Нехай функція невід'ємна та безперервна на відрізку. Тоді, згідно з геометричним змістом певного інтеграла, площа криволінійної трапеції, обмеженої зверху графіком цієї функції, знизу – віссю, ліворуч і праворуч – прямими і (див. рис. 2) обчислюється за формулою
Приклад 9.Знайти площу фігури, обмеженою лінією 
і віссю.
Рішення. Графіком функції 
є парабола, гілки якої спрямовані вниз. Побудуємо її (рис. 3). Щоб визначити межі інтегрування, знайдемо точки перетину лінії (параболи) з віссю (прямий). Для цього вирішуємо систему рівнянь
Отримуємо: 
звідки ; отже, , .
Мал. 3
Площу фігури знаходимо за формулою (5):
Якщо функція непозитивна і безперервна на відрізку , то площа криволінійної трапеції, обмеженої знизу графіком даної функції, зверху - віссю , ліворуч і праворуч - прямими і обчислюється за формулою
. (6)
У разі, якщо функція безперервна на відрізку і змінює знак в кінцевому числі точок, то площа заштрихованої фігури (мал. 4) дорівнює сумі алгебри відповідних певних інтегралів:
Мал. 4
приклад 10.Обчислити площу фігури, обмеженою віссю та графіком функції при .
Мал. 5
Рішення. Зробимо креслення (рис. 5). Шукана площа являє собою суму площ та . Знайдемо кожну з цих площ. Спочатку визначимо межі інтегрування, вирішивши систему 
Отримаємо, . Отже:
;
.
Таким чином, площа заштрихованої фігури дорівнює
(Кв. од.).
Мал. 6
Нехай, нарешті, криволінійна трапеція обмежена зверху та знизу графіками безперервних на відрізку функцій та ,
а ліворуч і праворуч - прямими і (рис. 6). Тоді її площа обчислюється за формулою
. (8)
Приклад 11.Знайти площу фігури, обмеженою лініями та .
Рішення.Ця фігура зображена на рис. 7. Площу її обчислимо за формулою (8). Вирішуючи систему рівнянь знаходимо, ; отже, , . На відрізку маємо: . Отже, у формулі (8) як візьмемо x, а як – . Отримаємо:
(Кв. од.).
Більш складні завдання на обчислення площ вирішують шляхом розбиття фігури на частини, що не перетинаються, і обчислення площі всієї фігури як суми площ цих частин.
Мал. 7
приклад 12.Знайти площу фігури, обмеженою лініями , , .
Рішення. Зробимо креслення (рис. 8). Дану фігуру можна розглядати як криволінійну трапецію, обмежену знизу віссю , ліворуч і праворуч – прямими та , зверху – графіками функцій та . Так як фігура обмежена зверху графіками двох функцій, то для обчислення її площі розіб'ємо цю фігуру прямою на дві частини (1 – це абсцис точки перетину ліній і ). Площу кожної з цих частин знаходимо за формулою (4):
(кв. од.); 
(Кв. од.). Отже:
(Кв. од.).
Мал. 8
|
Мал. 9
На закінчення відзначимо, що якщо криволінійна трапеція обмежена прямими і віссю і безперервною на кривій (рис. 9), то її площа знаходиться за формулою
Об'єм тіла обертання
Нехай криволінійна трапеція, обмежена графіком безперервної на відрізку функції , віссю, прямими і обертається навколо осі (рис. 10). Тоді обсяг отриманого тіла обертання обчислюється за формулою
. (9)
приклад 13.Обчислити об'єм тіла, отриманого обертанням навколо осі криволінійної трапеції, обмеженою гіперболою, прямими і віссю.
Рішення. Зробимо креслення (рис. 11).
З умови завдання випливає, що , . За формулою (9) отримуємо
.
Мал. 10
Мал. 11
Обсяг тіла, отриманого обертанням навколо осі Оукриволінійної трапеції, обмеженої прямими у = сі у = d, віссю Оута графіком безперервної на відрізку функції (рис. 12), визначається за формулою
. (10)
|
Мал. 12
Приклад 14. Обчислити об'єм тіла, отриманого обертанням навколо осі Оукриволінійної трапеції, обмеженої лініями х 2 = 4у, у = 4, х = 0 (рис. 13).
