Знайти об'єм тіла обертання певних інтегралів. Як обчислити об'єм тіла обертання

Об'єм тіла обертання можна обчислити за такою формулою:

У формулі перед інтегралом обов'язково є число . Так повелося – все, що у житті крутиться, пов'язане з цією константою.

Як розставити межі інтегрування «а» та «бе», гадаю, легко здогадатися з виконаного креслення.

Що це за функція? Давайте подивимося на креслення. Плоска фігура обмежена графіком параболи зверху. Це і є та функція, що мається на увазі у формулі.

У практичних завданнях плоска фігура іноді може розташовуватися нижче осі. Це нічого не змінює - функція у формулі зводиться в квадрат: таким чином об'єм тіла обертання завжди невід'ємнийщо дуже логічно.

Обчислимо об'єм тіла обертання, використовуючи цю формулу:

Як я вже зазначав, інтеграл майже завжди виходить простим, головне, бути уважним.

Відповідь:

У відповіді потрібно обов'язково вказати розмірність – кубічні одиниці. Тобто у нашому тілі обертання приблизно 3,35 «кубиків». Чому саме кубічні одиниці? Тому що найбільш універсальне формулювання. Можуть бути кубічні сантиметри, можуть бути кубічні метри, можуть бути кубічні кілометри і т.д., це вже скільки зелених чоловічків вашу уяву помістить в тарілку, що літає.

Приклад 2

Знайти об'єм тіла, утвореного обертанням навколо осі фігури, обмеженою лініями , ,

Це приклад самостійного рішення. Повне рішення та відповідь наприкінці уроку.

Розглянемо два складніші завдання, які теж часто зустрічаються на практиці.

Приклад 3

Обчислити об'єм тіла, отриманого при обертанні навколо осі абсцис фігури, обмеженої лініями , ,

Рішення:Зобразимо на кресленні плоску фігуру, обмежену лініями , , , не забуваючи при цьому, що рівняння задає вісь :

Шукана фігура заштрихована синім кольором. При її обертанні навколо осі виходить такий сюрреалістичний бублик із чотирма кутами.

Обсяг тіла обертання обчислимо як різницю обсягів тіл.

Спочатку розглянемо фігуру, обведену червоним кольором. При її обертанні навколо осі виходить усічений конус. Позначимо обсяг цього зрізаного конуса через .

Розглянемо фігуру, обведену зеленим кольором. Якщо обертати цю фігуру навколо осі, то вийде також усічений конус, тільки трохи менше. Позначимо його обсяг через .

І, очевидно, різниця обсягів – точно обсяг нашого «бублика».

Використовуємо стандартну формулу для знаходження об'єму тіла обертання:

1) Фігура, обведена червоним кольором обмежена зверху прямою, тому:

2) Фігура, обведена зеленим кольором обмежена зверху прямою, тому:

3) Обсяг шуканого тіла обертання:

Відповідь:

Цікаво, що у разі рішення можна перевірити, використовуючи шкільну формулу для обчислення обсягу зрізаного конуса.

Саме рішення частіше оформляють коротше, приблизно так:

Тепер трохи відпочинемо, і розповім про геометричні ілюзії.

У людей часто виникають ілюзії, пов'язані з обсягами, які помітив ще Перельман (не той) у книзі Цікава геометрія. Подивіться на плоску фігуру у вирішеному завданні - вона начебто невелика за площею, а об'єм тіла обертання становить трохи більше 50 кубічних одиниць, що здається занадто великим. До речі, середньостатистична людина за все своє життя випиває рідину об'ємом із кімнату площею 18 квадратних метрів, що, навпаки, видається надто маленьким об'ємом.

Взагалі, система освіти в СРСР справді була найкращою. Та сама книга Перельмана, написана ним ще 1950 року, дуже добре розвиває, як сказав гуморист, міркування і вчить шукати оригінальні нестандартні вирішення проблем. Нещодавно з великою цікавістю перечитав деякі розділи, рекомендую, доступно навіть для гуманітаріїв. Ні, не треба посміхатися, що я запропонував безпонтове проведення часу, ерудиція та широкий кругозір у спілкуванні – чудова штука.

Після ліричного відступу якраз доречно вирішити творче завдання:

Приклад 4

Обчислити об'єм тіла, утвореного обертанням щодо осі плоскої фігури, обмеженою лініями , , де .

Це приклад самостійного рішення. Зверніть увагу, що всі справи відбуваються в смузі, іншими словами, дано практично готові межі інтегрування. Також постарайтеся правильно накреслити графіки тригонометричних функцій, якщо аргумент поділяється на два: то графіки розтягуються по осі в два рази. Спробуйте знайти хоча б 3-4 точки за тригонометричними таблицямиі точніше виконати креслення. Повне рішення та відповідь наприкінці уроку. До речі, завдання можна вирішити раціонально та не дуже раціонально.

Обчислення об'єму тіла, утвореного обертанням
плоскої фігури навколо осі

Другий параграф буде ще цікавішим, ніж перший. Завдання на обчислення об'єму тіла обертання навколо осі ординат теж досить частий гість у контрольних роботах. Принагідно буде розглянута завдання про знаходження площі фігуриДругим способом - інтегруванням по осі, це дозволить вам не тільки покращити свої навички, але і навчить знаходити найбільш вигідний шлях рішення. У цьому є практичний життєвий сенс! Як з усмішкою згадувала мій викладач за методикою викладання математики, багато випускників дякували її словам: «Нам дуже допоміг Ваш предмет, тепер ми ефективні менеджери та оптимально керуємо персоналом». Користуючись нагодою, я теж висловлюю їй велику подяку, тим більше, що використовую отримані знання за прямим призначенням =).

