Класична ймовірність та її властивості

Імовірність – одне з основних понять теорії ймовірностей. Існує кілька визначень цього поняття. Наведемо визначення, яке називають класичним.

Ймовірністюподії називається відношення числа елементарних результатів, які сприяють даній події, до всіх рівноможливих результатів досвіду, в якому може з'явитися ця подія.

Імовірність події А позначають через Р(А)(тут Р– перша літера французького слова probabilite- Імовірність).

Відповідно до визначення

де – число елементарних результатів випробування, які сприяють появі події;

Загальна кількість можливих елементарних результатів випробування.

Це визначення ймовірності називають класичним. Воно виникло початковому етапі розвитку теорії ймовірностей.

Часто число називають відносною частотою появи події Ау досвіді.

Чим більша ймовірність події, тим частіше вона настає, і навпаки, чим менша ймовірність події, тим рідше вона настає. Коли ймовірність події близька до одиниці або дорівнює одиниці, вона настає майже при всіх випробуваннях. Про таку подію кажуть, що вона практично достовірно, Т. е. що можна напевно розраховувати на його наступ.

Навпаки, коли ймовірність дорівнює нулю або дуже мала, то подія настає дуже рідко; про таку подію кажуть, що вона практично неможливо.

Іноді ймовірність виражають у відсотках: Р(А) 100%є середній відсоток числа події A.

приклад 2.13.Набираючи номер телефону, абонент забув одну цифру і набрав її навмання. Знайти ймовірність того, що набрано потрібну цифру.

Рішення.

Позначимо через Аподія - «набрано потрібну цифру».

Абонент міг набрати будь-яку з 10 цифр, тому загальна кількість можливих елементарних наслідків дорівнює 10. Ці наслідки несумісні, рівноможливі і утворюють повну групу. Сприяє події Алише один результат (потрібна цифра лише одна).

Шукана ймовірність дорівнює відношенню числа наслідків, що сприяють події, до всіх елементарних наслідків:

Формула класичної ймовірності дає дуже простий, що не вимагає проведення експериментів, спосіб обчислення ймовірностей. Проте простота цієї формули дуже оманлива. Справа в тому, що при її використанні виникають, як правило, два дуже непрості питання:

1. Як вибрати систему наслідків досвіду так, щоб вони були рівноможливі, і чи можна це зробити взагалі?

2. Як знайти числа mі n?

Якщо у досвіді беруть участь кілька предметів, рівноможливі наслідки побачити не завжди просто.

Великий французький філософ і математик Даламбер увійшов в історію теорії ймовірностей зі своєю знаменитою помилкою, суть якої в тому, що він неправильно визначив рівноможливість наслідків всього з двома монетами!

Приклад 2.14. ( помилка Даламбера). Підкидаються дві однакові монети. Яка ймовірність того, що вони впадуть на ту саму сторону?

Рішення Даламбер.

Досвід має три рівноможливі результати:

1. Обидві монети впадуть на "орла";

2. Обидві монети впадуть на "решку";

3. Одна з монет впаде на орла, інша на решку.

Правильне рішення.

Досвід має чотири рівноможливі результати:

1. Перша монета впаде на "орла", друга теж на "орла";

2. Перша монета впаде на "решку", друга теж на "решку";

3. Перша монета впаде на "орла", а друга - на "решку";

4. Перша монета впаде на "решку", а друга - на "орла".

З них сприятливими для нашої події будуть два результати, тому ймовірність, що шукається, дорівнює .

Даламбер здійснив одну з найпоширеніших помилок, що допускається при обчисленні ймовірності: він об'єднав два елементарні результати в один, тим самим зробивши його не рівним по ймовірності результатам досвіду, що залишилися.

МУНІЦИПАЛЬНА ОСВІТАЛЬНА УСТАНОВА

ГІМНАЗІЯ №6

на тему "Класичне визначення ймовірності".

Виконала учениця 8 «Б» класу

Клімантова Олександра.

Вчитель з математики: Віденькіна В. А.

