Метод найменших квадратів - це математична процедура складання лінійного рівняння, що максимально відповідає набору впорядкованих пар, шляхом знаходження значень для a і b, коефіцієнтів у рівнянні прямої. Мета методу найменших квадратів полягає у мінімізації загальної квадратичної помилки між значеннями y та ŷ. Якщо для кожної точки ми визначаємо помилку ŷ, метод найменших квадратів мінімізує:
де n = число упорядкованих пар навколо лінії. максимально відповідним даним.
Це поняття проілюстровано малюнку
Судячи з малюнку, лінія, що максимально відповідає даним, лінія регресії, мінімізує загальну квадратичну помилку чотирьох точок на графіку. Я покажу вам, як визначити це за допомогою методу найменших квадратів на наступному прикладі.
Уявіть собі молоду пару, які з недавніх пір живуть разом і спільно ділять столик для косметичного приладдя у ванній. Молода людина помічала, що половина його столика невблаганно скорочується, здаючи свої позиції мусам для волосся та соєвим комплексам. За останні кілька місяців хлопець уважно стежив за тим, з якою швидкістю збільшується кількість предметів її частини столу. У таблиці нижче представлено кількість предметів дівчини на столику у ванній, що накопичилися за останні кілька місяців.
Оскільки своєю метою ми визначили завдання дізнатися, чи згодом збільшується кількість предметів, «Місяць» буде незалежною змінною, а «Кількість предметів» - залежною.
За допомогою методу найменших квадратів визначаємо рівняння, що максимально відповідає даним, шляхом обчислення значень a, відрізка на осі y, b, нахилу лінії:
a = y ср - bx ср
де x ср – середнє значення x, незалежної змінної, y ср – середнє значення y, незалежної змінної.
У таблиці нижче сумовані необхідні для цих рівнянь обчислення.
Крива ефекту для нашого прикладу з ванною визначатиметься наступним рівнянням:
Оскільки наше рівняння має позитивний нахил – 0.976, хлопець має доказ того, що кількість предметів на столику з часом збільшується із середньою швидкістю 1 предмет на місяць. На графіці представлено криву ефекту з упорядкованими парами.
Очікування щодо числа предметів протягом наступного півроку (місяця 16) обчислюватиметься так:
ŷ = 5.13 + 0.976x = 5.13 + 0.976(16) ~ 20.7 = 21 предмет
Отже, настав час нашому герою робити якісь дії.
Функція ТЕНДЕНЦІЯ в Excel
Як ви вже, напевно, здогадалися в Excel є функція для розрахунку значення по методу найменших квадратів.Ця функція називається ТЕНДЕНЦІЯ. Синтаксис у неї наступний:
ТЕНДЕНЦІЯ (відомі значення Y; відомі значення X; нові значення X; конст)
відомі значення Y – масив залежних змінних, у нашому випадку, кількість предметів на столику
відомі значення X – масив незалежних змінних, у нашому випадку це місяць
нові значення X – нові значення X (місяця) для якого функція ТЕНДЕНЦІЯповертає очікуване значення залежних змінних (кількість предметів)
конст - необов'язковий. Логічне значення, яке вказує, чи потрібно, щоб константа b дорівнювала 0.
Наприклад, на малюнку показано функцію ТЕНДЕНЦІЯ, яка використовується для визначення очікуваної кількості предметів на столику у ванній кімнаті для 16-го місяця.
Метод найменших квадратів
На заключному уроці теми ми познайомимося з найвідомішим додатком ФНП, яке знаходить найширше застосування у різних галузях науки та практичної діяльності. Це може бути фізика, хімія, біологія, економіка, соціологія, психологія і таке інше. Волею долі мені часто доводиться мати справу з економікою, і тому сьогодні я оформлю вам путівку до дивовижної країни під назвою Економетрика=) …Як це не хочете?! Там дуже добре – треба тільки наважитися! …Але ось те, що ви, напевно, точно хочете – так це навчитися вирішувати завдання методом найменших квадратів. І особливо старанні читачі навчаться вирішувати їх не тільки безпомилково, але ще й ДУЖЕ ШВИДКО;-) Але спочатку загальна постановка задачі+ супутній приклад:
Нехай у деякій предметної області досліджуються показники, які мають кількісне вираз. У цьому є підстави вважати, що показник залежить від показника . Це може бути як наукової гіпотезою, і грунтуватися на елементарному здоровому глузді. Залишимо, проте, науку осторонь і досліджуємо більш апетитні області - зокрема, продовольчі магазини. Позначимо через:
– торгову площу продовольчого магазину, кв.м.,
- Річний товарообіг продовольчого магазину, млн. руб.
Цілком зрозуміло, що чим більша площа магазину, тим у більшості випадків буде більшим його товарообіг.
Припустимо, що після проведення спостережень/дослідів/підрахунків/танців з бубном у нашому розпорядженні виявляються числові дані: 
З гастрономами, гадаю, все зрозуміло: - це площа 1-го магазину, - його річний товарообіг, - площа 2-го магазину, - його річний товарообіг і т.д. До речі, зовсім не обов'язково мати доступ до секретних матеріалів – досить точну оцінку товарообігу можна отримати засобами математичної статистики. Втім, не відволікаємось, курс комерційного шпигунства – він уже платний =)
Табличні дані також можна записати у вигляді точок та зобразити у звичній для нас декартовій системі .
Відповімо на важливе питання: скільки точок потрібно якісного дослідження?
Що більше, то краще. Мінімально допустимий набір складається з 5-6 пікселів. Крім того, при невеликій кількості даних у вибірку не можна включати «аномальні» результати. Так, наприклад, невеликий елітний магазин може рятувати на порядки більше «своїх колег», спотворюючи тим самим загальну закономірність, яку потрібно знайти!
Якщо дуже просто - нам потрібно підібрати функцію, графікякою проходить якомога ближче до точок 
. Таку функцію називають апроксимуючою
(апроксимація – наближення)або теоретичною функцією
. Взагалі кажучи, тут одразу з'являється очевидний «претендент» – багаточлен високого ступеня, графік якого проходить через всі точки. Але цей варіант складний, а часто й просто некоректний (т.к. графік буде весь час «петляти» і погано відображатиме головну тенденцію).
