Серед різних виразів, що розглядаються в алгебрі, важливе місце займають суми одночленів. Наведемо приклади таких виразів:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)
Суму одночленів називають багаточленом. Доданки в многочлен називають членами многочлена. Одночлени також відносять до многочленів, вважаючи одночлен, що складається з одного члена.
Наприклад, багаточлен
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
можна спростити.
Представимо всі складові у вигляді одночленів стандартного вигляду:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)
Наведемо в отриманому багаточлені такі члени:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Вийшов багаточлен, усі члени якого є одночленами стандартного виду, причому серед них немає подібних. Такі багаточлени називають багаточленами стандартного вигляду.
За ступінь багаточленастандартного виду приймають найбільший із ступенів його членів. Так, двочлен \(12a^2b - 7b \) має третій ступінь, а тричлен \(2b^2 -7b + 6 \) - другий.
Зазвичай члени многочленів стандартного виду, що містять одну змінну, мають у своєму розпорядженні в порядку зменшення показників її ступеня. Наприклад:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)
Суму кількох багаточленів можна перетворити (спростити) на багаточлен стандартного виду.
Іноді члени багаточлена потрібно розбити на групи, укладаючи кожну групу на дужки. Оскільки укладання в дужки - це перетворення, зворотне розкриття дужок, то легко сформулювати правила розкриття дужок:
Якщо перед дужками ставиться знак «+», то члени, які укладаються у дужки, записуються з тими самими знаками.
Якщо перед дужками ставиться знак «-», то члени, які укладаються в дужки, записуються протилежними знаками.
Перетворення (спрощення) твору одночлена та багаточлена
За допомогою розподільної властивості множення можна перетворити (спростити) на багаточлен добуток одночлена та багаточлена. Наприклад:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)
Твір одночлена та багаточлена тотожно дорівнює сумі творів цього одночлена та кожного з членів багаточлена.
Цей результат зазвичай формулюють як правила.
Щоб помножити одночлен на багаточлен, треба помножити цей одночлен на кожен із членів багаточлена.
Ми вже не раз використовували це правило для множення на суму.
Добуток багаточленів. Перетворення (спрощення) твору двох багаточленів
Взагалі, добуток двох багаточленів тотожно дорівнює сумі добутку кожного члена одного багаточлена і кожного члена іншого.
Зазвичай користуються наступним правилом.
Щоб помножити багаточлен на багаточлен, треба кожен член одного помножити на кожен член іншого і скласти отримані твори.
Формули скороченого множення. Квадрати суми, різниці та різниця квадратів
З деякими висловлюваннями в перетвореннях алгебри доводиться мати справу частіше, ніж з іншими. Мабуть, найчастіше зустрічаються вирази \((a + b)^2, \;(a - b)^2 \) і \(a^2 - b^2 \), тобто квадрат суми, квадрат різниці і різницю квадратів. Ви помітили, що назви зазначених виразів як би не закінчені, наприклад, \((a + b)^2 \) - це, звичайно, не просто квадрат суми, а квадрат суми а і b. Однак квадрат суми а і b зустрічається не так часто, як правило, замість букв а і b в ньому виявляються різні, іноді досить складні вирази.
Вирази \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) неважко перетворити (спростити) на багаточлени стандартного виду, власне, ви вже зустрічалися з таким завданням при множенні багаточленів:
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)
Отримані тотожності корисно запам'ятати та застосовувати без проміжних викладок. Допомагають цьому короткі словесні формулювання.
\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - квадрат суми дорівнює сумі квадратів та подвоєного добутку.
\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - Квадрат різниці дорівнює сумі квадратів без подвоєного добутку.
\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - Різниця квадратів дорівнює добутку різниці на суму.
Ці три тотожності дозволяють у перетвореннях замінювати свої ліві частини правими і назад - праві частини лівими. Найважче при цьому - побачити відповідні вирази та зрозуміти, чим у них замінені змінні а та b. Розглянемо кілька прикладів використання формул скороченого множення.
Початковий рівень
Перетворення виразів. Детальна теорія (2019)
Перетворення виразів
Часто ми чуємо цю неприємну фразу: спростіть вираз. Зазвичай при цьому перед нами якесь чудовисько типу цього:
"Та куди вже простіше" - говоримо ми, але така відповідь зазвичай не прокочує.
Зараз я навчу тебе не боятися жодних таких завдань. Більше того, наприкінці заняття ти сам спростиш цей приклад до (лише!) звичайного числа (так-так, до біса ці літери).
Але перш ніж приступити до цього заняття, тобі необхідно вміти поводитися з дробами та розкладати багаточлени на множники. Тому спершу, якщо ти цього не зробив раніше, обов'язково освою тему «» та «».
Прочитав? Якщо так, то тепер ти готовий.
Базові операції спрощення
Зараз розберемо основні прийоми, що використовуються при спрощенні виразів.
Найпростіший з них – це
1. Приведення подібних
Що таке? Ти проходив це у 7 класі, як тільки вперше в математиці з'явилися букви замість чисел. Подібні - це доданки (одночлени) з однаковою літерною частиною. Наприклад, у сумі подібні доданки - це і.