Воронеж, 2008

У багатьох іграх використовують гральний кубик. У кубика 6 граней, на кожній грані відзначено різну кількість точок-від 1 до 6. Граючий кидає кубик і дивиться, скільки точок є на грані, що випала (на тій грані, яка розташовується зверху). Досить часто точки на межі кубика замінюють відповідним числом і тоді говорять про випадання 1, 2 або 6. Кидання кубика можна вважати досвідом, експериментом, випробуванням, а отриманий результат-виходом випробування або елементарною подією. Людям цікаво вгадувати настання тієї чи іншої події, передбачати його результат. Які передбачення можуть зробити, коли кидають гральний кубик? Наприклад, такі:

1) подія А-випадає цифра 1, 2, 3, 4, 5 або 6;

2) подія В-випадає цифра 7, 8 або 9;

3) подія С-випадає цифра 1.

Подія А, передбачена у першому випадку, обов'язково настане. Взагалі подію, яка в даному досвіді обов'язково настане, називають достовірною подією .

Подія, передбачена в другому випадку, ніколи не настане, це просто неможливо. Взагалі подію, яка в даному досвіді наступити не може, називають неможливою подією .

А подія С, передбачена у третьому випадку, настане чи не настане? На це питання ми з упевненістю відповісти не в змозі, оскільки 1 може випасти, а може і не випасти. Подія, яка в даному досвіді може як наступити, так і не наступити, називають випадковою подією .

Думаючи про настання достовірної події, ми слово «імовірно» використовувати, швидше за все, не будемо. Наприклад, якщо сьогодні середа, то завтра четвер, це достовірна подія. Ми в середу не говоритимемо: «Мабуть, завтра четвер», ми скажемо коротко і ясно: «Завтра четвер». Щоправда, якщо ми схильні до красивих фраз, то можемо сказати так: "Зі стовідсотковою ймовірністю стверджую, що завтра четвер". Навпаки, якщо сьогодні середа, то наступ назавтра п'ятниці – неможлива подія. Оцінюючи цю подію у середу, ми можемо сказати так: «Упевнений, що завтра не п'ятниця». Або так: "Неймовірно, що завтра п'ятниця". Ну а якщо ми схильні до красивих фраз, то можемо сказати так: «Вірогідність того, що завтра п'ятниця дорівнює нулю». Отже, достовірна подія-це подія, що настає за даних умов зі стовідсотковою ймовірністю(т. е. настає у 10 випадках із 10, у 100 випадках зі 100 і т. д.). Неможлива подія-це подія, що не настає за даних умов ніколи, подія з нульовою ймовірністю .

Але, на жаль (а можливо, і на щастя), не все в житті так чітко і ясно: це буде завжди (достовірна подія), цього не буде ніколи (неможлива подія). Найчастіше ми стикаємося саме з випадковими подіями, одні з яких вірогідніші, інші менш ймовірні. Зазвичай люди використовують слова «імовірніше» або «менш імовірно», як то кажуть, з натхнення, спираючись на те, що називають здоровим глуздом. Але дуже часто такі оцінки виявляються недостатніми, оскільки важливо знати, на скількивідсотків ймовірно випадкова подія або у скільки разіводна випадкова подія імовірніша за іншу. Іншими словами, потрібні точні кількісніПоказники, необхідно вміти охарактеризувати можливість числом.

Перші кроки у цьому напрямі ми вже зробили. Ми говорили, що ймовірність настання достовірної події характеризується як стовідсоткова, а ймовірність настання неможливої ​​події-як нульова. Враховуючи, що 100% одно 1, люди домовилися про таке:

1) ймовірність достовірної події вважається рівною 1;

2) ймовірність неможливої ​​події вважається рівною 0.

А як підрахувати можливість випадкової події? Адже воно сталося випадковоотже, не підпорядковується закономірностям, алгоритмам, формулам. Виявляється, і у світі випадкового діють певні закони, що дозволяють обчислювати ймовірність. Цим займається розділ математики, який так і називається - теорія імовірності .

Математика має справу з моделлюдеякого явища навколишньої дійсності. З усіх моделей, що використовуються в теорії ймовірностей, ми обмежимося найпростішим.

Класична імовірнісна схема

Для знаходження ймовірності події А під час проведення деякого досвіду слід:

1) знайти число N всіх можливих наслідків даного досвіду;

2) прийняти припущення про рівноймовірність (рівноможливість) всіх цих результатів;

3) визначити кількість N(А) тих результатів досвіду, у яких настає подія А;

4) знайти приватне ; воно і дорівнюватиме ймовірності події А.

