Т іп уроку:ОНЗ (відкриття нових знань – за технологією діяльнісного методу навчання).
Головні цілі:
- Вивести прийоми розподілу дробу на натуральне число;
- Сформувати здатність до виконання поділу дробу на натуральне число;
- Повторити та закріпити поділ дробів;
- Тренувати здатність до скорочення дробів, аналізу та вирішення завдань.
Устаткування демонстраційний матеріал:
1. Завдання для актуалізації знань:
Порівняйте вирази:
Еталон:
2. Пробне (індивідуальне) завдання.
1. Виконайте поділ:
2. Виконайте поділ, не виконуючи весь ланцюжок обчислень: .
Еталони:
- При розподілі дробу на натуральне число можна помножити це число знаменник, а чисельник залишити колишнім.
- Якщо чисельник ділиться на натуральне число, то при розподілі дробу це число можна чисельник розділити на число, а знаменник залишити колишнім.
Хід уроку
I. Мотивація (самовизначення) до навчальної діяльності.
Мета етапу:
- Організувати актуалізацію вимог до учня з боку навчальної діяльності («треба»);
- Організувати діяльність учнів із встановлення тематичних рамок («могу»);
- Створити умови для виникнення у учня внутрішньої потреби включення до навчальної діяльності («хочу»).
Організація процесу на етапі I.
Вітаю! Я рада вас бачити на уроці математики. Сподіваюся, це взаємно.
Хлопці, які нові знання ви набули на минулому уроці? (Ділити дроби).
Правильно. Що вам допомагає виконувати поділ дробів? (Правило, властивості).
Де ці знання нам потрібні? (У прикладах, рівняннях, задачах).
Молодці! Ви добре впоралися із завданнями на минулому уроці. Бажаєте і сьогодні відкрити самі нові знання? (Так).
Тоді – у дорогу! А девізом уроку візьмемо вислів «Математику не можна вивчати, спостерігаючи, як це робить сусід!».
ІІ. Актуалізація знань та фіксація індивідуальної скрути в пробній дії.
Мета етапу:
- Організувати актуалізацію вивчених способів дій, достатніх побудови нового знання. Зафіксувати ці способи вербально (у мовленні) та знаково (еталон) та узагальнити їх;
- Організувати актуалізацію розумових операцій та пізнавальних процесів, достатніх для побудови нового знання;
- Мотивувати до пробної дії та її самостійного виконання та обґрунтування;
- Пред'явити індивідуальне завдання для пробної дії та проаналізувати його з метою виявлення нового навчального змісту;
- Організувати фіксацію освітньої мети та теми уроку;
- Організувати виконання пробної дії та фіксацію скрути;
- Організувати аналіз отриманих відповідей та зафіксувати індивідуальні труднощі у виконанні пробної дії або її обґрунтування.
Організація навчального процесу на етапі ІІ.
Фронтально з використанням планшетів (індивідуальних дощок).
1. Порівняйте вирази:
(Ці вирази рівні)
Що цікавого ви помітили? (Чисник і знаменник ділимого, чисельник і знаменник дільника в кожному виразі збільшилися в одне і те ж число разів.
Знайдіть значення виразу та запишіть на планшеті. (2)
Як записати це число у вигляді дробу?
Як ви здійснили дію поділу? (Діти промовляють правило, вчитель вивішує на дошку літерні позначення)
2. Обчисліть та запишіть тільки результати:
3. Складіть отримані результати та запишіть відповідь. (2)
Як називається число, одержане у завданні 3? (Натуральне)
Як ви вважаєте, чи зможете дріб розділити на натуральне число? (Так, постараємось)
Спробуйте це зробити.
4. Індивідуальне (пробне) завдання.
Виконайте поділ: (тільки приклад а)
За яким правилом ви виконали поділ? (За правилом розподілу дробу на дріб)
А тепер розділіть дріб на натуральне число більш простим способом, не виконуючи весь ланцюжок обчислень: (Приклад б). Даю вам це 3 секунди.
