Знайти протилежну матрицю матриці. Знаходження зворотної матриці: три алгоритми та приклади

Визначення 1:матриця називається виродженою, якщо її визначник дорівнює нулю.

Визначення 2:матриця називається невиродженою, якщо її визначник не дорівнює нулю.

Матриця "A" називається зворотною матрицеюякщо виконується умова A*A-1 = A-1 *A = E (одиничної матриці).

Квадратна матриця оборотна тільки в тому випадку, коли вона невироджена.

Схема обчислення зворотної матриці:

1) Обчислити визначник матриці "A", якщо ∆ A = 0, то зворотної матриці немає.

2) Знайти всі додатки алгебри матриці "A".

3) Скласти матрицю з додатків алгебри (Aij )

4) Транспонувати матрицю з додатків алгебри (Aij )T

5) Помножити транспоновану матрицю на число, зворотне визначнику цієї матриці.

6) Виконати перевірку:

На перший погляд, може здатися, що це складно, але насправді все дуже просто. Усі рішення ґрунтуються на простих арифметичних діях, головне при вирішенні не плутатися зі знаками "-" та "+", і не втрачати їх.

А тепер давайте разом з Вами розв'яжемо практичне завдання, обчисливши зворотну матрицю.

Завдання: знайти зворотну матрицю "A", представлену на малюнку нижче:

Вирішуємо все точно так, як це зазначено в план-схемі обчислення зворотної матриці.

1. Перше, що потрібно зробити, це знайти визначник матриці "A":

Пояснення:

Ми спростили наш визначник, скориставшись його основними функціями. По-перше, ми додали до 2 і 3 рядків елементи першого рядка, помножені на одне число.

По-друге, ми змінили 2 і 3 стовпець визначника, і за його властивостями змінили знак перед ним.

По-третє, ми винесли загальний множник (-1) другого рядка, тим самим знову змінивши знак, і він став позитивним. Також ми спростили 3 рядок так само, як на початку прикладу.

У нас вийшов трикутний визначник, у якого елементи нижче діагоналі дорівнюють нулю, і за 7 властивістю він дорівнює добутку елементів діагоналі. У результаті ми отримали ∆ A = 26, отже зворотна матриця існує.

А11 = 1 * (3 +1) = 4

А12 = -1 * (9 +2) = -11

А13 = 1 * 1 = 1

А21 = -1 * (-6) = 6

А22 = 1 * (3-0) = 3

А23 = -1 * (1 +4) = -5

А31 = 1 * 2 = 2

А32 = -1 * (-1) = -1

А33 = 1 + (1 +6) = 7

3. Наступний крок - складання матриці з додатків, що вийшли:

5. Помножуємо цю матрицю на число, зворотне визначнику, тобто на 1/26:

6. Ну а тепер нам просто потрібно виконати перевірку:

У ході перевірки ми отримали одиничну матрицю, отже, рішення було виконане абсолютно правильно.

2 спосіб обчислення зворотної матриці.

1. Елементарне перетворення матриць

2. Зворотна матриця через елементарний перетворювач.

Елементарне перетворення матриць включає:

1. Множення рядка на число, що не дорівнює нулю.

2. Додаток до будь-якого рядка іншого рядка, помноженого на число.

3. Зміна місцями рядків матриці.

4. Застосовуючи ланцюжок елементарних перетворень, отримуємо іншу матрицю.

А -1 = ?

1. (A|E) ~ (E|A -1 )

2. A -1 * A = E

Розглянемо це практичному прикладі з дійсними числами.

Завдання:Знайти обернену матрицю.

Рішення:

Виконаємо перевірку:

Невелике роз'яснення щодо рішення:

Спочатку ми переставили 1 і 2 рядок матриці, потім помножили перший рядок (-1).

Після цього помножили перший рядок (-2) і склали з другим рядком матриці. Після цього помножили 2 рядок на 1/4.

Заключним етапом перетворень стало множення другого рядка на 2 та додатком з першого. В результаті зліва у нас вийшла одинична матриця, отже зворотна матриця - це матриця справа.

Після перевірки ми переконалися у правильності рішення.

Як ви бачите, обчислення зворотної матриці – це дуже просто.

У висновку цієї лекції хотілося б також приділити трохи часу властивостям такої матриці.

Знаходження зворотної матриці.

