тому, щоб мати можливість вивчати просторову фігуру на кресленні, необхідно отримати базову навичку проектувати крапку на площину. Про що й говоритимемо нижче.
Нагадаємо, що найчастіше в геометрії, говорячи про проекцію на площину, мають на увазі застосування перпендикулярної проекції.
Зробимо побудови, які дадуть нам можливість отримати визначення проекції точки на площину.
Припустимо, задано тривимірний простір, а в ньому - площину і точка М 1 , не належить площині . Накреслимо через задану точку М1 пряму аперпендикулярно заданій площині? Точку перетину прямої a і площини α позначимо як H 1 вона по побудові буде основою перпендикуляра, опущеного з точки М 1 на площину α .
Якщо задана точка М 2 , що належить заданій площині α , то М 2 буде проекцією самої себе на площину α .
Визначення 3
- Це або сама точка (якщо вона належить заданій площині), або основа перпендикуляра, опущеного із заданої точки на задану площину.
Знаходження координат проекції точки на площину, приклади
Нехай у тривимірному просторі задані: прямокутна система координат O x y z, площина α, точка М 1 (x 1, y 1, z 1). Необхідно знайти координати проекції точки М1 на задану площину.
Рішення очевидно випливає з цього вище визначення проекції точки на площину.
Позначимо проекцію точки М 1 на площину як Н 1 . Згідно з визначенням, H 1 є точкою перетину даної площини і прямою a проведеною через точку М 1 (перпендикулярної площини). Тобто. необхідні нам координати проекції точки М 1 – це координати точки перетину прямої a та площини α .
Таким чином, для знаходження координат проекції точки на площину необхідно:
Отримати рівняння площини α (якщо воно не задано). Тут вам допоможе стаття про види рівнянь площини;
Визначити рівняння прямої a , що проходить через точку М 1 і перпендикулярної площині (вивчіть тему про рівняння прямої, що проходить через задану точку перпендикулярно до заданої площини);
Знайти координати точки перетину прямої a та площини α (стаття – знаходження координат точки перетину площини та прямої). Отримані дані будуть потрібними нам координатами проекції точки М 1 на площину α .
Розглянемо теорію на прикладах.
Приклад 1
Визначте координати проекції точки М 1 (-2, 4, 4) на площину 2 х – 3 y + z - 2 = 0 .
Рішення
Як бачимо, рівняння площині нам поставлено, тобто. складати його потреби немає.
Запишемо канонічні рівняння прямої a проходить через точку М 1 і перпендикулярної заданої площини. З цією метою визначимо координати напрямного вектора прямої a. Оскільки пряма а перпендикулярна заданій площині, напрямний вектор прямий a – це нормальний вектор площини 2 х – 3 y + z - 2 = 0 . Таким чином, a → = (2 , - 3 , 1) – напрямний вектор прямий a .
Тепер складемо канонічні рівняння прямої в просторі, що проходить через точку М 1 (- 2 , 4 , 4) і має напрямний вектор a → = (2, - 3, 1):
x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1
Для знаходження шуканих координат наступним кроком визначимо координати точки перетину прямої x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1 і площині 2 х - 3 y + z - 2 = 0 . З цією метою переходимо від канонічних рівнянь до рівнянь двох площин, що перетинаються:
x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1 ⇔ - 3 · (x + 2) = 2 · (y - 4) 1 · (x + 2) = 2 · (z - 4) 1 · ( y - 4) = - 3 · (z + 4) ⇔ 3 x + 2 y - 2 = 0 x - 2 z + 10 = 0
Складемо систему рівнянь:
3 x + 2 y - 2 = 0 x - 2 z + 10 = 0 2 x - 3 y + z - 2 = 0 ⇔ 3 x + 2 y = 2 x - 2 z = - 10 2 x - 3 y + z = 2
І вирішимо її, використовуючи метод Крамера:
∆ = 3 2 0 1 0 - 2 2 - 3 1 = - 28 ∆ x = 2 2 0 - 10 0 - 2 2 - 3 1 = 0 ⇒ x = ∆ x ∆ = 0 - 28 = 0 ∆ y = 3 2 0 1 - 10 - 2 2 2 1 = - 28 ⇒ y = ∆ y ∆ = - 28 - 28 = 1 ∆ z = 3 2 2 1 0 - 10 2 - 3 2 = - 140 ⇒ z = ∆ z ∆ = - 140 – 28 = 5
Таким чином, шукані координати заданої точки М 1 на задану площину будуть: (0 , 1 , 5) .
