Фізичні величини характеризуються поняттям "точність похибки". Є висловлювання, що шляхом проведення вимірів можна дійти пізнання. Так вдасться дізнатися, якою є висота будинку чи довжина вулиці, як і багато інших.
Вступ
Розберемося у значенні поняття «виміряти величину». Процес виміру полягає в тому, щоб порівняти її з однорідними величинами, які приймають як одиницю.
Для визначення обсягу використовують літри, для обчислення маси застосовуються грами. Щоб було зручніше робити розрахунки, запровадили систему СІ міжнародної класифікації одиниць.
За вимірювання довжини грузли метри, маси – кілограми, об'єму – кубічні літри, часу – секунди, швидкості – метри за секунду.
При обчисленні фізичних величин який завжди потрібно користуватися традиційним способом, досить застосувати обчислення з допомогою формули. Наприклад, для обчислення таких показників, як середня швидкість, необхідно поділити пройдену відстань на час, проведений у дорозі. Так виробляються обчислення середньої швидкості.
Застосовуючи одиниці виміру, що у десять, сто, тисячу разів перевищують показники прийнятих вимірювальних одиниць, їх називають кратними.
Найменування кожної приставки відповідає своєму числу множника:
- Дека.
- Гекто.
- Кіло.
- Мега.
- Гіга.
- Тера.
У фізичній науці для запису таких множників використовується рівень числа 10. Наприклад, мільйон позначається як 10 6 .
У простій лінійці довжина має одиницю виміру – сантиметр. Вона в 100 разів менша за метр. 15-сантиметрова лінійка має довжину 0,15 м-коду.
Лінійка є найпростішим видом вимірювальних приладів для вимірювання показників довжини. Більш складні прилади представлені термометром – щоб гігрометром – щоб визначати вологість, амперметром – заміряти рівень сили, з якою поширюється електричний струм.
Наскільки точними будуть показники проведених вимірів?
Візьмемо лінійку та простий олівець. Наше завдання полягає у вимірі довжини цієї канцелярської приналежності.
Спочатку потрібно визначити, яка ціна поділу, вказана на шкалі вимірювального приладу. На двох поділках, які є найближчими штрихами шкали, написано цифри, наприклад, «1» та «2».
Необхідно підрахувати, скільки поділів укладено у проміжку цих цифр. За правильного підрахунку вийде «10». Віднімемо від числа, яке є більшим, число, яке буде меншим, і поділимо на число, яке становлять поділки між цифрами:
(2-1)/10 = 0,1 (см)
Так визначаємо, що ціною, що визначає розподіл канцелярської власності, є число 0,1 см або 1 мм. Наочно показано, як визначається показник ціни для поділу із застосуванням будь-якого вимірювального приладу.
Вимірюючи олівець із довжиною, яка трохи менше, ніж 10 см, скористаємося отриманими знаннями. За відсутності на лінійці дрібного поділу слід було б висновок, що предмет має довжину 10 см. Це приблизне значення названо вимірювальною похибкою. Вона свідчить про той рівень неточності, що може допускатися під час проведення вимірів.
Визначаючи параметри довжини олівця з вищим рівнем точності, більшою ціною розподілу досягається більша вимірювальна точність, що забезпечує меншу похибку.
У цьому абсолютно точного виконання вимірів може бути. А показники не повинні перевищувати розмірів ціни поділу.
Встановлено, що розміри вимірювальної похибки становлять ½ ціни, яка вказана на поділах приладу, що застосовується для визначення розмірів.
Після виконання вимірів олівця 9,7 см визначимо показники його похибки. Це проміжок 9,65 – 9,85 см.
Формулою, що вимірює таку похибку, є обчислення:
А = а ± D (а)
А - як величини для вимірювальних процесів;
а – значення результату вимірів;
D – позначення абсолютної похибки.
При відніманні чи складання величин з похибкою результат дорівнюватиме сумі показників похибки, що становить кожна окрема величина.
Знайомство з поняттям
Якщо розглядати в залежності від способу її вираження, можна виділити такі різновиди:
- Абсолютну.
- Відносну.
- Наведену.
Абсолютна похибка вимірювань позначається буквою «Дельта» великою. Це поняття визначається у вигляді різниці між виміряними та дійсними значеннями тієї фізичної величини, яка вимірюється.