Приклад 5

Дана плоска фігура, обмежена лініями , , .

1) Знайти площу плоскої фігури, обмеженої даними лініями.
2) Знайти об'єм тіла, отриманого обертанням плоскої фігури, обмеженою даними лініями навколо осі .

Увага!Навіть якщо ви хочете ознайомитися тільки з другим пунктом, спочатку обов'язковопрочитайте перший!

Рішення:Завдання і двох частин. Почнемо із площі.

1) Виконаємо креслення:

Легко помітити, що функція визначає верхню гілку параболи, а функція – нижню гілку параболи. Перед нами тривіальна парабола, яка лежить на боці.

Потрібна фігура, площу якої належить знайти, заштрихована синім кольором.

Як знайти площу фігури? Її можна знайти «звичайним» способом, що розглядався на уроці Визначений інтеграл. Як обчислити площу фігури. Причому площа фігури знаходиться як сума площ:
– на відрізку ;
- На відрізку.

Тому:

Чим у разі поганий простий шлях рішення? По-перше, вийшло два інтеграли. По-друге, під інтегралами коріння, а коріння в інтегралах – не подарунок, до того ж можна заплутатися у підстановці меж інтегрування. Насправді, інтеграли, звичайно, не вбивчі, але на практиці все буває значно сумнішим, просто я підібрав для завдання функції «краще».

Є більш раціональний шлях рішення: він полягає в переході до зворотних функцій та інтеграції по осі.

Як перейти до зворотних функцій? Грубо кажучи, треба висловити "ікс" через "ігрок". Спочатку розберемося з параболою:

Цього достатньо, але переконаємося, що таку саму функцію можна вивести з нижньої гілки:

З прямою все простіше:

Тепер дивимося на вісь: будь ласка, періодично нахиляйте голову вправо на 90 градусів по ходу пояснень (це не прикол!). Потрібна нам постать лежить на відрізку, який позначений червоним пунктиром. При цьому на відрізку пряма розташована вище параболи, а значить, площу фігури слід знайти за вже знайомою вам формулою: . Що змінилося у формулі? Тільки літера, і не більше.

! Примітка: Межі інтегрування по осі слід розставляти строго знизу нагору!

Знаходимо площу:

На відрізку , тому:

Зверніть увагу, як я здійснив інтегрування, це раціональний спосіб, і в наступному пункті завдання буде зрозуміло – чому.

Для читачів, які сумніваються у коректності інтегрування, знайду похідні:

Отримано вихідну підінтегральну функцію, отже інтегрування виконано правильно.

Відповідь:

2) Обчислимо об'єм тіла, утвореного обертанням цієї фігури, навколо осі.

Перемалюю креслення трохи в іншому оформленні:

Отже, фігура, заштрихована синім кольором, обертається довкола осі. В результаті виходить «високий метелик», який крутиться навколо своєї осі.

Для знаходження об'єму тіла обертання інтегруватимемо по осі. Спочатку потрібно перейти до зворотних функцій. Це вже зроблено та детально розписано у попередньому пункті.

Тепер знову нахиляємо голову вправо та вивчаємо нашу фігуру. Очевидно, що об'єм тіла обертання слід знайти як різницю об'ємів.

Обертаємо фігуру, обведену червоним кольором, навколо осі, в результаті виходить зрізаний конус. Позначимо цей обсяг через .

Повертаємо фігуру, обведену зеленим кольором, навколо осі та позначаємо через об'єм отриманого тіла обертання.

Обсяг нашого метелика дорівнює різниці обсягів.

Використовуємо формулу для знаходження об'єму тіла обертання:

У чому на відміну від формули попереднього параграфа? Лише у букві.

А ось і перевага інтегрування, про яку я нещодавно говорив, набагато легше знайти ніж попередньо зводити підінтегральну функцію в 4-у ступінь.

Відповідь:

Однак нехилий метелик.

Зверніть увагу, що якщо цю ж плоску фігуру обертати навколо осі, то вийде зовсім інше тіло обертання, іншого, природно, об'єму.

Приклад 6

Дана плоска фігура, обмежена лініями, та віссю.

1) Перейти до зворотних функцій та знайти площу плоскої фігури, обмеженої даними лініями, інтегруванням по змінній .
2) Обчислити об'єм тіла, отриманого обертанням плоскої фігури, обмеженою даними лініями навколо осі .

Як і для завдання знаходження площі, потрібні впевнені навички побудови креслень – це чи не найважливіше (оскільки інтеграли власними силами частіше будуть легкими). Освоїти грамотну та швидку техніку побудови графіків можна за допомогою методичних матеріалів та геометричних перетворень графіків. Але, власне, про важливість креслень я вже неодноразово говорив на уроці.

Взагалі в інтегральному обчисленні дуже багато цікавих додатків, за допомогою певного інтеграла можна обчислити площу фігури, об'єм тіла обертання, довжину дуги, площу поверхні обертання та багато іншого. Тому буде весело, будь ласка, налаштуйтеся на оптимістичний лад!

