Нещодавно ми досить докладно обговорювали властивості світлових хвиль та його інтерференцію, т. е. ефект суперпозиції двох хвиль від джерел. Але у своїй передбачалося, що частоти джерел однакові. У цьому розділі ми зупинимося деяких явищах, що виникають при інтерференції двох джерел із різними частотами.
Неважко здогадатися, що при цьому станеться. Діючи так само, як раніше, припустимо, що є два однакові осцилюючі джерела з однією і тією ж частотою, причому фази їх підібрані так, що в деяку точку сигнали приходять з однаковою фазою. Якщо це світло, то в цій точці воно дуже яскраве, якщо це звук, то воно дуже гучне, а якщо це електрони, то їх дуже багато. З іншого боку, якщо хвилі, що приходять, відрізняються по фазі на 180°, то в точці не буде жодних сигналів, бо повна амплітуда буде мати тут мінімум. Припустимо тепер, що хтось крутить ручку «регулювання фази» одного з джерел і змінює різницю фаз у точці то туди, то сюди, скажімо спочатку він робить її нульовою, потім - рівною 180 ° і т. д. При цьому, зрозуміло, змінюватиметься і сила сигналу. Зрозуміло тепер, що й фаза однієї з джерел повільно, постійно і рівномірно змінюється проти іншим, починаючи з нуля, та був зростає поступово до 10, 20, 30, 40° тощо. буд., то точці ми побачимо ряд слабких і сильних «пульсацій», бо коли різниця фаз проходить через 360 °, в амплітуді знову виникає максимум. Але твердження, що одне джерело з постійною швидкістю змінює свою фазу по відношенню до іншого, рівносильне твердженню, що кількість коливань в 1 с у цих двох джерел дещо по-різному.
Отже, тепер відома відповідь: якщо взяти два джерела, частоти яких трохи різні, то в результаті додавання виходять коливання з повільно пульсуючою інтенсивністю. Інакше кажучи, все сказане тут справді стосується справи!
Цей результат легко отримати і математично. Припустимо, наприклад, що у нас є дві хвилі і забудемо на хвилину про всі просторові співвідношення, а просто подивимося, що приходить в точку. Нехай від одного джерела приходить хвиля, а від іншого – хвиля, причому обидві частоти і не рівні точно один одному. Зрозуміло, амплітуди їх теж можуть бути різними, але спочатку припустимо, що амплітуди рівні. Спільне завдання ми розглянемо пізніше. Повна амплітуда в точці буде сумою двох косінусів. Якщо ми побудуємо графік залежності амплітуди від часу, як показано на фіг. 48.1, то виявиться, що коли гребені двох хвиль збігаються, виходить велике відхилення, коли збігаються гребінь і западина - практично нуль, а коли гребені знову збігаються, знову виходить велика хвиля.
Фіг. 48.1. Суперпозиція двох косинусоподібних хвиль із ставленням частот 8:10. Точне повторення коливань усередині кожного биття для загального випадку не є типовим.
Математично нам потрібно взяти суму двох косінусів і якось її перебудувати. Для цього будуть потрібні деякі корисні співвідношення між косинусами. Давайте отримаємо їх. Ви знаєте, звичайно, що
і що речовинна частина експоненти дорівнює, а уявна частина дорівнює. Якщо ми візьмемо речову частину 
, то отримаємо , а для твору
ми отримуємо плюс деяка уявна добавка. Нині, однак, нам потрібна лише речова частина. Таким чином,
Якщо тепер змінити знак величини , то оскільки косинус при цьому не змінює знак, а синус змінює знак на зворотний, ми отримуємо аналогічний вираз для косинуса різниці
Після складання цих двох рівнянь добуток синусів скоротиться, і ми знаходимо, що добуток двох косінусів дорівнює половині косинуса суми плюс половина косинуса різниці
Тепер можна обернути цей вислів і отримати формулу для , якщо просто покласти , а , тобто , а :
Але повернемось до нашої проблеми. Сума і дорівнює
Нехай тепер частоти приблизно однакові, так що дорівнює якійсь середній частоті, яка більш-менш та сама, що й кожна з них. Але різницю набагато менше, ніж і , оскільки ми припустили, що приблизно рівні один одному. Це означає, що результат додавання можна витлумачити так, ніби є косинусоподібна хвиля з частотою, більш менш рівною початковим, але що «розмах» її повільно змінюється: він пульсує з частотою, що дорівнює . Але чи це частота, з якою ми чуємо биття? Рівняння (48.0) каже, що амплітуда поводиться як 
, і це треба розуміти так, що високочастотні коливання укладені між двома косінусоїдами з протилежними знаками (пунктирна лінія на фіг. 48.1). Хоча амплітуда дійсно змінюється з частотою, проте якщо йдеться про інтенсивність хвиль, то ми повинні уявляти собі частоту вдвічі більшу. Інакше висловлюючись, модуляція амплітуди у сенсі її інтенсивності відбувається із частотою , хоча ми й множимо на косинус половинної частоти.
Хвильова природа світла найбільш яскраво проявляється у явищах інтерференції та дифракції світла, в основі яких лежить складання хвиль . Явище інтерференції та дифракції мають, крім їхнього теоретичного значення, широке застосування їх на практиці.
Цей термін у 1801 році запропонував англійський вчений Юнг. У буквальному перекладі означає втручання, зіткнення, зустріч.
Для спостереження інтерференції необхідні умови виникнення, їх два:
інтерференція виникає лише тоді, коли хвилі, що накладають, мають однакову довжину λ (частоту ν);
незмінність (постійність) різниці фаз коливань.
Приклади складання хвиль:
Джерела, що забезпечують явище інтерференції, називаються когерентними , а хвилі – когерентними хвилями .
Для з'ясування питання, що буде в даній точці maxабо min, потрібно знати у яких фазах хвилі зустрінуться, а знання фаз необхідно знати різниця ходу хвиль. Що це таке?
при (r 2 –r 1) =Δr, що дорівнює цілому числу довжин хвиль або парному числу напівхвиль, у точці М буде посилення коливань;
при d, що дорівнює непарному числу напівхвиль у точці М буде ослаблення коливань.
Складання світлових хвиль відбувається аналогічно.
Додавання електромагнітних хвиль однієї частоти коливань, що йдуть від різних джерел світла, називається інтерференцією світла .
Для електромагнітних хвиль при їх накладення застосуємо принцип суперпозиції, фактично вперше сформульований італійським ученим епохи Відродження Леонардо да Вінчі:
Підкресліть, що принцип суперпозиції справедливий лише для хвиль нескінченно малої амплітуди.
Монохроматична світлова хвиля описується рівнянням гармонійних коливань:
,
де y – величини напруженостей 
і 
вектори яких коливаються у взаємоперпендикулярних площинах.
Якщо є дві хвилі однакової частоти:
і 
;
що приходять в одну точку, то результуюче поле дорівнює їх сумі (загалом – геометричній):
Якщо ω 1 = ω 2 і (φ 01 – φ 02) = const, хвилі називаються когерентними .
Величина А залежно від різниці фаз лежить у межах:
|А 1 – А 2 | ≤ А ≤ (А 1 + А 2)
(0 ≤ А ≤ 2А, якщо А 1 =А 2)
Якщо А 1 = А 2 (φ 01 - φ 02) = π або (2k + 1) π, cos (φ 01 - φ 02) = -1, то А = 0, тобто. хвилі, що інтерферують, повністю гасять один одного (minосвіченості, якщо врахувати, що Е 2 J, де J– інтенсивність).
Якщо А 1 = А 2 (φ 01 - φ 02) = 0 або 2kπ, то А 2 = 4А 2, тобто. інтерферуючі хвилі підсилюють один одного (має місце maxосвіченості).
Якщо (φ 01 – φ 02) – змінюється хаотично згодом, з дуже великою частотою, то А 1 = 2А 1 , тобто. дорівнює просто сумі алгебри обох амплітуд хвиль, випромінюваних кожним джерелом. У цьому випадку положення maxі minшвидко змінюють своє становище у просторі, і ми бачитимемо деяку середню освітленість з інтенсивністю 2А 1 . Ці джерела – некогерентні .
Будь-які два незалежні джерела світла – некогерентні.
Когерентні хвилі можна отримати від одного джерела, шляхом розбиття пучка світла на кілька пучків, що мають постійну різницю фаз.
Теми кодифікатора ЄДІ: інтерференція світла.
У попередньому листку, присвяченому принципу Гюйгенса, ми говорили, що загальна картина хвильового процесу створюється накладенням вторинних хвиль. Але що це означає – "накладенням"? У чому полягає конкретне фізичне значення накладання хвиль? Що взагалі відбувається, коли у просторі одночасно поширюються кілька хвиль? Цим питанням і присвячений цей листок.
Складання коливань.