Прийнято можливість події А позначати: Р(А). Пояснення такого позначення дуже просте: слово «імовірність» французькою мовою probabilite, по англійськи- probability.У позначенні використовується перша літера слова.

Використовуючи це позначення, ймовірність події А за класичною схемою можна знайти за допомогою формули

Р(А)=.

Часто всі пункти наведеної класичної схеми ймовірності висловлюють однією досить довгою фразою.

Класичне визначення ймовірності

Імовірністю події А під час проведення деякого випробування називають відношення числа результатів, у яких настає подія А, до загального числа всіх рівноможливих між собою результатів цього випробування.

Приклад 1. Знайти ймовірність того, що за одного кидання грального кубика випаде: а) 4; б) 5; в) парне число очок; г) число очок, більше 4; д) число очок, не кратне трьох.

Рішення. Усього є N=6 можливих результатів: випадання грані куба з числом очок, рівним 1, 2, 3, 4, 5 або 6. Ми вважаємо, що жоден з них не має жодних переваг перед іншими, тобто приймаємо припущення про рівноймовірність цих результатів.

а) Рівно в одному з наслідків відбудеться цікава для нас подія А-випадання числа 4. Значить, N(A)=1 і

P ( A )= =.

б) Рішення та відповідь такі самі, як і в попередньому пункті.

в) Подія, що цікавить нас, відбудеться рівно в трьох випадках, коли випадає число очок 2, 4 або 6. Значить,

N ( B )=3 і P ( B )==.

г) Подія, що цікавить нас, відбудеться рівно у двох випадках, коли випаде число очок 5 або 6. Значить,

N ( C ) =2 і Р(С)=.

д) З шести можливих чисел, що випали чотири (1, 2, 4 і 5) не кратні трьом, а решта два (3 і 6) діляться на три. Отже, подія, що цікавить нас, настає рівно в чотирьох з шести можливих і рівноймовірних між собою і рівноймовірних між собою результатах досвіду. Тому у відповіді виходить

. ; б); в); г); д).

Реальний гральний кубик цілком може відрізнятися від ідеального (модельного) кубика, тому для опису його поведінки потрібна точніша і детальніша модель, яка враховує переваги однієї грані перед іншою, можлива наявність магнітів тощо. Але «диявол криється в деталях», а велика точність веде, зазвичай, до більшої складності, і отримання відповіді стає проблемою. Ми ж обмежуємося розглядом найпростішої ймовірнісної моделі, де всі можливі результати є рівноймовірними.

Зауваження 1. Розглянемо ще приклад. Було поставлене запитання: "Яка ймовірність випадання трійки при одному киданні кубика?" Учень відповів так: «Вірогідність дорівнює 0, 5». І пояснив свою відповідь: «Трійка чи випаде, чи ні. Отже, всього є два результати і рівно в одному настає подія, що цікавить нас. За класичною схемою ймовірності отримуємо відповідь 0, 5 ». Чи є в цій міркуванні помилка? На перший погляд – ні. Однак вона все ж таки є, причому в принциповому моменті. Так, дійсно, трійка або випаде, чи ні, тобто при такому визначенні результату кидання N=2. Правда і те, що N(A) = 1 і вже, зрозуміло, вірно, що

=0, 5, т. е. три пункти ймовірнісної схеми враховані, тоді як виконання пункту 2) викликає сумніви. Звичайно, з суто юридичної точки зору, ми маємо право вважати, що випадання трійки рівноймовірне її невипадання. Але ось чи можемо ми так вважати, не порушуючи свої природні припущення про «однаковість» граней? Звичайно, ні! Тут ми маємо справу з правильним міркуванням усередині деякої моделі. Тільки ось сама ця модель «неправильна», яка не відповідає реальному явищу.

Примітка 2. Розмірковуючи про ймовірність, не упускайте з уваги таку важливу обставину. Якщо ми говоримо, що при киданні кубика ймовірність випадання одного очка дорівнює

, Це зовсім не означає, що, кинувши кубик 6 разів, ви отримаєте одне очко рівно один раз, кинувши кубик 12 разів, ви отримаєте одне очко рівно два рази, кинувши кубик 18 разів, ви отримаєте одне очко рівно три рази і т.д . Слово ймовірно носить імовірний характер. Ми припускаємо, що, швидше за все, може статися. Імовірно, якщо ми кинемо кубик 600 разів, одне очко випаде 100 разів або близько 100 разів.