Виразом абсолютної похибки вимірів є одиниці тієї величини, яку необхідно виміряти.
При вимірі маси вона виражатиметься, наприклад, у кілограмах. Це не зразок точності вимірювань.
Як розрахувати похибку прямих вимірів?
Існують способи зображення похибки вимірювання та їх обчислення. Для цього важливо вміти визначати фізичну величину з необхідною точністю, знати, що таке абсолютна похибка вимірів, що її ніхто не зможе знайти. Можна обчислити лише її граничне значення.
Навіть якщо умовно вживається цей термін, він вказує на граничні дані. Абсолютна та відносна похибка вимірів позначаються однаковими літерами, різниця в їх написанні.
При вимірі довжини абсолютна похибка вимірюватиметься у тих одиницях, у яких обчислюватиметься довжина. А відносна похибка обчислюється без розмірів, оскільки є відношенням абсолютної похибки до результату виміру. Таку величину часто виражають у відсотках чи частках.
Абсолютна та відносна похибка вимірювань мають кілька різних способів обчислення залежно від того, якою є фізична величина.
Поняття прямого виміру
Абсолютна та відносна похибка прямих вимірювань залежить від класу точності приладу та вміння визначати похибку зважування.
Перш ніж говорити, як обчислюється похибка, необхідно уточнити визначення. Прямим називається вимір, у якому відбувається безпосереднє зчитування результату з приладової шкали.
Коли ми користуємося термометром, лінійкою, вольтметром або амперметром, то завжди проводимо саме прямі виміри, оскільки застосовуємо прилад безпосередньо зі шкалою.
Є два фактори, які впливають на результативність показань:
- Похибка приладів.
- Похибка системи відліку.
Кордон абсолютної похибки при прямих вимірах дорівнюватиме сумі похибки, яку показує прилад, і похибки, що відбувається в процесі відліку.
D = D (пр.) + D (відс.)
Приклад із медичним термометром
Показники похибки вказані на приладі. На медичному термометрі прописано похибку 0,1 градусів за Цельсієм. Похибка відліку становить половину ціни поділу.
D відс. = С/2
Якщо ціна розподілу 0,1 градуса, то для медичного термометра можна зробити обчислення:
D = 0,1 o З + 0,1 o З / 2 = 0,15 o З
На тильній стороні шкали іншого термометра є ТУ і зазначено, що для правильності вимірювань необхідно занурювати термометр тильною частиною. не вказана. Залишається лише похибка відліку.
Якщо ціна поділу шкали цього термометра дорівнює 2 o С, то можна вимірювати температуру з точністю до 1 o С. Такі межі абсолютної похибки вимірювань, що допускається, і обчислення абсолютної похибки вимірювань.
Особливу систему обчислення точності використовують у електровимірювальних приладах.
Точність електровимірювальних приладів
Щоб задати точність таких пристроїв, використовується величина, яка називається класом точності. Для її позначення застосовують букву Гамма. Щоб точно визначити визначення абсолютної та відносної похибки вимірювань, потрібно знати клас точності приладу, який вказаний на шкалі.
Візьмемо, наприклад, амперметр. На його шкалі вказано клас точності, що вказує число 0,5. Він придатний для вимірювань на постійному та змінному струмі, відноситься до пристроїв електромагнітної системи.
Це досить точний прилад. Якщо порівняти його зі шкільним вольтметром, видно, що він має клас точності - 4. Цю величину обов'язково знати для подальших обчислень.
Застосування знань
Таким чином, D c = c (max) Х γ /100
Цією формулою і користуватимемося для конкретних прикладів. Скористаємося вольтметром та знайдемо похибку вимірювання напруги, яку дає батарейка.
Підключимо батарейку безпосередньо до вольтметра, попередньо перевіривши, чи стрілка стоїть на нулі. При підключенні приладу стрілка відхилилася на 4,2 розподілу. Цей стан можна охарактеризувати так:
- Видно, що максимальне значення U даного предмета дорівнює 6.
- Клас точності -(?) = 4.
- U(о) = 4,2 Ст.
- С=0,2
Користуючись цими даними формули, абсолютна та відносна похибка вимірювань обчислюється так:
DU = DU (пр.) + С/2
D U (пр.) = U (max) Х γ /100
D U (пр.) = 6 В Х 4/100 = 0, 24 В
Це похибка приладу.