Зараз ми розглядатимемо взаємодію двох хвиль. Природа хвильових процесів ролі не відіграє - це можуть бути механічні хвилі в пружному середовищі або електромагнітні хвилі (зокрема світло) у прозорому середовищі або у вакуумі.
Досвід показує, що хвилі складаються один з одним у такому сенсі.
Принцип суперпозиції. Якщо дві хвилі накладаються одна на одну у певній області простору, то вони породжують новий хвильовий процес. При цьому значення коливається величини в будь-якій точці даної області дорівнює сумі відповідних величин, що коливаються в кожній з хвиль окремо.
Наприклад, при накладенні двох механічних хвиль переміщення частинки пружного середовища дорівнює сумі переміщень, створюваних окремо кожною хвилею. При накладенні двох електромагнітних хвиль напруженість електричного поля в даній точці дорівнює сумі напруженостей у кожній хвилі (і те саме для індукції магнітного поля).
Зрозуміло, принцип суперпозиції справедливий не тільки для двох, а й взагалі для будь-якої кількості хвиль, що накладаються. Результуюче коливання у цій точці завжди дорівнює сумі коливань, створюваних кожною хвилею окремо.
Ми обмежимося розглядом накладання двох хвиль однакової амплітуди та частоти. Цей випадок найчастіше зустрічається у фізиці та, зокрема, в оптиці.
Виявляється, на амплітуду результуючого коливання сильно впливає різниця фаз коливань, що складаються. Залежно від різниці фаз у цій точці простору дві хвилі можуть посилювати один одного, так і повністю гасити!
Припустимо, наприклад, що в деякій точці фази коливань в хвилях, що накладаються, збігаються (рис. 1).
Ми бачимо, що максимуми червоної хвилі припадають точно на максимуми синьої хвилі, мінімуми червоної хвилі - на мінімуми синьої (ліва частина рис. 1). Складаючись у фазі, червона та синя хвилі посилюють одна одну, породжуючи коливання подвоєної амплітуди (праворуч на рис. 1).
Тепер посунемо синю синусоїду щодо червоної на половину довжини хвилі. Тоді максимуми синьої хвилі збігатимуться з мінімумами червоної і навпаки - мінімуми синьої хвилі збігатимуться з максимумами червоної (рис. 2, зліва).
Коливання, створювані цими хвилями, відбуватимуться, як то кажуть, у протифазі- Різниця фаз коливань стане рівна. Результуюче коливання виявиться рівним нулю, тобто червона і синя хвилі просто знищать один одного (рис. 2, праворуч).
Когерентні джерела.
Нехай є два точкові джерела, що створюють хвилі в навколишньому просторі. Ми вважаємо, що ці джерела узгоджені один з одним у такому сенсі.
Когерентність. Два джерела називаються когерентними, якщо вони мають однакову частоту і постійну, різну фаз, що не залежить від часу. Хвилі, які збуджуються такими джерелами, також називаються когерентними.
Отже, розглядаємо два когерентні джерела і . Для простоти вважаємо, що джерела випромінюють хвилі однакової амплітуди, а різниця фаз між джерелами дорівнює нулю. Загалом, ці джерела є "точними копіями" один одного (в оптиці, наприклад, джерело є зображенням джерела в будь-якій оптичній системі).
Накладання хвиль, випромінюваних даними джерелами, спостерігається у певній точці . Взагалі кажучи, амплітуди цих хвиль у точці не будуть рівні один одному - адже, як ми пам'ятаємо, амплітуда сферичної хвилі обернено пропорційна відстані до джерела, і при різних відстанях і амплітуди хвиль, що прийшли, виявляться різними. Але в багатьох випадках точка розташована досить далеко від джерел – на відстані набагато більше, ніж відстань між самими джерелами. У такій ситуації різниця в відстанях і не призводить до істотної відмінності в амплітудах хвиль, що приходять. Отже, ми можемо вважати, що амплітуди хвиль у точці також збігаються.
Умова максимуму та мінімуму.
Проте величина різницею ходумає найважливіше значення. Від неї найрішучішим чином залежить те, який результат складання хвиль, що приходять, ми побачимо в точці .
У ситуації на рис. 3 різниця ходу дорівнює довжині хвилі. Дійсно, на відрізку укладаються три повні хвилі, а на відрізку - чотири (це, звичайно, лише ілюстрація; в оптиці, наприклад, довжина таких відрізків становить близько мільйона довжин хвиль). Легко бачити, що хвилі в точці складаються у фазі та створюють коливання подвоєної амплітуди – спостерігається, як кажуть,.
інтерференційний максимум
Зрозуміло, що аналогічна ситуація виникне при різниці ходу, що дорівнює не тільки довжині хвилі, а й будь-якого цілого числа довжин хвиль. Умова максимуму
(1)
. При накладенні когерентних хвиль коливання в даній точці матимуть максимальну амплітуду, якщо різниця ходу дорівнює довжині хвиль:
Тепер подивимося на рис. 4 . На відрізку укладаються дві з половиною хвилі, а на відрізку -три хвилі. Різниця ходу становить половину довжини хвилі (d = lambda /2).Тепер неважко бачити, що хвилі в точці складаються у протифазі та гасять один одного – спостерігається
інтерференційний мінімум
.
. Те саме буде, якщо різниця ходу виявиться дорівнює половині довжини хвилі плюс будь-яке ціле число довжин хвиль.
(2)
Умова мінімуму
Когерентні хвилі, складаючись, гасять один одного, якщо різниця ходу дорівнює напівцілого числа довжин хвиль:
Рівність (2) можна переписати так:
Тому умову мінімуму формулюють ще так: різниця ходу повинна дорівнювати непарному числу довжин напівхвиль.
Таким чином, в тій області простору, де відбувається накладання хвиль когерентних джерел і спостерігається стійка інтерференційна картина - фіксований незалежний від часу розподіл амплітуд коливань. А саме, в кожній точці даної області амплітуда коливань приймає своє значення, що визначається різницею ходу хвиль, що приходять сюди, і це значення амплітуди не змінюється з часом.
Така стаціонарність інтерференційної картини забезпечується когерентністю джерел. Якщо, наприклад, різниця фаз джерел буде змінюватися, то ніякої стійкої інтерференційної картини не виникне.
Тепер, зрештою, ми можемо сказати, що таке інтерференція.
Інтерференція - це взаємодія хвиль, у результаті якого виникає стійка інтерференційна картина, тобто розподіл амплітуд результуючих коливань у точках області, де хвилі накладаються один на одного.
Якщо хвилі, перекриваючись, утворюють стійку інтерференційну картину, то просто говорять, що хвилі інтерферують. Як ми з'ясували вище, інтерферувати можуть лише когерентні хвилі. Коли, наприклад, розмовляють дві людини, ми не помічаємо навколо них чергувань максимумів і мінімумів гучності; інтерференції немає, оскільки у разі джерела некогерентны.
На перший погляд може здатися, явище інтерференції суперечить закону збереження енергії – наприклад, куди подіється енергія, коли хвилі повністю гасять одна одну? Але жодного порушення закону збереження енергії, звичайно, немає: енергія просто перерозподіляється між різними ділянками інтерференційної картини. Найбільша кількість енергії концентрується в інтерференційних максимумах, а точки інтерференційних мінімумів енергія не надходить зовсім.
На рис.
5 показана інтерференційна картина, створена накладенням хвиль двох точкових джерел та . Картина побудована у припущенні, що область спостереження інтерференції знаходиться досить далеко від джерел. Пунктиром відзначено вісь симетрії інтерференційної картини.
Кольори точок інтерференційної картини цьому малюнку змінюються від чорного до білого через проміжні відтінки сірого. Чорний колір – інтерференційні мінімуми, білий колір – інтерференційні максимуми; сірий колір - проміжне значення амплітуди, і що більше амплітуда у цій точці, то світліша сама точка. центральні максимуми. Дійсно, будь-яка точка даної осі рівновіддалена від джерел (різниця ходу дорівнює нулю), так що в цій точці буде спостерігатися інтерференційний максимум.
Інші білі смуги та всі чорні смуги злегка викривлені; можна показати, що вони є гілками гіперболу. Однак в області, розташованій на великій відстані від джерел, кривизна білих і чорних смуг мало помітна, і ці смуги виглядають майже прямими.
Інтерференційний досвід, зображений на рис. 5 , разом із відповідним методом розрахунку інтерференційної картини називаєтьсясхемою Юнга
. Ця схема лежить в основі знаменитого
досвіду Юнга (мова про який піде у темі Дифракція світла). Багато експериментів з інтерференції світла так чи інакше зводяться до схеми Юнга.
В оптиці інтерференційну картину зазвичай спостерігають на екрані. Давайте ще раз подивимось на рис. 5 і уявімо екран, поставлений перпендикулярно пунктирної осі..