Відповідь: (0 , 1 , 5) .
Приклад 2
У прямокутній системі координат O x y z тривимірного простору дано точки А (0, 0, 2); В (2, - 1, 0); З (4 , 1 , 1) та М 1 (-1, -2, 5). Необхідно знайти координати проекції М 1 на площину АВС
Рішення
Насамперед запишемо рівняння площини, що проходить через три задані точки:
x - 0 y - 0 z - 0 2 - 0 - 1 - 0 0 - 2 4 - 0 1 - 0 1 - 2 = 0 ⇔ x y z - 2 2 - 1 - 2 4 1 - 1 = 0 ⇔ ⇔ 3 x - 6 y + 6 z - 12 = 0 ⇔ x - 2 y + 2 z - 4 = 0
Запишемо параметричні рівняння прямої a , яка проходитиме через точку М 1 перпендикулярно площині А В С. Площина х - 2 y + 2 z - 4 = 0 має нормальний вектор з координатами (1, - 2, 2), тобто. вектор a → = (1 , - 2 , 2) – напрямний вектор прямий a .
Тепер, маючи координати точки прямої М 1 і координати напрямного вектора цієї прямої, запишемо параметричні рівняння прямої в просторі:
Потім визначимо координати точки перетину площини х – 2 y + 2 z – 4 = 0 та прямий
x = - 1 + λ y = - 2 - 2 · λ z = 5 + 2 · λ
Для цього в рівняння площини підставимо:
x = - 1 + λ, y = - 2 - 2 · λ, z = 5 + 2 · λ
Тепер за параметричними рівняннями x = - 1 + λ y = - 2 - 2 · λ z = 5 + 2 · λ знайдемо значення змінних x , y та z при λ = - 1: x = - 1 + (- 1) y = - 2 - 2 · (- 1) z = 5 + 2 · (- 1) ⇔ x = - 2 y = 0 z = 3
Таким чином, проекція точки М 1 на площину АВС матиме координати (- 2 , 0 , 3) .
Відповідь: (- 2 , 0 , 3) .
Окремо зупинимося на питанні знаходження координат проекції точки на координатні площини та площини, які паралельні координатним площинам.
Нехай задана точки М 1 (x 1 , y 1 , z 1) і координатні площини O x y, О x z і O y z. Координатами проекції цієї точки на дані площини будуть відповідно: (x 1, y 1, 0), (x 1, 0, z 1) і (0, y 1, z 1). Розглянемо також площини, паралельні заданим координатним площинам:
C z + D = 0 ⇔ z = - D C , B y + D = 0 ⇔ y = - D B
І проекціями заданої точки М 1 на ці площині будуть точки з координатами x 1, y 1, -DC, x1, -DB, z1 і -DA, y1, z1.
Продемонструємо, як було отримано цей результат.
Як приклад визначимо проекцію точки М 1 (x 1, y 1, z 1) на площину A x + D = 0 . Інші випадки – за аналогією.
Задана площина паралельна координатній площині O y z і = = (1, 0, 0) є її нормальним вектором. Цей вектор служить напрямним вектором прямої, перпендикулярної до площині O y z . Тоді параметричні рівняння прямої, проведеної через точку M 1 і перпендикулярної заданої площини, матимуть вигляд:
x = x 1 + λ y = y 1 z = z 1
Знайдемо координати точки перетину цієї прямої та заданої площини. Підставимо спочатку в рівняння А x + D = 0 рівності: x = x 1 + λ , y = y 1 , z = z 1 і отримаємо: A · (x 1 + λ) + D = 0 ⇒ λ = - D A - x 1
Потім обчислимо шукані координати, використовуючи параметричні рівняння прямої при λ = - DA - x 1:
x = x 1 + - D A - x 1 y = y 1 z = z 1 ⇔ x = - D A y = y 1 z = z 1
Тобто, проекцією точки М 1 (x 1 , y 1 , z 1) на площину буде точка з координатами - D A , y 1 , z 1 .