У кого не вдалося виконати завдання за 3 секунди?
У кого вийшло? (Немає таких)
Чому? (Не знаємо способу)
Що одержали? (Труднощі)
А як ви думаєте, чим ми займатимемося на уроці? (Ділити дроби на натуральні числа)
Правильно, відкрийте зошити та запишіть тему уроку «Поділ дробу на натуральне число».
Чому ця тема звучить як нова, адже ви вмієте ділити дроби? (Потрібен новий спосіб)
Правильно. Сьогодні встановимо прийом, що спрощує розподіл дробу на натуральне число.
ІІІ. Виявлення місця та причини утруднення.
Мета етапу:
- Організувати відновлення виконаних операцій та зафіксувати (вербальну та знакову) місце – кроку, операції, де виникла скрута;
- Організувати співвідношення дій учнів із використовуваним способом (алгоритмом) і фіксування у зовнішній промови причини утруднення – тих конкретних знань, умінь чи здібностей, яких бракує вирішення вихідного завдання такого типу.
Організація навчального процесу на етапі ІІІ.
Яке завдання ви мали виконати? (Розділити дріб на натуральне число, не проробляючи весь ланцюжок обчислень)
Що викликало у вас скруту? (Не змогли вирішити за короткий час швидким способом)
Яку мету ми ставимо собі на уроці? (Знайти швидкий спосіб поділу дробу на натуральне число)
Що допоможе вам? (Вже відоме правило поділу дробів)
IV. Побудова проекту виходу із скрути.
Мета етапу:
- уточнення мети проекту;
- Вибір методу (уточнення);
- Визначення коштів (алгоритм);
- Побудова плану досягнення мети.
Організація навчального процесу на етапі ІV.
Повернемося до пробного завдання. Ви сказали, що ділили за правилом розподілу дробів? (Так)
Для цього замінили натуральну кількість дробом? (Так)
Який крок (чи кроки), на вашу думку, можна пропустити?
(На дошці відкрито ланцюжок рішення: 
Проаналізуйте та зробіть висновок. (Крок 1)
Якщо немає відповіді, то підводимо через запитання:
Куди потрапив натуральний дільник? (У знаменник)
Чисельник змінився у своїй? (Ні)
То який крок можна «опустити»? (Крок 1)
План дій:
- Помножити знаменник дробу на натуральне число.
- Чисельник не змінюємо.
- Отримуємо новий дріб.
V. Реалізація побудованого проекту.
Мета етапу:
- Організувати комунікативну взаємодію з метою реалізації побудованого проекту, спрямованого на придбання знань;
- Організувати фіксацію побудованого способу дії у мові та знаків (за допомогою еталона);
- Організувати вирішення вихідного завдання та зафіксувати подолання утруднення;
- Організувати уточнення загального характеру знання.
Організація процесу на етапі V.
А тепер виконайте пробний приклад у новий спосіб швидко.
Тепер ви змогли виконати завдання швидко? (Так)
Поясніть, як це ви зробили? (Діти промовляють)
Отже, ми здобули нове знання: правило поділу дробу на натуральне число.
Молодці! Проговоріть його в парах.
Потім один учень промовляє до класу. Фіксуємо правило-алгоритм словесно та у вигляді еталона на дошці.
Введіть тепер літерні позначення та запишіть формулу для нашого правила.
Учень записує на дошці, промовляючи правило: при розподілі дробу на натуральне число можна помножити це число знаменник, а чисельник залишити колишнім.
(Всі пишуть формулу у зошитах).
А тепер ще раз проаналізуйте ланцюжок вирішення пробного завдання, звернувши особливу увагу на відповідь. Що зробили? (Чисник дробу 15 розділили (скоротили) на число 3)
Що за число? (Натуральне, дільник)
То як ще можна розділити дріб на натуральне число? (Перевірити: якщо чисельник дробу ділиться на це натуральне число, то можна чисельник розділити на це число, результат записати в чисельник нового дробу, а знаменник залишити тим самим)
Запишіть цей спосіб як формули. (Учень записує на дошці промовляючи правило. Усі записують формулу у зошитах.)