У цій статті розберемося з поняттям зворотної матриці, її властивостями та способами знаходження. Детально зупинимося на рішенні прикладів, у яких потрібно побудувати зворотну матрицю для заданої.

Навігація на сторінці.

Зворотна матриця – визначення.

Знаходження зворотної матриці за допомогою матриці з додатків алгебри.

Властивості зворотної матриці.

Знаходження зворотної матриці методом Гаусса-Жордана.

Знаходження елементів зворотної матриці за допомогою розв'язання відповідних систем лінійних рівнянь алгебри.

Зворотна матриця – визначення.

Поняття зворотної матриці вводиться лише квадратних матриць, визначник яких відмінний від нуля, тобто для невироджених квадратних матриць.

Визначення.

Матрицяназивається зворотною для матриці, визначник якої відмінний від нуля , якщо справедливі рівність , де E- Поодинока матриця порядку nна n.

Знаходження зворотної матриці за допомогою матриці з додатків алгебри.

Як знайти зворотну матрицю для цієї?

По-перше, нам знадобляться поняття транспонованої матриці, мінору матриці та алгебраїчного доповнення елемента матриці.

Визначення.

Мінорk-ого порядкуматриці Aпорядку mна n- Це визначник матриці порядку kна kяка виходить з елементів матриці А, що знаходяться у вибраних kрядках та kстовпці. ( kне перевищує найменшого з чисел mабо n).

Мінор (n-1)-огопорядку, що складається з елементів усіх рядків, крім i-ий, і всіх стовпців, крім j-огоквадратної матриці Апорядку nна nпозначимо як .

Іншими словами, мінор виходить із квадратної матриці Апорядку nна nвикреслюванням елементів i-ийрядки та j-огостовпця.

Для прикладу запишемо, мінор Другогопорядку, який виходить з матриці вибором елементів її другого, третього рядків та першого, третього стовпців . Також покажемо мінор, який виходить із матриці викресленням другого рядка та третього стовпця . Проілюструємо побудову цих мінорів: і .

Визначення.

Алгебраїчним доповненнямелемента квадратної матриці називають мінор (n-1)-огопорядку, який виходить із матриці А, викресленням елементів її i-ийрядки та j-огостовпця, помножений на .

Алгебраїчне доповнення елемента позначається як . Таким чином, .

Наприклад, для матриці Алгебраїчне доповнення елемента є.

По-друге, нам знадобляться дві властивості визначника, які ми розібрали у розділі обчислення визначника матриці:

На підставі цих властивостей визначника, визначення операції множення матриці на числоі поняття зворотної матриці справедлива рівність , де - транспонована матриця, елементами якої є додатки алгебри .

Матриця дійсно є зворотною для матриці А, оскільки виконуються рівності . Покажемо це

Складемо алгоритм знаходження зворотної матриціз використанням рівності .

Розберемо алгоритм знаходження зворотної матриці з прикладу.

приклад.

Дана матриця . Знайдіть зворотну матрицю.

Рішення.

Обчислимо визначник матриці А, Розклавши його за елементами третього стовпця:

Визначник відмінний від нуля, тому матриця Аоборотна.

Знайдемо матрицю з додатків алгебри:

Тому

Виконаємо транспонування матриці з додатків алгебри:

Тепер знаходимо зворотну матрицю як :

Перевіряємо отриманий результат:

Рівності виконуються, отже, зворотна матриця знайдена правильно.

Властивості зворотної матриці.

Поняття зворотної матриці, рівність , визначення операцій над матрицями та властивості визначника матриці дозволяють обґрунтувати наступні властивості зворотної матриці:

Розглянемо ще один спосіб знаходження зворотної матриці для квадратної матриці Апорядку nна n.

Цей метод заснований на вирішенні nсистем лінійних неоднорідних алгебраїчних рівнянь з nневідомими. Невідомими змінними цих системах рівнянь є елементи зворотної матриці.

Ідея дуже проста. Позначимо зворотну матрицю як X, тобто, . Так як за визначенням зворотної матриці, то

Прирівнюючи відповідні елементи по стовпцям, отримаємо nсистем лінійних рівнянь

Вирішуємо їх у будь-який спосіб і зі знайдених значень складаємо зворотну матрицю.

Розберемо цей спосіб з прикладу.

приклад.