Рішення. Відповідно до умови завдання знаходимо межі інтегрування: , . За формулою (10) отримуємо:
Мал. 13
Довжина дуги плоскої кривої.
Нехай крива , задана рівнянням , де лежить у площині (рис. 14).
Мал. 14
Визначення. Під довжиною дуги розуміється межа, якого прагне довжина ламаної лінії, вписаної у цю дугу, коли кількість ланок ламаної прагне нескінченності, а довжина найбільшої ланки прагне нулю.
Якщо функція та її похідна безперервні на відрізку, то довжина дуги кривої обчислюється за формулою
. (11)
Приклад 15. Обчислити довжину дуги кривої , укладеної між точками, для яких 
.
Рішення. З умови завдання маємо 
. За формулою (11) отримуємо:
.
4. Невласні інтеграли
з нескінченними межами інтегрування
При введенні поняття певного інтеграла передбачалося, що виконуються такі дві умови:
а) межі інтегрування аі є кінцевими;
б) підінтегральна функція обмежена на відрізку.
Якщо хоча б одна з цих умов не виконується, то інтеграл називається невласним.
Розглянемо спочатку невласні інтеграли з нескінченними межами інтегрування.
Визначення. Нехай функція визначена і безперервна на проміжку, тодіта необмеженою праворуч (рис. 15).
Якщо невласний інтеграл сходиться, ця площа є кінцевою; якщо невласний інтеграл розходиться, ця площа нескінченна.
Мал. 15
Аналогічно визначається невласний інтеграл з нескінченною нижньою межею інтегрування:
. (13)
Цей інтеграл сходиться, якщо межа у правій частині рівності (13) існує і кінець; інакше інтеграл називається розбіжним.
Невласний інтеграл із двома нескінченними межами інтегрування визначається наступним чином:
, (14)
де с – будь-яка точка інтервалу. Інтеграл сходиться лише у тому випадку, коли сходяться обидва інтеграли у правій частині рівності (14).
;г) 
= [Виділимо в знаменнику повний квадрат: ] = 
[Заміна:
] = 
Отже, невласний інтеграл сходиться та його значення одно .
Будь-який певний інтеграл (який існує) має дуже хороший геометричний зміст. На уроці я говорив, що певний інтеграл це число. А зараз настав час констатувати ще один корисний факт. З погляду геометрії певний інтеграл – це ПЛОЩА.
Тобто, певному інтегралу (якщо він існує) геометрично відповідає площа деякої фігури. Наприклад, розглянемо певний інтеграл. Підінтегральна функція задає на площині деяку криву (її завжди можна за бажання накреслити), а сам певний інтеграл чисельно дорівнює площі відповідної криволінійної трапеції.
Приклад 1
Це типове формулювання завдання. Перший та найважливіший момент рішення – побудова креслення. Причому креслення необхідно побудувати ПРАВИЛЬНО.
При побудові креслення я рекомендую наступний порядок: спочаткукраще побудувати всі прямі (якщо вони є) і тільки потім– параболи, гіперболи, графіки інших функцій. Графіки функцій вигідніше будувати крапково, з технікою поточкового побудови можна ознайомитись у довідковому матеріалі.
Там же можна знайти дуже корисний стосовно нашого уроку матеріал – як швидко побудувати параболу.
У цій задачі рішення може виглядати так.
Виконаємо креслення (зверніть увагу, що рівняння задає вісь):
Штрихувати криволінійну трапецію я не буду, тут очевидно, про яку площу йдеться. Рішення продовжується так:
На відрізку графік функції розташований над віссютому:
Відповідь:
У кого виникли труднощі з обчисленням певного інтегралу та застосуванням формули Ньютона-Лейбніца 
, зверніться до лекції Визначений інтеграл. Приклади рішень.