Таким чином, розшукувана функція повинна бути досить простою і в той же час відображати залежність адекватно. Як ви здогадуєтеся, один із методів знаходження таких функцій і називається методом найменших квадратів. Спочатку розберемо його суть у загальному вигляді. Нехай деяка функція наближає експериментальні дані: 
Як оцінити точність наближення? Обчислимо і різниці (відхилення) між експериментальними та функціональними значеннями (Вивчаємо креслення). Перша думка, яка спадає на думку – це оцінити, наскільки велика сума, але проблема полягає в тому, що різниці можуть бути і негативні. (наприклад, 
)
та відхилення в результаті такого підсумовування будуть взаємознищуватись. Тому як оцінка точності наближення напрошується прийняти суму модуліввідхилень:
або в згорнутому вигляді: (раптом хто не знає:
– це значок суми, а
- Допоміжна змінна-«лічильник», яка набуває значення від 1 до
)
.
Наближаючи експериментальні точки різними функціями, ми будемо отримувати різні значення і, очевидно, де ця сума менша – та функція і точніше.
Такий метод існує і називається він методом найменших модулів. Однак на практиці набув значно більшого поширення метод найменших квадратів, В якому можливі негативні значення ліквідуються не модулем, а зведенням відхилень у квадрат:
, після чого зусилля спрямовані на підбір такої функції, щоб сума квадратів відхилень 
була якнайменше. Власне, звідси й назва методу.
І зараз ми повертаємося до іншого важливого моменту: як зазначалося вище, функція, що підбирається, повинна бути досить проста - але ж і таких функцій теж чимало: лінійна , гіперболічна , експоненційна , логарифмічна , квадратична і т.д. І, звичайно, тут одразу б хотілося «скоротити поле діяльності». Який клас функцій вибрати на дослідження? Примітивний, але ефективний прийом:
- Найпростіше зобразити точки на кресленні та проаналізувати їх розташування. Якщо вони мають тенденцію розташовуватися по прямій, слід шукати рівняння прямої 
з оптимальними значеннями та . Іншими словами, завдання полягає у знаходженні ТАКИХ коефіцієнтів – щоб сума квадратів відхилень була найменшою.
Якщо ж точки розташовані, наприклад, по гіперболі, то свідомо зрозуміло, що лінійна функція даватиме погане наближення. У цьому випадку шукаємо найбільш «вигідні» коефіцієнти для рівняння гіперболи 
– ті, що дають мінімальну суму квадратів 
.
А тепер зверніть увагу, що в обох випадках мова йде про функції двох змінних, аргументами якої є параметри залежностей, що розшукуються:
І по суті нам потрібно вирішити стандартне завдання – знайти мінімум функції двох змінних.
Згадаймо про наш приклад: припустимо, що «магазинні» точки мають тенденцію розташовуватися по прямій лінії і є підстави вважати наявність лінійної залежностітоварообігу від торгової площі Знайдемо ТАКІ коефіцієнти «а» та «бе», щоб сума квадратів відхилень 
була найменшою. Все як завжди - спочатку приватні похідні 1-го порядку. Згідно правилу лінійностідиференціювати можна прямо під значком суми: 
Якщо хочете використовувати дану інформацію для реферату або курсовика - буду дуже вдячний за посилання в списку джерел, такі докладні викладки знайдете мало де: 
Складемо стандартну систему: 
Скорочуємо кожне рівняння на «двійку» і, крім того, «розвалюємо» суми: 
Примітка
: самостійно проаналізуйте, чому «а» та «бе» можна винести за значок суми. До речі, формально це можна зробити і із сумою 
Перепишемо систему у «прикладному» вигляді: 
після чого починає промальовуватися алгоритм розв'язання нашого завдання:
Координати точок ми знаємо? Знаємо. Суми 
знайти можемо? Легко. Складаємо найпростішу систему двох лінійних рівнянь із двома невідомими(«а» та «бе»). Систему вирішуємо, наприклад, методом Крамера, у результаті отримуємо стаціонарну точку . Перевіряючи достатня умова екстремумуможна переконатися, що в даній точці функція 
досягає саме мінімуму. Перевірка пов'язана з додатковими викладками і тому залишимо її за кадром (при необхідності кадр, що бракує, можна подивитисятут
)
. Робимо остаточний висновок:
Функція 
найкращим чином (принаймні, порівняно з будь-якою іншою лінійною функцією)наближає експериментальні точки . Грубо кажучи, її графік відбувається максимально близько до цих точок. У традиціях економетрикиотриману апроксимуючу функцію також називають рівнянням парної лінійної регресії
.
Розглянуте завдання має велике практичне значення. У ситуації з нашим прикладом, рівняння дозволяє прогнозувати, який товарообіг («Ігрек»)буде біля магазину при тому чи іншому значенні торгової площі (Тому чи іншому значенні «ікс»). Так, отриманий прогноз буде лише прогнозом, але у багатьох випадках він виявиться досить точним.
Я розберу лише одне завдання з «реальними» числами, оскільки жодних труднощів у ній немає – всі обчислення на рівні шкільної програми 7-8 класу. У 95 відсотків випадків вам буде запропоновано знайти саме лінійну функцію, але в самому кінці статті я покажу, що нітрохи не складніше знайти рівняння оптимальної гіперболи, експоненти та деяких інших функцій.
По суті, залишилося роздати обіцяні плюшки – щоб ви навчилися вирішувати такі приклади не лише безпомилково, а ще й швидко. Уважно вивчаємо стандарт:
Завдання
В результаті дослідження взаємозв'язку двох показників отримані такі пари чисел: 
Методом найменших квадратів знайти лінійну функцію, яка найкраще наближає емпіричні (досвідчені)дані. Зробити креслення, на якому в декартовій прямокутній системі координат побудувати експериментальні точки та графік апроксимуючої функції 
. Знайти суму квадратів відхилень між емпіричними та теоретичними значеннями. З'ясувати, чи буде функція кращою (з погляду методу найменших квадратів)наближати експериментальні точки.
Зауважте, що «іксові» значення – натуральні, і це має характерний змістовний зміст, про який я розповім трохи згодом; але вони, зрозуміло, можуть і дробовими. Крім того, залежно від змісту того чи іншого завдання як «іксові», так і «ігрові» значення повністю або частково можуть бути негативними. Ну а у нас дане «безлике» завдання, і ми починаємо його рішення:
Коефіцієнти оптимальної функції знайдемо як розв'язання системи: 
З метою більш компактного запису змінну-«лічильник» можна опустити, оскільки і так зрозуміло, що підсумовування здійснюється від 1 до .
Розрахунок потрібних сум зручніше оформити у табличному вигляді: 
Обчислення можна провести на мікрокалькуляторі, але краще використовувати Ексель - і швидше, і без помилок; дивимося короткий відеоролик:
Таким чином, отримуємо наступну систему:
Тут можна помножити друге рівняння на 3 та від 1-го рівняння почленно відняти 2-е. Але це везіння - на практиці системи частіше не подарункові, і в таких випадках рятує метод Крамера:
Отже, система має єдине рішення.