Згадав?
Привести подібні - значить скласти кілька подібних доданків один з одним і отримати один доданок.
А як нам скласти один з одним літери? - Запитаєш ти.
Це дуже легко зрозуміти, якщо уявити, що літери – це якісь предмети. Наприклад, літера – це стілець. Тоді чому дорівнює вираз? Два стільці плюс три стільці, скільки буде? Правильно, стільців: .
А тепер спробуй такий вираз: .
Щоб не заплутатися, нехай різні літери позначають різні предмети. Наприклад, - це (як завжди) стілець, а - це стіл. Тоді:
стільця стільця стільців стільців стільців стільців
Числа, на які множаться літери в таких доданках, називаються коефіцієнтами. Наприклад, в одночлені коефіцієнт дорівнює. А він він дорівнює.
Отже, правило приведення таких:
Приклади:
Наведіть такі:
Відповіді:
2. (і подібні, тому що, отже у цих доданків однакова літерна частина).
2. Розкладання на множники
Це зазвичай найважливіша частина у спрощенні виразів. Після того, як ти навів подібні, найчастіше отриманий вираз потрібно розкласти на множники, тобто подати у вигляді твору. Особливо це важливо у дробах: адже щоб можна було скоротити дріб, чисельник та знаменник мають бути представлені у вигляді твору.
Докладно способи розкладання виразів на множники ти проходив у темі «», тому тут тобі залишається лише згадати вивчене. Для цього виріши кілька прикладів(Потрібно розкласти на множники):
Рішення:
3. Скорочення дробу.
Ну що може бути приємніше, ніж закреслити частину чисельника та знаменника, і викинути їх зі свого життя?
У цьому вся краса скорочення.
Все просто:
Якщо чисельник і знаменник містять однакові множники, їх можна скоротити, тобто забрати з дробу.
Це правило випливає з основної властивості дробу:
Тобто суть операції скорочення в тому, що чисельник і знаменник дробу ділимо на те саме число (або на один і той же вираз).
Щоб скоротити дріб, потрібно:
1) чисельник та знаменник розкласти на множники
2) якщо в чисельнику та знаменнику є спільні множники, їх можна викреслити.
Принцип, я гадаю, зрозумілий?
Хочу звернути увагу на одну типову помилку під час скорочення. Хоча ця тема і проста, але дуже багато хто робить все неправильно, не розуміючи, що скоротити- це означає поділитичисельник і знаменник одне й те число.
Жодних скорочень, якщо в чисельнику чи знаменнику сума.
Наприклад: треба спростити.
Деякі роблять так: що абсолютно неправильно.
Ще приклад: скоротити.
«Найрозумніші» зроблять так: .
Скажи мені, що тут не так? Здавалося б: це множник, значить можна скорочувати.
Але ні: - це множник лише одного доданку в чисельнику, але сам чисельник загалом на множники не розкладено.
Ось інший приклад: .
Це вираз розкладено на множники, отже, можна скоротити, тобто поділити чисельник і знаменник на, а потім і на:
Можна й одразу поділити на:
Щоб не допускати подібних помилок, запам'ятай легкий спосіб, як визначити, чи розкладено вираз на множники:
Арифметична дія, яка виконується останнім при підрахунку значення виразу, є «головною». Тобто, якщо ти підставиш замість літер якісь (будь-які) числа, і спробуєш обчислити значення виразу, то якщо останньою дією буде множення - значить, у нас твір (вираз розкладено на множники). Якщо останньою дією буде додавання або віднімання, це означає, що вираз не розкладено на множники (а отже, скорочувати не можна).
Для закріплення виріши самостійно кілька прикладів:
Відповіді:
1. Сподіваюся, ти не кинувся зразу ж скорочувати і? Ще не вистачало «зменшити» одиниці типу такого:
Першим дією має бути розкладання на множники:
4. Додавання та віднімання дробів. Приведення дробів до спільного знаменника.
Додавання і віднімання звичайних дробів - операція добре знайома: шукаємо спільний знаменник, домножуємо кожен дріб на недостатній множник і складаємо/віднімаємо чисельники. Давай згадаємо:
Відповіді:
1. Знаменники і – взаємно прості, тобто у них немає спільних множників. Отже, НОК цих чисел дорівнює їхньому твору. Це і буде спільний знаменник:
2. Тут спільний знаменник дорівнює:
3. Тут насамперед змішані дроби перетворюємо на неправильні, а далі – за звичною схемою:
Зовсім інша річ, якщо дроби містять літери, наприклад:
Почнемо з простого:
a) Знаменники не містять літер
Тут все те ж, що і зі звичайними числовими дробами: знаходимо спільний знаменник, домножуємо кожен дріб на множник, що бракує, і складаємо/віднімаємо чисельники:
тепер у чисельнику можна наводити подібні, якщо є, і розкладати на множники:
Спробуй сам:
b) Знаменники містять літери
Давай згадаємо принцип знаходження спільного знаменника без літер:
· Насамперед ми визначаємо загальні множники;
· Потім виписуємо всі загальні множники по одному разу;
· І домножуємо їх на всі інші множники, не загальні.