Повернемося до першого способу. Чи можна ним користуватися у разі, якщо a:n? (Так, це загальний спосіб)
А коли другий спосіб зручно застосовувати? (Коли чисельник дробу ділиться на натуральне число без залишку)
VI. Первинне закріплення з промовлянням у зовнішній промові.
Мета етапу:
- Організувати засвоєння дітьми нового способу дій під час вирішення типових завдань зі своїми проговорюванням у зовнішній промови (фронтально, у парах чи групах).
Організація процесу на етапі VI.
Обчисли новим способом:
- №363 (а; г) - виконують біля дошки, промовляючи правило.
- №363 (д; е) – у парах із перевіркою за зразком.
VII. Самостійна робота із самоперевіркою за зразком.
Мета етапу:
- Організувати самостійне виконання учнями завдання новий спосіб дії;
- Організувати самоперевірку з урахуванням зіставлення з стандартом;
- За наслідками виконання самостійної роботи організувати рефлексію засвоєння нового способу дії.
Організація процесу на етапі VII.
Обчисли новим способом:
- №363 (б; в)
Учні перевіряють за зразком, відзначають правильність виконання. Аналізуються причини помилок та помилки виправляються.
Вчитель запитує тих учнів, хто припустився помилки, у чому причина?
На цьому етапі важливо, щоб кожен учень самостійно перевірив свою роботу.
VIII. Включення в систему знань та повторення.
Мета етапу:
- Організувати виявлення меж застосування нового знання;
- Організувати повторення навчального змісту, який буде необхідний забезпечення змістовної безперервності.
Організація навчального процесу на етапі VІІІ.
Організація навчального процесу на етапі ІХ.
1. Діалог:
Хлопці, яке нове знання сьогодні ви відкрили? (Навчилися ділити дріб на натуральне число простим способом)
Сформулюйте загальний метод. (Кажуть)
Яким способом і в яких випадках можна користуватися ще? (Кажуть)
У чому перевага нового способу?
Чи ми досягли поставленої нами мети уроку? (Так)
Які знання ви використовували задля досягнення мети? (Кажуть)
Чи все у вас вийшло?
У чому були труднощі?
2. Домашнє завдання:п.3.2.4.; №365(л, н, про, п); №370.
3. Вчитель:я рада, що сьогодні всі були активні, зуміли знайти вихід із скрути. А найголовніше, не були сусідами під час відкриття нового та його закріплення. Дякую вам за урок, діти!
Звичайні дробові числа вперше зустрічають школярів у 5 класі і супроводжують їх протягом усього життя, тому що в побуті часто потрібно розглядати або використовувати якийсь об'єкт не повністю, а окремими шматками. Початок вивчення цієї теми – частки. Частки - це рівні частини, куди розділений той чи інший предмет. Адже не завжди виходить висловити, припустимо, довжину чи ціну товару цілим числом, слід взяти до уваги частини чи частки будь-якого заходу. Утворене від дієслова «дробити» - розділяти на частини, і маючи арабське коріння, у VIII столітті виникло саме слово «дроб» у російській мові.
Дробові вислови тривалий час вважали найскладнішим розділом математики. У XVII столітті, у разі першопідручників з математики, їх називали «ламані числа», що дуже складно відображалося у розумінні людей.
Сучасному виду простих дробових залишків, частини яких розділені саме горизонтальною межею, вперше посприяв Фібоначчі – Леонардо Пізанський. Його праці датовані 1202 року. Але мета цієї статті – просто і зрозуміло пояснити читачеві, як відбувається множення змішаних дробів із різними знаменниками.
Розмноження дробів з різними знаменниками
Спочатку варто визначити різновиди дробів:
- правильні;
- неправильні;
- змішані.
