Ерднігоряєва Марина

Ця робота є результатом вивчення теми на факультативі у 8 класі. Тут показуються геометричні перетворення графіків та їх застосування до побудови графіків із модулями. Вводиться поняття модуля та його властивості. Показано як будувати графіки з модулями різними способами: за допомогою перетворень і на основі поняття модуля. Тим не менш, такі завдання даються в другій частині ДІА, в ЄДІ. Ця робота допоможе зрозуміти як будувати графіки з модулями як лінійних, а й інших функцій (квадратичних, обратно- пропорційних та інших.) Робота допоможе під час підготовки до ГИА і ЕГЭ.

Завантажити:

Попередній перегляд:

Щоб скористатися попереднім переглядом презентацій, створіть собі обліковий запис Google і увійдіть до нього: https://accounts.google.com

Підписи до слайдів:

Графіки лінійної функції з модулями Робота Ерднігоряєвої Марини, учениці 8 класу МКОУ «Камишівська ЗОШ» Керівник Горяєва Зоя Ерднігоріївна, вчитель математики МКОУ «Камишівська ЗОШ» с. Камишово, 2013р.

Мета проекту: Відповісти питанням як будувати графіки лінійних функцій з модулями. Завдання проекту: Вивчити літературу з цього питання. Вивчити геометричні перетворення графіків та їх застосування до побудови графіків із модулями. Вивчити поняття модуля та його властивості. Навчитися будувати графіки з модулями у різний спосіб.

Пряма пропорційність Прямою пропорційністю називається функція, яку можна задати формулою виду y = kx, де x -незалежна змінна, k -не рівне нулю число.

Побудуємо графік функції y = x x 0 2 y 0 2

Геометричне перетворення графіків Правило №1 Графік функції y = f (x) + k - лінійна функція - виходить паралельним перенесенням графіка функції y = f (x) на + k одиниць вгору по осі О y при k> 0 або на | - k| одиниць вниз по осі Y при k

Побудуємо графіки y=x+3 y=x-2

Правило № 2 Графік функції y=kf(x) виходить розтягуванням графіка функції y = f (x) уздовж осі О y в a раз при a>1 і стисненням уздовж осі О y в a раз при 0Слайд 9

Побудуємо графік y = x y = 2 x

Правило № 3 Графік функції y = f (x) виходить симетричним відображенням графіка y = f (x) щодо осі Про x

Правило № 4 Графік функції y=f(- x) виходить симетричним відображенням графіка функції y = f(x) щодо осі О y

Правило № 5 Графік функції y=f(x+c) виходить паралельним перенесенням графіка функції y=f(x) вздовж осі x вправо, якщо c 0 .

Побудуємо графіки y=f(x) y=f(x+2)

Визначення модуля Модуль невід'ємного числа а дорівнює самому числу а; модуль від'ємного числа а дорівнює протилежному йому позитивному числу -а. Або, |а|=а, якщо а ≥0 |а|=-а, якщо а

Графіки лінійних функцій з модулями будуються: з допомогою геометричних перетворень з допомогою розкриття визначення модуля.

Правило № 6 Графік функції y = | f (x) | виходить так: частина графіка y=f(x) , що лежить над віссю Про x , зберігається; частина, що лежить під віссю О x , відображається симетрично щодо осі О x .

Побудувати графік функції y = -2 | x-3|+4 Будуємо y ₁=| x | Будуємо y₂= |x - 3 | → паралельне перенесення на +3 одиниці вздовж осі Ох (зсув вправо) Будуємо y ₃ =+2|x-3| → розтягуємо вздовж осі О y у 2 рази = 2 y₂ Будуємо у ₄ =-2|x-3| → симетрія щодо осі абсцис = - y₃ Будуємо y₅ =-2|x-3|+4 → паралельне перенесення на +4 одиниці вздовж осі О y (зсув вгору) = y ₄ +4

Графік функції y=-2|x-3|+4

Графік функції у= 3|х|+2 y₁=|x| y₂=3|x|= 3 y₁ → розтягування в 3 рази y₃=3|x| +2= y₄+2 → зрушення вгору на 2 одиниці

Правило № 7 Графік функції y=f(| x |) виходить з графіка функції y=f(x) наступним чином: При x > 0 графік функції зберігається, і ця частина графіка симетрично відображається щодо осі О y

Побудувати графік функції y = | x-1 | -2 |

У₁= |х| у₂=|х-1| у₃= у₂-2 у₄= |у₃| У=||х-1|-2|

Алгоритм побудови графіка функції y=│f(│x│)│ побудувати графік функції y=f(│x│). далі залишити без змін усі частини побудованого графіка, які лежать вище за осі x . частини, розташовані нижче осі x відобразити симетрично щодо цієї осі.