Виконаємо перевірку. Розумію, що не хочеться, але навіщо пропускати помилки там, де їх можна стовідсотково не пропустити? Підставимо знайдене рішення в ліву частину кожного рівняння системи:
Отримано праві частини відповідних рівнянь, отже система вирішена правильно.
Таким чином, шукана апроксимуюча функція: – з всіх лінійних функційекспериментальні дані найкраще наближає саме вона.
На відміну від прямий
залежності товарообігу магазину від його площі, знайдена залежність є зворотній
(принцип «що більше – тим менше»), і цей факт відразу виявляється по негативному кутовому коефіцієнту. Функція 
повідомляє нам про те, що зі збільшення якогось показника на 1 одиницю значення залежного показника зменшується в середньомуна 0,65 одиниць. Як то кажуть, що вище ціна на гречку, то менше її продано.
Для побудови графіка апроксимуючої функції знайдемо два її значення:
і виконаємо креслення: 
Побудована пряма називається лінією тренду
(а саме – лінією лінійного тренду, тобто у загальному випадку тренд – це не обов'язково пряма лінія). Всім знайомий вислів «бути в тренді», і, гадаю, що цей термін не потребує додаткових коментарів.
Обчислимо суму квадратів відхилень 
між емпіричними та теоретичними значеннями. Геометрично – це сума квадратів довжин «малинових» відрізків (два з яких настільки малі, що їх навіть не видно).
Обчислення зведемо до таблиці: 
Їх можна знову ж таки провести вручну, про всяк випадок наведу приклад для 1-ї точки: 
але набагато ефективніше вчинити вже відомим чином:
Ще раз повторимо: у чому сенс отриманого результату?З всіх лінійних функційу функції показник є найменшим, тобто у своїй родині це найкраще наближення. І тут, до речі, невипадкове заключне питання завдання: а раптом запропонована експоненційна функція 
краще наближати експериментальні точки?
Знайдемо відповідну суму квадратів відхилень – щоб розрізняти, я позначу їх літерою «епсілон». Техніка така сама: 
І знову на будь-який пожежний обчислення для 1-ї точки: 
В Екселі користуємося стандартною функцією EXP (Синтаксис можна подивитися в екселевський Довідці).
Висновок: , отже, експоненційна функція наближає експериментальні точки гірше, ніж пряма .
Але тут слід зазначити, що «гірше» – це ще не означаєщо погано. Зараз збудував графік цієї експоненційної функції – і він теж проходить близько до точок 
- Так, що без аналітичного дослідження і сказати важко, яка функція точніше.
На цьому рішення закінчено, і я повертаюся до питання про натуральні значення аргументу. У різних дослідженнях, зазвичай, економічних чи соціологічних, натуральними «іксами» нумерують місяці, роки чи інші рівні часові проміжки. Розглянемо, наприклад, таке завдання:
Є такі дані про роздрібний товарообіг магазину за перше півріччя:
Використовуючи аналітичне вирівнювання по прямій, визначте обсяг товарообігу за липень.
Так без проблем: нумеруємо місяці 1, 2, 3, 4, 5, 6 і використовуємо звичайний алгоритм, в результаті чого отримуємо рівняння – єдине, коли йдеться про час, зазвичай використовують букву «те» (хоча це не критично). Отримане рівняння показує, що у першому півріччі товарообіг збільшувався загалом на 27,74 д.е. за місяць. Отримаємо прогноз на липень (місяць №7): д.е.
І подібних завдань – темрява темрява. Бажаючі можуть скористатися додатковим сервісом, а саме моїм екселевський калькулятор (демо-версія), який вирішує розібране завдання практично миттєво!Робоча версія програми доступна з обмінуабо за символічну плату.
На закінчення уроку коротка інформація про перебування залежностей інших видів. Власне, і розповідати особливо нема чого, оскільки принциповий підхід і алгоритм рішення залишаються колишніми.
Припустимо, розташування експериментальних точок нагадує гіперболу. Тоді щоб знайти коефіцієнти кращої гіперболи, необхідно визначити мінімум функції – охочі можуть провести докладні обчислення і дійти схожої системи: 
З формально-технічної точки зору вона виходить із «лінійної» системи 
(позначимо її «зірочкою»)заміною «ікса» на . Ну а вже суми-то 
розрахуєте, після чого до оптимальних коефіцієнтів «а» та «бе» рукою подати.
Якщо є всі підстави вважати, що точки розташовуються по логарифмічній кривій, то для розшуку оптимальних значень і знаходимо мінімум функції 
. Формально в системі (*) потрібно замінити на: 
Під час обчислень в Екселі використовуйте функцію LN. Признаюся, мені не складе особливих труднощів створити калькулятори для кожного з цих випадків, але все-таки буде краще, якщо ви самі «запрограмуєте» обчислення. Відеоматеріали уроку на допомогу.
З експоненційною залежністю ситуація трохи складніша. Щоб звести справу до лінійного випадку, прологарифмуємо функцію та скористаємося властивостям логарифму:
Тепер, зіставляючи отриману функцію з лінійною функцією , приходимо висновку, що у системі (*) потрібно замінити на , а – на . Для зручності позначимо: 
Зверніть увагу, що система дозволяється щодо і , і тому після знаходження коріння потрібно не забути знайти сам коефіцієнт .
Щоб наблизити експериментальні точки оптимальною параболою 
слід знайти мінімум функції трьох змінних 
. Після здійснення стандартних дій отримуємо наступну «робочу» систему:
Так, звичайно, сум тут більше, але при використанні улюбленої програми труднощів взагалі ніяких. І насамкінець розповім, як за допомогою Екселю швидко виконати перевірку та побудувати потрібну лінію тренду: створюємо точкову діаграму, виділяємо мишею будь-яку з точок. і через праве клацання вибираємо опцію «Додати лінію тренду». Далі вибираємо тип діаграми та на вкладці «Параметри»активуємо опцію "Показувати рівняння на діаграмі". ОК
Як завжди статтю хочеться завершити якоюсь красивою фразою, і я вже мало не надрукував «Будьте в тренді!». Але вчасно передумав. І не через те, що вона є шаблонною. Не знаю, кому як, а мені щось зовсім не хочеться слідувати американському, що пропагується, і особливо європейському тренду =) Тому я побажаю кожному з вас дотримуватися своєї власної лінії!
http://www.grandars.ru/student/vysshaya-matematika/metod-naimenshih-kvadratov.html
Метод найменших квадратів є одним з найбільш поширених та найбільш розроблених внаслідок своєї простоти та ефективності методів оцінки параметрів лінійнихеконометричних моделей. Разом з тим, при його застосуванні слід дотримуватись певної обережності, оскільки побудовані з його використанням моделі можуть не задовольняти цілий ряд вимог до якості їх параметрів і, внаслідок цього, недостатньо добре відображати закономірності розвитку процесу.