На цьому екрані ми побачимо чергування світлих та темних
 |
| інтерференційних смуг |
На рис. 6 синусоїда показує розподіл освітленості вздовж екрана. У точці O, розташованої осі симетрії, знаходиться центральний максимум. Перший максимум у верхній частині екрана, сусідній із центральним, знаходиться в точці A. Вище йдуть другий, третій (і так далі) максимуми.Мал. 6. Інтерференційна картина на екрані
Відстань , що дорівнює відстані між будь-якими двома сусідніми максимумами або мінімумами, називається
шириною інтерференційної лінії
. Наразі ми займемося знаходженням цієї величини.
Нехай джерела знаходяться на відстані один від одного, а екран розташований на відстані від джерел (рис. 7). Екран замінений віссю; початок відліку, як і вище, відповідає центральному максимуму.
Крапки і є проекціями точок і на вісь і розташовані симетрично щодо точки . Маємо: .
. (3)
Точка спостереження може бути на осі (на екрані) де завгодно. Координату точки
ми позначимо. Нас цікавить, за яких значень у точці спостерігатиметься інтерференційний максимум.
(4)
Хвиля, випромінювана джерелом, проходить відстань:
(5)
Так само обчислюємо відстань, яку проходить хвиля від джерела до точки спостереження:
. (6)
Застосовуючи до виразу (6) наближену формулу (4) отримуємо:
. (7)
Віднімаючи вирази (7) і (5) , знаходимо різницю ходу:
. (8)
Нехай – довжина хвилі, що випромінюється джерелами. Відповідно до умови (1) , у точці спостерігатиметься інтерференційний максимум, якщо різниця ходу дорівнює цілій кількості довжин хвиль:
Звідси отримуємо координати максимумів у верхній частині екрану (у нижній частині максимуми йдуть симетрично):
При отримуємо, зрозуміло, (центральний максимум). Перший максимум поруч із центральним відповідає значенню і має координату. Такою ж буде і ширина інтерференційної смуги.
Рівняння стоячої хвилі.
В результаті накладення двох зустрічних плоских хвиль з однаковою амплітудою коливальний процес, що виникає стоячою хвилею
.
Майже стоячі хвилі з'являються при відображенні від перешкод. Напишемо рівняння двох плоских хвиль, що розповсюджуються в протилежних напрямках (початкова фаза): 
Складемо рівняння та перетворимо за формулою суми косінусів: . Т.к. , можна записати: . Враховуючи, що , отримаємо рівняння стоячої хвилі
: 
. У виразі для фази не входить координата, тому можна записати: де сумарна амплітуда 
.
Інтерференція хвиль- таке накладання хвиль, у якому відбувається стійке у часі їх взаємне посилення у одних точках простору і ослаблення інших, залежно від співвідношення між фазами цих хвиль. Необхідні умовидля спостереження інтерференції:
1) хвилі повинні мати однакові (або близькі) частоти, щоб картина, що виходить в результаті накладання хвиль, не змінювалася в часі (або змінювалася не дуже швидко, щоб її можна було встигнути зареєструвати);
2) хвилі мають бути односпрямованими (або мати близький напрямок); дві перпендикулярні хвилі ніколи не дадуть інтерференції. Іншими словами, хвилі, що складаються, повинні мати однакові хвильові вектори. Хвилі, для яких виконуються ці дві умови, називаються когерентними.Першу умову іноді називають тимчасовою когерентністю, друге - просторовою когерентністю. Розглянемо як приклад результат додавання двох однакових односпрямованих синусоїд. Варіюватимемо лише їх відносне зрушення. Якщо синусоїди розташовані так, що їх максимуми (і мінімуми) збігаються у просторі, відбудеться їхнє взаємне посилення. Якщо ж синусоїди зрушені один щодо одного на півперіоду, максимуми однієї припадуть на мінімуми іншої; синусоїди знищать один одного, тобто відбудеться їхнє взаємне ослаблення. Складаємо дві хвилі:
тут х 1і х 2- Відстань від джерел хвиль до точки простору, в якій ми спостерігаємо результат накладання. Квадрат амплітуди результуючої хвилі дається виразом:
Максимум цього виразу є 4A 2, Мінімум - 0; все залежить від різниці початкових фаз і від так званої різниці ходу хвиль D:
Якщо в даній точці простору буде спостерігатися інтерференційний максимум, при - інтерференційний мінімум. Якщо ж ми зрушимо точку спостереження в бік від прямої, що з'єднує джерела, ми потрапимо в область простору, де інтерференційна картина змінюється від точки до точки. У цьому випадку ми спостерігатимемо інтерференцію хвиль з рівними частотами та близькими хвильовими векторами.
Електромагнітні хвилі.Електромагнітне випромінювання - обурення (зміна стану) електромагнітного поля, що поширюється в просторі (тобто, взаємодіючих один з одним електричного і магнітного полів). Серед електромагнітних полів взагалі, породжених електричними зарядами та їх рухом, прийнято відносити власне до випромінювання ту частину змінних електромагнітних полів, яка здатна поширюватися найбільш далеко від своїх джерел - зарядів, що рухаються, загасаючи найбільш повільно з відстанню. Електромагнітне випромінювання поділяється на радіохвилі, інфрачервоне випромінювання, видиме світло, ультрафіолетове випромінювання, рентгенівське випромінювання та гамма-випромінювання. Електромагнітне випромінювання здатне поширюватися практично у всіх середовищах. У вакуумі (просторі, вільному від речовини і тіл, що поглинають або випромінюють електромагнітні хвилі) електромагнітне випромінювання поширюється без загасань на скільки завгодно великі відстані, але в ряді випадків досить добре поширюється і в просторі, заповненому речовиною (дещо змінюючи свою поведінку). Основними характеристиками електромагнітного випромінювання прийнято вважати частоту, довжину хвилі та поляризацію. Довжина хвилі прямо пов'язана із частотою через (групову) швидкість поширення випромінювання. Групова швидкість поширення електромагнітного випромінювання у вакуумі дорівнює швидкості світла, в інших середовищах ця швидкість менша. Фазова швидкість електромагнітного випромінювання у вакуумі також дорівнює швидкості світла, у різних середовищах вона може бути як меншою, так і більшою за швидкість світла.
Яка природа світла. Інтерференція світла. Когерентність та монохроматичність світлових хвиль. Застосування інтерференції світла. Дифракція світла. Принцип Ґюйгенса – Френеля. Метод зон Френеля. Дифракція Френеля на круглому отворі. Дисперсія світла. Електронна теорія дисперсії світла. Поляризація світла. Природне та поляризоване світло. Ступінь поляризації. Поляризація світла при відображенні та заломленні на межі двох діелектриків. Поляроїди
Яка природа світла.Перші теорії про природу світла – корпускулярна та хвильова – з'явилися в середині 17 століття. Відповідно до корпускулярної теорії (або теорії закінчення) світло є потік частинок (корпускул), які випромінюються джерелом світла. Ці частинки рухаються у просторі та взаємодіють із речовиною за законами механіки. Ця теорія добре пояснювала закони прямолінійного поширення світла, його відображення та заломлення. Основоположником цієї теорії є Ньютон. Відповідно до хвильової теорії світло є пружні поздовжні хвилі в особливому середовищі, що заповнює весь простір - світлоносному ефірі. Поширення цих хвиль описується принципом Гюйгенса. Кожна точка ефіру, до якої дійшов хвильовий процес, є джерелом елементарних вторинних сферичних хвиль, що огинає утворює новий фронт коливань ефіру. Гіпотеза про хвильову природу світла висловлена Гуком, а розвиток вона отримала у роботах Гюйгенса, Френеля, Юнга. Поняття пружного ефіру призвело до нерозв'язних протиріч. Наприклад, явище поляризації світла показало. що світлові хвилі поперечні. Пружні поперечні хвилі можуть поширюватися лише у твердих тілах, де має місце деформація зсуву. Тому ефір має бути твердим середовищем, але водночас не перешкоджати руху космічних об'єктів. Екзотичність властивостей пружного ефіру була істотним недоліком початкової хвильової теорії. Суперечності хвильової теорії були дозволені в 1865 Максвеллом, який дійшов висновку, що світло - електромагнітна хвиля. Одним із аргументів на користь даного твердження є збіг швидкості електромагнітних хвиль, теоретично обчислених Максвеллом, зі швидкістю світла, визначеною експериментально (в дослідах Ремера та Фуко). Згідно з сучасними уявленнями, світло має подвійну корпускулярно-хвильову природу. В одних явищах світло виявляє властивості хвиль, а в інших – властивості частинок. Хвильові та квантові властивості доповнюють одна одну.
Інтерференція хвиль.
- Це явище накладання когерентних хвиль
- властиво хвилі будь-якої природи (механічним, електромагнітним і т.д.