У = | 2 | х | -3 | Побудова: а) у = 2х-3 для х> 0, б) у = -2х-3 для х Слайд 26

Правило №8 Графік залежності | y|=f(x) виходить із графіка функції y=f(x) якщо всі точки, для яких f(x) > 0 зберігаються і вони ж симетрично переносяться щодо осі абсцис.

Побудувати безліч точок на площині, декартові координати яких х і задовольняють рівнянню |у|=||х-1|-1|.

| y|=||x-1| -1 | будуємо два графіки 1) у=||х-1|-1| та 2) у =-|| х-1 |-1 | y₁=|x| y₂=| x-1 | → зсув осі Ох вправо на 1 одиницю y₃ = | x -1 |- 1= → зрушення на 1 одиницю вниз y ₄ = || x-1 | - 1 | → симетрія точок графіка для яких y₃ 0 щодо x

Графік рівняння |y|=||x-1|-1| отримуємо наступним чином: 1)будуємо графік функції y=f(x) і становимо без змін ту його частину, де y≥0 2) за допомогою симетрії щодо осі Оx побудуємо іншу частину графіка, відповідну y

Побудувати графік функції y = | x | − | 2 − x | . Рішення. Тут знак модуля входить у два різних доданків і його потрібно знімати. 1) Знайдемо коріння підмодульних виразів: х=0, 2-х=0, х=2 2) Встановимо знаки на інтервалах:

Графік функції

Висновок Тема проекту є однією з найважчих у курсі математики, що відноситься до питань, що розглядаються на факультативах, вивчається в класах з поглибленого вивчення курсу математики. Проте такі завдання даються у другій частині ДПА. Дана робота допоможе зрозуміти як будувати графіки з модулями не тільки лінійних функцій, але й інших функцій (квадратичних, обернено пропорційних та ін). Робота допоможе при підготовці до ГІА та ЄДІ та дозволить отримати високі бали з математики.

Література Віленкін Н.Я. , Жохов В.І.. Математика”. Підручник 6 клас. Видавництво “Менемозіна”, 2010р Віленкін Н.Я., Віленкін Л.М., Сурвілло Г.С. та ін Алгебра. 8 клас: навч. Посібник для учнів та класів з поглибленим вивченням математики. – Москва. Освіта, 2009 р. Гайдуков І.І. "Абсолютна величина". Москва. Освіта, 1968. Гурський І.П. "Функції та побудова графіків". Москва. Освіта, 1968. Ящина Н.В. Прийоми побудови графіків, які містять модулі. Ж/л «Математика у шкільництві»,№3,1994г Дитяча енциклопедія. Москва. "Педагогіка", 1990. Динкін ​​Є.Б., Молчанова С.А. Математичні завдання. М., "Наука", 1993. Петраков І.С. Математичні гуртки у 8-10 класах. М., «Освіта», 1987 . Галицький М.Л. та ін. Збірник завдань з алгебри для 8-9 класів: Навчальний посібник для учнів та класів з поглибленим вивченням математики. - 12-е вид. - М.: Просвітництво, 2006. - 301 с. Макричев Ю.М., Міндюк Н.Г. Алгебра: Додаткові розділи до шкільного підручника 9 кл.: Навчальний посібник для учнів школи та класів з поглибленим вивченням математики / За редакцією Г.В.Дорофєєва. - М.: Просвітництво, 1997. - 224 с. Садикіна Н. Побудова графіків та залежностей, що містять знак модуля / Математика. - №33. - 2004. - С.19-21.. Кострикіна Н.П "Завдання підвищеної проблеми в курсі алгебри для 7-9 класів" ... Москва.: Просвітництво, 2008р.

Знак модуля, мабуть, одне з найцікавіших явищ у математиці. У зв'язку з цим у багатьох школярів виникає питання, як будувати графіки функцій, які містять модуль. Давайте докладно розберемо це питання.

1. Побудова графіків функцій, що містять модуль

приклад 1.

Побудувати графік функції y = x 2 - 8 | x | + 12.

Рішення.

Визначимо парність функції. Значення для y(-x) збігається зі значенням для y(x), тому ця функція парна. Тоді її графік симетричний щодо осі Oy. Будуємо графік функції y = x 2 – 8x + 12 для x ≥ 0 та симетрично відображаємо графік щодо Oy для негативних x (рис. 1).

приклад 2.