Розглянемо процедуру оцінки параметрів лінійної економетричної моделі за допомогою методу найменших квадратів докладніше. Така модель у загальному вигляді може бути представлена рівнянням (1.2):
y t = a 0 + a 1 x 1t + ... + a n x nt + ε t.
Вихідними даними в оцінці параметрів a 0 , a 1 ,..., a n є вектор значень залежної змінної y= (y 1 , y 2 , ... , y T)" і матриця значень незалежних змінних
у якій перший стовпець, що складається з одиниць, відповідає коефіцієнту моделі .
Назву свій метод найменших квадратів отримав, виходячи з основного принципу, якому повинні задовольняти отримані на його основі оцінки параметрів: сума квадратів помилки моделі має бути мінімальною.
Приклади розв'язання задач методом найменших квадратів
приклад 2.1.Торговельне підприємство має мережу, що складається з 12 магазинів, інформацію про діяльність яких представлено у табл. 2.1.
Керівництво підприємства хотіло б знати, як залежить розмір річного товарообігу від торгової площі магазину.
Таблиця 2.1
| Номер магазину | Річний товарообіг, млн руб. | Торгова площа, тис. м2 |
| 19,76 | 0,24 | |
| 38,09 | 0,31 | |
| 40,95 | 0,55 | |
| 41,08 | 0,48 | |
| 56,29 | 0,78 | |
| 68,51 | 0,98 | |
| 75,01 | 0,94 | |
| 89,05 | 1,21 | |
| 91,13 | 1,29 | |
| 91,26 | 1,12 | |
| 99,84 | 1,29 | |
| 108,55 | 1,49 |
Рішення шляхом найменших квадратів.Позначимо - річний товарообіг-го магазину, млн руб.; - торгова площа магазину, тис. м 2 .
Рис.2.1. Діаграма розсіювання для прикладу 2.1
Для визначення форми функціональної залежності між змінними та побудуємо діаграму розсіювання (рис. 2.1).
З діаграми розсіювання можна дійти невтішного висновку про позитивну залежність річного товарообігу від торгової площі (тобто. зростатиме зі зростанням ). Найбільш підходяща форма функціонального зв'язку - лінійна.
Інформація щодо подальших розрахунків представлена у табл. 2.2. За допомогою методу найменших квадратів оцінимо параметри лінійної однофакторної економетричної моделі
Таблиця 2.2
| t | y t | x 1t | y t 2 | x 1t 2 | x 1t y t |
| 19,76 | 0,24 | 390,4576 | 0,0576 | 4,7424 | |
| 38,09 | 0,31 | 1450,8481 | 0,0961 | 11,8079 | |
| 40,95 | 0,55 | 1676,9025 | 0,3025 | 22,5225 | |
| 41,08 | 0,48 | 1687,5664 | 0,2304 | 19,7184 | |
| 56,29 | 0,78 | 3168,5641 | 0,6084 | 43,9062 | |
| 68,51 | 0,98 | 4693,6201 | 0,9604 | 67,1398 | |
| 75,01 | 0,94 | 5626,5001 | 0,8836 | 70,5094 | |
| 89,05 | 1,21 | 7929,9025 | 1,4641 | 107,7505 | |
| 91,13 | 1,29 | 8304,6769 | 1,6641 | 117,5577 | |
| 91,26 | 1,12 | 8328,3876 | 1,2544 | 102,2112 | |
| 99,84 | 1,29 | 9968,0256 | 1,6641 | 128,7936 | |
| 108,55 | 1,49 | 11783,1025 | 2,2201 | 161,7395 | |
| S | 819,52 | 10,68 | 65008,554 | 11,4058 | 858,3991 |
| Середнє | 68,29 | 0,89 |
Таким чином,
Отже, зі збільшенням торгової площі на 1 тис. м 2 за інших рівних умов середньорічний товарообіг збільшується на 67,8871 млн руб.
приклад 2.2.Керівництво підприємства помітило, що річний товарообіг залежить тільки від торгової площі магазину (див. приклад 2.1), а й від середнього числа відвідувачів. Відповідна інформація представлена у табл. 2.3.
Таблиця 2.3
Рішення.Позначимо - середня кількість відвідувачів магазину на день, тис. чол.
Для визначення форми функціональної залежності між змінними та побудуємо діаграму розсіювання (рис. 2.2).
З діаграми розсіяння можна дійти невтішного висновку про позитивну залежність річного товарообігу від середньої кількості відвідувачів щодня (тобто. зростатиме зі зростанням ). Форма функціональної залежності – лінійна.
Мал. 2.2. Діаграма розсіювання для прикладу 2.2
Таблиця 2.4
| t | x 2t | x 2t 2 | y t x 2t | x 1t x 2t |
| 8,25 | 68,0625 | 163,02 | 1,98 | |
| 10,24 | 104,8575 | 390,0416 | 3,1744 | |
| 9,31 | 86,6761 | 381,2445 | 5,1205 | |
| 11,01 | 121,2201 | 452,2908 | 5,2848 | |
| 8,54 | 72,9316 | 480,7166 | 6,6612 | |
| 7,51 | 56,4001 | 514,5101 | 7,3598 | |
| 12,36 | 152,7696 | 927,1236 | 11,6184 | |
| 10,81 | 116,8561 | 962,6305 | 13,0801 | |
| 9,89 | 97,8121 | 901,2757 | 12,7581 | |
| 13,72 | 188,2384 | 1252,0872 | 15,3664 | |
| 12,27 | 150,5529 | 1225,0368 | 15,8283 | |
| 13,92 | 193,7664 | 1511,016 | 20,7408 | |
| S | 127,83 | 1410,44 | 9160,9934 | 118,9728 |
| Середнє | 10,65 |
Загалом необхідно визначити параметри двофакторної економетричної моделі
у t = a 0 + a 1 х 1t + a 2 х 2t + ε t
Інформація, потрібна для подальших розрахунків, подана в табл. 2.4.
Оцінимо параметри лінійної двофакторної економетричної моделі за допомогою методу найменших квадратів.
Таким чином,
Оцінка коефіцієнта = 61,6583 показує, що за інших рівних умов зі збільшенням торгової площі на 1 тис. м 2 річний товарообіг збільшиться в середньому на 61,6583 млн руб.