Щоб визначити спільні множники знаменників, спершу розкладемо їх на прості множники:
Підкреслимо спільні множники:
Тепер випишемо спільні множники по одному разу і допишемо до них усі загальні (не підкреслені) множники:
Це є спільний знаменник.
Повернемося до букв. Знаменники наводяться за такою ж схемою:
· Розкладаємо знаменники на множники;
· Визначаємо загальні (однакові) множники;
· Виписуємо всі загальні множники по одному разу;
· Домножуємо їх на всі інші множники, не загальні.
Отже, по порядку:
1) розкладаємо знаменники на множники:
2) визначаємо загальні (однакові) множники:
3) виписуємо всі загальні множники по одному разу і домножуємо їх на всі інші (непідкреслені) множники:
Отже, спільний знаменник тут. Перший дріб потрібно домножити на, другий - на:
До речі, є одна хитрість:
Наприклад: .
Бачимо в знаменниках одні й самі множники, лише з різними показниками. До спільного знаменника підуть:
у ступені
у ступені
у ступені
у ступені.
Ускладнимо завдання:
Як зробити у дробів однаковий знаменник?
Давай пригадаємо основну властивість дробу:
Ніде не сказано, що з чисельника і знаменника дробу можна віднімати (або додавати) те саме число. Тому що це не так!
Переконайся сам: візьми будь-який дріб, наприклад, і додай до чисельника і знаменника якесь число, наприклад, . Що повчилося?
Отже, чергове непорушне правило:
Коли наводиш дроби до спільного знаменника, користуйся тільки операцією множення!
Але на що ж треба примножити, щоб одержати?
Ось на і домнож. А примножуй на:
Вирази, які неможливо розкласти на множники називатимемо «елементарними множниками». Наприклад, це елементарний множник. - Теж. А ось – ні: він розкладається на множники.
Що скажеш щодо висловлювання? Воно елементарне?
Ні, оскільки його можна розкласти на множники:
(Про розкладання на множники ти вже читав у темі «Реферат»).
Так ось, елементарні множники, на які ти розкладаєш вираз із літерами – це аналог простих множників, на які ти розкладаєш числа. І робитимемо з ними так само.
Бачимо, що в обох знаменниках є множник. Він піде у спільний знаменник у міру (пам'ятаєш, чому?).
Множник - елементарний, і він у них не загальний, значить перший дріб на нього доведеться просто домножити:
Ще приклад:
Рішення:
Перш ніж у паніці перемножувати ці знаменники, треба подумати, як їх розкласти на множники? Обидва вони представляють:
Чудово! Тоді:
Ще приклад:
Рішення:
Як завжди, розкладемо знаменники на множники. У першому знаменнику просто виносимо за дужки; у другому - різниця квадратів:
Здавалося б, спільних множників немає. Але якщо придивитися, то й так схожі.
Так і напишемо:
Тобто вийшло так: усередині дужки ми поміняли місцями доданки, і при цьому знак перед дробом помінявся на протилежний. Візьми на замітку, так робити доведеться часто.
Тепер наводимо до спільного знаменника:
Засвоїв? Зараз перевіримо.
Завдання для самостійного вирішення:
Відповіді:
Тут треба згадати ще одну - різницю кубів:
Зверніть увагу, що у знаменнику другого дробу не формула «квадрат суми»! Квадрат суми виглядав так: .
А - це так званий неповний квадрат суми: другий доданок у ньому - це твір першого та останнього, а не подвоєний їхній твір. Неповний квадрат суми - це один із множників у розкладанні різниці кубів:
Що робити, якщо дробів аж три штуки?
Та те саме! Насамперед зробимо так, щоб максимальна кількість множників у знаменниках була однаковою:
Зверніть увагу: якщо поміняти знаки всередині однієї дужки, знак перед дробом змінюється на протилежний. Коли міняємо знаки у другій дужці, знак перед дробом знову змінюється протилежним. В результаті він (знак перед дробом) не змінився.
У загальний знаменник виписуємо повністю перший знаменник, а потім дописуємо до нього всі множники, які ще не написані, з другого, а потім із третього (і так далі, якщо дробів більше). Тобто виходить ось так:
Хм... З дробами зрозуміло що робити. Але як бути з двійкою?
Все просто: адже ти вмієш складати дроби? Отже, треба зробити так, щоб двійка стала дробом! Згадуємо: дріб – це операція поділу (числитель ділиться на знаменник, якщо ти раптом забув). І немає нічого простішого, ніж розділити число на. При цьому саме число не зміниться, але перетвориться на дріб:
Те що потрібно!
5. Множення та розподіл дробів.
Ну що ж, найскладніше тепер позаду. А попереду у нас найпростіше, але при цьому найважливіше:
Порядок дій
Який порядок дій при підрахунку числового виразу? Згадай, порахувавши значення такого виразу:
Порахував?
Повинно вийти.