Наступний графік виду y = | x 2 - 8x + 12 |.

– Яка область значень запропонованої функції? (y ≥ 0).

- Як розташований графік? (Над віссю абсцис або торкаючись її).

Це означає, що графік функції одержують наступним чином: будують графік функції y = x 2 – 8x + 12, залишають частину графіка, що лежить над віссю Ox, без змін, а частина графіка, що лежить під віссю абсцис, симетрично відображають щодо осі Ox (Рис. 2).

приклад 3.

Для побудови графіка функції y = | x 2 - 8 | x | + 12 | проводять комбінацію перетворень:

y = x 2 - 8x + 12 → y = x 2 - 8 | + 12 → y = | x 2 - 8 | x | + 12 |.

Відповідь: рисунок 3.

Розглянуті перетворення справедливі всім видів функцій. Складемо таблицю:

2. Побудова графіків функцій, які у формулі «вкладені модулі»

Ми вже познайомилися з прикладами квадратичної функції, що містить модуль, а також із загальними правилами побудови графіків функцій виду y = f (| x |), y = | f (x) | та y = |f(|x|)|. Ці перетворення допоможуть нам під час розгляду наступного прикладу.

приклад 4.

Розглянемо функцію виду y = | 2 - | 1 - | x | | |. Вираз, що задає функцію, містить вкладені модулі.

Рішення.

Скористаємося методом геометричних перетворень.

Запишемо ланцюжок послідовних перетворень і зробимо відповідне креслення (рис. 4):

y = x → y = | x | → y = -|x| → y = -|x| + 1 → y = |-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1 | + 2 → y = | 2 - | 1 - | x | | |.

Розглянемо випадки, коли перетворення симетрії та паралельного перенесення не є основним прийомом при побудові графіків.

Приклад 5.

Побудувати графік функції виду y = (x 2 – 4)/√(x + 2) 2 .

Рішення.

Перш ніж будувати графік, перетворимо формулу, якою задана функція, та отримаємо інше аналітичне завдання функції (рис. 5).

y = (x 2 - 4) / √ (x + 2) 2 = (x - 2) (x + 2) / | x + 2 |.

Розкриємо у знаменнику модуль:

За x > -2, y = x – 2, а за x< -2, y = -(x – 2).

Область визначення D(y) = (-∞; -2)ᴗ(-2; +∞).

Область значень E(y) = (-4; +∞).

Точки, в яких графік перетинає з осі координат: (0; -2) та (2; 0).

Функція зменшується за всіх x з інтервалу (-∞; -2), зростає при x від -2 до +∞.

Тут нам довелося розкривати знак модуля та будувати графік функції для кожного випадку.

Приклад 6.

Розглянемо функцію y = | x + 1 | - | X - 2 |.

Рішення.

Розкриваючи знак модуля, необхідно розглянути різноманітну комбінацію символів підмодульних виразів.

Можливі чотири випадки:

(x + 1 – x + 2 = 3, при x ≥ -1 та x ≥ 2;

(-x - 1 + x - 2 = -3, при x< -1 и x < 2;

(x + 1 + x – 2 = 2x - 1, при x ≥ -1 та x< 2;

(-x - 1 - x + 2 = -2x + 1, при x< -1 и x ≥ 2 – пустое множество.

Тоді вихідна функція матиме вигляд:

(3, при x ≥ 2;

y = (-3, при x< -1;

(2x – 1, при -1 ≤ x< 2.

Отримали шматково-задану функцію, графік якої зображено малюнку 6.

3. Алгоритм побудови графіків функцій виду

y = a 1 | x - x 1 | + a 2 | x - x 2 | + … + a n | x - x n | + ax + b.

У попередньому прикладі було легко розкрити знаки модуля. Якщо сум модулів більше, то розглянути всілякі комбінації знаків підмодульних виразів проблематично. Як у цьому випадку побудувати графік функції?

Зауважимо, що графіком є ​​ламана, з вершинами в точках, що мають абсциси -1 і 2. При x = -1 і x = 2 підмодульні вирази дорівнюють нулю. Практичним шляхом ми наблизилися до правила побудови таких графіків:

Графіком функції виду y = a 1 | x - x 1 | + a 2 | x - x 2 | + … + a n | x - x n | + ax + b є ламана з нескінченними крайніми ланками. Щоб побудувати таку ламану, достатньо знати всі її вершини (абсциси вершин є нулі підмодульних виразів) і по одній контрольній точці на лівому та правому нескінченних ланках.

Завдання.

Побудувати графік функції y = | x | + | x - 1 | + | x + 1 | та знайти її найменше значення.

