У цьому уроці розглядається додавання та віднімання раціональних чисел. Тема відноситься до категорії складних. Тут потрібно використовувати весь арсенал отриманих раніше знань.
Правила складання і віднімання цілих чисел справедливі й у раціональних чисел. Нагадаємо, що раціональними називають числа, які можуть бути представлені у вигляді дробу , де a –це чисельник дробу, b- знаменник дробу. При цьому, bне повинно бути нулем.
У цьому уроці дроби та змішані числа ми все частіше називатимемо одним загальним словосполученням. раціональні числа.
Навігація з уроку:приклад 1.Знайти значення виразу:
Укладемо кожне раціональне число в дужки разом зі своїми знаками. Враховуємо, що плюс який дано у виразі, є знаком операції і не відноситься до дробу . Цей дроб має свій знак плюсу, який невидимий через те, що його не записують. Але ми запишемо його для наочності:
Це складання раціональних чисел із різними знаками. Щоб скласти раціональні числа з різними знаками, потрібно від більшого модуля відняти менший модуль, і перед отриманим відповіддю поставити знак того раціонального числа, модуль якого більше. А щоб зрозуміти який модуль більше, а який менше, потрібно зуміти порівняти модулі цих дробів до їх обчислення:
Модуль раціонального числа більший, ніж модуль раціонального числа . Тому ми з відняли. Отримали відповідь. Потім скоротивши цей дріб на 2, отримали остаточну відповідь.
Деякі примітивні дії, такі як: укладання чисел у дужки та проставлення модулів, можна пропустити. Даний приклад цілком можна записати коротше:
приклад 2.Знайти значення виразу:
Укладемо кожне раціональне число в дужки разом зі своїми знаками. Враховуємо, що мінус, що стоїть між раціональними числами і є знаком операції і не відноситься до дробу. Цей дроб має свій знак плюсу, який невидимий через те, що його не записують. Але ми запишемо його для наочності:
Замінимо віднімання додаванням. Нагадаємо, що для цього потрібно до зменшуваного додати число, протилежне віднімається:
Отримали додавання негативних раціональних чисел. Щоб скласти негативні раціональні числа, потрібно скласти їх модулі та перед отриманою відповіддю поставити мінус:
Примітка.Укладати у дужки кожне раціональне число зовсім необов'язково. Робиться це для зручності, щоб добре бачити, які знаки мають раціональні числа.
приклад 3.Знайти значення виразу:
У цьому вся виразі у дробів різні знаменники. Щоб полегшити собі завдання, наведемо ці дроби до спільного знаменника. Не будемо докладно зупинятись на тому, як це зробити. Якщо ви відчуваєте труднощі, обов'язково повторіть урок.
Після приведення дробів до спільного знаменника вираз набуде наступного вигляду:
Це складання раціональних чисел із різними знаками. Віднімаємо з більшого модуля менший модуль, і перед отриманою відповіддю ставимо знак того раціонального числа, модуль якого більше:
Запишемо рішення цього прикладу коротше:
приклад 4.Знайти значення виразу
Обчислимо даний вираз у наступному: складемо раціональні числа і, потім з отриманого результату віднімемо раціональне число. 
Перша дія:
Друга дія:
Приклад 5. Знайти значення виразу:
Представимо ціле число −1 у вигляді дробу, а змішане число переведемо в неправильний дріб:
Укладемо кожне раціональне число в дужки разом зі своїми знаками:
Отримали додавання раціональних чисел із різними знаками. Віднімаємо з більшого модуля менший модуль, і перед отриманою відповіддю ставимо знак того раціонального числа, модуль якого більше:
Отримали відповідь.
Є й другий спосіб розв'язання. Він у тому, щоб скласти окремо цілі частини.