Подайте деяку плоску фігуру на координатній площині. Уявили? ... Цікаво, хто що представив... =))) Її площу ми вже знаходили. Але, крім того, цю фігуру можна ще й крутити, причому крутити двома способами:

- навколо осі абсцис;
- Навколо осі ординат.

У цій статті буде розібрано обидва випадки. Особливо цікавий другий спосіб обертання, він викликає найбільші труднощі, але насправді рішення практично таке саме, як і в більш поширеному обертанні навколо осі абсцис. Як бонус я повернуся до задачі знаходження площі фігури, і розповім вам, як знаходити площу другим способом - по осі. Навіть не так бонус, скільки матеріал успішно вписується в тему.

Почнемо з найбільш популярного різновиду обертання.

плоскої фігури навколо осі

Приклад 1

Обчислити об'єм тіла, отриманого обертанням фігури, обмеженою лініями навколо осі .

Рішення: Як і в задачі на перебування площі, рішення починається з креслення плоскої фігури. Тобто, на площині необхідно побудувати фігуру, обмежену лініями, при цьому не забуваємо, що рівняння задає вісь. Як раціональніше і швидше виконати креслення, можна дізнатися на сторінках Графіки та властивості Елементарних функційі Визначений інтеграл. Як обчислити площу фігури. Це китайське нагадування, і зараз я більше не зупиняюся.

Креслення тут досить простий:

В результаті обертання виходить така трохи яйцевидна літаюча тарілка, яка симетрична щодо осі. Насправді у тіла є математична назва, але за довідником щось ліньки уточнювати, тому їдемо далі.

Як визначити обсяг тіла обертання?

Об'єм тіла обертання можна обчислити за формулою:

Як розставити межі інтегрування «а» та «бе», гадаю, легко здогадатися з виконаного креслення.

У практичних завданнях плоска фігура іноді може розташовуватися нижче осі. Це нічого не змінює - підінтегральна функція у формулі зводиться в квадрат: таким чином інтеграл завжди невід'ємнийщо дуже логічно.

Обчислимо об'єм тіла обертання, використовуючи цю формулу:

Як я вже зазначав, інтеграл майже завжди виходить простим, головне, бути уважним.

Відповідь:

Приклад 2

Знайти об'єм тіла, утвореного обертанням навколо осі фігури, обмеженою лініями , ,

Це приклад самостійного рішення. Повне рішення та відповідь наприкінці уроку.

Розглянемо два складніші завдання, які теж часто зустрічаються на практиці.

Приклад 3

Обчислити об'єм тіла, отриманого при обертанні навколо осі абсцис фігури, обмеженої лініями , ,

Рішення: Зобразимо на кресленні плоску фігуру, обмежену лініями , , , , не забуваючи при цьому, що рівняння задає вісь :

Обсяг тіла обертання обчислимо як різницю обсягів тіл.

І, очевидно, різниця обсягів – точно обсяг нашого «бублика».

Використовуємо стандартну формулу для знаходження об'єму тіла обертання:

1) Фігура, обведена червоним кольором обмежена зверху прямою, тому:

2) Фігура, обведена зеленим кольором обмежена зверху прямою, тому:

3) Обсяг шуканого тіла обертання:

Відповідь:

Саме рішення частіше оформляють коротше, приблизно так:

Тепер трохи відпочинемо, і розповім про геометричні ілюзії.

У людей часто виникають ілюзії, пов'язані з обсягами, які помітив ще Перельман (інший) у книзі Цікава геометрія. Подивіться на плоску фігуру у вирішеному завданні - вона начебто невелика за площею, а об'єм тіла обертання становить трохи більше 50 кубічних одиниць, що здається занадто великим. До речі, середньостатистична людина за все своє життя випиває рідину об'ємом із кімнату площею 18 квадратних метрів, що, навпаки, видається надто маленьким об'ємом.

Взагалі, система освіти в СРСР справді була найкращою. Та сама книга Перельмана, видана ще 1950 року, дуже добре розвиває, як сказав гуморист, міркування і вчить шукати оригінальні нестандартні вирішення проблем. Нещодавно з великим інтересом перечитав деякі розділи, рекомендую, доступні навіть для гуманітаріїв. Ні, не треба посміхатися, що я запропонував безпонтове проведення часу, ерудиція та широкий кругозір у спілкуванні – чудова штука.

Після ліричного відступу якраз доречно вирішити творче завдання:

Приклад 4

Обчислити об'єм тіла, утвореного обертанням щодо осі плоскої фігури, обмеженою лініями , , де .

Це приклад самостійного рішення. Зверніть увагу, що всі відносини відбуваються в смузі, іншими словами, фактично дані готові межі інтегрування. Правильно накресліть графіки тригонометричних функцій, нагадаю матеріал уроку про геометричних перетвореннях графіків: якщо аргумент ділиться на два: , то графіки розтягуються по осі удвічі. Бажано знайти хоча б 3-4 крапки за тригонометричними таблицями, щоб точніше виконати креслення. Повне рішення та відповідь наприкінці уроку. До речі, завдання можна вирішити раціонально та не дуже раціонально.