Когерентні хвилі- це хвилі, що випускаються джерелами, що мають однакову частоту та постійну різницю фаз. При накладенні когерентних хвиль у будь-якій точці простору амплітуда коливань (зміщення) цієї точки залежатиме від різниці відстаней від джерел до точки, що розглядається. Ця різниця відстаней називається різницею ходу.
При накладенні когерентних хвиль можливі два граничні випадки:
1) Умова максимуму: Різниця ходу хвиль дорівнює цілому числу довжин хвиль (інакше парному числу довжин напівхвиль). 
де 
. У цьому випадку хвилі в точці, що розглядається, приходять з однаковими фазами і посилюють один одного - амплітуда коливань цієї точки максимальна і дорівнює подвоєній амплітуді.
2) Умова мінімуму: Різниця ходу хвиль дорівнює непарному числу довжин напівхвиль. 
де 
. Хвилі приходять у розглянуту точку в протифазі і гасять один одного. Амплітуда коливань цієї точки дорівнює нулю. Через війну накладання когерентних хвиль (інтерференції хвиль) утворюється інтерференційна картина. При інтерференції хвиль амплітуда коливань кожної точки змінюється у часі залишається постійної. При накладення некогерентних хвиль немає інтерференційної картини, т.к. амплітуда коливань кожної точки змінюється з часом.
Когерентність та монохроматичність світлових хвиль.Інтерференцію світла можна пояснити, розглядаючи інтерференцію хвиль. Необхідною умовою інтерференції хвиль є їх когерентність, тобто узгоджене перебіг у часі та просторі кількох коливальних або хвильових процесів. Цій умові задовольняють монохроматичні хвилі- необмежені у просторі хвилі однієї певної та строго постійної частоти. Так як жодне реальне джерело не дає строго монохроматичного світла, то хвилі, що випромінюються будь-якими незалежними джерелами світла, завжди некогерентні. У двох самостійних джерелах світла атоми випромінюють незалежно друг від друга. У кожному з таких атомів процес випромінювання скінчен і триває дуже короткий час ( t » 10 -8 с). За цей час збуджений атом повертається у нормальний стан і випромінювання світла припиняється. Збудившись знову, атом знову починає випромінювати світлові хвилі, але вже з новою початковою фазою. Оскільки різниця фаз між випромінюванням двох таких незалежних атомів змінюється при кожному новому акті випромінювання, хвилі, спонтанно випромінювані атомами будь-якого джерела світла, некогерентні. Таким чином, хвилі, що випускаються атомами, лише протягом інтервалу часу 10 -8 с мають приблизно постійні амплітуду і фазу коливань, тоді як за більший проміжок часу і амплітуда і фаза змінюються.
Застосування інтерференції світла.Явище інтерференції обумовлено хвильовою природою світла; його кількісні закономірності залежать від довжини хвилі l 0 . Тому це явище застосовується на підтвердження хвильової природи світла й у виміру довжин хвиль. Явище інтерференції застосовується також поліпшення якості оптичних приладів ( просвітлення оптики) та отримання високовідбивних покриттів. Проходження світла через кожну поверхню лінзи, що заломлює, наприклад через кордон скло-повітря, супроводжується відображенням »4% падаючого потоку (при показнику заломлення скла »1,5). Так як сучасні об'єктиви містять велику кількість лінз, то кількість відображень у них велика, а тому великі й втрати світлового потоку. Таким чином, інтенсивність світла послаблюється і світлосила оптичного приладу зменшується. Крім того, відбиття від поверхонь лінз призводять до виникнення відблисків, що часто (наприклад, у військовій техніці) демаскує положення приладу. Для усунення зазначених недоліків здійснюють так зване просвітлення оптики.Для цього на вільні поверхні лінз наносять тонкі плівки з показником заломлення меншим, ніж у матеріалу лінзи. При відображенні світла від меж розділу повітря-плівка і плівка-скло виникає інтерференція когерентних променів. Товщину плівки dта показники заломлення скла nз та плівки nможна підібрати так, щоб хвилі, відбиті від обох поверхонь плівки, гасили один одного. Для цього їх амплітуди повинні бути рівними, а оптична різниця ходу дорівнює . Розрахунок показує, що амплітуди відбитих променів рівні, якщо так nс, nта показник заломлення повітря n 0 відповідають умовам nз > n>n 0 то втрата напівхвилі відбувається на обох поверхнях; отже, умова мінімуму (припускаємо, що світло падає нормально, тобто. i= 0), 
, де nd -оптична товщина плівки.Зазвичай приймають m=0, тоді
Дифракція світла. Принцип Ґюйгенса – Френеля.Дифракція світла- відхилення світлових хвиль від прямолінійного поширення, огинання перешкод, що зустрічаються. Якісно явище дифракції пояснюється з урахуванням принципу Гюйгенса-Френеля. Хвильова поверхня в будь-який момент часу є не просто огинаючою вторинних хвиль, а результатом інтерференції. приклад. Плоский світлової хвилі, що падає на непрозорий екран з отвором. За екраном фронт результуючої хвилі (що оминає всіх вторинних хвиль) викривляється, внаслідок чого світло відхиляється від початкового напрямку і потрапляє в область геометричної тіні. Закони геометричної оптики виконуються досить точно лише в тому випадку, якщо розміри перешкод на шляху розповсюдження світла набагато більші за довжину світлової хвилі: Дифракція відбувається в тому випадку, коли розміри перешкод можна порівняти з довжиною хвилі: L ~ Л. Дифракційна картина, отримана на екрані, розташованому за різними перешкодами, є результатом інтерференції: чергування світлих і темних смуг (для монохроматичного світла) і різнокольорових смуг (для білого світла). Дифракційні грати -оптичний прилад, що є сукупністю великої кількості дуже вузьких щілин, розділених непрозорими проміжками. Число штрихів у хороших дифракційних ґрат доходить до декількох тисяч на 1 мм. Якщо ширина прозорої щілини (або відбивають смуг) а, а ширина непрозорих проміжків (або смуги, що розсіюють світло) b, то величина d = а + b називається періодом ґрат.
Інтерференція-Це перерозподіл потоку електромагнітної енергії в просторі, що виникає в результаті накладання хвиль, що приходять в цю область простору від різних джерел. Якщо в області інтерференції світлових хвиль встановити екран, то на ньому будуть
спостерігаються світлі та темні області, наприклад смуги.
Інтерферувати можуть лише когерентні хвилі.Джерела (хвилі) називають когерентними, якщо вони мають однакову частоту і постійну в часі різницю фаз, що випромінюються ними хвиль.
Когерентними можуть лише точкові монохроматичні джерела. До них за властивостями близькі лазери. Звичайні джерела випромінювання некогерентні, оскільки немонохроматичні і є точковими.
Немонохроматичність випромінювання звичайних джерел обумовлена тим, що їхнє випромінювання створюється атомами, що випромінюють протягом часу порядку =10 -8 з хвильовими цугами довжиною L=c =3м. Випромінювання різних атомів не корелювали один з одним.
Однак спостерігати інтерференцію хвиль можна і при використанні звичайних джерел, якщо за допомогою будь-якого прийому створити два або більше джерел, подібних до первинного джерела. Існує два методи одержання когерентних світлових пучків або хвиль: метод розподілу хвильового фронтуі метод розподілу амплітуди хвилі.У методі поділу хвильового фронту пучок або хвиля ділиться, проходячи через близько розташовані щілини або отвори (дифракційна решітка), або за допомогою перешкод, що відбивають і заломлюючих (бізеркало і біпризму Френеля, відбивна дифракційна решітка).
У 
Метод розподілу амплітуда хвилі випромінювання ділиться на одній або декількох частково відбивають, частково пропускають поверхнях. Прикладом є інтерференція променів, відбитих від тонкої плівки.
Крапки А, В та С на рис. є точками поділу амплітуди хвилі
Кількісний опис інтерференції хвиль.
Нехай дві хвилі, приходять до точки Овід джерел S 1 і S 2 по різних оптичних шляхах L 1 = n 1 l 1 і L 2 = n 2 l 2 .
Напруженість результуючого поля у точці спостереження дорівнює
E=E 1 +E 2 . (1)
Детектор випромінювання (око) реєструє не амплітуду, а інтенсивність хвилі, тому зведемо співвідношення (1) у квадрат і перейдемо до інтенсивностей хвиль
E 2 =E 1 2 +E 2 2 +E 1 E 2 (2)
Середнім цей вираз за часом
Останнє доданок в (3) 2
2<E 1 E 2 >=2
де -кут між векторами E 1 і E 2 .Якщо /2, то cos=0і інтерференційний член дорівнюватиме нулю. Це означає, що хвилі, поляризовані у двох взаємно перпендикулярних площинах, інтерферувати не можуть. Якщо вторинні джерела, від яких спостерігають інтерференцію, отримані від одного первинного джерела, то векториE 1 таE 2 паралельні іcos=1.У цьому випадку (3)можна записати у вигляді
де опосередковані за часом функції мають вигляд
E 1 =E 10 cos(t+), E 2 =E 20 cos(t+), (6)
=-k 1 l 1 + 1 , =-k 2 l 2 + 2 .