Дана матриця . Знайдіть зворотну матрицю.

Рішення.

Приймемо . Рівність дає нам три системи лінійних неоднорідних рівнянь алгебри:

Не розписуватимемо рішення цих систем, при необхідності звертайтеся до розділу вирішення систем лінійних рівнянь алгебри.

З першої системи рівнянь маємо, з другої -, з третьої -. Отже, потрібна зворотна матриця має вигляд . Рекомендуємо перевірити, щоб переконатися в правильності результату.

Підведемо підсумок.

Ми розглянули поняття зворотної матриці, її властивості та три методи її знаходження.

Приклад рішень методом зворотної матриці

Завдання 1.Вирішити СЛАУ методом зворотної матриці. 2 x 1 + 3x 2 + 3x 3 + x 4 = 1 3 x 1 + 5x 2 + 3x 3 + 2x 4 = 2 5 x 1 + 7x 2 + 6x 3 + 2x 4 = 3 4 x 1 + 4x 2 + 3x 3 + х 4 = 4

Початок форми

Кінець форми

Рішення. Запишемо матрицю у вигляді: Вектор B: B T = (1,2,3,4) Головний визначник Мінор для (1,1): = 5 (6 1-3 2)-7 (3 1-3 2)+4 ( 3 2-6 2) = -3 Мінор для (2,1): = 3 (6 1-3 2)-7 (3 1-3 1)+4 (3 2-6 1) = 0 Мінор для (3 ,1): = 3 (3 1-3 2)-5 (3 1-3 1)+4 (3 2-3 1) = 3 Мінор для (4,1): = 3 (3 2-6 2) -5 (3 2-6 1)+7 (3 2-3 1) = 3 Визначник мінору ∆ = 2 (-3)-3 0+5 3-4 3 = -3

Транспонована матрицяАлгебраїчні доповнення ∆ 1,1 = 5 (6 1-2 3)-3 (7 1-2 4)+2 (7 3-6 4) = -3 ∆ 1,2 = -3 (6 1-2 3) -3 (7 1-2 4)+1 (7 3-6 4) = 0 ∆ 1,3 = 3 (3 1-2 3)-3 (5 1-2 4)+1 (5 3-3 4 ) = 3 ∆ 1,4 = -3 (3 2-2 6)-3 (5 2-2 7)+1 (5 6-3 7) = -3 ∆ 2,1 = -3 (6 1-2 3)-3 (5 1-2 4)+2 (5 3-6 4) = 9 ∆ 2,2 = 2 (6 1-2 3)-3 (5 1-2 4)+1 (5 3- 6 4) = 0 ∆ 2,3 = -2 (3 1-2 3)-3 (3 1-2 4)+1 (3 3-3 4) = -6 ∆ 2,4 = 2 (3 2- 2 6)-3 (3 2-2 5)+1 (3 6-3 5) = 3 ∆ 3,1 = 3 (7 1-2 4)-5 (5 1-2 4)+2 (5 4 -7 4) = -4 ∆ 3,2 = -2 (7 1-2 4)-3 (5 1-2 4)+1 (5 4-7 4) = 1 ∆ 3,3 = 2 (5 1 -2 4)-3 (3 1-2 4)+1 (3 4-5 4) = 1 ∆ 3,4 = -2 (5 2-2 7)-3 (3 2-2 5)+1 ( 3 7-5 5) = 0 ∆ 4,1 = -3 (7 3-6 4)-5 (5 3-6 4)+3 (5 4-7 4) = -12 ∆ 4,2 = 2 ( 7 3-6 4)-3 (5 3-6 4)+3 (5 4-7 4) = -3 ∆ 4,3 = -2 (5 3-3 4)-3 (3 3-3 4) +3 (3 4-5 4) = 9 ∆ 4,4 = 2 (5 6-3 7)-3 (3 6-3 5)+3 (3 7-5 5) = -3 Зворотна матриця Вектор результатів X X = A -1 ∙ B X T = (2,-1,-0.33,1) x 1 = 2 x 2 = -1 x 3 = -0.33 x 4 = 1

Див. також рішень СЛАУ методом зворотної матриці online. Для цього введіть свої дані та отримайте рішення з докладними коментарями.