Обчислення об'єму тіла, утвореного обертанням
плоскої фігури навколо осі

Рекомендую для прочитання всім навіть повним чайникам. Більш того, засвоєний матеріал другого параграфа надасть неоціненну допомогу при обчисленні подвійних інтегралів.

Приклад 5

Дана плоска фігура, обмежена лініями , , .

Увага!Навіть якщо ви хочете ознайомитися тільки з другим пунктом, спочатку обов'язковопрочитайте перший!

Рішення: Завдання складається з двох частин Почнемо із площі.

1) Виконаємо креслення:

Потрібна фігура, площу якої належить знайти, заштрихована синім кольором.

Тому:

Є більш раціональний шлях рішення: він полягає в переході до зворотних функцій та інтеграції по осі.

Цього достатньо, але переконаємося, що таку саму функцію можна вивести з нижньої гілки:

З прямою все простіше:

! Примітка: Межі інтегрування по осі слід розставляти строго знизу нагору!

Знаходимо площу:

На відрізку , тому:

Для читачів, які сумніваються у коректності інтегрування, знайду похідні:

Отримано вихідну підінтегральну функцію, отже інтегрування виконано правильно.

Відповідь:

2) Обчислимо об'єм тіла, утвореного обертанням цієї фігури, навколо осі.

Перемалюю креслення трохи в іншому оформленні:

Обсяг нашого метелика дорівнює різниці обсягів.

Використовуємо формулу для знаходження об'єму тіла обертання:

У чому на відміну від формули попереднього параграфа? Лише у букві.

Відповідь:

Однак нехилий метелик.

Приклад 6

Дана плоска фігура, обмежена лініями, та віссю.

Це приклад самостійного рішення. Бажаючі також можуть знайти площу фігури «звичайним» способом, виконавши цим перевірку пункту 1). А от якщо, повторюся, обертатимете плоску фігуру навколо осі, то вийде зовсім інше тіло обертання з іншим обсягом, до речі, правильна відповідь (теж для любителів вирішувати).

Повне рішення двох запропонованих пунктів завдання наприкінці уроку.

Так, і не забувайте нахиляти голову праворуч, щоб розібратися в тілах обертання та в межах інтегрування!

Як обчислити об'єм тіла обертання
за допомогою певного інтегралу?

- навколо осі абсцис;
- Навколо осі ординат.

Почнемо з найбільш популярного різновиду обертання.

плоскої фігури навколо осі

Обчислити об'єм тіла, отриманого обертанням фігури, обмеженою лініями навколо осі .

Рішення: Як і в задачі на перебування площі, рішення починається з креслення плоскої фігури. Тобто, на площині необхідно побудувати фігуру, обмежену лініями, при цьому не забуваємо, що рівняння задає вісь. Як раціональніше і швидше виконати креслення, можна дізнатися на сторінках Графіки та властивості Елементарних функційта . Це китайське нагадування, і зараз я більше не зупиняюся.

Креслення тут досить простий:

Як визначити обсяг тіла обертання?

Об'єм тіла обертання можна обчислити за формулою:

Як розставити межі інтегрування «а» та «бе», гадаю, легко здогадатися з виконаного креслення.

У практичних завданнях плоска фігура іноді може розташовуватися нижче осі. Це нічого не змінює - підінтегральна функція у формулі зводиться у квадрат: таким чином інтеграл завжди невід'ємнийщо дуже логічно.

Обчислимо об'єм тіла обертання, використовуючи цю формулу:

Як я вже зазначав, інтеграл майже завжди виходить простим, головне, бути уважним.

Відповідь:

У відповіді потрібно обов'язково вказати розмірність - кубічні одиниці. Тобто у нашому тілі обертання приблизно 3,35 «кубиків». Чому саме кубічні одиниці? Тому що найбільш універсальне формулювання. Можуть бути кубічні сантиметри, можуть бути кубічні метри, можуть бути кубічні кілометри і т.д., це вже скільки зелених чоловічків вашу уяву помістить в тарілку, що літає.

Знайти об'єм тіла, утвореного обертанням навколо осі фігури, обмеженою лініями , ,

Це приклад самостійного рішення. Повне рішення та відповідь наприкінці уроку.

Розглянемо два складніші завдання, які теж часто зустрічаються на практиці.

Обчислити об'єм тіла, отриманого при обертанні навколо осі абсцис фігури, обмеженої лініями , ,

Обсяг тіла обертання обчислимо як різницю обсягів тіл.

І, очевидно, різниця обсягів – точно обсяг нашого «бублика».

Використовуємо стандартну формулу для знаходження об'єму тіла обертання:

1) Фігура, обведена червоним кольором обмежена зверху прямою, тому:

2) Фігура, обведена зеленим кольором обмежена зверху прямою, тому:

3) Обсяг шуканого тіла обертання:

Відповідь:

Саме рішення частіше оформляють коротше, приблизно так:

Тепер трохи відпочинемо, і розповім про геометричні ілюзії.

У людей часто виникають ілюзії, пов'язані з обсягами, які помітив ще Перельман (інший) у книзі Цікава геометрія. Подивіться на плоску фігуру у вирішеній задачі - вона начебто невелика за площею, а об'єм тіла обертання становить трохи більше 50 кубічних одиниць, що здається занадто великим. До речі, середньостатистична людина за все своє життя випиває рідину об'ємом із кімнату площею 18 квадратних метрів, що, навпаки, видається надто маленьким об'ємом.

