Знайти площу фігури обмеженою лініями зробити малюнок. Як обчислити площу плоскої фігури за допомогою подвійного інтегралу

Переходимо до розгляду додатків інтегрального обчислення. На цьому уроці ми розберемо типове та найбільш поширене завдання обчислення площі плоскої фігури за допомогою певного інтегралу. Нарешті всі, хто шукає сенс у вищій математиці, - нехай знайдуть його. Мало. Доведеться ось у житті наближати дачну ділянку елементарними функціями і знаходити її площу за допомогою певного інтегралу.

Для успішного освоєння матеріалу необхідно:

1) Розбиратися у невизначеному інтегралі хоча б на середньому рівні. Таким чином, чайникам для початку слід ознайомитись з уроком Не.

2) Вміти застосовувати формулу Ньютона-Лейбніца та обчислювати певний інтеграл. Налагодити теплі дружні стосунки із певними інтегралами можна на сторінці Певний інтеграл. Приклади рішень. Завдання «обчислити площу за допомогою певного інтегралу» завжди передбачає побудову кресленняТому актуальним питанням будуть також ваші знання та навички побудови креслень. Як мінімум, треба вміти будувати пряму, параболу та гіперболу.

Почнемо з криволінійної трапеції. Криволінійна трапеція - це плоска фігура, обмежена графіком деякої функції y = f(x), віссю OXта лініями x = a; x = b.

Площа криволінійної трапеції чисельно дорівнює певному інтегралу

Будь-який певний інтеграл (який існує) має дуже хороший геометричний зміст. На уроці Певний інтеграл. Приклади рішеньми говорили, що певний інтеграл це число. А зараз настав час констатувати ще один корисний факт. З погляду геометрії певний інтеграл – це ПЛОЩА. Тобто, певному інтегралу (якщо він існує) геометрично відповідає площа деякої фігури. Розглянемо певний інтеграл

Підінтегральна функція

задає на площині криву (її за бажання можна накреслити), а сам певний інтеграл чисельно дорівнює площі відповідної криволінійної трапеції.

Приклад 1

, , , .

Це типове формулювання завдання. Найважливіший момент рішення – побудова креслення. Причому креслення необхідно побудувати ПРАВИЛЬНО.

При побудові креслення я рекомендую наступний порядок: спочаткукраще побудувати всі прямі (якщо вони є) і тільки потім– параболи, гіперболи, графіки інших функцій. З технікою поточкової побудови можна ознайомитись у довідковому матеріалі Графіки та властивості елементарних функцій. Там же можна знайти дуже корисний стосовно нашого уроку матеріал – як швидко побудувати параболу.

У цій задачі рішення може виглядати так.

Виконаємо креслення (зверніть увагу, що рівняння y= 0 задає вісь OX):

Штрихувати криволінійну трапецію не будемо, тут очевидно, про яку площу йдеться. Рішення продовжується так:

На відрізку [-2; 1] графік функції y = x 2 + 2 розташований над віссюOXтому:

Відповідь: .

У кого виникли труднощі з обчисленням певного інтегралу та застосуванням формули Ньютона-Лейбніца

зверніться до лекції Певний інтеграл. Приклади рішень. Після того, як завдання виконане, завжди корисно поглянути на креслення і прикинути, чи реальна вийшла відповідь. У цьому випадку «на око» підраховуємо кількість клітинок у кресленні – ну, приблизно 9 набереться, схоже на правду. Цілком зрозуміло, що якби в нас вийшов, скажімо, відповідь: 20 квадратних одиниць, то, очевидно, що десь припущена помилка - у розглянуту фігуру 20 клітинок явно не вміщається, від сили десяток. Якщо відповідь вийшла негативною, то завдання теж вирішено некоректно.

Приклад 2

Обчислити площу фігури, обмеженою лініями xy = 4, x = 2, x= 4 та віссю OX.

Це приклад самостійного рішення. Повне рішення та відповідь наприкінці уроку.

Що робити, якщо криволінійна трапеція розташована під віссюOX?

Приклад 3

Обчислити площу фігури, обмеженою лініями y = e - x, x= 1 та координатними осями.

Рішення: Виконаємо креслення:

Якщо криволінійна трапеція повністю розташована під віссю OX , то її площу можна знайти за формулою:

В даному випадку:

Увага! Не слід плутати два типи завдань:

1) Якщо Вам запропоновано вирішити просто певний інтеграл без жодного геометричного сенсу, то він може бути негативним.