Отже, нагадую.
Насамперед обчислюється ступінь.
Другим - множення та розподіл. Якщо множень і поділок одночасно кілька, робити їх можна у будь-якому порядку.
І наостанок виконуємо складання та віднімання. Знову ж таки, в будь-якому порядку.
Але: вираз у дужках обчислюється позачергово!
Якщо кілька дужок множаться або діляться один на одного, обчислюємо спочатку вираз у кожній із дужок, а потім множимо або поділи їх.
А якщо всередині дужок є ще одні дужки? Ну, давай подумаємо: усередині дужок написано якийсь вираз. А при обчисленні виразу насамперед треба робити що? Правильно, обчислювати дужки. Ну ось і розібралися: спочатку обчислюємо внутрішні дужки, потім решту.
Отже, порядок дій для вираження вище такий (червоним виділено поточне дію, тобто дію, яке виконую зараз):
Добре, це просто.
Але ж це не те саме, що вираз з літерами?
Ні, це те саме! Тільки замість арифметичних дій треба робити алгебраїчну, тобто дії, описані в попередньому розділі: приведення подібних, додавання дробів, скорочення дробів і так далі. Єдиною відмінністю буде дія розкладання багаточленів на множники (його часто застосовуємо при роботі з дробами). Найчастіше для розкладання на множники потрібно застосовувати або просто виносити загальний множник за дужки.
Зазвичай наша мета - уявити вираз у вигляді твору або приватного.
Наприклад:
Спростимо вираз.
1) Першим спрощуємо вираз у дужках. Там у нас різниця дробів, а наша мета – представити її як твір чи приватний. Отже, наводимо дроби до спільного знаменника і складаємо:
Більше цього виразу спростити неможливо, всі множники тут - елементарні (ти ще пам'ятаєш, що це означає?).
2) Отримуємо:
Розмноження дробів: що може бути простіше.
3) Тепер можна і скоротити:
Ну от і все. Нічого складного, правда?
Ще приклад:
Спрости вираз.
Спочатку спробуй вирішити сам, і тільки потім подивися рішення.
Насамперед визначимо порядок дій. Спочатку виконаємо складання дробів у дужках, вийде замість двох дробів один. Потім виконаємо поділ дробів. Ну і результат складемо з останнім дробом. Схематично пронумерую дії:
Тепер покажу звістку процес, підфарбовуючи поточну дію червоним:
Насамкінець дам тобі дві корисні поради:
1. Якщо є такі, їх треба негайно навести. У який би момент у нас не утворилися подібні, їх бажано наводити одразу.
2. Те саме стосується скорочення дробів: як тільки з'являється можливість скоротити, їй треба скористатися. Виняток становлять дроби, які ти складаєш або віднімаєш: якщо у них зараз однакові знаменники, то скорочення потрібно залишити на потім.
Ось тобі завдання для самостійного вирішення:
І обіцяна на самому початку:
Рішення (короткі):
Якщо ти впорався хоча б із першими трьома прикладами, то тему ти, вважай, освоїв.
Тепер уперед до навчання!
ПЕРЕТВОРЕННЯ ВИРАЗІВ. КОРОТКИЙ ВИКЛАД І ОСНОВНІ ФОРМУЛИ
Базові операції спрощення:
- Приведення подібних: щоб скласти (навести) подібні доданки, треба скласти їх коефіцієнти і приписати літерну частину.
- Розкладання на множники:винесення загального множника за дужки, застосування тощо.
- Скорочення дробу: чисельник і знаменник дробу можна множити або ділити на те саме ненульове число, від чого величина дробу не змінюється.
1) чисельник та знаменник розкласти на множники
2) якщо в чисельнику та знаменнику є спільні множники, їх можна викреслити.ВАЖЛИВО: скорочувати можна лише множники!
- Додавання та віднімання дробів:
; - Множення та розподіл дробів:
;
У школі VIII виду учні знайомляться з такими перетвореннями дробів: виразом дробу у більших частках (6-й клас), виразом неправильного дробу цілим чи змішаним числом (6-й клас), виразом дробів у однакових частках (7-й клас), виразом змішаного числа неправильним дробом (7-й клас).
Вираз неправильного дробу цілимабо змішаним числом
I Вивчення даного матеріалу слід почати із завдання: взяти 2 шитих кола і кожен з них розділити на 4 рівні частки, підрахувати кількість четвертих часток (рис. 25). Далі пропонується Писати цю кількість дробом (т) Потім четверті частки додаються один до одного і учні переконуються, що вийшов
Перше коло. Отже, -Т = 1 . До чотирьох чвертей додає-послідовно ще по -Т,та учні записують: т=1, -7=1 6 2 7 3 8 9
Вчитель звертає увагу учнів те що, що у всіх розглянутих випадках вони брали неправильну дріб, а результаті перетворення отримували чи ціле, чи змішане число, т. е. висловлювали неправильну дріб цілим чи змішаним числом. Далі треба прагнути до того, щоб учні самостійно визначили, яким арифметичним дією це перетворення можна виконати. Яскравими прикладами, що призводять до відповіді
4 .