Після того, як завдання виконане, завжди корисно поглянути на креслення і прикинути, чи реальна вийшла відповідь. У цьому випадку «на око» підраховуємо кількість клітинок у кресленні – ну, приблизно 9 набереться, схоже на правду. Цілком зрозуміло, що якби в нас вийшов, скажімо, відповідь: 20 квадратних одиниць, то, очевидно, що десь припущена помилка - у розглянуту фігуру 20 клітинок явно не вміщається, від сили десяток. Якщо відповідь вийшла негативною, то завдання теж вирішено некоректно.
Приклад 2
Обчислити площу фігури, обмеженою лініями , , та віссю
Це приклад самостійного рішення. Повне рішення та відповідь наприкінці уроку.
Що робити, якщо криволінійна трапеція розташована під віссю?
Приклад 3
Обчислити площу фігури, обмеженою лініями і координатними осями.
Рішення: Виконаємо креслення: 
Якщо криволінійна трапеція повністю розташована під віссю, то її площу можна знайти за формулою:
В даному випадку: 
Увага! Не слід плутати два типи завдань:
1) Якщо Вам запропоновано вирішити просто певний інтеграл без жодного геометричного сенсу, то він може бути негативним.
2) Якщо Вам запропоновано знайти площу фігури за допомогою певного інтеграла, то площа завжди позитивна! Саме тому у щойно розглянутій формулі фігурує мінус.
На практиці найчастіше фігура розташована і у верхній і нижній напівплощині, а тому, від найпростіших шкільних завдань переходимо до більш змістовних прикладів.
Приклад 4
Знайти площу плоскої фігури, обмеженою лініями , .
Рішення: Спочатку потрібно виконати креслення. Загалом кажучи, при побудові креслення у завданнях на площу нас найбільше цікавлять точки перетину ліній. Знайдемо точки перетину параболи та прямий. Це можна зробити двома способами. Перший спосіб – аналітичний. Вирішуємо рівняння:
Значить, нижня межа інтегрування, верхня межа інтегрування.
Цим способом краще, наскільки можна, не користуватися.
Набагато вигідніше і швидше побудувати лінії поточечно, у своїй межі інтегрування з'ясовуються хіба що «самі собою». Техніка поточкової побудови для різних графіків детально розглянута у довідці Графіки та властивості елементарних функцій. Тим не менш, аналітичний спосіб знаходження меж все-таки доводиться іноді застосовувати, якщо, наприклад, графік досить великий, або поточена побудова не виявила меж інтегрування (вони можуть бути дрібними або ірраціональними). І такий приклад ми теж розглянемо.
Повертаємося до нашого завдання: раціональніше спочатку побудувати пряму і лише потім параболу. Виконаємо креслення: 
Повторюся, що за поточечному побудові межі інтегрування найчастіше з'ясовуються «автоматом».
А тепер робоча формула:Якщо на відрізку деяка безперервна функція більше або дорівнюєдеякої безперервної функції , то площу відповідної фігури можна знайти за формулою:
Тут уже не треба думати, де розташована постать - над віссю або під віссю, і, грубо кажучи, важливо, який графік Вище(щодо іншого графіка), а який – НИЖЧЕ.
У прикладі очевидно, що на відрізку парабола розташовується вище прямої, а тому необхідно відняти
Завершення рішення може мати такий вигляд:
Потрібна фігура обмежена параболою зверху і прямою знизу.
На відрізку , за відповідною формулою:
Відповідь:
Насправді шкільна формула для площі криволінійної трапеції у нижній напівплощині (див. простенький приклад №3) – окремий випадок формули 
. Оскільки вісь задається рівнянням, а графік функції розташований нижче за осі, то 
А зараз пара прикладів для самостійного вирішення
Приклад 5
Приклад 6
Знайти площу фігури, обмеженою лініями , .
У ході вирішення завдань на обчислення площі за допомогою певного інтегралу іноді трапляється кумедний казус. Креслення виконано правильно, розрахунки – правильно, але через неуважність… знайдено площу не тієї фігури, саме так кілька разів лажався ваш покірний слуга. Ось реальний випадок із життя:
Приклад 7
Обчислити площу фігури, обмеженою лініями , , , .