2) Якщо Вам запропоновано знайти площу фігури за допомогою певного інтеграла, то площа завжди позитивна! Саме тому у щойно розглянутій формулі фігурує мінус.

На практиці найчастіше фігура розташована і у верхній і нижній півплощині, а тому, від найпростіших шкільних завдань переходимо до більш змістовних прикладів.

Приклад 4

Знайти площу плоскої фігури, обмеженою лініями y = 2x – x 2 , y = -x.

Рішення: Спочатку потрібно виконати креслення. При побудові креслення завдання на площу нас найбільше цікавлять точки перетину ліній. Знайдемо точки перетину параболи y = 2x – x 2 та прямий y = -x. Це можна зробити двома способами. Перший спосіб – аналітичний. Вирішуємо рівняння:

Отже, нижня межа інтегрування a= 0, верхня межа інтегрування b= 3. Часто вигідніше і швидше побудувати лінії поточечно, у своїй межі інтегрування з'ясовуються хіба що «самі собою». Тим не менш, аналітичний спосіб знаходження меж все-таки доводиться іноді застосовувати, якщо, наприклад, графік досить великий, або поточена побудова не виявила меж інтегрування (вони можуть бути дрібними або ірраціональними). Повертаємося до нашого завдання: раціональніше спочатку побудувати пряму і лише потім параболу. Виконаємо креслення:

Повторимося, що з поточечному побудові межі інтегрування найчастіше з'ясовуються «автоматоматично».

А тепер робоча формула:

Якщо на відрізку [ a; b] деяка безперервна функція f(x) більше або дорівнюєдеякої безперервної функції g(x), то площу відповідної фігури можна знайти за формулою:

Тут уже не треба думати, де розташована постать – над віссю чи під віссю, а важливо, який графік Вище(щодо іншого графіка), а який – НИЖЧЕ.

У прикладі очевидно, що на відрізку парабола розташовується вище прямої, а тому з 2 x – x 2 необхідно відняти - x.

Завершення рішення може мати такий вигляд:

Потрібна фігура обмежена параболою y = 2x – x 2 зверху та прямий y = -xзнизу.

На відрізку 2 x – x 2 ≥ -x. За відповідною формулою:

Відповідь: .

Насправді, шкільна формула для площі криволінійної трапеції у нижній напівплощині (див. приклад №3) – окремий випадок формули

Оскільки вісь OXзадається рівнянням y= 0, а графік функції g(x) розташований нижче осі OX, то

А зараз пара прикладів для самостійного вирішення

Приклад 5

Приклад 6

Знайти площу фігури, обмеженою лініями

У ході вирішення завдань на обчислення площі за допомогою певного інтегралу іноді трапляється кумедний казус. Креслення виконано правильно, розрахунки – правильно, але, за неуважністю,… знайдено площу не тієї фігури.

Приклад 7

Спочатку виконаємо креслення:

Фігура, площу якої нам потрібно знайти, заштрихована синім кольором(Уважно дивіться на умову – чим обмежена фігура!). Але на практиці, через неуважність, нерідко вирішують, що потрібно знайти площу фігури, яка заштрихована зеленим кольором!

Цей приклад ще й корисний тим, що в ньому площа фігури вважається двома певними інтегралами. Дійсно:

1) На відрізку [-1; 1] над віссю OXрозташований графік прямий y = x+1;

2) На відрізку над віссю OXрозташований графік гіперболи y = (2/x).

Цілком очевидно, що площі можна (і потрібно) приплюсувати, тому:

Відповідь:

Приклад 8

Обчислити площу фігури, обмеженою лініями

Представимо рівняння у «шкільному» вигляді

і виконаємо крапковий креслення:

З креслення видно, що верхня межа у нас «хороша»: b = 1.

Але чому дорівнює нижня межа?! Зрозуміло, що це ціле число, але яке?

Можливо, a=(-1/3)? Але де гарантія, що креслення виконано з ідеальною точністю, цілком може виявитися, що a=(-1/4). А якщо ми взагалі неправильно збудували графік?

У таких випадках доводиться витрачати додатковий час та уточнювати межі інтегрування аналітично.

Знайдемо точки перетину графіків

Для цього розв'язуємо рівняння:

Отже, a=(-1/3).

Подальше рішення тривіальне. Головне, не заплутатися у підстановках та знаках. Обчислення тут не найпростіші. На відрізку

, ,

за відповідною формулою:

Відповідь:

На закінчення уроку розглянемо два завдання складніше.