Завдання 2. Систему рівнянь записати у матричній формі та вирішити її за допомогою зворотної матриці. Зробити перевірку одержаного рішення. Рішення:xml:xls

Приклад 2. Записати систему рівнянь у матричній формі та вирішити за допомогою зворотної матриці. Рішення:xml:xls

приклад. Дано систему трьох лінійних рівнянь із трьома невідомими. Потрібно: 1) знайти її рішення за допомогою формул Крамера; 2) записати систему в матричній формі та вирішити її засобами матричного обчислення. Методичні рекомендації. Після рішення методом Крамера знайдіть кнопку "Рішення методом зворотної матриці для вихідних даних". Ви отримаєте відповідне рішення. Таким чином, дані знову заповнювати не доведеться. Рішення. Позначимо через А - матрицю коефіцієнтів за невідомих; X - матрицю-стовпець невідомих; B - матрицю-стовпець вільних членів:

Вектор B: B T =(4,-3,-3) З урахуванням цих позначень дана система рівнянь набуває наступної матричної форми: А*Х = B. Якщо матриця А - невироджена (її визначник відмінний від нуля, то вона має зворотну матрицю А -1 . Помноживши обидві частини рівняння на А -1 отримаємо: А -1 * А * Х = А -1 * B, А -1 * А = Е. матричним записом розв'язання системи лінійних рівнянь. Для знаходження рішення системи рівнянь необхідно обчислити обернену матрицю А-1. Система матиме рішення, якщо визначник матриці A відмінний від нуля. Знайдемо головний визначник. ∆=-1 (-2 (-1)-1 1)-3 (3 (-1)-1 0)+2 (3 1-(-2 0))=14 Отже, визначник 14 ≠ 0, тому продовжуємо Рішення. Для цього знайдемо зворотну матрицю через додатки алгебри. Нехай маємо невироджену матрицю А:

Обчислюємо додатки алгебри.

∆ 1,1 =(-2 (-1)-1 1)=1

∆ 1,2 =-(3 (-1)-0 1)=3

∆ 1,3 =(3 1-0 (-2))=3

∆ 2,1 =-(3 (-1)-1 2)=5

∆ 2,2 =(-1 (-1)-0 2)=1

∆ 2,3 =-(-1 1-0 3)=1

∆ 3,1 =(3 1-(-2 2))=7

∆ 3,2 =-(-1 1-3 2)=7

X T = (-1,1,2) x 1 = -14 / 14 = -1 x 2 = 14 / 14 = 1 x 3 = 28 / 14 = 2 Перевірка. -1 -1+3 1+0 2=4 3 -1+-2 1+1 2=-3 2 -1+1 1+-1 2=-3 doc:xml:xls Відповідь: -1,1,2.

Зворотна матриця для цієї це така матриця, множення вихідної на яку дає одиничну матрицю: Обов'язковою і достатньою умовою наявності зворотної матриці є нерівність нулю детермінанта вихідної (що в свою чергу має на увазі, що матриця повинна бути квадратна). Якщо ж визначник матриці дорівнює нулю, її називають виродженою і така матриця немає зворотної. У вищій математиці обернені матриці мають важливе значення і застосовуються для вирішення ряду завдань. Наприклад, на знаходження зворотної матриціпобудовано матричний метод розв'язання систем рівнянь. Наш сервіс сайт дозволяє обчислювати зворотну матрицю онлайндвома методами: методом Гауса-Жордана та за допомогою матриці алгебраїчних доповнень. Перервий має на увазі велику кількість елементарних перетворень усередині матриці, другий - обчислення детермінанта та додатків алгебри до всіх елементів. Для обчислення визначника матриці онлайн ви можете скористатися іншим сервісом - Обчислення детермінанта матриці онлайн