Оцінка коефіцієнта = 2,2748 показує, що з інших рівних умов із збільшенням середньої кількості відвідувачів на 1 тис. чол. на день річний товарообіг збільшиться в середньому на 2,2748 млн. руб.
приклад 2.3.Використовуючи інформацію, подану у табл. 2.2 та 2.4, оцінити параметр однофакторної економетричної моделі
де - Центроване значення річного товарообігу-го магазину, млн руб.; - Центроване значення середньоденного числа відвідувачів t-го магазину, тис. чол. (Див. Приклади 2.1-2.2).
Рішення.Додаткова інформація, необхідна для розрахунків, подана у табл. 2.5.
Таблиця 2.5
| -48,53 | -2,40 | 5,7720 | 116,6013 | |
| -30,20 | -0,41 | 0,1702 | 12,4589 | |
| -27,34 | -1,34 | 1,8023 | 36,7084 | |
| -27,21 | 0,36 | 0,1278 | -9,7288 | |
| -12,00 | -2,11 | 4,4627 | 25,3570 | |
| 0,22 | -3,14 | 9,8753 | -0,6809 | |
| 6,72 | 1,71 | 2,9156 | 11,4687 | |
| 20,76 | 0,16 | 0,0348 | 3,2992 | |
| 22,84 | -0,76 | 0,5814 | -17,413 | |
| 22,97 | 3,07 | 9,4096 | 70,4503 | |
| 31,55 | 1,62 | 2,6163 | 51,0267 | |
| 40,26 | 3,27 | 10,6766 | 131,5387 | |
| Сума | 48,4344 | 431,0566 |
Використовуючи формулу (2.35), отримаємо
Таким чином,
http://www.cleverstudents.ru/articles/mnk.html
приклад.
Експериментальні дані про значення змінних хі унаведено у таблиці. 
В результаті їх вирівнювання отримано функцію 
Використовуючи метод найменших квадратів, апроксимувати ці дані лінійною залежністю y=ax+b(Знайти параметри аі b). З'ясувати, яка з двох ліній краще (у сенсі способу менших квадратів) вирівнює експериментальні дані. Зробити креслення.
Рішення.
У нашому прикладі n=5. Заповнюємо таблицю для зручності обчислення сум, що входять до формул шуканих коефіцієнтів. 
Значення у четвертому рядку таблиці отримані множенням значень 2-го рядка на значення 3-го рядка для кожного номера i.
Значення у п'ятому рядку таблиці отримані зведенням у квадрат значень другого рядка для кожного номера i.
Значення останнього стовпця таблиці – це суми значень рядків.
Використовуємо формули методу найменших квадратів для знаходження коефіцієнтів аі b. Підставляємо у них відповідні значення з останнього стовпця таблиці: 
Отже, y = 0.165x+2.184- пряма апроксимуюча.
Залишилося з'ясувати, яка з ліній y = 0.165x+2.184або краще апроксимує вихідні дані, тобто провести оцінку шляхом найменших квадратів.
Доказ.
Щоб при знайдених аі bфункція приймала найменше значення, необхідно, щоб у цій точці матриця квадратичної форми диференціала другого порядку для функції 
була позитивно визначеною. Покажемо це.
Диференціал другого порядку має вигляд: 
Тобто
Отже, матриця квадратичної форми має вигляд 
причому значення елементів не залежать від аі b.
Покажемо, що матриця є позитивно визначеною. Для цього потрібно, щоб кутові мінори були позитивними.
Кутовий мінор першого порядку 
. Нерівність сувора, тому що точки
100 рбонус за перше замовлення
Оберіть тип роботи Дипломна робота Курсова робота Реферат Магістерська дисертація Звіт з практики Стаття Доповідь Рецензія Контрольна робота Монографія Рішення задач Бізнес-план Відповіді на запитання Творча робота Есе Чертеж Твори Переклад Презентації Набір тексту Інше Підвищення унікальності тексту
Дізнатись ціну
Метод найменших квадратів - математичний (математико-статистичний) прийом, що служить для вирівнювання динамічних рядів, виявлення форми кореляційного зв'язку між випадковими величинами та ін. Полягає в тому, що функція, що описує дане явище, апроксимується більш простою функцією. Причому остання підбирається з таким розрахунком, щоб середньоквадратичне відхилення фактичних рівнів функції в спостережуваних точках від вирівняних було найменшим.
Напр., за даними ( xi,yi) (i = 1, 2, ..., n) будується така крива y = a + bx, на якій досягається мінімум суми квадратів відхилень
тобто мінімізується функція, яка залежить від двох параметрів: a- відрізок на осі ординат та b- Нахил прямий.
Рівняння, що дають необхідні умови для мінімізації функції S(a,b), називаються нормальними рівняннями.Як апроксимуючі функції застосовуються не тільки лінійна (вирівнювання по прямій лінії), але і квадратична, параболічна, експоненційна та ін. Приклад вирівнювання динамічного ряду по прямій див. на рис. M.2 де сума квадратів відстаней ( y 1 – ȳ 1)2 + (y 2 – ȳ 2)2 .... - найменша, і пряма, що вийшла, найкращим чином відображає тенденцію динамічного ряду спостережень за деяким показником у часі.
Для незміщеності МНК-оцінок необхідно і достатньо виконання найважливішої умови регресійного аналізу: умовне за факторами математичне очікування випадкової помилки має дорівнювати нулю. Ця умова, зокрема, виконано, якщо: 1. математичне очікування випадкових помилок дорівнює нулю, і 2. фактори та випадкові помилки – незалежні випадкові величини. Першу умову можна вважати виконаною завжди для моделей з константою, оскільки константа бере на себе ненульове математичне очікування помилок. Друга умова - умова екзогенності факторів - важлива. Якщо це властивість не виконано, можна вважати, що будь-які оцінки будуть вкрай незадовільними: де вони навіть заможними (тобто навіть дуже великий обсяг даних Демшевського не дозволяє отримати якісні оцінки у разі).
Найбільш поширеним у практиці статистичного оцінювання параметрів рівнянь регресії є метод найменших квадратів. Цей метод заснований на низці передумов щодо природи даних та результатів побудови моделі. Основні з них - це чіткий поділ вихідних змінних на залежні та незалежні, некорелюваність факторів, що входять до рівнянь, лінійність зв'язку, відсутність автокореляції залишків, рівність їх математичних очікувань нулю та постійна дисперсія.
