Циліндр (походить з грецької мови, від слів "ковзанка", "валик") - це геометричне тіло, яке обмежене зовні поверхнею, що називається циліндричною, і двома площинами. Дані площини перетинають поверхню фігури і є паралельними одна одній.
Циліндрична поверхня – це поверхня, яка отримана прямою лінією в просторі. Ці рухи такі, що виділена точка цієї прямої лінії здійснює рух вздовж кривої плоского типу. Така пряма лінія називається твірною, а крива лінія - спрямовуючою.
Циліндр складається з пари основ та бічної циліндричної поверхні. Циліндри бувають декількох видів:
1. Круговий, прямий циліндр. У такого циліндра основи і направляюча перпендикулярні до утворюючої лінії, і є
2. Похилий циліндр. У нього кут між твірною лінією та основою не є прямим.
3. Циліндр іншої форми. Гіперболічний, еліптичний, параболічний та інші.
Площа циліндра, а також площа повної поверхні будь-якого циліндра знаходиться за допомогою складання площ основ цієї фігури та площі бічної поверхні.
Формула, за якою обчислюється повна площа циліндра для кругового, прямого циліндра:
Sp = 2п Rh + 2п R2 = 2п R (h + R).
Площа бічної поверхні шукається трохи складніше, ніж площа циліндра цілком, вона обчислюється шляхом множення довжини утворюючої лінії на периметр перерізу, утвореного площиною, яка перпендикулярна до утворюючої лінії.
Ця циліндра для кругового, прямого циліндра дізнається по розгортці цього об'єкта.
Розгортка - це прямокутник, який має висоту h і довжину P, яка дорівнює периметру основи.
Звідси випливає, що бічна площа циліндра дорівнює площі розгортки і може бути обчислена за даною формулою:
Якщо взяти круговий, прямий циліндр, то для нього:
P = 2п R, а Sb = 2п Rh.
Якщо циліндр похилий, то площа бічної поверхні повинна дорівнювати добутку довжини його утворюючої лінії і периметра перерізу, який перпендикулярно даної утворюючої лінії.
На жаль, не існує простої формули для вираження площі бічної поверхні похилого циліндра через його висоту та параметри його основи.
Щоб обчислити циліндр, необхідно знати кілька фактів. Якщо перетин своєю площиною перетинає основи, такий переріз завжди є прямокутником. Але ці прямокутники будуть різними, залежно від положення перетину. Одна зі сторін осьового перерізу фігури, яка перпендикулярна основам, дорівнює висоті, а інша - діаметру основи циліндра. А площа такого перерізу, відповідно, дорівнює добутку однієї сторони прямокутника на іншу, перпендикулярну першій, або добутку висоти даної фігури на діаметр його основи.
Якщо перетин буде перпендикулярно основ фігури, але не проходитиме через вісь обертання, то площа цього перерізу дорівнюватиме добутку висоти цього циліндра і певної хорди. Щоб отримати хорду, потрібно побудувати коло біля основи циліндра, провести радіус і відкласти на ньому відстань, на якій знаходиться перетин. А від цієї точки потрібно провести перпендикуляри до радіусу від перетину з колом. Точки перетину з'єднуються із центром. А основа трикутника - це шукана якою шукається по звучить так: «Сума квадратів двох катетів дорівнює гіпотенузі, зведеній у квадрат»:
С2 = А2 + В2.
Якщо перетин не торкається основи циліндра, а сам циліндр круговий і прямий, то площа цього перерізу знаходиться як площа кола.
Площа кола дорівнює:
S окр. = 2п R2.
Щоб знайти R, потрібно її довжину C розділити на 2п:
R = C \ 2п, де п - число пі, математична постійна, обчислена для роботи з даними кола та дорівнює 3,14.
Стереометрія – це розділ геометрії, в якому вивчаються фігури у просторі. Основними фігурами у просторі є точка, пряма та площина. У стереометрії з'являється новий вид взаємного розташування прямих: прямі, що схрещуються. Це одна з небагатьох суттєвих відмінностей стереометрії від планіметрії, тому що в багатьох випадках завдання стереометрії вирішуються шляхом розгляду різних площин, в яких виконуються планиметричні закони.