Спочатку виконаємо креслення: 
Фігура, площу якої нам потрібно знайти, заштрихована синім кольором(Уважно дивіться на умову – чим обмежена фігура!). Але на практиці через неуважність нерідко виникає, що потрібно знайти площу фігури, яка заштрихована зеленим кольором!
Цей приклад ще й корисний тим, що в ньому площа фігури вважається двома певними інтегралами. Дійсно:
1) На відрізку над віссю розташований графік прямий;
2) На відрізку над віссю розташований графік гіперболи.
Цілком очевидно, що площі можна (і потрібно) приплюсувати, тому:
Відповідь:
Приклад 8
Обчислити площу фігури, обмеженою лініями ,
Представимо рівняння в «шкільному» вигляді і виконаємо поточковий креслення: 
З креслення видно, що верхню межу ми «хороший»: .
Але чому дорівнює нижня межа?! Зрозуміло, що це ціле число, але яке? Може бути ? Але де гарантія, що креслення виконано з ідеальною точністю, цілком може виявитися . Або корінь. А якщо ми взагалі неправильно збудували графік?
У таких випадках доводиться витрачати додатковий час та уточнювати межі інтегрування аналітично.
Знайдемо точки перетину прямої та параболи.
Для цього розв'язуємо рівняння: 
Отже, .
Подальше рішення тривіально, головне, не заплутатися у підстановках та знаках, обчислення тут не найпростіші.
На відрізку 
, за відповідною формулою: 
Відповідь: 
Ну, і на закінчення уроку, розглянемо два завдання складніше.
Приклад 9
Обчислити площу фігури, обмеженою лініями , ,
Рішення: Зобразимо цю фігуру на кресленні. 
Для поточкового побудови креслення необхідно знати зовнішній вигляд синусоїди (і взагалі корисно знати графіки всіх елементарних функцій), а також деякі значення синуса, їх можна знайти в тригонометричної таблиці. У ряді випадків (як у цьому) допускається побудова схематичного креслення, на якому принципово правильно повинні бути відображені графіки та межі інтегрування.
З межами інтегрування тут проблем немає, вони випливають з умови: – «ікс» змінюється від нуля до «пі». Оформляємо подальше рішення:
На відрізку графік функції розташований над віссю, тому:
(1) Як інтегруються синуси та косинуси у непарних ступенях можна подивитися на уроці Інтеграли від тригонометричних функцій. Це типовий прийом, відщипуємо один синус.
(2) Використовуємо основне тригонометричне тотожність у вигляді 
(3) Проведемо заміну змінної , тоді:
Нові переді інтегрування:
У кого зовсім погані справи із замінами, прошу пройти на урок Метод заміни у невизначеному інтегралі. Кому не дуже зрозумілий алгоритм заміни у певному інтегралі, відвідайте сторінку Визначений інтеграл. Приклади рішень.
Приклад1 . Обчислити площу фігури, обмеженої лініями: х + 2у - 4 = 0, у = 0, х = -3, і х = 2
Виконаємо побудову фігури (див. рис.) Будуємо пряму х + 2у – 4 = 0 за двома точками А(4;0) та В(0;2). Виразивши у через х отримаємо у = -0,5х + 2. За формулою (1), де f(x) = -0,5х + 2, а = -3, в = 2, знаходимо
S = = [-0,25 = 11,25 кв. од
приклад 2. Обчислити площу фігури, обмеженою лініями: х – 2у + 4 = 0, х + у – 5 = 0 та у = 0.
Рішення. Виконаємо побудову фігури.
Побудуємо пряму х - 2у + 4 = 0: у = 0, х = - 4, А (-4; 0); х = 0, у = 2, (0; 2).
Побудуємо пряму х + у - 5 = 0: у = 0, х = 5, С (5; 0), х = 0, у = 5, D (0; 5).
Знайдемо точку перетину прямих, розв'язавши систему рівнянь:
х = 2, у = 3; М(2; 3).
Для обчислення шуканої площі розіб'ємо трикутник АМС на два трикутники АМN і NМС, тому що при зміні х від А до N площа обмежена прямою, а при зміні х від N до С - прямий
Для трикутника АМN маємо: ; у = 0,5 х + 2, тобто f(x) = 0,5 х + 2, a = - 4, b = 2.