Далі слід згадати, як відбувається множення дробових чисел із однаковими знаменниками. Саме правило цього процесу нескладно сформулювати самостійно: результатом множення простих дробів з однаковими знаменниками є дробовий вираз, чисельник якого є добутком чисельників, а знаменник - добуток знаменників даних дробів. Тобто, по суті, новий знаменник є квадратом одного з існуючих спочатку.
При множенні простих дробів із різними знаменникамидля двох і більше множників правило не змінюється:
a/b * c/d = a*c / b*d.
Єдина відмінність у цьому, що освічене число під дробовою рисою буде добутком різних чисел і, природно, квадратом одного числового виразу його назвати неможливо.
Варто розглянути множення дробів із різними знаменниками на прикладах:
- 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
- 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .
У прикладах застосовуються способи скорочення дробових виразів. Можна скорочувати лише числа чисельника з числами знаменника, поруч множники, що стоять, над дробовою рисою або під нею скорочувати не можна.
Поряд із простими дробовими числами, існує поняття змішаних дробів. Змішане число складається з цілого числа та дробової частини, тобто є сумою цих чисел:
1 4/ 11 =1 + 4/ 11.
Як відбувається перемноження
Пропонується кілька прикладів до розгляду.
2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.
У прикладі використовується множення числа на звичайну дробову частину, Записати правило для цієї дії можна формулою:
a * b/c = a*b /c.
По суті, такий добуток є сума однакових дробових залишків, а кількість доданків вказує це натуральне число. Окремий випадок:
4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.
Існує ще один варіант вирішення множення числа на дрібний залишок. Варто просто розділити знаменник на це число:
d * e/f = e/f: d.
Цим прийомом корисно користуватися, коли знаменник ділиться на натуральне число без залишку або, як кажуть, націло.
Перевести змішані числа в неправильні дроби та отримати добуток раніше описаним способом:
1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.
У цьому прикладі бере участь спосіб подання змішаного дробу в неправильний, його також можна подати у вигляді загальної формули:
a bc = a * b + c/c, де знаменник нового дробу утворюється при множенні цілої частини зі знаменником і при складанні його з чисельником вихідного дробового залишку, а знаменник залишається тим самим.
Цей процес працює і у зворотний бік. Для виділення цілої частини та дробового залишку потрібно поділити чисельник неправильного дробу на його знаменник «куточком».
Розмноження неправильних дробіввиробляють загальноприйнятим способом. Коли запис йде під єдиною дробовою рисою, при необхідності потрібно зробити скорочення дробів, щоб зменшити таким методом числа і простіше порахувати результат.
В інтернеті існує безліч помічників, щоб вирішувати навіть складні математичні завдання у різних варіаціях програм. Достатня кількість таких сервісів пропонують свою допомогу за рахунок множення дробів з різними числами в знаменниках – так звані онлайн-калькулятори для розрахунку дробів. Вони здатні не лише помножити, а й зробити всі інші найпростіші арифметичні операції зі звичайними дробами та змішаними числами. Працювати з ним нескладно, на сторінці сайту заповнюються відповідні поля, вибирається знак математичної дії та натискається "обчислити". Програма рахує автоматично.
Тема арифметичних процесів з дробовими числами актуальна протягом навчання школярів середньої та старшої ланки. У старших класах розглядають не прості види, а цілі дробові вирази, але знання правил щодо перетворення та розрахунків, отримані раніше, застосовуються у первозданному вигляді. Добре засвоєні базові знання дають повну впевненість у вдалому вирішенні найскладніших завдань.
На закінчення має сенс навести слова Льва Миколайовича Толстого, який писав: «Людина є дріб. Збільшити свого чисельника - свої переваги, - не у владі людини, але кожен може зменшити свого знаменника - свою думку про себе, і цим зменшенням наблизитися до своєї досконалості».