Приклад 9

Обчислити площу фігури, обмеженою лініями

Рішення: Зобразимо цю фігуру на кресленні.

Для поточкового побудови креслення потрібно знати зовнішній вигляд синусоїди. Взагалі корисно знати графіки всіх елементарних функцій, а також деякі значення синуса. Їх можна знайти у таблиці значень тригонометричних функцій. У ряді випадків (наприклад, у цьому) допускається побудова схематичного креслення, на якому принципово правильно повинні бути відображені графіки та межі інтегрування.

З межами інтегрування тут проблем немає, вони випливають прямо з умови:

- "ікс" змінюється від нуля до "пі". Оформлюємо подальше рішення:

На відрізку графік функції y= sin 3 xрозташований над віссю OXтому:

(1) Як інтегруються синуси та косинуси у непарних ступенях, можна подивитися на уроці Інтеграли від тригонометричних функцій. Відщипуємо один синус.

(2) Використовуємо основне тригонометричне тотожність у вигляді

(3) Проведемо заміну змінної t= cos x, тоді: розташований над віссю , тому:

Примітка:зверніть увагу, як береться інтеграл від тангенсу в кубі, тут використано наслідок основної тригонометричної тотожності

У попередньому розділі, присвяченому розбору геометричного сенсу певного інтеграла, ми отримали низку формул для обчислення площі криволінійної трапеції:

Yandex.RTB R-A-339285-1

S (G) = ∫ a b f (x) d x для безперервної та невід'ємної функції y = f (x) на відрізку [a; b ] ,

S (G) = - ∫ a b f (x) d x для безперервної та непозитивної функції y = f (x) на відрізку [a; b].

Ці формули застосовні для вирішення простих завдань. Насправді ж нам частіше доведеться працювати з складнішими фігурами. У зв'язку з цим, цей розділ ми присвятимо розбору алгоритмів обчислення площі фігур, які обмежені функціями явно, тобто. як y = f(x) або x = g(y) .

Теорема

Нехай функції y = f 1 (x) та y = f 2 (x) визначені і безперервні на відрізку [a; b], причому f 1 (x) ≤ f 2 (x) для будь-якого значення x з [a; b]. Тоді формула для обчислення площі фігури G обмеженою лініями x = a , x = b , y = f 1 (x) і y = f 2 (x) матиме вигляд S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x .

Схожа формула буде застосовна для площі фігури, обмеженої лініями y = c , y = d , x = g 1 (y) та x = g 2 (y) : S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y) d y.

Доказ

Розберемо три випадки, котрим формула буде справедлива.

У першому випадку, враховуючи властивість адитивності площі, сума площ вихідної фігури G і криволінійної трапеції G 1 дорівнює площі фігури G 2 . Це означає, що

Тому S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x.

Виконати останній перехід ми можемо з використанням третьої якості певного інтеграла.

У другому випадку справедлива рівність: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x

Графічна ілюстрація матиме вигляд:

Якщо обидві функції непозитивні, отримуємо: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x . Графічна ілюстрація матиме вигляд:

Перейдемо до розгляду загального випадку, коли y = f 1 (x) та y = f 2 (x) перетинають вісь O x .

Точки перетину ми позначимо як x i, i = 1, 2,. . . , n-1. Ці точки розбивають відрізок [a; b] на n частин x i-1; x i, i = 1, 2,. . . , n де α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

Отже,

S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x

Останній перехід ми можемо здійснити з використанням п'ятої якості певного інтеграла.

Проілюструємо на графіку загальний випадок.

Формулу S(G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x можна вважати доведеною.

А тепер перейдемо до розбору прикладів обчислення площі фігур, які обмежені лініями y = f(x) та x = g(y) .

Розгляд будь-якого з прикладів ми починатимемо з побудови графіка. Зображення дозволить нам представляти складні фігури як поєднання простіших фігур. Якщо побудова графіків і фігур на них викликає у вас труднощі, можете вивчити розділ про основні елементарні функції, геометричне перетворення графіків функцій, а також побудову графіків під час дослідження функції.

Приклад 1

Необхідно визначити площу фігури, яка обмежена параболою y = - x 2 + 6 x - 5 і прямими лініями y = - 1 3 x - 1 2 x = 1 x = 4 .

Рішення

Зобразимо лінії на графіку в системі декартової координат.