Після ліричного відступу якраз доречно вирішити творче завдання:

Обчислити об'єм тіла, утвореного обертанням щодо осі плоскої фігури, обмеженою лініями , , де .

Обчислення об'єму тіла, утвореного обертанням
плоскої фігури навколо осі

Другий параграф буде ще цікавішим, ніж перший. Завдання на обчислення об'єму тіла обертання навколо осі ординат - також досить частий гість у контрольних роботах. Принагідно буде розглянута завдання про знаходження площі фігуриДругим способом - інтегруванням по осі, це дозволить вам не тільки покращити свої навички, але й навчить знаходити найвигідніший шлях рішення. У цьому є практичний життєвий сенс! Як з усмішкою згадувала мій викладач за методикою викладання математики, багато випускників дякували її словам: «Нам дуже допоміг Ваш предмет, тепер ми ефективні менеджери та оптимально керуємо персоналом». Користуючись нагодою, я теж висловлюю свою велику подяку, тим більше, що використовую отримані знання за прямим призначенням =).

Дана плоска фігура, обмежена лініями , , .

Увага!Навіть якщо ви хочете ознайомитися тільки з другим пунктом, спочатку обов'язково прочитайте перший!

Рішення: Завдання складається з двох частин Почнемо із площі.

1) Виконаємо креслення:

Легко помітити, що функція задає верхню гілку параболи, а функція – нижню гілку параболи. Перед нами тривіальна парабола, яка лежить на боці.

Потрібна фігура, площу якої належить знайти, заштрихована синім кольором.

Тому:

Є більш раціональний шлях рішення: він полягає в переході до зворотних функцій та інтеграції по осі.

Цього достатньо, але переконаємося, що таку саму функцію можна вивести з нижньої гілки:

З прямою все простіше:

! Примітка: Межі інтегрування по осі слід розставляти строго знизу нагору!

Знаходимо площу:

На відрізку , тому:

Зверніть увагу, як я здійснив інтегрування, це раціональний спосіб, і в наступному пункті завдання буде зрозуміло - чому.

Для читачів, які сумніваються у коректності інтегрування, знайду похідні:

Отримано вихідну підінтегральну функцію, отже інтегрування виконано правильно.

Відповідь:

2) Обчислимо об'єм тіла, утвореного обертанням цієї фігури, навколо осі.

Перемалюю креслення трохи в іншому оформленні:

Обсяг нашого метелика дорівнює різниці обсягів.

Використовуємо формулу для знаходження об'єму тіла обертання:

У чому на відміну від формули попереднього параграфа? Лише у букві.

Відповідь:

Дана плоска фігура, обмежена лініями, та віссю.

Повне рішення двох запропонованих пунктів завдання наприкінці уроку.

Так, і не забувайте нахиляти голову праворуч, щоб розібратися в тілах обертання та в межах інтегрування!

Хотів було вже закінчити статтю, але сьогодні принесли цікавий приклад якраз на знаходження об'єму тіла обертання навколо осі ординат. Свіжачок:

Обчислити об'єм тіла, утвореного обертанням навколо осі фігури, обмеженою кривими та .

Рішення: Виконаємо креслення:

Принагідно знайомимося з графіками деяких інших функцій. Такий цікавий графік парної функції ….

Визначення 3. Тіло обертання - це тіло, отримане обертанням плоскої фігури навколо осі, що не перетинає фігуру і лежить з нею в одній площині.

Вісь обертання може перетинати фігуру, якщо це вісь симетрії фігури.

Теорема 2.
, віссю
та відрізками прямих
і

обертається навколо осі
. Тоді об'єм тіла обертання, що виходить, можна обчислити за формулою

(2)

Доведення. Для такого тіла перетин із абсцисою – це коло радіусу
, значить
та формула (1) дає необхідний результат.

Якщо фігура обмежена графіками двох безперервних функцій
і
, та відрізками прямих
і
, причому
і
, то при обертанні навколо осі абсцис отримаємо тіло, обсяг якого

приклад 3. Обчислити об'єм тора, отриманого обертанням кола, обмеженого коло

навколо осі абсцис.

Р ешение. Вказане коло знизу обмежено графіком функції
, а зверху –
. Різниця квадратів цих функцій:

Шуканий обсяг

(графіком підінтегральної функції є верхнє півколо, тому написаний вище інтеграл – це площа півкола).

приклад 4. Параболічний сегмент із основою
, і заввишки обертається навколо основи. Обчислити обсяг тіла, що виходить («лимон» Кавальєрі).

Р ешение. Параболу розташуємо як показано малюнку. Тоді її рівняння
, причому
. Знайдемо значення параметра :
. Отже, потрібний обсяг:

Теорема 3. Нехай криволінійна трапеція, обмежена графіком безперервної невід'ємної функції
, віссю
та відрізками прямих
і
, причому
, обертається навколо осі
. Тоді об'єм тіла обертання, що виходить, може бути знайдений за формулою

(3)

Ідея підтвердження. Розбиваємо відрізок
точками

, на частини та проводимо прямі
. Вся трапеція розкладеться на смужки, які можна вважати приблизно прямокутниками з основою
та заввишки
.