Приклад 2
Необхідно визначити координати проекції точки М 1 (-6, 0, 12) на координатну площину O x y і на площину 2 y - 3 = 0 .
Рішення
Координатна площина O x y відповідатиме неповне загальне рівняння площини z = 0 . Проекція точки М 1 на площину z = 0 матиме координати (-6, 0, 0).
Рівняння площини 2 y - 3 = 0 можна записати як y = 3 2 2 . Тепер просто записати координати проекції точки M 1 (-6, 0, 1 2) на площину y = 3 2 2:
6 , 3 2 2 , 1 2
Відповідь:(- 6 , 0 , 0) і - 6 , 3 2 2 , 1 2
Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter
Теорема про приватне проектування прямого кута
Якщо площина прямого кута не перпендикулярна і паралельна площині проекцій і хоча одна сторона його паралельна цій площині, то прямий кут проектується неї без спотворення.
Нехай кут АВС– прямий (рис. 65) та сторона НД|| Н, отже, проекція bc|| BC. Сторону АВпродовжимо до перетину з площиною Ні через точку Допроводимо пряму KN|| bc. Отже, KN || BC.
Звідси випливає, що кут BKN- Прямий. Відповідно до теореми про три перпендикуляри, кут bKN- Прямий, отже, кут Kbc= 90 °.
Мал. 65. Просторова модель проектування прямого кута
Примітка. Цій теоремі про проектування прямого кута відповідають дві зворотні теореми (докази не наводяться).
1. Якщо проекція плоского кута являє собою прямий кут, то кут, що проектується, буде прямим лише за умови, що принаймні одна зі сторін цього кута паралельна площині проекцій.
2. Якщо проекція деякого кута, у якого одна сторона паралельна площині проекцій, представляє прямий кут, то кут, що проектується, також прямий.
З цих теорем можна встановити, що кути, зображені на рис. 66, у просторі – прямі.
|
|
Мал. 66. Проеціювання прямого кута на епюрі Монжа:
а- Одна зі сторін кута - горизонталь; б– одна зі сторін кута – фронталь
Розглянемо кут У(Рис. 66 а).
У просторі кут Упрямий, тому що на епюрі видно, що пряма АВє горизонталлю ( h′|| X) та ∠ a= 90° (відповідно до першої зворотної теореми).
Розглянемо кут У(Рис. 66 б).
У просторі кут Упрямий, тому що одна його сторона є фронталлю ( АВ|| V;ab|| X) та фронтальна проекція ∠ b′ = 90°.
З цієї теореми випливає простий висновок - до прямої можна провести перпендикуляр там, де пряма проектується в натуральну величину.
При розв'язанні позиційних і метричних завдань нарисної геометрії, спираючись на ці теореми, можна будувати дві взаємно перпендикулярні прямі, що, зрештою, дозволяє визначати відстані, будувати взаємно перпендикулярні площині.
Розглянемо кілька завдань на тему даного матеріалу.
Завдання 1.Через точку Апровести пряму, перпендикулярну до прямої М(Рис. 67).
Аналізуючи графічну умову завдання, зазначаємо, що m|| X, а це означає, що пряма Мє фронталлю ( М|| V).
Отже, побудову шуканої прямої треба починати з фронтальної проекції, проводячи її перпендикулярно до проекції. m׳, тому що на фронтальній площині проекцій пряма Мпроектується без спотворення та на фронтальну площину проекцій Vпрямий кут між даною і знову побудованою прямими проектуватиметься без спотворення.
1. Будуємо фронтальну проекцію шуканого відрізка a′b′⊥ m′.
2. Визначаємо положення точки b׳ на проекції mі по проекційному зв'язку визначаємо горизонтальну проекцію bна проекції m.