У природі, що нас оточує, існує безліч об'єктів, які є фізичними моделями зазначеної фігури. Наприклад, багато деталей машин мають форму циліндра або є деяким їх поєднанням, а величні колони храмів і соборів, виконані у формі циліндрів, підкреслюють їх гармонію і красу.
Греч. − кюліндрос. Античний термін. У побуті – сувій папірусу, валик, ковзанка (дієслово – крутити, катати).
У Евкліда циліндр виходить обертанням прямокутника. У Кавальєрі – рухом утворюючої (при довільній напрямній – "циліндрика").
Мета цього реферату розглянути геометричне тіло – циліндр.
Для досягнення цієї мети необхідно розглянути такі завдання:
− дати визначення циліндра;
− розглянути елементи циліндра;
− вивчити властивості циліндра;
− розглянути види перерізу циліндра;
− вивести формулу площі циліндра;
− вивести формулу об'єму циліндра;
− розв'язати задачі з використанням циліндра.
1.1. Визначення циліндра
Розглянемо якусь лінію (криву, ламану або змішану) l, що лежить у деякій площині α, і деяку пряму S, що перетинає цю площину. Через усі точки даної лінії l проведемо прямі, паралельні прямий S; утворена цими прямими поверхня називається циліндричною поверхнею. Лінія l називається направляючою цієї поверхні, прямі s 1 , s 2 , s 3 ,... − її утворюючими.
Якщо напрямна є ламаною, то така циліндрична поверхня складається з ряду плоских смуг, укладених між парами паралельних прямих, і називається призматичною поверхнею. Утворюючі, що проходять через вершини напрямної ламаною, називаються ребрами призматичної поверхні, плоскі смуги між ними її гранями.
Якщо розсікти будь-яку циліндричну поверхню довільною площиною, що не паралельна її утворює, то отримаємо лінію, яка також може бути прийнята за напрямну даної поверхні. Серед напрямних виділяється та, яка, виходить, від перерізу поверхні площиною, перпендикулярною до утворює поверхні. Такий переріз називається нормальним перерізом, а відповідна напрямна – нормальною напрямною.
Якщо напрямна − замкнута (опукла) лінія (ламана чи крива), то відповідна поверхня називається замкненою (опуклою) призматичною чи циліндричною поверхнею. З циліндричних поверхонь найпростіша має своєю нормальною напрямною коло. Розсічемо замкнуту опуклу призматичну поверхню двома площинами, паралельними між собою, але не паралельними утворюючим.
У перерізах отримаємо опуклі багатокутники. Тепер частина призматичної поверхні, укладена між площинами α і α", і дві багатокутні пластинки, що при цьому утворилися, в цих площинах обмежують тіло, зване призматичним тілом - призмою.
Циліндричне тіло - циліндр визначається аналогічно призмі:
Циліндром називається тіло, обмежене з боків замкненою (опуклою) циліндричною поверхнею, а з торців двома плоскими паралельними основами. Обидва підстави циліндра рівні, також рівні між собою і всі утворюють циліндра, тобто. відрізки утворюють циліндричної поверхні між площинами основ.
Циліндром (точніше, круговим циліндром) називається геометричне тіло, яке складається з двох кіл, що не лежать в одній площині і поєднуються паралельним переносом, і всіх відрізків, що з'єднують відповідні точки цих кіл (рис. 1).
Кола називаються основами циліндра, а відрізки, що з'єднують відповідні точки кіл кіл, − утворюючими циліндра.
Так як паралельне перенесення є рух, то підстави циліндра рівні.
Оскільки при паралельному перенесенні площина перетворюється на паралельну площину (чи у собі), то циліндра підстави лежать у паралельних площинах.
Так як при паралельному перенесенні точки зміщуються по паралельним (або збігаються) прямим на одну і ту ж відстань, то у циліндра утворюють паралельні та рівні.
Поверхня циліндра складається з основ та бічної поверхні. Бічна поверхня складена з утворюючих.
Циліндр називається прямим, якщо його утворюють перпендикулярні до площин основ.
Прямий циліндр наочно можна уявити як геометричне тіло, яке описує прямокутник при обертанні його біля боку як осі (рис. 2).
Мал. 2 − Прямий циліндр
Надалі ми розглядатимемо лише прямий циліндр, називаючи його для стислості просто циліндром.