8 0 5 ,1 7 ,3 „Л " питанням, є: -2-=! і т = 2, 4" = 1т і т Т ВИВ : °Д
щоб
висловити неправильний дріб цілим чи змішаним числом, потрібно чисельник дробу розділити на знаменник, приватне записати цілим числом, залишок записати в чисельник, а знаменник залишити той самий. Так як правило громіздке, зовсім не обов'язково, щоб учні заучували його напам'ять. Вони повинні вміти послідовно розповісти про дії у виконанні цього перетворення.
Перед тим як познайомити учнів із виразом неправильного дробу цілим чи змішаним числом, доцільно повторити із нею розподіл цілого числа на ціле із залишком.
Закріпленню нового для учнів перетворення сприяє вирішення завдань життєво-практичного характеру, наприклад:
«У вазі лежить дев'ять четвертих часток апельсина. Скіл| цілих апельсинів можна скласти із цих часток? Скільки четі тих часток залишиться?»
«Для виготовлення кришок для коробочок кожен лист карті -^. 35 розрізають на 16 рівних часток. Отримали
Скільки цілих!
листів картону розрізали? Скільки шістнадцятих часток відріз! від наступного шматка? І т.д.Вираз цілого та змішаного числа
неправильним дробом
Знайомству учнів із цим новим перетворенням повинні передувати вирішення завдань, наприклад: -% ]
«2 рівні по довжині шматка тканини, що мають форму квадрат. > Розрізали на 4 рівні частини. З кожної такої частини пошили хустку. Скільки вийшло хусток? I Запис: 2= - 1 4^-, 2=
вин вийшло? Запишіть: було 1 * кола, стало * кола, отже,
Таким чином, спираючись на наочно-практичну основу, розглядаємо ще низку прикладів. У прикладах учням пропонується порівняти вихідне число (змішане або ціле) і число, яке вийшло після перетворення (неправильний дріб).
Щоб познайомити учнів з правилом вираження цілого та змішаного числа неправильним дробом, треба привернути їхню увагу до порівняння знаменників змішаного числа та неправильного дробу, а також до того, як виходить чисельник, наприклад:
буде -^-. У результаті формулюється правило: щоб змішане число
висловити неправильним дробом, треба знаменник помножити на ціле число, додати до твору чисельник та суму записати чисельником, а знаменник залишити без зміни.
Спочатку потрібно вправляти учнів у вираженні неправильним дробом одиниці, потім будь-якого іншого цілого числа із зазначенням знаменника, а потім змішаного числа:
Основна властивість дробу 1
[віднімання незмінності дробу при одночасному збільшенні
1 зменшенні її членів, тобто чисельника і знаменника, засвоюється учнями школи VIII виду з великими труднощами. Це поняття необхідно вводити на наочному і дидактичному матеріалі,
,"Чим важливо, щоб учні не тільки спостерігали за діяльністю вчителя, а й самі активно працювали з дидактичним матеріалом і на основі спостережень та практичної діяльності приходили до певних висновків, узагальнення.
Наприклад, вчитель бере цілу ріпу, ділить її на 2 рівні мсти та запитує: «Що отримали при розподілі цілої ріпи
навпіл? (2 половини.) Покажіть * ріпи. Розріжемо (розділимо)
половину ріпи ще на 2 рівні частини. Що матимемо? -у. Запишемо:
тт=-т- Порівняємо чисельники та знаменники цих дробів. У скільки
раз збільшився чисельник? Скільки разів збільшився знаменник? У скільки разів збільшились і чисельник, і знаменник? Чи змінився дріб? Чому не змінилася? Якими стали частки: більші чи дрібніші? Збільшилося чи зменшилося число
Потім всі учні ділять коло на 2 рівні частини, кожну половину ділять ще на 2 рівні частини, кожну чверть ще на
2 рівні частини і т. д. і записують: "о^А^тг^тгг і т - Л- Потім встановлюють, у скільки разів збільшився чисельник і знаменник дробу, чи змінився дріб. Потім креслять відрізок і ділять його послідовно на 3 , 6, 12 рівних частин і записують:
1 21 4 При порівнянні дробів -^ і -^, -^ і -^ виявляється, що
чисельник і знаменник дробу тг збільшується в те саме число разів, дріб від цього не змінюється.
Після розгляду ряду прикладів слід запропонувати учням відповісти на запитання: «Чи зміниться дріб, якщо чисельник Деякі знання на тему «Звичайні дроби» виключаються з навчальних програм з математики в корекційних школах VIII виду, але вони повідомляються учням у школах для дітей із затримкою психічного розвитку , у класах вирівнювання для дітей, які зазнають труднощів у навчанні математики. У цьому підручнику параграфи, де дається методика вивчення цього матеріалу,
позначені зірочкою (*).
Аналогічні приклади наводяться при розгляді уміння числа і знаменника в одне і те ж число разів (лічильники і знаменник діляться на те саме число). Наприклад, кр>"
( 4 \ ділять на 8 рівних частин, беруть 4 восьмі частки кола I-о-]
укрупнивши частки, беруть четверті, їх буде 2. Укрупнивши частки
4 2 1 беруть другий. Їх буде 1 : ~й = -д--%-Порівнюють послідовник!