Рано чи пізно, всі діти в школі починають вивчати дроби: їх додавання, розподіл, множення і всі можливі дії, які тільки можна виконувати з дробами. Щоб надати належну допомогу дитині, батькам самим не варто забувати, як відбувається поділ цілих чисел на дроби, інакше ви не зможете йому нічим допомогти, а лише заплутаєте. Якщо вам знадобилося згадати цю дію, але ви ніяк не можете звести всю інформацію в голові в єдине правило, то ця стаття вам допоможе: ви навчитеся ділити число на дріб і побачите наочні приклади.
Як розділити число на дріб
Запишіть свій приклад на чернетку, щоб у вас була можливість робити нотатки та помарок. Пам'ятайте, що ціле число записується між клітинами, прямо на їхньому перетині, а дробові числа – кожна у своїй клітині.
- У даному способі вам потрібно перевернути дріб догори ногами, тобто знаменник записати в чисельник, а чисельник – у знаменник.
- Знак розподілу необхідно змінити на множення.
- Тепер вам залишилося виконати множення за вже вивченими правилами: чисельник множиться на ціле число, а знаменник не чіпаєте.
Звичайно, в результаті такої дії у вас вийде дуже велике число у чисельнику. У такому стані залишати дріб не можна – вчитель просто не прийме цієї відповіді. Скоротіть дріб, розділивши чисельник на знаменник. Ціле число, яке вийде в результаті, запишіть ліворуч від дробу посередині клітин, а залишок буде новим чисельником. Знаменник залишається незмінним.
Цей алгоритм є досить простим, навіть для дитини. Виконавши його п'ять-шість разів, малюк запам'ятає порядок дії та зможе застосовувати його до будь-яких дробів.
Як розділити число на десятковий дріб
Бувають дроби іншого виду – десяткові. Розподіл ними відбувається за зовсім іншим алгоритмом. Якщо ви зіткнулися з таким прикладом, дотримуйтесь інструкції:
- Для початку, перетворите обидва числа на десяткові дроби. Зробити це просто: дільник у вас і так представлений у вигляді дробу, а ділене натуральне число ви відокремлюєте комою, отримуючи десятковий дріб. Тобто якщо ділене було числом 5, ви отримуєте дріб 5,0. Відокремлювати число потрібно на стільки цифр, скільки коштує після коми та дільника.
- Після цього обидві десяткові дроби ви повинні зробити натуральними числами. Спершу, вам здасться це трохи заплутаним, але це найшвидший спосіб поділу, який займатиме у вас секунди після кількох тренувань. Дроб 5,0 стане числом 50, дріб 6,23 буде 623.
- Виконайте поділ. Якщо числа вийшли великі, або поділ відбуватиметься із залишком, виконайте його в стовпчик. Так ви наочно побачите всі дії цього прикладу. Вам не потрібно спеціально ставити кому, оскільки вона сама з'явиться в процесі розподілу в стовпчик.
Даний вид поділу спочатку здається занадто заплутаним, так як вам потрібно перетворити поділення і дільник на дріб, а потім знову в натуральні числа. Але після недовгого тренування, ви відразу станете бачити ті числа, які потрібно просто поділити один на одного.
Пам'ятайте, що вміння правильно ділити дроби і цілі числа на них можуть жодного разу стати в нагоді в житті, тому знати ці правила і прості принципи дитині потрібно ідеально, щоб у старших класах вони не стали каменем спотикання, через яке дитина не може вирішувати складніші завдання.
Множення та розподіл дробів.
Увага!
До цієї теми є додаткові
матеріали у розділі 555.
Для тих, хто сильно "не дуже..."
І для тих, хто "дуже навіть...")