Отже, повернемося до первісного виразу:
Укладемо кожне число в дужки. Для цього змішане число тимчасово:
Обчислимо цілі частини:
(−1) + (+2) = 1
У головному виразі замість (−1) + (+2) запишемо отриману одиницю:
Отриманий вираз. Для цього запишемо одиницю і дріб разом:
Запишемо рішення цим способом коротше:
Приклад 6.Знайти значення виразу
Переведемо змішане число в неправильний дріб. Решту перепишемо без зміни:
Укладемо кожне раціональне число в дужки разом зі своїми знаками:
Замінимо віднімання додаванням:
Запишемо рішення цього прикладу коротше:
Приклад 7.Знайти значення вираз
Представимо ціле число −5 у вигляді дробу, а змішане число переведемо в неправильний дріб:
Наведемо ці дроби до спільного знаменника. Після їх приведення до спільного знаменника, вони набудуть наступного вигляду:
Укладемо кожне раціональне число в дужки разом зі своїми знаками:
Замінимо віднімання додаванням:
Отримали додавання негативних раціональних чисел. Складаємо модулі цих чисел і перед отриманою відповіддю поставимо мінус:
Таким чином, значення виразу дорівнює .
Вирішимо цей приклад другим способом. Повернемося до первісного виразу:
Запишемо змішане число у розгорнутому вигляді. Решту перепишемо без змін:
Укладемо кожне раціональне число в дужки разом своїми знаками:
Обчислимо цілі частини:
У головному виразі замість запишемо отримане число −7
Вираз є розгорнутою формою запису змішаного числа. Запишемо число −7 і дріб разом, утворюючи остаточну відповідь:
Запишемо це рішення коротше:
Приклад 8.Знайти значення виразу
Укладемо кожне раціональне число в дужки разом своїми знаками:
Замінимо віднімання додаванням:
Отримали додавання негативних раціональних чисел. Складаємо модулі цих чисел і перед отриманою відповіддю поставимо мінус:
Таким чином, значення виразу дорівнює
Цей приклад можна вирішити і другим способом. Він полягає в тому, щоб скласти цілі та дробові частини окремо. Повернемося до первісного виразу:
Укладемо кожне раціональне число в дужки разом зі своїми знаками:
Замінимо віднімання додаванням:
Отримали додавання негативних раціональних чисел. Складаємо модулі цих чисел і перед отриманою відповіддю поставимо мінус. Але цього разу складемо окремо цілі частини (−1 і −2), і дробові та
Запишемо це рішення коротше:
Приклад 9.Знайти вирази виразу 
Перекладемо змішані числа в неправильні дроби:
Укладемо раціональне число у дужки разом своїм знаком. Раціональне число у дужки укладати не потрібно, оскільки воно вже у дужках:
Отримали додавання негативних раціональних чисел. Складаємо модулі цих чисел і перед отриманою відповіддю поставимо мінус:
Таким чином, значення виразу дорівнює
Тепер спробуємо вирішити цей приклад другим способом, саме складенням цілих і дробових частин окремо.
На цей раз, з метою отримання короткого рішення, спробуємо пропустити деякі дії, такі як: запис змішаного числа в розгорнутому вигляді та заміна віднімання додаванням:
Зверніть увагу, що дрібні частини були приведені до спільного знаменника.
приклад 10.Знайти значення виразу 
Замінимо віднімання додаванням:
У виразі немає негативних чисел, які є основною причиною припущення помилок. А оскільки немає негативних чисел, ми можемо прибрати плюс перед відніманням, а також прибрати дужки:
Вийшов найпростіший вираз, який обчислюється легко. Обчислимо його будь-яким зручним для нас способом:
Приклад 11.Знайти значення виразу
Це складання раціональних чисел із різними знаками. Віднімемо з більшого модуля менший модуль, і перед отриманими відповіддю поставимо знак того раціонального числа, модуль якого більше:
приклад 12.Знайти значення виразу 
Вираз складається з кількох раціональних чисел. Відповідно до, в першу чергу необхідно виконати дії у дужках.
Спочатку обчислимо вираз, потім вираз. Отримані результати складним.
Перша дія:
Друга дія:
Третя дія:
Відповідь:значення виразу одно
приклад 13.Знайти значення виразу 
Перекладемо змішані числа в неправильні дроби:
Укладемо раціональне число у дужки разом зі своїм знаком. Раціональне число укладати у дужки не потрібно, оскільки воно вже у дужках:
Наведемо ці дроби у спільному знаменнику. Після їх приведення до спільного знаменника, вони набудуть наступного вигляду:
Замінимо віднімання додаванням:
Отримали додавання раціональних чисел із різними знаками. Віднімемо з більшого модуля менший модуль, і перед отриманими відповіддю поставимо знак того раціонального числа, модуль якого більше:
Таким чином, значення виразу одно
Розглянемо додавання та віднімання десяткових дробів, які теж відносяться до раціональних чисел і які можуть бути як позитивними, так і негативними.