чисельники та знаменники цих дробів, відповідаючи на запитання: «В<>скільки разів зменшується чисельник та знаменник?
Чи зміниться дріб?».
Хорошим посібником є смуги, розділені на 12, 6, 3 рівні частини (рис. 26).
Н
12 6 3 Мал. 26а підставі розглянутих прикладів учні можуть дійти невтішного висновку: дріб не зміниться, якщо чисельник і знаменник дробу поділити одне й те число (зменшити у одне й те саме число раз). Потім дається узагальнений висновок - основна властивість дробу: дріб не зміниться, якщо чисельник і знаменник дробу збільшити або зменшити в те саме число разів.
Числа та вирази, з яких складено вихідний вираз, можна замінювати тотожно рівними ним виразами. Таке перетворення вихідного виразу призводить до тотожно рівного йому виразу.
Наприклад, у виразі 3+x число 3 можна замінити сумою 1+2 , при цьому вийде вираз (1+2)+x , який тотожно дорівнює вихідному виразу. Інший приклад: у виразі 1+a 5 ступінь a 5 можна замінити тотожно рівним їй твором, наприклад, виду a 4 . Це дасть нам вираз 1+a·a 4 .
Дане перетворення, безперечно, штучно, і зазвичай є підготовкою до будь-яких подальших перетворень. Наприклад, у сумі 4×3 +2×2, враховуючи властивості ступеня, доданок 4×3 можна подати у вигляді твору 2×2×2×2. Після такого перетворення вихідний вираз набуде вигляду 2 x 2 x 2 x 2 x 2 . Очевидно, складові в отриманій сумі мають загальний множник 2 x 2 таким чином, ми можемо виконати наступне перетворення - винесення за дужки. Після нього ми прийдемо до виразу: 2 · x 2 · (2 · x + 1).
Додаток та віднімання одного і того ж числа
Розглянемо приклад. Візьмемо вираз x 2 +2 · x. Якщо до нього додати одиницю і відібрати одиницю, це дозволить надалі виконати ще одне тотожне перетворення - виділити квадрат двочлена: x 2 +2·x=x 2 +2·x+1−1=(x+1) 2 −1.
Список літератури.
- Алгебра:навч. для 7 кл. загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 17-те вид. – М.: Просвітництво, 2008. – 240 с. : іл. - ISBN 978-5-09-019315-3.
- Алгебра:навч. для 8 кл. загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 16-те вид. – М.: Просвітництво, 2008. – 271 с. : іл. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Мордковіч А. Г.Алгебра. 7 клас. У 2 ч. ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх установ / А. Г. Мордкович. - 17-те вид., Дод. – К.: Мнемозіна, 2013. – 175 с.: іл. ISBN 978-5-346-02432-3.
Дроби
Увага!
До цієї теми є додаткові
матеріали у розділі 555.
Для тих, хто сильно "не дуже..."
І для тих, хто "дуже навіть...")
Дроби у старших класах не сильно докучають. До пори до часу. Поки не зіткнетеся зі ступенями з оптимальними показниками і логарифмами. А ось там. Дусиш, давиш калькулятор, а він все повне табло якихось циферок каже. Доводиться головою думати, як у третьому класі.
Давайте вже розберемося з дробами, нарешті! Ну скільки можна в них плутатися! Тим більше це все просто і логічно. Отже, які бувають дроби?
Види дробів. Перетворення.
Дроби бувають трьох видів.
1. Звичайні дроби , наприклад:
Іноді замість горизонтальної рисочки ставлять похилу межу: 1/2, 3/4, 19/5, ну, і так далі. Тут ми часто будемо таким написанням користуватися. Верхнє число називається чисельником, нижнє - знаменником.Якщо ви постійно плутаєте ці назви (буває ...), скажіть собі фразу: " Зззззпригадай! Зззззнамінник - вниз зззззу!" Дивишся, все і ззапам'ятається.)
Чортка, що горизонтальна, що похила означає поділверхнього числа (числителя) на нижнє (знаменник). І все! Замість рисочки цілком можна поставити знак розподілу – дві точки.
Коли поділ можливо націло, це треба робити. Так, замість дробу "32/8" набагато приємніше написати число "4". Тобто. 32 просто поділити на 8.
32/8 = 32: 8 = 4
Я вже й не говорю про дріб "4/1". Яка також просто "4". А якщо вже не ділиться націло, так і залишаємо у вигляді дробу. Іноді доводиться зворотну операцію робити. Робити із цілого числа дріб. Але про це далі.
2. Десяткові дроби , наприклад:
Саме у такому вигляді потрібно буде записувати відповіді на завдання "В".
3. Змішані числа , наприклад:
Змішані числа практично не використовуються у старших класах. Для того, щоб з ними працювати, їх треба переводити у звичайні дроби. Але це точно треба вміти робити! А то трапиться таке число в завданню і зависніть ... На порожньому місці. Але ми згадаємо цю процедуру! Трохи нижче.