Розрахунок абсолютної похибки вимірювань у разі буде виконано так:
D U = 0,24 В + 0,1 В = 0,34 В
За розглянутою формулою легко можна дізнатися, як розрахувати абсолютну похибку вимірювань.
Існує правило округлення похибок. Воно дозволяє знайти середній показник між межею абсолютної похибки та відносною.
Вчимося визначати похибку зважування
Це один із прикладів прямих вимірів. На особливому місці стоїть зважування. Адже важельні ваги не мають шкали. Навчимося визначати похибку такого процесу. На точність вимірювання маси впливає точність гир та досконалість самих ваг.
Ми користуємося важелями з набором гирь, які необхідно класти саме на праву чашу терезів. Для зважування візьмемо лінійку.
Перед початком досвіду потрібно врівноважити ваги. Лінійку кладемо на ліву чашу.
Маса дорівнюватиме сумі встановлених гир. Визначимо похибку виміру цієї величини.
D m = D m (ваг) + D m (гір)
Похибка вимірювання маси складається з двох доданків, пов'язаних з вагами та гирями. Щоб дізнатися кожну з цих величин, на заводах з випуску ваг та гирь продукція забезпечується спеціальними документами, які дозволяють обчислити точність.
Застосування таблиць
Скористайтеся стандартною таблицею. Похибка терезів залежить від того, яку масу поклали на ваги. Чим вона більша, тим, відповідно, більша і похибка.
Навіть якщо покласти дуже легке тіло, буде похибка. Цей пов'язаний із процесом тертя, що відбувається в осях.
Друга таблиця відноситься до набору гирь. На ній зазначено, кожна з них має свою похибку маси. 10-грамова має похибку 1 мг, як і 20-грамова. Прорахуємо суму похибок кожної з цих гирек, взятої з таблиці.
Зручно писати масу та похибку маси у двох рядках, які розташовані одна під одною. Чим менше гирі, тим точніше вимір.
Підсумки
У результаті розглянутого матеріалу встановлено, що визначити абсолютну похибку неможливо. Можна лише встановити її граничні показники. Для цього використовуються формули, описані вище у обчисленнях. Даний матеріал запропонований для вивчення у школі для учнів 8-9 класів. На основі отриманих знань можна вирішувати завдання на визначення абсолютної та відносної похибки.
Абсолютна та відносна похибка числа.
Як характеристики точності наближених величин будь-якого походження вводяться поняття абсолютної та відносної похибки цих величин.
Позначимо через а наближення до точного числа А.
Визнач. Величина називається похибкою наближеного числа.
Визначення.
Абсолютною похибкою 
наближеного числа а називається величина 
.
Практично точне число А зазвичай невідоме, але завжди можемо вказати межі, у яких змінюється абсолютна похибка.
Визначення.
Граничною абсолютною похибкою 
наближеного числа а називається найменша з верхніх меж для величини 
, Яку можна знайти при даному способі отримання числа.
На практиці як 
вибирають одну з верхніх меж для 
, Досить близьку до найменшої.
Оскільки 
, то 
. Іноді пишуть: 
.
Абсолютна похибка- це різниця між результатом виміру
та істинним (дійсним) значенням вимірюваної величини.
Абсолютна похибка та гранична абсолютна похибка недостатні для характеристики точності вимірювання або обчислення. Якісно суттєвіша величина відносної похибки.
Визначення.
Відносною похибкою 
наближеного числа а назвемо величину:
Визначення.
Граничною відносною похибкою 
наближеного числа а назвемо величину
Так як 
.
Таким чином, відносна похибка визначає фактично величину абсолютної похибки, що припадає на одиницю наближеного числа, що вимірюється або обчислюється.
приклад.Округлюючи точні числа А до трьох значущих цифр, визначити
абсолютну Dі відносну δ похибки отриманих наближених
Дано:
Знайти:
∆-абсолютна похибка
δ-відносна похибка
Рішення:
=|-13.327-(-13.3)|=0.027
,a 
0
*100%=0.203%
Відповідь:=0,027; δ=0.203%
2.Десятична запис наближеного числа. Значна цифра. Вірні знаки числа (визначення вірних і значущих цифр, приклади; теорія про зв'язок відносної похибки та числа вірних знаків).
Вірні знаки числа.
Визначення. Значною цифрою наближеного числа а називається будь-яка цифра, відмінна від нуля, і нуль, якщо вона розташована між значущими цифрами або є представником збереженого десяткового розряду.