Обчислимо на початку середнє за часом значення інтерференційного члена
(7)
звідки при =:
Позначаючи I 1 =E 2 10 , I 2 =E 2 20 
формулу (5) можна записати в термінах інтенсивності хвиль. Якщо джерела некогерентні, то
I=I 1 +I 2 , (9)
а якщо когерентні, то
I=I 1 +I 2 +2 
cos (10)
k 2 l 2 -k 1 l 1 + - (11)
є різниця фаз хвиль, що складаються. Для джерел. отриманих від одного первинного джерела 1 = 2 ,тому
=k 2 l 2 -k 1 l 1 =k 0 (n 2 l 2 -n 1 l 1)=(2/ ) (12)
де До 0 =2 -хвильове число у вакуумі, -оптична різниця ходу променів 1і 2від S 1 і S 2 до точки спостереження інтерференції 0. Отримали
(13)
З формули (10) слід, що у точці 0 буде максимум інтерференції, якщо cos = 1, звідки
m, або=m (m=0,1,2,…) (14)
Умова мінімуму інтерференції буде при cos = -1, звідки
=2(m+½), або=(m+½) (m=0,1,2,…) (14)
Таким чином, хвилі в точці накладання посилять один одного, якщо їх оптична різниця ходу дорівнює парному числу напівхвиль послаблять один одного
якщо вона дорівнює непарному числу напівхвиль.
Ступінь когерентності випромінювання джерела. Інтерференція частково когеретних хвиль.
Реальні світлові пучки, які у точку спостереження інтерференції, частково когерентны, т.о. містять когерентне та некогерентне світло. Для характеристики частково когерентного світла вводять ступінь когерентності 0< < 1яка є частка некогерентного світла у світловому пучку. При інтерференції частково когерентних пучків отримаємо
I= колись +(1-)I ког =(I 1 +I 2)+(1-)(I 1 +I 2 +2I 1 I 2 cos
Звідки I=I 1 +I 2 +2I 1 I 2 cos (17)
Якщо =0 або =1, то приходимо до випадків некогерентного та когерентного складання інтерферентностей хвиль.
Досвід Юнга (розподіл хвильового фронту)
П 
ервий досвід із спостереженню інтерференції було здійснено Юнгом (1802). Випромінювання від точкового джерела Sпроходило через два точкових отвориS 1 іS 2 в діафрагміD і в точці Р на екрані Е спостерігалася інтерференція променів 1 і 2, що проходять геометричними шляхамиSS 1 P іSS 2 P.
Розрахуємо інтерференційну картину на екрані. Геометрична різниця ходу променів 1 та 2 від джерела S до точки Р на екрані дорівнює
l=(l` 2 +l 2) (l` 1 +l 1)= (l` 2 1` 1)+(l 2 l 1) (1)
Нехай d – відстань між S 1 і S 2 b – відстань від площини джерела S до діафрагми Д, a – відстань від діафрагми Д до екрану Е, x – координата точки P на екрані щодо його центру, а x ` - координата джерела S щодо центру площини джерела. Тоді згідно з малюнком з теореми Піфагора отримаємо
Аналогічними будуть вирази для l`1 і l`2, якщо замінити ab, xx`. Припустимо, що d іx< Аналогічно З урахуванням (3) і (4) геометрична різниця ходу променів 1 і 2 дорівнюватиме Якщо промені 1 і 2 проходять у середовищі з показником заломлення n, їх оптична різниця ходу дорівнює Умови максимумів та мінімумів інтерференції на екрані мають вигляд Звідки координати максимумів х=х m та мінімумів х=х" m інтерференційної картини на екрані Якщо джерело має вигляд смужки з координатою x", перпендикулярної площині малюнка, то зображення на екрані також матиме вигляд смужок з координатою х перпендикулярних площині малюнка. Відстань між найближчими максимумами та мінімумами інтерференції або ширина інтерференційних смуг (темних або світлих) буде відповідно до (8) x=x m+1 -x m =x` m+1 -x` m = де = /n – довжина хвилі серед з показником заломленняn. Просторова когерентність (некогерентність) випромінювання джерела Розрізняють просторову та тимчасову когерентність випромінювання джерела. Просторова когерентність пов'язані з кінцевими (неточковими) розмірами джерела. Він призводить до розширення інтерференційних смуг на екрані і при деякій ширині джерела D повного зникнення інтерференційної картини. Пояснюється просторова некогерентність в такий спосіб. Якщо джерело має ширину D, то кожна світиться смужка джерела з координатою х" дасть на екрані свою інтерференційну картину. джерела D для повного зникнення інтерференційної картини на екрані. Можна показати, що інтерференційна картина на екрані зникне, якщо кутова ширина джерела, =D/l ,видима з центру екрана, більше відношення/d: До схеми Юнга зводиться метод отримання вторинних джерел S1 і S2 за допомогою біпризми Френеля. Джерела S 1 та S 2 лежать в одній площині з первинним джерелом S. Можна показати, що відстань між джерелами S 1 і S 2 отриманими за допомогою біпризми з заломлюючим кутомі показником n дорівнює d=2a 0 (n-1), (2) а ширина інтерференційних смуг на екрані Інтерференційна картина на екрані зникне під час виконання умови Якщо l = 0,5 м, а 0 = 0,25 м, n = 1,5 -скло, = 6 10 -7 - Довжина хвилі зеленого світла, то ширина джерела, при якій зникне інтерференційна картина на екрані дорівнює D = 0, 2мм. Тимчасова когерентність випромінювання джерела. Час та довжина когерентності. Тимчасова когерентністьпов'язана з немонохроматичною випромінювання джерела. Вона призводить до зменшення інтенсивності інтерференційних смуг при віддаленні від центру інтерференційної картини та її обриву. Наприклад, при спостереженні інтерференційної картини з використанням немонохроматичного джерела та біпризми Френеля на екрані спостерігається від 6 до 10 смуг. При використанні високомонохроматичного лазерного джерела випромінювання кількість інтерференційних смуг на екрані сягає кількох тисяч. Знайдемо умову обриву інтерференції через немонохроматичність джерела, що випромінює в інтервалі довжин хвиль (). Положення m-го максимуму на екрані визначається умовою де 0 /n -довжина хвилі з показником заломлення n. Звідси випливає, що кожній довжині хвилі відповідає своя інтерференційна картина. При збільшенні відбувається зміщення інтерференційної картини тим більше, чим більше порядок інтерференції (номер інтерференційної смуги) m. В результаті може виявитися, що m-ий максимум для довжини хвилі хвилі.При цьому інтерференційне поле між m-им і (m+1)-им максимумами для довжини хвилірівномірно заповниться інтерференційними максимумами з інтервалу () і екран виявиться рівномірно освітленим, тобто. ІЧ обірветься. Умова обриву інтерференційної картини X max (m,+)=X max (m+1,) (2) Звідки згідно (1) (m+1)=m(, (3) що дає для порядку інтерференції (номери інтерференційної лінії), при якій відбудеться обрив ІЧ Умова інтерференційних максимумів пов'язана з оптичною різницею ходу променів 1 і 2, що приходять в точку спостереження інтерференції на екрані умовою Підставляючи (4) (5), знайдемо оптичну різницю ходу променів 1 і 2, при якій відбувається зникнення інтерференції на екрані При >L ког інтерференційна картина не спостерігається. Величина L ког = називається довжиною (поздовжньої) когерентності, а величина t ког =L ког /c (7) -часом когерентності.