приклад 14.Знайти значення виразу -3,2 + 4,3
Укладемо кожне раціональне число в дужки разом зі своїми знаками. Враховуємо, що плюс який дано у виразі, є знаком операції і не відноситься до десяткового дробу 4,3. Цей десятковий дроб має свій знак плюсу, який невидимий через те, що його не записують. Але ми його запишемо для наочності:
(−3,2) + (+4,3)
Це складання раціональних чисел із різними знаками. Щоб скласти раціональні числа з різними знаками, потрібно від більшого модуля відняти менший модуль, і перед отриманим відповіддю поставити того раціонального числа, модуль якого більше. А щоб зрозуміти який модуль більше, а який менше, треба зуміти порівняти модулі цих десяткових дробів до їх обчислення:
(−3,2) + (+4,3) = |+4,3| − |−3,2| = 1,1
Модуль числа 4,3 більший, ніж модуль числа −3,2 тому ми з 4,3 відняли 3,2. Отримали відповідь 1,1. Відповідь позитивна, оскільки перед відповіддю повинен стояти знак того раціонального числа, модуль якого більший. А модуль числа 4,3 більший, ніж модуль числа −3,2
Таким чином, значення виразу -3,2 + (+4,3) дорівнює 1,1
−3,2 + (+4,3) = 1,1
приклад 15.Знайти значення виразу 3,5+ (−8,3)
Це складання раціональних чисел із різними знаками. Як і в минулому прикладі з більшого модуля віднімаємо менший і перед відповіддю ставимо знак того раціонального числа, модуль якого більше:
3,5 + (−8,3) = −(|−8,3| − |3,5|) = −(8,3 − 3,5) = −(4,8) = −4,8
Таким чином, значення виразу 3,5 + (-8,3) дорівнює -4,8
Цей приклад можна записати коротше:
3,5 + (−8,3) = −4,8
Приклад 16Знайти значення виразу -7,2 + (-3,11)
Це складання негативних раціональних чисел. Щоб скласти негативні раціональні числа, потрібно скласти їх модулі та перед отриманою відповіддю поставити мінус.
Запис із модулями можна пропустити, щоб не захаращувати вираз:
−7,2 + (−3,11) = −7,20 + (−3,11) = −(7,20 + 3,11) = −(10,31) = −10,31
Таким чином, значення виразу -7,2 + (-3,11) дорівнює -10,31
Цей приклад можна записати коротше:
−7,2 + (−3,11) = −10,31
Приклад 17Знайти значення виразу -0,48 + (-2,7)
Це складання негативних раціональних чисел. Складаємо їх модулі і перед отриманою відповіддю поставимо мінус. Запис із модулями можна пропустити, щоб не захаращувати вираз:
−0,48 + (−2,7) = (−0,48) + (−2,70) = −(0,48 + 2,70) = −(3,18) = −3,18
приклад 18.Знайти значення виразу −4,9 − 5,9
Укладемо кожне раціональне число в дужки разом зі своїми знаками. Враховуємо, що мінус який розташовується між раціональними числами −4,9 та 5,9 є знаком операції і не належить до 5,9. У цього раціонального числа свій знак плюса, який невидимий через те, що він не записується. Але ми запишемо його для наочності:
(−4,9) − (+5,9)
Замінимо віднімання додаванням:
(−4,9) + (−5,9)
Отримали додавання негативних раціональних чисел. Складаємо їх модулі і перед отриманою відповіддю поставимо мінус:
(−4,9) + (−5,9) = −(4,9 + 5,9) = −(10,8) = −10,8
Таким чином, значення виразу -4,9 - 5,9 дорівнює -10,8
−4,9 − 5,9 = −10,8
Приклад 19.Знайти значення виразу 7 − 9,3
Укладемо в дужки кожне число разом зі своїми знаками
(+7) − (+9,3)
Замінимо віднімання додаванням
(+7) + (−9,3)
(+7) + (−9,3) = −(9,3 − 7) = −(2,3) = −2,3
Таким чином, значення виразу 7 − 9,3 дорівнює −2,3
Запишемо рішення цього прикладу коротше:
7 − 9,3 = −2,3