Розберемо класичне визначення ймовірності за допомогою формул та прикладів.

Випадкові події називаються несуміснимиякщо вони не можуть відбуватися одночасно. Наприклад, коли ми підкидаємо монету, випаде щось одне – «герб» чи число» і вони не можуть з'явитися одночасно, тому що логічно, що це неможливо. Несумісними можуть бути такі події, як попадання та промах після зробленого пострілу.

Випадкові події кінцевої множини утворюють повну групупопарно несумісних подій, якщо при кожному випробуванні з'являється одна, і лише одна з цих подій – єдино можливі.

Розглянемо той самий приклад з підкиданням монети:

Перша монета Друга монета

1) "герб" "герб"

2) "герб" "число"

3) "число" "герб"

4) "число" "число"

Або скорочено - "ГГ", - "ГЧ", - "ЧГ", - "ЧЧ".

Події називаються рівноможливимиякщо умови дослідження забезпечують однакову можливість появи кожної з них.

Як ви розумієте, коли підкидаєте симетричну монету, тоді вона має однакові можливості, і є ймовірність, що випаде як «герб», так і «число». Це стосується підкидання симетричного грального кубика, оскільки є ймовірність того, що можуть з'явитися грані з будь-яким числом 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Припустимо, що тепер кубик підкидаємо зі зміщенням центру тяжіння, наприклад, у бік грані з цифрою 1, тоді найчастіше випадатиме протилежна грань, тобто грань з іншою цифрою. Таким чином, у цій моделі можливості появи кожної з цифр від 1 до 6 будуть різними.

Рівноможливі та єдино можливі випадкові події називаються випадками.

Є випадкові події, що відносяться до випадків, а є випадкові події, які не належать до випадків. Нижче на прикладах розглянемо ці події.

Ті випадки, внаслідок яких випадкова подія з'являється, називаються сприятливими випадками для цієї події.

Якщо позначити через , які впливають на подію при всіх можливих випадках, а через – можливість випадкової події , тоді можна записати відоме класичне визначення ймовірності:

Визначення

Імовірність події називають відносини числа сприятливих цієї події випадків, до загального числа всіх можливих випадків, тобто:

Властивості ймовірності

Класична ймовірність розглянута, а тепер розберемо основні та важливі властивості ймовірності.

Властивість 1.Імовірність достовірної події дорівнює одиниці.

Наприклад, якщо у відерці всі кульки білі, тоді події, навмання вибрати білу кульку, впливають випадків, .

Властивість 2.Імовірність неможливої ​​події дорівнює нулю.

Властивість 3.Імовірністю випадкової події є позитивне число:

Отже, ймовірність будь-якої події задовольняє нерівність:

Тепер розв'яжемо кілька прикладів на класичне визначення ймовірності.

Приклади класичного визначення ймовірності

Приклад 1

Завдання

У кошику 20 кульок, з них 10 білих, 7 червоних та 3 чорних. Навмання вибирається одна кулька. Вибрано білу кульку (подію), червону кульку (подію) та чорну кульку (подію). Знайти ймовірність випадкових подій.

Рішення

Відповідно до умови завдання, сприяють , а випадків з можливих, тому за формулою (1):

- Імовірність білої кульки.

Аналогічно для червоного:

І для чорного: .

Відповідь

Імовірність випадкової події, , .

Приклад 2

Завдання

У ящику лежать 25 однакових електроламп, із них 2 браковані. Знайти ймовірність того, що навмання обрана електролампа не бракує.

Рішення

За умовою завдання всі лампи однакові і вибирається лише одна. Усього можливостей вибрати. Серед усіх 25 лампа дві браковані, значить, що залишилися придатних лампа. Тому за формулою (1) ймовірність вибору придатної електролампи (подія) дорівнює:

Відповідь

Імовірність того, що навмання обрана електролампа не бракована = .

Приклад 3

Завдання

Навмання підкидаються дві монети. Знайти ймовірність таких подій:

1) - на обох монетах випало по гербу;

2) – на одній із монет випав герб, а на другій – число;

3) - на обох монетах випали числа;

4) - хоча б один раз випав герб.

Рішення

Тут маємо справу з чотирма подіями. Встановимо, які випадки сприяють кожній із них. Події сприяє один випадок, коли на обох монетах випав герб (скорочено «РР»).