На відрізку [1; 4 ] графік параболи y = - x 2 + 6 x - 5 розташований вище за пряму y = - 1 3 x - 1 2 . У зв'язку з цим для отримання відповіді використовуємо формулу, отриману раніше, а також спосіб обчислення певного інтеграла за формулою Ньютона-Лейбніца:

S(G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 · 4 3 + 19 6 · 4 2 - 9 2 · 4 - - 1 3 · 1 3 + 19 6 · 1 2 - 9 2 · 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

Відповідь: S(G) = 13

Розглянемо складніший приклад.

Приклад 2

Необхідно обчислити площу фігури, яка обмежена лініями y = x + 2, y = x, x = 7.

Рішення

В даному випадку ми маємо тільки одну пряму лінію, розташовану паралельно осі абсцис. Це x = 7. Це вимагає від нас знайти другу межу інтегрування самостійно.

Побудуємо графік та нанесемо на нього лінії, дані за умови завдання.

Маючи графік перед очима, ми легко можемо визначити, що нижньою межею інтегрування буде абсцис точки перетину графіка прямої y = x і напів параболи y = x + 2 . Для знаходження абсциси використовуємо рівності:

y = x + 2 О Д З З: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (-1) 2 - 4 · 1 · (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ О Д З x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ О Д З

Виходить, що абсцис точки перетину є x = 2 .

Звертаємо вашу увагу на той факт, що в загальному прикладі на кресленні лінії y = x + 2, y = x перетинаються в точці (2; 2), тому такі докладні обчислення можуть здатися зайвими. Ми привели тут таке докладне рішення лише тому, що у складніших випадках рішення може бути не таким очевидним. Це означає, що координати перетину ліній краще завжди обчислювати аналітично.

На інтервалі [2; 7] графік функції y = x розташований вище за графік функції y = x + 2 . Застосуємо формулу для обчислення площі:

S(G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 · 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

Відповідь: S(G) = 59 6

Приклад 3

Необхідно обчислити площу фігури, яка обмежена графіками функцій y = 1 x та y = - x 2 + 4 x - 2 .

Рішення

Нанесемо лінії на графік.

Визначимося з межами інтегрування. Для цього визначимо координати точок перетину ліній, прирівнявши вирази 1 x - x 2 + 4 x - 2 . За умови, що x не дорівнює нулю, рівність 1 x = - x 2 + 4 x - 2 стає еквівалентним рівнянню третього ступеня - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 із цілими коефіцієнтами. Освіжити в пам'яті алгоритм вирішення таких рівнянь ми можете, звернувшись до розділу «Рішення кубічних рівнянь».

Коренем цього рівняння є х = 1: - 1 3 + 4 · 1 2 - 2 · 1 - 1 = 0 .

Розділивши вираз - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 на двочлен x - 1 отримуємо: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0

Коріння, що залишилося, ми можемо знайти з рівняння x 2 - 3 x - 1 = 0:

x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (-3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0 . 3

Ми знайшли інтервал x ∈ 1; 3 + 13 2 , на якому фігура G укладена вище синій і нижче червоної лінії. Це допомагає нам визначити площу фігури:

S(G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 · 3 + 13 2 2 - 2 · 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 · 1 2 - 2 · 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Відповідь: S(G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Приклад 4

Необхідно обчислити площу фігури, яка обмежена кривими y = x 3 , y = - log 2 x + 1 і віссю абсцис.

Рішення

Нанесемо усі лінії на графік. Ми можемо отримати графік функції y = - log 2 x + 1 з графіка y = log 2 x якщо розташуємо його симетрично щодо осі абсцис і піднімемо на одну одиницю вгору. Рівняння осі абсцис у = 0.

Позначимо точки перетину ліній.

Як очевидно з малюнка, графіки функцій y = x 3 і y = 0 перетинаються у точці (0 ; 0) . Так виходить тому, що х = 0 є єдиним дійсним коренем рівняння х 3 = 0 .

x = 2 є єдиним коренем рівняння - log 2 x + 1 = 0 тому графіки функцій y = - log 2 x + 1 і y = 0 перетинаються в точці (2 ; 0) .

x = 1 є єдиним коренем рівняння x 3 = - log 2 x + 1. У зв'язку з цим графіки функцій y = x 3 і y = - log 2 x + 1 перетинаються в точці (1; 1). Останнє твердження може бути неочевидним, але рівняння x 3 = - log 2 x + 1 не може мати більше одного кореня, так як функція y = x 3 є строго зростаючою, а функція y = - log 2 x + 1 строго спадаючою.