Знайти зворотну матрицю на сайт

сайтдозволяє знаходити зворотну матрицю онлайншвидко та безкоштовно. На сайті здійсняться обчислення нашим сервісом і видається результат із докладним рішенням щодо знаходження зворотної матриці. Сервер завжди видає лише точну та правильну відповідь. У завданнях визначення зворотної матриці онлайн, необхідно, щоб визначник матрицібув відмінним від нуля, інакше сайтповідомить про неможливість знайти зворотну матрицю через рівність нуля визначника вихідної матриці. Завдання щодо знаходження зворотної матрицізустрічається у багатьох розділах математики, будучи одним із самих базових понять алгебри та математичним інструментом у прикладних завданнях. Самостійне визначення зворотної матрицівимагає значних зусиль, багато часу, обчислень та великої уважності, щоб не допустити описки або дрібної помилки у обчисленнях. Тому наш сервіс з знаходження зворотної матриці онлайнзначно полегшить вам завдання та стане незамінним інструментом для вирішення математичних завдань. навіть якщо ви знаходите зворотну матрицюМи рекомендуємо перевірити ваше рішення на нашому сервері. Введіть вашу вихідну матрицю у нас на Обчислення зворотної матриці онлайн і звірте вашу відповідь. Наша система ніколи не помиляється і знаходить зворотну матрицюзаданої розмірності в режимі онлайнмиттєво! На сайті сайтдопускаються символьні записи в елементах матриць, в цьому випадку зворотна матриця онлайнбуде представлена у загальному символьному вигляді.

Як правило, зворотні операції використовуються для спрощення складних виразів алгебри. Наприклад, якщо в задачі є операція поділу на дріб, можна замінити її операцією множення на зворотний дріб, що є зворотною операцією. Понад те, матриці ділити не можна, тому треба множити на зворотну матрицю. Обчислювати матрицю, обернену до матриці розміром 3х3, досить втомлює, але потрібно вміти робити це вручну. Також обернену величину можна знайти за допомогою гарного графічного калькулятора.

Кроки

За допомогою приєднаної матриці

Транспонуйте вихідну матрицю.Транспонування - це заміна рядків на стовпці щодо головної діагоналі матриці, тобто потрібно поміняти місцями елементи (i, j) та (j, i). При цьому елементи головної діагоналі (починається у верхньому лівому кутку та закінчується у нижньому правому кутку) не змінюються.

Щоб змінити рядки на стовпці, запишіть елементи першого рядка у першому стовпці, елементи другого рядка у другому стовпці, а елементи третього рядка у третьому стовпці. Порядок зміни положення елементів показано малюнку, у якому відповідні елементи обведені кольоровими кружками.

Знайдіть визначити кожну матрицю розміром 2х2.Кожен елемент будь-якої матриці, включаючи транспоновану, пов'язаний із відповідною матрицею 2х2. Щоб знайти матрицю 2х2, яка відповідає певному елементу, закресліть рядок та стовпець, у яких знаходиться даний елемент, тобто потрібно закреслити п'ять елементів вихідної матриці 3х3. Незакресленими залишаться чотири елементи, які є елементами відповідної матриці 2х2.

Наприклад, щоб знайти матрицю 2х2 для елемента, який розташований на перетині другого рядка та першого стовпця, закресліть п'ять елементів, які знаходяться у другому рядку та першому стовпці. Чотири елементи, що залишилися, є елементами відповідної матриці 2х2.
Знайдіть визначник кожної матриці 2х2. Для цього добуток елементів другорядної діагоналі відніміть із добутку елементів головної діагоналі (дивіться малюнок).
Детальну інформацію про матриці 2х2, що відповідають певним елементам матриці 3х3, можна знайти в інтернеті.

Створіть матрицю кофакторів.Результати, отримані раніше, запишіть у вигляді нової матриці кофакторів. Для цього знайдений визначник кожної матриці 2х2 напишіть там, де був відповідний елемент матриці 3х3. Наприклад, якщо розглядається матриця 2х2 елемента (1,1), її визначник запишіть в позиції (1,1). Потім поміняйте знаки відповідних елементів згідно з певною схемою, яка показана на малюнку.

Схема зміни знаків: - знак першого елемента першого рядка не змінюється; знак другого елемента першого рядка змінюється на протилежний; знак третього елемента першого рядка не змінюється тощо рядково. Зверніть увагу, що знаки «+» та «-», які показані на схемі (дивіться малюнок), не свідчать про те, що відповідний елемент буде позитивним чи негативним. У разі знак «+» свідчить, що знак елемента не змінюється, а знак «-» свідчить про зміну знака елемента.
Детальну інформацію про матриці кофакторів можна знайти в інтернеті.
Так ви знайдете приєднану матрицю вихідної матриці. Іноді її називають комплексно-сполученою матрицею. Така матриця позначається як adj(M).