Наприклад, серед 0,00507 = 
маємо 3 значущі цифри, а серед 0,005070= 
значущі цифри, тобто. нуль праворуч, зберігаючи десятковий розряд, є значним.
Умовимося надалі праворуч записувати, якщо вони є значущими. Тоді, інакше кажучи,
значущими є всі цифри числа а, крім нулів зліва.
У десятковій системі числення будь-яке число а може бути представлене у вигляді кінцевої або нескінченної суми (десяткового дробу):
де 
,
- перша цифра, m - ціле число, зване старшим десятковим розрядом числа а.
Наприклад, 518,3 = m=2.
Користуючись записом, введемо поняття про вірні десяткові знаки (у значущих цифрах) приблизно-
го числа.
Визначення.
Кажуть, що у наближеному числі а форми n – перших значущих цифр 
,
де i= m, m-1,..., m-n+1 є вірними, якщо абсолютна похибка цього числа не перевищує половини одиниці розряду, що виражається n-ї цифрою:
Інакше остання цифра 
називається сумнівною.
При записі наближеного числа без вказівки його похибки вимагають, щоб усі записані цифри
були вірними. Ця вимога дотримана у всіх математичних таблицях.
Термін "n вірних знаків" характеризує лише ступінь точності наближеного числа і його не слід розуміти так, що n перших значущих цифр наближеного числа а збігається з відповідними цифрами точного числа А. Наприклад, у чисел А = 10 а = 9997 всі значущі цифри різні але число а має 3 вірних значущих цифри. Справді, тут m=0 і n=3 (знаходимо підбором).
Як уже говорилося раніше, коли ми порівнюємо точність виміру деякої наближеної величини, ми використовуємо абсолютну похибку.
Поняття абсолютної похибки
Абсолютна похибка наближеного значення – це модуль різниці точного значення та наближеного значення.
Абсолютну похибку можна застосовувати порівняння точності наближень однакових величин, і якщо ми збираємося порівнювати точності наближення різних величин, тоді однієї абсолютної похибки недостатньо.
Наприклад:Довжина аркуша паперу формату А4 дорівнює (29.7±0.1) див. А відстань від Санкт-Петербурга до Москви дорівнює (650±1) км. Абсолютна похибка в першому випадку не перевищує одного міліметра, а в другому – одного кілометра. Питання, чи порівняти точність цих вимірювань.
Якщо ви вважаєте, що довжина листа виміряна точніше тому, що величина абсолютної похибки не перевищує 1 мм. То ви помиляєтесь. Безпосередньо порівняти ці величини не можна. Проведемо деякі міркування.
При вимірі довжини листа абсолютна похибка вбирається у 0.1 див на 29.7 див, тобто у відсотковому співвідношенні це становить 0.1/29.7 *100% = 0.33% вимірюваної величини.
Коли ми вимірюємо відстань від Санкт-Петербурга до Москви абсолютна похибка вбирається у 1 км на 650 км, що у відсотковому співвідношенні становить 1/650 *100% = 0.15% вимірюваної величини. Бачимо, що відстань між містами виміряна точніше, ніж довжина аркуша формату А4.
Поняття відносної похибки
Тут з метою оцінки якості наближення вводиться нове поняття відносна похибка. Відносна погрішність- це окреме від поділу абсолютної похибки на модуль наближеного значень вимірюваної величини. Зазвичай відносну похибку виражають у відсотках. У прикладі ми отримали дві відносних похибки рівні 0.33% і 0.15%.
Як ви вже здогадалися, відносна похибка величина завжди позитивна. Це випливає з того, що абсолютна похибка завжди позитивна величина, і ми ділимо її на модуль, а модуль теж завжди позитивний.
Насправді зазвичай числа, з яких виробляються обчислення, є наближеними значеннями тих чи інших величин. Для стислості промови наближене значення величини називають наближеним числом. Справжнє значення величини називають точним числом. Наближене число має практичну цінність лише тоді ми можемо визначити, з яким ступенем точності воно дано, тобто. оцінити його похибку. Нагадаємо основні поняття із загального курсу математики.
Позначимо: x- точне число (справжнє значення величини), а-Наближене число (наближене значення величини).