Подальше рішення передбачає кілька варіантів.

Варіант №1

Фігуру G ми можемо представити як суму двох криволінійних трапецій, розташованих вище за осі абсцис, перша з яких розташовується нижче середньої лінії на відрізку x ∈ 0 ; 1 , а друга нижче за червону лінію на відрізку x ∈ 1 ; 2 . Це означає, що площа дорівнює S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x .

Варіант №2

Фігуру G можна представити як різницю двох фігур, перша з яких розташована вище за осі абсцис і нижче за синю лінію на відрізку x ∈ 0 ; 2 , а друга між червоною та синьою лініями на відрізку x ∈ 1 ; 2 . Це дозволяє нам знайти площу наступним чином:

S(G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x

В цьому випадку для знаходження площі доведеться використовувати формулу виду S (G) = c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y . Фактично, лінії, які обмежують фігуру, можна подати у вигляді функцій від аргументу y .

Дозволимо рівняння y = x 3 і - log 2 x + 1 щодо x:

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

Отримаємо потрібну площу:

S(G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4

Відповідь: S(G) = 1 ln 2 - 1 4

Приклад 5

Необхідно обчислити площу фігури, обмежену лініями y = x , y = 2 3 x - 3 , y = - 1 2 x + 4 .

Рішення

Червоною лінією нанесемо графік лінію, задану функцією y = x . Синім кольором нанесемо лінію y = -1 2 x + 4, чорним кольором позначимо лінію y = 2 3 x - 3.

Зазначимо точки перетину.

Знайдемо точки перетину графіків функцій y = x та y = - 1 2 x + 4:

x = - 1 2 x + 4 О Д З З: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20) 2 - 4 · 1 · 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16; x 2 = 20 - 144 2 = 4 П о верка: x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 · 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 не я в л я т с я р е ш е н ня му р а в н е н і я x 2 = 4 = 2 , - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 · 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 я в л я е т с я р е ш е н н я е м у р а в н і н я ⇒ (4 ; 2) т о к а п е р е с е н і я y = x та y = - 1 2 x + 4

Знайдемо точку перетину графіків функцій y = x та y = 2 3 x - 3:

x = 2 3 x - 3 О Д З: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 · 4 · 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9 , x 2 45 - 729 8 = 9 4 Перевірка: x 1 = 9 = 3 , 2 3 x 1 - 3 = 2 3 · 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 я в л я е т с я р е ш е н н е м у р а в н е н я ⇒ (9 ; 3) т о к а перес е ч а н я y = x і y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2 , 2 3 x 1 - 3 = 2 3 · 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 н е я в л я ет с я р е ш е н н ня м у р я в н е ня

Знайдемо точку перетину ліній y = - 1 2 x + 4 і y = 2 3 x - 3:

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 · 6 + 4 = 2 3 · 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ; 1) точка перес е чення і = - 1 2 x + 4 і y = 2 3 x - 3

Спосіб №1

Представимо площу шуканої фігури як суму площ окремих фігур.

Тоді площа фігури дорівнює:

S(G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 · 6 3 2 + 6 2 4 - 4 · 6 - 2 3 · 4 3 2 + 4 2 4 - 4 · 4 + + 2 3 · 9 3 2 - 9 2 3 + 3 · 9 - 2 3 · 6 3 2 - 6 2 3 + 3 · 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

Спосіб №2

Площа вихідної фігури можна як суму двох інших фігур.

Тоді розв'яжемо рівняння лінії щодо x , а тільки після цього застосуємо формулу обчислення площі фігури.

y = x ⇒ x = y 2 до р а з н а я л і н і я y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 с і н я л і н і я

Таким чином, площа дорівнює:

S(G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 · 2 2 - 7 4 · 2 - 7 4 · 1 2 - 7 4 · 1 + + - 3 3 3 + 3 · 3 2 4 + 9 2 · 3 - - 2 3 3 + 3 · 2 2 4 + 9 2 · 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

Як бачите, значення збігаються.