Розділіть кожен елемент приєднаної матриці на визначник.Визначник матриці М було обчислено на самому початку, щоб перевірити, що зворотна матриця існує. Тепер поділіть кожен елемент приєднаної матриці на цей визначник. Результат кожної операції поділу запишіть там, де є відповідний елемент. Так ви знайдете матрицю, обернену до вихідної.

Визначник матриці, яка показана на малюнку, дорівнює 1. Таким чином, тут приєднана матриця є зворотною матрицею (бо при розподілі будь-якого числа на 1 воно не змінюється).
У деяких джерелах операція поділу замінюється операцією множення на 1/det(М). При цьому кінцевий результат змінюється.

Запишіть зворотну матрицю.Запишіть елементи, розташовані на правій половині великої матриці, як окремої матриці, яка є зворотною матрицею.

Введіть вихідну матрицю у пам'ять калькулятора.Для цього натисніть кнопку Matrix (Матриця), якщо вона є. У випадку калькулятора Texas Instruments, можливо, знадобиться натиснути кнопки 2nd та Matrix.

Виберіть меню Edit (Редагування).Зробіть це за допомогою кнопок зі стрілками або відповідної функціональної кнопки, розташованої у верхній частині клавіатури калькулятора (розташування кнопки залежить від моделі калькулятора).

Введіть позначку матриці.Більшість графічних калькуляторів може працювати з 3-10 матрицями, які можна позначити літерами А-J. Як правило, просто виберіть [A], щоб визначити вихідну матрицю. Потім натисніть кнопку Enter.

Введіть розмір матриці.У цій статті йдеться про матриці 3х3. Але графічні калькулятори можуть працювати з матрицями великих розмірів. Введіть кількість рядків, натисніть кнопку Enter, потім введіть кількість стовпців та ще раз натисніть кнопку Enter.

Введіть кожний елемент матриці.На екрані калькулятора з'явиться матриця. Якщо в калькулятор вже вводилася матриця, вона з'явиться на екрані. Курсор виділить перший елемент матриці. Введіть значення першого елемента та натисніть Enter. Курсор автоматично переміститься до наступного елемента матриці.

Матриця $A^(-1)$ називається зворотної по відношенню до квадратної матриці $A$, якщо виконано умову $A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E$, де $E $ - Поодинока матриця, порядок якої дорівнює порядку матриці $ A $.

Невироджена матриця - матриця, визначник якої не дорівнює нулю. Відповідно, вироджена матриця - та, у якої дорівнює нулю визначник.

Зворотна матриця $A^(-1)$ існує і тоді, коли матриця $A$ – невироджена. Якщо зворотна матриця $A^(-1)$ існує, вона єдина.

Є кілька способів знаходження зворотної матриці, і ми розглянемо два їх. На цій сторінці буде розглянуто метод приєднаної матриці, який належить стандартним у більшості курсів вищої математики. Другий спосіб знаходження зворотної матриці (метод елементарних перетворень), який передбачає використання методу Гаусса або Гаусса-Жордана, розглянутий у другій частині .

Метод приєднаної (союзної) матриці

Нехай задано матрицю $A_(n\times n)$. Для того щоб знайти зворотну матрицю $A^(-1)$, потрібно здійснити три кроки:

Знайти визначник матриці $A$ і переконатися, що $Delta Aneq 0$, тобто. що матриця А – невироджена.
Скласти алгебраїчні доповнення $A_(ij)$ кожного елемента матриці $A$ і записати матрицю $A_(n\times n)^(*)=\left(A_(ij) \right)$ зі знайдених додатків алгебри.
Записати зворотну матрицю з урахуванням формули $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$.

Матрицю $(A^(*))^T$ найчастіше називають приєднаної (взаємної, союзної) до матриці $A$.

Якщо рішення відбувається вручну, перший спосіб хороший лише для матриць порівняно невеликих порядків: другого (), третього (), четвертого (). Щоб знайти зворотну матрицю для матриці вищого ладу, використовуються інші методи. Наприклад, метод Гауса, який розглянуто у другій частині.

Приклад №1

Знайти матрицю, зворотну до матриці $A=\left(\begin(array) (cccc) 5 & -4 &1 & 0 12 &-11 &4 & 0 \\ -5 & 58 &4 & 0 \ 1 & -9 & 0 \end(array) \right)$.