Ця операція набагато приємніша за складання-віднімання! Бо простіше. Нагадую: щоб помножити дріб на дріб, потрібно перемножити чисельники (це буде чисельник результату) та знаменники (це буде знаменник). Тобто:
Наприклад:
Все дуже просто. І, будь ласка, не шукайте спільного знаменника! Не треба його тут…
Щоб розділити дріб на дріб, потрібно перевернути другу(це важливо!) дріб та їх перемножити, тобто:
Наприклад:
Якщо трапилося множення чи поділ із цілими числами та дробами – нічого страшного. Як і при додаванні, робимо з цілого числа дріб з одиницею в знаменнику – і вперед! Наприклад:
У старших класах часто доводиться мати справу із триповерховими (а то й чотириповерховими!) дробами. Наприклад:
Як цей дріб привести до пристойного вигляду? Так, дуже просто! Використовувати поділ через дві точки:
Але не забувайте про порядок розподілу! На відміну від множення, це дуже важливо! Звичайно, 4:2, або 2:4, ми не сплутаємо. А ось у триповерховому дробі легко помилитись. Зверніть увагу, наприклад:
У першому випадку (вираз зліва):
У другому (вираз праворуч):
Відчуваєте різницю? 4 та 1/9!
А чим визначається порядок розподілу? Або дужками, або (як тут) довжиною горизонтальних рис. Розвивайте окомір. А якщо немає ні дужок, ні рисок, типу:
то ділимо-множимо по порядку, зліва направо!
І ще дуже простий та важливий прийом. У діях зі ступенями він вам ох як знадобиться! Поділимо одиницю на будь-який дріб, наприклад, на 13/15:
Дріб перекинувся! І так завжди буває. При розподілі 1 на будь-який дріб, в результаті отримуємо той же дріб, тільки перевернутий.
Ось і всі події з дробами. Річ досить проста, але помилок дає більш ніж достатньо. Візьміть до уваги практичні поради, і їх (помилок) буде менше!
Практичні поради:
1. Найголовніше при роботі з дробовими виразами – акуратність та уважність! Це не загальні слова, не добрі побажання! Це сувора потреба! Усі обчислення на ЄДІ робіть як повноцінне завдання, зосереджено та чітко. Краще написати два зайві рядки в чернетці, ніж накосячіть при розрахунку в умі.
2. У прикладах з різними видами дробів – переходимо до звичайних дробів.
3. Усі дроби скорочуємо до упору.
4. Багатоповерхові дробові вирази зводимо до звичайних, використовуючи розподіл через дві точки (стежимо за порядком розподілу!).
5. Одиницю на дріб ділимо в умі, просто перевертаючи дріб.
Ось вам завдання, які потрібно обов'язково вирішувати. Відповіді наведено після всіх завдань. Використовуйте матеріали цієї теми та практичні поради. Накиньте, скільки прикладів ви змогли вирішити правильно. З першого разу! Без калькулятора! І зробіть правильні висновки...
Пам'ятайте – правильна відповідь, отриманий з другого (тим більше – третього) разу – не рахується!Таке суворе життя.
Отже, вирішуємо в режимі іспиту ! Це вже підготовка до ЄДІ, між іншим. Вирішуємо приклад, перевіряємо, вирішуємо наступний. Вирішили все – перевірили знову з першого до останнього. І тільки потімдивимося відповіді.
Обчислити:
Вирішили?
Шукаємо відповіді, які збігаються із вашими. Я спеціально їх безладно записав, подалі від спокуси, так би мовити... Ось вони, відповіді, через крапку з комою записані.
0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.
А тепер робимо висновки. Якщо все вийшло – радий за вас! Елементарні обчислення з дробами – не ваша проблема! Можна зайнятися серйознішими речами. Якщо ні...
Значить у вас одна з двох проблем. Або обидві відразу.) Нестача знань та (або) неуважність. Але це розв'язувані проблеми.
Якщо Вам подобається цей сайт...
До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)
Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)
можна познайомитися з функціями та похідними.
Минулого разу ми навчилися складати та віднімати дроби (див. урок «Складання та віднімання дробів»). Найбільш складним моментом у тих діях було приведення дробів до спільного знаменника.
Тепер настав час розібратися з множенням та поділом. Хороша новина полягає в тому, що ці операції виконуються навіть простіше, ніж додавання та віднімання. Спочатку розглянемо найпростіший випадок, коли є два позитивні дроби без виділеної цілої частини.