Щоб розібратися з подією, уявімо, що одна срібна монета, а друга - мідна. При підкиданні монет можуть бути випадки:

1) на срібний герб, на мідній - число (позначимо - "ГЧ");

2) на срібне число, на мідній – герб ( – «ЧГ»).

Отже, події сприяють випадки та .

Події сприяє один випадок: на обох монетах випали числа - "ЧЧ".

Отже, події чи (ГГ, ГЧ, ЧГ, ЧЧ) утворюють повну групу подій, всі ці події несумісні, оскільки у результаті підкидання відбувається лише з них. Крім того, для симетричних монет всі чотири події є рівноможливими, тому їх можна вважати випадками. Усіх можливих подій – чотири.

Події сприяє лише одна подія, тому її ймовірність дорівнює:

Події сприяють два випадки, тому:

Імовірність події така ж, як і для:

Події сприяють три випадки: ГГ, ГЧ, ЧГ і тому:

Оскільки розглянуті події ГГ, ГЧ, ЧГ, ЧЧ, які є рівноможливими і створюють повну групу подій, тоді поява будь-якої з них – це достовірна подія (позначимо її літерою, якій сприяють усі 4 випадки).

Отже, підтверджується перша властивість ймовірності.

Відповідь

Ймовірність події.

Ймовірність події.

Ймовірність події.

Ймовірність події.

Приклад 4

Завдання

Підкидаються два гральні кубики з однаковою та правильною геометричною формою. Знайти ймовірність усіх можливих сум на обох гранях, що випадають.

Рішення

Щоб було зручніше розв'язувати задачу, уявіть, що один кубик білий, а другий – чорний. З кожною з шести граней білого кубика і може випасти одна з шести граней чорного кубика, тому всіх можливих пар буде .

Так як можливість появи граней на окремому кубику однакова (кубики правильної геометричної форми!), Тоді однаковою буде можливість появи кожної пари граней, причому в результаті підкидання випадає лише одна з пар. Значи події несумісні, одноможливі. Це випадки і всіх можливих випадків – 36.

Тепер розглянемо можливість суми на гранях. Очевидно, що найменша сума 1 + 1 = 2, а найбільша 6 + 6 = 12. Частина суми, що залишилася, виростає на одиницю, починаючи з другої. Позначимо подій, індекси яких дорівнюють сумі очок, що випали на гранях кубиків. Для кожної з цих подій випишемо сприятливі випадки за допомогою позначень , де – сума – окуляри на верхній грані білого кубика і окуляри на грані чорного кубика.

Значить для події:

для – один випадок (1 + 1);

для – два випадки (1 + 2; 2 + 1);

для – три випадки (1 + 3; 2 + 2; 3 + 1);

для – чотири випадки (1 + 4; 2 + 3; 3 + 2; 4 + 1);

для - п'ять випадків (1 + 5; 2 + 4; 3 + 3; 4 + 2; 5 + 1);

для – шість випадків (1 + 6; 2 + 5; 3 + 4; 4 + 3; 5 + 2; 6 + 1);

для – п'ять випадків (2 + 6; 3 + 5; 4 + 4; 5 + 3; 6 + 2);

для – чотири випадки (3 + 6; 4 + 5; 5 + 4; 6 + 3);

для – три випадки (4 + 6; 5 + 5; 6 + 4);

для – два випадки (5 + 6; 6 + 5);

для – один випадок (6+6).

Таким чином, значення ймовірності такі:

Відповідь

Приклад 5

Завдання

Трьом учасникам перед фестивалем запропонували тягнути жереб: кожен із учасників по черзі підходить до відерця та навмання вибирає одну з трьох карток з номерами 1, 2 та 3, що означає порядковий номер виступу даного учасника.

Знайти ймовірність таких подій:

1) – порядковий номер у черзі збігається з номером картки, тобто порядковим номером виступу;

2) – жоден номер у черзі не збігається з номером виступу;

3) – лише один із номерів у черзі збігається з номером виступу;

4) – хоча б один із номерів у черзі співпаде з номером виступу.

Рішення

Можливими результатами вибору карток – це перестановки з трьох елементів, кількість таких перестановок дорівнює. Кожна з перестановок є подією. Позначимо ці події через . Кожній події припишемо у дужках відповідну перестановку:

; ; ; ; ; .