Рішення:

Нулі підмодульних виразів: 0; -1; 1. Вершини ламаної (0; 2); (-1; 3); (1; 3). Контрольна точка праворуч (2; 6), зліва (-2; 6). Будуємо графік (рис. 7). min f(x) = 2.

Залишились питання? Чи не знаєте, як побудувати графік функції з модулем?
Щоб отримати допомогу репетитора – зареєструйтесь.

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Пісочниця

Барак Адама 3 березня 2013 о 19:43

ГІА - побудова графіків функцій зі знаком модуля

Всім привіт! Хотів би сьогодні пояснити таку тему як побудова графіків. Ймовірно, більшість знає, як будувати прості графіки функцій, такі як y=x^2 або y=1/x. Як будувати графіки зі знаком модуля?

Завдання 1.Побудувати графіки функцій y=|x| y=|x-1|.
Рішення.Порівняємо його з графіком функції y = | x |. При позитивних x маємо | x | = x. Значить для позитивних значень аргументу графік y=|x| збігається з графіком y=x, тобто ця частина графіка є променем, що виходить із початку координат під кутом 45 градусів до осі абсцис. При x< 0 имеем |x|= -x; значит, для отрицательных x график y=|x| совпадает с биссектрисой второго координатного угла.
Втім, другу половину графіка (для негативних X) легко одержати з першої, якщо помітити, що функція y = | x | - парна, оскільки |-a|=|a|. Отже, графік функції y = | x | симетричний щодо осі Oy, і другу половину графіка можна придбати, відобразивши щодо осі ординат частину, накреслену для позитивних x. Виходить графік:

Для побудови беремо точки (-2; 2) (-1; 1) (0; 0) (1; 1) (2; 2).

Тепер графік y = | x-1 |. Якщо А - точка графіка у = | x | з координатами (a; | a |), то точкою графіка y = | x-1 | з тим самим значенням ординати Y буде точка A1(a+1;|a|). (Чому?) Цю точку другого графіка можна з точки А(a;|a|) першого графіка зрушенням паралельно осі Ox вправо. Значить, і весь графік функції y=|x-1|виходить із графіка функції y=|x| зсувом паралельно осі Ox праворуч на 1.

Побудуємо графіки:

Y = | x-1 |

Для побудови беремо точки (-2; 3) (-1; 2) (0; 1) (1; 0) (2; 1).

Це було просте завдання. Тепер те, що багатьох жахає.

Завдання 2.Побудуйте графік функції y=3*|x-4| - x + | x +1 |.
Рішення.Знайдемо точки, у яких підмодульні вирази перетворюються на нуль, тобто. так звані критичні точки функції. Такими точками будуть х=-1 та х=4. У цих точках підмодульні вирази можуть змінити знак.

Нехай x<-1. Тоді х+1<0, |x+1|=-x-1; x-4<0, |x-4|=-x+4; Следовательно y= 3(-х+4)-х+(-х-1)= -5х+11.
Нехай -1< = x < = 4. Тоді х+1>0, |x+1|=x+1; x-4<0, |x-4|=-x+4; Следовательно y= 3(-х+4)-х+(х+1)= -3х+13.
Нехай х>4.Тоді х+1>0, |x+1|=x+1, x-4>0; | x-4 | = x-4; Отже у=3(х-4)-х+х+1=3х-11.

Отже, нам потрібно побудувати графік функції (саме один)
( у = -5х +11, при x<-1
(y=-3х+13, при -1< = x < = 4.
(Y = 3х-11, при х> 4

Для побудови першого беремо точки (1; 6) (2; 1)
Для побудови другого беремо точки (3; 4) (4; 1)
Для побудови третього беремо точки (3; -2) (4; 1)

Ну і останнє на сьогодні завдання, яке ми розберемо.
Завдання 3.Побудувати графік функції y = | 1/4 x ^ 2 - | x | - 3 |.
Рішення.Функція y=|f(|x|)| парна. Потрібно побудувати для x>=0 y= f(x) графік функції, потім його симетрично відобразити щодо осі Oy(це графік y= |1/4 x^2 - x - 3|.), і, нарешті, ту частину отриманого графіка, яка розташована в нижній напівплощині, симетрично відобразити щодо осі Ox (y= 1/4 x^2 - |x| - 3.).
Ось що з цього вийде:

Y= |1/4 x^2 - |x| - 3 |

Отже, дякую всім! Тепер ми отримали базу знань, необхідну для побудови графіків зі знаком модуля! Бо його так усі бояться.

математика