Відповідь: S(G) = 11 3

Підсумки

Для знаходження площі фігури, яка обмежена заданими лініями, нам необхідно побудувати лінії на площині, знайти точки їх перетину, застосувати формулу для знаходження площі. У цьому розділі ми розглянули варіанти завдань, що найчастіше зустрічаються.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Насправді, для того щоб знаходити площу фігури не треба так багато знань з невизначеного і певного інтегралу. Завдання «обчислити площу за допомогою певного інтегралу» завжди передбачає побудову кресленняТому набагато актуальнішим питанням будуть ваші знання та навички побудови креслень. У зв'язку з цим корисно освіжити в пам'яті графіки основних елементарних функцій, а, як мінімум, вміти будувати пряму, і гіперболу.

Криволінійною трапецією називається плоска фігура, обмежена віссю , прямими , і безперервною графіком на відрізку функції , яка не змінює знак на цьому проміжку. Нехай ця фігура розташована не нижчеосі абсцис:

Тоді площа криволінійної трапеції чисельно дорівнює певному інтегралу. Будь-який певний інтеграл (який існує) має дуже хороший геометричний зміст.

З погляду геометрії певний інтеграл – це ПЛОЩА.

Тобто,певному інтегралу (якщо він існує) геометрично відповідає площа певної постаті. Наприклад, розглянемо певний інтеграл. Підінтегральна функція задає на площині криву, що знаходиться вище за осі (бажаючі можуть виконати креслення), а сам певний інтеграл чисельно дорівнює площі відповідної криволінійної трапеції.

Приклад 1

Це типове формулювання завдання. Перший та найважливіший момент рішення - побудова креслення. Причому креслення необхідно побудувати ПРАВИЛЬНО.

При побудові креслення я рекомендую наступний порядок: спочаткукраще побудувати всі прямі (якщо вони є) і тільки потім- параболи, гіперболи, графіки інших функцій. Графіки функцій вигідніше будувати крапково.

У цій задачі рішення може виглядати так.
Виконаємо креслення (зверніть увагу, що рівняння задає вісь):

На відрізку графік функції розташований над віссютому:

Відповідь:

Після того, як завдання виконане, завжди корисно поглянути на креслення і прикинути, чи реальна вийшла відповідь. У цьому випадку «на вічко» підраховуємо кількість клітин у кресленні - ну, приблизно 9 набереться, схоже на правду. Цілком зрозуміло, що якби в нас вийшов, скажімо, відповідь: 20 квадратних одиниць, то, очевидно, що десь припущена помилка - у розглянуту фігуру 20 клітинок явно не вміщається, від сили десяток. Якщо відповідь вийшла негативною, то завдання теж вирішено некоректно.

Приклад 3

Обчислити площу фігури, обмеженою лініями і координатними осями.

Рішення: Виконаємо креслення:

Якщо криволінійна трапеція розташована під віссю(або, принаймні, не вищеданої осі), то її площу можна знайти за формулою:

В даному випадку:

Увага! Не слід плутати два типи завдань:

Приклад 4

Знайти площу плоскої фігури, обмеженою лініями , .

Рішення: Спочатку потрібно виконати креслення Загалом кажучи, при побудові креслення у завданнях на площу нас найбільше цікавлять точки перетину ліній. Знайдемо точки перетину параболи та прямий. Це можна зробити двома способами. Перший спосіб – аналітичний. Вирішуємо рівняння:

Значить, нижня межа інтегрування, верхня межа інтегрування.

Цим способом краще, наскільки можна, не користуватися.

Набагато вигідніше і швидше побудувати лінії поточечно, у своїй межі інтегрування з'ясовуються хіба що «самі собою». Тим не менш, аналітичний спосіб знаходження меж все-таки доводиться іноді застосовувати, якщо, наприклад, графік досить великий, або поточена побудова не виявила меж інтегрування (вони можуть бути дрібними або ірраціональними). І такий приклад ми теж розглянемо.

Повертаємося до нашого завдання: раціональніше спочатку побудувати пряму і лише потім параболу. Виконаємо креслення:

А тепер робоча формула: Якщо на відрізку деяка безперервна функція більше або дорівнюєдеякої безперервної функції , то площа фігури, обмеженої графіками даних функцій і прямими , можна знайти за формулою:

Тут уже не треба думати, де розташована постать - над віссю чи під віссю, і, грубо кажучи, важливо, який графік Вище(щодо іншого графіка), а який - НИЖЧЕ.

У прикладі очевидно, що на відрізку парабола розташовується вище прямої, а тому необхідно відняти

Завершення рішення може мати такий вигляд:

Потрібна фігура обмежена параболою зверху і прямою знизу.
На відрізку , за відповідною формулою:

Відповідь:

Приклад 4

Обчислити площу фігури, обмеженою лініями , , , .