Переформулюємо (6) у термінах частоти випромінювання. Враховуючи, щоc,отримаємо |d|= Тоді згідно (6) L ког = А згідно (7) Отримали зв'язок між часом когерентності t ког і шириною частотного інтервалу випромінювання джерела. Для видимого діапазону (400-700)нм із шириною інтервалу=300нм при середній довжині хвилі= 550ім довжина когерентності становить порядку L кіг = 10 -6 м, а час когерентності порядку t кіг = 10 -15 с. Довжина когернтності лазерного випромінювання може досягати кількох кілометрів. Зазначимо, що час випромінювання атома має порядок 10 -8 c, а довжини хвильових цуг складають близько L = 3м. Принципи Гюйгенса та Гюйгенса-Френеля. У Принцип Гюйгенса є чисто геометричним і дозволяє вивести. наприклад, закони відображення та заломлення світла, пояснює явища поширення світла в анізотропних кристалах (подвійне променезаломлення). Але він може пояснити більшість оптичних явищ, зумовлених інтерференцією хвиль. Френель доповнив принцип Гюйгенса умовою інтерференції вторинних хвиль, що походять від фронту хвилі. Таке розширення принципу Гюйгенса отримало назву принципу Гюйгенса-Френеля. Зони Френеля. Френель запропонував простий прийом обчислення результату інтерференції вторинних хвиль. приходять від фронту хвилі довільну точку Р, що лежить на прямій, що проходить через джерело S і точку Р. Розглянемо ідею Френеля з прикладу сферичної хвилі, що випускається точковим джерелом S. Нехай фронт хвилі від джерела S в деякий момент часу знаходиться на відстані a від S і на відстані b від точки Р. Розіб'ємо фронт хвилі на кільцеві зони так, щоб відстань від країв кожної зони до точки Р відрізнялися на /l. При такій побудові коливання в сусідніх зонах зсунуті по фазі на , тобто. відбуваються у протифазі. Якщо позначити амплітуди коливань у зонах E 1 , E 2 , ... причому E 1 >E 2 >..., то амплітуда результуючого коливання в точці Р дорівнюватиме E=E 1 -E 2 +E 3 -E 4 +… (1) Тут чергування знаків (+) і (-), оскільки коливання у сусідніх зонах відбуваються протифазі. Подаємо формулу (1) у вигляді де належить E m =(Е m-1 +Е m+1)/2. Отримали, що амплітуда коливань у точці Р, якщо до неї приходять коливання від хвильового фронту, дорівнює Е=Е 1 /2, тобто. дорівнює половині амплітуди хвилі, що надходить точку Р від першої зони Френеля. Якщо закрити всі парні або непарні зони Френеля за допомогою спеціальних пластинок, званих зонними, то амплітуда коливань у точці Р збільшиться і дорівнюватиме E=E 1 +E 3 +E 5 +…+E 2m+1 , E=|E 2 +E 4 +E 6 +…+E 2m +…| (3) Якщо на шляху фронту хвилі поставити екран з отвором, який відкривав би кінцеве парне число зон Френеля, то інтенсивність світла в точці Р дорівнюватиме нулю E=(E 1 -E 2)+(E 3 -E 4)+(E 5 -E 6)=0 (4) тобто. у цьому випадку в точці Р буде темна пляма. Якщо ж відкрити непарне число зон Френеля, то точці Р буде світла пляма: E=E 1 -E 2 +E 3 -E 4 +E 5 =E 1 (4) Для перекриття зон френелю за допомогою екранів або зонних пластин необхідно знати радіуси зон френелю. Згідно рис. Отримаємо r r 2 m =(b+m / 2) 2 -(b+h m) 2 =bm-2bh m (7) де знехтували членами з 2 і h m 2 . Прирівнюючи (5) та (6), отримаємо Підставляючи формулу (8) в (6), радіус m-ої зони Френеля де м=1,2,3,... -номер зони Френеля, -довжина хвилі, випромінювання, що випускається джерелом. Якщо фронт водний плоский (a ->), то При фіксованому радіусі отвору в екрані, поставленому на шляху хвилі число m зон Френеля, що відкриваються цим отвором, залежить від відстаней a і від отвору до джерела S і точки Р. Дифракція хвиль (світла). Дифракцієюназивають сукупність інтерференційних явищ, що спостерігаються в середовищах з різкими неоднорідностями, порівнянними з довжиною хвилі, та пов'язаних з відхиленням законів поширення світла від законів геометричної оптики. Дифракція, зокрема, призводить до обгинання хвилями перешкод та проникнення світла в область геометричної тіні. Роль неоднорідностей середовища можуть грати щілини, отвори та різні перешкоди: екрани, атоми та молекули речовини тощо. Розрізняють два види дифракції. Якщо джерело і точка спостереження розташовані від перешкоди настільки далеко, що промені, що падають на перешкоду, і промені, що йдуть в точку спостереження, практично паралельні, то говорять про дифракцію Фраунгофера (дифракція в паралельних променях), інакше говорять про дифракцію Френеля (дифракція у променях, що сходяться) Дифракція Френеля на круглому отворі. Нехай сферична хвиля від джерела в падає на круглий отвір у діафрагмі. У цьому випадку на екрані спостерігатиметься дифракційна картина у вигляді світлих та темних кілець. Якщо отвір відкриває парне число зон Френеля, то в центрі дифракційної картини буде темна пляма, а якщо вона відкриває непарне число зон Френеля, то світла пляма. При переміщенні діафрагми з отвором між джерелом і екраном у межах отвору буде вкладатися то парне, то непарне число зон Френеля і вид дифракційної картини (то з темною, то зі світлою плямою в центрі) постійно змінюватиметься. Дифракція Фраунгофер на щілини. Нехай джерела S поширюється сферична хвиля. За допомогою лінзи Л 1 вона перетворюється на плоску хвилю, яка падає на щілину шириною b. Інтенсивність дифракційної картини в точці Р екрану визначається інтерференцією вторинних хвиль, що походять від усіх елементарних ділянок щілини і поширюються в точку Р в одному і тому ж напрямку . Зважаючи на те, що на щілину падає плоска хвиля, фази коливань у всіх точках щілини однакові. Інтенсивність у точці Р екрану, обумовлена хвилями, що розповсюджуються в напрямку , визначатиметься зрушенням фаз між хвилями, що виходять від плоского фронту хвилі АВ, перпендикулярного напрямку поширення хвилі (див. рис.), або хвилями. вихідними від будь-якої площини, паралельної до напрямку АВ. Зсув фаз між хвилями, що випускаються смужкою 0в центрі щілини і смужкою з координатою х, відрахованої від центру щілини, становить kxsin(рис.). Якщо щілина має ширину bі випускає хвилю з амплітудою E 0 то смужка з координатою x і шириною dx випускає хвилю з амплітудою (Eo/b) dx. Від цієї смужки в точку Р екрану в напрямку Множник it, однаковий всім хвиль, які у точку Р екрана, можна опустити, оскільки з обчисленні інтенсивності хвилі у точці Р він зникне. Амплітуда результуючого коливання в точці Р, обумовлена накладенням вторинних хвиль, що прийшли в точку Р від усієї щілини, дорівнюватиме де u=(k b / 2)sin=( b / )sin, - довжина хвилі, що випускається джерелом. Інтенсивність хвилі I=E 2 у точці Р екрану дорівнюватиме де I 0 -інтенсивність хвилі, що випромінюється щілиною в напрямку = 0, коли (sin u / u) = 1. У точці Р буде мінімум інтенсивності, якщо sin u=0 або Це умова дифракційних мінімумів темних смуг на екрані). Умову дифракційних максимумів знайдемо, взявши похідну від I() але u та прирівнявши її до нуля, що призводить до трансцендентного рівняння tg u=u. Вирішити ато рівняння можна графічно Згідно рис. пряма y=u перетинає криві y=tg u приблизно в точках з координатою по осі абцис, що дорівнює u=(2m+1) / 2 =(m+½), а також u=0 =0, (5) що дозволяє написати наближене, але досить точне рішення рівняння tg u=u Про bsinm+½) (m=1,2,…). (7) Центральний максимум при =0 не входить до умови (7) Розподіл інтенсивності на екрані при дифракції світла на одній щілині представлено на рис. Дифракційна решітка та її застосування для розкладання немонохроматичного випромінювання джерела у спектр. Дифракційними ґратамиможна вважати будь-який пристрій, що забезпечує просторову періодичну модуляцію світлової хвилі, що падає на неї, по амплітуді і фазі. Приклад дифракційної решітки є періодична система. Nпаралельних щілин, розділених непрозорими проміжками, що лежать в одній площині, відстань dміж серединами сусідніх щілин називається періодомабо постійної ґрати. Дифракційна решітка має здатність розкладати немонохроматичні випромінювання джерела в спектр, створюючи на екрані зміщені відносно один одного дифракційні картини, що відповідають різним довжинам хвиль випромінювання джерела. Розглянемо спочатку формування дифракційної картини для випромінювання джерела із фіксованою довжиною хвилі . Нехай на решітку нормально падає плоска монохроматична хвиля з довжиною хвилі ,а дифракційна картина спостерігається на у фокальній площині лінзи Л.Дифракційна картина на екрані є багатопроменевою інтерференцією когерентних пучків світла однакової інтенсивності, що йдуть у точку спостереження Р від усіх щілин у напрямку. Для розрахунку інтерференційної картини (ІЧ) позначимо E 1 () амплітуду хвилі (формула (2) попереднього розділу), яка прийшла в точку спостереження Р від першого структурного елемента решітки, амплітуду хвилі від другого структурного елемента Е 2 =E 1 e i третього Е 2 =E 1 e 2i і т.