Так як всі елементи четвертого стовпця дорівнюють нулю, то $ Delta A = 0 $ (тобто матриця $ A $ є виродженою). Оскільки $\Delta A=0$, зворотної матриці до матриці $A$ немає.

Приклад №2

Знайти матрицю, зворотну до матриці $A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7 \ 9 & 8 \end(array)\right)$.

Використовуємо метод приєднаної матриці. Спочатку знайдемо визначник заданої матриці $A$:

$$ \Delta A=\left| \begin(array) (cc) -5 & 7\ 9 & 8 \end(array)\right|=-5\cdot 8-7\dot 9=-103. $$

Так як $ \ Delta A \ neq 0 $, то зворотна матриця існує, тому продовжимо рішення. Знаходимо додатки алгебри

\begin(aligned) & A_(11)=(-1)^2\cdot 8=8; \; A_(12)=(-1)^3\cdot 9=-9;\\ & A_(21)=(-1)^3\cdot 7=-7; \; A_(22)=(-1)^4\cdot (-5)=-5.\\end(aligned)

Складаємо матрицю з додатків алгебри: $A^(*)=\left(\begin(array) (cc) 8 & -9\\ -7 & -5 \end(array)\right)$.

Транспонуємо отриману матрицю: $(A^(*))^T=\left(\begin(array) (cc) 8 & -7\ -9 & -5 \end(array)\right)$ (отримана матриця часто називається приєднаною чи союзною матрицею до матриці $A$). Використовуючи формулу $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$, маємо:

$$ A^(-1)=\frac(1)(-103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right) =\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right) $$

Отже, зворотну матрицю знайдено: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\9/103 & 5/103 \end(array)\right) $. Щоб перевірити істинність результату, достатньо перевірити істинність однієї з рівностей: $A^(-1)\cdot A=E$ або $A\cdot A^(-1)=E$. Перевіримо виконання рівності $A^(-1)\cdot A=E$. Щоб поменше працювати з дробами, підставлятимемо матрицю $A^(-1)$ не у формі $\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \ end(array)\right)$, а у вигляді $-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\ -9 & -5 \end(array )\right)$:

Відповідь: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right)$.

Приклад №3

Знайти зворотну матрицю для матриці $A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 -4 & 9 & 4 \0 & 3 & 2\end(array) \right)$.

Почнемо з обчислення визначника матриці $A$. Отже, визначник матриці $A$ такий:

$$ \Delta A=\left| \begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \right| = 18-36 +56-12 = 26. $$

Так як $ \ Delta A \ neq 0 $, то зворотна матриця існує, тому продовжимо рішення. Знаходимо додатки алгебри кожного елемента заданої матриці:

Складаємо матрицю з додатків алгебри і транспонуємо її:

$$ A^*=\left(\begin(array) (ccc) 6 & 8 & -12 \ -5 & 2 & -3 \\ 1 & -16 & 37\end(array) \right); \; (A^*)^T=\left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right) $$

Використовуючи формулу $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$, отримаємо:

$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ \ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right) $$

Отже, $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ - 6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$. Щоб перевірити істинність результату, достатньо перевірити істинність однієї з рівностей: $A^(-1)\cdot A=E$ або $A\cdot A^(-1)=E$. Перевіримо виконання рівності $A\cdot A^(-1)=E$. Щоб поменше працювати з дробами, будемо підставляти матрицю $A^(-1)$ не у формі $\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$, а у вигляді $\frac(1)(26)\cdot \left( \begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right)$:

Перевірку пройдено успішно, зворотна матриця $A^(-1)$ знайдена правильно.

Відповідь: $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$.

Приклад №4

Знайти матрицю, зворотну матриці $A=\left(\begin(array) (cccc) 6 & -5 & 8 & 4\\ 9 & 7 & 5 & 2 \7 & 5 & 3 & 7 \\ 8 & -8 & -3 \end(array) \right)$.

Для матриці четвертого порядку знаходження зворотної матриці за допомогою додатків алгебри дещо важко. Проте такі приклади у контрольних роботах трапляються.

Щоб знайти зворотну матрицю, спочатку потрібно обчислити визначник матриці $A$. Найкраще в цій ситуації це зробити за допомогою розкладання визначника по рядку (стовпцю). Вибираємо будь-який рядок або стовпець і знаходимо додатки алгебри кожного елемента обраного рядка або стовпця.