Рішення: Спочатку виконаємо креслення:

Фігура, площу якої нам потрібно знайти, заштрихована синім кольором(Уважно дивіться на умову – чим обмежена фігура!). Але на практиці через неуважність нерідко виникає «глюк», що потрібно знайти площу фігури, яка заштрихована зеленим кольором!

Цей приклад корисний і тим, що в ньому площа фігури вважається за допомогою двох певних інтегралів.

Дійсно:

1) На відрізку над віссю розташований графік прямий;

2) На відрізку над віссю розташований графік гіперболи.

Цілком очевидно, що площі можна (і потрібно) приплюсувати, тому:

З цієї статті ви дізнаєтеся, як знайти площу фігури, обмеженою лініями, використовуючи обчислення за допомогою інтегралів. Вперше з постановкою такого завдання ми стикаємося у старших класах, коли тільки-но пройдено вивчення певних інтегралів і настав час приступити до геометричної інтерпретації отриманих знань на практиці.

Отже, що буде потрібно для успішного вирішення задачі з пошуку площі фігури за допомогою інтегралів:

Вміння грамотно будувати креслення;
Вміння вирішувати певний інтеграл за допомогою відомої формули Ньютона-Лейбніца;
Вміння «побачити» вигідніший варіант рішення - тобто. зрозуміти, як у тому чи іншому випадку буде зручніше проводити інтегрування? Вздовж осі ікс (OX) чи осі ігорок (OY)?
Ну і куди без коректних обчислень? Сюди входить розуміння як вирішувати той інший тип інтегралів і правильні чисельні обчислення.

Алгоритм розв'язання задачі з обчислення площі фігури, обмеженої лініями:

1. Будуємо креслення. Бажано це робити на листку в клітку з великим масштабом. Підписуємо олівцем над кожним графіком назву цієї функції. Підпис графіків робиться виключно задля зручності подальших обчислень. Отримавши графік шуканої постаті, найчастіше буде видно відразу, які межі інтегрування буде використано. Таким чином, ми вирішуємо завдання графічним методом. Однак буває так, що значення меж дробові чи ірраціональні. Тому, можна зробити додаткові розрахунки, переходимо за крок два.

2. Якщо явно не задані межі інтегрування, то знаходимо точки перетину графіків один з одним, і дивимося, чи наше графічне рішення збігається з аналітичним.

3. Далі необхідно проаналізувати креслення. Залежно від цього, як розташовуються графіки функцій, існують різні підходи до знаходження площі фігури. Розглянемо різні приклади перебування площі фігури з допомогою інтегралів.

3.1. Найкласичніший і найпростіший варіант завдання, це коли потрібно знайти площу криволінійної трапеції. Що таке криволінійна трапеція? Це плоска фігура, обмежена віссю ікс (у = 0), Прямими х = а, х = bі будь-який кривий, безперервний на проміжку від aдо b. При цьому дана фігура невід'ємна і розташовується не нижче осі абсцис. У цьому випадку площа криволінійної трапеції чисельно дорівнює певному інтегралу, що обчислюється за формулою Ньютона-Лейбніца:

Приклад 1 y = x2 - 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Якими лініями обмежена фігура? Маємо параболу y = x2 - 3x + 3, яка розташовується над віссю ОХ, Вона невід'ємна, т.к. всі точки цієї параболи мають позитивні значення. Далі задані прямі х = 1і х = 3, які пролягають паралельно до осі ОУ, є обмежувальними лініями фігури зліва та справа. Ну і у = 0, вона ж вісь ікс, яка обмежує фігуру знизу. Отримана фігура заштрихована, як видно із малюнка зліва. В даному випадку можна відразу приступати до вирішення задачі. Перед нами простий приклад криволінійної трапеції, яку вирішуємо за допомогою формули Ньютона-Лейбніца.

3.2. У попередньому пункті 3.1 розібрано випадок, коли криволінійна трапеція розташована над віссю ікс. Тепер розглянемо випадок, коли умови завдання такі самі, крім того, що функція пролягає під віссю ікс. До стандартної формули Ньютона-Лейбніца додається мінус. Як розв'язувати таку задачу розглянемо далі.