Найбільш універсальні звичайні дроби. З них і почнемо. До речі, якщо в дробі стоять всякі логарифми, синуси та інші літери, це нічого не змінює. У тому сенсі, що все дії з дробовими виразами нічим не відрізняються від дій зі звичайними дробами!
Основна властивість дробу.
Тож поїхали! Спочатку я вас здивую. Все різноманіття перетворень дробів забезпечується одним-єдиним властивістю! Воно так і називається, основна властивість дробу. Запам'ятовуйте: якщо чисельник і знаменник дробу помножити (розділити) на те саме число, дріб не зміниться.Тобто:
Зрозуміло, що писати можна далі, до посиніння. Синуси та логарифми нехай вас не бентежать, з ними далі розберемося. Головне зрозуміти, що всі ці різноманітні висловлювання є один і той же дріб . 2/3.
А воно нам потрібне, всі ці перетворення? Ще й як! Нині самі побачите. Для початку вживаємо основну властивість дробу для скорочення дробів. Здається, річ елементарна. Ділимо чисельник і знаменник на те саме число і всі справи! Помилитись неможливо! Але... людина - творча істота. Помилитись скрізь може! Особливо, якщо доводиться скорочувати не дріб типу 5/10, а дробовий вираз із будь-якими літерами.
Як правильно і швидко скорочувати дроби, не роблячи зайвої роботи, можна прочитати в розділі 555 .
Нормальний учень не морочиться розподілом чисельника і знаменника на одне і те ж число (або вираз)! Він просто закреслює все однакове зверху та знизу! Тут-то і приховується типова помилка, ляп, якщо хочете.
Наприклад, треба спростити вираз:
Тут і думати нічого, закреслюємо букву "а" зверху та двійку знизу! Отримуємо:
Все правильно. Але реально ви поділили весь чисельник та весь знаменник на "а". Якщо ви звикли просто закреслювати, то, похапцем, можете закреслити "а" у виразі
і отримати знову
Що буде категорично невірно. Тому що тут весьчисельник на "а" вже не ділиться! Цей дріб скоротити не можна. До речі, таке скорочення – це, гм… серйозний виклик викладачеві. Такого не вибачають! Запам'ятали? При скороченні ділити треба весь чисельник та весь знаменник!
Скорочення дробів дуже полегшує життя. Вийде десь у вас дріб, наприклад 375/1000. І як тепер із нею далі працювати? Без калькулятора? Помножувати, скажімо, складати, у квадрат зводити!? А якщо не полінуватися, та акуратно скоротити на п'ять, та ще на п'ять, та ще... поки скорочується, коротше. Отримаємо 3/8! Куди приємніше, правда?
Основна властивість дробу дозволяє переводити звичайні дроби в десяткові та навпаки без калькулятора! Це важливо на ЄДІ, правда?
Як переводити дроби з одного виду до іншого.
Із десятковими дробами все просто. Як чується, так і пишеться! Скажімо, 0,25. Це нуль цілих, двадцять п'ять сотих. Так і пишемо: 25/100. Скорочуємо (ділимо чисельник та знаменник на 25), отримуємо звичайний дріб: 1/4. Всі. Буває, і нічого не скорочується. Типу 0,3. Це три десятих, тобто. 3/10.
А якщо цілих – не нуль? Нічого страшного. Записуємо весь дріб без жодних ком.в чисельник, а знаменник - те, що чується. Наприклад: 3,17. Це три цілих, сімнадцять сотих. Пишемо до чисельника 317, а до знаменника 100. Отримуємо 317/100. Нічого не скорочується, отже, все. Це відповідь. Елементарно, Ватсон! З усього сказаного корисний висновок: будь-який десятковий дріб можна перетворити на звичайний .
А ось зворотне перетворення, звичайне в десяткову, деякі без калькулятора не можуть зробити. А треба! Як ви відповідь записуватимете на ЄДІ!? Уважно читаємо та освоюємо цей процес.
Десятковий дріб чим характерний? У неї у знаменнику завждикоштує 10, чи 100, чи 1000, чи 10000 тощо. Якщо ваш звичайний дріб має такий знаменник, проблем немає. Наприклад, 4/10 = 0,4. Або 7/100 = 0,07. Або 12/10 = 1,2. А якщо у відповіді на завдання розділу "В" вийшло 1/2? Що у відповідь будемо писати? Там десяткові потрібні...
Згадуємо основна властивість дробу ! Математика прихильно дозволяє множити чисельник і знаменник на те саме число. На будь-яке, між іншим! Крім нуля, зрозуміло. Ось і застосуємо цю властивість собі на користь! На що можна примножити знаменник, тобто. 2 щоб він став 10, або 100, або 1000 (менше краще, звичайно...)? На 5, очевидно. Сміливо множимо знаменник (це намтреба) на 5. Але, тоді і чисельник треба помножити також на 5. Це вже математикавимагає! Отримаємо 1/2 = 1х5/2х5 = 5/10 = 0,5. От і все.