Однією з основних гіпотез МНК є припущення рівності дисперсій відхилень еi, тобто. їх розкид навколо середнього (нульового) значення ряду має бути величиною стабільною. Ця властивість називається гомоскедастичністю. На практиці дисперсії відхилень досить часто неоднакові, тобто спостерігається гетероскедастичність. Це може бути наслідком різних причин. Наприклад, можливі помилки у вихідних даних. Випадкові неточності у вихідній інформації, такі як помилки в порядку чисел, можуть вплинути на результати. Часто більший розкид відхилень є, спостерігається при великих значеннях залежної змінної (змінних). Якщо даних міститься значна помилка, то, природно, великим буде і відхилення модельного значення, розрахованого за помилковими даними. Для того, щоб позбавитися цієї помилки нам потрібно зменшити внесок цих даних у результати розрахунків, задати для них меншу вагу, ніж для всіх інших. Ця ідея реалізована у виваженому МНК.
Метод найменших квадратів
Метод найменших квадратів ( МНК, OLS, Ordinary Least Squares) - один із базових методів регресійного аналізу для оцінки невідомих параметрів регресійних моделей за вибірковими даними. Метод ґрунтується на мінімізації суми квадратів залишків регресії.
Необхідно відзначити, що власне методом найменших квадратів можна назвати метод вирішення задачі в будь-якій області, якщо рішення полягає або задовольняє деякий критерій мінімізації суми квадратів деяких функцій від змінних, що шукаються. Тому метод найменших квадратів може застосовуватися також для наближеного представлення (апроксимації) заданої функції іншими (простішими) функціями, при знаходженні сукупності величин, що задовольняють рівнянь або обмежень, кількість яких перевищує кількість цих величин і т.д.
Сутність МНК
Нехай задана деяка (параметрична) модель імовірнісної (регресійної) залежності між (з'ясованою) змінною yі безліччю факторів (що пояснюють змінних) x
де - вектор невідомих параметрів моделі
- Випадкова помилка моделі.Нехай також є вибіркові спостереження значень вказаних змінних. Нехай – номер спостереження (). Тоді - значення змінних у спостереженні. Тоді при заданих значеннях параметрів b можна розрахувати теоретичні (модельні) значення змінної, що пояснюється y:
Розмір залишків залежить від значень параметрів b.
Сутність МНК (звичайного, класичного) у тому, щоб знайти такі параметри b, у яких сума квадратів залишків (англ. Residual Sum of Squares) буде мінімальною:
У випадку вирішення цього завдання може здійснюватися чисельними методами оптимізації (мінімізації). У цьому випадку говорять про нелінійному МНК(NLS або NLLS – англ. Non-Linear Least Squares). У багатьох випадках можна одержати аналітичне рішення. Для вирішення задачі мінімізації необхідно знайти стаціонарні точки функції, продиференціювавши її за невідомими параметрами b, прирівнявши похідні до нуля і вирішивши отриману систему рівнянь:
Якщо випадкові помилки моделі мають нормальний розподіл , мають однакову дисперсію і некорельовані між собою, МНК оцінки параметрів збігаються з оцінками методу максимальної правдоподібності (ММП).
МНК у разі лінійної моделі
Нехай регресійна залежність є лінійною:
Нехай y- Вектор-стовпець спостережень пояснюваної змінної, а - матриця спостережень факторів (рядки матриці - вектори значень факторів у даному спостереженні, по стовпцях - вектор значень даного фактора у всіх спостереженнях). Матричне уявлення лінійної моделі має вигляд:
Тоді вектор оцінок змінної, що пояснюється, і вектор залишків регресії дорівнюватимуть
відповідно сума квадратів залишків регресії дорівнюватиме
Диференціюючи цю функцію за вектором параметрів та прирівнявши похідні до нуля, отримаємо систему рівнянь (у матричній формі):
.Вирішення цієї системи рівнянь і дає загальну формулу МНК-оцінок для лінійної моделі:
Для аналітичних цілей виявляється корисним останнє уявлення цієї формули. Якщо у регресійній моделі дані центровані, то цьому поданні перша матриця має сенс вибіркової ковариационной матриці чинників, а друга - вектор ковариаций чинників із залежною змінною. Якщо дані ще й нормованіна СКО (тобто зрештою стандартизовано), то перша матриця має сенс вибіркової кореляційної матриці факторів, другий вектор - вектора вибіркових кореляцій факторів із залежною змінною.
Важлива властивість МНК-оцінок для моделей з константою- лінія побудованої регресії проходить через центр тяжкості вибіркових даних, тобто виконується рівність:
Зокрема, у крайньому випадку, коли єдиним регресором є константа, отримуємо, що МНК-оцінка єдиного параметра (власне константи) дорівнює середньому значенню змінної, що пояснюється. Тобто середнє арифметичне, відоме своїми добрими властивостями із законів великих чисел, також є МНК-оцінкою – задовольняє критерію мінімуму суми квадратів відхилень від неї.
Приклад: найпростіша (парна) регресія
У разі парної лінійної регресії формули розрахунку спрощуються (можна обійтися без матричної алгебри):
Властивості МНК-оцінок
Насамперед, зазначимо, що для лінійних моделей МНК-оцінки є лінійними оцінками, як це випливає з вищенаведеної формули. Для незміщеності МНК-оцінок необхідно і достатньо виконання найважливішої умови регресійного аналізу: умовне за факторами математичне очікування випадкової помилки має дорівнювати нулю. Ця умова, зокрема, виконана, якщо
- математичне очікування випадкових помилок дорівнює нулю, та
- фактори та випадкові помилки - незалежні випадкові величини.
Друга умова - умова екзогенності факторів - важлива. Якщо це властивість не виконано, можна вважати, що будь-які оцінки будуть вкрай незадовільними: де вони навіть заможними (тобто навіть дуже великий обсяг даних Демшевського не дозволяє отримати якісні оцінки у разі). У класичному випадку робиться сильніша припущення про детермінованість факторів, на відміну від випадкової помилки, що автоматично означає виконання умови екзогенності. У випадку для спроможності оцінок досить виконання умови екзогенності разом із збіжністю матриці до деякої невиродженої матриці зі збільшенням обсягу вибірки до нескінченності.