Перелічені події рівноможливі та єдиноможливі, тобто це і є випадки. Позначимо так: (1ч, 2ч, 3ч) – відповідні номери у черзі.

Почнемо з події. Сприятливий лише один випадок тому:

Сприятливими для події – два випадки і тому:

Події сприяють 3 випадки: , тому:

Події, крім, сприяє ще й, тобто:

Відповідь

Імовірність події – .

Імовірність події – .

Вірогідність події – оновлено: Вересень 15, 2017 автором: Статті.Ру

Завдання на класичне визначення імовірності.
Приклади рішень

На третьому уроці ми розглянемо різні завдання щодо безпосереднього застосування класичного визначення ймовірності. Для ефективного вивчення матеріалів цієї статті рекомендую ознайомитись із базовими поняттями теорії ймовірностейі основами комбінаторики. Завдання на класичне визначення ймовірності з ймовірністю, яка прагне одиниці, буде присутня у вашій самостійній/контрольній роботі по терверу, тому налаштовуємося на серйозну роботу. Ви запитаєте, чого тут серйозного? …всього одна примітивна формула . Застерігаю від легковажності – тематичні завдання досить різноманітні, і багато з них можуть поставити в безвихідь. У цьому зв'язку окрім опрацювання основного уроку, постарайтеся вивчити додаткові завдання на тему, що знаходиться в скарбничці готових рішень з вищої математики. Прийоми рішення прийомами рішення, а «друзів» все-таки «треба знати в обличчя», бо багата фантазія обмежена і типових завдань теж вистачає. Ну а я постараюся у високій якості розібрати максимальну їх кількість.

Згадуємо класику жанру:

Імовірність настання події в деякому випробуванні дорівнює відношенню , де:

– загальна кількість усіх рівноможливих, елементарнихрезультатів даного випробування, які утворюють повну групу подій;

– кількість елементарнихрезультатів, що сприяють події.

І відразу негайний піт-стоп. Чи зрозумілі вам підкреслені терміни? Мається на увазі чітке, а чи не інтуїтивне розуміння. Якщо ні, то все-таки краще повернутися до 1-ї статті за теорії ймовірностейі лише після цього їхати далі.

Будь ласка, не пропускайте перші приклади – у них я повторю один принципово важливий момент, а також розповім, як правильно оформлювати рішення та якими способами це можна зробити:

Завдання 1

У урні знаходиться 15 білих, 5 червоних та 10 чорних куль. Навмання витягується 1 куля, знайти ймовірність того, що вона буде: а) білим, б) червоним, в) чорним.

Рішення: найважливішою передумовою для використання класичного визначення ймовірності є можливість підрахунку загальної кількості результатів.

Всього в урні: 15 + 5 + 10 = 30 куль, і, очевидно, справедливі такі факти:

- Вилучення будь-якої кулі однаково можливе (рівноможливістьрезультатів), при цьому результати елементарні і утворюють повну групу подій (тобто в результаті випробування обов'язково буде витягнуто якусь одну з 30 куль).

Таким чином, загальна кількість результатів:

Розглянемо подію: – з урни буде вилучено білу кулю. Цій події сприяють елементарнихрезультатів, тому за класичним визначенням:
- Імовірність того, то з урни буде вилучено білу кулю.

Як не дивно, навіть у такому простому завданні можна допустити серйозну неточність, на якій я вже загострював увагу в першій статті з теорії ймовірностей. Де тут підводний камінь? Тут некоректно міркувати, що «якщо половина куль білі, то ймовірність вилучення білої кулі» . У класичному визначенні ймовірності йдеться про ЕЛЕМЕНТАРНИХрезультатах, і дріб слід обов'язково прописати!

З іншими пунктами аналогічно, розглянемо такі події:

– з урни буде вилучено червону кулю;
- З урни буде витягнуто чорну кулю.

Події сприяє 5 елементарних наслідків, а події – 10 елементарних наслідків. Таким чином, відповідні ймовірності:

Типова перевірка багатьох завдань по терверу здійснюється за допомогою теореми про суму ймовірностей подій, що утворюють повну групу. У разі події утворюють повну групу, отже, сума відповідних ймовірностей повинна обов'язково дорівнювати одиниці: .

Перевіримо, чи це так: , у чому й хотілося переконатися.