Приклад 20Знайти значення виразу −0,25 − (−1,2)
Замінимо віднімання додаванням:
−0,25 + (+1,2)
Отримали додавання раціональних чисел із різними знаками. Віднімемо з більшого модуля менший модуль, і перед відповіддю поставимо знак того числа, модуль якого більше:
−0,25 + (+1,2) = 1,2 − 0,25 = 0,95
Запишемо рішення цього прикладу коротше:
−0,25 − (−1,2) = 0,95
Приклад 21.Знайти значення виразу −3,5 + (4,1 − 7,1)
Виконаємо дії в дужках, потім складемо отриману відповідь з числом -3,5
Перша дія:
4,1 − 7,1 = (+4,1) − (+7,1) = (+4,1) + (−7,1) = −(7,1 − 4,1) = −(3,0) = −3,0
Друга дія:
−3,5 + (−3,0) = −(3,5 + 3,0) = −(6,5) = −6,5
Відповідь:значення виразу -3,5 + (4,1 - 7,1) дорівнює -6,5.
Приклад 22.Знайти значення виразу (3,5 − 2,9) − (3,7 − 9,1)
Виконаємо дії у дужках. Потім з числа, яке вийшло в результаті виконання перших дужок, віднімемо число, яке вийшло в результаті виконання других дужок:
Перша дія:
3,5 − 2,9 = (+3,5) − (+2,9) = (+3,5) + (−2,9) = 3,5 − 2,9 = 0,6
Друга дія:
3,7 − 9,1 = (+3,7) − (+9,1) = (+3,7) + (−9,1) = −(9,1 − 3,7) = −(5,4) = −5,4
Третя дія
0,6 − (−5,4) = (+0,6) + (+5,4) = 0,6 + 5,4 = 6,0 = 6
Відповідь:значення виразу (3,5 − 2,9) − (3,7 − 9,1) дорівнює 6.
Приклад 23.Знайти значення виразу −3,8 + 17,15 − 6,2 − 6,15
Укладемо у дужки кожне раціональне число разом зі своїми знаками
(−3,8) + (+17,15) − (+6,2) − (+6,15)
Замінимо віднімання додаванням там, де це можна:
(−3,8) + (+17,15) + (−6,2) + (−6,15)
Вираз складається з кількох доданків. Відповідно до сполучного закону складання, якщо вираз складається з кількох доданків, то сума нічого очікувати залежати від порядку действий. Це означає, що доданки можна складати у будь-якому порядку.
Не будемо винаходити велосипед, а складемо всі доданки зліва направо в порядку їхнього прямування:
Перша дія:
(−3,8) + (+17,15) = 17,15 − 3,80 = 13,35
Друга дія:
13,35 + (−6,2) = 13,35 − −6,20 = 7,15
Третя дія:
7,15 + (−6,15) = 7,15 − 6,15 = 1,00 = 1
Відповідь:значення виразу −3,8 + 17,15 − 6,2 − 6,15 дорівнює 1.
Приклад 24Знайти значення виразу
Переведемо десятковий дріб −1,8 у змішане число. Решту перепишемо без зміни:
Малюнок. Арифметичні події над раціональними числами.
Текст:
Правила при діях із раціональними числами:
. при додаванні чисел з однаковими знаками необхідно скласти їх модулі і перед сумою поставити їх загальний знак;
. при додаванні двох чисел з різними знаками з числа з великим модулем віднімають число з меншим модулем і перед отриманою різницею ставлять знак числа, що має більший модуль;
. при відніманні одного числа з іншого потрібно до зменшуваного додати число, протилежне віднімається: а - b = а + (-b)
. при множенні двох чисел з однаковими знаками перемножуються їх модулі та перед отриманим твором ставиться знак плюс;
. при множенні двох чисел із різними знаками перемножуються їхні модулі і перед отриманим твором ставиться знак мінус;
. при розподілі чисел з однаковими знаками модуль поділюваного ділять на модуль дільника і перед отриманим приватним ставиться знак плюс;
. при розподілі чисел з різними знаками модуль поділюваного ділять на модуль дільника і перед отриманим приватним ставиться знак мінус;
. при розподілі та множенні нуля на будь-яке число, не рівне нулю, виходить нуль:
. на нуль ділити не можна.