Для того, щоб крім спроможності та незміщеності, оцінки (звичайного) МНК були ще й ефективними (найкращими в класі лінійних незміщених оцінок) необхідно виконання додаткових властивостей випадкової помилки:
Дані припущення можна сформулювати для коварійної матриці вектора випадкових помилок
Лінійна модель, що задовольняє такі умови, називається класичною. МНК-оцінки для класичної лінійної регресії є незміщеними, заможними та найбільш ефективними оцінками в класі всіх лінійних незміщених оцінок (в англомовній літературі іноді вживають абревіатуру BLUE (Best Linear Unbaised Estimator) - найкраща лінійна незміщена оцінка; у вітчизняній літературі найчастіше наводиться теорема Гауса – Маркова). Як неважко показати, ковариационная матриця вектора оцінок коефіцієнтів дорівнюватиме:
Узагальнений МНК
Метод найменших квадратів припускає широке узагальнення. Замість мінімізації суми квадратів залишків можна мінімізувати деяку позитивно визначену квадратичну форму від вектора залишків де - деяка симетрична позитивно визначена вагова матриця. Звичайний МНК є окремим випадком даного підходу, коли вагова матриця пропорційна одиничній матриці. Як відомо з теорії симетричних матриць (або операторів) для таких матриць існує розкладання. Отже, зазначений функціонал можна уявити наступним чином , тобто цей функціонал можна як суму квадратів деяких перетворених «залишків». Отже, можна назвати клас методів найменших квадратів - LS-методи (Least Squares).
Доведено (теорема Айткена), що для узагальненої лінійної регресійної моделі (у якій на коварійну матрицю випадкових помилок не накладається жодних обмежень) найефективнішими (у класі лінійних незміщених оцінок) є оцінки т.з. узагальненого МНК (ОМНК, GLS - Generalized Least Squares)- LS-метода з ваговою матрицею, що дорівнює зворотній коварійній матриці випадкових помилок: .
Можна показати, що формула ОМНК оцінок параметрів лінійної моделі має вигляд
Коваріаційна матриця цих оцінок відповідно дорівнюватиме
Фактично сутність ОМНК полягає у певному (лінійному) перетворенні (P) вихідних даних та застосуванні звичайного МНК до перетворених даних. Ціль цього перетворення - для перетворених даних випадкові помилки вже задовольняють класичним припущенням.
Зважений МНК
У випадку діагональної вагової матриці (а значить і матриці коварійної випадкових помилок) маємо так званий зважений МНК (WLS - Weighted Least Squares). У разі мінімізується зважена сума квадратів залишків моделі, тобто кожне спостереження отримує «вага», зворотно пропорційний дисперсії випадкової помилки у цьому спостереженні: . Фактично дані перетворюються зважуванням спостережень (розподілом на величину, пропорційну передбачуваному стандартному відхилення випадкових помилок), а зваженим даним застосовується звичайний МНК.
Деякі окремі випадки застосування МНК на практиці
Апроксимація лінійної залежності
Розглянемо випадок, коли в результаті вивчення залежності деякої скалярної величини від деякої скалярної величини (Це може бути, наприклад, залежність напруги від сили струму : де - постійна величина, опір провідника) було проведено вимірювань цих величин, в результаті яких були отримані значення і відповідні їм значення. Дані вимірювань мають бути записані у таблиці.
Таблиця. Результати вимірів.
| № виміру | ||
|---|---|---|
| 1 | ||
| 2 | ||
| 3 | ||
| 4 | ||
| 5 | ||
| 6 |
Питання звучить так: яке значення коефіцієнта можна підібрати, щоб якнайкраще описати залежність? Згідно з МНК це значення має бути таким, щоб сума квадратів відхилень величин від величин
була мінімальною
Сума квадратів відхилень має один екстремум – мінімум, що дозволяє нам використовувати цю формулу. Знайдемо з цієї формули значення коефіцієнта. І тому перетворимо її ліву частину так:
Остання формула дозволяє знайти значення коефіцієнта , що й потрібно завдання.
Історія
На початок ХІХ ст. вчені у відсутності певних правил на вирішення системи рівнянь , у якій число невідомих менше, ніж число рівнянь; до цього часу використовувалися приватні прийоми, що залежали від виду рівнянь і від дотепності обчислювачів, і тому різні обчислювачі, виходячи з тих самих даних спостережень, приходили до різних висновків. Гаусс (1795) належить перше застосування методу, а Лежандр (1805) незалежно відкрив і опублікував його під сучасною назвою (фр. Méthode des moindres quarrés ). Лаплас пов'язав метод з теорією ймовірностей, а американський математик Едрейн (1808) розглянув його теоретико-імовірнісні додатки. Метод поширений і вдосконалений подальшими дослідженнями Енке, Бесселя, Ганзена та інших.
Альтернативне використання МНК
Ідея методу найменших квадратів може бути використана також в інших випадках, які не пов'язані безпосередньо з регресійним аналізом. Справа в тому, що сума квадратів є одним із найпоширеніших заходів близькості для векторів (евклідова метрика в кінцевомірних просторах).
Одне із застосувань - «вирішення» систем лінійних рівнянь, у яких число рівнянь більше числа змінних
де матриця не квадратна, а прямокутна розміру.
Така система рівнянь, у випадку немає рішення (якщо ранг насправді більше числа змінних). Тому цю систему можна «вирішити» тільки в сенсі вибору такого вектора, щоб мінімізувати «відстань» між векторами та . І тому можна застосувати критерій мінімізації суми квадратів різниць лівої та правої частин рівнянь системи, тобто . Неважко показати, що вирішення цього завдання мінімізації призводить до вирішення наступної системи рівнянь
Якщо деяка фізична величина залежить від іншої величини, то цю залежність можна досліджувати, вимірюючи у різних значеннях x . В результаті вимірів виходить ряд значень:
x 1, x 2, ..., x i, ..., x n;
y 1 , y 2 , ..., y i , ... , y n .
За даними такого експерименту, можна побудувати графік залежності y = ƒ(x). Отримана крива дозволяє судити про вид функції ƒ(x). Однак постійні коефіцієнти, що входять до цієї функції, залишаються невідомими. Визначити їх дозволяє метод найменших квадратів. Експериментальні точки, зазвичай, не лягають точно на криву. Метод найменших квадратів вимагає, щоб сума квадратів відхилень експериментальних точок від кривої, тобто. 2 була найменшою.
Насправді цей метод найчастіше (і найпростіше) використовується у разі лінійної залежності, тобто. коли
y = kxабо y = a + bx.
Лінійна залежність дуже поширена у фізиці. І навіть коли нелінійна залежність, зазвичай намагаються будувати графік так, щоб отримати пряму лінію. Наприклад, якщо припускають, що показник заломлення скла n пов'язаний з довжиною λ світлової хвилі співвідношенням n = a + b/λ 2 то на графіку будують залежність n від λ -2 .
Розглянемо залежність y = kx(Пряма, що проходить через початок координат). Складемо величину φ суму квадратів відхилень наших точок від прямої
Величина φ завжди позитивна і виявляється тим меншою, чим ближче до прямої лежать наші точки. Метод найменших квадратів стверджує, що для k слід вибирати таке значення, у якому φ має мінімум
або
(19)
Обчислення показує, що середньоквадратична помилка визначення величини k дорівнює при цьому
, (20)
де n число вимірювань.