Відповідь:

В принципі, відповідь можна записати і докладніше, але особисто я звик ставити туди тільки числа – тому, що коли починаєш «штампувати» завдання сотнями і тисячами, то прагнеш максимально скоротити запис рішення. До речі, про стислість: на практиці поширений «швидкісний» варіант оформлення рішення:

Усього: 15 + 5 + 10 = 30 куль в урні. За класичним визначенням:
- ймовірність того, що з урни буде вилучено білу кулю;
– ймовірність того, що з урни буде вилучено червону кулю;
- Імовірність того, то з урни буде вилучено чорну кулю.

Відповідь:

Однак якщо в умові кілька пунктів, то рішення найчастіше зручніше оформити першим способом, який забирає трохи більше часу, але все «розкладає по поличках» і дозволяє легше зорієнтуватися в задачі.

Розминаємось:

Завдання 2

До магазину надійшло 30 холодильників, п'ять із яких мають заводський дефект. Випадково вибирають один холодильник. Якою є ймовірність того, що він буде без дефекту?

Виберіть доцільний варіант оформлення та звіртеся зі зразком унизу сторінки.

У найпростіших прикладах кількість загальних і сприятливих результатів лежать лежить на поверхні, але найчастіше картоплю доводиться викопувати самостійно. Канонічна серія завдань про забудькуватого абонента:

Завдання 3

Набираючи номер телефону, абонент забув дві останні цифри, але пам'ятає, що одна – нуль, а інша – непарна. Знайти ймовірність, що він набере правильний номер.

Примітка : нуль – це парне число (ділиться на 2 без залишку)

Рішення: спочатку знайдемо загальну кількість результатів За умовою абонент пам'ятає, що одна з цифр – нуль, а інша цифра – непарна. Тут раціональніше не мудрувати з комбінаторикою і користуватися методом прямого перерахування результатів . Тобто при оформленні рішення просто записуємо всі комбінації:
01, 03, 05, 07, 09
10, 30, 50, 70, 90

І підраховуємо їх – всього: 10 наслідків.

Сприятливий результат один: правильний номер.

За класичним визначенням:
- Імовірність того, що абонент набере правильний номер

Відповідь: 0,1

Десяткові дроби теорії ймовірностей виглядають цілком доречно, але можна дотримуватися і традиційного вышматовского стилю, оперуючи лише звичайними дробами.

Просунуте завдання для самостійного вирішення:

Завдання 4

Абонент забув пін-код до своєї сім-карти, проте пам'ятає, що він містить три «п'ятірки», а одна з цифр – чи то «сімка», чи то «вісімка». Яка ймовірність успішної авторизації з першої спроби?

Тут ще можна розвинути думку про можливість того, що абонента чекає автомобіля у вигляді пук-коду, але, на жаль, міркування вже вийдуть за рамки даного уроку

Рішення та відповідь внизу.

Іноді перерахування комбінацій виявляється дуже кропітким заняттям. Зокрема, так справи в наступній, не менш популярній групі завдань, де підкидаються 2 гральні кубики. (рідше – велика кількість):

Завдання 5

Знайти ймовірність того, що при киданні двох гральних кісток у сумі випаде:

а) п'ять очок;
б) трохи більше чотирьох очок;
в) від 3 до 9 очок включно.

Рішення: знайдемо загальну кількість результатів:

Способами може випасти грань 1-го кубика іспособами може випасти грань 2 кубика; по правилу множення комбінацій, всього: можливі комбінації. Іншими словами, кожнагрань 1-го кубика може становити упорядкованупару з кожноюгранню 2-го кубика. Умовимося записувати таку пару у вигляді , де цифра, що випала на 1-му кубику, - цифра, що випала на 2-му кубику. Наприклад:

- На першому кубику випало 3 очки, на другому - 5 очок, сума очок: 3 + 5 = 8;
- На першому кубику випало 6 очок, на другому - 1 очко, сума очок: 6 + 1 = 7;
– на обох кістках випало 2 очки, сума: 2+2=4.

Очевидно, що найменшу суму дає пара, а найбільшу – дві «шістки».

а) Розглянемо подію: – при киданні двох гральних кісток випаде 5 очок. Запишемо та підрахуємо кількість наслідків, які сприяють даній події:

Разом: 4 сприятливих результатів. За класичним визначенням:
- Шукана ймовірність.