Визначення 1. Похибкою (або істинною похибкою) наближеного числа називається різниця між числом xта його наближеним значенням а. Похибка наближеного числа абудемо позначати. Отже,
Точне число xнайчастіше буває невідомо, тому знайти справжню та абсолютну похибки не є можливим. З іншого боку, необхідно оцінити абсолютну похибку, тобто. вказати число, якого може перевищити абсолютна похибка. Наприклад, вимірюючи довжину предмета даним інструментом, ми повинні бути впевнені, що похибка отриманого числового значення не перевищить деякого числа, наприклад 0,1 мм. Іншими словами, ми маємо знати межу абсолютної похибки. Цей кордон називатимемо граничною абсолютною похибкою.
Визначення 3. Граничною абсолютною похибкою наближеного числа аназивається позитивне число таке, що , тобто.
Значить, хза нестачею, - за надлишком. Застосовують також такий запис:
| . | (2.5) |
Зрозуміло, що гранична абсолютна похибка визначається неоднозначно: якщо деяке число є граничною абсолютною похибкою, то будь-яке більше є гранична абсолютна похибка. Насправді намагаються вибирати можливо менше і просте по запису (з 1-2 значними цифрами) число , що задовольняє нерівності (2.3).
приклад.Визначити справжню, абсолютну та граничну абсолютну похибки числа а = 0,17, взятого як наближене значення числа .
Справжня похибка: 
Абсолютна похибка: 
За граничну абсолютну похибку можна прийняти число і більше. У десятковому записі будемо мати: Замінюючи це число більшим і, можливо, простішим за записом, приймемо:
Зауваження. Якщо ає наближене значення числа х, причому гранична абсолютна похибка дорівнює h, то кажуть, що ає наближене значення числа хз точністю до h.
Знання абсолютної похибки недостатньо для характеристики якості виміру чи обчислення. Нехай, наприклад, отримані такі результати при вимірі довжини. Відстань між двома містами S 1=500 1 км та відстань між двома будинками у місті S 2=10 1 км. Хоча абсолютні похибки обох результатів однакові, проте істотне значення має те, що в першому випадку абсолютна похибка в 1 км. припадає на 500 км., у другому - на 10 км. Якість виміру у першому випадку краще, ніж у другому. Якість результату виміру чи обчислення характеризується відносною похибкою.
Визначення 4.Відносною похибкою наближеного значення ачисла хназивається відношення абсолютної похибки числа адо абсолютного значення числа х:
Визначення 5.Граничною відносною похибкою наближеного числа аназивається позитивне число таке, що .
Оскільки , то з формули (2.7) випливає, що можна обчислити за формулою
| . | (2.8) |
Для стислості мови у випадках, коли це викликає непорозумінь, замість “гранична відносна похибка” кажуть просто “відносна похибка”.
Граничну відносну похибку часто виражають у відсотках.
Приклад 1. . Вважаючи, можемо прийняти =. Виробляючи розподіл і округляючи (обов'язково у бік збільшення), отримаємо =0,0008=0,08%.
приклад 2.При зважуванні тіла одержано результат: p=23,4 0,2 р. Маємо =0,2. . Виробляючи поділ та округляючи, отримаємо =0,9%.
Формула (2.8) визначає залежність між абсолютною та відносною похибками. З формули (2.8) випливає:
| . | (2.9) |
Користуючись формулами (2.8) та (2.9), ми можемо, якщо відоме число а, з цієї абсолютної похибки знаходити відносну похибку і навпаки.
Зауважимо, що формули (2.8) та (2.9) часто доводиться застосовувати і тоді, коли ми ще не знаємо наближеного числа аз необхідною точністю, а знаємо грубе наближене значення а. Наприклад, потрібно виміряти довжину предмета відносної похибкою не вище 0,1%. Постає питання: чи можливо виміряти довжину з потрібною точністю за допомогою штангенциркуля, що дозволяє виміряти довжину з абсолютною похибкою до 0,1 мм? Нехай ми ще не вимірювали предмет точним інструментом, але знаємо, що грубе наближене значення довжини – близько 12 див.За формулою (1.9) знаходимо абсолютну похибку:
Звідси видно, що з допомогою штангенциркуля можна здійснити вимір із необхідної точністю.
У процесі обчислювальної роботи часто доводиться переходити від абсолютної похибки відносної, і навпаки, що робиться за допомогою формул (1.8) і (1.9).