Радіусом циліндра називається радіус його основи. Висотою циліндра називається відстань між площинами його основ. Оссю циліндра називається пряма, що проходить через центри основ. Вона паралельна утворюючим.
Циліндр називається рівностороннім, якщо його висота дорівнює діаметру основи.
Якщо підстави циліндра плоскі (і, отже, площини, що їх містять, паралельні), то циліндр називають стоять на площині. Якщо підстави циліндра, що стоїть на площині, перпендикулярні до утворюючої, то циліндр називається прямим.
Зокрема, якщо основа циліндра, що стоїть на площині − коло, то говорять про круговий (круглий) циліндр; якщо еліпс – то еліптичному.
1. 3. Перетину циліндра
Перетин циліндра площиною, паралельної його осі, є прямокутником (рис. 3, а). Дві його сторони – утворюють циліндри, а дві інші – паралельні хорди основ.
а) 
б)
в) г)
Мал. 3 – Переріз циліндра
Зокрема, прямокутником є осьовий переріз. Це − перетин циліндра площиною, що проходить крізь його вісь (рис. 3, б).
Перетин циліндра площиною, паралельною до основи − коло (рис 3, в).
Перетин циліндра площиною не паралельною до основи та його осі − овал (рис. 3г).
Теорема 1. Площина, паралельна площині основи циліндра, перетинає його бічну поверхню по колу, рівному колу основи.
Доказ. Нехай β – площина, паралельна площині основи циліндра. Паралельний перенесення в напрямку осі циліндра, що поєднує площину β з площиною основи циліндра, поєднує переріз бічної поверхні площиною з коло основи. Теорему доведено.
Площа бічній поверхні циліндра.
За площу бічної поверхні циліндра приймається межа, якого прагне площа бічної поверхні правильної призми, вписаної в циліндр, коли кількість сторін підстави цієї призми необмежено зросте.
Теорема 2. Площа бічної поверхні циліндра дорівнює добутку довжини кола його основи на висоту (S бок.ц = 2πRH, де R - радіус основи циліндра, Н - висота циліндра).
а) 
б) 
Мал. 4 − Площа бічної поверхні циліндра
Доказ.
Нехай P n та Н відповідно периметр основи та висота правильної n-вугільної призми, вписаної в циліндр (рис. 4, а). Тоді площа бічної поверхні цієї призми S бок. Тоді периметр P n прагне довжини кола З = 2πR, де R- радіус основи циліндра, а висота H не змінюється. Таким чином, площа бічної поверхні призми прагне межі 2πRH, тобто площа бічної поверхні циліндра дорівнює S бок.ц = 2πRH. Теорему доведено.
Повна поверхня циліндра.
Площею повної поверхні циліндра називається сума площ бічної поверхні та двох основ. Площа кожної основи циліндра дорівнює πR 2 , отже, площа повної поверхні циліндра S повний обчислюється за формулою S бок.ц = 2πRH+ 2πR 2 .
|
|
|
|
|
|
|
|
Мал. 5 − Площа повної поверхні циліндра
Якщо бічну поверхню циліндра розрізати по твірної FT (рис. 5, а) і розгорнути так, щоб усі утворювальні опинилися в одній площині, то в результаті ми отримаємо прямокутник FTT1F1, який називається розгорткою бічної поверхні циліндра. Сторона FF1 прямокутника є розгорткою кола основи циліндра, отже, FF1=2πR, яке сторона FT дорівнює твірної циліндра, т. е. FT = Н (рис. 5, б). Таким чином, площа FT∙FF1=2πRH розгортки циліндра дорівнює площі його бічної поверхні.
1.5. Об'єм циліндра
Якщо геометричне тіло просте, тобто допускає розбиття на кінцеве число трикутних пірамід, його обсяг дорівнює сумі обсягів цих пірамід. Для довільного тіла обсяг визначається в такий спосіб.
Дане тіло має об'єм V, якщо існує прості тіла, що містять його, і містяться в ньому прості тіла з об'ємами, скільки завгодно мало відрізняються від V.
Застосуємо це визначення знаходження об'єму циліндра з радіусом підстави R і висотою Н.