3. Будуємо горизонтальну проекцію шуканого відрізка ab.
Мал. 67. Побудова перпендикуляра до прямої ММал. 68. Побудова висоти в ∆ АВС
Завдання 2.Через вершину Зпровести висоту трикутника АВС(Рис. 68).
Рішення. Аналізуємо епюр і відзначаємо, що сторона трикутника АВ|| Hпри цьому її горизонтальна проекція відображається в натуральну величину.
Отже, побудова висоти треба розпочинати з горизонтальної проекції.
Порядок виконання графічної частини завдання:
1. З точки зпроводимо відрізок перпендикулярно стороні ab.
2. Крапка d-підстава висоти, cd- Горизонтальна проекція висоти.
3. Проектуємо точку dна фронтальну проекцію сторони a′b′та отримуємо фронтальну проекцію точки d′і будуємо фронтальну проекцію висоти c′d′.
Завдання 3.Визначити відстань від точки Додо прямої N(Рис. 69).
Рішення. Слід зазначити, що під час вирішення завдань визначення відстаней, необхідно будувати як проекції відстані, але визначати його натуральну величину.
Найкоротшим відстанню від точки до прямої є величина перпендикуляра, опущеного з цієї точки на пряму. Аналізуючи епюр, відзначаємо, що пряма Nє фронталлю і відображається на передній проекції без спотворення.
Отже, побудова проекції перпендикуляра необхідно починати з його передньої проекції.
Порядок виконання графічної частини завдання:
1. З точки k′ опускаємо перпендикуляр на проекцію прямий n′, отримуємо точку e′.Фронтальна проекція перпендикуляра k′ e′.
2. Проектуємо отриману точку на горизонтальну проекцію прямої n,отримуємо точку eта горизонтальну проекцію перпендикуляра ke.
3. Судячи з проекцій, пряма КЕзагального становища. Методом прямокутного трикутника визначаємо її натуральну величину KE |.
Відстань від точки Додо прямої Nдорівнює довжині відрізка – Доо е′.
KE, N = K o e′= 30 мм.
3.5. Особливі лінії площини
Прямі, що займає особливе положення у площині:
1. Лінії рівня площини.
2. Лінії найбільшого нахилу площини до площин проекцій.
Лінії рівня площини
Лінії рівня площини- Прямі, що лежать у заданій площині і паралельні площин проекцій: горизонталі, фронталі, профільні прямі.
Горизонталь площинипряма, що лежить у заданій площині та паралельна площині проекцій н.Слід запам'ятати, що всі горизонталі однієї й тієї ж площини є паралельними між собою.
Горизонтальна проекція горизонталі паралельна горизонтальному сліду площини, горизонтальний слід площини є нульовою горизонталлю площини. Щоб побудувати горизонталь у площині Р,заданої слідами, треба на фронтальній проекції Р Vвідзначити точку d" -фронтальну проекцію сліду горизонталі (рис. 67 а). Через неї проводимо фронтальну проекцію горизонталі паралельно до осі. х. На осі хзнаходимо горизонтальну проекцію d. Пряма, проведена з точки dпаралельно сліду Р Нплощині представляє горизонтальну проекцію горизонталі.
На рис. 70 бпроекції горизонталі проведені через проекції точки Dі крапки 1 прямий ЄСплощині, заданій трикутником СDE.Побудова горизонталі завжди починають із фронтальної проекції d"1", яка паралельна осі Х. За властивістю знаходять горизонтальну проекцію точки 1 та проводять горизонтальну проекцію горизонталі.
|
|
Мал. 70. Горизонталь площини:
а– у площині Р, заданою слідами; б– у площині, заданій ∆ СDE
Фронталь площини- Пряма, що лежить в площині і паралельна площині проекцій V(Мал. 71).
Побудова фронталі та профільних прямих виконується аналогічно побудові горизонталі, спираючись на відомі властивості проекцій ліній рівня та властивість приналежності, і починають його з тієї проекції, яка паралельна відповідній проекційній осі. Усі фронталі однієї і тієї ж площини паралельні між собою. Те ж саме можна сказати і про профільні прямі рівні площини.