Жоден вимір не вільний від похибок, чи, точніше, ймовірність виміру без похибок наближається до нуля. Рід і причини похибок дуже різноманітні і впливають багато чинники (рис.1.2).
Загальна характеристика факторів, що впливають, може бути систематизована з різних точок зору, наприклад, за впливом перелічених факторів (рис.1.2).
За результатами вимірювання похибки можна поділити на три види: систематичні, випадкові та промахи.
Систематичні похибки, у свою чергу, ділять на групи через їх виникнення та характер прояву. Вони можуть бути усунені у різний спосіб, наприклад, введенням поправок.
Мал. 1.2
Випадкові похибки викликаються складною сукупністю факторів, що змінюються, зазвичай невідомих і важко піддаються аналізу. Їх вплив на результат виміру можна зменшити, наприклад, шляхом багаторазових вимірів з подальшою статистичною обробкою отриманих результатів методом теорії ймовірностей.
До промах відносяться грубі похибки, що виникають при раптових змінах умов експерименту. Ці похибки за своєю природою теж випадкові, і після виявлення мають бути виключені.
Точність вимірювань оцінюється похибками вимірювань, які поділяються за природою виникнення на інструментальну та методичну та за методом обчислень на абсолютну, відносну та наведену.
Інструментальна похибка характеризується класом точності вимірювального приладу, який наведений у його паспорті у вигляді основних і додаткових похибок, що нормуються.
Методична похибка обумовлена недосконалістю методів та засобів вимірювань.
Абсолютна похибка є різницю між виміряним G u і істинним значеннями величини G, що визначається за формулою:
Δ=ΔG=G u -G
Зауважимо, що величина має розмірність вимірюваної величини.
Відносну похибка знаходять із рівності
δ=±ΔG/G u ·100%
Наведену похибку розраховують за формулою (клас точності вимірювального приладу)
δ=±ΔG/G норм ·100%
де G норм - нормує значення вимірюваної величини. Її приймають рівною:
а) кінцевого значення шкали приладу, якщо нульова позначка знаходиться на краю або поза шкалою;
б) сумі кінцевих значень шкали без урахування знаків, якщо нульова позначка розташована всередині шкали;
в) довжина шкали, якщо шкала нерівномірна.
Клас точності приладу встановлюється при його перевірці та є нормованою похибкою, що обчислюється за формулами
γ=±ΔG/G норм ·100%, якщоΔG m =const
де ΔG m - Найбільша можлива абсолютна похибка приладу;
G k - Кінцеве значення межі вимірювання приладу; з і d – коефіцієнти, що враховують конструктивні параметри та властивості вимірювального механізму приладу.
Наприклад, для вольтметра з постійною відносною похибкою має місце рівність
δ m =±c
Відносна та наведена похибки пов'язані наступними залежностями:
а) для будь-якого значення наведеної похибки
δ=±γ·G норм /G u
б) для найбільшої наведеної похибки
δ=±γ m ·G норм /G u
З цих співвідношень випливає, що при вимірюваннях, наприклад вольтметром, в ланцюзі при тому самому значенні напруги відносна похибка тим більше, чим менше напруга, що вимірювається. І якщо цей вольтметр обрано неправильно, то відносна похибка може бути порівнянна зі значенням G н що є неприпустимим. Зауважимо, що відповідно до термінології вирішуваних завдань, наприклад, при вимірюванні напруги G = U , при вимірюванні струму C = I , літерні позначення у формулах для обчислення похибок необхідно замінювати на відповідні символи.
приклад 1.1.Вольтметром, що має значення m = 1,0 % , U н = G норм, G k = 450 В, Вимірюють напругу U u , що дорівнює 10 В. Оцінимо похибки вимірювань.
Рішення.
Відповідь.Похибка вимірів становить 45%. За такої похибки виміряна напруга не можна вважати достовірною.
При обмежених можливостях вибору приладу (вольтметра) методична похибка може бути врахована поправкою, обчисленою за формулою
приклад 1.2. Обчислити абсолютну похибку вольтметра В7-26 при вимірах напруги ланцюга постійного струму. Клас точності вольтметра заданий максимально наведеною похибкою γ m =±2,5%. Використовується у роботі межа шкали вольтметра U норм =30 У.