Для трикутника NМС маємо: y = – x + 5, тобто f(x) = – x + 5, a = 2, b = 5.
Обчисливши площу кожного з трикутників та склавши результати, знаходимо:
кв. од.
кв. од.
9+4,5 = 13,5 кв. од. Перевірка: = 0,5 АС = 0,5 кв. од.
приклад 3. Обчислити площу фігури, обмеженою лініями: y = x 2 , y = 0, x = 2, x = 3
В даному випадку потрібно обчислити площу криволінійної трапеції, обмеженої параболою y = x 2 , Прямими x = 2 і x = 3і віссю Ох(див. рис.) За формулою (1) знаходимо площу криволінійної трапеції
= = 6кв. од.
приклад 4. Обчислити площу фігури, обмеженою лініями: у = - x 2 + 4 та у = 0
Виконаємо побудову фігури. Шукана площа укладена між параболою у = - x 2 + 4 та віссю Ох.
Знайдемо точки перетину параболи із віссю Ох. Вважаючи у = 0, знайдемо х = Так як ця фігура симетрична щодо осі Оу, то обчислимо площу фігури, розташованої праворуч від осі Оу, і отриманий результат вдвох: = +4x] кв. од. 2 = 2 кв. од.
Приклад 5. Обчислити площу фігури, обмеженою лініями: y 2 = x, yx = 1, x = 4
Тут потрібно обчислити площу криволінійної трапеції, обмеженою верхньою гілкою параболиy 2 = x, віссю Ох і прямими x = 1x = 4 (див. рис.)
За формулою (1), де f(x) = a = 1 та b = 4 маємо = (= кв. од.
Приклад 6 . Обчислити площу фігури, обмеженої лініями: y = sinx, y = 0, x = 0, x = .
Шукана площа обмежена напівхвильової синусоїди та віссю Ох (див. рис.).
Маємо – cosx = – cos = 1 + 1 = 2 кв. од.
Приклад 7. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями: y = - 6х, у = 0 та х = 4.
Фігура розташована під віссю Ох (див. мал.).
Отже, її площу знаходимо за формулою (3)
= =
Приклад 8. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями: y = і х = 2. Криву y = збудуємо за точками (див. рис.). Таким чином, площу фігури знаходимо за формулою (4)
Приклад 9 .
х 2 + у 2 = r 2 .
Тут потрібно обчислити площу, обмежену колом х 2 + у 2 = r 2 , тобто площа кола радіуса r із центром на початку координат. Знайдемо четверту частину цієї площі, взявши межі інтегрування від 0
доr; маємо: 1 = = [
Отже, 1 =
приклад 10. Обчислити площу фігури, обмеженою лініями: у = х 2 і у = 2х
Дана фігура обмежена параболою у = х 2 і прямий у = 2х (див. рис.) Для визначення точок перетину заданих ліній розв'яжемо систему рівнянь:х 2 - 2х = 0 х = 0 і х = 2
Використовуючи для знаходження площі формулу (5), отримаємо
= \- -fl -- Г -1-±Л_ 1V1 -l-l-Ii-^ 3) |_ 2 3V 2 / J 3 24 24* Приклад 2. Обчислимо площу, обмежену синусоїдою y = sinXy віссю Ох і прямою (рис . 87). Застосовуючи формулу (I), отримуємо Л 2 S= J sinxdx = [-cos x] Q =0 -(-1) = lf Приклад 3. Обчислимо площу, обмежену дугою синусоїди ^у = sin jc, укладеної між двома сусідніми точками перетину з віссю Ох (наприклад, між початком координат і крапкою з абсцисою я). Зауважимо, що з геометричних міркувань ясно, що ця площа буде вдвічі більшою за площу попереднього прикладу. Однак зробимо обчислення: я 5 = | s\nxdx= [ - cosх)* - - cos я-(-cos 0)= 1 + 1 = 2. о Дійсно, наше припущення виявилося справедливим. Приклад 4. Обчислити площу, обмежену синусоїдою і віссю Ох на одному періоді (рис. 88). Попередні розрис судження