Щоб помножити два дроби, треба окремо помножити їх чисельники та знаменники. Перше число буде чисельником нового дробу, а друге – знаменником.
Щоб розділити два дроби, треба перший дріб помножити на «перевернутий» другий.
Позначення:
З визначення випливає, що розподіл дробів зводиться до множення. Щоб «перевернути» дріб, достатньо поміняти місцями чисельник та знаменник. Тому весь урок ми розглядатимемо переважно множення.
В результаті множення може виникнути (і найчастіше дійсно виникає) скоротитий дріб - його, зрозуміло, треба скоротити. Якщо після всіх скорочень дріб виявився неправильним, у ньому слід виділити цілу частину. Але чого точно не буде при множенні, так це приведення до спільного знаменника: жодних методів «хрест-навхрест», найбільших множників та найменших спільних кратних.
За визначенням маємо:
Розмноження дробів з цілою частиною та негативних дробів
Якщо в дробах є ціла частина, їх треба перевести в неправильні - і тільки потім множити за схемами, викладеними вище.
Якщо в чисельнику дробу, у знаменнику або перед ним стоїть мінус, його можна винести за межі множення або взагалі прибрати за такими правилами:
- Плюс мінус дає мінус;
- Мінус на мінус дає плюс.
Досі ці правила зустрічалися тільки при складанні та відніманні негативних дробів, коли потрібно позбавитися цілої частини. Для твору їх можна узагальнити, щоб спалювати відразу кілька мінусів:
- Викреслюємо мінуси парами доти, доки вони повністю не зникнуть. У крайньому випадку, один мінус може вижити – той, якому не знайшлося пари;
- Якщо мінусів не залишилося, операція виконана – можна приступати до множення. Якщо ж останній мінус не закреслено, оскільки йому не знайшлося пари, виносимо його за межі множення. Вийде негативний дріб.
Завдання. Знайдіть значення виразу:
Усі дроби переводимо в неправильні, а потім виносимо мінуси за межі множення. Те, що залишилося, множимо за звичайними правилами. Отримуємо:
Ще раз нагадаю, що мінус, який стоїть перед дробом із виділеною цілою частиною, відноситься саме до всього дробу, а не лише до його цілої частини (це стосується двох останніх прикладів).
Також зверніть увагу на негативні числа: при множенні вони полягають у дужках. Це зроблено для того, щоб відокремити мінуси від знаків множення і зробити весь запис більш обережним.
Скорочення дробів «на льоту»
Множення - дуже трудомістка операція. Числа тут виходять досить великі, і щоб спростити завдання можна спробувати скоротити дріб ще до множення. Адже по суті чисельники і знаменники дробів - це звичайні множники, і, отже, їх можна скорочувати, використовуючи основну властивість дробу. Погляньте на приклади:
Завдання. Знайдіть значення виразу:
За визначенням маємо:
У всіх прикладах червоним кольором відзначені числа, які зазнали скорочення, і те, що від них залишилося.
Зверніть увагу: у першому випадку множники скоротилися повністю. На їхньому місці залишилися одиниці, які, власне кажучи, можна не писати. У другому прикладі повного скорочення досягти не вдалося, але сумарний обсяг обчислень все одно зменшився.
Однак ні в якому разі не використовуйте цей прийом при складанні та відніманні дробів! Так, іноді там трапляються схожі числа, які так і хочеться скоротити. Ось, подивіться:
Так робити не можна!
Помилка виникає через те, що при додаванні в чисельнику дробу з'являється сума, а не добуток чисел. Отже, застосовувати основну властивість дробу не можна, оскільки в цій властивості йдеться саме про множення чисел.
Інших підстав для скорочення дробів просто не існує, тому правильне вирішення попереднього завдання виглядає так:
Правильне рішення:
Як бачите, правильна відповідь виявилася не такою гарною. Загалом будьте уважні.