Рішення.Абсолютна похибка обчислюється за відомими формулами:
(оскільки наведена похибка, за визначенням, виражається формулою 
, то звідси можна знайти й абсолютну похибку: 
Відповідь.ΔU = ±0,75 В.
Важливими етапами у процесі вимірювань є обробка результатів та правила округлення. Теорія наближених обчислень дозволяє, знаючи ступінь точності даних, оцінити ступінь точності результатів ще до виконання дій: відібрати дані з належним ступенем точності, достатньою для забезпечення необхідної точності результату, але не надто велику, щоб позбавити обчислювача марних розрахунків; раціоналізувати сам процес обчислення, звільнивши його від тих викладок, які не вплинуть на точні цифри результати.
Під час обробки результатів застосовують правила округлення.
- Правило 1. Якщо перша з цифр, що відкидаються, більше п'яти, то остання з цифр, що зберігаються, збільшується на одиницю.
- Правило 2 Якщо перша з цифр, що відкидаються, менше п'яти, то збільшення не робиться.
- Правило 3 Якщо цифра, що відкидається, дорівнює п'яти, а за нею немає значущих цифр, то округлення проводиться на найближче парне число, тобто. остання цифра залишається незмінною, якщо вона парна, і збільшується, якщо вона не парна.
Якщо за цифрою п'ять є цифри, то округлення проводиться за правилом 2.
Застосовуючи правило 3 округлення одного числа, ми не збільшуємо точність округлення. Але при численних округленнях надлишкові числа будуть зустрічатися приблизно так само часто, як недостатньо. Взаємна компенсація похибки забезпечить найбільшу точність результату.
Число, що явно перевищує абсолютну похибку (або в гіршому випадку дорівнює їй), називається граничною абсолютною похибкою.
Величина граничної похибки перестав бути цілком певної. Для кожного наближеного числа має бути відома його гранична похибка (абсолютна чи відносна).
Коли вона прямо не вказана, мається на увазі, що гранична абсолютна похибка становить половину одиниці останнього виписаного розряду. Так, якщо наведено наближене число 4,78 без вказівки граничної похибки, мається на увазі, що гранична абсолютна похибка становить 0,005. Внаслідок цієї угоди завжди можна обійтися без вказівки граничної похибки числа, округленого за правилами 1-3, тобто якщо наближене число позначити буквою α, то
Де Δn – гранична абсолютна похибка; а δ n - гранична відносна похибка.
Крім того, при обробці результатів використовуються правила знаходження похибки суми, різниці, твори та частки.
- Правило 1. Гранична абсолютна похибка суми дорівнює сумі граничних абсолютних похибок окремих доданків, але при значній кількості похибок доданків зазвичай відбувається взаємна компенсація похибок, тому справжня похибка суми лише у виняткових випадках збігається з граничною похибкою або близька до неї.
- Правило 2 Гранична абсолютна похибка різниці дорівнює сумі граничних абсолютних похибок зменшуваного або віднімається.
Граничну відносну похибку легко виявити, обчисливши граничну абсолютну похибку.
- Правило 3 Гранична відносна похибка суми (але не різниці) лежить між найменшою та найбільшою з відносних похибок доданків.
Якщо всі доданки мають одну й ту саму граничну відносну похибку, то сума має ту саму граничну відносну похибку. Інакше кажучи, у разі точність суми (у відсотковому вираженні) не поступається точності доданків.
На противагу сумі різниця наближених чисел може бути менш точною, ніж зменшуване і віднімається. Втрата точності особливо велика в тому випадку, коли зменшується і віднімається мало відрізняються один від одного.
- Правило 4 Гранична відносна похибка твору приблизно дорівнює сумі граничних відносних похибок співмножників: δ=δ 1 +δ 2 , або, точніше, δ=δ 1 +δ 2 +δ 1 δ 2 де δ – відносна похибка твору, δ 1 δ 2 співмножників.
Примітки:
1. Якщо перемножуються наближені числа з тим самим кількістю значущих цифр, то творі слід зберегти стільки ж значущих цифр. Остання зі збережених цифр буде не цілком надійна.
2. Якщо деякі співмножники мають більше значущих цифр, ніж інші, то до множення слід перші округлити, зберігши в них стільки цифр, скільки має найменш точний співмножник або ще одну (як запасну), подальші цифри зберігати марно.