б) Розглянемо подію: – випаде трохи більше 4 очок. Тобто або 2, або 3, або 4 очки. Знову перераховуємо і підраховуємо сприятливі комбінації, зліва я записуватиму сумарну кількість очок, а після двокрапки – відповідні пари:

Разом: 6 сприятливих комбінацій. Таким чином:
- Імовірність того, що випаде не більше 4 очок.

в) Розглянемо подію: – випаде від 3 до 9 очок включно. Тут можна піти прямою дорогою, але... щось не хочеться. Так, деякі пари вже перераховані в попередніх пунктах, але роботи все одно доведеться забагато.

Як краще вчинити? У подібних випадках раціональним виявляється манівець. Розглянемо протилежна подія: – випаде 2 або 10 або 11 чи 12 очок.

В чому сенс? Протилежній події сприяє значно менша кількість пар:

Разом: 7 сприятливих результатів.

За класичним визначенням:
- Імовірність того, що випаде менше трьох або більше 9 очок.

Крім прямого перерахування та підрахунку результатів, у ході також різні комбінаторні формули. І знову епічне завдання про ліфт:

Завдання 7

До ліфту 20-поверхового будинку на першому поверсі зайшли 3 особи. І поїхали. Знайти ймовірність того, що:

а) вони вийдуть на різних поверхах
б) двоє вийдуть одному поверсі;
в) усі вийдуть на одному поверсі.

Наше захоплююче заняття добігло кінця, і наостанок ще раз рекомендую якщо не вирішувати, то хоча б розібратися в додаткові завдання на класичне визначення ймовірності. Як я вже зазначав, «набивання руки» теж має значення!

Далі за курсом – Геометричне визначення ймовірностіі Теореми складання та множення ймовірностейі ... везіння в головному!

Рішення та відповіді:

Завдання 2: Рішення: 30 – 5 = 25 холодильників немає дефекту.

- Імовірність того, що навмання обраний холодильник не має дефекту.
Відповідь :

Завдання 4: Рішення: знайдемо загальну кількість результатів:
способами можна вибрати місце, на якому розташована сумнівна цифра і на кожномуз цих 4 місць можуть розташовуватися 2 цифри (сімка або вісімка). За правилом множення комбінацій, загальна кількість результатів: .
Як варіант, у рішенні можна просто перерахувати всі результати (благо їх небагато):
7555, 8555, 5755, 5855, 5575, 5585, 5557, 5558
Сприятливий результат один (правильний пін-код).
Таким чином, за класичним визначенням:
- Імовірність того, що абонент авторизується з 1-ї спроби
Відповідь :

Завдання 6: Рішення: знайдемо загальну кількість результатів:
способами можуть випасти цифри на 2 кубиках.

а) Розглянемо подію: – при кидку двох гральних кісток добуток очок дорівнюватиме семи. Для цієї події немає сприятливих результатів, за класичним визначенням ймовірності:
, тобто. ця подія є неможливою.

б) Розглянемо подію: – при кидку двох гральних кісток твір очок виявиться щонайменше 20. Цій події сприяють такі результаты:

Разом: 8
За класичним визначенням:
- Шукана ймовірність.

в) Розглянемо протилежні події:
– добуток очок буде парним;
– добуток очок буде непарним.
Перерахуємо всі результати, що сприяють події:

Разом: 9 сприятливих результатів.
За класичним визначенням ймовірності:
Протилежні події утворюють повну групу, тому:
- Шукана ймовірність.

Відповідь :

Завдання 8: Рішення: обчислимо загальну кількість результатів: способами можуть впасти десять монет.
Інший шлях: способами може впасти 1-а монета іспособами може впасти 2-а монета і … іспособами може впасти 10-та монета. За правилом множення комбінацій, 10 монет можуть впасти методами.
а) Розглянемо подію: – всіх монетах випаде орел. Цій події сприяє єдиний результат, за класичним визначенням ймовірності: .
б) Розглянемо подію: – на 9 монетах випаде орел, але в одній – решка.
Існує монети, на яких може випасти решка. За класичним визначенням ймовірності: .
в) Розглянемо подію: – орел випаде на половині монет.
Існує унікальних комбінацій із п'яти монет, на яких може випасти орел. За класичним визначенням ймовірності:
Відповідь :