При виведенні формули для площі кола були побудовані такі два n-кутники (один - коло, другий - що міститься в колі), що їх площі при необмеженому збільшенні n необмежено наближалися до площі кола. Побудуємо такі багатокутники для кола на основі циліндра. Нехай Р – багатокутник, що містить коло, а Р” – багатокутник, що міститься у колі (рис. 6).
Мал. 7 − Циліндр із описаною та вписаною в нього призмою
Побудуємо дві прямі призми з основами Р і Р" і висотою Н, що дорівнює висоті циліндра. Перша призма містить циліндр, а друга призма міститься в циліндрі. Так як при необмеженому збільшенні n площі основ призм необмежено наближаються до площі основи циліндра S, то їх обсяги необмежено наближаються до SН.
V = SH = πR 2 H.
Отже, обсяг циліндра дорівнює добутку площі основи висоту.
Завдання 1.
Осьовий переріз циліндра – квадрат, площа якого Q.
Знайдіть площу основи циліндра.
Дано: циліндр, квадрат – осьовий переріз циліндра, S квадрата = Q.
Знайти: S осн.
Сторона квадрата дорівнює. Вона дорівнює діаметру основи. Тому площа основи дорівнює 
.
Відповідь: S осн.цил. =
Завдання 2.
У циліндр вписано правильну шестикутну призму. Знайдіть кут між діагоналлю її бічної грані та віссю циліндра, якщо радіус основи дорівнює висоті циліндра.
Дано: циліндр, правильна шестикутна призма, вписана в циліндр, радіус основи = висоті циліндра.
Знайти: кут між діагоналлю її бічної грані та віссю циліндра.
Рішення: Бічні грані призми – квадрати, оскільки сторона правильного шестикутника, вписаного в коло, дорівнює радіусу.
Ребра призми паралельні осі циліндра, тому кут між діагоналлю грані та віссю циліндра дорівнює куту між діагоналлю та бічним ребром. А це кут дорівнює 45°, оскільки грані – квадрати.
Відповідь: кут між діагоналлю її бічної грані та віссю циліндра = 45°.
Завдання 3.
Висота циліндра 6см, радіус основи 5см.
Знайдіть площу перерізу, проведеного паралельно осі циліндра на відстані 4 см від неї.
Дано: Н = 6см, R = 5см, ОЕ = 4см.
Знайти: S січ.
S січ. = КМ×КС,
ОЕ = 4 див, КС = 6 див.
Трикутник ОКМ - рівнобедрений (ОК = ОМ = R = 5 см),
трикутник ОЕК – прямокутний.
З трикутника ОЕК, за теоремою Піфагора:
КМ = 2ЕК = 2×3 = 6,
S січ. = 6×6 = 36 см 2 .
Мета даного реферату виконано, розглянуто таке геометричне тіло, як циліндр.
Розглянуто такі завдання:
− дано визначення циліндра;
− розглянуті елементи циліндра;
− вивчено властивості циліндра;
− розглянуті види перерізу циліндра;
− виведено формулу площі циліндра;
− виведено формулу об'єму циліндра;
− вирішені задачі з використанням циліндра.
1. Погорєлов А. В. Геометрія: Підручник для 10 - 11 класів загальноосвітніх установ, 1995.
2. Бескін Л.М. Стереометрія. Посібник для вчителів середньої школи, 1999р.
3. Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Кисельова Л. С., Позняк Е. Г. Геометрія: Підручник для 10 - 11 класів загальноосвітніх установ, 2000.
4. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рижик В.І. Геометрія: підручник для 10–11 класів загальноосвітніх установ, 1998.
5. Кисельов А. П., Рибкін Н. А. Геометрія: Стереометрія: 10 - 11 класи: Підручник та задачник, 2000.
Площа кожної основи циліндра дорівнює π r 2 , площа обох основ становитиме 2π r 2 (рис.).Площа бічної поверхні циліндра дорівнює площі прямокутника, основа якого дорівнює 2π r, а висота дорівнює висоті циліндра h, Т. е. 2π rh.
Повна поверхня циліндра становитиме: 2π r 2 + 2π rh= 2π r(r+ h).
За площу бічної поверхні циліндра приймається площа розгорткийого бічній поверхні.
Тому площа бічної поверхні прямого кругового циліндра дорівнює площі відповідного прямокутника (рис.) і обчислюється за формулою
S б.ц. = 2πRH, (1)
Якщо до площі бічної поверхні циліндра додати площі двох його основ, то отримаємо площу повної поверхні циліндра
S повн. =2πRH + 2πR 2 = 2πR (H + R).