Циліндр, що виходить при обертанні такого прямокутника, розріжемо по твірній і розгорнемо. Отримаємо «майже» паралелепіпед з розмірами:
,
і
. Його обсяг
. Отже, для об'єму тіла обертання матимемо наближену рівність

Для здобуття точної рівності треба перейти до межі при
. Написана вище сума є інтегральна сума для функції
, Отже, в межі отримаємо інтеграл з формули (3). Теорему доведено.

Зауваження 1. У теоремах 2 та 3 умова
можна опустити: формула (2) взагалі нечутлива до знаку
, а у формулі (3) достатньо
замінити на
.

Приклад 5. Параболічний сегмент (підстава
, висота ) обертається навколо висоти. Знайти обсяг тіла, що виходить.

Рішення. Розташуємо параболу як показано малюнку. І хоча вісь обертання перетинає фігуру, вона – вісь – є віссю симетрії. Тому слід розглядати лише праву половину сегмента. Рівняння параболи
, причому
, значить
. Маємо для об'єму:

Примітка 2. Якщо криволінійна межа криволінійної трапеції задана параметричними рівняннями
,
,
і
,
то можна використовувати формули (2) та (3) із заміною на
і
на
при зміні tвід
до .

Приклад 6. Фігура обмежена першою аркою циклоїди
,
,
, і віссю абсцис. Знайти обсяг тіла, отриманого обертанням цієї фігури навколо: 1) осі
; 2) осі
.

Рішення. 1) Загальна формула
У нашому випадку:

2) Загальна формула
Для нашої фігури:

Пропонуємо студентам самостійно провести усі обчислення.

Примітка 3. Нехай криволінійний сектор, обмежений безперервною лінією
та променями
,

обертається навколо полярної осі. Обсяг тіла, що виходить, можна обчислити за формулою.

Приклад 7. Частина фігури, обмеженою кардіоїдою
, що лежить поза колом
обертається навколо полярної осі. Знайти обсяг тіла, яке при цьому виходить.

Рішення. Обидві лінії, отже, і фігура, яку вони обмежують, симетричні щодо полярної осі. Тому необхідно розглядати лише ту частину, для якої
. Криві перетинаються при
і

при
. Далі, фігуру можна розглядати як різницю двох секторів, а значить і обсяг обчислювати як різницю двох інтегралів. Маємо:

Завдання для самостійного вирішення.

1. Круговий сегмент, основа якого
, висота обертається навколо основи. Знайти обсяг тіла обертання.

2. Знайти об'єм параболоїда обертання, основа якого , а висота дорівнює .

3. Фігура, обмежена астроідою
,
обертається навколо осі абсцис. Знайти обсяг тіла, що виходить при цьому.

4. Фігура, обмежена лініями
і
обертається навколо осі абсцис. Знайти обсяг тіла обертання.

Тип уроку: комбінований.

Мета уроку:навчитися обчислювати обсяги тіл обертання з допомогою інтегралів.

Завдання:

закріпити вміння виділяти криволінійні трапеції з низки геометричних фігур та відпрацювати навички обчислень площ криволінійних трапецій;
познайомитись із поняттям об'ємної фігури;
навчитися обчислювати обсяги тіл обертання;
сприяти розвитку логічного мислення, грамотного математичного мовлення, акуратності при побудові креслень;
виховувати інтерес до предмета, до оперування математичними поняттями та образами, виховати волю, самостійність, наполегливість при досягненні кінцевого результату.

Хід уроку

I. Організаційний момент.

Вітання групи. Повідомлення учням цілей уроку.

Рефлексія. Спокійна мелодія.

– Сьогоднішній урок мені хотілося б почати з притчі. “Жив мудрець, котрий знав усе. Одна людина захотіла довести, що мудрець не все знає. Затиснувши в долонях метелика, він запитав: "Скажи, мудрецю, який метелик у мене в руках: мертвий чи живий?" А сам думає: "Скаже жива - я її вмертвлю, скаже мертва - випущу". Мудрець, подумавши, відповів: "Все в твоїх руках". (Презентація.)Слайд)

– Тому давайте сьогодні плідно попрацюємо, придбаємо новий багаж знань, і отримані вміння та навички будемо застосовувати у подальшому житті та у практичній діяльності. "Все у ваших руках".

ІІ. Повторення раніше вивченого матеріалу.

- Давайте згадаємо основні моменти раніше вивченого матеріалу. Для цього виконаємо завдання "Виключіть зайве слово".(Слайд.)

(Учень виходить до І.Д. за допомогою гумки прибирає зайве слово.)

- Правильно "Диференціал". Спробуйте слова назвати одним загальним словом. (Інтегральне числення.)

– Давайте згадаємо основні етапи та поняття пов'язані з інтегральним обчисленням.

"Математична грона".

Завдання. Відновіть перепустки. (Студент виходить та вписує ручкою необхідні слова.)

– Реферат щодо застосування інтегралів ми заслухаємо пізніше.

Робота у зошитах.

– Формулу Ньютона-Лейбніца вивели англійський фізик Ісаака Ньютона (1643–1727) та німецький філософ Готфріда Лейбніца (1646–1716). І це не дивно, адже математика – мова, якою говорить сама природа.

– Розглянемо, як із вирішенні практичних завдань використовується ця формула.