д. де =kasin= Зрушення фаз хвиль, що надходять точку Р від сусідніх щілин з відстанню d між ними. Повна амплітуда коливань, створюваних у точці Р хвилями, що приходять у неї від усіх N щілин дифракційної решітки, представляється сумою геометричної прогресії E P =E 1 ()(1+e i +e 2i +…+e i(N-1) )=E 1 () Інтенсивність хвилі в точці Р дорівнює I() = E p E * p, де E * p -комплексно пов'язана амплітуда. Отримуємо I()=I 1 () де зазначено Звідси випливає, що розподіл інтенсивності на екрані I(), створюване випромінюванням від N 12 щілин, промодулировано функцією інтенсивності однієї щілини I 1 ()=I 0 (sin(u)/u) 2 .Розподіл інтенсивності на екрані, що визначається формулою (3) представлено на рис. З малюнка видно, що в ІЧ є різкі максимуми, які називаються головнимиміж якими спостерігаються малоінтенсивні максимуми і мінімуми, звані побічними.Число побічних мінімумів дорівнює N-1, а число побічних максимумів дорівнює N-2. головними мінімумами.Їхнє розташування таке ж як і у випадку однієї щілини. Розглянемо формування основних максимумів. Вони спостерігаються у напрямках, що визначається умовою sin/2=0(але при цьому sin N/2=0, що призводить до невизначеності I()=0/00. Умова sin/2=0 дає / 2=k або dsin=k, k=0,1,2,… (5) де k-порядок головного максимуму. Розглянемо формування мінімумів. Перша умова sin u=0при u0приводить до умови головних мінімумів, такої як у випадку однієї щілини bsin=m, m=0,1,2,… (6) Друга умова sin N/2=0при sin/20 визначає положення побічних мінімумів при значеннях N
, (N+1), … (2N-1); (7) 2
N
, (2N+1),… (3N-1); Підкреслені значення кратні N і призводять до умови головних максимумів N=Nkабо /2=k. Ці значеннямають бути виключені зі списку побічних мінімумів. Значення, що залишилися, можна записати у вигляді звідки отримуємо умову побічних мінімумів dsin=(k+ P / N), P=0,1,2,…N-1 (9) де k-фіксований порядок головного максимуму. Можна припустити негативні значення р= -1,-2, ...-(N-1), які дадуть положення побічних мінімумів зліва від k-го головного максимуму. З умов головних і побічних максимумів і мінімумів випливає, що випромінювання з іншою довжиною хвилі відповідатиме інше кутове розташування мінімумів і максимумів у дифракційній картині. Це означає, що дифракційна решітка здійснює розкладання немонохроматичного випромінювання джерела спектр. Характеристики спектральних приладів: кутова та лінійна дисперсії та роздільна здатність приладу. Будь-який спектральний прилад здійснює розкладання випромінювання на монохроматичні складові шляхом їх просторового поділу за допомогою диспергуючого елемента (призми, дифракційної решітки і т.д.). спостереження близьких спектральних ліній. У зв'язку з цим для характеристики якості спектрального приладу вводять такі величини: кутову D =dd або лінійну D l =dld дисперсіїприладу та його роздільна здатність R=/,де - мінімальна різниця довжин хвиль спектральних лінії, які прилад дозволяє бачити роздольно. Чим менше різниця , "видима" приладом, тим вище його роздільна здатність R. Кутова дисперсія D визначає кут = D , на який розводить прилад дві спектральні лінії, довжини хвиль яких відрізняються на одиницю (наприклад, в оптиці вважають = 1нм). Лінійна дисперсія D l визначає відстань l =D l між спектральними лініями на екрані, довжини хвиль яких відрізняються на одиницю (=1 нм). Чим вище значення D і D l здатність спектрального приладу до просторового поділу спектральних ліній. Конкретні вирази для дисперсій приладу D і D l та його роздільної здатності R залежать від типу приладу, який використовується для реєстрації спектрів випромінювання різних джерел. У цьому курсі питання про обчисленні спектральних характеристик приладу буде розглянуто на прикладі решітки дифракції. Кутова та лінійна дисперсії дифракційної решітки. Вираз для кутової дисперсії дифракційної решітки можна знайти диференціюючи умову головних максимумів d sin =kпо.Отримаємо dcos d=kd, звідки Замість кутової дисперсії можна використовувати лінійну Враховуючи, що положення спектральної лінії, що відраховується від центру дифракційної картини, дорівнює l=Ftg ,де F -фокусна відстань лінзи у фокальній площині якої реєструється спектр, отримаємо Роздільна здатність дифракційної решітки. Велика кутова дисперсія є необхідною, але недостатньою умовою роздільного спостереження близьких спектральних ліній. Це тим, що спектральні лінії мають ширину. Будь-який детектор (у тому числі й очей) реєструє огинаючу спектральних ліній, які в залежності від їх ширини можуть сприйматися або як одна, або як дві спектральні лінії. У зв'язку з цим вводиться додаткова характеристика спектрального приладу -його роздільна здатність: R=,де -мінімальна різниця довжин хвиль спектральних ліній, які прилад дозволяє бачити окремо. Щоб отримати конкретний вираз R для даного приладу, необхідно задати критерієм дозволу. Відомо, що око сприймає дві лінії окремо, якщо глибина "провалу" в огинальній спектральних ліній становить не менше 20% від інтенсивності в максимумах спектральних ліній. Цій умові задовольняє критерій, запропонований Релеєм: дві спектральні лінії однакової інтенсивності можна спостерігати окремо, якщо максимум однієї з них збігається про "краєм" іншої. За "краї" лінії можна прийняти становище найближчих до неї побічних мінімумів. На рис. зображено дві спектральні лінії, відповідно випромінюванням із довжиною хвилі < Збіг "краю" однієї лінії з максимумом іншої еквівалентно однаковому кутовому положенню , наприклад, максимуму, лівої лінії, що відповідає довжині хвилі ,і лівого "краю" лінії, що відповідає довжині хвилі . Положення k-го максимуму спектральної лінії з довжиною хвилі визначається умовою dsin=k (1) Положення лівого "краю" лінії з довжиною хвилі визначається кутовим положенням її першого лівого побічного мінімуму (р=-1) dsin=(k- 1 / N) 2 (2) Прирівнюючи праві частини формул (1) і (2), отримаємо K 1 =(k- 1 / N) 2 , абоk( - 1)= /N, (3) Отримали, що роздільна здатність R=kNдифракційної решітки збільшується зі збільшенням числа N штрихів на решітці, а при фіксованому N зі збільшенням порядку спектра. Теплове випромінювання. Теплове випромінювання (ТІ)-Це випромінювання ЕМ-хвиль нагрітим тілом за рахунок його внутрішньої енергії. Всі інші види свічення тіл, що збуджуються за рахунок видів енергії, на відміну від теплової, називають люмінесценцією. Погладжувальна та відбивна здатність тіла. Абсолютно чорне, біле та сіре тіла. У загальному випадку будь-яке тіло відображає, поглинає і пропускає випромінювання, що падає на нього. Тому для потоку випромінювання, що падає на тіло, можна написати: де
,
а, t-коефіцієнти відображення, поглинання та пропускання, звані також його відбивною, погладжувальною та пропускальною здібностями.Якщо тіло не пропускає випромінювання, то t=
0
, і
+a=1. Взагалі коефіцієнти
і азалежать від частоти випромінювання
і температури тіла: Якщо тіло повністю поглинає випромінювання будь-якої частоти, що падає на нього, але не відображає його ( а T
=
1
, Енергетичні характеристики випромінювання. Поле випромінювання прийнято характеризувати потоком випромінювання Ф
(Вт). Потік-це енергія, що переноситься випромінюванням через довільну поверхню в одиницю часу. Потік випромінювання, що випускається одиницею площі. тіла, називають енергетичною світністю тіла та позначають R T
(Вт/м 3
)
.