Об'єм прямого циліндра
Теорема. Об'єм прямого циліндра дорівнює добутку площі його основи на висоту , тобто.де Q – площа основи, а Н – висота циліндра.
Так як площа основи циліндра дорівнює Q, то існують послідовності описаних та вписаних багатокутників з площами Q nта Q’ nтаких, що
\(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q n= \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q' n= Q.
Побудуємо послідовності призм, основами яких є розглянуті вище описані та вписані багатокутники, а бічні ребра паралельні утворює даного циліндра і мають довжину H. Ці призми є описаними та вписаними для даного циліндра. Їхні обсяги знаходяться за формулами
V n= Q n H та V’ n= Q’ n H.
Отже,
V= \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q n H = \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q' n H = QH.
Слідство.
Об'єм прямого кругового циліндра обчислюється за формулою
V = π R 2 H
де R – радіус основи, а H – висота циліндра.
Так як основа кругового циліндра є коло радіусу R, то Q = π R 2 і тому
Циліндр (круговий циліндр) – тіло, яке складається з двох кіл, що поєднуються паралельним переносом, та всіх відрізків, що з'єднують відповідні точки цих кіл. Кола називаються основами циліндра, а відрізки, що з'єднують відповідні точки кіл колів, - утворюють циліндра.
Основи циліндра рівні й лежать у паралельних площинах, а утворюють циліндри паралельні й рівні. Поверхня циліндра складається з основ та бічної поверхні. Бокову поверхню складають утворюючі.
Циліндр називається прямим, якщо його утворюють перпендикулярні площинам основи. Циліндр можна як тіло, отримане при обертанні прямокутника навколо однієї зі сторін як осі. Існують інші види циліндра – еліптичний, гіперболічний, параболічний. Призму так само розглядають як різновид циліндра.
На малюнку 2 зображено похилий циліндр. Кола з центрами Про і Про є його основами.
Радіус циліндра – радіус його основи. Висота циліндра – відстань між площинами основ. Оссю циліндра називається пряма, що проходить через центри основ. Вона паралельна утворюючим. Перетин циліндра площиною, що проходить через вісь циліндра, називається осьовим перетином. Площина, що проходить через утворює прямого циліндра і перпендикулярна до осьового перерізу, проведеного через цю утворювальну, називається дотичною площиною циліндра.
Площина, перпендикулярна осі циліндра, перетинає його бічну поверхню по колу, рівному колу основи.
Призмою, вписаною в циліндр, називається така призма, основи якої рівні багатокутники, вписані в основи циліндра. Її бічні ребра є утворюючими циліндрами. Призма називається описаною біля циліндра, якщо її основи - рівні багатокутники, описані біля основ циліндра. Площини її граней стосуються бічної поверхні циліндра.
Площу бічної поверхні циліндра можна обчислити, помноживши довжину утворюючої на периметр перерізу циліндра площиною, що утворює перпендикулярною.
Площу бічної поверхні прямого циліндра можна знайти по його розгортці. Розгортка циліндра є прямокутником з висотою h і довжиною P, яка дорівнює периметру основи. Отже, площа бічної поверхні циліндра дорівнює площі розгортки і обчислюється за формулою:
Зокрема, для прямого кругового циліндра:
P = 2πR, і S b = 2πRh.
Площа повної поверхні циліндра дорівнює сумі площ його бічної поверхні та її основ.
Для прямого кругового циліндра:
S p = 2πRh + 2πR 2 = 2πR(h + R)
Для знаходження об'єму похилого циліндра є дві формули.
Можна знайти об'єм, помноживши довжину утворюючої на площу перерізу циліндра площиною, що утворює перпендикулярною.
Об'єм похилого циліндра дорівнює добутку площі основи на висоту (відстань між площинами, в яких лежать основи):
V = Sh = S l sin α,
де l – довжина утворюючої, а α – кут між утворюючою та площиною основи. Для прямого циліндра h = l.
Формула для знаходження об'єму кругового циліндра виглядає так:
V = π R 2 h = π (d 2 / 4)h,
де d - Діаметр основи.
blog.сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.