Профільна пряма рівня площини– це пряма, що лежить у даній площині та паралельна профільній площині проекцій (рис. 72).
|
|
Мал. 71. Фронталь площини:
а– у площині Р, заданою слідами; б– у площині, заданій ∆ СDE
Мал. 72. Профільна пряма рівня ВЕплощині ∆ АВС
Проекції прямий.
Оборотність креслення
Оборотність креслення. Проеціюванням на одну площину проекцій виходить зображення, яке не дозволяє однозначно визначити форму та розміри зображеного предмета. Проекція А 1 (див. рис. 1.4.) не визначає положення самої точки в просторі, оскільки невідомо, яку відстань вона віддалена від площини проекцій П 1 . У таких випадках говорять про незворотностікреслення , оскільки за таким кресленням неможливо відтворити оригінал. Для унеможливлення невизначеності зображення доповнюють необхідними даними. У практиці застосовують різні способи доповнення до однопроекційного креслення.
РОЗДІЛ 2
Пряму можна як результат перетину двох площин (рис 2.1, 2.2.).
Пряма у просторі безмежна. Обмежена частина прямої називається відрізком.
Проеціювання прямий зводиться до побудови проекцій двох її довільних точок, так як дві точки повністю визначають положення прямий в просторі. Опустивши з точки А і В (рис. 2.2.) перпендикуляри до перетину з площиною П 1 визначають їх ух горизонтальні проекції А 1 і В 1 . Відрізок А1В1 – горизонтальна проекція прямої АВ. Аналогічний результат отримують, провівши перпендикуляри до П 1 довільних точок прямої АВ. Сукупність цих перпендикулярів (проекційних променів) утворює горизонтально проецірующую площину a, яка перетинається з площиною П 1 по прямій А 1 В 1 - горизонтальної проекції прямий АВ. Виходячи з тих же міркувань, отримують фронтальну проекцію А 2 2 прямий АВ (рис 2.2).
Одна проекція прямої не визначає її положення у просторі. Дійсно, відрізок А 1 В 1 (рис. 2.1.) може бути проекцією довільного відрізка, що лежить у площині, що проєкує a. Положення прямий у просторі однозначно визначається сукупністю двох її проекцій. Відновлюючи з точки горизонтальної А 1 В 1 і фронтальної П 1 і П 2 отримують дві проецірующие площини a і b, що перетинаються по єдиній прямій АВ.
На комплексному кресленні (рис 2.3) зображено відрізок АВ прямого загального положення, де А 1 В 1 – горизонтальна, А 2 В 2 – фронтальна та А 3 В 3 – профільна проекції відрізка. Для побудови третьої проекції відрізок. Для побудови третьої проекції відрізка прямої за двома даними можна використовувати ті ж способи, що і для побудови третьої проекції точки: проекційний (рис 2.4), координатний (рис 2.5) і з використанням постійної прямої креслення (рис. 2.6).
2.2. Положення прямої щодо площини проекцій.
На рис 1.5. зображено паралелепіпед зі зрізаною вершиною та довільна трикутна піраміда. Ребра паралелепіпеда та піраміди займають різні положення у просторі щодо площин проекцій. Щоб будувати та читати креслення, потрібно вміти аналізувати положення прямої. За своїм становищем у просторі прямі розподіляються на прямі частки і прямі загального становища.
Прямі приватного становищаможуть бути проецірующими та прямими рівня.
Проецирующими називаються прямі, перпендикулярні одній із площин проекцій, тобто. паралельні двом іншим площин П 1 називається горизонтально проецирующей прямою; її горизонтальна проекція А 1 В 1 – точка, а фронтальна та профільна проекції – прямі, паралельні осі Про z . Пряма CD (рис. 2.7.) перпендикулярна до площини проекцій П 2 називається фронтально проецирующей прямою; її фронтальна проекція З 2 D 2 – точка, а горизонтальна та профільна проекції – прямі, паралельні осі Оу. Пряма MN (рис. 2.8.) перпендикулярна до площини проекцій П 3 називається профільно проецирующей прямою; її профільна проекція М 3 N 3 – точка, а горизонтальна та фронтальна проекції – прямі, паралельні осі Ох.