Енергетичну світність тіла в інтервалі частот Розмірність Енергетична світність тіла у всьому інтервалі частот випромінювання, що випускаються, дорівнює Зв'язок між спектральними характеристиками випромінювання за частотою та довжиною хвилі. Характеристики випромінювання, що залежать від частоти
або довжини хвилі
випромінювання, називають спектральними.Знайдемо зв'язок між цими характеристиками за довжиною та частотою хвилі. Враховуючи, dR
=
dR
,отримаємо: Теплове випромінювання. Закони Вина та Стефана-Больцмана. Теплове випромінювання-це ЕМ-випромінювання, що випускається речовиною за рахунок його внутрішньої енергії. ТІ має суцільний спектр, тобто. його випускна здатність r
або r
залежно від частоти чи довжини хвилі випромінювання змінюється безперервно, без стрибків. ТІ це єдиний вид випромінювання в природі, яке є рівноважним, тобто. знаходиться в термодинамічній або тепловій рівновазі з тілом, що випромінює його. Теплова рівновага означає, що тіло, що випромінює, і поле випромінювання мають однакову температуру. ТІ є ізотропним, тобто. ймовірності випромінювання різних довжин хвиль або частот і поляризацій у різних напрямках рівноймовірні (однакові). Серед випромінюючих (поглинаючих) тіл особливе місце займають абсолютно чорні тіла (АЧТ), які повністю палачать випромінювання, що падає на нього, але не відображають його. Якщо АЧТ розжарити, то, як показує досвід, воно світитиме яскравіше, ніж сіре тіло. Наприклад, якщо на фарфоровій тарілці нанести малюнок жовтою, зеленою та чорною фарбою, а потім тарілку нагріти до високої температури, то чорний малюнок світитиме яскравіше, зелений слабший, і зовсім слабко світитиметься жовтий малюнок. Прикладом розпеченого АЧТ є Сонце. Іншим прикладом АЧТ є порожнина з малим отвором і дзеркально відбивають внутрішні стінки. Зовнішнє випромінювання, потрапивши в отвір, залишається всередині порожнини і мало виходить із нього, тобто. поглинальна здатність такої порожнини дорівнює одиниці, а це і є АЧТ. Наприклад, звичайне вікно в квартирі, відкрите в сонячний день, не випускає назовні випромінювання, що потрапило всередину, і зовні здається чорним, тобто. поводиться як АЧТ. Досвід показує, що залежність випромінювальної здатності АЧТ Графік Перший закон Вина затверджує: положення максимуму випускної здатності АЧТ (r o
)
m
назад пропорційно його температурі: де b
=
2,9
10
-3
м
До
-перша постійна вина. Другий закон Вина затверджує: максимальна випускна здатність АЧТ пропорційна п'ятому ступеню його температури: де з
= 1,3
10
-5
Вт/м 3
До 5
-друга стала Вина. Якщо обчислити площу під графіком випромінювальної здатності АЧТ, то знайдемо його енергетичну світність R o T. Вона виявляється пропорційною четвертому ступеню температури АЧТ. Таким чином Це закон Стефана-Больцмана,
= 5,67
10
-8
Вт/м 2
До 4
-постійна Стефана-Больцмана. Закон Кірхгофа. Кірхгофом було доведено таку властивість теплових випромінювачів: відношення випромінювальної здатності тіла r
до його поглинальної здатності a
за тієї ж температури Tне залежить від природи випромінюючого тіла, для всіх тіл однаково і дорівнює випромінювальній здатності АЧТ r o
:
r
/a
=
r o
.
Це основний закон теплового випромінювання. Для його доказу розглянемо теплоізольовану порожнину А з малим отвором, усередині якої знаходиться тіло В. Порожнина А нагріта і обмінюється теплом з тілом через поле випромінювання порожнини С. У стані теплової рівноваги температури порожнини А, тіла В і поля випромінювання С однакові і рівні Т . У досвіді є можливість вимірювати потік Потік випромінювання
, що падає від нагрітої порожнини А на тіло В поглинається цим тілом і відображається, а саме тіло випромінює енергію. У стані теплової рівноваги випущений тілом У потік r
і відбитий ним потік (1-а
)
повинні дорівнювати потоку
теплового випромінювання порожнини звідки Це і є закон Кірхгофа. При його виведенні природа тіла не враховувалася, тому він справедливий для будь-якого тіла і, зокрема, для АЧТ, для якого випускна здатність дорівнює r o
а поглинальна здатність a
=1
. Маємо: Отримали, що відношення випромінювальної здатності тіла до його поглинальної здатності дорівнює випромінювальній здатності АЧТ при тій же температурі Т.Рівність r o
=
говорить про те, що по потоку випромінювання, що виходить з порожнини
можна виміряти випускну здатність АЧТ r o
.
Формула Планка та доказ з її допомогою досвідчених законівВината Стефана-Больцмана. Тривалий час різні вчені намагалися пояснити закономірності випромінювання АЧТ та отримати аналітичний вигляд функції r o
.
При спробі вирішити завдання було одержано багато важливих законів теплового випромінювання. Так, зокрема. Він на основі законів термодинаміки показав, що випускна здатність АЧТ r o
є функцією відношення частоти випромінювання
та його температури T, що збігається з температурою АЧТ: r o
=
f (
/
T) Вперше явний вид функції r o
було отримано Планком (1905). Планк припустив, що ТІ містить ЗМ-хвилі різних частот (довжин хвиль) в інтервалі ( де
0
(
)
-Мінімальний квант(порція) енергії, яким може володіти осцилятор поля частоти
. На основі цього припущення Планк отримав наступне вираження для випромінювальної здатності АЧТ (див. будь-який підручник): де з
= 3
10
8
м/с
-швидкість світла, k = 1,38
10
-23
Дж/К-постійна Больцмана. Відповідно до теореми Вина r o
=f(
/T)необхідно покласти, що квант енергії осцилятора поля пропорційний його частоті
: де коефіцієнт пропорційності h=
6,62
10
-34
Дж
забо
Для практичних розрахунків зручно підставити значення постійних c, k, hта записати формулу Планка у вигляді де a 1
= 3,74
10
-16
Вт.м 2
,
a 2
=
1,44
10
-2
мк. Отриманий вираз для r o
дає правильний опис закону випромінювання АЧТ, що відповідає експерименту. Максимум функції Планка можна знайти обчисливши похідну dr o
/d
і прирівнявши її до нуля, що дає Це перший закон «Вина». Підставивши
=
mу вираз для функції Планка, отримаємо Це другий закон «Вина». Інтегральна енергетична світність (площа під графіком функції Планка) є інтегруванням функції Планка по вієм довжин хвиль. В результаті отримаємо(див. підручник): Це закон Стефана-Больцмана. Таким чином, формула Планка пояснює всі дослідні закони випромінювання АЧТ. Випромінювання сірих тіл. Тіло, для якого поглинальна здатність a
=a
<1
і не залежить від частоти випромінювання (його довжини хвилі) називають сірий.Для сірого тіла згідно із законом Кірхгофа: Для несірих тіл (селективних поглиначів), для яких a
залежить від
або
,зв'язок R
=a
R 0
немає місця, і треба обчислювати інтеграл:
(4)
(5)
(7)
(9)
(1)
(3)
або при ширині джерела, що дорівнює 
, тобто. ширині інтерференційної лінії. Отримаємо з урахуванням (3)
(4)
(1)
(4)
(6)
або= 
(8)
(9)
або 
(10)
хвильової оптики існує два принципи: принцип Гюйгенса та принцип Гюйгенса-Френеля. У принципі Гюйгенса постулюється, кожна точка фронту хвилі є джерелом вторинних хвиль. Побудувавши огинаючу цих хвиль, можна знайти положення фронту хвилі в наступні моменти часу.
2 m =a 2 -(a-h m) 2 =2ah m (6)
(8)
(9)
(10)
(1)
(2)
(3)
звідки bsin=m, (m=1,2,…) (4)
(6)
ткуди отримаємо, що умова дифракційних максимумів (світлих смуг на екрані) має вигляд
(1)
(2)
(3)
,
(4)
, … (N-1);
де р -ціле число, неразове N (8)
(1)
(2)
, що дає 
(3)
(4)
(2)
і 
.
), то тіло називають абсолютно чорним,а якщо тіло повністю відображає випромінювання, але не поглинає його, то тіло називають білим, якщо ж а T <1
тело називають сірим. Якщо поглинальна здатність тіла залежить від частоти або довжини хвилі падаючого випромінювання і a
<1
тело називають селективним поглиначем.
позначають dR
,
а якщо вона залежить від температури тіла T, то dR
.Енергетична світність пропорційна ширині. d
частотного інтервалу випромінювання: 
.Коефіцієнт пропорційності 
називають випромінювальною посібністю тілаабо спектральної енергетичної світності.
.
. Зі зв'язку
=с/
слід |d
|=(c/
2
)d
.
Тоді
від довжини хвилі випромінювання
має вигляд:
має максимум. При збільшенні температури тіла максимум залежності 
від
зміщується у бік коротших довжин хвиль (великих частот), а тіло починає світити яскравіше. Ця обставина відображена у двох досвідчених законах Вина та законі Стефана-Больцмана.
(1)
(2)
(3)
випромінювання, що виходить з отвору, властивості якого аналогічні властивостям випромінювання С усередині порожнини.
(1)
(2)
).Хвилю фіксованої частоти
називають осцилятором ЕМ-поля.За припущенням Планка енергія кожного осцилятора поля частоти
квантується, тобто залежить від цілого параметра, а значить, змінюється дискретним чином (стрибком):
(1)
(2)
(3)
=1,
02
10
-34
називається постійною Планка,
=
2
-циклічна частота випромінювання (осцилятор поля). Підставивши (3) у формулу (2), отримаємо
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
, де r o
-
функція Планка
, де 
(1)
(2)