дозволяють припустити, що площа вийде в чотири рази більше, ніж у пр. 2. Однак, зробивши обчислення, отримаємо «я Г, * я S - \ sin х dx = [ - cos х] 0 = = - cos 2л -(-cos 0) = - 1 + 1 = 0. Цей результат потребує роз'яснень. Для з'ясування суті справи обчислюємо ще площу, обмежену тією самою синусоїдою у = sin л: і віссю Ох не більше від л до 2я. Застосовуючи формулу (I), отримуємо 2л $2л sin хdx=[ - cosх]л =-cos 2я~)-с05я=- 1-1 =-2. Таким чином, бачимо, що ця площа вийшла негативною. Порівнюючи її з площею, обчисленою у пр. 3, отримуємо, що й абсолютні величини однакові, а знаки різні. Якщо застосувати властивість V (див. гл. XI, § 4), то отримаємо 2л я 2л J sin xdx = J sin * dx [ sin x dx = 2 + (- 2) = 0 Те, що вийшло в цьому прикладі, не є випадковістю. Завжди площа, розташована нижче осі Ох, за умови, що незалежне змінне змінюється ліворуч, виходить при обчисленні за допомогою інтегралів негативною. У цьому курсі ми завжди розглядатимемо площі без знаків. Тому відповідь у щойно розібраному прикладі буде такою: площа, що шукається, дорівнює 2 + |-2| = 4. Приклад 5. Обчислимо площу ОАВ, вказану на рис. 89. Ця площа обмежена віссю Ох параболою у = - хг і прямий у - =-х + \. Площа криволінійної трапеції Шукана площа ОАВ складається з двох частин: ОАМ та МАВ. Так як точка А є точкою перетину параболи та прямою, то її координати знайдемо, розв'язуючи систему рівнянь 3 2 У = тх. (Нам потрібно знайти тільки абсцис точки А). Вирішуючи систему, знаходимо л; = ~. Тому площу доводиться обчислювати частинами, спочатку пл. ОАМ, та був пл. МАВ: .... Г 3 2 , 3 Г хП 3 1/2 У 2 . QAM-х функція. Фігура обмежена кривою? (?) та променями? =?,? = ?, називається криволінійним сектором. Площа криволінійного сектора дорівнює
Знаходження довжини дуги кривої
Прямокутні координати
Нехай у прямокутних координатах дано плоску криву AB, рівняння якої y = f(x), де a ? x? b. (рис 2)
Під довжиною дуги AB розуміється межа, якого прагнути довжина ламаної лінії, вписаної у цю дугу, коли кількість ланок ламаної необмежено зростає, а довжина найбільшої ланки її прагнути нулю.
Застосуємо схему I (метод сум).
Точками X = a, X, …, X = b (X? X? …? X) розіб'ємо відрізок на n частин. Нехай цим точкам відповідають точки M = A, M, …, M = B на кривій AB. Проведемо хорди MM, MM, …, MM, довжини яких позначимо відповідно через L, L, …, L.
Отримаємо ламану MMM … MM, довжина якої дорівнює L =? L +? L + … +? L =? L.
Довжину хорди (або ламаної ланки) ?L можна знайти за теоремою Піфагора з трикутника з катетами?X і ?Y:
L = , де X = X - X, Y = f (X) - f (X).
За теоремою Лагранжа про кінцеве збільшення функції
Y = (C)? X, де C (X, X).
а довжина всієї ламаної MMM … MM дорівнює
Довжина кривої AB, за визначенням, дорівнює
Зауважимо, що при? L 0 також і? X 0 (? L = і отже |? X |< ?L). Функция непрерывна на отрезке , так как, по условию, непрерывна функция f (X). Следовательно, существует предел интегральной суммы L=?L= , кода max ?X 0:
Отже, L = dx.
Приклад: Знайти довжину кола радіуса R. (рис 3)
Знайдемо? частина її довжини від точки (0; R) до точки (R; 0). Так як