Приклад 1: Обчислити площу фігури, обмеженою лініями

Рішення: Побудуємо на координатній площині графіки функцій . Виділимо площу фігури, яку треба знайти.

ІІІ. Вивчення нового матеріалу.

– Зверніть увагу на екран. Що зображено першому малюнку? (Слайд) (На малюнку представлена плоска фігура.)

– Що зображено на другому малюнку? Чи ця фігура є плоскою? (Слайд) (На малюнку представлена об'ємна фігура.)

– У космосі, на землі та у повсякденному житті ми зустрічаємося не лише з плоскими фігурами, а й об'ємними, а як же обчислити обсяг таких тіл? Наприклад, обсяг планети, камети, метеорита, і т.д.

- Про обсяг замислюються і будування будинку, і переливаючи воду з однієї посудини в іншу. Правила та прийоми обчислення обсягів мали виникати, інша справа, наскільки вони були точні та обґрунтовані.

Повідомлення студентки. (Тюріна Віра.)

1612 був для жителів австрійського міста Лінц, де жив тоді відомий астроном Йоганн Кеплер дуже врожайним, особливо на виноград. Люди заготовляли винні бочки та хотіли знати, як практично визначити їх обсяги. (Слайд 2)

– Таким чином, розглянуті роботи Кеплера започаткували цілий поток досліджень, що увінчалися в останній чверті XVII ст. оформленням у працях І. Ньютона та Г.В. Лейбниця диференціального та інтегрального обчислення. Математика змінних велич зайняла відтоді чільне місце у системі математичних знань.

– Ось сьогодні ми з вами і займемося такою практичною діяльністю, отже,

Тема нашого уроку: "Обчислення обсягів тіл обертання за допомогою певного інтегралу". (Слайд)

– Визначення тіла обертання ви дізнаєтесь, виконавши таке завдання.

"Лабіринт".

Лабіринт (грецьке слово) означає перебіг у підземеллі. Лабіринт - заплутана мережа доріжок, ходів, що сполучаються один з одним приміщень.

Але визначення "розбилося", залишилися підказки у вигляді стрілок.

Завдання. Знайдіть вихід із заплутаного положення та запишіть визначення.

Слайд. "Карта інструктаж" Обчислення обсягів.

За допомогою певного інтеграла можна обчислити обсяг того чи іншого тіла, зокрема тіла обертання.

Тілом обертання називається тіло, отримане обертанням криволінійної трапеції навколо її основи (рис. 1, 2)

Обсяг тіла обертання обчислюється за однією з формул:

1. довкола осі ОХ.

2. , якщо обертання криволінійної трапеції довкола осі ОУ.

Карту інструктаж отримує кожен студент. Викладач наголошує на основних моментах.

– Викладач пояснює рішення прикладів на дошці.

Розглянемо уривок з відомої казки А. С. Пушкіна “Казка про царя Салтана, про сина його славного і могутнього богатиря князя Гвідона Салтановича і про прекрасну царівну Лебеде” (Слайд 4):

…..
І привіз гонець хмільний
Того ж дня наказ такий:
“Цар велить своїм боярам,
Часу не витрачаючи задарма,
І царицю, і приплід
Таємно кинути у прірву вод”.
Робити нічого: бояри,
Потуживши про государя
І цариці молодий,
У спальню до неї прийшли натовпом.
Оголосили царську волю
Їй і синові злу частку,
Прочитали вголос указ,
І царицю в той же час
У бочку з сином посадили,
Засмолили, покотили
І пустили в океан –
Так велів цар Салтан.

Якими має бути обсяг бочки, щоб у ній помістилися цариця та її син?

– Розглянемо такі завдання

1. Знайти об'єм тіла, що отримується обертанням навколо осі ординат криволінійної трапеції, обмеженої лініями: x 2 + y 2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.

Відповідь: 1163 cm 3 .

Знайти об'єм тіла, що отримується обертанням параболічної трапеції, навколо осі абсцис y = , x = 4, y = 0.

IV. Закріплення нового матеріалу

Приклад 2. Обчислити об'єм тіла, утвореного обертанням пелюстки, навколо осі абсцис y = x 2, y 2 = x.

Побудуємо графіки функції. y = x 2 , y 2 = x. Графік y 2 = xперетворюємо на вигляд y= .

Маємо V = V 1 - V 2Обчислимо обсяг кожної функції

– Тепер, розгляньмо вежу для радіостанції в Москві на Шаболівці, побудованої за проектом чудового російського інженера, почесного академіка В. Г. Шухова. Вона складається з частин – гіперболоїдів обертання. Причому кожен з них виготовлений з прямолінійних металевих стрижнів, що з'єднують сусідні кола (рис.8, 9).

– Розглянемо завдання.

Знайти об'єм тіла, що отримується обертанням дуг гіперболи навколо її уявної осі, як показано на рис. 8, де

куб. од.

Завдання з груп. Учні витягують жереб із завданнями, малюнки виконують на ватмані, один із представників групи захищає роботу.

1-ша група.

Удар! Удар! Ще удар!
Летить у ворота м'ячик – КУЛЯ!
А це куля кавунова
Зелений, круглий, смачний.
Вдивіться краще – куля яка!
Він зроблений із одних кіл.
Розріжте на кола кавун
І їх спробуйте на смак.