3. Якщо потрібно, щоб добуток двох чисел мало заздалегідь дане число цілком надійне, то в кожному з співмножників число точних цифр (отримане виміром або обчисленням) має бути на одиницю більше. Якщо кількість співмножників більше двох і менше десяти, то в кожному з співмножників число точних цифр для повної гарантії має бути на дві одиниці більше, ніж потрібне число точних цифр. Практично цілком достатньо взяти лише одну зайву цифру.
- Правило 5 Гранична відносна похибка приватного приблизно дорівнює сумі граничних відносних похибок ділимого та дільника. Точна величина граничної відносної похибки завжди перевищує наближену. Відсоток перевищення приблизно дорівнює гранично відносної похибки дільника.
приклад 1.3. Знайти граничну абсолютну похибку частки 2,81: 0,571.
Рішення.Гранична відносна похибка поділеного є 0,005:2,81 = 0,2%; дільника - 0,005: 0,571 = 0,1%; приватного - 0,2% + 0,1% = 0,3%. Гранична абсолютна похибка приватного приблизно становитиме 2,81:0,571·0,0030=0,015
Отже, у приватному 2,81:0,571=4,92 вже третя цифра не надійна.
Відповідь. 0,015.
приклад 1.4. Обчислити відносну похибку показань вольтметра, включеного за схемою (рис. 1.3), яка виходить, якщо припустити, що вольтметр має нескінченно великий опір і не вносить спотворень у ланцюг, що вимірюється. Класифікувати похибку виміру для цього завдання.
Мал. 1.3
Рішення.Позначимо показання реального вольтметра через І, а вольтметра з нескінченно великим опором через І ∞. Відносна похибка, що шукається 
Зауважимо, що
тоді отримаємо
Так як R І >> R і R > r, то дріб у знаменнику останньої рівності набагато менше одиниці. Тому можна скористатися наближеною формулою 
, Справедливою при λ≤1 для будь-якого α . Припустивши, що у цій формулі α = -1 і λ= rR (r+R) -1 R І -1 , отримаємо δ rR/(r+R) R І .
Чим більший опір вольтметра порівняно із зовнішнім опором ланцюга, тим менша похибка. Але умова R< Відповідь.Похибка систематична методична. приклад 1.5.
У ланцюг постійного струму (рис.1.4) включені прилади: А – амперметр типу М 330 класу точності К А = 1,5 з межею виміру I k = 20 А; А 1 – амперметр типу М 366 класу точності К А1 = 1,0 з межею вимірювання I к1 = 7,5 А. Знайти найбільшу можливу відносну похибку вимірювання струму I 2 та можливі межі його дійсного значення, якщо прилади показали, що I=8 ,0А. та I 1 = 6,0А. Класифікувати вимір. Мал. 1.4 Рішення.Визначаємо струм I 2 за показаннями приладу (не враховуючи їх похибок): I 2 =I-I 1 =8,0-6,0=2,0 А. Знайдемо модулі абсолютних похибок амперметрів А та А 1 Для А маємо рівність Знайдемо суму модулів абсолютних похибок: Отже, найбільша можлива й тієї величини, виражена у частках цієї величини, дорівнює 1 . 10 3 - для одного приладу; 2·10 3 – для іншого приладу. Який із цих приладів буде найточнішим? Рішення.Точність приладу характеризується значенням, зворотним похибки (що точніше прилад, то менше похибка), тобто. для першого приладу це становитиме 1/(1 . 10 3) = 1000, для другого – 1/(2 . 10 3) = 500. Зауважимо, що 1000 > 500. Отже, перший прилад точніший за другий у два рази. Такого висновку можна дійти, перевіривши відповідність похибок: 2 . 10 3/1 . 103 = 2. Відповідь.Перший прилад вдвічі точніший за другий. приклад 1.6.
Знайти суму наближених вимірювань приладу. Знайти кількість вірних знаків: 0,0909+0,0833+0,0769+0.0714+0,0667+0.0625+0,0588+0,0556+0,0526. Рішення.Склавши всі результати вимірів, отримаємо 0,6187. Гранична максимальна похибка суми 0,00005 · 9 = 0,00045. Отже, в останньому четвертому знаку суми можлива помилка до 5 одиниць. Тому округляємо суму третього знака, тобто. тисячних, отримуємо 0,619 - результат, у якому всі знаки вірні. Відповідь. 0,619. Кількість вірних знаків – три знаки після коми.
для амперметра 