Отже, на одній з площин проекцій проецирующая пряма зображується у вигляді точки, а на двох інших - у вигляді відрізків, що займають горизонтальне або вертикальне положення, величини яких горизонтальне або вертикальне положення, величина яких дорівнює натуральній величині самого відрізка прямої.
Прямими рівнями називаються прямі, паралельні одній з площин проекцій. Пряма АВ (рис. 2.9.), паралельна горизонтальній площині проекцій П 1 називається горизонтальною прямою, або, скорочено, горизонталлю. Її фронтальна проекція А2В2 паралельна осі проекцій Ох, а горизонтальна А1В1 дорівнює натуральній величині відрізка прямої (А1В1 = АВ). Кут b між горизонтальною проекцією А 1 1 і віссю Ох дорівнює натуральній величині кута нахилу прямої АВ до площини проекцій П 2 .
Пряма CD (рис. 2.10.) паралельна фронтальній площині проекцій П 2 називається фронтальної прямою, або, скорочено, фронталлю. Її горизонтальна проекція C 1 D 1 паралельна осі Ох, а фронтальна З 2 D 2 дорівнює натуральній величині відрізка прямої (C 2 D 2 = CD). Кут a між фронтальною проекцією 2 D 2 і віссю Ох дорівнює дійсної величини кута нахилу прямої до площини проекцій П 1 .
Пряма MN (рис. 2.11.) паралельна профільній площині проекцій П 3 називається профільною прямою. Її фронтальна M 2 N 2 та горизонтальна M 1 N 1 проекції перпендикулярні до осі Ох, а профільна проекція дорівнює натуральній величині відрізка (M 3 N 3 = MN). Кути a і b між профільною проекцією та осями Оу 3 і Оz дорівнюють дійсної величини кутів нахилу прямої до площини проекцій П 1 і П 2 .
Отже, прямі рівня однією з площин проекцій проектуються в натуральну величину, але в дві інші – як відрізків зменшеної величини, котрі займають на кресленні вертикальне чи горизонтальне положення. За кресленням можна визначити величину кутів нахилу цих прямих до площин проекцій.
Якщо пряма лежить у площині проекцій, то одна її проекція (одноіменна) збігається з прямою, а дві інші – з осями проекцій. Наприклад, пряма АВ (рис.2.12) лежить у площині П1. Її горизонтальна проекція А1В1 зливається з прямою АВ, а фронтальна А2В2 - з віссю Ох. Подібну пряму називають нульовою горизонталлю, тому що висота її точок (координата z) дорівнює нулю.
Прямий загальний станназивають пряму, похилу всім площин проекцій. Її проекції утворюють із осями Ох, Оу і Оz гострі чи тупі кути, тобто. жодна з її проекцій не паралельна та не перпендикулярна до осей. Величина проекцій прямого загального стану завжди менше натуральної величини самого відрізка. Безпосередньо за кресленням без додаткових побудов не можна визначити дійсну величину прямої та кута нахилу її до площин проекцій.
Якщо точка лежить на прямій, то проекції точки знаходяться на однойменних проекціях прямої та загальної лінії зв'язку.
На рис. 2.13. точка З лежить на прямій АВ, так як її проекції З 1 і З 2 знаходяться відповідно на горизонтальній А 1 В 1 і на фронтальній А 2 В 2 проекціях прямий. Точки М і N не належать прямий, тому що одна з проекцій кожної точки не знаходиться на однойменній проекції з нею прямої.
Проекції точки ділять проекції прямий у тому відношенні, у якому сама точка ділить відрізок прямий, тобто. Користуючись цим правилом, розділити цей відрізок прямий у відповідному співвідношенні. Наприклад, на рис. 2.14. пряма EF розділена точкою К щодо 3:5. Розподіл виконано способом, відомим з геометричного креслення.