Приклад 2 . Обчислити площу фігури, обмеженою лініями y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

У цьому прикладі маємо параболу y = x2 + 6x + 2, яка бере свій початок з-під осі ОХпрямі х = -4, х = -1, у = 0. Тут у = 0обмежує шукану фігуру зверху. Прямі х = -4і х = -1це межі, у межах яких обчислюватиметься певний інтеграл. Принцип вирішення задачі на пошук площі фігури практично повністю збігається з прикладом номер 1. Єдина відмінність у тому, що задана функція не позитивна, і все також безперервна на проміжку [-4; -1] . Що означає не позитивна? Як видно з малюнка, фігура, яка полягає в рамках заданих іксів, має виключно «негативні» координати, що нам і потрібно побачити і пам'ятати при вирішенні задачі. Площу фігури шукаємо за формулою Ньютона-Лейбніца, тільки зі знаком мінус на початку.

Статтю не завершено.

Завдання № 3. Зробіть креслення та обчисліть площу фігури, обмеженою лініями

Додаток інтеграла до вирішення прикладних завдань

Обчислення площі

Певний інтеграл безперервної невід'ємної функції f(x) чисельно дорівнюєплощі криволінійної трапеції, обмеженої кривою y = f(x), віссю Ох і прямими х = а і х = b. Відповідно до цього формула площі записується так:

Розглянемо деякі приклади на обчислення площ плоских фігур.

Завдання № 1. Обчислити площу, обмежену лініями y = x 2 +1, y = 0, x = 0, x = 2.

Рішення.Побудуємо фігуру, площу якої ми маємо обчислити.

y = x 2 + 1 – це парабола гілки якої спрямовані вгору, і парабола зміщена щодо осі O y вгору одну одиницю (рисунок 1).

Малюнок 1. Графік функції y = x 2 + 1

Завдання № 2. Обчислити площу, обмежену лініями y = x 2 – 1, y = 0 у межах від 0 до 1.

Рішення.Графіком даної функції є парабола гілки, якої спрямовані вгору, і парабола зміщена щодо осі O y вниз одну одиницю (рисунок 2).

Малюнок 2. Графік функції y = x 2 – 1

Завдання № 3. Зробіть креслення та обчисліть площу фігури, обмеженою лініями

y = 8 + 2x - x 2 і y = 2x - 4.

Рішення.Перша з цих двох ліній – парабола, спрямована гілками вниз, оскільки коефіцієнт при x 2 негативний, а друга лінія – пряма, що перетинає обидві осі координат.

Для побудови параболи знайдемо координати її вершини: y=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – абсцис вершини; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 – її ордината, N(1;9) – вершина.

Тепер знайдемо точки перетину параболи та прямий, розв'язавши систему рівнянь:

Прирівнюючи праві частини рівняння, ліві частини яких рівні.

Отримаємо 8 + 2x - x 2 = 2x - 4 або x 2 - 12 = 0, звідки .

Отже, точки – точки перетину параболи та прямий (рисунок 1).

Малюнок 3 Графіки функцій y = 8 + 2x – x 2 та y = 2x – 4

Побудуємо пряму y = 2x - 4. Вона проходить через точки (0; -4), (2; 0) на осях координат.

Для побудови параболи можна ще її точки перетину з віссю 0x, тобто коріння рівняння 8 + 2x – x 2 = 0 або x 2 – 2x – 8 = 0. За теоремою Вієта легко знайти його коріння: x 1 = 2, x 2 = 4.

На малюнку 3 зображено фігуру (параболічний сегмент M 1 N M 2), обмежений даними лініями.

Друга частина завдання полягає у знаходженні площі цієї фігури. Її площу можна знайти за допомогою певного інтегралу за формулою .

Стосовно цієї умови отримаємо інтеграл:

2 Обчислення об'єму тіла обертання

Обсяг тіла, отриманого від обертання кривої y = f(x) навколо осі Ох, обчислюється за формулою:

При обертанні навколо осі О y формула має вигляд:

Завдання №4. Визначити об'єм тіла, отриманого від обертання криволінійної трапеції, обмеженої прямими х = 0 х = 3 та кривою y = навколо осі О х.

Рішення.Побудуємо рисунок (рисунок 4).

Малюнок 4. Графік функції y =

Обсяг, що шукається, дорівнює

Завдання №5. Обчислити обсяг тіла, отриманого від обертання криволінійної трапеції, обмеженою кривою y = x 2 і прямими y = 0 і y = 4 навколо осі O y .

Рішення.Маємо:

Запитання для повторення