У цій статті наведено огляд властивостей дій із раціональними числами. Спочатку озвучені основні якості, у яких базуються й інші характеристики. Після цього дано деякі інші часто використовувані властивості дій з раціональними числами.
Навігація на сторінці.
Перерахуємо основні властивості дій із раціональними числами(a, b і c – довільні раціональні числа):
- Переміщувальна властивість додавання a+b=b+a .
- Сполучна властивість додавання (a+b)+c=a+(b+c) .
- Існування нейтрального елемента за додаванням – нуля, додавання якого з будь-яким числом не змінює це число, тобто, a+0=a .
- До кожного раціонального числа a існує протилежне число −a таке, що a+(−a)=0 .
- Переміщувальна властивість множення раціональних чисел a b = b a .
- Сполучна властивість множення (a·b)·c=a·(b·c) .
- Існування нейтрального елемента за множенням – одиниці, множення на яку будь-якого числа не змінює це число, тобто a · 1 = a.
- До кожного відмінного від нуля раціонального числа a існує зворотне число a −1 таке, що a·a −1 =1 .
- Нарешті, додавання та множення раціональних чисел пов'язані розподільною властивістю множення щодо додавання: a · (b + c) = a · b + a · c .
Перелічені властивості дій з раціональними числами є основними, оскільки всі інші властивості можуть бути з них.
Інші важливі властивості
Крім дев'яти перерахованих основних властивостей дій з раціональними числами існує ще ряд властивостей, що дуже широко використовуються. Дамо їх короткий огляд.
Почнемо з властивості, яка за допомогою букв записується як a·(−b)=−(a·b)або в силу переміщувальної властивості множення як (−a)·b=−(a·b). З цієї властивості безпосередньо випливає правило множення раціональних чисел з різними знаками, у зазначеній статті наведено його доказ. Вказану властивість пояснює правило «плюс помножити на мінус є мінус, і мінус помножити на плюс є мінус».
Ось така властивість: (−a)·(−b)=a·b. З нього випливає правило множення негативних раціональних чисел, у цій статті Ви знайдете і доказ наведеної рівності. Цій властивості відповідає правило множення "мінус помножити на мінус є плюс".
Безперечно, варто зупинитися на множенні довільного раціонального числа a на нуль: a·0=0або 0·a=0. Доведемо цю властивість. Ми знаємо, що 0=d+(−d) для будь-якого раціонального d тоді а·0=a·(d+(−d)) . Розподільча властивість дозволяє отриманий вираз переписати як a d + a (d) , а так як a (d) = - (a d) , то a·d+a·(−d)=a·d+(−(a·d)). Так ми дійшли суми двох протилежних чисел, рівних a·d і −(a·d) , їх сума дає нуль, як і доводить рівність a·0=0 .
Легко помітити, що ми перерахували лише властивості складання і множення, у своїй ні слова сказали про властивості віднімання і розподілу. Це з тим, що у безлічі раціональних чисел дії віднімання і розподіл задаються як зворотні до складання і множення відповідно. Тобто, різниця a−b – це сума a+(−b) , а приватне a:b – це твір a·b −1 (b≠0 ).
Враховуючи ці визначення віднімання та поділу, а також основні властивості додавання та множення, можна довести будь-які властивості дій з раціональними числами.
Наприклад доведемо розподільну властивість множення щодо віднімання: a·(b−c)=a·b−a·c . Має місце наступний ланцюжок рівностей a·(b−c)=a·(b+(−c))= a·b+a·(−c)=a·b+(−(a·c))=a·b−a·c, яка є доказом.
Copyright by cleverstudents
Усі права захищені.
Охороняється законом про авторське право. Жодну частину сайту, включаючи внутрішні матеріали та зовнішнє оформлення, не можна відтворювати в будь-якій формі або використовувати без попереднього письмового дозволу правовласника.