Однак знаменники всякі трапляються. Потрапиться, наприклад, дріб 3/16. Спробуй, зміркуй тут, на що 16 помножити, щоб 100 вийшло, або 1000 ... Не виходить? Тоді можна просто розділити 3 на 16. За відсутністю калькулятора ділити доведеться куточком, на папірці, як у молодших класах навчали. Отримаємо 0,1875.
А бувають і зовсім погані знаменники. Наприклад, дріб 1/3 ну ніяк не перетвориш на хорошу десяткову. І на калькуляторі, і на папірці, ми отримаємо 0,3333333... Це означає, що 1/3 у точний десятковий дріб НЕ перекладається. Так само, як і 1/7, 5/6 і таке інше. Багато їх, неперекладних. Звідси ще один корисний висновок. Не кожен звичайний дріб переводиться в десятковий !
До речі, це корисна інформація для самоперевірки. У розділі "В" у відповідь треба десятковий дріб записувати. А у вас вийшло, наприклад, 4/3. Цей дріб не переводиться в десятковий. Це означає, що десь ви помилилися дорогою! Поверніться, перевірте рішення.
Отже, зі звичайними та десятковими дробами розібралися. Залишилося розібратися із змішаними числами. Для роботи з ними їх потрібно перевести в прості дроби. Як це зробити? Можна спіймати шестикласника та запитати у нього. Але не завжди шестикласник опиниться під руками... Доведеться самим. Це не складно. Потрібно знаменник дробової частини помножити на цілу частину і додати чисельник дробової частини. Це буде чисельник звичайного дробу. А знаменник? Знаменник залишиться тим самим. Звучить складно, але насправді все просто. Дивимося приклад.
Нехай у завданні ви з жахом побачили число:
Спокійно, без паніки розуміємо. Ціла частина – це 1. Одиниця. Дробова частина – 3/7. Отже, знаменник дробової частини - 7. Цей знаменник і буде знаменником звичайного дробу. Вважаємо чисельник. 7 множимо на 1 (ціла частина) і додаємо 3 (числитель дробової частини). Отримаємо 10. Це буде чисельник звичайного дробу. От і все. Ще простіше це виглядає в математичному записі:
Ясно? Тоді закріпіть успіх! Переведіть у звичайні дроби. У вас має вийде 10/7, 7/2, 23/10 та 21/4.
Зворотна операція - переведення неправильного дробу до змішаного числа - у старших класах рідко потрібно. Ну, якщо вже... І якщо Ви - не в старших класах - можете заглянути в особливий Розділ 555 . Там же, до речі, і про неправильні дроби дізнаєтесь.
Ну ось, практично і все. Ви згадали види дробів і зрозуміли, як переводити їх із одного виду до іншого. Залишається питання: навіщо це робити? Де і коли застосовувати ці глибокі знання?
Відповідаю. Будь-який приклад сам нагадує необхідні дії. Якщо в прикладі змішалися в купу прості дроби, десяткові, та ще й змішані числа, переводимо все в прості дроби. Це завжди можна зробити. Ну а якщо написано, щось типу 0,8 + 0,3, то так і вважаємо, без жодного перекладу. Навіщо нам зайва робота? Ми обираємо той шлях рішення, який зручний нам !
Якщо в завданні суцільно десяткові дроби, але гм... злі якісь, перейдіть до звичайних, спробуйте! Дивишся, все й налагодиться. Наприклад, доведеться у квадрат зводити число 0,125. Не так просто, якщо від калькулятора не відвикли! Мало того, що числа перемножувати стовпчиком треба, так ще думай, куди кому вставити! В умі точно не вийде! А якщо перейти до звичайного дробу?
0,125 = 125/1000. Скорочуємо на 5 (це для початку). Отримуємо 25/200. Ще раз на 5. Отримуємо 5/40. О, ще скорочується! Знову на 5! Отримуємо 1/8. Легко зводимо у квадрат (в умі!) і отримуємо 1/64. Всі!
Підіб'ємо підсумки цього уроку.
1. Дроби бувають трьох видів. Звичайні, десяткові та змішані числа.
2. Десяткові дроби та змішані числа завждиможна перевести у прості дроби. Зворотній переклад не завждиможливий.
3. Вибір виду дробів для роботи із завданням залежить від цього завдання. За наявності різних видів дробів в одному завданні найнадійніше - перейти до звичайних дробів.
Тепер можна потренуватись. Для початку переведіть ці десяткові дроби у прості:
3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012
Повинні вийти ось такі відповіді (безладно!):
На цьому й завершимо. У цьому уроці ми освіжили у пам'яті ключові моменти по дробах. Буває, правда, що освіжати особливо нічого...) Якщо вже хтось міцно забув, або ще не освоїв... Тим можна пройти в особливий Розділ 555 . Там усі основи детально розписані. Багато хто раптом все розумітипочинають. І вирішують дроби з льоту).
Якщо Вам подобається цей сайт...
До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)
Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)
можна познайомитися з функціями та похідними.