Знайти об'єм тіла, що отримується обертанням навколо осі ОХ функції, обмежену

Помилка! Закладку не визначено.

– Скажіть, будь ласка, де ми зустрічаємось із цією фігурою?

Будинок. Завдання для 1 групи. ЦИЛІНДР (Слайд) .

"Циліндр - що таке?" - Запитав я у тата.
Батько засміявся: Циліндр – це капелюх.
Щоб мати уявлення вірне,
Циліндр, скажімо так, це консервна банка.
Труба пароплава – циліндр,
Труба на нашому даху – теж,

Усі труби на циліндр схожі.
А я навів приклад такий –
Калейдоскоп коханий мій,
Око від нього не відірвеш,
І теж схожий на циліндр.

– Завдання. Домашня робота скласти графік функції та обчислити обсяг.

2-я група. Конус (Слайд).

Сказала мама: А зараз
Про конус буде моя розповідь.
У високій шапці зірочить
Вважає зірки цілий рік.
КОНУС - капелюх зорельота.
Ось який він. Зрозумів? Отож.
Мама біля столу стояла,
У пляшки олія розливала.
– Де лійка? Немає воронки.
Шукай. Не стій осторонь.
- Мамо, з місця я не рушу,
Розкажи ще про конус.
- Вирва і є у вигляді конуса лійка.
Ану, знайди мені її якнайшвидше.
Вирву я знайти не зміг,
Але мама зробила кульок,
Картон навколо пальця обкрутила
І вправно скріпкою закріпила.
Олія ллється, мама рада,
Конус вийшов те, що треба.

Завдання. Обчислити об'єм тіла отриманий обертанням навколо осі абсцис

Будинок. завдання для 2 групи. ПІРАМІДА(Слайд).

Я бачив картину. На цій картині
Стоїть ПІРАМІДА в піщаній пустелі.
Все в піраміді надзвичайно,
Якась є в ній загадка та таємниця.
А Спаська вежа на площі Червоній
І дітям, і дорослим знайома чудово.
Подивишся на вежу – звичайна на вигляд,
А що на вершині в неї? Піраміда!

Завдання.Домашня робота скласти графік функції та обчислити обсяг піраміди

– Обсяги різних тіл ми обчислювали, спираючись на основну формулу об'ємів тіл за допомогою інтегралу.

Це є ще одним підтвердженням того, що певний інтеграл є певним фундаментом для вивчення математики.

- Ну а тепер давайте трохи відпочинемо.

Знайди пару.

Математичне доміно мелодія грає.

"Дорога та, що сам шукав, повік не забудеться ..."

Дослідницька робота. Застосування інтеграла економіки та техніки.

Тести для сильних учнів та математичний футбол.

Математичний тренажер.

2. Сукупність всіх первісних від цієї функції називається

а) невизначеним інтегралом,

Б) функцією,

в) диференціацією.

7. Знайти об'єм тіла, що отримується обертанням навколо осі абсцис криволінійної трапеції, обмеженої лініями:

Д/З. Обчислити обсяги тіл обертання.

Рефлексія.

Прийом рефлексії у формі синквейну(П'ятивірш).

1-й рядок – назва теми (одна іменниця).

2-й рядок – опис теми у двох словах, два прикметники.

3-й рядок – опис дії у межах цієї теми трьома словами.

4-й рядок – фраза їхніх чотирьох слів, що показує ставлення до теми (ціле речення).

5-й рядок – синонім, який повторює суть теми.

Об `єм.
Певний інтеграл, функція, що інтегрується.
Будуємо, обертаємо, обчислюємо.
Тіло, отримане обертанням криволінійної трапеції (навколо її основи).
Тіло обертання (об'ємне геометричне тіло).

Висновок (Слайд).

Певний інтеграл – це певний фундамент вивчення математики, яка робить незамінний внесок у вирішення завдань практичного змісту.
Тема "Інтеграл" яскраво демонструє зв'язок математики з фізикою, біологією, економікою та технікою.
Розвиток сучасної науки немислимо без використання інтегралу. У зв'язку з цим починати його вивчення необхідно в рамках середньо-спеціальної освіти!

Виставлення оцінок. (З коментуванням.)

Великий Омар Хайям – математик, поет, філософ. Він закликає бути господарями своєї долі. Слухаємо уривок із його твору:

Ти скажеш, це життя – одну мить.
Її цінуй, у ній черпай натхнення.
Як проведеш її, так і пройде.
Не забувай: вона – твоє творіння.

Знайти об'єм тіла обертання певних інтегралів. Як обчислити об'єм тіла обертання

плоскої фігури навколо осі

Як визначити обсяг тіла обертання?

Обчислення об'єму тіла, утвореного обертаннямплоскої фігури навколо осі

Як обчислити об'єм тіла обертання за допомогою певного інтегралу?

плоскої фігури навколо осі

Як визначити обсяг тіла обертання?

Обчислення об'єму тіла, утвореного обертаннямплоскої фігури навколо осі

Обчислення об'єму тіла, утвореного обертанням
плоскої фігури навколо осі

Як обчислити об'єм тіла обертання
за допомогою певного інтегралу?

Обчислення об'єму тіла, утвореного обертанням
плоскої фігури навколо осі