Розглянемо тепер трохи складніший випадок, коли точки повинні задовольнити формулу y = a + bx(Пряма, що не проходить через початок координат).
Завдання полягає в тому, щоб за наявним набором значень x i , y знайти найкращі значення a і b.
Знову складемо квадратичну форму φ , рівну сумі квадратів відхилень точок x i , y i від прямої
і знайдемо значення a і b , при яких має мінімум
;
.
Спільне рішення цих рівнянь дає
(21)
Середньоквадратичні помилки визначення a та b рівні
(23)
. (24)
При обробці результатів вимірювання цим методом зручно всі дані зводити в таблицю, в якій попередньо підраховуються всі суми, що входять до формул (19) (24). Форми цих таблиць наведені в наведених нижче прикладах.
приклад 1.Досліджувалося основне рівняння динаміки обертального руху ε = M/J (пряма, яка проходить через початок координат). При різних значеннях моменту M вимірювалося кутове прискорення деякого тіла ε. Потрібно визначити момент інерції цього тіла. Результати вимірювань моменту сили та кутового прискорення занесені до другого та третього стовпців таблиці 5.
Таблиця 5
| n | M, Н · м | ε, c -1 | M 2 | M · ε | ε - kM | (ε - kM) 2 |
| 1 | 1.44 | 0.52 | 2.0736 | 0.7488 | 0.039432 | 0.001555 |
| 2 | 3.12 | 1.06 | 9.7344 | 3.3072 | 0.018768 | 0.000352 |
| 3 | 4.59 | 1.45 | 21.0681 | 6.6555 | -0.08181 | 0.006693 |
| 4 | 5.90 | 1.92 | 34.81 | 11.328 | -0.049 | 0.002401 |
| 5 | 7.45 | 2.56 | 55.5025 | 19.072 | 0.073725 | 0.005435 |
| ∑ | | | 123.1886 | 41.1115 | | 0.016436 |
За формулою (19) визначаємо:
.
Для визначення середньоквадратичної помилки скористаємося формулою (20)
0.005775кг-1 · м -2 .
За формулою (18) маємо
S J = (2.996 · 0.005775) / 0.3337 = 0.05185 кг · м 2.
Задавшись надійністю P = 0.95, за таблицею коефіцієнтів Стьюдента для n = 5, знаходимо t = 2.78 і визначаємо абсолютну помилку ΔJ = 2.78 · 0.05185 = 0.1441 ≈ 0.2 кг · м 2.
Результати запишемо у вигляді:
J = (3.0 ± 0.2) кг · м 2;
приклад 2.Обчислимо температурний коефіцієнт опору металу методом найменших квадратів. Опір залежить від температури за лінійним законом
R t = R 0 (1 + α t °) = R 0 + R 0 α t °.
Вільний член визначає опір R 0 при температурі 0° C , а кутовий коефіцієнт твір температурного коефіцієнта α на опір R 0 .
Результати вимірювань та розрахунків наведено в таблиці ( див. таблицю 6).
Таблиця 6
| n | t°, c | r, Ом | t-¯ t | (t-¯ t) 2 | (t-¯ t)r | r - bt - a | (r - bt - a) 2,10 -6 |
| 1 | 23 | 1.242 | -62.8333 | 3948.028 | -78.039 | 0.007673 | 58.8722 |
| 2 | 59 | 1.326 | -26.8333 | 720.0278 | -35.581 | -0.00353 | 12.4959 |
| 3 | 84 | 1.386 | -1.83333 | 3.361111 | -2.541 | -0.00965 | 93.1506 |
| 4 | 96 | 1.417 | 10.16667 | 103.3611 | 14.40617 | -0.01039 | 107.898 |
| 5 | 120 | 1.512 | 34.16667 | 1167.361 | 51.66 | 0.021141 | 446.932 |
| 6 | 133 | 1.520 | 47.16667 | 2224.694 | 71.69333 | -0.00524 | 27.4556 |
| ∑ | 515 | 8.403 | | 8166.833 | 21.5985 | | 746.804 |
| ∑/n | 85.83333 | 1.4005 | | | | | |
За формулами (21), (22) визначаємо
R 0 = ? R - α R 0 ? Ом.
Знайдемо помилку у визначенні α. Оскільки , то за формулою (18) маємо:
.
Користуючись формулами (23), (24) маємо
;
0.014126 Ом.
Задавшись надійністю P = 0.95, за таблицею коефіцієнтів Стьюдента для n = 6, знаходимо t = 2.57 та визначаємо абсолютну помилку Δα = 2.57 · 0.000132 = 0.000338 град -1.
α = (23 ± 4) · 10 -4 град-1 за P = 0.95.
приклад 3.Потрібно визначити радіус кривизни лінзи по кільцях Ньютона. Вимірювалися радіуси кілець Ньютона r m та визначалися номери цих кілець m. Радіуси кілець Ньютона пов'язані з радіусом кривизни лінзи R і номером кільця рівнянням
r 2 m = mλR - 2d 0 R,
де d 0 товщина зазору між лінзою і плоскопаралельною пластинкою (або деформація лінзи),
λ | довжина хвилі падаючого світла.
λ = (600 ± 6) нм;
r 2 m = y;
m = x;
λR = b;
-2d 0 R = a,
тоді рівняння набуде вигляду y = a + bx.
.Результати вимірювань та обчислень занесені до таблицю 7.
Таблиця 7
| n | x = m | y = r 2 10 -2 мм 2 | m - m | (m - m) 2 | (m - m)y | y - bx - a, 10 -4 | (y - bx - a) 2 , 10 -6 |
| 1 | 1 | 6.101 | -2.5 | 6.25 | -0.152525 | 12.01 | 1.44229 |
| 2 | 2 | 11.834 | -1.5 | 2.25 | -0.17751 | -9.6 | 0.930766 |
| 3 | 3 | 17.808 | -0.5 | 0.25 | -0.08904 | -7.2 | 0.519086 |
| 4 | 4 | 23.814 | 0.5 | 0.25 | 0.11907 | -1.6 | 0.0243955 |
| 5 | 5 | 29.812 | 1.5 | 2.25 | 0.44718 | 3.28 | 0.107646 |
| 6 | 6 | 35.760 | 2.5 | 6.25 | 0.894 | 3.12 | 0.0975819 |
| ∑ | 21 | 125.129 | | 17.5 | 1.041175 | | 3.12176 |
| ∑/n | 3.5 | 20.8548333 | | | | | |